07) CAPITULO 2 -Apuntes de Fisica General - José Pedro Agustin Valera Negrete

CAPÍTULO 2

ESTADO SÓLIDO DE LA MATERIA 2.1 Clasificación de los sólidos La Mecánica de Materiales estudia el comportamiento de los cuerpos sólidos sometidos a varios tipos de carga. Este campo del conocimiento tiene varias denominaciones, entre las que se incluyen “Resistencia de Materiales” y “Mecánica de Cuerpos Deformables”. Entre los cuerpos sólidos se encuentran miembros cargados axialmente (relativo al eje) a tensión o a compresión, flechas sujetas a torsión, cascarones delga-dos (bóvedas cuya superficie puede ser un cuarto de esfera) vigas y columnas en flexión, así como estruc-turas que forman parte de tales componentes. En general, el objetivo de este análisis es la determinación de los esfuerzos, deformaciones y deflexiones (desplazamiento de puntos de una viga desde su posición original, medido en la dirección vertical) producidos por las cargas. Un conocimiento profundo del comportamiento mecánico es fundamental para el diseño confiable de cualquier estructura, tales como edificios, puentes, maquinarias, motores, submarinos, barcos, aviones y actualmente antenas. Por tanto, la mecánica de materiales constituye un tema básico en muchos campos de la ingeniería. Desde luego que la estática y la dinámica también son esenciales, pero tratan principalmente con fuerzas y movimientos relacionados con partículas y cuerpos rígidos. En mecánica de materiales es con-veniente considerar los esfuerzos y deformaciones que presentan los cuerpos reales cuando se deforman bajo cargas. Se utilizan las propiedades físicas de los materiales determinadas experimentalmente, así como numerosas leyes y conceptos técnicos. Podemos considerar que las propiedades de un material son de dos tipos: físicas y químicas, y específica-mente dentro de las físicas las propiedades mecánicas. Dentro de las propiedades físicas, en general, se incluyen los comportamientos eléctrico, magnético, ópti-co, térmico y elástico. Las propiedades físicas dependen tanto de la estructura como del procesamiento de los materiales. Las propiedades químicas comprenden, entre otras, las fuerzas de enlace (debido a la com-posición del material) y su comportamiento ante medios agresivos (corrosividad). Pequeños cambios en su composición causan variaciones considerables en la conductividad eléctrica de metales semiconductores y algunos cerámicos. Por ejemplo, las altas temperaturas de horneado pueden reducir notablemente las ca-racterísticas de aislante térmico en un ladrillo de cerámica. Pequeñas cantidades de impurezas cambian el color de un vidrio o de un polímero (sustancias de elevado peso molecular inatacables por ácidos, de ele-vada resistencia mecánica y de baja densidad, tales como plásticos, resinas, elastoplásticos y fibras sintéticas).

JOSÉ PEDRO AGUSTÍN VALERA NEGRETE 78

Clasificación de los materiales

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

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⎨

⎧

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⎩

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⎨

⎧

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⎩

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⎨

⎧

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⎩

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⎨

⎧

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⎩

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⎧

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⎩

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⎨

⎧

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

barnices

pigmentos

socitsálp

hules

textiles

cerámica

socitétnis

otros

mica

asbesto

arcilla

hulla

madera

naturales

metalesNo

otros

níquel

plomo

estaño

aluminio

cobre

ferrososno

blanca

grisfundición

aleados

carbónalacero

dulcehierro

ferrosos

Metales

Materiales

Las propiedades mecánicas determinan la respuesta del material al aplicársele una fuerza o al estar sujeto a un esfuerzo, las más comunes son la resistencia, la ductilidad y la rigidez del material, aunque también es impor-tante conocer el comportamiento del material cuando se expone a un choque repentino e intenso (impacto) a esfuerzos repetidos cíclicamente en un periodo dado (fatiga) a temperaturas elevadas (termofluencia) o cuando se somete a acciones abrasivas (desgaste). Las propiedades mecánicas no sólo determinan el comportamiento del material en operación, sino que influyen en la facilidad con que puede ser conformado en un producto de servicio. Una pieza metálica forjada debe soportar la aplicación rápida de una fuerza sin romperse, y tener la suficiente ductilidad para adquirir la forma adecuada. Los análisis teóricos y los resultados experimentales tienen funciones igualmente importantes en el estudio de la mecánica de materiales. A veces se realizan deducciones lógicas para establecer fórmulas y ecuacio-nes que predicen el comportamiento mecánico, pero se debe reconocer que tales expresiones no pueden emplearse en forma realista a menos que se conozcan ciertas propiedades de los materiales. Estas propie-

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dades son accesibles solo mediante la realización de experimentos adecuados en el laboratorio. Asimis-mo, debido a que muchos problemas prácticos de gran importancia en ingeniería no pueden resolverse eficazmente mediante procedimientos teóricos, se requieren necesariamente las mediciones experimentales. Los laboratorios de pruebas de materiales deben contar con instalaciones y equipos capaces de cargar los especímenes o muestras de prueba (espécimen, singular; especímenes, plural) de diversas maneras; las cargas pueden clasificarse en estáticas y dinámicas dependiendo si permanecen constantes o varían con el tiempo. El procedimiento usual consiste en colocar pequeños especímenes del material en máquinas de prueba aplicando las cargas y midiendo las deformaciones resultantes como son cambios de longi-tud y de diámetro. Si consideramos una barra prismática (miembro estructural recto con sección transversal constante en toda su longitud) y suponemos que se le aplica despacio una carga, de manera que pasa gradualmente de cero a su valor máximo, tal carga se llama carga estática porque no se tienen efectos dinámicos o inercia-les debidos al movimiento. La barra se alarga en forma gradual conforme la carga se aplica, hasta terminar alcanzando su alargamiento máximo. Una carga estática se aplica lentamente de manera que no causa efectos vibratorios. Una carga dinámica es aquella que se aplica cuando se genera un movimiento o efec-to de inercia y puede tomar diversas formas; algunas cargas se pueden aplicar y suprimir de modo repenti-no (cargas de impacto) otras persisten largos periodos y varían continuamente de intensidad (cargas fluctuantes). Las cargas de impacto se producen cuando dos objetos entran en colisión o cuando un objeto golpea a una estructura al caer. Las cargas fluctuantes son generadas por maquinaria rotatoria, tránsito, ráfagas de viento, olas marinas, sismos y procesos de manufactura. Un ejemplo de la respuesta de cargas dinámicas en una estructura consiste en analizar las vibraciones que ocurren cuando se alarga un resorte y luego se suelta o cuando una persona efectúa un salto bungee, cesando las vibraciones debido a los efectos amortiguadores hasta alcanzar el reposo. La energía de deformación es un concepto fundamental en mecánica aplicada, y sus principios se usan ampliamente con el fin de establecer las respuestas de máquinas y estructuras frente a cargas estáticas y dinámicas. Todos los ingenieros manejan cotidianamente los materiales. Estas sustancias se manufacturan o procesan cuando se diseñan y construyen componentes o estructuras que requieren análisis de fallas y se prevé su funcionamiento adecuado, para que sean sólidas y confiables además de estéticas y resistan la corrosión, y en general para que se mejoren las características del producto que se diseña o fabrica. Los materiales se clasifican, según su uso, en cuatro grupos: metales, cerámicos, polímeros y compuestos (ver tema 2.9). 2.1.1 Metales Los metales y las aleaciones, que incluyen al acero, aluminio, magnesio, zinc, hierro fundido, titanio, co-bre, níquel y muchos otros, tienen como características generales una adecuada conductividad tanto térmi-ca como eléctrica, relativamente alta resistencia mecánica, alta rigidez, ductilidad o conformabilidad, y resistencia al impacto. Son particularmente útiles en aplicaciones estructurales o de carga. Aunque ocasio-nalmente se utilizan en forma pura, se prefiere normalmente el empleo de sus combinaciones, denomina-das aleaciones, para mejorar ciertas propiedades deseadas o permitir una mejor combinación de las mismas.


2.1.2 Cerámicos Los materiales de cerámica, como los ladrillos, el vidrio, la loza, los aislantes y los abrasivos, tienen esca-sa conductividad tanto eléctrica como térmica, y aunque pueden tener buena resistencia y dureza, son de-ficientes en ductilidad y resistencia al impacto. Por lo anterior son menos usados que los metales en aplicaciones estructurales. No obstante, presentan en su mayoría una excelente resistencia a las altas tem-peraturas y a ciertas condiciones de corrosión. Muchos de ellos tienen propiedades ópticas, eléctricas y térmicas que permiten su uso en proyectos industriales. 2.1.3 Polímeros En estos materiales se incluye el caucho (o hule), los plásticos y muchos tipos de adhesivos. Se producen creando grandes estructuras moleculares a partir de moléculas orgánicas obtenidas del petróleo (plásticos, elastoplásticos, resinas, fibras sintéticas, etc.) o de productos agrícolas (proteínas, resinas naturales, go-mas, etc.) en un proceso conocido como polimerización. Los polímeros tienen baja conductividad eléctrica y térmica, escasa resistencia mecánica y no se recomiendan para aplicaciones con temperaturas elevadas. Algunos polímeros (los termoplásticos) presentan excelente ductilidad y resistencia al impacto, mientras otros (los termoestables) tienen propiedades opuestas. Los polímeros son ligeros y con frecuencia cuentan con excelente resistencia a la corrosión 2.1.4 Materiales compuestos Los materiales compuestos (o compósitos) están constituidos por dos o más materiales que generan pro-piedades no obtenibles mediante uno solo; por ejemplo el concreto, la madera contrachapada (triplay) y la fibra de vidrio. Con los compuestos se fabrican materiales ligeros, resistentes, dúctiles, con resistencia a las altas temperaturas, que no pueden obtenerse de otro modo, o bien se elaboran herramientas de corte muy resistentes al impacto, que de otra manera serían quebradizas. 2.2 Propiedades de los materiales: ductilidad, maleabilidad, rigidez, tenacidad,

fragilidad, dureza, conductividad y rigidez dieléctrica 2.2.1 Propiedades de los materiales Las propiedades físico-químicas más importantes de los materiales son las de tipo general consideradas en cualquier sustancia, tales como la densidad, puntos de fusión y de ebullición, calor específico, conductivi-dad calorífica, resistencia eléctrica, coeficientes de dilatación y de compresibilidad, estructura cristalina, fuerzas de enlace, etc., y las de tipo mecánico, de gran interés técnico, que expresan la resistencia ofrecida por el material a las distintas clases de esfuerzos a que puede estar sometido. Las propiedades mecánicas más importantes son las correspondientes a esfuerzos de tensión, compresión, flexión, torsión, corte y penetración (dureza), entre otras. En general los materiales, y en particular los metales o cualquier aleación, experimentan primero una de-formación elástica, la cual desaparece al suprimir el esfuerzo, después una deformación plástica o per-


manente y finalmente la ruptura. La mayor o menor extensión en que estas deformaciones se producen (elasticidad y tenacidad) para una mayor o menor fuerza aplicada (referida a la unidad de superficie) ca-racteriza al metal y la posibilidad de empleo para distintas finalidades mecánicas. Los metales con una densidad relativa mayor que 5 se denominan metales pesados, y los que tienen una densidad menor que 5 se llaman metales ligeros. 2.2.1.1 Ductilidad Es la capacidad de un material de ser deformado permanentemente sin que ocurra ruptura cuando se le aplica una fuerza. Es decir, es la capacidad de deformación plástica de un metal para poder ser estirado en alambre. El tungsteno y el cobre son muy dúctiles. La ductilidad depende de la plastici-dad y la resistencia a la tensión. 2.2.1.2 Maleabilidad Es la capacidad de deformación plástica de un metal para ser laminado o martillado (labrado) en chapas delgadas, es decir, es la capacidad que tiene un material para soportar la deformación permanente sin romperse bajo compresión. Los metales más maleables, en orden decreciente, son: oro, plata, cobre, esta-ño, platino, plomo, zinc y hierro. La maleabilidad depende de la plasticidad, pero no depende tanto de la resistencia como la ductilidad. La ductilidad y la maleabilidad son propiedades características de los metales, siendo debidas al hecho de que los desplazamientos de los átomos en un cristal metálico (sólido limitado por superficies planas dis-puestas simétricamente) no destruye las fuerzas de atracción de carácter general que los une, mientras que en los cristales iónicos (formados por iones) estos desplazamientos producen una gran aproximación de los iones (átomos con carga eléctrica) de igual carga cuya repulsión origina la ruptura del cristal, que es, por tanto, frágil.

a) Ductilidad b) Maleabilidad 2.2.1.3 Rigidez Es la medida cualitativa de la deformación elástica producida en un material. Un material rígido tiene un alto módulo de elasticidad. También podemos decir que la rigidez o inelasticidad es la oposición a la elasticidad.


2.2.1.4 Tenacidad Es la medida cualitativa de las propiedades al impacto de un material, que cuando se resiste a la fractura por impacto es tenaz, es decir, opone mucha resistencia a romperse o deformarse. El hierro dulce o forjado (se obtiene a partir del arrabio o fundición de primera fusión y contiene aproximadamente 0.2% de carbo-no) es muy resistente, puede doblarse y retorcerse sin que se rompa, y se dice que es muy tenaz; en cam-bio el hierro colado o fundido (fundición de segunda fusión) es muy duro, pero se rompe a la menor flexión y es demasiado quebradizo para hacer con él piezas de maquinaria que estén sometidas a esfuerzos. 2.2.1.5 Fragilidad Es la capacidad de un material para fracturarse en su límite de proporcionalidad o cerca de él. La fragili-dad es lo contrario de la tenacidad. 2.2.1.6 Dureza Es la medida de la resistencia a la penetración sobre la superficie de un material efectuada por un objeto duro. En metalurgia se han diseñado diversas pruebas de dureza, pero las comúnmente usadas son el ensa-yo Brinell y el Rockwell. Entre las propiedades que influyen en la dureza de un material se hallan su resistencia, límite proporcio-nal, ductilidad, maleabilidad y resistencia a la abrasión y al corte. En mineralogía la dureza relativa de una sustancia es establecida por su capacidad para resistir el rayado. Un cuerpo que raya a otro sin dejarse rayar por éste, se dice que es más duro que el segundo; la dureza entonces se correlaciona de modo estre-cho con la resistencia al desgaste. Se han hecho ensayos para determinar con exactitud la dureza de los cuerpos; mediante una escala llamada de Mohs se sitúa el cuerpo en el sitio correspondiente de una escala de diferente dureza, que principia por el cuerpo más blando: 1, talco; 2, yeso cristalizado; 3, calcita; 4, espato flúor (fluorita); 5, apatita; 6, feldespato (ortoclasa); 7, cuarzo; 8, topacio; 9, zafiro (corundo); 10, diamante. Por ejemplo, un cuerpo que raye al feldespato y se deje rayar por el cuarzo, tiene una dureza de 6.5. En el ensayo de dureza Brinell, una esfera o bola de acero duro, normalmente de 10 mm de diámetro, se pre-siona sobre la superficie del material. Se mide el diámetro de la marca producida en la superficie y se cal-cula el índice de dureza Brinell (BHN, de Brinell Hardness Number) mediante la ecuación siguiente:

( )22

2 iDDDD

FBHN−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=π

donde: es la carga aplicada en kilogramos fuerza, es el diámetro del penetrador en milímetros y es el diámetro de la marca en milímetros de la impresión.

F D iD

El ensayo de dureza Rockwell utiliza una bola de acero de diámetro pequeño para materiales suaves, y un cono de diamante (Brale) para materiales más duros. La profundidad de la penetración la mide automáti-camente el instrumento de prueba, y es convertida a un índice de dureza Rockwell.


Ensayos de dureza Brinell y Rockwell Los ensayos Vickers y Knoop son otras pruebas de microdureza que forman penetraciones tan pequeñas que se requiere un microscopio para efectuar la medición. Los índices de dureza se usan principalmente como base de comparación para los materiales, especifica-ciones de fabricación y tratamiento térmico, control de calidad y correlación con otras propiedades y com-portamiento de los materiales. Por ejemplo, la dureza Brinell está muy estrechamente relacionada con la resistencia a la tensión del acero mediante la ecuación:

Resistencia a la tensión = 500 BHN En donde BHN está dado en ,2mmkg 500 es un factor de conversión del sistema internacional al sistema inglés y el resultado obtenido es la resistencia a la tensión en psi. Ejemplo 2.1: Se realiza una prueba de dureza Brinell en un acero usando un penetrador de 10 mm con una carga de kg000,3 . Se mide una marca de penetración de 3.1 mm en la superficie del acero. Calcule el BHN y la resistencia a la tensión del acero. Datos: Fórmulas:

mmDmmD

kgF

i 1.310

000,3

===

( )

BHNtensiónlaaesistenciaR

DDDD

FBHN

i

500

222

=

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=π

Solución: 1) Hallar el índice de dureza Brinell:


( ) ( ) ( )

22

2

22

7138773777

0003

49260708150003

39901070815

0003

131010102

0003

mmkg.

mm.kg,

mm.xmm.kg,

mm.mmmm.

kg,

mm.mmmmmm

kg,BHN

==

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=π

2) Hallar la resistencia a la tensión:

psixBHNtensiónlaaesistenciaR 855,19371.387500500 === 2.2.1.7 Conductividad Es la propiedad de los metales de permitir el flujo de la electricidad. Los mejores conductores son la plata, el cobre, el oro y el aluminio, en ese orden. Las propiedades mecánicas dependen en gran parte de la estructura microcristalina del metal, formado por un agregado de minúsculos cristales enlazados al azar, que dejan en el retículo (estructura en forma de red) espacios vacíos, y dan lugar a fuerzas de cohesión entre los átomos más pequeñas que las que podrían calcularse. Diversas operaciones mecánicas y térmicas mejoran las propiedades del metal. Los tratamien-tos mecánicos más importantes son el forjado (martillado o prensado en caliente) y el laminado, en que el metal caliente pasa entre dos rodillos que giran a la misma velocidad pero en sentido contrario; el metal sufre una compresión que origina un pequeño ensanchamiento y un alargamiento muy pronunciado. Los tratamientos térmicos consisten en calentar el metal a una temperatura conveniente para producir una mo-dificación estructural determinada, seguido de un enfriamiento lento (recocido); algo rápido (normaliza-do) o muy rápido (temple). Como los metales templados son muy duros (caso de los aceros) pero poco tenaces y dúctiles, se calientan a temperatura adecuada durante un tiempo para producir las transformacio-nes estructurales que conducen a una mayor tenacidad y ductilidad; el proceso se denomina revenido (vol-ver a su estado propio). 2.2.1.8 Rigidez dieléctrica Para un material es la intensidad del campo eléctrico para el cual deja de ser un aislador y se convierte en conductor. Es por tanto, el valor límite de la intensidad del campo eléctrico en el que un material pierde su propiedad aisladora.


2.3 Elasticidad, límite elástico, ley de Hooke, módulo de elasticidad 2.3.1 Elasticidad Un cuerpo elástico se define como aquel que puede recuperar su forma y tamaño originales cuando la fuerza que lo deformó deja de actuar sobre él. Esta propiedad que poseen algunos cuerpos, por la cual vuelven a su forma original, se llama elasticidad. Las ligas de hule, pelotas y resortes son ejemplos co-munes de cuerpos elásticos. La plastilina y las arcillas son ejemplos de cuerpos inelásticos. Para todos los cuerpos elásticos es necesario establecer relaciones de causa-efecto entre las fuerzas deformantes y las deformaciones producidas. Consideremos un resorte de longitud l ilustrado en la figura siguiente. Podemos analizar su elasticidad añadiendo peso sucesivamente y observando el aumento de su longitud.

Elongación uniforme de un resorte Un peso de 2 lb alarga el resorte 1 pulg; un peso de 4 lb lo alarga 2 pulg, y un peso de 6 lb alarga el resorte 3 pulg. Es evidente que existe una relación directa entre el alargamiento de un resorte y la fuerza aplicada:

Alargamientos proporcionales de un resorte


El científico inglés Robert Hooke (1635-1703) fue el primero en investigar científicamente las propiedades elásti-cas de diversos materiales como metales, madera, piedra, hueso, etc., midiendo el alargamiento de alambres de longitud apreciable que soportaban pesos en sus extremos, observando que estos cambios de longitud “siempre mantienen las mismas proporciones entre sí de acuerdo con los pesos que los ocasionan”. Así, Hooke esta-bleció la relación lineal entre la carga aplicada y el alargamiento resultante. En términos generales, encontró que una fuerza F que actúa sobre un resorte produce un alargamiento o elongación s que es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza. La ley de Hooke puede escribir-se así: skF = rigidezdemódulokdondeen =

(a) Una partícula de masa está unida a un resom

(b) La partícula se desplaza una distancia don

restitución del resorte y el jalón de un agente ex,s

En algunos textos se indica la ecuación anterior consique la fuerza ejercida por el resorte siempre está dirigsigno menos nos advierte que la dirección de la fuerzción del desplazamiento de la carga La constante de proporcionalidad k varía mucho, de aconstante del resorte o coeficiente de rigidez. Para el c

k =

pgpullb

gpullbk

36

24

12

===

La ley de Hooke no está limitada a resortes en espiralcuerpos elásticos. Para hacer que esta ley sea de aplic

rte

de hay dos fuerzas que actúan sobre ella, la fuerza de terno

derando un signo negativo F = –ks, lo cual significa ida en sentido opuesto al desplazamiento, es decir, el a ejercida por el resorte se opone siempre a la direc-

cuerdo con el tipo de material y recibe el nombre de aso del ejemplo descrito la constante del resorte es:

sF

gullb ∴

gpullbk 2=

; se aplica por igual a las deformaciones de todos los abilidad general, es conveniente definir los términos


esfuerzo y deformación. El esfuerzo se refiere a la causa de una deformación elástica, mientras que de-formación es el efecto, es decir, la deformación misma. 2.3.1.1 Esfuerzo Es la razón de una fuerza aplicada respecto al área sobre la que actúa, por ejemplo en el Sistema Interna-cional se tienen las unidades de newton por metro cuadrado (Pascal) y en el sistema inglés libras por pie cuadrado. 2.3.1.2 Deformación Es el cambio relativo de las dimensiones o formas de un cuerpo como resultado de la aplicación de un esfuerzo. Las tres clases de esfuerzos más comunes y sus deformaciones corresponden a: 1. El esfuerzo de tensión longitudinal, que ocurre cuando fuerzas iguales y opuestas tienden a alejarse una de la otra. 2. El esfuerzo de compresión longitudinal, que ocurre cuando fuerzas iguales y opuestas se dirigen una contra otra. 3. El esfuerzo cortante, que actúa paralelo o tangencial a la superficie del material, y ocurre cuando fuer-zas iguales y opuestas no tienen la misma línea de acción. Los esfuerzos cortantes aparecen de manera indirecta en miembros sujetos a tensión, torsión y flexión. La eficacia de cualquier fuerza que produce un esfuerzo depende en gran medida del área sobre la que se distribuye dicha fuerza. En el caso de esfuerzos de tensión o compresión longitudinales, la deformación puede considerarse como un cambio en longitud por unidad de longitud. Un esfuerzo cortante, por otro lado, puede alterar tan solo la forma del cuerpo, sin cambiar necesariamente sus dimensiones. La defor-mación cortante se suele medir en términos de desplazamiento angular. 2.3.2 Límite de elasticidad o límite elástico Es el esfuerzo máximo que un cuerpo puede resistir sin perder sus propiedades elásticas. Es decir, es el esfuer-zo máximo que un cuerpo puede soportar sin quedar permanentemente deformado. Esto no significa que el cuerpo se rompa en este punto; solo quiere decir que no recobrará su longitud original. Cuando tomamos una liga o un resorte y los estiramos con exageración, no vuelven a su forma original cuando cesa la ten-sión, sino que quedan alargados o deformados permanentemente; esto sucede cuando se sobrepasa el lími-te elástico del cuerpo. Por límite elástico se entiende el punto en que una carga mínima produce una deformación permanente.

AFmLe = siendo:

)(2

2

PascalmNenelásticolímiteLe

menltransversacciónesladeáreaA

NewtonsenmáximafuerzaFm

=

=

=


2.3.3 Ley de Hooke Si no excede el límite elástico de un material, podemos aplicar la ley de Hooke a cualquier deformación elástica que se enuncia de la siguiente manera: Las deformaciones o alargamientos experimentados por un cuerpo, entre los límites de una elasticidad perfecta, son directamente proporcionales a las fuerzas que los producen. Si llamamos módulo de elasticidad a la constante de proporcionalidad, podemos escribir la ley de Hooke en forma general:

unitariandeformaciónormalesfuerzodelasticidadeMódulo = ⇒

εσ

=E

La relación lineal entre el esfuerzo normal (longitudinal) y la deformación unitaria en una barra sometida a tensión o compresión simple se expresa entonces por la ecuación:

unitariandeformacióxdelasticidademóduloEsfuerzo = ⇒ εσ E= La ecuación anterior es conocida como la ley de Hooke para esfuerzos y deformaciones unitarias normales en tensión o compresión simple de una barra, sin embargo es muy limitada para tratar con estados más complicados de esfuerzos, para lo cual se usan ecuaciones (diferenciales) más extensas de la mencionada ley. Para la expresión anterior de la ley de Hooke se tienen las ecuaciones siguientes que definen al esfuerzo longitudinal y a la deformación unitaria.

ÁreaFuerzanormalEsfuerzo = ⇒

AF

=σ

longituddeunidadlongituddeincrementounitarianDeformació = ⇒

Lδε =

En la práctica se tiene que el concreto es muy resistente a la compresión, pero tan débil a la tensión que casi nunca se usa de esta manera, así como el acero estructural que soporta tensiones en las obras de edificación. Ejemplo 2.2: Un alambre de 150 m de longitud y 2.5 mm de diámetro se estira por medio de una fuerza de 500 N, ¿cuál es el esfuerzo longitudinal σ ? Si la longitud después del alargamiento es de 150.125 m, ¿cuál es su deformación unitaria ε ? Determine además el módulo de elasticidad E para el alambre.


Datos: Fórmulas:

F

=σ L 150= m
A
mNF

mmD

125.0500

5.2

===

δ

Lδε =

εσ

=E

Solución: 1) Hallar el área de la sección transversal del alambre: 2rA π=

262

222 109087.4

000,000,119087.4)25.1(1416.3 mx

mmmxmmmmA −===

2) Hallar el esfuerzo longitudinal: AF

=σ

MPaPaxmNx

mxN 8599.101108599.101108599.101

109087.4500 6

26

26 ==== −σ

3) Hallar la deformación unitaria: Lδε =

41033.8150125.0 −== x

mm

ε (adimensional)

4) Hallar el módulo de elasticidad:

εσ

=E

MPax

MPaE 79.280,1221033.8

8599.1014 ==

−

2.3.4 Módulo de elasticidad El módulo de elasticidad se llama a menudo módulo de Young, en honor al científico inglés Thomas Young (1773-1829), que introdujo la idea de módulo de elasticidad con relación a investigaciones de ten-sión y compresión en barras prismáticas (miembros estructurales rectos con sección transversal constante en toda su longitud). El módulo de elasticidad es una propiedad característica de las sustancias sólidas. Conocer su valor nos permitirá calcular la deformación que sufrirá un cuerpo al estar sometido a un esfuerzo.


Cuando en el módulo de elasticidad se sustituyen las ecuaciones de esfuerzo y deformación, se obtiene el llamado módulo de Young (Y) donde:

LL

AF

Y∆

= ⇒ LA

LFY∆

=

Nosotros podemos transformar la nomenclatura de acuerdo con la ecuación de la ley de Hooke, observan-do que: YE = y L∆=δ 2.3.4.1 Módulos de elasticidad o de Young y límites elásticos de algunos materiales

Material Módulo de Elasticidad

(Young)

2mNE = ( ) Pa

Límite elástico

2mNLe = )(Pa

Aluminio en lámina 7 x 1010 1.4 x 108

Acero templado 20 x 1010 5.0 x 108

Latón 9 x 1010 3.8 x 108

Cobre 12.5 x 1010 1.6 x 108

Fierro 21 x 1010 1.7 x 108

Oro 8 x 1010 no se reporta Ejemplo 2.3: Una varilla de fierro de 1.2 m de longitud y de 2.46 cm2 de área de su sección transversal, se suspende del techo. Si soporta una masa de 400 kgm en su extremo inferior, ¿cuál será su alargamiento en mm, considerando que nos encontramos en el nivel del mar? ¿Cuál será el peso máximo que puede resistir sin que exceda su límite elástico? Datos: Fórmulas: Valores de módulos:

L = 1.2 m maF = 2101021

mNxEFierro =

A = 2.46 cm2 mgw = 28107.1

mNxLeFierro =

m = 400 kgm ALFE

δεσ==

=δ ? AELF

=δ


Solución: 1) Trasformar el área a unidades de : 2m

2422

22 1046.2000246.0

000,01146.2 mxm

cmmxcmA −===

2) Calcular la fuerza que soporta la varilla al colgarle el cuerpo de masa igual a : mkg400

mgw =

NxNs

mxkgsmxkgw m

m3

22 10924.3924,3924,381.9400 ====

o también se puede calcular en w kg (en el nivel del mar): cggmw =

kg

sxkgmxkg

smxkg

ggmw

m

m

c400

81.9

81.9400

2

2===

3) Hallar el alargamiento de la varilla en mm: AELF

=δ

mmxmxx

mNx

mxNx 00009115.010115.91046.21021

2.110924.3 5

242

10

3

=== −

−δ

mmcmdmm 09115.0009115.00009115.000009115.0 ====δ

4) Hallar la fuerza máxima que puede soportar la varilla: A

FmLe =

NmxxmNxFm 820,411046.2107.1 24

28 == −

Ejemplo 2.4: Un alambre de acero templado de 3 mm de diámetro soporta un peso de 250 N. a) ¿Qué esfuerzo de tensión soporta? b) ¿Cuál es el peso máximo que puede resistir sin que exceda su límite elástico?


Datos: Fórmulas: Valor del módulo:

Φ = 3 mm ⇒ r = 1.5 mm 2rA π= 28105

mNxLe =

F = 250 N para (a): AF

=σ

σ = ? para (b): A

FmLe =

Fm = ? alambredeldiámetro=Φ Solución: 1) Hallar el área de la sección transversal del alambre: 2rA π=

( ) 2626

222 10068.7

1011068.75.11416.3 mx

mmxmxmmmmA −===

Recordemos que: ( ) 26222 101000,000,1000,11 mmxmmmmm ===

2) Hallar el esfuerzo de tensión al que está sujeto el alambre: AF

=σ

Pax.mNx.

mN.,,

mx.N 6

26

226 1038351038357868437035100687

250====

−σ

o también: 22

2

26 55.360

000,101

81.911038.35

cmkg

cmmx

Nkgx

mNx ==σ

3) Hallar la fuerza máxima (peso) que puede soportar sin exceder el límite elástico: ALeFm =

NNxmxxmNxFm 534,31034.3510068.7105 226

28 === −


2.3.4.2 Módulos de elasticidad y módulos de Poisson

Módulo de elasticidad

E

Módulo de elasticidad

a cortante G

Material

ksi GPa ksi GPa

Módulo de Poisson

v

Acero 28,000-30,000 190-210 10800-11800 75-80 0.27-0.30

Aleaciones de aluminio 10,000-11,400 70-79 3,800-4,300 26-30 0.33 2014-T6 10,600 73 4,000 28 0.33 6061-T6 10,000 70 3,800 26 0.33 7075-T6 10,400 72 3,900 27 0.33 Aluminio (puro) 10,000 70 3,800 26 0.33 Bronce 14,000-17,000 96-120 5,200-6,300 36-44 0.34 Bronce al manganeso 15,000 100 5,600 39 0.34 Cobre (puro) 16,000-18,000 110-120 5,800-6,800 40-47 0.33-0.36 Cobre berilio (duro) 18,000 120 6,800 47 0.33 Concreto (compresión) 0.1-0.2 Baja resistencia 2,600 18 0.1-0.2 Resistencia media 3,600 25 Alta resistencia 4,400 30 Hierro forjado 28,000 190 10,800 75 0.3 Hierro fundido 12,000-25,000 83-170 4,600-10,000 32-69 0.2-0.3 Hierro gris 14,000 97 5,600 39 0.25 Hule 0.1-0.6 0.0007-0.004 0.03-0.2 0.0002-0.001 0.45-0.50 Ladrillo (compresión) 1,500-3,500 10-24 --- --- --- Latón 14,000-16,000 96-110 5,200-6,000 36-41 0.34 Latón naval 15,000 100 5,600 39 0.34 Latón rojo (80% Cu, 20% Zn) 15,000 100 5,600 39 0.34 Madera (flexión): Fresno 1,500-1,600 10-11 Abeto rojo 1,600-1,900 11-13 Roble 1,600-1,800 11-12 Pino del Sur 1,600-2,000 11-14 Magnesio (puro) 6,000 41 2,200 15 0.35 Aleaciones 6,500 45 2,400 17 0.35 Monel (67% Ni, 30% Cu) 25,000 170 9,500 66 0.32 Níquel 30,000 210 11,400 80 0.31 Nylon 300-400 2.1-2.8 0.4 Piedra (compresión): Granito 6,000-10,000 40-70 0.2-0.3 Piedra caliza 3,000-10,000 20-70 0.2-0.3 Mármol 7,000-14,000 50-100 0.2-0.3 Titanio (puro) 15,500 110 5,800 40 0.33 Aleaciones 15,000-17,000 100-120 5,600-6,400 39-44 0.33 Tungsteno 50,000-55,000 340-380 21000-23000 140-160 0.2 Vidrio 7,000-12,000 48-83 2,800-5,000 19-34 0.20-0.27

Referencia: Gere-Timoshenko. Mecánica de Materiales.


En donde: 2000,11gpul

lbksi = y 291011

mNxGPa =

2.4 Esfuerzo normal y deformación unitaria 2.4.1 Esfuerzo normal Como ya mencionamos, los conceptos fundamentales en la mecánica de materiales son el esfuerzo normal y la deformación unitaria, los cuales pueden ejemplificarse si se considera una barra prismática cargada con fuerzas axiales F en los extremos, como se muestra en la figura. Las fuerzas axiales producen un alar-gamiento uniforme de la barra, por lo que decimos que se encuentra a tensión.

F F

Para analizar los esfuun corte imaginario egitudinal de la barra,de la barra a la derecextremo derecho del parte izquierda de la nuo sobre la sección denomina esfuerzo yzo tiene una distriburesultante es igual a partir del cuerpo en edirección opuesta a launa barra prismática

Barra prismática sujeta a tensión

erzos internos de la barra originados por las fuerzas axin la sección mn, figura (a). Esta sección se toma perpe por lo que se conoce como sección transversal. Ensegha del corte como cuerpo libre, figura (b). La carga decuerpo libre; en el otro extremo ocurren fuerzas que rebarra sobre la parte aislada restante. Tales fuerzas se ditransversal. La intensidad de la fuerza, es decir, la fuer se denota comúnmente por la letra griega σ (sigma). Sición uniforme sobre la sección transversal, podemos apla intensidad σ multiplicada por el área de sección tranquilibrio también es evidente que esta resultante debe se carga aplicada F, de donde se obtiene la ecuación para

de sección transversal de forma cualquiera, cargada axia

AF

=σ siendo: σ = esfuerzo

F

ales, se requiere efectuar ndicularmente al eje lon-uida se separa la porción tensión F actúa sobre el presentan la acción de la stribuyen de modo conti-za por unidad de área, se se supone que el esfuer-reciar fácilmente que su sversal A de la barra. A r de igual magnitud y de el esfuerzo uniforme en lmente.


Recordemos que cuando la barra se tensa por las fuerzas F los esfuerzos resultantes se denominan esfuer-zos de tensión; si el sentido de las fuerzas se invierte, lo que ocasiona que la barra se comprima, se origi-nan esfuerzos de compresión. Ejemplo 2.5: Una barra metálica ABC que tiene dos áreas transversales diferentes está cargada por una fuerza axial F (ver figura). Las partes AB y BC son de sección transversal circular con diámetros de 1.75 y 1.25 pulgadas, respectivamente. Si el esfuerzo normal en la parte AB es de 5,000 psi, ¿cuál es el esfuerzo normal BCσ en la parte BC?

Datos: Fórmulas:

Para AB → gpulDAB 75.1=AB

ABAB A

F=σ

Para BC → gpulDBC 25.1= 2ABAB rA π=

psiAB 000,5=σ 2BCBC rA π=

?=BCσ Solución: 1) Hallar las áreas de las secciones transversales de las barras AB y BC:

22

2 405.22

75.11416.3 gpulgpulrA ABAB =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==π

22

2 227.12

25.11416.3 gpulgpulrA BCBC =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== π

2) Hallar la fuerza a partir del esfuerzo conocido ABF ABσ : ABABAB AF σ=

lb,gpul.xgpul

lb,FAB 0251240520005 22 ==

3) Hallar el esfuerzo de la barra BCσ mediante un análisis de esfuerzos en un diagrama de cuerpo libre,

sabiendo que: BCAB FF =


Para la sección la expresión de esfuerzo es: BCBC

BCBC A

F=σ

∴ psigpul

lbgpul

lbBC 326.800,9326.800,9

227.1025,12

22 ===σ

2.4.2 Deformación unitaria Una barra axialmente cargada sufre una variación de longitud: se alarga si está a tensión y se acorta si está a compresión. La variación total en longitud: se denota por la letra griega δ (delta) y se muestra en la figura del tema 2.4.1, para una barra sujeta a tensión. Este alargamiento constituye el resultado acumulati-vo del estiramiento del material sobre la longitud L de la barra. Supongamos que el material es el mismo en cualquier lugar de la barra. Entonces, si se considera la mitad de la misma, esta última sufrirá un alar-gamiento igual a 2δ ; asimismo, al tomar una longitud unitaria de la barra, sufrirá un alargamiento igual a L1 veces el alargamiento total δ . De esta forma, se llega al concepto de alargamiento por unidad de longitud, o deformación unitaria, denotada por la letra griega ε (épsilon) y determinada por la ecuación:

Lδε = (adimensional)

Si la barra está sujeta a tensión la deformación unitaria se denomina deformación unitaria a tensión, y representa un alargamiento relativo del material. Si la barra está sujeta a compresión, la deformación co-rresponde a una deformación unitaria a compresión y la barra se acorta. La deformación unitaria a tensión se toma como positiva y la deformación unitaria a compresión como negativa. Debido a que la deformación unitaria normal ε es el cociente de dos longitudes, constituye una cantidad adimensional, es decir, no posee unidades. Por ello la deformación unitaria se expresa como número ab-soluto, independiente de cualquier sistema de unidades. Los valores numéricos de la deformación unitaria suelen ser muy pequeños, especialmente para materiales estructurales, los cuales por lo general sólo sufren cambios pequeños en sus dimensiones. Por ejemplo, una barra de acero con una longitud de 2.0 m, cuando se carga a tensión, se alarga una cantidad δ igual a 1.4 mm, la deformación unitaria correspondiente es:

43

1070007.00.2104.1 −

−

==== xm

mxLδε

Recordemos que el requerimiento principal es que la deformación de la barra sea uniforme, lo cual a su vez implica que la barra sea prismática, que las cargas actúen en los centroides de las secciones transver-sales y que el material sea homogéneo. Ejemplo 2.6: Un tubo circular de aluminio de longitud L = 20 pulgadas está cargado a compresión por fuerzas F (ver figura). Los diámetros exterior e interior son de 2.4 y 2.0 pulgadas, respectivamente. Se coloca un extensómetro sobre el exterior de la barra para medir deformaciones unitarias normales en la


dirección longitudinal. a) Si la deformación unitaria medida es ¿cuál es el acortamiento ,10570 6−= xεδ de la barra?, b) Si el esfuerzo de compresión en la barra debe ser de 6 ksi, ¿qué valor debe tener la carga F? roExtensómet

glpuL 20=

F F Datos: Fórmulas:

gpulL 20= AF

=σ

gpulD 0.2int = Lδε =

gpulDext 4.2= εσ

=E

a) 610570 −= xε ?=δ

b) 2000,66gpul

lbksic ==σ

?=F Solución: 1) Hallar el acortamiento de la barra: Lεδ = gpulgpulxx 0114.02010570 6 == −δ 2) Hallar los valores de las áreas de las secciones transversales para obtener el área total de la masa del tubo: a) 2rA π=

22

2int 1416.3

20.21416.3 gpulgpulrA nti =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛== π

22

2 524.42

4.21416.3 gpulgpulrA extext =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==π


b) ntiexttotal AAA −= 22 382.1)1416.3524.4( gpulgpulAtotal =−= 3) Calcular el valor de la carga o fuerza: AF σ=

lbgpulxgpul

lbF 292,8382.1000,6 22 ==

2.5 Resistencia (tensión, compresión y torsión). Diagrama esfuerzo-deformación.

Resistencia a la fatiga 2.5.1 Resistencia Los factores que intervienen en una obra de Ingeniería Civil son: funcionalidad, resistencia, apariencia, economía y protección ambiental. Al estudiar Mecánica de materiales el principal interés es la resistencia, es decir, la capacidad del objeto para soportar o trasmitir cargas. Los objetos que deben soportar cargas incluyen edificios, máquinas, reci-pientes, automotores, aviones, barcos, etc., por simplicidad los llamaremos a todos estructuras; entonces, una estructura es cualquier objeto que debe soportar o trasmitir cargas. La resistencia es un término general que se refiere a la capacidad de una estructura para soportar cargas. Por ejemplo, la resistencia a la fluencia (efecto de fluir) de una viga es la magnitud de la carga requerida para causar la fluencia o cedencia en la viga y la resistencia última de una armadura es la carga máxima que puede soportar –esto es, la carga de falla–. Sin embargo, cuando se lleva a cabo una prueba de ten-sión de un material particular, definimos la capacidad de tomar carga por los esfuerzos σ en la probeta (cilindro de metal destinado a ensayos) y no por las cargas totales F que actúan sobre dicha probeta; en consecuencia, la resistencia de un material suele indicarse como un esfuerzo. Sabemos entonces que la capacidad de una estructura para resistir cargas es su resistencia; entonces, el criterio anterior puede expresarse como sigue: la resistencia real o verdadera de una estructura debe exce-der la resistencia requerida. La razón de la resistencia real a la resistencia requerida se llama factor de seguridad n.

requeridaaresistencirealaresistencinseguridaddeFactor =

el factor de seguridad debe ser mayor que 1.0 para que no ocurra falla.


2.5.2 Diagrama esfuerzo-deformación Los siguientes diagramas ilustran el comportamiento de diversos materiales cuando se cargan estáticamen-te a tensión o a compresión. Consideremos ahora qué sucede cuando la carga se retira lentamente y el material se descarga. Supongamos que se aplica una carga a un espécimen (muestra de material) a tensión de tal modo que el esfuerzo y la deformación varían desde O hasta A en la curva esfuerzo-deformación de la siguiente figura (a): Supongamos también que cuando la carga se retira, el material sigue exactamente la misma curva al regre-sar a O. En el tema 2.3.2, indicamos que esta propiedad de un material mediante la cual recupera sus di-mensiones originales al descargarse se llama elasticidad, y se dice que el material es elástico. Notemos que la curva esfuerzo-deformación desde O hasta A no requiere ser lineal para que el material sea elástico.

(a) Comportamiento elástico (b) Comportamiento parcialmente elástico Supongamos ahora que se carga este mismo material a un nivel mucho mayor, de forma tal que se alcanza el punto B del diagrama esfuerzo-deformación de la figura (b). En este caso, cuando ocurre la descarga, el mate-rial sigue la línea BC del diagrama. Esta línea de descarga característica es paralela a la porción inicial de la curva de carga; esto es, la línea BC es paralela a una tangente al diagrama esfuerzo-deformación en el punto O. Cuando se alcanza el punto C, la carga se ha retirado totalmente, pero persiste en el material una deformación residual o deformación permanente OC. El alargamiento residual correspondiente de la barra se denomina alar-gamiento permanente. De la deformación (unitaria) total OD ocasionada durante la carga del material desde O hasta B, la deformación CD se recuperó elásticamente y la deformación OC persiste como deformación perma-nente. Así, durante la descarga la barra recupera parcialmente su forma original; en consecuencia, decimos que el material es parcialmente elástico. Cuando se prueba una barra metálica, la carga se incrementa desde cero hasta algún valor pequeño selec-cionado y luego se retira. Si no existe alargamiento permanente (esto es, si la alteración de la barra regresa a cero) entonces el material es elástico hasta el esfuerzo representado por el valor seleccionado de la car-ga. Este proceso de carga y descarga puede repetirse para valores cada vez mayores de la carga. Finalmen-te, se alcanzará un esfuerzo tal que no se recobre toda la deformación durante la descarga. Mediante este procedimiento es posible determinar el esfuerzo en el límite superior de la región elástica; por ejemplo, puede ser el punto E de las figuras anteriores. Este esfuerzo se conoce como límite elástico del material.


Muchos materiales, incluyendo la mayoría de los metales, tienen regiones lineales al principio de sus dia-gramas esfuerzo-deformación, en donde el límite superior de esta región lineal se define como el límite de proporcionalidad. El límite elástico suele ser ligeramente superior o muy cercano al límite de proporcionalidad. La característica de un material que le permite soportar deformaciones inelásticas superiores al límite elás-tico se conoce como plasticidad. Es así que sobre la curva esfuerzo-deformación de la figura (a) se pre-senta una región elástica seguida de una región plástica. Cuando ocurren grandes deformaciones en un material dúctil cargado en la región plástica, se dice que el material experimenta un flujo plástico. 2.5.3 Elasticidad lineal La mayoría de los materiales estructurales (que forman la estructura de una obra de edificación) tienen una región inicial sobre el diagrama esfuerzo-deformación en la que el material se comporta en forma elástica y lineal. Un ejemplo es la región desde el origen O hasta el límite de proporcionalidad en el punto A sobre la curva esfuerzo-deformación para acero estructural. Cuando un material se comporta elásticamente y también presenta una relación lineal entre el esfuerzo y la deformación, se dice que es linealmente elástico. Sabemos que de acuerdo a la ley de Hooke, la relación lineal entre el esfuerzo y la deformación para una barra sometida a tensión o compresión simple puede expresarse mediante la ecuación:

εσ E= en donde E es conocida como el módulo de elasticidad del material y representa la pendiente geométrica del diagrama esfuerzo-deformación en la región linealmente elástica y su valor depende del material particular que se utilice.

de la ecuación: εσ E= ⇒

L

AF

Eδε

σ==

∴ ALFE

δ=

Dado que el esfuerzo normal σ se determina al dividir la fuerza axial F entre el área de la sección trans-versal A, tendrá unidades de fuerza por área. Cuando se emplean unidades del SI, la fuerza se expresa en newtons (N) y el área en metros cuadrados (m2). Dicha unidad es un pascal, sin embargo, ésta es una uni-dad de esfuerzo muy pequeña y es necesario operar con múltiplos. Para ejemplificar lo anterior hacemos notar que se requieren casi 7,000 Pa para obtener 1.015 psi. Por ejemplo, un esfuerzo de tensión representativo en una barra de acero puede tener una magnitud de 140 Megapascales (140 MPa) que son 140 x 106 Pa. Otras unidades útiles (mencionadas anteriormente) son el kilopascal (kPa) y el Gigapascal (GPa); el primero equivale a 103 Pa y el último a 109 Pa. Cuando se utilizan unidades en el sistema inglés, se acostumbra expresar los esfuerzos en:


2gpullbpsi = o en: 2gpul

kipksi =

siendo: ( )kilolibraokilopoundkiplbkip 11000,11 ==

tenemos entonces: psigpul

lbgpul

kipksi 000,1000,111 22 ===

Por ejemplo, un esfuerzo en una barra puede ser de 20,000 psi o equivalente a 20 ksi. Para que la ecuación de esfuerzo σ = F/A sea válida, el esfuerzo σ debe ser uniformemente distribuido sobre la sección trans-versal (que cruza de un lado a otro) de la barra. Esta condición se cumple si la fuerza axial F actúa en el centroide del área de la sección transversal. Las unidades de E son las mismas que las unidades de esfuer-zo, ya que la deformación es adimensional. Por tanto, las unidades de E son psi o ksi en el sistema inglés y pascales en el sistema internacional. La ecuación de la ley de Hooke εσ E= se aplica únicamente a tensión y compresión simples; para esta-dos de esfuerzo más complicados, se requiere una generalización de la misma ley. Para los cálculos en ingeniería, los esfuerzos y deformaciones a tensión se consideran como positivos, y los esfuerzos y defor-maciones a compresión como negativos. El módulo de elasticidad E tiene valores relativamente grandes para materiales que son muy rígidos (se oponen a la elasticidad) tales como los metales estructurales. El acero tiene un módulo de aproximadamente 30,000 ksi o sea 206.91 GPa; para el aluminio E es aproxima-damente igual a 10,600 ksi o sea 73.11 GPa. 2.5.4 Acero estructural Las propiedades mecánicas de los materiales usuales en ingeniería se determinan mediante pruebas efec-tuadas sobre pequeñas muestras del material. Ellas se realizan en laboratorios de prueba de materiales dotados con equipo capaz de cargar los especímenes de diversas muestras incluso con carga estática o dinámica a tensión y a compresión. Con el fin de que los resultados de las pruebas se comparen fácilmente, el tamaño de las muestras y los métodos de aplicación de las cargas se uniforman. Una de las principales organizaciones de estandariza-ción es la Sociedad Americana de Pruebas y Materiales (ASTM, por sus siglas en inglés: American Socie-ty for Testing and Materials). El concreto se prueba mediante compresión en cada proyecto de construcción importante para verificar que se logran las resistencias requeridas. Las normas ASTM establecen un espécimen para concreto de 6 pulgadas de diámetro y 12 pulgadas de longitud a 28 días de edad. Después de realizar una prueba de tensión o de compresión y de establecer el esfuerzo y la deformación para varias magnitudes de la carga, se puede trazar un diagrama de esfuerzo σ contra deformación unitaria ε. Tal diagrama esfuerzo-deformación es característico del material y proporciona información impor-tante acerca de las propiedades mecánicas y del comportamiento típico del mismo. El primer material que se analiza es el acero estructural, también conocido como acero dulce o acero de bajo carbono, siendo uno de los metales más utilizados en edificios, puentes, torres y muchos otros tipos de construcciones. Un diagrama esfuerzo-deformación representativo del acero estructural a tensión se muestra en la siguiente


figura (fuera de escala). La deformación unitaria ε se representa en el eje horizontal y el esfuerzo σ en el eje vertical. El diagrama empieza con una línea recta desde O hasta A. En esta región, el esfuerzo y la deformación son directamente proporcionales, y se dice que el comportamiento del material es lineal. Después del punto A ya no existe una relación lineal entre el esfuerzo y la deformación, por lo que el es-fuerzo en el punto A se denomina límite de proporcionalidad. Para aceros de bajo carbono este límite se encuentra en el intervalo de 30 a 40 ksi, pero los aceros de alta resistencia (con mayor contenido de carbo-no y otros elementos de aleación) pueden tener límites de proporcionalidad de 80 ksi o más. Al acrecentar la carga más allá del límite de proporcionalidad, la deformación empieza a aumentar más rápidamente para cada incremento de esfuerzo. La curva de esfuerzo-deformación asume luego una pen-diente cada vez más pequeña, hasta que en el punto B la curva se vuelve horizontal. A partir de este punto se presenta un alargamiento considerable, con un incremento prácticamente inapreciable en la fuerza de tensión (desde B hasta C en el diagrama). Este fenómeno se conoce como cedencia o fluencia del mate-rial, y el esfuerzo en el punto B se denomina esfuerzo de cedencia o punto de cedencia (o bien, esfuerzo de fluencia o punto de fluencia). En la región desde B hasta C, el material se vuelve perfectamente plástico, lo que significa que puede deformarse sin un incremento en la carga aplicada. El alargamiento de un espécimen de acero dulce en la región perfectamente plástica es en forma típica 10 a 15 veces mayor que el alargamiento que ocurre entre el inicio de la prueba y el límite de proporcionalidad.

Diagrama esfuerzo-deformación del acero estructural típico en tensión (fuera de escala) Después de sufrir las grandes deformaciones que se presentan durante la fluencia en la región BC, el acero empieza a mostrar un endurecimiento por deformación. Durante este proceso, el material sufre cambios en sus estructuras cristalina y atómica, lo que origina un incremento en la resistencia del material a futuras deformaciones. Por tanto, un alargamiento adicional requiere de un incremento en la carga de tensión, y el diagrama esfuerzo-deformación toma una pendiente positiva desde C hasta D. Finalmente, la carga alcan-za su valor máximo y el esfuerzo correspondiente (en el punto D) se denomina esfuerzo último. De hecho, el alargamiento posterior de la barra se acompaña de una reducción en la carga y finalmente se presenta la fractura en un punto E, tal como se indica en el diagrama. Se presenta una contracción lateral de la muestra cuando se alarga, lo que origina una reducción en el área de la sección transversal. La reducción en el área es muy pequeña como para tener un efecto apreciable en el valor de los esfuerzos calculados antes del punto C, pero más allá de este punto la reducción comienza a


modificar el perfil del diagrama. En la cercanía del esfuerzo último, la disminución del área se aprecia claramente y ocurre un estrechamiento pronunciado de la barra, conocido como estricción.

Estricción

Si para el cálculo del esfuerzo se emplea el área de la sección transversal en la parte estrecha del cuello ocasionado por la estricción, la curva real esfuerzo-deformación seguirá la línea punteada CE’. La carga total F que puede resistir la barra se ve efectivamente disminuida después de que se alcanza el esfuerzo último (curva DE) pero esta disminución se debe al decremento en área de la barra y no a una pérdida de la resistencia misma del material. En realidad, el material soporta un aumento de esfuerzo hasta el punto de falla E. Sin embargo, con fines prácticos la curva esfuerzo-deformación convencional OABCDE, basa-da en el área transversal original de la muestra y que, por lo tanto, se calcula fácilmente, suministra infor-mación satisfactoria para emplearla en el diseño. El acero estructural contiene alrededor de 0.2% de carbono en su aleación y se clasifica como acero de bajo carbono. Conforme se incrementa el contenido de dicho elemento, el acero se vuelve menos dúctil, pero aumenta su esfuerzo de fluencia y su esfuerzo último. Las propiedades físicas del acero también se ven afectadas por tratamientos térmicos y la presencia de otros elementos de aleación, así como por proce-sos de fabricación como el rolado o laminado. La ductilidad de un material a tensión puede caracterizarse por su alargamiento total y por la disminución de área en la sección transversal donde ocurre la fractura. El porcentaje de alargamiento o elongación se define como sigue:

( )100o

of

LLL

gamientoaraldePorcentaje−

=

Donde es la longitud calibrada original y es la distancia entre las marcas de calibración en la frac-tura. Debido a que el alargamiento no es uniforme a lo largo de la longitud de la probeta (espécimen) sino que se concentra en la región donde se presenta la estricción, el porcentaje de alargamiento depende de la longitud calibrada. Por ello, cuando se establece dicho porcentaje también debe indicarse la longitud de calibración. Para acero estructural son comunes valores de 20% a 30%.

oL fL

Ejemplo 2.7: El dispositivo ABC formado por un cable y un puntal (ver figura) soporta una carga vertical F = 12 kN. El cable tiene un área transversal efectiva de 160 mm2 y el puntal tiene un área de 340 mm2. a) Calcule los esfuerzos normales ABσ y BCσ en el cable y puntal, respectivamente, e indique si están en tensión o compresión. b) Si el cable se alarga 1.1 mm, ¿cuál es su deformación unitaria? c) Si el puntal se acorta 0.37 mm, ¿cuál es su deformación unitaria?


(tensión)

F=12 kN

C (compresión)

Datos: Fórmulas:

kNF 12= AF

=σ

2160 mmAC = Lδε =

2340 mmAP =

?=H

θ

1) ?=ABσ m5.1 ?=BCσ

m0.2 2) mmC 1.1=δ 22222 25.6)0.425.2()0.2()5.1( mmmmH =+=+=

?=Cε ∴ mH 5.2=

3) mmP 37.0−=δ °== 87.360.25.1antangθ

?=Pε Solución: 1) Mediante el análisis de fuerzas en el diagrama de cuerpo libre, hallar y : cableF puntalF

∑ = 0yF


0000,12 =−+ NsenFsenF PC θθ

si: PC FF =

NsenFC 000,122 =θ

Nx

Nsen

NFC 000,106.02

000,122

000,12===

θ a tensión

a compresión NFP 000,10=

CF θ B θ PF N000,12

Diagrama de cuerpo libre o diagrama de fuerzas

2) Hallar los esfuerzos normales ABσ (del cable) y BCσ (del puntal):

a) Para el cable: C

C

AB

ABAB A

FAF

==σ

MPa.mm

N.mm

N,AB 562562

16000010

22 ===σ a tensión

b) Para el puntal: P

P

BC

BCBC A

FAF

==σ

MPa.mm

N.mm

N,BC 41294129

34000010

22 ===σ a compresión

3) Hallar la deformación unitaria del cable a tensión: LCδε =

410440004405002

1152

11 −==== x..mm,

mm.m.

mm.Cε a tensión


4) Hallar la deformación unitaria del puntal a compresión: LPδε =

41048100014805002

37052

370 −−=−=−

=−

= x..mm,mm.

m.mm.

Pε a compresión

Ejemplo 2.8: Una estructura simétrica que consiste en tres barras articuladas está cargada por una fuerza F (ver la figura). El ángulo entre las barras inclinadas y la horizontal es α = 50°. La deformación unitaria axial en la barra central es de 0.049 (valor medido). Determine el esfuerzo de tensión en las barras latera-les AD y CD si están hechas con una aleación de aluminio cuyo diagrama esfuerzo-deformación unitaria es el mostrado en la figura.

F

Del diagrama esfuerzo-deformación unitaria, para unobtendrá el valor de ksiBD 5.32=σ

)(ksiσ

029.0=ε

0.05 0.10

ksi5.32=σ

a aleación de aluminio que tiene ε = 0.049 ≅ 0.05 se

ε (adimensional) 0.15 0.20 0.25

40

30

20

10

0


Datos: Fórmula:

??

049.050

===°=

CD

AD

BD

σσεα

Lδε =

Solución: Determinar ADσ y CDσ 1) Considerando que la longitud de la barra BD es , por geometría sabemos que: BDL CDAD LL = BDAD LsenL =°50

BDBDBD

AD LLsen

LL 3054.1766.050

==°

= ecuación (1)

también: BDBDAD LsccLL 3054.150 =°= 2) Si la deformación unitaria de la barra BD es 049.0=BDε , entonces: BDBDBD Lεδ = BDBDBDBD LL 049.0== εδ ecuación (2) 3) La figura siguiente muestra la longitud final de la barra BE:

BDBDBE LLL 049.0+= ecuación (3)

LAB = LBD cot 50° A B

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

LBE = LBD + δBD

50° LAE

LAD = LBD csc 50°

D

LBD

δBD E


4) Calculemos las longitudes y para tener las dimensiones horizontales de separación entre los ABL BCLapoyos o puntos fijos A, B y C.

BCAB LL = haciendo intervenir a tenemos: BDL ecuación (4) BDBDAB LotcLL 8391.050 =°= 5) Para el nuevo triángulo de vértices A, B y E: BDBDBE LL δ+= ecuación (5) BDBDBDBE LLLL 049.1049.0 =+= Aplicando el teorema de Pitágoras:

22 )()( BEABAE LLL += ecuación (6)

BDBDBDBDAE LLLLL 3433.18045.1)049.1()8391.0( 222 ==+= 6) La deformación (o incremento) de la barra AD es: ADAEAD LL −=δ

BD

ecuación

BD

ecuación

BDAD LLL 0379.03054.13433.1)1()6(

=−=4342143421

δ

7) Hallar el esfuerzo unitario de la barra AD: AD

ADAD L

δε =

0290305410379003790 .

L.L.

LL.

BD

BD

AD

BDAD ===ε

8) Del diagrama esfuerzo-deformación unitaria, para 029.0=ADε , tenemos aproximadamente:

ksiCDAD 30≅=σσ Ejemplo 2.9: Una barra de 1.5 m de longitud está hecha de acero estructural cuya curva esfuerzo-deformación unitaria se ve en la figura. El esfuerzo de fluencia del acero es de 250 MPa y la pendiente de la parte inicial lineal de la curva esfuerzo-deformación unitaria (módulo de elasticidad) es de 200 GPa. La


barra se carga axialmente hasta que se alarga 7.5 mm y luego la carga se retira. ¿Qué diferencia hay entre la longitud final de la barra y la longitud de ésta cuando está sujeta al valor máximo en el límite elástico? Datos: Fórmulas:

mL 5.10= εδ L= MPafluencia 250=σ εσ E=

GPaE 200= mmfinal 5.7=δ

?. =− elásticolímfinal LL

)(MPaσ

MPa250 300

Solució

En el lí

En el lí 1) En c

En el lí

es: eε

elε

y el ala

eδ

0.00125ε =

ε

200

100

0

D

n:

mite elástico: elástiL

mite plástico: finalL

ondiciones elásticas

mite elástico para σ

Efluencia

lástico

σ=

200250

==GPaMPa

ástico

rgamiento de la barra

xmlástico 001.05.1=

iagrama esfuerzo-deformación del acero estructural

elásticoco L δ+= 0

finalL δ+= 0

:

MPafluencia 250= , el valor máximo permisible para

00125.0000,000,000,200

000,000,250=

PaPa

(ver la gráfica es

es: elásticoelástico L εδ 0=

mmxmm 875.100125.0500,125 ==

0.002 0.004 0.006

la deformación unitaria

fuerzo-deformación)


hasta este punto al retirar la carga la barra se recupera y regresa a su longitud original. 2) En condiciones plásticas:

Cuando la barra está afectada por el esfuerzo de fluencia: 0L

finalfinal

δε =

00505001

57 .mm,

mm.final ==ε

3) Hallar las longitudes de la barra para el límite elástico y límite final : elásticoL finalL

mmmmmmLL elásticoelástico 875.501,1875.1500,10 =+=+= δ (recupera su longitud)

mmmmmmLL finalfinal 5.507,15.7500,10 =+=+= δ (deformación permanente) 4) Hallar la diferencia de longitudes de la barra: ∴ mmmmmmLL elásticofinal 625.5875.501,15.507,1 =−=−

2.5.5 Resistencia a la fatiga En muchas ocasiones un componente se somete a la aplicación repetida de un esfuerzo inferior al de fluencia del material. Este esfuerzo repetido puede ocurrir como resultado de cargas de rotación, flexión, o aun de vibración. Aunque el esfuerzo sea inferior al punto de fluencia, el metal puede fracturarse después de numerosas aplicaciones del esfuerzo. Este tipo de falla es conocido como fatiga. Los dos resultados más importantes de una serie de ensayos de fatiga son: a) la duración a la fatiga para un esfuerzo en particular, y b) el límite de resistencia a la fatiga para el material. La duración a la fatiga indi-ca cuánto dura un componente cuando un esfuerzo σ se aplica repetidamente al material. Si se va a diseñar una pieza de acero de herramientas que debe soportar 100,000 ciclos durante su vida útil, entonces debe diseñarse de manera que el esfuerzo aplicado sea menor que la carga seleccionada. El límite de resistencia a la fatiga es el esfuerzo por debajo del cual la falla por fatiga nunca ocurre. Para evitar que se rompa una herramienta de acero, se debe asegurar que el esfuerzo aplicado nunca sea mayor que el valor de la carga promedio utilizada. Las fisuras o grietas de fatiga se inician en la superficie del material al que se aplica el esfuerzo, donde los esfuerzos son máximos. Cualquier defecto de diseño o de fabricación en la superficie concentra los es-fuerzos y propicia la formación de una factura por fatiga. Algunas veces se obtienen superficies muy puli-das para minimizar la posibilidad de falla por fatiga. La resistencia a la fatiga se relaciona también con la resistencia del material en la superficie. En muchas alea-ciones ferrosas o a base de hierro, el límite de resistencia a la fatiga es aproximadamente la mitad de la resisten-cia a la tensión del material. Esta relación entre ese límite y la resistencia citada es la relación de fatiga:


5.0≈=tensiónlaaesistenciar

fatigalaaesistenciardelímitefatigadeelaciónR

Si la resistencia a la tensión en la superficie del material se incrementa, también aumenta la resistencia a la fatiga. De modo similar, la temperatura influye en la resistencia a la fatiga, conforme se eleva la resistencia dis-minuye, y por consiguiente, también disminuyen la duración a la fatiga y el límite de resistencia. 2.6 Relación de Poisson ( ν ) Cuando una barra prismática se carga a tensión, el alargamiento axial va acompañado de una contracción lateral (perpendicular a la dirección de la carga aplicada). Esta variación en la forma se muestra en la si-guiente figura, en donde las líneas punteadas representan la forma de la barra antes de la carga y la línea continua indica la forma después de aplicar la carga, si es el diámetro de la barra: d

Alargamiento axial y contracción lateral de una barra en tensión La deformación unitaria lateral es proporcional a la deformación axial en el margen elástico lineal, siem-pre y cuando el material sea homogéneo e isótropo. Un material es homogéneo si tiene la misma compo-sición en todos los puntos del cuerpo; por lo que las propiedades elásticas son las mismas en cualquier punto del cuerpo. Los materiales isótropos tienen las mismas propiedades elásticas en todas direcciones. La razón de la deformación unitaria lateral 'ε a la deformación unitaria axial ε se conoce como relación (razón o módulo) de Poisson y se denota por la letra griega v (nu) entonces:

axialunitariandeformaciólateralunitariandeformació

−=ν ⇒εεν '

−=

de donde:

ενε −='

F dd

lateral∆

='ε F

Para una barra en tensión, la deformación axial representa un aumento en la longitud (deformación posi-tiva) y la deformación lateral representa una reducción en la anchura (deformación negativa). Para com-


presión ocurre el caso contrario, la barra se acorta (deformación axial negativa) y se ensancha (deforma-ción lateral positiva). Por tanto, para materiales ordinarios la relación de Poisson tiene un valor positivo.

Es frecuente expresar la relación de Poisson como el valor absoluto: εεν '

=

La expresión anterior implícitamente considera los signos de las deformaciones descritas anteriormente. La relación de Poisson recibe ese nombre por el matemático francés Siméon Denis Poisson (1781-1840) quien encontró que para materiales isótropos 4

1=ν . Para la mayoría de los metales y muchos otros mate-riales los valores medidos de ν varían entre 0.25 y 0.35. 2.7 Deformación volumétrica ( cambio de volumen ) Ya que las dimensiones de una barra a tensión o a compresión varían cuando se aplica una carga, el volu-men de la barra también cambia. El cambio de volumen se calcula a partir de las deformaciones unitarias axiales y laterales. Consideremos un pequeño elemento de material con dimensiones a, b y c, extraído de una barra isótropa sometida a tensión:

Si: aδε = entonces:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

′=

′==

εδ

εδεδ

c

ba

z

y

x

−=′ ενεsi

Cambio en la forma de un elemento sujeto a tensión La forma original del elemento se indica con líneas punteadas medlados que miden a, b y c en las direcciones yx, y , respectivamz

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

−==

∴

ενδ

ενδεδ

c

ba

z

y

x

iante el paralelepípedo rectangular con ente. El eje x se considera en la direc-


ción longitudinal de la barra, que también se indica en la figura al representar la dirección de los esfuerzos normales σ producidos por las fuerzas axiales. La forma final del elemento se muestra con líneas conti-nuas. El alargamiento del elemento en la dirección de la carga es εa , donde ε es la deformación unitaria axial. Puesto que las deformaciones unitarias laterales son νε− , las dimensiones laterales disminuyen en νεb y en νεc en las direcciones y , respectivamente. y z

En consecuencia, las dimensiones finales del elemento son: )1( ε+a , )1( νε−b y )1( νε−c siendo el volumen original o inicial y el volumen final definido por: cbaV =0 1V )1()1()1(1 νενεε −−+= cbaV )1()1()1()1()1()1( 01 νενεενενεε −−+=−−+= VabcV Al desarrollar la expresión anterior se obtienen términos que contienen ε elevada al cuadrado y al cubo. Como ε es muy pequeña comparada con la unidad, su cuadrado y su cubo son despreciables comparados con la ε misma, por lo que pueden eliminarse de la ecuación. Por lo tanto, el volumen final del elemento es: )1()1()1()1()1( 2

1 νενεενενενεε −−+−=−−+= abcabcV )1( 322222

1 εννενεεεννενε +−−++−−= abcV )21()21( 01 νεενεε −+=−+= VabcV y el cambio de volumen es:

abcabcabcabcVVV −−+=−=∆ νεε 201 )21(01 νε −=−=∆ abcVVV )21(0 νε −=∆ VV (ecuación para cambio de volumen) El cambio de volumen unitario “ e ” se define como el cambio en el volumen dividido entre el volumen original, o sea:

)21()21()21(

0

01 νσνενε

−=−=−

=∆

=−

=EV

VV

VV

VVe

oo

o


es decir:

0

01

VVV

e−

= o )21( νσ−=

Ee o )21( νε −=e

La magnitud e se conoce como deformación volumétrica o expansión. La ecuación anterior puede utilizarse para calcular el incremento de volumen de una barra en tensión, bajo el supuesto de que se conocen la defor-mación unitaria axial ε (o el esfuerzo σ ) y el módulo de Poisson v. Esta ecuación también puede emplearse para compresión, en cuyo caso ε es una deformación negativa y disminuye el volumen de la barra. En la ecuación anterior se puede apreciar que el máximo valor posible de v para materiales comunes es de 0.5, ya que cualquier valor mayor significa que el volumen disminuye cuando el material es tensado, lo que parece físicamente imposible. De la expresión:

)21( νσ−=

Ee

verificamos que el valor máximo de ν es 0.5, ya que el factor 0)11()5.021()21( =−=−=− xν Como ya se indicó, para muchos materiales ν es alrededor de 1/4 o 1/3 en la región elástica lineal, lo que significa que el cambio unitario de volumen está en el margen de 3ε a 2ε . En la región de comporta-miento plástico no ocurre cambio de volumen, por lo que la relación de Poisson puede considerarse como 0.5. Para el caso de tubos la deformación axial se determina mediante la ley de Hooke εσ E= y el alarga-miento total por Lεδ = . La deformación lateral se obtiene de la relación de Poisson νεε −=lateral' , y la reducción del diámetro se define como dd lateral'ε=∆ y finalmente, el cambio de volumen se calcula con la ecuación )21(0 νε −=∆ VV . Ejemplo 2.10: Una barra prismática de sección transversal circular se carga con fuerzas a tensión F = 85 kN. La barra tiene una longitud L = 3 m y un diámetro d = 30 mm. Está hecha de aluminio con un módulo de elasticidad E = 70 GPa y un módulo de Poisson 3

1=ν . Calcular el alargamiento δ , la disminución de diámetro y el incremento de volumen d∆ V∆ de la barra. Datos: Fórmulas:

kNF 85=

dd

E

AF

lateral

axiallateral

'

'

ε

ενε

σε

σ

=∆

−=

=

=

mmmL 000,33 == mmd 30=

MPaGPaE 000,7070 ==

31=ν ?=δ


?=d∆ )21(0 νε −=∆ VV ?=∆V

Solución:

1) El esfuerzo longitudinal a tensión σ en la barra puede obtenerse de la ecuación: AF

=σ

MPam

mmxmm

Nmm

NmmkN 120

1000,000,1

86.706000,85

86.706000,85

4)30(

852

2

222 ====π

σ

Este esfuerzo es menor que el límite de proporcionalidad E, por lo que consideramos que el material se comporta en forma lineal y elástica.

2) La deformación axial se determina mediante la ley de Hooke: Eσε =

00171.070

120==

GPaMPaε (adimensional)

3) El alargamiento total es: Lεδ = mmm 13.5)0.3()00171.0( ==δ 4) La deformación lateral 'ε (disminución del diámetro) se obtiene de la relación de Poisson:

εε

εε

ν ''−=−=−=

axial

lateral

axialndeformaciólateralndeformació

o también: εεν '

=

entonces: ενε ='

00057.0)00171.0(31' ==ε

5) La reducción del diámetro es numéricamente igual al producto de la deformación lateral y el diámetro original: dd 'ε=∆

mmmmd 0171.0)30()00057.0( ==∆


6) Finalmente, el cambio (incremento) de volumen se calcula con la ecuación: )21(0 νε −=∆ VV

3

21

322 73.208,1)1()00171.0()000,3()15( mmmmmmV

inicialvolumen

=−=∆−43421434214444 34444 21νε

π

Puesto que la barra está sujeta a tensión, V∆ representa un incremento de volumen. Ejemplo 2.11: Una barra prismática de sección transversal circular está cargada por fuerzas de tensión F = 120 kN (ver la figura). La barra tiene una longitud L = 3.0 m y un diámetro d = 30 mm. Está hecha de una aleación de aluminio (2014-T6) con módulo de elasticidad E = 73 GPa y razón de Poisson 3

1=ν . Calcule el alargamiento δ , el decremento en diámetro d∆ y el incremento en volumen de la barra. V∆

Observación: Los ejemplos 2.10 y 2.11 son similares, ya que sólo difieren en los valores de las fuerzas de tensión y en los módulos de elasticidad; la diferencia fundamental se encuentra en la forma de presentar el procedimiento y los resultados de ambos problemas. Datos: Fórmulas:

mL 0.3=

)21(

)21(

'

'

0

νε

νε

εεεν

εσ

−=

−=∆

=∆

−=

=

e

VV

dd

E

NkNF 000,120120 == mmd 30=

MPaGPaE 000,7373 ==

31=ν ?=δ

?=∆d ?=∆V


Solución:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

==⇒=

==⇒=

===⇒=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒=

mmmmxL

MPaMPa

E

MPamm

Nmm

NAF

mmmmArA

99.6000,300233.0

00233.0000,73765.169

765.169765.16986.706000,120

86.7062

301416.3

)1( 22

22

2

δεδ

εσε

σσ

π

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

===∆⇒=∆

==⇒=−

−

mmmmxmmxddd

x

0233.0300007766.0)30(10766.7'

10766.700233.0'')2(

4

431

ε

εενε

[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=

−=∆

−=∆

33

2

98.646,1)6666.01(9514.4940

)3333.0(21)00233.0()000,3()86.706(

)21(

)3(

mmmm

mmmmV

LAV νε

2.8 Módulo de elasticidad al cortante (o módulo de rigidez) y deformación

angular En los temas anteriores se analizaron los efectos de esfuerzos normales producidos por fuerzas axiales sobre barras rectas. Ahora consideraremos a un tipo diferente de esfuerzo, conocido como esfuerzo cor-tante, que actúa paralelo o tangencial a la superficie del material. Como ejemplo de una situación práctica en la que se presentan esfuerzos cortantes, consideremos la junta atornillada que se muestra en la figura (a).

Figura (a)


(d) (c) (e) (b)

Perno sometido a cortante doble Esta conexión consiste en una barra plana A, una abrazadera u horquilla C y un perno o tornillo B que pasa a través de barrenos tanto en la barra como en la abrazadera. Bajo la acción de las cargas de tensión , la barra y la abrazadera presionan al perno en aplastamiento y cortante; consideremos una vista lateral de la co-nexión en la figura (b). Un diagrama de cuerpo libre del tornillo se muestra en la figura (c) en donde se indican tales esfuerzos de contacto. La distribución real de estos esfuerzos sobre el perno es difícil de de-terminar, así que por sencillez los esfuerzos se muestran como si su distribución fuese uniforme. Basados en esta suposición, podemos calcular un esfuerzo

F

bσ de aplastamiento promedio (contacto) al dividir la fuerza total entre el área de contacto . bF bA

b

bb A

F=σ

El diagrama de cuerpo libre de la figura (c) muestra que existe una tendencia a que el perno experimente un corte (sea degollado) según las secciones transversales mn y pq. A partir de un diagrama de cuerpo libre de la porción mnpq del perno, en la figura (d), se aprecia que actúan fuerzas cortantes V sobre las superficies cortadas del perno. En este ejemplo particular, cada fuerza cortante V es igual a F/2. Estas fuerzas de corte son las resul-tantes de los esfuerzos cortantes distribuidos sobre las secciones transversales del perno. Los esfuerzos cortan-tes sobre la sección transversal mn se muestran mediante pequeñas flechas en la figura (e). Se desconoce la distribución exacta de estos esfuerzos, pero son más elevados cerca del centro y se vuelven nulos en ciertos lugares de los extremos. Se acostumbra representar a los esfuerzos cortantes por la letra griega τ (tau). El es-fuerzo cortante promedio sobre la sección transversal del perno se determina dividiendo la fuerza cortante total V entre el área A de la sección transversal sobre la que actúa:

AV

prom =τ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

áreaAantecortfuerzaVantetcoresfuerzoτ

En el ejemplo mostrado en las figuras anteriores, la fuerza cortante es V = F/2 y A es el área de la sección transversal del perno. De la ecuación anterior, se observa que los esfuerzos cortantes, al igual que los es-


fuerzos normales, representan intensidad de fuerza, o sea fuerza por unidad de área. Por lo que las unida-des de esfuerzo cortante son las mismas que las de esfuerzo normal, o sea, psi o ksi en unidades del siste-ma inglés y pascales en unidades del sistema internacional. El cortante directo se presenta en el diseño de tornillos, pernos, remaches, cuñas, soldaduras y juntas pe-gadas. Los esfuerzos cortantes también aparecen de manera indirecta en miembros sujetos a tensión, tor-sión y flexión. Un elemento sometido únicamente a esfuerzos cortantes, como se ilustra en la siguiente figura (a), se dice que está sujeto a cortante puro.

(a) (b)

Esfuerzo cortante y deformación angular Los esfuerzos cortantes no tienden a alargar o acortar el elemento, sino que producen un cambio en la forma del elemento. El elemento original, que es un paralelepípedo rectangular, se deforma en un parale-lepípedo oblicuo y las caras anterior y posterior se convierten en romboides (paralelogramo de ángulos y lados iguales de dos en dos). Bajo la acción de estos esfuerzos cortantes el material se deforma, lo que origina deformaciones angula-res o deformaciones por cortante. A fin de visualizar dichas deformaciones, se advierte en primer lugar que los esfuerzos cortantes no tienden a alargar o acortar el elemento en las direcciones yx, y ; es decir, las longitudes de los lados del elemento no varían. En vez de ello, los esfuerzos cortantes provocan un cambio de forma del elemento, como se muestra en la figura (b). El elemento original adquiere la for-ma de un paralelepípedo oblicuo y la cara frontal del elemento se convierte en un romboide. Los ángulos entre caras en los puntos y , que eran rectos (iguales a

z

pqrsq s 2

π ) antes de la deformación, se redu-cen en un pequeño ángulo γ a γπ −2 . Al mismo tiempo, los ángulos en los puntos p y r se incremen-tan a γπ +2 . El ángulo γ es una medida de la distorsión o cambio de forma del elemento y se denomina deformación unitaria cortante (angular). Como la deformación unitaria cortante γ es un ángulo, se mide en grados o en radianes. Las caras orientadas hacia las direcciones positivas de los ejes las denominamos caras positivas del ele-mento, las caras opuestas son negativas. Para el caso de los esfuerzos podemos establecer que: un esfuerzo cortante que actúe sobre una cara positiva de un elemento es positivo si actúa en la dirección positiva de uno de los ejes coordenados y negativo si actúa en la dirección negativa de un eje. Un esfuerzo cortante


que actúe sobre una cara negativa de un elemento es positivo si actúa en la dirección negativa de un eje y negativo si actúa en una dirección positiva. La convención de signo para las deformaciones unitarias cortantes es como sigue: la deformación unitaria cortante en un elemento es positiva cuando el ángulo entre dos caras positivas (o dos caras negativas) se reduce. La deformación unitaria cortante es negativa cuando el ángulo entre dos caras positivas (o dos negativas) se incrementa. Por lo tanto, las deformaciones unitarias cortantes mostradas en la figura (b) son positivas y vemos que los esfuerzos cortantes positivos van acompañados por deformaciones unitarias cortantes positivas. Los diagramas de “τ ” contra “γ ” tienen forma similar a los diagramas para pruebas a tensión (σ contra ε ) para los mismos materiales. La porción inicial del diagrama esfuerzo-deformación a cortante es una línea recta, análoga a la de ten-sión. Para esta región elástica lineal, el esfuerzo cortante y la deformación angular son directamente pro-porcionales y se cuenta con la siguiente ecuación para la ley de Hooke en cortante:

γτ G= donde G es el módulo de elasticidad en cortante (también llamado módulo de rigidez). El módulo cortante G tiene las mismas unidades que el módulo en tensión E, es decir, psi o ksi en unidades inglesas y pascales en el SI. Para el acero dulce el valor característico de G es 11,000 ksi, o sea 75 GPa; para alea-ciones de aluminio, el valor característico es 4,000 ksi o 28 GPa. Los módulos de elasticidad a tensión y cortante (E y G) se relacionan mediante la siguiente ecuación:

)1(2 ν+=

EG

donde ν es el módulo de Poisson: esta relación muestra que E, G y v no constituyen propiedades elásticas independientes del material. Ya que el valor del módulo de Poisson para materiales comunes se encuentra entre cero y un medio ( 2

10 <<ν ) se aprecia de la ecuación anterior que G debe estar entre un tercio y un medio de E ( 23

EE G << ). Ejemplo 2.12: Un perno para un propósito especial con diámetro d = 0.50 pulgadas en el vástago, pasa por un orificio en una placa de acero (ver figura). La cabeza hexagonal del perno se apoya directamente contra la placa de acero. El diámetro del círculo circunscrito para el hexágono es D = 0.80 pulgadas (lo que significa que cada lado del hexágono tiene una longitud de 0.40 pulgadas). El espesor t de la cabeza del perno es de 0.25 pulgadas. Para fines de cálculo, suponga que la fuerza de tensión F en el perno es de

lb000,1 . a) Determine el esfuerzo de aplastamiento promedio bσ entre la cabeza hexagonal del perno y la placa. b) Determine el esfuerzo cortante promedio promτ en la cabeza del perno.


Datos: Fórmulas:

gpuld 50.0= b

bb A

F=σ

gpulD 80.0= S

prom AF

=τ

gpult 25.0=

lbFb 000,1= tdAS π= (superficie en el perno sujeta al

?=bσ esfuerzo cortante) ?=promτ

Solución: 1) El apotema “ ” del hexágono se encuentra mediante trigonometría: a gpula 3464.0=

241568.02

)3464.0()4.0(62

gpulgpulgpulaPAhexágono ===

2) Para el perno tenemos: gpuld 50.0=

22

2 19635.02

50.01416.3 gpulgpulrAperno =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== π

3) El área en contacto con el aplastamiento se obtiene restándole al área total del hexágono el área de la sección transversal del perno: 22 21933.0)19635.041568.0( gpulgpulAAA pernohexágonontoaplastamie =−=−=


4) El esfuerzo de aplastamiento está dado por: b

bb A

F=σ

psigpul

lbgpul

lb 34.559,434.559,421933.0

000,122 ===σ

5) El área cortante en el perno es igual al perímetro de su circunferencia (igual a la del orificio) mul-

tiplicada por el espesor de su cabeza: SA

tdAS π= {

pernodelespesor

orificiodelaligualpernoelenperímetro

s tdA321

π=

23927.0)25.0()50.0(1416.3 gpulgpulgpulAS ==

6) El esfuerzo cortante promedio en la cabeza del perno es: S

bprom A

F=τ

psigpul

lbgpul

lbprom 47.546,247.546,2

3927.0000,1

22 ===τ

2.9 Desarrollo de nuevos materiales y sus aplicaciones Al inicio del presente capítulo, en el tema 2.1, se describieron las principales características de los mate-riales y se estableció su clasificación, por lo que podemos estudiar con base en dichos criterios el análisis de nuevos materiales incluyendo los semiconductores, que deben conocer los ingenieros en su práctica profesional cuando sus actividades se encuentran dirigidas a la construcción, mantenimiento y conserva-ción de edificaciones. 2.9.1 Metales Los metales y las aleaciones suelen dividirse en dos categorías: ferrosos y no ferrosos. Las aleaciones ferrosas están basadas en el hierro como el constituyente principal e incluyen aceros, aceros inoxidables y diversas clases de hierro fundido. En las aleaciones no ferrosas intervienen metales diferentes al hierro. 2.9.1.1 Hierros fundidos Las fundiciones o hierros fundidos son aleaciones hierro-carbono-silicio que por lo general contienen en-tre 2% y 4% de C, y 0.5% y 3% de Si, que experimentan una reacción eutéctica (aleación que se solidifica a temperatura fija, inferior a la de cada uno de sus constituyentes).


2.9.1.2 Aceros de aleación Los elementos de aleación se agregan a los aceros para: (a) proporcionar un endurecimiento por solución sólida de la ferrita, (b) causar la precipitación de carburos de aleación en lugar de carbonatos de fierro, (c) mejorar la resistencia a la corrosión y otras características especiales del acero, y (d) mejorar la templabi-lidad. Esto último es de la mayor importancia en los aceros aleados y para herramientas. Una aplicación importante de los elementos de aleación en los aceros inoxidables es producir mejor resistencia a la corrosión. 2.9.1.3 Aceros inoxidables Se seleccionan por su excelente resistencia a la corrosión. Todos los verdaderos aceros inoxidables contie-nen un mínimo de 12% de cromo, lo que permite la formación de una delgada capa protectora de óxido de cromo cuando el acero se expone al oxígeno. Las aleaciones no ferrosas más importantes son las siguientes: de aluminio, de magnesio, de berilio, de cobre, de níquel y cobalto, y de titanio. Existen metales refractarios, como son: tungsteno, molibdeno, tantalio y niobio (o columbio) que tienen temperaturas de fusión excepcionalmente altas, y en consecuencia, potencialidades para servi-cio a altas temperaturas. 2.9.2 Cerámicas y vidrios Los materiales cerámicos (o cerámicas) que se encuentran unidos por enlaces iónicos o covalentes, son compuestos y soluciones complejas que contienen elementos tanto metálicos como no metálicos. Común-mente los cerámicos son duros, frágiles, con alto punto de fusión y baja conductividad eléctrica y térmica, adecuada estabilidad química y térmica, y alta resistencia a la compresión. Los materiales cerámicos tienen una gran variedad de aplicaciones que van desde la alfarería, fabricación de ladrillos, azulejos, loza y tubos de albañal, hasta materiales refractarios, imanes, artículos para la indus-tria eléctrica y abrasivos. Las losetas que protegen un transbordador espacial son de sílice, un material cerámico. La estructura de los materiales cerámicos puede ser cristalina (tamaño, forma y ordenamiento atómico de la red) o vítrea (de estado rígido) y tienen propiedades mecánicas, eléctricas, magnéticas, tér-micas y ópticas. Prácticamente todas las cerámicas, incluyendo los vidrios, tienen al menos un ordena-miento de corto alcance entre los átomos de la estructura. 2.9.3 Polímeros Los polímeros son moléculas orgánicas gigantes, que tienen pesos moleculares de 10,000 a 1,000,000

molm gg . La polimerización es el proceso por el cual se unen pequeñas moléculas para crear esas molé-culas gigantes. Conforme aumenta el tamaño del polímero se incrementa el punto de fusión o de reblande-cimiento y el polímero se hace más resistente y rígido. Los polímeros son ligeros, resistentes a la corrosión y aislantes eléctricos, pero tienen relativamente baja resistencia a la tensión y no son adecuados para uso a temperaturas altas. Los polímeros se emplean en


innumerables aplicaciones, que incluyen juguetes, artículos para el hogar, artículos estructurales y decora-tivos, recubrimientos, pinturas, adhesivos, neumáticos, empaques y muchas otras. Algunos de los principales polímeros utilizados son: polietileno BD, polietileno AD, polipropileno, polies-tireno, cloruro de polivinilo y elastómeros (cauchos o hules). 2.9.4 Compuestos Los materiales compuestos (o compósitos) se producen cuando dos materiales se unen para dar una combinación de propiedades que no puede ser obtenida en los materiales originales. Estos materiales pueden seleccionarse para proporcionar combinaciones poco usuales de rigidez, resistencia, peso, rendimiento a temperatura alta, resistencia a la corrosión, dureza o conductividad. Los compuestos pueden ser metal-metal, metal-cerámica, metal-polímero, cerámica-cerámica, o polímero-polímero. Los compuestos metal-cerámica, por ejemplo, incluyen las herramientas de corte de carburo cementa-do, el titanio reforzado con fibras de carburo de silicio y el acero esmaltado. Los compuestos pueden clasificarse en tres categorías: a) con partículas, b) con fibras y c) laminares, de-pendiendo de las formas de los materiales. El concreto (mezcla de cemento y agregados) es un compuesto elaborado con partículas (particulado); la fibra de vidrio es un compuesto reforzado con fibras; y la made-ra terciada o triplay, que tiene capas alternadas de madera chapada con veta, es un compuesto laminar. Si las partículas reforzantes se encuentran uniformemente distribuidas, los compuestos particulados tienen propiedades isotrópicas; los compuestos fibrados pueden ser tanto isotrópicos (material en el que las pro-piedades son idénticas en todas las direcciones) como anisotrópicos (material que dependen sus propieda-des de la dirección cristalográfica a lo largo de la cual se miden). Los compuestos laminares tienen siempre un comportamiento anisotrópico. 2.9.4.1 Concreto hidráulico y concreto asfáltico El concreto hidráulico y el concreto asfáltico son compuestos particulados en los cuales un agregado, normal-mente grava y arena, se aglutinan en una matriz de cemento Portland, o bien de bitumen (alquitrán). El concreto (u hormigón) es un material compuesto que está formado por grava (agregado grueso), arena (agregado fino), cemento Portland hidratado, y en la mayoría de los casos, de huecos. El agregado grueso constituye la parte principal del concreto, la arena llena parte de los huecos entre la grava, y el cemento Portland reacciona con el agua unificando todo el material. Las propiedades del concreto resultante de-penden de diversos factores: 1. Relación de agregado grueso, arena y cemento. Una mezcla común contiene cuatro partes en volumen de agregado grueso, dos partes de arena y una de cemento. 2. Relación agua-cemento. El exceso de agua tiende a debilitar el concreto. Puede escapar dejando huecos, y cuando queda atrapada permanece en capilares diminutos. 3. La naturaleza del agregado grueso y de la arena. Aparentemente las propiedades del concreto son mejo-res cuando ambos agregados tienen aristas puntiagudas y no redondeadas.


4. Mezcla y colocación. Cuando se mezcla en exceso o demasiado poco, se obtiene concreto de mala cali-dad. El método de colocación es muy importante: el concreto que se obtiene por vibración suele ser por regla general más fuerte que el concreto que se obtiene por vaciado. 5. Tiempo de curado. La reacción entre cemento y agua se prolonga durante años. Si el concreto no se cura en agua sino a la atmósfera, generalmente se recubre con arena húmeda o sacos para evitar que se evapore la humedad cuando menos durante una semana. Por supuesto, no es necesario tomar esta precaución en los climas tropicales húmedos. Además de su principal aplicación en la edificación de estructuras, el concreto se emplea también para carrete-ras. En este último caso la rigidez del concreto hidráulico no es precisamente una ventaja, y en general se em-plea pavimento de asfalto, por ser más flexible. El pavimento de asfalto, al igual que el concreto y los cermets (materiales compuestos de tipo estructural, constituidos por cerámicos y metálicos, llamados también carbu-ros cementados o metales duros) constan de una matriz (asfalto) y una fase dispersa (agregados pé-treos). El asfalto se forma con hidrocarburos sólidos de alto peso molecular llamados asfaltenos y residuos aceitosos. Es necesario observar que el comportamiento y servicio del pavimento de asfalto también depende del suelo encima del cual se coloque. 2.9.5 Semiconductores Si bien los polímeros son materiales tecnológicamente desarrollados que causan gran impacto en la socie-dad contemporánea, los semiconductores y la electrónica de estado sólido están revolucionando a la tecno-logía. Un grupo relativamente pequeño de elementos y compuestos tienen una propiedad eléctricamente importante, la semiconducción, en la cual ni son buenos conductores eléctricos, ni son buenos aisladores eléctricos. En vez de ello, su capacidad de conducción de electricidad es intermedia. Los semiconductores son sustancias no metálicas que conducen imperfectamente la corriente eléctrica y cuya conductividad aumenta rápidamente con la temperatura.Tres elementos semiconductores, Si (silicio), Ge (germanio) y Sn (estaño) forman la columna IV-A de la tabla periódica de los elementos y son una especie de frontera en-tre los elementos metálicos y no metálicos. El GaAs (arseniuro de galio) se emplea como rectificador para altas temperaturas, y material de cristales de laser; también al CdS (sulfuro de cadmio) se le emplea como material de costo relativamente bajo en las celdas solares, para convertir la energía solar en energía eléc-trica útil. Estos diversos compuestos presentan muchas semejanzas con los compuestos cerámicos. Al agregarles las impurezas adecuadas, algunas de las cerámicas manifiestan comportamiento semiconductor. Por ejemplo, el ZnO (óxido de zinc) se usa mucho como fósforo en las pantallas de TV.

07) CAPITULO 2 -Apuntes de Fisica General - José Pedro Agustin Valera Negrete

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