06 Problemas

1. Los números negativosResolución de problemas aritméticos6

105

ORGANIZA TUS IDEAS

En este tema estudiarás la resolución de varios tipos deproblemas aritméticos que son frecuentes en la vida

cotidiana: los repartos proporcionales, el cálculo del tiempode llenado o vaciado de un depósito, los problemas demezclas y aleaciones y algunos problemas de móviles orelojes.

Un ejemplo que puede utilizarse para mostrar la utilidad deestos problemas es el abono que se emplea para fertilizarla tierra, pues en muchas ocasiones es un compuesto dedos tipos de abono de distinto precio. Calcular el preciomedio por kilo de la mezcla es un problema habitual.

Manejar bien estos problemas te será de gran utilidad pararesolver posteriormente otros más complejos sobre los mis-mos temas.

Por ejemplo, el tiempo que tarda en llenarse una piscina enla que hay varios grifos.

repartos

directamenteproporcionales

inversamenteproporcionales

• grifos• mezclas• aleaciones• móviles• relojes

de

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

1.1. Repartos directamente proporcionalesLos repartos directamente proporcionales consisten en distribuir una can-tidad N en partes que sean directamente proporcionales a unas cantidadesconocidas a, b, c…

Estrategia de resolución

EjemploLa madre de Belén, Rocío y Antonio ha decidido repartir 450 € en partesdirectamente proporcionales al número de horas que sus tres hijos le hanayudado. Belén le ha ayudado durante 3 h; Rocío, durante 5 h, y Antonio,durante 7 h. ¿Qué cantidad de dinero le corresponde a cada uno?

a) Cálculo del dinero que corresponde a una hora:

Dinero que se reparte: 450 €

Horas totales: 3 + 5 + 7 = 15 horas.

A una hora le corresponde: = 30 €

b) Cálculo de las partes:

Belén = 3 · 30 = 90 €

Rocío = 5 · 30 = 150 €

Antonio = 7 · 30 = 210 €

Comprobación: 90 + 150 + 210 = 450 €

45015

a) Se calcula la parte de N que le corresponde a cada unidad del total delas cantidades conocidas a, b, c, es decir:

Nk = —a + b + c

b) Con el valor de la unidad k se calculan los valores de las partes deseadas.

106 BLOQUE I: NÚMEROS Y MEDIDAS

1. Problemas de repartos

Reparte mentalmente 50 bombones, de forma directamente proporcional a 2 y 3

P I E N S A Y C A L C U L A

Nx = a · k

y = b · k

z = c · k

x

y

z

485,7 : 6,8

Carné calculista

1.2. Repartos inversamente proporcionalesLos repartos inversamente proporcionales consisten en distribuir una can-tidad N en partes que sean inversamente proporcionales a unas cantidadesconocidas a, b, c…


EjemploReparte 180 bombones de forma inversamente proporcional a las edadesde Lidia, Ernesto y Rodrigo, que tienen, respectivamente, 3, 4 y 6 años.

a) Se calculan los inversos y se reducen a común denominador:

m.c.m.(3, 4, 6) = 12

=

=

=

b) Se hace el reparto directamente proporcional a 4, 3 y 2:

Bombones totales: 180

Unidades totales: 4 + 3 + 2 = 9

A una unidad le corresponden: = 20 bombones.

Lidia = 4 · 20 = 80 bombones.

Ernesto = 3 · 20 = 60 bombones.

Rodrigo = 2 · 20 = 40 bombones.

Comprobación: 80 + 60 + 40 = 180 bombones.

1809

212

16

312

14

412

13

Para repartir una cantidad N en partes inversamente proporcionales aotras a, b, c, se hace un reparto directamente proporcional a las inversas1/a, 1/b y 1/c. Para ello:

a) Se calcula el inverso de a, b y c, y se reducen a común denominador.

b) Se hace el reparto directamente proporcional a los numeradores.

1076. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ARITMÉTICOS

Reparte 990 de forma directamente proporcionala 7 y 15

Reparte 225 de forma inversamente proporcionala 4 y 5

Reparte 660 de forma directamente proporcionala 6, 10 y 14

Reparte 183 de forma inversamente proporcionala 3, 4 y 7

Sara quiere repartir 580 € de forma directamenteproporcional a las edades de sus sobrinos Óscar,Diego y María, que tienen, respectivamente, 7, 10 y12 años. Calcula la cantidad que le corresponde acada uno.

En un juego se deben repartir 210 puntos de for-ma inversamente proporcional al número de faltasque han cometido sus tres concursantes. Si Anto-nio ha cometido 4; Rubén, 6, y Sara,12, ¿cuántospuntos le corresponden a cada uno?

6

5

4

3

2

1

A P L I C A L A T E O R Í A

2.1. Problemas de grifos sin desagüeEn estos problemas se pide el tiempo que tardan dos grifos, A y B, en llenara la vez un depósito, conociendo el tiempo que tardan en llenarlo por sepa-rado.


Ejemplo

Un grifo A llena un depósito de agua en 2 h, y otro grifo B, en 3 h.¿Cuánto tiempo tardarán los dos grifos en llenar a la vez el depósito?

a) El grifo A llena en una hora del depósito.

El grifo B llena en una hora del depósito.

b) Los dos grifos a la vez llenan en una hora:

+ = = del depósito.

c) Cálculo del tiempo:

El tiempo que tardan es:

1 : = 1 · = de hora = 1,2 h = 1 h 12 min65

65

56

56

3 + 26

13

12

13

12

a) Se calcula la parte del depósito que llena cada grifo en una hora.

b) Se calcula la parte del depósito que llenan a la vez los dos grifos en unahora.

c) Se calcula el tiempo que tardan los dos grifos en llenar a la vez el depó-sito.


2. Problemas de grifos

Un grifo A tarda 3 h en llenar un depósito. ¿Qué fracción del depósito llenará el grifo en unahora?


A B A B

: – · 89

34

45

23

Carné calculista

2.2. Problemas de grifos con desagüeEn estos problemas se pide el tiempo que tardan dos grifos, A y B, en llenar ala vez un depósito, conociendo el tiempo que tardan en llenarlo por separadoy el tiempo que tarda un desagüe en vaciarlo.


Ejemplo

Un grifo A llena un depósito de agua en 4 h, y otro grifo B, en 6 h. Eldepósito tiene un desagüe que lo vacía en 12 h estando los grifos cerrados.¿Cuánto tiempo tardarán los dos grifos en llenar a la vez el depósito estan-do el desagüe abierto?

a) El grifo A llena en una hora del depósito.

El grifo B llena en una hora del depósito.

El desagüe vacía en una hora del depósito.

b) Los dos grifos a la vez, con el desagüe abierto, llenan en una hora:

+ – = = = del depósito.

c) Cálculo del tiempo:

El tiempo que tardan es:

1 : = 1 · 3 = 3 h13

13

412

3 + 2 – 112

112

16

14

112

16

14

a) Se calcula la parte del depósito que llena cada grifo y la que se vacíapor el desagüe en una hora.

b) Se calcula la parte del depósito que llenan los dos grifos a la vez menosla parte que se escapa por el desagüe en una hora.

c) Se calcula el tiempo que tardan los dos grifos en llenar a la vez el depósitoestando el desagüe abierto.


Un grifo A llena un depósito de agua en 3 h, y otrogrifo B, en 1 h. ¿Cuánto tiempo tardarán los dos gri-fos en llenar a la vez el depósito?

Un grifo A llena un depósito de agua en 2 h, y otrogrifo B, en 3 h. El depósito tiene un desagüe que lovacía en 6 h estando los grifos cerrados. ¿Cuántotiempo tardarán los dos grifos en llenar a la vez eldepósito estando el desagüe abierto?

Un grifo A llena un depósito de agua en 2 h; otrogrifo B, en 5 h, y otro C, en 10 h. ¿Cuánto tiempotardarán los tres grifos en llenar a la vez el depó-sito?

Un grifo A llena un depósito de agua en 2 h; otrogrifo B, en 3 h, y otro C, en 4 h. El depósito tieneun desagüe que lo vacía en 12 h estando los grifoscerrados. ¿Cuánto tiempo tardarán los tres grifos enllenar a la vez el depósito estando el desagüeabierto?

10

9

8

7


A B

3.1. Problemas de mezclasEn estos problemas se pide el precio medio al que hay que vender una mezclade varias sustancias, conocidas las cantidades y los precios de cada sustancia.


EjemploSe tienen 20 kg de cacao del tipo A a un precio de 3 € el kilo, y 30 kg decacao del tipo B a un precio de 5 € el kilo. Si se mezclan, ¿qué precio ten-drá el kilo de mezcla?

a)

b) El precio de la mezcla es:

50p = 210 ⇒ p = = 4,2 €/kg21050

Si se mezclan m1 kg de una sustancia A y m2 kg de otra sustancia B,que tienen un precio p1 y p2, respectivamente, se obtiene una mezclade m1 + m2 kg a un precio medio pPara resolver el problema:

a) Se ponen los datos en una tabla como la siguiente:

b) Se calcula el precio medio de la mezcla:

m1 · p1 + m2 · p2 Precio totalp = ——= ——

m1 + m2 Nº total de kilos


3. Problemas de mezclas

Si se mezcla el cacao de dos paquetes de un kilo cada uno, cuyos pre-cios son 5 €/kg y 3 €/kg, ¿a qué precio hay que vender el kilo de lamezcla para no perder ni ganar?


Mezcla

Una mezcla es la unión dedos o más sustancias.

Observa

• La cantidad total de lamezcla es la suma de lascantidades de los compo-nentes:

m1 + m2

• El valor total de la mezclaes la suma de los valorescorrespondientes a cadacomponente:

m1 · p1 + m2 · p2

Cacao A

Masa (kg)

Precio (€/kg)

Dinero (€)

20

3

20 · 3 + 30 · 5 = 50p

Cacao B

30

5

Mezcla

50

p

Sustancia A

Masa (kg)

Precio (€/kg)

Dinero (€)

m1

p1

m1 · p1 + m2 · p2 = (m1 + m2)p

Sustancia B

m2

p2

Mezcla

m1 + m2

p

468,35 : 87

Carné calculista

3.2. Problemas de aleaciones

Ley de la aleación

Ejemplo

En una pieza de 20 gramos, 15 gramos son de oro. ¿Cuál es su ley?

La ley es L = = = 0,75 = 75%

Estrategia de resoluciónEstos problemas se resuelven del mismo modo que los problemas de mezclas,teniendo en cuenta que la ley de la aleación equivale al precio de la mezcla:

L =

Ejemplo

Se tienen 300 gramos de una aleación de plata del tipo A con una ley 0,7y 100 gramos de otra aleación de plata del tipo B con una ley 0,9. Si sefunden las dos aleaciones, ¿cuál es la ley de la nueva aleación?

a)

b) La ley de la aleación es:

400L = 300 ⇒ L = = = 0,75 = 75%34

300400

m1 · L1 + m2 · L2m1 + m2

34

1520

Se llama ley de la aleación a la relación entre el peso del metal fino, esdecir, más valioso, y el peso total.

Una aleación es la mezcla de dos o más metales.


Se tienen 30 kg de un surtido normal de frutossecos a un precio de 12 € el kilo y 50 kg de otrosurtido extra a un precio de 14 € el kilo. Si semezclan los dos surtidos, ¿qué precio tendrá elkilo de mezcla?

Se mezclan 120 litros de un jabón líquido sin acei-te protector de la piel, de 1,5 € el litro, con 80litros de otro jabón líquido con aceite protector,de 2 € el litro. ¿A qué precio se debe vender lamezcla?

Se mezclan 5 litros de colonia con alcohol, de60 € el litro, con 3 litros de colonia sin alcohol,de 80 € el litro.Calcula el precio medio por litro dela mezcla.

Si se funden 15 g de oro puro con 10 g de cobre,¿cuál es la ley de la aleación?

Se tienen un lingote de 500 g de oro A con una ley0,8 y otro de 300 g de oro B con una ley 0,6. Si sealean o se funden los dos lingotes, ¿cuál es la ley dela aleación?

15

14

13

12

11


Plata A

Masa (g)

Ley

Masa de plata (g)

300

0,7

300 · 0,7 + 100 · 0,9 = 400L

Plata B

100

0,9

Mezcla

400

L

4.1. Problemas de móviles en sentido contrarioEstrategia de resolución

EjemploDesde la ciudad A sale un coche hacia B con una velocidad de 90 km/h.En el mismo instante sale de B hacia A una moto a 70 km/h. Si la distan-cia entre las dos ciudades es de 240 km, ¿cuánto tiempo tardarán enencontrarse el coche y la moto?

a) La velocidad es: v = 90 + 70 = 160 km/h

b) El tiempo es: t = = = 1,5 h = 1 h 30 minutos.

4.2. Problemas de móviles en el mismo sentidoEstrategia de resolución

EjemploDesde la ciudad A sale un coche hacia C con una velocidad de 90 km/h.En la misma carretera y en el mismo instante sale de B, que está a 20 kmde A, una moto hacia C, con una velocidad de 80 km/h. ¿Cuánto tiempotardará en alcanzar el coche a la moto?

a) La velocidad es: v = 90 – 80 = 10 km/h

b) El tiempo es: t = = = 2 h2010

ev

Si los dos móviles van en el mismo sentido, la velocidad con la que seacerca uno a otro es la diferencia de las velocidades de los móviles.

a) Se restan las velocidades.

b) Se calcula, con la velocidad hallada, el tiempo:

et = —v

240160

ev

Si los dos móviles van en sentido contrario, la velocidad con la que seacerca uno a otro es la suma de las velocidades de los móviles.

a) Se suman las velocidades.

b) Se calcula el tiempo con la velocidad hallada:

et = —v


4. Problemas de móviles y de relojes

¿Cuánto tiempo tardarán enencontrarse Juan y Diego?


12 km6 km/h

Juan Diego

6 km/h

240 km

90 km/h

70 km/h

A B

20 km

90 km/h

80 km/h

A B C

( – )56

72

35

Carné calculista

4.3. Problemas de relojesLos problemas de relojes consisten en calcular el ángulo que forman las agu-jas de un reloj en una determinada hora. Se debe tener en cuenta que:

• La esfera de un reloj se divide en 12 ángulos centrales de:

= 30°

• Mientras la aguja horaria recorre un ángulo de 30°, el minutero recorre unángulo de 360°; es decir, la razón de estos ángulos es:

=


Ejemplo¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a la una y veinte?

a)

b) El ángulo B = 4 · 30° = 120°

c) El ángulo A = 120° : 12 = 10°

d) El ángulo x = 3 · 30° – 10° = 90° – 10° = 80°

a) Se dibuja un reloj con las agujas en la posición de las horas que se dan,y se marcan los ángulos.

b) Sobre el dibujo se calcula el ángulo B que ha recorrido el minutero.

c) Se calcula el ángulo A recorrido por la aguja horaria, teniendo en cuen-ta que A = B : 12

d) Sobre el dibujo se calcula el ángulo pedido.

112

30°360°

360°12


Desde la ciudad A sale una moto hacia B con unavelocidad de 50 km/h.A la misma hora sale de Bhacia A otra moto a 70 km/h. Si la distancia entrelas dos ciudades es de 840 km, ¿cuánto tiempo tar-darán en encontrarse?

Un coche sale de A y, al mismo tiempo, otro salede B; ambos van hacia el sur por la misma carrete-ra, con velocidades de 100 km/h y 90 km/h, res-pectivamente. Si B está hacia el sur a una distanciade 60 km de A, ¿cuánto tardará el coche que salede A en alcanzar al coche que sale de B?

¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las dosy media?

18

17

16


121

2

11

10

6

9

8

7

4

5

3 x°

A°

B°

121

2

11

10

6

9

8

7

4

5

3

121

230°

11

10

6

9

8

7

4

5

3

30°360°

121

2

11

10

6

9

8

7

4

5

3

121

2

11

10

6

9

8

7

4

5

3


1. Problemas de repartos

Reparte 15 000 de forma directamente propor-cional a 2, 3 y 5

Reparte 1 500 de forma inversamente propor-cional a 4, 6 y 12

Reparte 1 080 de forma directamente propor-cional a 13, 19 y 22

Reparte 2 125 de forma inversamente propor-cional a 6, 8 y 16

Una empresaria reparte 3 000 € entre tres tra-bajadores de forma directamente proporcionalal tiempo que llevan trabajando. ¿Cuánto lecorresponderá a cada uno si llevan 12, 8 y 5años?

Se deben repartir 220 € de forma inversamen-te proporcional al lugar en el que quedan lostres primeros clasificados de una carrera. Cal-cula el dinero que le corresponde a cada uno.

2. Problemas de grifos

Un grifo A llena un depósito de agua en 8 h, yotro grifo B, en 12 h. ¿Cuánto tiempo tardaránlos dos grifos en llenar a la vez el depósito?

Un estanque tiene dos desagües que lo vacíanen 60 h y 40 h. Si se abren los dos desagües a lavez, ¿cuánto tiempo tardará en vaciarse elestanque?

Un grifo A llena un depósito de agua en 12 h;otro grifo B, en 6 h, y otro C, en 4 h. El depósitotiene un desagüe que lo vacía en 10 h estandolos grifos cerrados. ¿Cuánto tiempo tardaránlos tres grifos en llenar a la vez el depósitoestando el desagüe abierto?

Un depósito tiene tres grifos que vierten 1440 li-tros en 2 h, 1 620 litros en 3 h y 2 100 litros en5 h. Si el depósito tiene una capacidad de10 080 litros, ¿cuánto tiempo tardarán los tresgrifos en llenar a la vez el depósito?

3. Problemas de mezclas

Se tienen 300 kg de arroz extra de 1,6 € el kiloy 200 kg de arroz normal de 0,7 € el kilo. Si semezclan los dos tipos de arroz, ¿qué preciotendrá el kilo de mezcla?

Se desean mezclar 60 kg de café naturalde 7,4 € el kilo, con 90 kg de café torrefacto de6,8 € el kilo. ¿Cuál será el precio del kilo de lamezcla?

Se mezclan 100 kg de trigo a un precio de0,15 € el kilo, con 50 kg de cebada de 0,12 € elkilo. ¿Cuál es el precio de la mezcla?

Si una cadena de 40 g tiene 32 g de oro puro,¿cuál es su ley?

Una pieza de plata de ley 0,65 contiene 13 g deplata pura. ¿Cuánto pesa la pieza?

Se funden 15 g de plata A de ley 0,8 con 35 g deplata B de ley 0,7. Calcula la ley de la aleación.

4. Problemas de móviles y de relojes

A la misma hora, Juan y Luis salen de dos pue-blos distantes entre sí 21 km, y van el uno haciael otro. La velocidad de Juan es de 8 km/h, y lade Luis, de 6 km/h. ¿Cuánto tiempo tardarán enencontrarse?

Dos coches salen a la vez desde un pueblo A ydesde un pueblo B hacia el oeste por la mismacarretera, con velocidades de 105 km/h y95 km/h, respectivamente. Si B está hacia eloeste a una distancia de 40 km de A, ¿cuántotiempo tardará en alcanzar el coche que saledesde A al que ha salido de B?

Calcula el ángulo que forman las agujas de unreloj a las seis y veinte.

¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a lastres menos cuarto?

38

37

40 km

95 km/h 105 km/h

B A

36

21 km

8 km/h

Juan Luis

6 km/h

35

34

33

32

31

30

29

28

27

26

25

24

23

22

21

20

19

Ejercicios y problemas


Tres agricultores transportan sus cosechas detrigo en camiones que pagan entre los tresde forma directamente proporcional al trigoque envía cada uno. Los agricultores envían120, 230 y 250 sacos. Si el transporte cuesta1 800 €, ¿cuánto pagará cada uno?

Un empresario reparte 9 360 € de formainversamente proporcional a los salarios queperciben tres obreros. Si los salarios son720 €, 900 € y 1 200 €, ¿cuánto le correspon-derá a cada uno?

Un grifo vierte 6 litros por minuto, y otro grifo,8 litros por minuto. Se abren a la vez para lle-nar un depósito que tiene un desagüe por elque se pierden 4 litros por minuto. Si el depósi-to tiene una capacidad de 4 800 litros, ¿cuántotiempo tardará en llenarse?

Un depósito tiene dos grifos que vierten 45litros cada 5 minutos, y 96 litros en 8 minutos,respectivamente. Se abren los dos grifos a lavez para llenar el depósito, que tiene una capa-cidad de 546 litros. Calcula el tiempo que tar-dará en llenarse.

Un depósito tiene un grifo que vierte 720 litrospor hora, y un desagüe por el que pierde 480litros por hora. Si con el grifo y el desagüeabiertos se ha llenado el depósito en 5 horas,¿cuál es la capacidad del depósito?

Se tienen 40 litros de un licor A de 12 grados,que se mezclan con 60 litros de otro licor Bsimilar de 15 grados. Calcula la graduaciónmedia de la mezcla.

Se desean vender mezcladas 60 kg de manzanasGranny de 1,7 € el kilo y 20 kg de manza-nas Golden de 1,9 € el kilo. ¿Cuál debe ser elprecio medio del kilo para no perder ni ganar?

Se mezclan 400 litros de aceite de oliva purode 2,4 € el litro con 600 litros de oliva virgenextra de 3 € el litro. Calcula el precio de lamezcla.

Calcula la ley de un anillo de oro de 20 g en elque hay 18 g de oro puro.

Una chapa de 15 g de plata tiene una ley de 0,6.¿Cuántos gramos de plata pura tiene la chapa?

Una pieza de oro de ley 0,7 contiene 14 g deoro puro. ¿Cuánto pesa la pieza?

Se funden 20 g de plata A de ley 0,6 con 30 g deplata B de ley 0,9. Calcula la ley de la aleación.

Un coche y una moto salen de dos ciudades alas 9 de la mañana el uno hacia el otro por lamisma carretera. La velocidad del coche es de100 km/h y la de la moto es de 80 km/h. Si ladistancia entre las ciudades es de 540 km, ¿aqué hora se encontrarán?

A las 10 de la mañana dos motocicletas salende A y B en dirección norte; B está a 60 kmhacia el norte de A. Si la velocidad de la moto-cicleta que sale de A es de 40 km/h y la veloci-dad de la que sale de B es de 25 km/h, ¿a quéhora alcanzará la motocicleta que sale de A a lamotocicleta que sale de B?

¿Qué ángulo forman las manecillas de un reloj alas cinco menos diez?

121

2

11

10

6

9

8

7

4

5

3

121

2

11

10

6

9

8

7

4

5

3

53

52

51

50

49

48

47

46

45

44

43

42

41

40

39

Ejercicios y problemasPara ampliar


Tres ganaderos alquilan unos pastos para susovejas por 3 900 €. Si el primero lleva 80 ove-jas; el segundo, 60, y el tercero, 55, ¿cuántodebe pagar cada uno?

Para transportar una mercancía a 1 530 km,tres transportistas deciden repartirse la distan-cia de forma inversamente proporcional alnúmero de años de antigüedad que tienen suscamiones. Si éstos tienen 2 años, 3 años y9 años, respectivamente, ¿qué distancia recorrecada uno?

Se reparte una cantidad de dinero entre treshermanos, Luis, María y Santiago, de formadirectamente proporcional a 4, 6 y 8 años, res-pectivamente. Si a María le corresponden1 980 €, calcula qué cantidad se reparte y cuán-to les corresponde a Luis y a Santiago.

Un estanque tiene dos grifos que vierten 780litros en una hora y 540 litros en una hora. Elestanque tiene un desagüe por el que se pier-den 400 litros en una hora. Si se ha tardado enllenar el estanque 3 h con los dos grifos y eldesagüe abiertos, ¿cuál es la capacidad delestanque?

Un depósito se llena en 5 h con un grifo A, y en3 horas con otro grifo B. Si se deja abierto unahora el grifo A y después se abren los dos a lavez, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse eldepósito?

Se desea obtener un abono mezclando 1 000 kgde un tipo de abono A que cuesta 0,4 € el kilo,con 1 500 kg de otro tipo de abono B quecuesta a 0,3 € el kilo. Calcula el precio de lamezcla.

Se quiere hacer una mezcla con 20 kg de frutossecos normales de 17 € el kilo y 60 kg de fru-tos secos extra de 20 € el kilo. ¿Cuál será elprecio de la mezcla?

Se funden 1,6 kg de cobre con 6,4 kg de oro.Halla la ley de la aleación.

Una cadena de plata de 200 g contiene 20 g decobre. ¿Cuál es la ley de la cadena?

Se funden 24 g de oro A de ley 0,8 con 16 g deoro B de ley 0,6. Calcula la ley de la aleación.

Ernesto y María salen de dos pueblos distantesentre sí 28,5 km el uno hacia el otro. Ernestosale a las 8 de la mañana a una velocidad de6 km/h y María sale dos horas más tarde a unavelocidad de 5 km/h. ¿A qué hora se encon-trarán?

Un coche sale de A a las 8 de la mañana conuna velocidad de 90 km/h. Dos horas más tardesale otro coche de la misma ciudad, por la mis-ma carretera, a una velocidad de 120 km/h.¿A qué hora alcanzará el segundo coche al pri-mero?

Para profundizar

Se ha repartido un número en partes inversa-mente proporcionales a 3, 5 y 7. Calcula elnúmero si a 5 le corresponde 84

Tres familiares deciden reunir su cosecha parafundar una cooperativa. El primero recolectó4,8 toneladas; el segundo, 7,5 toneladas; y eltercero, 8,2 toneladas. Si la cooperativa les pro-porciona un beneficio de 23 985 €, ¿cuánto lecorresponde a cada uno?

Un grifo A llena un depósito de agua en 4 h, yotro grifo B, en 6 h. El depósito tiene un desa-güe que lo vacía en 2 h estando los grifoscerrados. ¿Cuánto tiempo tardarán los dos gri-fos en llenar a la vez el depósito estando eldesagüe abierto? Interpreta el resultado.(Advertencia: los datos no están mal.)

¿A qué hora después de las doce forman porprimera vez un ángulo de 180° las manecillasde un reloj?

69

68

67

66

65

64

63

62

61

60

59

58

57

56

55

54

Ejercicios y problemasProblemas


QuilateUn quilate es 1/24 en peso de oro puro que contiene cualquier aleación de este metal.

18 quilates equivalen a una ley de = 0,75

24 quilates equivalen a una ley de = 1. Es el oro puro.

EjemploUn anillo de 18 quilates que pesa 20 g tiene:

de 20 g ⇒ · 20 = 15 g de oro puro.

Una pieza de oro de 14 quilates pesa 12 g. ¿Qué cantidad de oro puro contiene?

Una cadena de oro de 18 quilates tiene 60 g de oro puro. ¿Cuánto pesa?

Se funden 30 g de oro de 18 quilates con 20 g de oro de 15 quilates. Calcula la ley de la aleación.72

71

70

1824

1824

2424

1824

Aplica tus competencias

Indica cómo se calcula el tiempo que tardan dos grifos en llenar a la vez un depósito sindesagüe. Pon un ejemplo.

Meli, Ismael y Ana han jugado a la lotería, y han puesto 20 €, 30 € y 40 €, respectivamente. Si les tocaun premio de 1 350 €, ¿cuánto le corresponderá a cada uno?

Se deben repartir 220 € de forma inversamente proporcional al lugar en el que quedan los tres pri-meros clasificados de una carrera. Calcula el dinero que le corresponde a cada uno.

Un grifo A llena un depósito de agua en 3 h y otro grifo B lo llena en 4 h. El depósito tiene un desa-güe que lo vacía en 6 h estando los grifos cerrados. ¿Cuánto tiempo tardarán los dos grifos en llenar ala vez el depósito estando el desagüe abierto?

Se dispone de 30 kg de almendras largueta de 6 € el kilo, y de 20 kg de almendras marcona de 8 €el kilo. Si se mezclan para su venta, ¿cuál debe ser el precio del kilo de la mezcla?

Una cadena de plata de 200 g contiene 20 g de cobre. ¿Cuál es la ley de la cadena?

Sonia corre a una velocidad de 8 m/s, y Patricia, a 6 m/s. Si Patricia va delante, a una distancia de12 m de Sonia, ¿cuánto tiempo tardará Sonia en alcanzar a Patricia?

¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las nueve y cuarto?8

7

6

5

4

3

2

1

Comprueba lo que sabes


La madre de Belén, Rocío y Antonio ha deci-dido repartir 450 € en partes directamenteproporcionales al número de horas que sustres hijos le han ayudado. Belén le ha ayuda-do durante 3 h; Rocío, durante 5 h; y Anto-nio, durante 7 h. ¿Qué cantidad de dinero lecorresponde a cada uno?

Solución:

a) Una lista de valores, en Wiris, se introduceentre corchetes [3, 5, 7]

b) Pulsa Calcular

Un grifo A llena un depósito de agua en 4 h,y otro grifo B, en 6 h. El depósito tiene undesagüe que lo vacía en 12 h estando los gri-fos cerrados. ¿Cuánto tiempo tardarán los dosgrifos en llenar a la vez el depósito estando eldesagüe abierto?

Solución:

Uno de los números se termina en punto paraque el resultado aparezca como decimal.

Se tienen 20 kg de cacao del tipo A a un pre-cio de 3 € el kilo, y 30 kg de cacao del tipo Ba un precio de 5 € el kilo. Si se mezclan, ¿quéprecio tendrá el kilo de mezcla?

Solución:

a) Para escribir la ecuación en ,elige

b) Calcular

Desde la ciudad A sale un coche hacia B conuna velocidad de 90 km/h. En el mismo ins-tante sale de B hacia A una moto a 70 km/h.Si la distancia entre las dos ciudades es de240 km, ¿cuánto tiempo tardarán en encon-trarse?

Solución:

El número 240 del numerador termina enpunto para que el resultado aparezca comodecimal.

Internet. Abre: www.editorial-bruno.es yelige Matemáticas, curso y tema.

77

240 km

90 km/h 70 km/h

A B

76

75

74

73

Paso a paso



Linux/Windows

Plantea los siguientes problemas y resuélvelos conayuda de Wiris:

Sara quiere repartir 580 € de forma directa-mente proporcional a las edades de sus so-brinos Óscar, Diego y María, que tienen,respectivamente, 7, 10 y 12 años. Calcula lacantidad que le corresponde a cada uno.

Reparte 180 bombones de forma inversa-mente proporcional a las edades de Lidia,Ernesto y Rodrigo, que tienen, respectiva-mente, 3, 4 y 6 años.

Un grifo A llena un depósito de agua en 2 h,y otro grifo B, en 3 h. ¿Cuánto tiempo tar-darán los dos grifos en llenar a la vez el de-pósito?

Un grifo A llena un depósito de agua en 2 h,y otro grifo B, en 3 h. El depósito tiene undesagüe que lo vacía en 6 h estando los grifoscerrados. ¿Cuánto tiempo tardarán los dosgrifos en llenar a la vez el depósito estando eldesagüe abierto?

Se tienen 30 kg de un surtido normal de fru-tos secos a un precio de 12 € el kilo y 50 kgde otro surtido extra a un precio de 14 € elkilo. Si se mezclan los dos surtidos, ¿qué pre-cio tendrá el kilo de mezcla?

En una pieza de 20 gramos, 15 gramos son deoro. ¿Cuál es su ley?

Se tienen 300 gramos de una aleación de pla-ta del tipo A con una ley 0,7 y 100 gramos deotra aleación de plata del tipo B con una ley0,9. Si se funden las dos aleaciones, ¿cuál es laley de la nueva aleación?

Desde la ciudad A sale una moto hacia B conuna velocidad de 50 km/h. A la misma horasale de B hacia A otra moto a 70 km/h. Si ladistancia entre las dos ciudades es de 840 km,¿cuánto tiempo tardarán en encontrarse?

Desde la ciudad A sale un coche hacia C conuna velocidad de 90 km/h. En la misma carre-tera y en el mismo instante sale de B, que estáa 20 km de A, una moto hacia C, con unavelocidad de 80 km/h. ¿Cuánto tiempo tarda-rá en alcanzar el coche a la moto?

¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj ala una y veinte?

121

2

11

10

6

9

8

7

4

5

3 x°

A°

B°

121

2

11

10

6

9

8

7

4

5

3

87

86

85

84

83

82

81

A B

80

79

78

Así funcionaListaUna lista de valores, en Wiris, se introduce entre corchetes [3, 5, 7]. Si un número multiplica a una listade valores, el número multiplica a cada uno de los valores.

30 · [3, 5, 7] = [90, 150, 210]

Resultados con decimalesEn Wiris, para obtener un resultado con decimales, es suficiente con añadir un punto de decimal al finala cada uno de los números de la operación.

Practica


Plantea los siguientes problemas y resuélvelos conayuda de DERIVE:

La madre de Belén, Rocío y Antonio ha deci-dido repartir 450 € en partes directamenteproporcionales al número de horas que sustres hijos le han ayudado. Belén le ha ayuda-do durante 3 h; Rocío, durante 5 h; y Anto-nio, durante 7 h. ¿Qué cantidad de dinero lecorresponde a cada uno?

Solución:Planteamiento:

k =

En la Entrada de Expresiones escribe:

450/(3 + 5 + 7) [3, 5, 7]

Elige Introducir y Aproximar[90, 150, 210]

Le corresponde a cada uno:

Belén: 90 €

Rocío: 150 €

Antonio: 210 €

Un grifo A llena un depósito de agua en 4 h,y otro grifo B, en 6 h. El depósito tiene undesagüe que lo vacía en 12 h estando los gri-fos cerrados. ¿Cuánto tiempo tardarán los dosgrifos en llenar a la vez el depósito estando eldesagüe abierto?


Tiempo: 1 : ( + – )En la Entrada de Expresiones escribe:

1/(1/4 + 1/6 – 1/12)

Elige Introducir y Aproximar3

Tardan 3 horas.

Se tienen 20 kg de cacao del tipo A a un pre-cio de 3 € el kilo, y 30 kg de cacao del tipo Ba un precio de 5 € el kilo. Si se mezclan, ¿quéprecio tendrá el kilo de mezcla?


20 · 3 + 30 · 5 = (20 + 30)p


20 * 3 + 30 * 5 = (20 + 30)p

Elige Introducir y Aproximar4.2

El precio de la mezcla es 4,20 €/kg

Desde la ciudad A sale un coche hacia B conuna velocidad de 90 km/h. En el mismo ins-tante sale de B hacia A una moto a 70 km/h.Si la distancia entre las dos ciudades es de240 km, ¿cuánto tiempo tardarán en encon-trarse?


t =


240/(90 + 70)

Elige Introducir y Aproximar1.5

El tiempo que tardan en encontrarse es:

1,5 h = 1 h 30 min

Internet. Abre: www.editorial-bruno.es yelige Matemáticas, curso y tema.

77

24090 + 70

240 km

90 km/h 70 km/h

A B

76

75

112

16

14

74

4503 + 5 + 7

73

Paso a paso

Ajusta la configuración: en la barra de menú elige Opciones/Ajustes de Modo…/Simplificación/Restablecer

6. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ARITMÉTICOS6. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ARITMÉTICOS6. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ARITMÉTICOS


Plantea los siguientes problemas y resuélvelos conayuda de DERIVE:

Sara quiere repartir 580 € de forma directa-mente proporcional a las edades de sus so-brinos Óscar, Diego y María, que tienen,respectivamente, 7, 10 y 12 años. Calcula lacantidad que le corresponde a cada uno.

Reparte 180 bombones de forma inversa-mente proporcional a las edades de Lidia,Ernesto y Rodrigo, que tienen, respectiva-mente, 3, 4 y 6 años.

Un grifo A llena un depósito de agua en 2 h,y otro grifo B, en 3 h. ¿Cuánto tiempo tar-darán los dos grifos en llenar a la vez el de-pósito?

Un grifo A llena un depósito de agua en 2 h,y otro grifo B, en 3 h. El depósito tiene undesagüe que lo vacía en 6 h estando los grifoscerrados. ¿Cuánto tiempo tardarán los dosgrifos en llenar a la vez el depósito estando eldesagüe abierto?

Se tienen 30 kg de un surtido normal de fru-tos secos a un precio de 12 € el kilo y 50 kgde otro surtido extra a un precio de 14 € elkilo. Si se mezclan los dos surtidos, ¿qué pre-cio tendrá el kilo de mezcla?

En una pieza de 20 gramos, 15 gramos son deoro. ¿Cuál es su ley?

Se tienen 300 gramos de una aleación de pla-ta del tipo A con una ley 0,7 y 100 gramos deotra aleación de plata del tipo B con una ley0,9. Si se funden las dos aleaciones, ¿cuál es laley de la nueva aleación?

Desde la ciudad A sale una moto hacia B conuna velocidad de 50 km/h. A la misma horasale de B hacia A otra moto a 70 km/h. Si ladistancia entre las dos ciudades es de 840 km,¿cuánto tiempo tardarán en encontrarse?

Desde la ciudad A sale un coche hacia C conuna velocidad de 90 km/h. En la misma carre-tera y en el mismo instante sale de B, que estáa 20 km de A, una moto hacia C, con unavelocidad de 80 km/h. ¿Cuánto tiempo tarda-rá en alcanzar el coche a la moto?

¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj ala una y veinte?

87

86

85

84

83

82

81

A B

80

79

78

Así funciona

Barra de entrada de expresiones

En ella se escriben las expresiones; luego se elige Introducir y Aproximar

Practica

Windows Derive Windows Derive Windows Derive

121

2

11

10

6

9

8

7

4

5

3 x°

A°

B°

121

2

11

10

6

9

8

7

4

5

3


Ordena de menor a mayor los siguientesnúmeros:

6800, – 5200, 5200, – 6800

a) – 6800 < – 5200 < 5200 < 6800

b) – 5200 < 5200 < – 6800 < 6800

c) 6800 < 5200 < – 5200 < – 6800

d) 6800 < – 6800 < 5200 < – 5200

Durante un paseo por el campo, Pedro con-sume 1/4 del agua de su cantimplora; Ana,los 2/5, y, María, 1/3. Ordena de menor amayor el consumo de agua.

a) María < Ana < Pedro

b) Pedro < Ana < María

c) Pedro < María < Ana

d) Ana < Pedro < María

La descomposición en factores primos de 230es:

a) 2 · 5 · 23

b) 4 · 23

c) 10 · 23

d) 5 · 46

El resultado de la operación

2 – 3 – 7 + 4

es:

a) 4 b) – 4

c) – 2 d) 12

¿Qué operación da como resultado un núme-ro mayor que 50?

a) 25 · 0,5 b) 25 · 0,2

c) 50 · 0,0 d) 50 · 1,3

El resultado de la expresión

es:

a) (– 2)2 b) (– 2)6

c) (– 2)7 d) (– 2)8

El 2% de 5 800 es:

a) 58

b) 116

c) 580

d) 1160

¿Qué parte de todas las canicas de la caja sonnegras?

a) b)

c) d)

Un pastel de 2 kg se dividió en partes iguales.Tres de las partes pesan 600 g. ¿En cuántaspartes iguales se dividió el pastel?

a) 24

b) 12

c) 10

d) 6

Cierta mañana la temperatura era de 20 °C.Al mediodía se registró un aumento de 2 °C,más tarde bajó 3 °C y, por la noche, volvió abajar 4 °C. ¿Qué expresión nos permite cal-cular la temperatura final?

a) 20 + 2 + 3 + 4

b) 20 – 2 – 3 – 4

c) 20 – 2 + 3 + 4

d) 20 + 2 – 3 – 4

Si la paridad libra esterlina (£) / euro (€) fue-ra 1 £ = 1,20 €, ¿cuántos euros podría adqui-rir un turista inglés al cambiar 200 £?

a) 240 €

b) 133,33 €

c) 300 €

d) 600 €

11

10

9

64

46

35

25

8

7

(– 2)3(– 2)4(– 2)(– 2)0

((– 2)2)3

6

5

4

3

2

1

Bloque 1: Números y medidas

123EVALUACIÓN DE DIAGNÓSTICO

Resuelve los siguientes ejercicios

Estanterías

Para construir una estantería, un carpintero necesita lo siguiente:

4 tablas largas de madera

6 tablas cortas de madera

12 ganchos pequeños

2 ganchos grandes

14 tornillos

El carpintero tiene en el alma-cén 26 tablas largas de madera,33 tablas cortas de madera, 200ganchos pequeños, 20 ganchosgrandes y 510 tornillos.

¿Cuántas estanterías completaspuede construir este carpintero?

Sistema de transporte

El siguiente esquema muestra parte del sistema de transporte de una ciudad, con 3 líneas de ferro-carril. El precio del billete se calcula en función del número de estaciones que se recorren. Cadaestación que se recorre cuesta 1 €. El tiempo que se tarda en ir de una estación a la siguiente es deaproximadamente 2 minutos. En los transbordos de una línea a otra se tarda unos 5 minutos.

Se señala, por un lado, la estación en la que uno se encuentra en ese momento (Desde aquí) y laestación a la que tiene que ir (Hasta aquí). Marca el mejor trayecto en función del dinero y del tiem-po, e indica el precio del billete y el tiempo aproximado del viaje.

Hasta aquí

Desde aquí

Línea ALínea C

Línea B

Representa una estaciónde la línea de ferrocarril.

Representa una estación donde se puede realizartransbordo entre líneas de ferrocarril (líneas A, B o C).

13

12

Evaluación de diagnóstico

06 Problemas

Documents

Transcript of 06 Problemas