05FISICA1 Trabajo y Energia
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7/27/2019 05FISICA1 Trabajo y Energia
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Captulo 5
TRABAJO Y
ENERGIA
Trabajo y energa cintica. Movimientounidimensional con fuerzas constantes 175
Teorema del trabajo y la energa 176
Trabajo realizado por una fuerza variable 176
Energa potencial 178
Trabajo y energa en dos y tres dimensiones 179
Potencia 181
Fuerzas conservativas y no conservativas 182
Energa potencial y equilibrio en una dimensin 183
Conservacin de la energa:fuerzas conservativas 184
Conservacin de la energa:fuerzas no conservativas 184
Energa cintica a muy altas velocidades 186
Problemas resueltos 186
Problemas propuestos 199
Bohr, Niels Henrik David (1885-1962),
Fsico dans, realiz contribuciones bsicas a
la fsica nuclear y a la comprensin de la
estructura atmica. Eventualmente se traslad a
Manchester, Inglaterra para estudiar la fsica
nuclear bajo la direccin del fsico ingls
Ernest Rutherford.
La teora de Bohr de la estructura atmica, por
el cual recibi el premio Nobel en Fsica en1922, fue publicada en un artculo en 1913 y
1915. Su modelo us la teora cuntica y la
constante de Planck. En 1920 Bohr, siendo
rector de la universidad de Copenhague,
nuevamente form el Instituto de Fsica
Terica.. All hizo una mayor contribucin a la
fsica terica y al estudio de la estructura
atmica. En 1939, l reconoci la significacin de los
experimentos de fisin de los fsicos alemanes Otto
Hahn y Fritz Strassmann
Bohr y su familia escaparon de la ocupacin
alemana de Dinamarca con destino a Suecia
durante la Segunda Guerra Mundial (1939-
1945). De Suecia, los Bohr se trasladaron a
Estados Unidos, donde Bohr ayud a desarrollar la
primera bomba atmica. En 1945 Bohr regres
a la universidad de Copenhague, donde l
trabajo en el desarrollo de los usos pacficos de
la energa atmica
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INTRODUCCION
En este captulo, se desarrollarn otros aspectos de
la dinmica de una partcula. La descripcin
matemtica supone la presencia de una sola
partcula reduciendo su interaccin con el
resto del universo a una nica fuerza. Bajo este
criterio se define los conceptos de impulso,
trabajo, energa y potencia.
5.1 TRABAJO Y ENERGIA CINETICA.MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL CON
FUERZAS CONSTANTES
Una fuerza aplicada sobre una mesa realiza
trabajo slo en el caso de que ocasione su
desplazamiento, de no ser as, no se realiza
ningn trabajo, ya que el punto de aplicacin de la
fuerza no se mueve
Intimamente relacionado con el concepto de
trabajo, est el concepto de energa, que es lacapacidad de realizar trabajo. Cuando un
sistema realiza trabajo, por ejemplo cuando una
persona empuja una mesa, el trabajo
realizado se transforma parcialmente en
energa de movimiento o energa cintica y
parcialmente en energa trmica que surge de
la friccin entre la mesa y el piso, al mismo
tiempo que la energa qumica de la persona
disminuye en el proceso. El resultado neto es la
transformacin de la energa qumica interna del
cuerpo de la persona en energa cintica
externa de la mesa y energa trmica
El trabajo realizado por una fuerza se define como el
producto de la fuerza por el desplazamiento del
punto de aplicacin de la fuerza
Figura 5.1 Trabajo W = Fxx
En el caso especial de fuerzas constantes y
movimiento en una dimensin como en la
figura 5.1, el trabajo realizado por la fuerza F
formando un ngulo con el desplazamiento x,
est dado por:
W = Fcos.x = Fxx (5.1)
El trabajo es una magnitud escalar, serpositiva si Fx y x tienen signos iguales yser negativa, si tienen signos opuestos
UNIDADES DE TRABAJO
1) SI joule (J); 1 J = 1N 1m
2) cgs ergio (erg); 1 erg = 1 din 1cm
3) Britnico lib-pi; 1 lib-pi = 1libra 1pi
Equivalencias: 1 J = 10
7
erg.1 lib-pie = 1,356 J.
EJEMPLO 5.1 Al aplicar una fuerza de 50 N
sobre un bloque como se indica en la figura
5.1 se produce un desplazamiento horizontal
de 120 cm. Hllar el trabajo realizado si el
ngulo entre la direccin de la fuerza y el
desplazamiento es a) = 60 b) 180
Solucin Si el desplazamiento es x = 1,20 m
segn la ecuacin (5.1) el trabajo realizado
por la fuerza es
a) W = (Fcos)x = (50 cos60 )(1,20 ) =30 J
b) W = (Fcos)x = (50cos180 )(1,20)= - 60 J
ENERGIA CINETICA
En la ecuacin 5.1 reemplazando Fx = max,
hallamos:
175 Trabajo y Energa Daniel Fernndez Palma
x
F
Fx
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W = maxxCuando un mvil acelera de v1 a v2 en la
distancia x, con aceleracin constante se
encuentra que:
v22 v1
2 = 2ax ax = (v22 v12)
De modo que el trabajo realizado por la
fuerza Fx est dado por:
W mv mv= 1
2
1
222
1
2 (5.2)
En general, la expresin mv
2
se llamaenerga cintica Ec de la partcula y se define
por:
E mvc =1
22 (5.3)
Por consiguiente la expresin 5.2 indica que el
trabajo realizado por la fuerza es equivalente al
incremento de la energa cintica
W = Ec2 - Ec1 (5.4)
Es importante notar que, el incremento de la
energa cintica est relacionada con el
trabajo realizado por una fuerza resultante y no
por una fuerza equilibrante; de tal modo
que durante la accin de la fuerza, el cuerpo
est cambiando su velocidad y por tanto su
energa cintica. En otros trminos podemos
afirmar que el trabajo de la fuerza resultante es la
medida de la variacin de la energa cintica.
Este hecho queda establecido en el teoremasiguiente:
5.2 TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGIA
"El trabajo efectuado por una fuerza resultantesobre una partcula, es igual al cambio
producido en la energa cintica de la partcula"
W = Ec (5.5)
Esta ecuacin indica tambin que la reduccin de
la energa cintica slo ser posible a travs
de la realizacin de un trabajo; pero este
trabajo tendr signo negativo porque la
fuerza tendr que ser de signo opuesto al dela velocidad para producir el frenamiento.
EJEMPLO 5.2 Un bloque de 10 kg que se
desliza sobre un piso horizontal logra
detenerse despus de recorrer una distancia
de 20 m . Si al inicio su velocidad era de 50
m/s Cul es la fuerza de friccin entre el
piso y el bloque?
Solucin El trabajo de la fuerza de friccines igual a la reduccin de la energa cintica hasta
su anulacin total. Por tanto:
W = mv22 mv1
2
Donde W = fkd, m = 10 kg, v2 = 0, v1 = 50 m/s,
d = 20 m
fk(20) = 0 (10 )(50)2 = - 12500
El signo menos indica que el desplazamiento y la
fuerza son de sentidos opuestos. Como el
desplazamiento se ha escogido + 20 m, la
fuerza, segn la expresin anterior es:
fk= - 625 N
5.3 TRABAJO REALIZADO POR UNA
FUERZA VARIABLE
El trabajo realizado por una fuerza constante estdado por W = Fxx, de modo que si
graficamos Fx en funcin de x como se
muestra en la figura 5.2 el rea rayada
representa el trabajo realizado:
0 x
Daniel Fernndez Palma Trabajo y Energa 176
Fx
x
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Figura 5.2 Diagrama fuerza-distancia
En muchos casos la fuerza que realiza el
trabajo es variable como se muestra en lafigura 5.5 donde el rea de la franja vertical oscura
de ancho dx y alto Fx representa el trabajo
elemental que representamos por:
dW = Fxdx
Luego, el trabajo en un desplazamiento finito
de x1 a x2 est dado por la suma de un
nmero infinito de franjas de ancho dx y
altura variable Fx; esto es, por la integral
W = 2x
1xx dxF (5.6)
Fig.5.3 El rea debajo de la curva es el trabajo
Un ejemplo tpico de fuerza variable es la
fuerza que se requiere para estirar un resorte. Se
verifica experimentalmente que para estirar
el resorte una pequea distancia x o
comprimirlo, sin producir aceleracin, la
fuerza que se emplea es proporcional a esa
distancia que se alarga comprime fig 5.4
(a)
(b)
Figura.5.4 (a) Resorte en estado natural (b) Resorte
estirado: fuerza deformadora F y su equilibrante F'
Este fenmeno que se cumple dentro de
cierto lmite de tolerancia se expresa en una
ecuacin emprica conocida como la ley de
Hooke.
F = kx (5.7)
La constante de proporcionalidad k se
denomina constante de fuerza del resorte o
constante elstica. La figura 5.4(b) muestra
adems de la fuerza deformadora F, la fuerza
de reaccin del resorte denominada fuerza
recuperadora F' = - kx.
Si estiramos el resorte lentamente con una
fuerza F fig.5.4(b) y asumiendo que la fuerza
F sea tal que estire el resorte una distancia x,
entonces el trabajo efectuado es:
===x
0
x
0
2x
0]x[k
2
1dxkxdxFW
2kx2
1W = (5.8)
Este trabajo de deformacin, lo realiza unafuerza exterior al resorte; modificando su
estado interno y generando en l la fuerza
restauradora que tiende a restituir al resorte a
su estado normal.
F
0 x
Figura.5.5 Trabajo durante la deformacin
En la figura 5.5 el rea sombreada representa el
trabajo al estirar el resorte desde su posicin
natural.
EJEMPLO 5.3 Para lograr un estiramiento de
5 mm, el trabajo realizado sobre un muelle es
177 Trabajo y Energa Daniel Fernndez Palma
x
dx
Fx
Fx
0 xx1 x2
F'
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de 500 J. Cul es el valor de la constante
elstica del muelle?
Solucin. De la ecuacin 5.8 se tiene:
k =2x
W2= 2)005,0(
)500(2
k = 4107 N/m
5.4 ENERGIA POTENCIAL.
Al estudiar el trabajo realizado sobre unresorte mediante la aplicacin de una fuerzadeformadora, se encontr que el trabajo dedicha fuerza est dada por:
W k x=1
2
2
donde x es el desplazamiento o elongacin apartir del punto de equilibrio. Anlogamente paralevantar un cuerpo de peso mg a cierta altura y,venciendo a la gravedad ser necesariorealizar un trabajo de valor igual a
W = (Fy) y = mgy
Figura 5.6 Ganando energa potencial
Si el trabajo de la fuerza resultante da lugar a laenerga cintica; el trabajo de la fuerza
deformadora en equilibrio con las fuerzasinternas da lugar a otra forma de energa quedesignamos como energa potencial Ep y quedepende esencialmente de la posicin. Luego laenerga potencial del resorte con relacin a lafuerza elstica queda definida por:
E k xp =1
2
2 (5.9)
Y la energa potencial de un cuerpo con
relacin a la fuerza de gravedad es:
Ep = mgy (5.10)
Estas dos ltimas ecuaciones de definicin
son en realidad las funciones de energa
potencial, que de un modo ms general
podemos expresar as:
E x k xp ( ) =1
22 + c1 (5.11)
Ep(y) = mgy + c2 (5.12)
donde las constantes aditivas estn relacionadas
con un nivel de energa de referencia respecto al
cual ha de medirse la energa potencial ya
que estas energas dependen de la posicin. As la
energa potencial gravitatoria puede medirse
a partir del nivel del mar o partir del 5to pisode un determinado edificio.
Tanto la energa cintica como la energa
potencial se han definido como efectos de la
realizacin del trabajo de una fuerza. Sin
embargo sus caractersticas son diferentes,
mientras la energa cintica est relacionada con el
movimiento del cuerpo y por lo mismo es una
energa en sentido dinmico, la energa potencial
est relacionada con la posicin y se encuentra
latente o potencialmente almacenada en un estado
de reposo, pero que puede hacerse manifiesta o
activa, cuando el trabajo es realizado por la
fuerza interior.
Cuando el resorte se estira, un agente exterior
ha provocado sta deformacin pero con un
gasto o utilizacin de energa, dicha energa
no desapareci, sino que se transform en
energa potencial del resorte. Anlogamente
cuando un cuerpo se elev por encima de lasuperficie terrestre, algn agente exterior
realiz el trabajo de vencer a las fuerzas
gravitatorias (interiores), pero transfirindole
al cuerpo cierta cantidad de energa la que
qued almacenada como energa potencial
gravitatoria del cuerpo.
Esta energa se hace manifiesta cuando las
fuerzas interiores realizan el trabajo disminuyendo la
energa potencial pero cediendo ahora al
medio exterior una energa equivalente si
Daniel Fernndez Palma Trabajo y Energa 178
Fy = mgy
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termina en el reposo transformndose en
energa cintica si est en movimiento. Estos
hechos nos permiten afirmar que un sistema
posee energa cuando es capaz de realizar
trabajo. Esto significa que trabajo es unproceso de transferencia o intercambio de
energa
EJEMPLO 5.4 Hallar la energa potencialtotal del bloque de masa 5 kg en la posicinindicada en la figura si el resorte esta estirado20 cm y fijo en el extremo inferior
Figura 5.7 Energa potencial total
Solucin. En la posicin mostrada en lafigura el bloque tiene dos clases deenerga potencial, una de origenelstico kx2 y otra de origen
gravitatorio mgy, por tanto:
Ep = kx2 + mgy
En SI los datos son x = 0,20; m = 5; y = 4
Ep = 0,5(500)(0,20)2 + 5(9,8)(4) = 206 J
5. 5 TRABAJO Y ENERGIA EN DOS OTRES DIMENSIONES
Consideremos una partcula de masa m que
se mueve por accin de la fuerza F en la
trayectoria curvilnea C (figura 5.8).
y
r
F 2
z
Figura.5.8 la componente tangencial realiza trabajo
Si en el pequeo intervalo de tiempo dt la
fuerza ocasiona el desplazamiento diferencial dr; afirmamos que la fuerza ha producido un
trabajo infinitesimal dW definido como elproducto escalar de la fuerza F por eldesplazamiento dr.
dW = F.dr (5.13)
Definido el trabajo elemental podemos
expresar el trabajo realizado para llevar a la
partcula desde el punto (1) al punto (2) por
la integral definida entre limites 1 y 2:
=2
1W (5.14)
utilizando componentes rectangulares y
desarrollando el producto escalar tenemos:
F = Fxi + Fyj + Fzk
dr= dx i + dyj + dz k
W = F dx F dy F dzx y z+ +1
2
1
2
1
2
(5.15)
Otra forma de expresar este resultado es
usando la definicin de producto escalar y
asumiendo que el mdulo de dres ds, vemos que
en la ecuacin (5.14).F.dr = F ds cos y
segn la figura 5.8, Fcos = FT; por tanto:
W F dsT=12
( 5.16)
Este resultado demuestra que el trabajo solodepende de la componente tangencial de la
fuerza. La componente normal no realiza
trabajo
Como en el caso unidimensional puede probarse
que el trabajo de la fuerza resultante es igual
al cambio de la energa cintica. En efecto,
dado que ds = vdt, se tiene:
Ftds = ma ds = m dt
dv
vdt = = mv dv
179 Trabajo y Energa Daniel Fernndez Palma
x
drF
T1
0
C
k = 500 N/my = 4 m
F.dr
m
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reemplazando en la ecuacin (5.16) eintegrando entre 1 y 2 hallamos el trabajototal en ese tramo:
W F ds mv dvT= = 12
1
2
W mv mv= 1
2
1
222
1
2 (5.17)
Expresin que coincide con lo obtenido en elcaso unidimensional dado en la ecuacin(5.2) y representa el teorema del trabajo y laenerga en tres dimensiones
EJEMPLO. 5.5 Encontrar el trabajo realizado
por la fuerza F al trasladar un bloque de masam a lo largo del plano inclinado uniendo lasposiciones 1 y 2.
Solucin Para ste propsito es suficienteque la fuerza F tenga igual valor que el
peso pero en direccin verticalascendente.F = mgj
F
Figura.5.9 trabajo de la fuerza peso
mientras que el peso (fuerza restauradora)est dirigido hacia abajo;F = - mgj (1)Se ve que F + F = 0 es decir no hay fuerza
resultante sobre el cuerpo; sin embargo estono significa que no pueda moverse puessabemos que puede hacerlo pero convelocidad constante.El trabajo realizado por la fuerza F en contrade la fuerza gravitatoria, al trasladar alcuerpo desde la posicin 1 hasta la posicin 2,siguiendo cualquier trayectoria, tal como laindicada en la fig.5.9 est dada por:W F dr =
(2)
utilizando: dr= dx i + dyj + dz k y efectuando elproducto escalar e integrando se tiene:
W = 2
1dymg
W = mg(y2- y1) (3)
El trabajo realizado por la fuerza peso ofuerza debido a la gravedad en el trayectoentre las posiciones 1 y 2 es:W' = - mg(y2 - y1) (4)
Si hacemos y1 = 0 y y2 = y, el trabajo de lafuerza peso es:
W' = - mgy (5)
Este resultado nos dice que el trabajo de lafuerza peso es proporcional a la altura, o quedicho trabajo no depende de la forma de latrayectoria seguida para llevar al cuerpo de su
posicin inicial hasta su posicin final otambin se puede afirmar que el trabajo de lafuerza de gravedad depende solamente de ladiferencia de alturas de la posicin inicial yfinal del cuerpo.
De la ecuacin 5.14 se deduce que si lafuerza es perpendicular al desplazamiento (= 90 ) el trabajo de dicha fuerza es cerocomo se ve en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 5.6 La fuerza de la gravedad noproduce trabajo cuando acta sobre uncuerpo que se mueve horizontalmente(fig.5.10-a). La fuerza centrpeta FN en elmovimiento circular, no produce trabajo
sobre la partcula.(fig.5.10-b).
m m dr v
dr
FN
mg
(a) (b)
Figura.5.10 la fuerza perpendicular a la
trayectoria no realiza trabajo5.6 POTENCIA
Daniel Fernndez Palma Trabajo y Energa 180
1
2
dr
F
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Es la rapidez con la que se realiza trabajo. Untrabajo determinado que se efecta en untiempo muy largo est asociado a una
potencia muy baja en tanto que el mismotrabajo realizado en un tiempo muy cortocorresponde a una potencia grande. Si eltrabajo se realiza a un ritmo constante la
potencia media P se define por:
PW
t= (5.18)
Si el trabajo se realiza a un ritmo variable, la
potencia instantnea queda definida por:
P dWdt
= (5.19)
PF dr
dt=
P = F v (5.20)
UNIDADES DE POTENCIA
1) SI : vatio o watt (W): 1 W = 1 J/s2) Britnico: pie-lib/s = 1,356 W
Unidades prcticas de potencia y energa:
Potencia:
Caballo de vapor (HP): 1 HP = 550 pie-lib1 HP = 746 W
Trabajo o energa:
Electronvoltio (eV) 1 eV = 1,6x10-19 J
Kilowatt-hora (kWh):1kWh = 1kWx1 hora1kWh = 3.6x10 6 J
En los recibos de consumo mensual de energaelctrica encontramos corrientemente los kWh(kilovatio-hora). El electronvoltio es unaunidad muy apropiada para expresar laenerga de los tomos, As por ejemplo se hadeterminado que la energa de ionizacin del tomode hidrogeno es de 13,6 electronvoltiosEJEMPLO 5.7 Para deslizar una caja sobre
una superficie horizontal rugosa se requiere de
una fuerza constante de 50 N que forma unngulo de 60 sobre la horizontal. Cul es la
potencia desarrollada si la caja se mueve auna velocidad constante de 4 m/s? Quenerga se transfiere en 10 minutos?
Solucin Ntese que la fuerza no tiene lamisma direccin que la velocidad. Por tantola potencia en funcin de la fuerza yvelocidad est dada por el producto escalar:
P = F.v = Fvcos = (50 N)(4 m/s)cos60P = 100 J
En el tiempo de 10 minutos (600 s) el trabajorealizado o la energa transferida es:
W = Pt = (100 J)(600 s) = 60000 J = 60 kJ
5.7 FUERZAS CONSERVATIVAS Y NOCONSERVATIVAS
Reciben el nombre de fuerzas conservativas,aquellas fuerzas que al actuar sobre uncuerpo realizan un trabajo que nicamentedepende de la evaluacin de la funcin Ep(x)en sus estados inicial y final mas no de latrayectoria seguida (infinitos estadosintermedios) para pasar entre dichos estados.
Entonces, si la fuerza es conservativa, eltrabajo efectuado es:
W =
F dr = - (Ep2 - Ep1)W = F dr = - Ep (5.21)
y recprocamente, si el trabajo realizado poruna fuerza es igual a la diferencia de losvalores de una funcin potencial en las
posiciones inicial y final, la fuerza esconservativa.
F(conservativa) W = - Ep
Es evidente que el concepto de energapotencial puede emplearse slo cuando setrata de las fuerzas conservativas, tales comola fuerza elstica del resorte, la fuerzagravitatoria o fuerza electrosttica. Otrasfuerzas tales como las de friccin sedistinguen de las fuerzas conservativas, porque el trabajo que realizan depende de latrayectoria seguida por la partcula; estas
181 Trabajo y Energa Daniel Fernndez Palma
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fuerzas se llaman no conservativas o fuerzasdisipativas.
En la figura 5.11 se muestran 3 posiblestrayectorias para que el bloque de masa m
llegue al punto B partiendo de A. Si no hayfuerza de friccin y slo acta la fuerzagravitatoria el trabajo de esta fuerza entre los
puntos A y B tiene el mismo valor cualquieraque sea la trayectoria elegida porque ladiferencia de alturas entre los puntos A y Bes nica e independiente de la forma ylongitud de las trayectorias.
A
h
B
Figura 5.11 el trabajo de la fuerza peso
no depende de la trayectoria
Las fuerzas de friccin son tangenciales a latrayectoria y se oponen siempre al movimiento, ental caso si admitimos un valor constante para
dichas fuerzas en cualquiera de lastrayectorias, se encontrar que el trabajo destas fuerzas ser proporcional a la longitudde la trayectoria. En la fig.5.12. se muestrauna trayectoria cerrada.
Figura 5.12 recorrido cerrado
Si la fuerza es conservativa, en el viaje de ida de A
a B pasando por M el trabajo ser +W; y el de
retorno de B a A pasando por N es -W. Luego el
trabajo total es cero. Matemticamente esto se
indica con una integral circular
F dr = 0 F (conservativa)EJEMPLO 5.8 En la figura 5.13 se representauna trayectoria cerrada ABNA: AB = 15 m,BN = 12 m y NA = 9 m. Calcular el trabajo total
en el circuito cerrado ABNA si la nica fuerzaes la gravitatoria F = mg.
Solucin: Observemos que la fuerza peso esconstante en valor y direccin, por tanto
calculamos el trabajo, con la relacin sencilla:W = F.S = FS cos
donde es el ngulo formado por la fuerzaF y el desplazamiento S
dr dr
F F
dr
F
Figura 5.13 Trabajo en trayectoria cerrada
El trabajo en el circuito cerrado ABNA mostrado enla figura 5.13 es:
W =
F dr = WAB + WBN + WNA
WAB= mg(AB)cos = mg(15)(9/15) = 9 mgWBN = mg(BN)cos90 = mg(12)(0) = 0WNA= mg(AN)cos180= mg(9)(-1) =-9mg
W = 9mg + 0 - 9mg = 05.8 ENERGIA POTENCIAL Y EQUILIBRIOEN UNA DIMENSION
De la ecuacin 5.21 se puede ver que el trabajoinfinitesimal y el cambio infinitesimal de laenerga potencial estn relacionados delsiguiente modo
F.dr = - dEp
Si el desplazamiento es unidimensional podemosescribir Fxdx= - dEp. De donde
Fx = -dx
dEp(5.22.)
Esta expresin indica que la componente de
la fuerza en la direccin x no es sino el
negativo de la derivada de la funcin potencial con
respecto a x. En otros trminos la direccin
Daniel Fernndez Palma Trabajo y Energa 182
m
A
B N
M
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de la fuerza es aquella en la que disminuye la
energa potencial. Esto queda ilustrado en las
figuras 5.14 (a) y (b)
Fx
(a) Ep = kx2 (b) Ep = mgy
Figura 5.14 (a) La partcula se mueve siempre hacia
el origen donde el potencial es nulo. (b)En la direccin
descendente sobre el plano inclinado la esfera reduce
su energa potencial
En la fig 5.14(a) la curva de energa potencial tiene
un mnimo en x = 0 y constituye la posicin de
equilibrio estable donde justamente Fx = 0. En la
fig 5.14(b) la energa potencial no tiene un
mnimo y por tanto no hay puntos de
equilibrio estable
Con estos resultados podemos afirmar que
una fuerza es conservativa si se deriva o
resulta de una funcin potencial o energa
potencial; tales como
Ep = kx2 elstica (resorte )
Ep = mgy gravitatoria
Ep = c/r elctrica
Ep = - ce-r/r nuclear
Generalizamos la expresin 5.22 para calcular la
componente de la fuerza en una direccin
arbitraria s del siguiente modo:
Fs = -s
Ep
Donde el smbolo de derivada parcial /s,indica que si Ep es funcin de s y otras
variables mas, solo se deriva respecto a s
considerando constantes a las restantes
EJEMPLO 5.9 Encontrar la fuerza gravitatoria Fssobre una esfera colocada en la superficie lisa
de un plano inclinado mostrado en la figura
5.15
s
Fs y
Figura 5.15 Esfera deslizante
Solucin La funcin energa potencial es:
Ep = mgy
La direccin de la fuerza Fs es la de su
desplazamiento ds.
F FE
ssp
= =
=
ds
dymg
s
)mgy(=
de la figura 5.15 se tiene que: y = (s)(sen)
de modo que dy/ds = sen. Por tanto:
F = - mg sen
EJEMPLO 5.10 Si la energa potencial deuna partcula est dada por U = Uo(x
2 a2)2.
Hallar a) la fuerza sobre la partcula. b) la
posicin de los puntos de equilibrio estable e
inestable
Solucin a) Aplicando la ecuacin (5.22)
calculamos la fuerza neta sobre la partcula:
Fx = -dx
dU= -
dx
d[Uo(x
2 a2)2]
Fx = - 4Uox(x2 a2) (1)
b) Para determinar los puntos de equilibrio
estable o inestable resolvemos la ecuacin para la
fuerza neta igual a cero: - 4Uox (x2 a2) = 0
Las soluciones son: x = 0, x = +a , x = -a;
por tanto existen 3 puntos de equilibrio,
En la vecindad de un punto de equilibrio estable la
fuerza debe ser una fuerza recuperadora (F =
- kx ), La fuerza recuperadora es tal que si lapartcula se aleja ligeramente hacia la
183 Trabajo y Energa Daniel Fernndez Palma
FsEp
0 x
ys
-
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derecha de la posicin de equilibrio, la fuerza
recuperadora acta hacia la izquierda Esto es; si
el desplazamiento de la partcula es +, la fuerza
es - k y recprocamente si el desplazamiento
es - la fuerza es + k
i) Para el primer punto de equilibrio (x = 0);
consideremos un ligero desplazamiento (
-
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En todo proceso en el cual intervienen las
fuerzas no conservativas o disipativas, toda la
energa mecnica o parte de ella se disipa en
el medio ambiente en forma de calor, este es un
proceso en el cual las fuerzas de friccin realizantrabajo de transformacin o conversin de
energa mecnica en calor. El calor
producido es exactamente igual al trabajo de
las fuerzas de friccin. Por tanto la energa se
conserva dentro de un contexto ms amplio en la
que resulta incluido la energa mecnica y la
trmica o calorfica. Desde que la fuerza de
friccin se opone al movimiento, el trabajo
realizado por esta fuerza es siempre negativo, esto
es, el trabajo de la fuerza de friccin es equivalente
a la prdida de energa mecnica que experimentael sistema:
ambiente
Sistema - E = Wf
Si el sistema pasa de un estado inicial (1) en el
cual su energa mecnica es E1 = Ec1 + Ep1 a otro
estado final (2) con una energa mecnica E2 = Ec2+ Ep2, la prdida de energa mecnica es:
- E = E2 - E1- E = Wf (5.38)
donde Wf es al trabajo de las fuerzas de
friccin; as tenemos:
- (E2 - E1) = Wf(Ec + Ep)2 - (Ec + Ep)1 = - Wf (5.39)
EJEMPLO 5.11 Una fuerza F acta sobre una
partcula P, que se mueve en el plano XY.
Determinar si F es una fuerza conservativa y
calcular el trabajo de F cuando la trayectoria de P
es un cuadrado de lado a y el movimiento es en
sentido antihorario, para los siguientes casos: a)
F = kyi; b) F = k(x i +yj )
y1
x1 x2
Figura 5.16 trayectoria rectangular
Solucin a) El trabajo en una trayectoria
cerrada tal como ABCDA es:
W = WAB + WBC + WCD + WDA
cada trmino del segundo miembro queda
determinado por la siguiente expresin
W = F. dr = (kyi).(dx i + dyj) =ky dx
Entre A y B; los valores de x e y son:
x1 < x < x2; y = y1 = constante,
WAB = ky dx11
2
= ky1 [ ]x 12 = ky1(x2 - x1) =
ky1aEntre B y C, x = constante, de modo que dx = 0
WBC = ky dx = 0
Entre C y D: x1 < x < x2, y = y2 = constante
WCD = ky dx2
1
= ky2(x1 - x2) = -ky2a
Entre D y A: x = x1 (constante); dx = 0, luego:
WDA = ky dx = 0
Sumando resultados parciales:
W = ky1a + 0 - ky2a + 0 = - k(y2 - y1)a = -ka2
Este resultado (diferente de cero) indica que
la fuerza es no conservativa
185 Trabajo y Energa Daniel Fernndez Palma
y2
A B
CD
-
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13/34
b) W = F. dr = k (x i + yj ) . (dx i + dy j)
W = k ( )x dx y dy+
De A a B; dy = 0 por tanto:
WAB = k x dx1
2
= kx2 ] 12
= k(x22 - x1
2)
De B a C, dx = 0
WBC = ky dy1
2
= ky2 ] 12
= k(y22 - y1
2)
De C a D; dy = 0 entonces
WCD = k x dx2
1
= kx2 ] 21
= - k(x22 - x1
2)
De D a A, x = constante; dx = 0
WDA = ky dy = ky2 = -k(y22 - y12)Sumando los resultados parciales:
W = WAB + WBC + WCD + WDA = 0
Conclusin: la fuerza F es conservativa.
5.11 ENERGIA CINETICA A MUY
ALTAS VELOCIDADES
En el captulo tres se dijo que las leyes de
Newton dejan de aplicarse en dos casos: uno
es el dominio en el cual las velocidades se acercan
a la velocidad de la luz y otro en el dominio
de la fsica cuntica, vlido
principalmente para tomos y entidades
diminutas. En el primer dominio es necesarioutilizar la teora de la relatividad especial,
tema que s tratar en el curso de FISICA III, all
demostraremos que, el lmite mximo de las
velocidades en la naturaleza es justamente
la velocidad de la luz c = 3108 m/s
La famosa relacin de Einstein E = mc2
expresa que en relatividad la energa es
equivalente a la masa, y consecuentemente
cuando un cuerpo se encuentra en movimiento
con una velocidad v. su masa se incrementa ya
que su energa aumenta con la velocidad.
Esto es:
m =
m
v c
o
1 2 ( / ) (5.40)
Podemos calcular la energa cintica por el
trabajo realizado por la fuerza F = dp/dt al
acelerar a un cuerpo desde el reposo hasta
alcanzar la velocidad v, obteniendo:
Ec = mc2 - moc
2 (5,41)
resultado que indica que la energa cintica
es igual a la diferencia entre la energa totalmc2 y la energa en el estado de reposo moc2.
Utilizando la frmula de la masa relativista,
la energa cintica a altas velocidades debe
calcularse con la siguiente expresin:
Ec = moc2
1
11
2
( / )v c(5,42)
Esta frmula de energa cintica es en
cuanto a su forma muy diferente a la
correspondiente a bajas velocidades Ec =
mov2, sin embargo existe correspondencia
entre ambas, como se ver a continuacin:
Si x
-
7/27/2019 05FISICA1 Trabajo y Energia
14/34
EJEMPLO 5.12. Calcular desde el punto de vista
clsico y relativstico la energa cintica de un
electrn que se mueve a una velocidad v =
0,6c, masa del electrn en reposo mo =9,110-31 kg
Solucin a) frmula clsica Ec = mov2
La velocidad es v = 0,6(3108) = 1,8108 m/s
Ec = 0,5(9,110-31)(1,8108)2 = 1,4710-14 J
b) frmula relativista Ec. (5.42)
Ec = 9,110-31(3108)2
1
)6,0(1
1
2
Ec = 2,0510-14 J
5.12 PROBLEMAS RESUELTOS
1. Un cuerpo de masa m se mueve a una
velocidad v, con una energa cintica Eo. Cual
ser su energa cintica cuando su velocidad: (a)
se reduce a la mitad; (b) se duplica?
Solucin (a) Como la energa cintica es
directamente proporcional al cuadrado de la
velocidad encontramos que al reducirse la
velocidad a la mitad, la energa cintica se
reduce a la cuarta parte Eo (b) al duplicarse
la velocidad, la energa cintica se cuadruplica
4Eo
2 Una masa de 5 kg se eleva a una altura de 4
m por una fuerza vertical de 80 N,
Determinar a) el trabajo realizado por lafuerza b) el trabajo realizado por la gravedad
y c) la energa cintica final de la masa si
originalmente se encontraba en reposo.
Solucin La fuerza neta que acelera a la
masa hacia arriba es F = Fa mg. Donde Fa
es la fuerza aplicada y mg = 5(9,8) = 49 N el
peso del cuerpo. Multiplicando por la altura h a
cada trmino de la ecuacin anterior se tiene
Fh = Fah - mgh
Con relacin a la direccin del movimiento los
trabajos para cada una de las fuerzas son:
a) fuerza aplicada: Wa = Fah = (80N)(4m)= 320J
b) gravedad Wg = - mgh = - (49N)(4m) = -196 Jfuerza neta W = Wa Wg = 320 196 = 124 J
c) Puesto que el trabajo de la fuerza neta es igual
al incremento de la energa cintica se tiene
W (fuerza neta) = Ec = Ecf- Eci = 124 J
Donde Eci es cero ya que parte del reposo. Por
tanto Ecf= 124 J
3. Una masa de 5 kg que se mueve en ladireccin +X con una velocidad de 4 m/s,
entra bajo la accin de una fuerza nica F
que vara desde x = 0 hasta x = 4 m como se
indica en la figura 5.17 (SI) Calcular (a) su
energa cintica en x = 0 (b) El trabajo total
realizado por la fuerza (c) Cul es la velocidad
de la masa en x = 4 m?
..
Figura 5.17 Fuerza variable
Solucin: Como F es la fuerza neta, el trabajo
realizado por esta fuerza representa el incremento dela energa cintica del cuerpo
Energa cintica inicial en x = 0
Eci = mvi2 = (0,5)(5)(4)2 = 40J
El trabajo total realizado por la fuerza, es el rea
debajo de la curva F vs x:
W = rea del tringulo issceles de base 4 m y
altura 8 N = ( )(4m)(8N) = 16 J
187 Trabajo y Energa Daniel Fernndez Palma
0 1 2 3 4 x
8
4
0
F
-
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15/34
Desde que W = Ecf - Eci; la energa cintica
en x = 4 m es Ecf = W + Eci = 16 + 40 = 56 J.
Luego su velocidad es:
v = m/E2 cf = 5/)56(2 = 4,73 m/s
4 Un cuerpo de 3 kg experimenta un
desplazamiento s = 3 i +3j - 2 ka lo largo de
una lnea recta. Durante el desplazamiento acta
una fuerza constante F = 2 i j + kDeterminar (a)
el trabajo realizado por F en este
desplazamiento b) el componente de F en la
direccin y sentido del desplazamiento
Solucin a) El trabajo de una fuerza constante est
dado por:
W = F.s = (2 i j + k).( 3 i +3j - 2 k) W= 6 3 2 = 1 J
b) Desde que W = Fss donde Fs es el
componente del vector fuerza en la direccin
del desplazamiento y s el mdulo del vector
desplazamiento dado por: s =222 )2(33 ++ = 4,69 metros
Encontramos:
Fs =s
W
69,4
1= = 0,21 N
5 A qu altura debe elevarse un cuerpo para
que incremente su energa potencial en una
cantidad igual a la energa que posee si se
desplaza con una velocidad de 20 m/s?
Solucin La energa debido a su movimiento es laenerga cintica cuyo valor es mv2 y su
energa potencial a la altura h, segn el
enunciado es tal que mgh = mv2. De
donde:
h =g2
v2
=)8,9(2
)20( 2
= 20,4 m
6. Un cuerpo de 2 kg sujeto al extremo de
una cuerda se mueve sobre una superficie
horizontal sin rozamiento en un crculo de 3
m de radio. La velocidad del cuerpo es 1,5
m/s a) Determinar la tensin en la cuerda. b)
Hacer una relacin de las fuerzas que actan
sobre el cuerpo y determinar el trabajo
realizado por cada fuerza en una revolucin.
Solucin (a) La tensin en la cuerda ser
igual a la fuerza centrpeta Fc
Fc = mr
v 2= 2
3
5,12
= 1,5 N
b) En la figura 5.18 se muestran las tres fuerzas
que actan sobre el cuerpo en movimiento, el peso
mg, la normal N, y la fuerza centrpeta Fc
Figura 5.18 Fc no realiza trabajo
Dado que las tres fuerzas son perpendiculares al
desplazamiento indicado por el vector
velocidad; el trabajo de cada una de estasfuerzas es cero
7. Un carro de 1000 kg sube un escaln de 1
m mediante un plano inclinado formado por un
tabln de longitud L, apoyado entre los
niveles inferior y superior del escaln. a)
En ausencia de rozamientos calcular la fuerza
necesaria paralela al plano inclinado para
impulsar al carro hacia arriba sin aceleracin,
para valores de L iguales a 3, 4 y 5 m. b)
Calcular el trabajo necesario para impulsar elcarro hacia arriba para cada uno de estos
valores de L. c) Puesto que el trabajo
encontrado en b) es el mismo para cada valor
de L, qu ventaja resulta de elegir una
longitud u otra?
Solucin La fuerza necesaria para impulsar al
carro a velocidad constante es equivalente a
la componente del peso en la direccin del
plano inclinado
Daniel Fernndez Palma Trabajo y Energa 188
mg
NFc v
-
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16/34
F = mgsen = mg(h/L)
1m
Figura 5.19. Reduciendo la fuerza necesaria
Reemplazando valores numricos m =1000 kg g
= 9,8 m/s2 , h = 1 m , L = 3, 4, y 5 m , los
tres valores de la fuerza F son:
F= 3267 N , 2450 N , 1960 N
b) Para cada una de estas fuerzas y las distancias
respectivas los valores del trabajo son:
W = 3267(3) = 9801 J
W = 2450(4) = 9800 J
W = 1960(5) = 9800 J
c) La ventaja de utilizar longitudes de tabln cada
vez mayores es la de disminuir la fuerza,
pero no hay economa de energa.
8. Una fuerza constante viene expresada por
Fx = 4 N (a) Determinar la funcin energa
potencial Ep asociada con esta fuerza para
una eleccin arbitraria del cero de energa
potencial. Determinar (b) Ep de tal modo que
Ep = 0 para x = 6 c) Ep de tal modo que Ep =
12 J para x = 6 m
Solucin a) Teniendo en cuenta que la
componente de una fuerza en una direccin es el
gradiente negativo de la energa potencial:
Fx = -dx
dEp
obtenemos
d Ep = - Fxdx Ep = - dx.Fx
Con el valor dado para la fuerza hallamos:
Ep = - dx.4 = - 4x + c
(1)
Donde c es la constante de integracin cuyo
valor depende de la eleccin del cero de la
energa potencial.
b) Si en la ecuacin (1) se reemplaza Ep = 0 para
x = 6 m, la constante de integracin tiene el
siguiente valor: c = 24 J
La funcin de energa potencial es Ep = 24 4x
c) Si Ep = 12 J cuando x = 6 m la ecuacin (1)
nos da para la constante c el siguiente valor
c = 12 + 24 = 36 J,
Ep = - 4x + 36
9. Un objeto de 3 kg en reposo (figura 5.20) se deja
libre a una altura de 5 m sobre una rampa curva y
sin rozamiento. Al pie de la rampa existe un
muelle cuya constante es k = 400 N/m
m
Figura 5.20 Dos formas de energa potencial
El objeto se desliza por la rampa y llega achocar contra un muelle comprimindolo una
distancia x, antes de que quede
momentneamente en reposo. (a) Hallar x.
(b) qu le ocurre al objeto despus de que
queda en reposo?
Solucin a) Por la ley de conservacin de
energa, podemos afirmar que la energa potencial
gravitatoria mgh se transforma primero en
cintica y esta se transforma en energa potencial
del resorte en mxima compresin kx2
189 Trabajo y Energa Daniel Fernndez Palma
L
h
F
x
5m
-
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17/34
kx2 = mgh
reemplazando valores numricos se tiene
(400)x2 = 3(9,8)(5)
despejando hallamos: x = 0,86 m
b) Despus de que instantneamente el objeto queda
en reposo, la fuerza recuperadora del muelle,
le comunica un movimiento de retorno hasta
la posicin inicial y se contina
indefinidamente el movimiento de ida y
vuelta (movimiento oscilatorio)
10. En la posicin indicada en la figura 5.21
los bloques se encuentran en reposo y luego
se sueltan. Elegir el cero de la energa en la
posicin inicial de reposo. a) Expresar la
energa mecnica total del sistema cuando la
masa m2 ha descendido una distancia y. b)
Calcular la velocidad de la masa m2 despus de
haber descendido 2 m (masas m1 = 4 kg , m2 =
2 kg)
m1
m2
y
Figura 5.21 Transformando energa
Solucin a) La Energa mecnica total es lasuma de la energa cintica y potencial.
Segn el enunciado la energa es cero en la
posicin inicial. Luego por el principio de
conservacin la energa del sistema no
cambia, es decir permanece igual a cero, lo
cual significa que si las masas ganan energa
cintica es porque hay prdida de energa
potencial
Puesto que la masa m1 no cambia de altura
los cambios de la energa potencial del
sistema se deben nicamente al cambio de
energa potencial de la masa m2. Luego la
energa del sistema en cualquier instante es
E = m1v2
+ m2v2
m2gy = 0 (1)
El signo menos en el trmino de energa
potencial indica su reduccin al descender m2 la
distanciay
b) reemplazando en (1) m1 = 4 kg , m2 = 2 kg,y
= 2 m, se encuentra:
( )(4)v2 + (2)v2 2(9,8) (2) = 0
v = 3,61 m/s
11. Un patinador de 60 kg, empujando contra
la pared de una pista de patinaje, adquiere una
velocidad de 4 m/s (a) Cunto trabajo se realiza
sobre el patinador? b) Cual es la variacin de
energa mecnica del mismo. Analizar el
principio de conservacin de la energa
aplicada al patinador
Solucin a) El trabajo realizado sobre el
patinador es equivalente a la energa cintica
adquirida
W = mv2 = (0,5)(60)(4)2 = 480 J
b) La variacin de la energa mecnica es
igual al trabajo realizado sobre el patinador
E = W = 480 J
Este incremento de energa mecnica esposible gracias a la transformacin de la energa
interna o qumica que tiene almacenada el
patinador en su propio organismo
12. Un cuerpo de 10 kg es elevado por una
fuerza igual al peso con una velocidad constante
de 4 m/s. (a) Cul es la potencia de la fuerza?
(b) Cunto trabajo realiza esta fuerza en 3 s?
Solucin (a) La potencia desarrollada por la
fuerza est dada por:
Daniel Fernndez Palma Trabajo y Energa 190
-
7/27/2019 05FISICA1 Trabajo y Energia
18/34
P = Fv = mgv = 10(9,8)(4) = 392 Watts
El trabajo realizado en 3 segundos es
W = P.t = 392 (3) = 1176 J
13. En un da despejado, la energa solar
incide sobre una casa a razn de 400 W/m 2
durante 8 horas. Cunta energa es captada por
una gran ventana de vidrio de 40 m2 de rea?
Solucin La potencia captada a travs de la
ventana es:
P = IS
Siendo I = 400 W/m2 la intensidad de la
energa solar y S = 40 m2
P = (400)(40) = 16000 Watts
Luego la energa total captada en t = 8 horas
(28800 segundos) es:
W = P t = (16000)(28800) = 4,6x108 Joules
14 Un muchacho se encuentra balancendose en
una cuerda suspendida, de 4,0 m de longitud,
que se romper cuando la tensin a la que se
encuentre sometida sea igual al doble del
peso del muchacho. (a). Cul es el mayor
ngulo o que puede formar la cuerda con lavertical sin romperse. (b) Cul es la
velocidad del muchacho, en el momento de
romperse la cuerda, para un ngulo
ligeramente superior al ngulo calculado en el
apartado (a)
Solucin a) A fin de determinar el mximo
ngulo permisible es necesario relacionar la
tensin en la cuerda con la fuerza centrpeta
del movimiento circular del muchacho en la
parte mas baja de su trayectoria, donde la fuerza
centrpeta o la tensin son mximas. Esto es:
T mg = mr
v 2(1)
Donde r es la longitud de la cuerda r = L
Figura 5.22 Aprovechando la energa
potencial
En la parte ms alta la energa es slo
potencial e igual a mgh, en tanto que en la
parte ms baja la energa es slo cintica de valor
igual a la energa potencial mxima. Luego por
conservacin de la energa mecnica tenemos:
mgh = mv2 (2)
Combinando (1) y (2) se elimina la velocidad en
trminos de h. Si adems T = 2 mg (tensin
mxima permitida) obtenemos:
2mg mg = m(2gh/L) (3)
de donde hallamos la relacin entre h y L:
para este caso:
21
Lh = (4)
En la figura 5.22 la posicin angularo es talque:
coso =L
hL = 1 -
L
h= 1-
2
1=
2
1
Luego o = 60
191 Trabajo y Energa Daniel Fernndez Palma
o
L
h
L
-
7/27/2019 05FISICA1 Trabajo y Energia
19/34
b) De la ecuacin (2) la velocidad en el
momento de romperse la cuerda es:
v = gh2 = )2)(8,9(2 = 6,3 m/s
15. Un tren con una masa total de 2106 kgse eleva 707 m a lo largo de una distancia de
70 km con una velocidad media de 15 km/h.
Si la fuerza de rozamiento es igual a 0,8 por
ciento del peso. a) Calcular la energa
cintica del tren b) La variacin total de la
energa potencial. c) el trabajo realizado frente
a las fuerzas de rozamiento d) la potencia de la
locomotora.
Solucin Transformando unidades al sistema
internacional: velocidad v = 15 km/h = 4,17 m/s;
distancia d = 70 km = 70000 m; ngulo
de elevacin de la pista sen = h /d =
707/70000 = 1,0110-2
a) Energa cintica
Ec = mv2 = 0,5 (2106)(4,17)2 = 1,74107 J
b) Incremento de energa potencial
Ep = mgh = 2x106 (9,8)(707) = 1,381010 J
Fuerza de rozamiento f
f = 0,008(mg)=0,008(2106)(9,8)=1.57105 N.
Trabajo de la fuerza de rozamiento W
W = f.d = (1,57105 N)(70000 m)
W = 1,11010 J
e) Fuerza F desarrollada por el motor
F = mg.sen + f
F = 2106(9,8)(707/70000)+1,57105
F = 3,55105 N
Potencia del motor
P = F.v = 3,55105(4,17) = 1,48106 watts
16. Un pequeo bloque se ata a un material de
caucho que ejerce una fuerza Fx = - kx ax2,
cuando se alarga una distancia x (x > 0)siendo k y a constantes. Determinar el trabajo
realizado por el material sobre el bloque
cuando aquel se alarga de x = 0 a x = A
Solucin
W = A
0
x dx.F = - +A
0
2 dx).axkx(
W = - kx2 31 ax3 = - kA2 3
1 aA3
17. En la figura 5.23 se muestra la fuerza Fx
que acta sobre una partcula en funcin de
su distancia x desde el origen. a) graficar el
trabajo realizado por la fuerza cuando la partcula
se desplaza desde x = 0 a los siguientes
valores de x = -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 m b)
Representar la energa potencial U en funcin de x
para un intervalo de x que oscila de 4 m a +4m,
suponiendo que U = 0 para x = 0.
Figura 5.23 Fuerza variable
Al graficar Fx vs x el rea debajo de la curvarepresenta el trabajo realizado. Por
consiguiente si el desplazamiento se realiza
desde x = 0 a x = - 4 m el rea debajo de la
curva es el trapecio de bases 2 y 4 m y altura
4 N. Como ambas, distancia y fuerza son
negativas, el trabajo es positivo:
W1 = (2+4)4 = 12 J
Para el desplazamiento de x = 0 a x = -3 m
(trapecio)
Daniel Fernndez Palma Trabajo y Energa 192
x
Fx
2
4
-2
-4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-
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20/34
W2 = (3 +1)(4) = 8 J
Para el desplazamiento de x = 0 a x = -2 m
( tringulo)
W3 = (2)(4) = 4 J
Para el desplazamiento de x = 0 a x = -1 m
(tringulo
W4 = (1)(2) = 1 J
Para el desplazamiento de x= 0 a x = 1 m
(tringulo)
W5 = (1)(2) = 1 J
Para el desplazamiento de x = 0 a x = 2 m
(trapecio)
W6 = (2+1)(2) = 3 J
Para el desplazamiento de x = 0 hasta x= 3 m
(trapecio)
W7 = (3 + 2)(2) = 5 J
x
Figura 5.24 Energa potencial
Para el desplazamiento de x = 0 a x = 4 m
(trapecio)
W8 = (4+2)(2) = 6 J
b) Desde que el trabajo realizado W es la
energa potencial U graficamos (ver fig 5.24) los
pares de puntos hallados en (a) (-4,12) (-3,8)
(-2, 4) (-1, 1) (0,0) (1, 1) (2, 3) (3, 5) (4, 6)
18.Una partcula de masa m se mueve en un
crculo horizontal de radio r sobre una mesarugosa. La partcula est sujeta a una cuerda
fija en el centro del crculo. La velocidad de la
partcula es inicialmente vo. Despus de
completar una vuelta alrededor del crculo, la
velocidad de la partcula es vo. a)
Determinar el trabajo realizado por la friccin
durante una vuelta en funcin de vo, r y m. (b)
cul es el coeficiente de friccin cintica?
(c) Cuntas vueltas dar la partcula antes de
alcanzar el reposo
Solucin a) Puesto que el trabajo realizado
por cualquier fuerza que es perpendicular al
desplazamiento es nulo. La nica fuerza cuyo
trabajo no es nulo es la fuerza de friccin cuya
direccin es opuesta al del desplazamiento.
Por tanto la prdida de energa cintica se
debe al trabajo de la fuerza de friccin:
Wf= -Ec = - (Ecf Eci)
Wf = - [ m(v0/2)2 mvo
2 ] = 83 mvo
2 (1)
b) Teniendo en cuenta que la fuerza de friccin es f
= kN = kmg y la longitud del camino recorrido
en una vuelta es d = 2r; el trabajo de la fuerza
de friccin queda expresada por:
Wf = fd = (kmg) (2r) (2)
Igualando los resultados (1) y (2) y despejando elcoeficiente de friccin se tiene
83 mvo
2 = kmg.(2 r) k=gr
v
16
32o
c) El nmero de vueltas se obtiene dividiendo la
energa inicial entre la energa disipada en
cada vuelta, esto es:
n =2
o83
2
o21
mv
mv= 8/6 = 1,33 vueltas
193 Trabajo y Energa Daniel Fernndez Palma
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
12
8
4
U
-
7/27/2019 05FISICA1 Trabajo y Energia
21/34
19 Una partcula P se mueve sobre una
circunferencia de radio R, bajo la accin de
la fuerza F = Fosen tangente a la
circunferencia. Calcular el trabajo que serealiza para trasladar la partcula desde el
punto A a la parte ms alta. .
P
R
Figura 5.25 Fuerza tangencial
Solucin: Desde que la partcula se mueve a
lo largo del arco de circunferencia, el
desplazamiento dr y la fuerza F son
paralelos, entonces el trabajo est dado por:
W = F.dr = Fds cos0 = Fds
donde el arco diferencial ds es el mdulo del
vector dr y subtiende un ngulo d.
F d r
d R
A
Figura 5.26 desplazamiento diferencial dr
Luego, reemplazando en la frmula hallada F
= Fosen , ds = Rd e integrando entrelmites = 0 y = 90 (parte ms alta de latrayectoria) se tiene:
W = Fosen Rd = RFo sen dW = RFo (-cos) ] 0
90
= RFo
20. Una fuerza cuyo valor en SI es F = 6x2 - 2x
acta en la direccin del eje +X desde x = 1 m
hasta x = 5 m Calcular el trabajo realizado.
Solucin. Segn los datos tanto la fuerza
como el desplazamiento apuntan en la
direccin +X. Por tanto el trabajo realizado
est dado por:
W = Fdx = 5
1(6x2 2x)dx
W = 2x3 - x2 ]1
5
=2(5)3-(5)2 - [2(1)3 - (1)2]
W = 224 J
21 Una partcula describe la trayectoria OAB en
el plano XY como se muestra en la figura 5.27,
donde las coordenadas se miden en metros.
Si el movimiento es producido por la nica
fuerza. F = 4x i + 4yj N.
y B(3,3)
0 A(1,0) x
Figura 5.27 Trabajo y trayectoria
Calcular el trabajo total efectuado sobre el
cuerpo en su recorrido OAB.
Solucin. WOAB = WOA + WAB
W = F.dr
WOA = (4x i + 4yj ) . ( dx i )
WOA = ]4 2 220
1
0
1
x dx x= = J
WAB = (4x i + 4yj ). ( dx i + dyj)WAB = (4x dx + 4y dy) =
3
1dxx4 +
3
0ydy4
WAB = [2x2 ] 31 + [2y
2 ]3
0 = 16 + 18 = 34 J
luego; WOAB = 2 J + 34 J = 36 J.
22. Una partcula describe una trayectoria
circular por accin de una fuerza de valor
constante Fo y tangente a la curva de radio R.
Daniel Fernndez Palma Trabajo y Energa 194
F
A
ds
dr
-
7/27/2019 05FISICA1 Trabajo y Energia
22/34
Calcular el trabajo realizado en una vuelta
completa.
R d r
F o
Figura 5.28
Solucin: El desplazamiento diferencial en
una trayectoria circular es tangente a la curva por
tanto, desplazamiento y fuerza son paralelos.
Entonces si ds es el valor del desplazamiento
tangencial, el trabajo est dado por:
W F ds F dso o
R
= = 0
2
W = 2RFo
23.- Un bloque de 5kg de masa se desplaza
sobre el eje +X bajo la accin de la fuerza F
que depende de x conforme se muestra en la
figura 5.29. Si el bloque tiene una velocidad de 3
6 m/s en el origen, calcular la velocidad al
final del tramo.
F(N)
30
0 2 4 6 9 12 m
Figura. 5.29
Solucin Con los datos que se registran en lafigura 5.29 y sabiendo que m = 5 kg; vo =
3 6 m/s y se tiene
W F dr =
= AREA bajo la curva.
Areas: A1 = 302 = 60; A2 = 230/2 = 30
A3 = 330/2 = 45;A4 = 330 = 90
Trabajo W = A1 + A2 + A3 + A4
W = 60 + 30 + 45 + 90 = 225 J
Por el teorema del trabajo y la energa
W = Ec = mv2 - mvo2
225 = (5)v2 - (5)(3 6 )2
v = 12 m/s.
24. Hallar el trabajo efectuado por una
partcula al desplazarse bajo la accin de una
fuerza segn las variaciones que se muestran
en la figura 5.30.
F(N)3
21
0-1 x (m)
-2
Figura 5.30
Solucin.. El trabajo est dado por el rea
sombreada: dos rectngulos (positivo y
negativo) y un trapecio (positivo).
321
0-1 3 4 5x (m)
-2
Figura 5.31
W = F.dr = Area = 3(1) - 2(1) +3 2
22
+
W = 6 Joule.
Observe que el rea que est bajo el eje x es
negativo
25. a) Determinar el mnimo acortamiento L del
resorte para que el bloque de masa m de la
figura 5.32 recorra una pista rectilnea con
coeficiente de friccin y luego sea capaz deseguir la pista del crculo vertical, de radio R,
donde = 0 sin abandonarlo en ningn sitio.
b)Hallar la fuerza que ejerce la pista sobre el
bloque en el punto C definido por el ngulo
195 Trabajo y Energa Daniel Fernndez Palma
1 2 3 4 5
-
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23/34
R
m
L L A B
Figura 5.32
Solucin. a) Para que el bloque no abandone la
pista en ningn sitio, su aceleracin
centrpeta en D tiene que ser al menos
igual a la aceleracin g. Esto es:
a gv
RcD
= =
2
vD2 = gR
Por conservacin de energa en B es:
mvB2 = mvD
2 + mg(2R)
reemplazando el valor de vD2 hallamos
mvB2 = (5/2)mgR
Luego la energa de la masa al abandonar el
resorte es:
k (L)2 = mg(L+L)+ mvB2
donde mg(L+L) es la energa disipada en el
trayecto de longitud (L+:L). Resolviendo la
ecuacin cuadrtica para L se tiene:
L =
++
+
R2
5L
k
mg2
k
mg
k
mg2
b) Calculemos ahora en C la fuerza que
ejerce la pista sobre el bloque.
R FN
mg
Figura 5.33
En la figura la fuerza de contacto o fuerzanormal (FN) y la fuerza centrpeta FC estn
relacionadas por:
FN + mgcos( - ) = Fc =R
mv 2
Para determinar v2 utilizamos la ley de
conservacin de energa mecnica:
mvB2 = mv2 + mg[R+Rcos(180-)]
de donde; v2 = gR(3 + 2cos)
esto es: FN = 3mg(1 + cos)
26. Un cuerpo recorre la pista ABC de la
figura. Partiendo de A con velocidad
inicial vo = 5 m/s El tramo AB es liso pero
en BC el coeficiente de friccin es = 0.2
Calcular la velocidad que tiene el cuerpo al
llegar al punto C
vo = 5 m/s
h = 15 m
Figura 5.34 Bajando por la rampa
Solucin. La energa total en el punto C ser
igual a la emerga total en A menos lasprdidas de energa por friccin en el
trayecto BC = d:
EC = EA - Wf
Dado que la energa potencial en A es mgh y
es nula en B y C se tiene:
mvC2 = ( mvA
2 + mgh ) - mgd
Daniel Fernndez Palma Trabajo y Energa 196
A
B C5m
-
-
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24/34
de donde, despejando la velocidad vC se tiene:
vC = gd2gh2v2
A +
Desde que los datos estn en SI, por sustitucindirecta obtenemos el resultado
vC = )5)(8,9)(2,0(2)15)(8,9(252 +
vC = 17,3 m/s
27. Con los datos de la figura 5.35 y aplicando el
teorema del trabajo y la energa hallar en
magnitud y direccin la fuerza adicional F1
que acta sobre la masa M de 1 kg de modo
que su velocidad cambie de vo = 2 m/s a v =30 m/s
M
vo = 2 m/s
10 m v = 30 m/s
= 0,130
Figura 5.35
Solucin. Si W = Fd es el trabajo de la
fuerza resultante (F) segn el teorema del
trabajo y la energa se tiene:
Fd = Mv2 - Mvo2 (1)
donde d = 10csc30 = 20m, M = 1 kg, v = 30m/s, vo= 2 m/s Sustituyendo datos obtenemos:
F = 22,8 N
La sumatoria de fuerzas en la direccin del
movimiento es:
Fix = mg sen30 - f + F1 = F (2)
donde F1 es la fuerza adicional que est por
determinar y f es la fuerza de friccin:
f = N = (Mg cos30) (3)
Luego, reemplazando (3) en (2) y despejando F1tenemos
F1 = F + Mg(cos30 - sen30) (4)
Haciendo: F = 22,8 N, = 0,1, g =10 m/s2
F1 = 22,8 + 1(10)[0,1(0,866) 0,5]
F1 = 18,67 N en direccin descendente.
28.- Un bloque se encuentra inicialmente en
la posicin mostrada en la figura, cuando el
resorte A se encuentra comprimido LA = 0,2 m.
A B
m lisa rugosa lisa
2,2 m 2m 1m
Figura 5.36 Pista rugosa y liza
Se suelta el resorte A y el bloque va a chocar
contra el resorte B y este se comprime y otra
vez el bloque se mueve pero en sentido contrario,se desea saber, Cunto recorre e l bloque desde
que empez su movimiento hasta que se
detiene? (kA = kB = 300 N/m, = 0,2; m = 1 kg,
g = 10 m/s2).
Solucin.. Energa del bloque al abandonar el
resorte A:
EA = kA(LA )2 = (300)(0,2)2 = 6 J.
Energa disipada al pasar el bloque sobre lasuperficie rugosa.
Wf= mgd = (0,2)(1)(10)(2) = 4 J.
Se observa que por cada pasada se disipa 4J
de energa; por tanto la energa que se
convierte en energa potencial del resorte B
es la diferencia EA - Wf :
kB(LB )2
= 6J - 4J = 2J
197 Trabajo y Energa Daniel Fernndez Palma
-
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25/34
es decir::
BB k
4
L = 3004
=LB = 0,115 m.
Con la energa de 2J; el bloque slo puede
recorrer de retorno la mitad de la distancia
con superficie rugosa. La distancia total
recorrida es:
ida = 2,2 + 2 + 1 + 0,115 = 5,315 m
retorno = 0,115 + 1 + 1 = 2,115 m
total = 7,430 m
29. Una partcula de masa m se mueve con
una energa potencial dada por:
4
2
opx8
x1U)x(E
++
=
a) graficar Ep(x) vs x. b) encontrar la fuerza.
c) determinar los puntos de equilibrio. d)
analizar el movimiento cuando la energa
mecnica total es E = - Uo
Solucin: a) Para hacer la grfica de modo
cualitativo hallamos:
Intersecciones: x = 0 Ep(0) = -8
U o
Asntotas: vemos que cuando x, Ep() 0-Entonces el eje X es asntota
Simetra Introduciendo el cambio x -x enla ecuacin dada, encontramos que los
resultados son iguales: Ep(x) = Ep(-x)
Entonces el eje Y ( Ep): es eje de simetra.
Puntos crticos: se obtienen de la solucin de
la ecuacin :dE
dx
p= 0
0)x8(
)x4)(x1()x2)(x8(24
324
=
+
++
luego de simplificar la ecuacin a resolver es:
x(8 - 2x2 - x4) = 0
De esta expresin vemos que x = 0 es unaraz; las otras races se obtienen de:
x4 + 2x2 - 8 = 0
resolviendo la ecuacin de cuarto grado
x2 = - 1 8)1( 2 +
x2 = -13 x2 = 2, x = 2x2 = -4, x = imaginario
Por tanto, existen puntos crticos en
x = - 2 , 0, + 2
Mximos y mnimos: Para decidir si un punto
crtico es mximo mnimo podemos hallar
la pendiente a la izquierda del punto crtico.
Si el resultado es positivo se trata de un
mximo de lo contrario es un mnimo.
Sean x = -1,5, -1, +1 respectivamente lospuntos a la izquierda de - 2 , 0 , + 2
La pendiente Ep' = dEp/dx est dada por:
Ep' = 24
324
o)x8(
)x4)(x1()x2)(x8(U
+++
Ep' = 24
42
o)x8(
)x4x28)(x2(U
+
Los resultados son:
x = -1.5, Ep' < 0, Ep(- 2 ) = -Uo (mn)
x = -1, Ep' > 0 , Ep(0) = - (1/8)Uo (max)
x = +1, Ep' < 0 , Ep(+ 2 ) = -Uo (mn)
Con estos datos podemos trazar la grfica
Ep(x) vs x
Daniel Fernndez Palma Trabajo y Energa 198
Ep/Uo
-
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26/34
Figura 5.37 Curva de energa potencial
la fuerza se obtiene de F =
E
x
p
Con la derivada hallada anteriormente
tenemos:
24
42
o)x8(
)x4x28)(x2(UF +
=
c) Puntos de equilibrio: Los puntos de
equilibrio estable son aquellos de mnima
energa potencial.
Estos puntos son: x = 2 , Ep = 14 Uo
Los puntos de equilibrio inestable, son los
puntos de mayor energa potencial. En este
caso slo tenemos uno en x = 0 cuya
energa es:
Ep = -1
8Uo
d) si la energa total es E = 14 Uo, seencuentra en el punto de equilibrio estable,
donde la energa potencial es Ep = 14 Uo,
por tanto no hay energa cintica y el cuerpo seencuentra en reposo.
30. Un objeto de masa m ejecuta un
movimiento a lo largo del eje x, de manera
que su desplazamiento x(t) al tiempo t est
dado por: x(t) = Asent; donde A y en unmovimiento armnico simple (MAS) son
constantes y se denominan respectivamente
amplitud y frecuencia. Determinar: a) La
potencia para mantener esta clase de
movimiento en cualquier instante. b)
Determinar la potencia requerida cuando: A =
1,5m, m = 5kg, = 12,57 rad/s t = 0,0625 s
Solucin: La potencia instantnea est
dada por:
P = F.v
siendo F la fuerza y v la velocidad instantnea,
cuyo valor calculamos as:
vdx
dt
d
dtA t= = ( sen ) = A cost
Luego la aceleracin a y la fuerza F del MAS
son respectivamente:
adv
dt
d
dtA t= = ( cos ) = - A2sent
F = ma = - mA2sent
La potencia instantnea desarrollada por la
fuerza interna o recuperadora es:
P = Fv = (- mA2
sent)(Acost)P = - mA23sentcost
P = - mA23sen(2t)
Reemplazando datos en el sistema SI
P= - (5)(1,5)2(12,57)3sen[2(12,57)(0,0625)]
P = - 1,12104 watts.
5.13 PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Un automvil de 3000 kg de peso chocacontra un muro de concreto. Despus del
choque se observa que slo el auto ha sufrido
deformacin (abolladura). Los experimentos han
mostrado que se requiere de un trabajo de 300 kJ
para producir una deformacin como la que
sufri el automvil. Cul era la velocidad de
impacto ?
2. Se dispara una bala de 4 g de masa con
una velocidad de 600 m/s a un bloque de
madera de 5 kg que se encuentra sobre un
piso horizontal. Si el coeficiente de rozamiento
199 Trabajo y Energa Daniel Fernndez Palma
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1/ 8
-1/ 4
x
-
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27/34
entre el piso y el bloque es 0,2; calcular la
distancia que se desliza el bloque, el porcentaje de
la energa inicial disipada en el rozamiento entre el
bloque y el piso, si el impulso recibido por le
bloque es 2,4 N.s
3. Un bloque de 15 kg de peso se desliza
desde lo alto de un plano inclinado 37 con la
horizontal. En el piso contina su movimiento
hasta el punto C determinar la distancia
horizontal recorrida si la longitud del plano
inclinado es de 10 m y el coeficiente de
friccin es 0,1 en todo el trayecto .Que cantidad
de energa mecnica se transform en calor ?
A
B C
Figura 5.38 Generando calor
4. Desde el pie de un plano inclinado 30 con
la horizontal se lanza un bloque de 1 kg en
direccin ascendente con una velocidad
inicial de 50 m/s. Si el coeficiente de friccin entreel bloque y el plano es de 0,2; calcular el trabajo
realizado por la friccin, en el movimiento
ascendente.
5. Dos masas iguales unidas mediante una
cuerda que pasa por una polea como se indica
en la figura. Si al dejarlas en libertad, la que est
sobre la superficie horizontal recorre la
distancia h + d antes de llegar al reposo.
Encontrar el coeficiente de friccin en funcin
de h y d.
m
h
Figura 5.39
6. Un collar de 3 kg est unido a un resorte y
resbala sin rozamiento a lo largo de una barra
circular que descansa en el plano horizontal.
El resorte tiene una constante k = 3 N/cm. y
est sin deformar cuando el collar est en B.
Si se suelta del reposo en D. Calcular: a) La
velocidad del collar cuando pasa por C. b) La
fuerza que hace la barra sobre el collar. R= 12cm. d = 5 cm
B
d
A C
R
collar
Figura 5.40
7. Se suelta en "A" un bloque con velocidad cero,
que se desplaza sobre la gua lisa hasta el
punto B donde abandona la gua con una
velocidad horizontal. Si h = 8 m y b = 3 m;
determinar: la velocidad del bloque cuando
golpea la pista en "C" y la distancia "d"
A
B
h
b
C
Figura 5.41
8.Cuando un cuerpo se encuentra a grandes
alturas sobre la superficie de la Tierra (de
radio R), Su peso est dado por:
P = - mgR
R x+
2
donde, mg es el peso en la superficie
terrestre, y x la altura medida desde el nivel
del mar. Calcular el trabajo que se realiza al
levantar al cuerpo desde la superficie
terrestre hasta una altura R
Daniel Fernndez Palma Trabajo y Energa 200
37
d
10m
D
m
-
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28/34
9. Un camin lleva una caja de 100 kg y
acelera uniformemente desde el reposo hasta
63 km/h. Calcular el trabajo efectuado por el
camin sobre la carga.
10 Una persona tira hacia arriba de una carga
pesada de 80 kg de masa por el muro exterior
de un edificio, empleando una polea sin
friccin, La carga sube una altura de 34 m.
Considere que la carga se mueve con
velocidad constante y no tenga en cuenta
aceleracin alguna al inicio o fin del
movimiento a) Cunto trabajo efecta la
gravedad sobre la carga.? b) Cunto trabajo
efecta la tensin de la cuerda sobre la
carga?. c) Cunto trabajo efecta la personasobre la carga?.
Figura 5.42 Venciendo a la gravedad
11. Calcular el trabajo que debe efectuar una
fuerza dirigida hacia arriba para elevar una
cuerda enrollada de longitud L y masa M
apartndolo por completo de la superficie
12. Un trabajador de la construccin con 75
kg de masa iza una carga de ladrillos de42 kg de masa. Pasa una cuerda por una
polea y deja que su peso eleve la carga.
Suponiendo que no hay friccin, cul es el
trabajo que efecta la gravedad, durante un
periodo de 2,0 s?
13. Por una cascada de 40 m de altura caen
200 m3 de agua por segundo. Cuantos
joules de trabajo efecta la gravedad cada
hora?, la masa de 1 m3 de agua es 1000 kg
14. Dos caballos en las orillas opuestas de un
canal rectilneo tiran de una balsa de 3000 kg
de masa. Las cuerdas que atan a los caballos
con la balsa forman, cada una, un ngulo de
30 con la direccin de avance de laembarcacin. Los caballos tardan 1 minuto
en acelerar la nave a una velocidad de 1 m/s.
cuanto trabajo neto se efecta sobre la barcaza
durante ese minuto, suponiendo que la
aceleracin es uniforme?
30
30
Figura 5.43
15. Se arroja una piedra desde una altura ho
sobre un terreno plano y sale de la mano a un
ngulo de 40 sobre la horizontal. No tenga en
cuenta los efectos de la resistencia del aire. a)
calcular el trabajo efectuado por la gravedad,
al caer la piedra de nuevo a la altura ho.
Recuerde que el movimiento se puede dividir
en movimiento en direccin vertical y
horizontal b) Demuestre, aplicando el teorema
del trabajo y la energa que la velocidad de la
piedra al llegar de nuevo a ho es idntica a la
velocidad que tena al salir de la mano
16. La fuerza F (3,2,0) acta sobre un cuerpo
que pasa de r1 = (14,1,3), a una nueva posicin
r2 = (16,4,6). Si stas cantidades estn expresadas
en el sistema SI Cunto trabajo efecta estafuerza sobre el cuerpo?.
17. Una caja de 50 kg se desliza pendiente
abajo de un plano inclinado que forma un
ngulo de 30 con la horizontal, partiendo del
reposo en la parte superior del plano. La
velocidad de la caja al llegar al pie del plano
de 10 m de longitud es 8 m/s. Cul es el
coeficiente de friccin? Cunto trabajo efecta
la fuerza de friccin?
201 Trabajo y Energa Daniel Fernndez Palma
-
7/27/2019 05FISICA1 Trabajo y Energia
29/34
18. La fuerza sobre una partcula est dada
por F = x, siendo = - 4,00 N/m cuando x
< 0, y = + 6,00 N/m para x > 0. Calcule eltrabajo efectuado por la fuerza sobre un
bloque, cuando ste pasa de x = - 4 m hastax = + 2 m.
19. Un resorte especial (no estndar) ejerce
una fuerza F = - k1x - k2x3 para restaurarse al
equilibrio, siendo x la distancia del punto de
equilibrio. Los valores de k1 y k2 son 5,0
N/m y 15 N/m3, respectivamente. Calcule el
trabajo efectuado para estirar el resorte de
0,10 m hasta 0,20 m
20. Las componentes de una fuerza F son:
Fx = 2xy - 2y2 y Fy = - 2xy + 2x
2 . Calcule
el trabajo efectuado sobre un cuerpo de 4,0
kg de masa, si se mueve en una trayectoria
cerrada desde (x,y) = (0,1), pasando por (4,1),
(4,3), (0,3) y de nuevo (0,1). La trayectoria
entre los puntos es a lo largo de la recta ms
corta .
21. Una fuerza acta sobre un cuerpo de
masa m que se mueve en el plano xy. Lafuerza es F(x, y) = k1x i + k2yj. Calcule el
trabajo efectuado sobre el cuerpo al
moverse en un crculo de radio 1 m, expresado
por x2 + y2 = 1; comenzando en x = 1 m, y = 0 m
y terminando en un punto que forme un
ngulo de a) 90, b) 180, c) 360 con la
direccin original del radio vector de posicin
(sugerencia el problema se simplifica si se
usan coordenadas polares, r y , siendo x =
rcos, y = rsen )
22. Se emplean simultneamente dos motores
para mover una masa de 100 kg, partiendo
del reposo una distancia de 100 m en lnea
recta por una superficie horizontal sin
friccin. El motor 1 ejerce una fuerza constante de
12 N y el motor 2 de 36 N. a) Qu trabajo
efecta cada motor b) Cul es la potencia
promedio suministrada por cada motor?
23. Un cuerpo de 4,0 kg de masa cuelga de
un resorte fijo en el techo, Sin la masa el
resorte tiene 40 cm de longitud. Cuando se le
fija la masa, el resorte se estira hasta una
longitud de 80 cm. Cul es el trabajo
efectuado por la fuerza de gravedad durante el
estiramiento?
24. Una fuerza constante de 10 N empuja una
partcula a lo largo del eje x. La posicin de
la partcula est representada por x = 11 - 2t
+ 0,5t2. Calcule el trabajo efectuado por la
fuerza entre t = 0 s y t = 1 s y entre t = 1 s y
t = 2 s .Es conservativa la fuerza ?
25. La fuerza neta que acta sobre una
partcula depende de la posicin de la
partcula en el eje x, de acuerdo con laecuacin: F = Fo + Cx donde Fo = 20 N y C
= -10 N/m. La partcula se encuentra
inicialmente en reposo en el punto x = 0,
cuando la fuerza comienza a actuar .
a) Calcule el trabajo efectuado por la f uerza
cua ndo la par tc ula lle ga a x = 1 , 2, 3,
4 m . b) determine cualquier posicin que no
sea x = 0 en la cual el trabajo efectuado sea cero
c) Es conservativa la fuerza?
26. Un cuerpo de masa m debe pasar de la
azotea de un edificio, a una altura h, a un
punto en el piso, a una distancia horizontal h
de su lugar inicial, de modo que el vector de
posicin inicial se puede escoger como hj y
la posicin final como hi. Hay dos
trayectorias posibles a) el cuerpo se baja con
una cuerda, a velocidad constante y, al
haber llegado al piso, se mueve
horizontalmente hasta su ubicacin final; y
b) el cuerpo se deja resbalar a lo largo de unsoporte rectilneo que va del punto inicial
al punto final. Demuestre que el trabajo
efectuado por la gravedad es igual en ambos
casos.
27. Demuestre que, si una fuerza que acta
slo en una dimensin en funcin de la
posicin, y de ninguna otra condicin de su
movimiento, esa fuerza es conservativa.
Incluye lo anterior fuerzas con magnitud
constante?. En vista de su respuesta cmo se
Daniel Fernndez Palma Trabajo y Energa 202
-
7/27/2019 05FISICA1 Trabajo y Energia
30/34
las arregla la fuerza de friccin para ser no
conservativa?
28. Una fuerza constante y desconocida F
empuja un objeto de 10 kg verticalmentehacia arriba, a partir del reposo, desde el piso. A
una altura de 2 m, la velocidad del cuerpo es v =
2,4 j m/s a) calcule el cambio de energa
potencial asociada con la gravedad b) Cul
es el trabajo neto efectuado y cul el que
efecta la fuerza desconocida?
29. Cuando estn muy alejados dos tomos
unidos por una lnea no hay fuerza entre
ellos. Al comenzar a acercarse hay una
atraccin entre ellos. La cual a distanciasmuy cercanas, se vuelve una fuerza muy
repulsiva. Haga un esquema cualitativo de. la
energa potencial como funcin de la
distancia entre los tomos
30. Un cuerpo est sujeto a una fuerza
unidimensional expresado por F = A + Bx.
La velocidad de un cuerpo de masa m en el
punto x = xo es v = vo. Para qu valores de x
la velocidad es cero?
31. Un resorte tiene una constante igual a
100 N/m y obedece la ley de Hooke. Hasta
donde se debe comprimir el resorte si su
energa potencial debe ser 30 J ? Cul es la
masa de una pelota en el extremo del resorte, si
la velocidad mxima de sta es 3,0 m/s
cuando se suelta el resorte?
32. La energa de un oscilador armnico
(que es una masa que se mueve en el extremo
de un resorte) est representada por E = mv2 + kx2. Haga una grfica del contorno
de E constante en la cual x se mida en un eje
y v en el eje perpendicular. Escoja los
parmetros E = 16. J , m = 2,0 kg y k = 8,0
J/m2 . Dicha grfica se llama grfica de
fase; el movimiento de un sistema se
restringe a la curva que corresponde a la
energa E.
33. Para la energa potencial Ep(x) que se ve
en la figura: a) Cul es el signo de la fuerza
en las posiciones de 1 a 6. b) Cules
posiciones tienen las fuerzas ms
posi t iva, ms negativa o cero? c)
Determine las posiciones de equilibrio e
indique si este es estable o inestable.
Figura 5.44
34. La energa potencial de dos tomos
separados una distancia r se puede representar
con U(r) = Uo[(ro/r)12-2(ro/r)
6] Calcule la
separacin r, en la cual no existe fuerza entre
los tomos. Cul es la magnitud de la energa
potencial en ese lugar?
35. El pndulo de longitud L mostrado en la
figura es soltado desde el punto A. Cuando se
encuentra en la posicin vertical, la cuerda toca
a la clavija en el punto B y la pelota oscila a
travs del punto C. a) Qu tan rpido se
mueve la pelota al pasar por C?. b) Si se
desprecia la fuerza de friccin, la pelota
alcanzar una rapidez lmite a medida que la
cuerda se enrolla en la clavija. Cul es esa
rapidez?
A L
B C13 L
Figura 5.45 pndulo
36. Un resorte vertical con k = 200 N/m,
tiene en su parte superior una plataforma
ligera. Cuando una masa de 0,5 kg se
coloca sobre la plataforma, el resorte se
203 Trabajo y Energa Daniel Fernndez Palma
0x
Ep(x)
1
2
3
4
5
6
Energa
-
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comprime 0,0245 m. La masa se empuja
todava hacia abajo 0,0755 m y se suelta.
Qu tan lejos volar la masa sobre esta
ltima posicin?
37. En la figura 5.46, ningn resorte est
deformado, cuando se hallan en la posicin
mostrada. Si ahora la masa es desplazada 20
cm hacia la derecha y se suelta, encuntrese
a) la rapidez del bloque al pasar por la
posicin de equilibrio. b) Qu tan a la
izquierda se desplaza el bloque antes de
llegar al reposo? k1 = 8 N/m k2 = 5 N/m , m
= 4 kg
k1 k2m
Figura. 5.46 Superposicin de fuerzas elsticas
38. Un bloque de masa m se halla en reposo
sobre una mesa sin friccin dentro de un
ferrocarril que se mueve en una va
horizontal recta con una rapidez vo. Una
persona que viaja en el ferrocarril aplica al
bloque una fuerza neta F durante un tiempo t
en la direccin del movimiento del ferrocarril.
Calclese para un observador fijo en el
ferrocarril y para un observador fijo en tierra
las siguientes magnitudes: a) la rapidez final
del bloque. b) el cambio en la energa
cintica c ) en trminos de F, m y t , el
desplazamiento del bloque d) el trabajo
realizado por F e) la diferencia entre el
trabajo realizado y la energa cintica ganada
Qu puede concluirse de este clculo?
39. La curva de energa potencial gravitacional
para un objeto de masa m a una distancia r
del centro de la Tierra, se muestra en la
figura 5.47. El cero de energa se toma
cuando la separacin entre la Tierra y la
masa m es infinita. Si un objeto se suelta
lejos de la Tierra, encuntrese su rapidez a
una distancia r = 2RT del centro de la Tierra,
donde RT es el radio de la Tierra.
Ep/m
1 2 3 4 r/RT
-31106
-62106
Fig 5.47 Curva de Energa potencial
40. Una partcula se mueve en un campo
conservativo de energa potencia Ep = 20xy/z.
Encuntrese la fuerza vectorial ejercida sobre
la partcula.
41. Dos resortes de longitud L cuando estn
en equilibrio, estn fijos a los puntos cuyas
coordenadas son: (-L,0) y (0, L). Se fija una
masa m a los extremos libres de ambos y se
desplaza hasta el punto (0, y). Cul es la
energa potencial del sistema, si las
constantes de los resortes son k1 y k2
respectivamente?. Use lo anterior para
calcular la fuerza en la direccin del eje Y
42. Una fuerza que acta en el plano xy es
conservativa y tiene funcin energa potencial
Ep(x) = A(x2 + y2 + 2xy). Describa el
movimiento de una partcula de masa m que
est en el punto x = y = 0 en t = 0, con una
velocidad vo = voi
43. Determine si son o no conservativas:
a) F(x) = ax + bx2 + cx4 b) F = Axyi+ By2j
44. Una pelota en el extremo del pndulo de
longitud L se suelta partiendo del reposo en
una posicin inicial en la cual el hilo del
pndulo es horizontal. El piso est
inmediatamente abajo del punto inferior de la
trayectoria. Al haber pasado ese punto, se
corta el hilo, cuando forma un ngulo = -90 . Determine la distancia horizontal que
recorre la pelota desde el punto de altura
mnima hasta que llega al piso.
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Figura 5.48
45. La superficie del agua en una cubeta est
determinada por la condicin de que la
energa potencial por unidad de masa,
referencia en el cual el agua est en reposo, es
constante en todos los puntos de la superficie.
Suponga que se pone a girar la cubeta a una
velocidad angular , alrededor de su eje
central vertical, y que el agua gira con la
cubeta. Deducir la forma de la superficie.
46. Una cadena de 1 kg de masa y 2 m de
longitud descansa en una mesa y 80 cm de
ella cuelgan de una orilla. Cunta energa se
necesita para volver a subir la cadena a la mesa?
47. Una representacin de la fuerza nuclear
entre dos nucleones (neutrn o protn) es lafuncin de Yukawa de energa potencial
Ep(r ) = -Ae-kr/r , en la cual 1/k tiene el valor
aproximado de 10-15 m y A es una constante
a) Grafique Ep(r) vs r en incrementos de
0,210-15 m hasta llegar a 2,410-15, Grafique
Ep(r) en unidades de A1015 b) A qu
distancia es mnima la energa potencial?. c)
Determine la fuerza F(r). d) Calcule la fuerza
cuando r = 0,110-15 m y 1010-15 m
48. Un ascensor y su carga tienen una masade 2000 kg y est contrapesado por una
placa metlica de 1700 kg que baja cuando el
ascensor sube. Cunto trabajo debe hacer el
motor contra la fuerza de la gravedad para
elevar 30 m el ascensor?
49. En la figura la polea y las cuerdas se
consideran sin masa. El coeficiente de
rozamiento cintico entre el bloque y el plano
es 0.2 y m = 84 kg . a) Cunto trabajo serealiza contra el rozamiento cuando el
sistema se desplaza 3 m? b) si inicialmente
se halla en reposo, cul es su velocidad
cuando se ha desplazado 3 m?
m
m
Figura 5.49 gravedad contra rozamiento
50. Un ciclista debe desarrollar una potencia de
100 Watts contra las fuerzas disipativas para
correr a una velocidad constante de 5 m/sen terreno llano. a) si las fuerzas disipativas
fueran independientes de la velocidad. que
potencia debera desarrollar a una velocidad
constante de 10 m/s? b) La parte de las
fuerzas disipativas debida a la resistencia del
aire aumenta de hecho rpidamente con la
velocidad, Si suponemos que las fuerzas
disipativas son proporcionales al cuadrado de la
velocidad. qu potencia debera desarrollar
para mantener una velocidad constante de 10
m/s ?
51. Para que un coche de 200 kg, pueda
mantener una velocidad constante de 65 km/h
debe realizar trabajo contra las fuerzas
disipativas a una tasa de 9 kW a) Cunto valen
las fuerzas disipativas?. b) Para que el coche
suba por una pendiente se necesita
suminstrarle cierta potencia adems de la
necesaria para mantener una velocidad constante
en terreno llano. qu ngulo forma la carreteracon la horizontal, si la potencia total
necesaria es el doble que en terreno llano?
52 a) Mediante el teorema del trabajo y la
energa determine la distancia ms corta en
que puede detenerse un auto con velocidad
inicial v sobre una superficie horizontal, si el
coeficiente de friccin esttica entre los
neumticos y la superficie es s b) Halle la
respuesta a la parte a) suponiendo que
transcurre un tiempo de reaccin t entre el
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instante en que el conductor percibe la orden
de detenerse y el momento en que aplica los
frenos
53. Un auto de 2000 kg de masa aceleradesde el reposo hasta 26 m/s en 20 s. Qu
potencia media se requiere para lograr esta
aceleracin?
54 Una de las fuerzas que actan sobre cierta
partcula depende de la posicin de sta en
el plano xy.
y B(0,1) C(1,1)
x
0(0,0) A (1,0)
Figura 5.50 comparando trayectorias
Esta fuerza F2, expresada en newtons est
dada por la expresin F = xy i + xy j.
Calcular el trabajo realizado por esta fuerza,
cuando la partcula se mueve del punto O al
punto C en la figura 5.50 a lo largo de:
a) la trayectoria OAC;
la trayectoria OBC;
la recta OC;
b) es conservativa la fuerza?
55 Un bloque de masa m se encuentra sobre
una superficie horizontal como se muestra en
la figura 5.51. Los coeficientes de friccin
esttico y cintico entre el bloque y lasuperficie son s y k respectivamente. El
bloque se encuentra atado a un resorte de
masa despreciable y de constante k. Al
comienzo el bloque se halla en reposo y el
resorte en su longitud normal, luego se da un
impulso de tal manera que empiece a
moverse hacia la derecha con una velocidad
vo
k
m
Figura 5.51 fuerza elstica contra friccin
a) Cunto se habr alargado el resorte
cuando cesa el movimiento hacia la derecha?
b) Encuentre un criterio para decidir si el
bloque regresar hacia la izquierda o si
simplemente permanecer en el punto de
mxima elongacin obtenido en la parte (a).
c) Calcule las expresiones obtenidas en las
partes (a) y
(b) cuando m = 10 kg, k = 100 N/m vo = 1
m/s s = 0,30 y k= 0,15
56. Uno de los extremos de un resorte se
encuentra unido a un pivote O que se halla en
el extremo de un soporte vertical fijo como
se muestra en la figura 5.52 . El resorte tiene
una longitud normal y una constante k. En
el extremo libre del resorte se asegura uncuerpo mediante un pivote. El cuerpo se
obliga a moverse, mediante una gua, sobre
una pista circular de radio r horizontal y lisa,
cuyo centro se encuentra a una distancia h de
O Para las preguntas (a) hasta (d) considere
la situacin libre = o para definir la
posicin de referencia de la energa potencial
a) Cul es la energa potencial del sistema
cuando el cuerpo se halla en la punto A?.
Exprese el resultado en funcin de k, h