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MINISTERIO DE EDUCACIÓN

MatemáticaSerie 1 para docentes de SecundariaCurrículo y desarrollo de capacidades en MatemáticaFascículo 5: MATERIALES EDUCATIVOS Y EL APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA

© Ministerio de EducaciónVan de Velde 160, San Borja

Primera edición, 2007Tiraje: 14 000 ejemplaresImpreso en Empresa Editora El Comercio S.A.Jr. Juan del Mar y Bernedo 1318,Chacra Ríos Sur, Lima 01

Hecho el Depósito Legal en laBiblioteca Nacional del PerúNro. 2007-00257

Coordinación y supervisión general MED

Antonieta Cubas MejíaSupervisión pedagógica MED

Luis Enrique Eyzaguirre EspinoVerificación de estilo MED

Miguel Luis Bances Gandarilla

Autoría

Ediciones El Nocedal S.A.C.Coordinador

Rubén Hildebrando Gálvez ParedesElaboración pedagógica

Felipe Eduardo Doroteo PetitItala Esperanza Navarro MontenegroEdgar Justo Chacón NietoDaniel José Arroyo GuzmánRevisión pedagógica

Hno. Marino La Torre MariñoRevisión académica

Armando Zenteno RuizDiseño y diagramación

Virginia Rosalía Artadi León

Ilustraciones

Patricia Nishimata OishiBrenda Román GonzálezFotografía

Enrique BachmannCorrector de estilo

Marlon Aquino Ramírez

Z_S1 F5 D.indd 1Z_S1 F5 D.indd 1 6/14/07 1:25:37 PM6/14/07 1:25:37 PM

PRESENTACIÓN

Hay que recordar que, generalmente, los conceptos matemáticos han tenido su origen en el mundo físico, y que ha tenido que pasar muchísimo tiempo para que se desarrollen, puesto que son abstracciones que han costado ingentes esfuerzos a la humanidad. En la Educación Inicial y Primaria encontramos que los estudiantes trabajan con material concreto, que manipulan, que hacen representaciones gráficas, y finalmente, llegan a las representaciones simbólicas o abstractas; en cambio, en Educación Secundaria, casi no existen materiales manipulativos, por lo cual es un campo en el que se debe trabajar con profundidad. De esta manera, los estudiantes de todos los niveles podrán beneficiarse con el desarrollo de experiencias prácticas apropiadas a partir de estos materiales didácticos.

El uso de materiales es de vital importancia como apoyo para el aprendizaje y el desarrollo de las capacidades, pues, en cada actividad, los estudiantes se enfrentan a una serie de retos que pueden superar tanto con el trabajo individual, como en grupo o con toda la clase en su conjunto.

Se debe considerar el uso de los materiales didácticos en las sucesivas fases del aprendizaje, sobre todo cuando se introduce un nuevo concepto, ya que es indispensable realizar una serie de actividades con materiales manipulativos antes de proceder a dar definiciones o formalizaciones. Por ejemplo, en la introducción a las ecuaciones de primer grado con una variable, se puede utilizar una balanza de dos platillos como un material de motivación; para esto se hace uso del principio de la balanza: “En una balanza los platillos deben estar siempre en equilibrio”. Los estudiantes pueden manipular objetos y pesas, y representar gráficamente las relaciones que observan en la balanza. Así, si tres jabones, que tienen la misma masa, “pesan 300 gramos” (dato obtenido a partir de la observación de la balanza) se puede graficar esta relación y luego representarla simbólicamente: 3 m = 300 g. Se puede terminar el proceso para determinar cuál es la masa de cada jabón: retirando uno, y después otro, se observa que el último tiene una masa de 100 gramos.

También existen materiales didácticos que permiten los aprendizajes y el desarrollo de capacidades matemáticas a partir del juego y los pasatiempos. Estos en sí mismos ya constituyen un reto para los estudiantes.

Complementamos el fascículo con logros de aprendizaje, recuperación de saberes previos, estrategias de aprendizaje, metacognición, evaluación, chistes matemáticos, curiosidades matemáticas, bibliografía y enlaces web.

índice

Presentación ......................................................................................................................... 1Índice ..................................................................................................................................... 2Organizador visual de contenidos ......................................................................................... 3Motivación ........................................................................................................................... 4Logros de Aprendizaje ......................................................................................................... 4Recuperación de saberes previos ......................................................................................... 4

1. elaboración y uso de materiales Para el Área de matemÁtica ............................. 51.1 Justificación del uso de materiales manipulativos .................................................. 61.2 Orientaciones para el uso de los materiales manipulativos .................................... 71.3 Elaboración de material manipulable ..................................................................... 81.4 Materiales didácticos seleccionados ....................................................................... 101.5 La prensa y los materiales educativos .................................................................... 16

Actividad 1 ..................................................................................................................... 18 2. Juegos y PasatiemPos Para el aPrendizaJe de la matemÁtica .................................. 19

2.1 Matemática y juegos ................................................................................................ 192.2 El juego como diversión y fuente de aprendizaje de la Matemática ............................................................................................................. 202.3 Sugerencias heurísticas para abordar los juegos matemáticos ................................ 212.4 Juegos matemáticos seleccionados .......................................................................... 22

Actividad 2 ..................................................................................................................... 27

3. evaluación ................................................................................................................... 294. metacognición ............................................................................................................. 30

Bibliografía comentada ........................................................................................................ 31Enlaces web .......................................................................................................................... 32

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Serie 1 / CURRÍCULO y DESARROLLO DE CAPACIDADES EN MATEMáTICA

Lee atentamente y responde en una hoja aparte:

¿Qué entiendes por juego?

Haz un breve resumen acerca de tu experiencia con materiales didácticos en tu labor docente.

Usando materiales, elabora la representación de un edificio de cinco pisos. Cada piso es trasladable. ¿Cómo trasladar el edificio de un lugar a otro y con qué contenido matemático se puede relacionar este caso?

¿Qué es un pentaminó?

¿Qué es un cubo?

¿Qué se entiende por estrategia?

¿Qué se entiende por algoritmo?

recuPeración de saberes Previoslogros de aPrendizaJe

Reconoce, elabora y usa materiales didác-ticos para desarrollar las capacidades ma-temáticas de los estudiantes, manifestando creatividad.

Analiza pasatiempos matemáticos para el aprendizaje y desarrollo de las capacidades matemáticas, mostrando perseverancia.

Crea y elabora materiales educativos para ayudar a desarrollar contenidos matemáticos de su interés.

Motivación

Material EducativoProducto MáximoSe numeran las tarjetas del 1 al 9 (como en la figura adjunta).Para comenzar con el juego, las tarjetas se ponen boca abajo sobre la mesa. Pueden participar hasta tres jugadores. Cada uno toma tres cartas al azar, y el que logre armar un producto máximo con las tarjetas que recogió, suma un punto. Gana el primero que obtenga cinco puntos.Como puedes apreciar, se trata de un material educativo simple, y, sobre todo, que se combina con un juego sencillo y de fácil entendimiento; además permite reforzar la multiplicación en .

aPrendizaJe matemÁtica

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fascículo 5 / MATERIALES EDUCATIvOS y EL

APRENDIzAJE DE LA MATEMáTICA

Lee atentamente y responde en una hoja aparte:

¿Qué entiendes por juego?

Haz un breve resumen acerca de tu experiencia con materiales didácticos en tu labor docente.

Usando materiales, elabora la representación de un edificio de cinco pisos. Cada piso es trasladable. ¿Cómo trasladar el edificio de un lugar a otro y con qué contenido matemático se puede relacionar este caso?

¿Qué es un pentaminó?

¿Qué es un cubo?

¿Qué se entiende por estrategia?

¿Qué se entiende por algoritmo?

1. ELABORACIÓN y uso

MATERIALES PARA EL ÁREA DE MATEMÁTICA

de

Por materiales didácticos entendemos todos aquellos objetos, juegos, medios técnicos (elaborados o no), etc., capaces de ayudar a los estudiantes a suscitar preguntas, sugerir conceptos o materializar ideas. Deben ser sencillos y próximos a su mundo.

Es de vital importancia que los estudiantes manipulen diversos materiales y que lo hagan con regularidad. Un uso esporádico del material convierte a éste más en una curiosidad que en una herramienta metodológica que debe servir para el aprendizaje de conocimientos matemáticos en función del desarrollo de capacidades matemáticas.

Hemos de seleccionar aquellos materiales que ayuden a los estudiantes a inventar, a realizar sus pequeños descubrimientos, a transformarse en un investigador sin importar que se trate de algo sencillo.

Los materiales didácticos nos deben servir para sugerir o traducir ideas matemáticas y resolver problemas que ya son en sí mismos estos materiales; considerando que más importante que éste serán los métodos y estrategias abordados en el proceso.

La experimentación con diferentes tipos de materiales permite una organización mucho más flexible de la clase y en cierta forma imprevisible. Al no estar fijadas de antemano, las situaciones que se produzcan tienen carácter único: lo que ocurra en una clase con un material manipulable puede que no ocurra en otras.

El tipo de problemas que se generen a partir de ellos pueden ser diferentes de unos grupos a otros y, posiblemente, distintos de los que se tenían previstos. Este hecho supone para el docente un doble desafío: por una parte, debe permanecer muy atento a lo que ocurra en el aula, decidir en cada momento cómo intervenir; por otra, la posibilidad de no limitarse a utilizar lo que viene ordenado o sugerido en el material, generando así sus propias propuestas. Por eso no usamos aquí los materiales elaborados cuyo uso lleva implícita la actividad que se va a realizar.

Geoplano

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Serie 1 / CURRÍCULO Y DESARROLLO DE CAPACIDADES EN MATEMÁTICA

1.1 Justificación del uso de materiales manipulativos

No es común encontrar programaciones curriculares en las cuales se planteen, de alguna forma, las manipulaciones, construcciones, estudio del mundo real, exploración y descubrimiento del espacio físico, situaciones lúdicas, entre otras. No se recuerda que los conceptos matemáticos han tenido su origen, casi siem-pre en el mundo físico; sin embargo, pretendemos que los estudiantes trabajen directamente con abstracciones que han costado ingentes esfuerzos a la huma-nidad. Muchas veces se dejan de lado los modelos físicos por creer que al ser la Matemática una ciencia exacta se debe enseñar con rigor. Sin embargo, el conocimiento matemático es una abstracción, y a tal hay que llegar, aunque para ello haya que partir de lo concreto y manipulativo. Para la resolución de los pro-blemas matemáticos, los estudiantes tienen que observar unos objetos concretos, tener la posibilidad de manipularlos, operar sobre ellos y comprobar por sí mis-mos el resultado de sus acciones. Esta primera fase en la adquisición de concep-tos matemáticos es la llamada “manipulativa”, necesaria pero no sufi ciente.

Una fase posterior, también básica para facilitar el paso de lo concreto a lo abstracto, es la “representativa”, en la que los estudiantes ya no operan sólo sobre los objetos concretos, sino que también lo hacen sobre sus representa-ciones gráfi cas simbólicas.

Por último, una fase abstracta es la “simbólica”, en la que puede pasar del símbolo al signo y operar sobre signos abstractos y arbitrarios, como son los números.

Para un mismo concepto se realizarán las tres fases consecutivas. Diversos conceptos pueden estar al mismo tiempo en distintas fases.

Los estudiantes aprenden el conocimiento de la realidad globalmente en función de sus intereses y motivación, por ello cualquier momento del día y situación puede ser bueno para abstraer el conocimiento matemático. En clases se dan dos tipos de situaciones, las programadas y las que surgen espontáneamente, siendo ambas idóneas para que el estudiante establezca las relaciones lógicas entre las cosas.

En la educación matemática se plantea que una de las mejores maneras de acceder al conocimiento matemático y desarrollo de capacidades matemáticas es por medio de la manipulación de materiales diversos: la Matemática no sólo con el uso de la mente, sino también con el uso de las manos. Este tipo de aprendizaje de la Matemática reclama la necesidad de un laboratorio con los materiales manipulativos adecuados.

El papel de los materiales didácticos en las sucesivas fases del aprendizaje es fundamental, cuando:

• Se introduce un nuevo concepto, ya que es indispensable realizar una serie de actividades con materiales manipulativos antes de proceder a dar una defi nición o formalización.

• Se aprende haciendo.

• La utilización adecuada de materiales manipulativos les permite enfrentarse a nuevas situaciones en las que tiene que usar, perfeccionar y hacer explícitos los conocimientos adquiridos con anterioridad.

Geoplano

Material necesario para trabajar fi guras geométricas del plano y sus propiedades.

Recuerda

Materiales educativos manipulables

Materiales de ayuda a la comprensión de contenidos matemáticos.


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1.2 Orientaciones para el uso de los materiales manipulativos

Los materiales manipulativos se pueden utilizar para trabajar de forma individual, en grupo o en clase. Pero lo que no debe perderse de vista es que constituyen sólo un punto de partida para la investigación matemática, teniendo en cuenta que cada actividad se puede desarrollar en distintas direcciones y a distintos niveles. Sin dejar de estimular a los estudiantes para que desarrollen sus propias líneas de investigación, descubriendo por sí mismos una serie de estrategias y procesos matemáticos.

Para trabajar con materiales manipulativos se deben considerar cuatro pasos:

a. Paso 1 Es imprescindible una motivación y un esfuerzo inicial para realizar

la tarea, ya sea individualmente o en grupo. Es importante responder preguntas como estas: ¿Qué estás haciendo?, ¿qué estás investigando?, ¿qué vas a hacer a continuación?

b. Paso 2 En esta fase los estudiantes deben abordar el problema, anotan ideas,

establecen relaciones, realizan esquemas, plantean conjeturas, deben utilizar diagramas, dibujos y palabras. Las preguntas pueden ser: ¿Qué opinan de esto?, ¿por qué tienen esa opinión?

c. Paso 3 En esta fase se comprueba la conjetura, se predice el resultado y luego

se comprueba. Las preguntas pueden ser: ¿Sirve ese resultado?, ¿puedes explicar cómo lo has hecho?

d. Paso 4 En esta fase es importante que se produzca un desarrollo posterior de

la investigación, la exploración de otros problemas que puedan surgir, el planteamiento de nuevos temas. Las preguntas pueden ser: ¿Qué has descubierto?, ¿qué podrías cambiar?

MATERIAL EDUCATIVO

Tarjetas de Problemas

TARJETA 3Presente una imagen geométrica para la expresión:



El uso de materiales manipulativos en las

clases de Matemática es indispensable, tanto para

mejorar el aprendizaje de nuestros alumnos

(adquiriendo destrezas intelectuales) como para mejorar su convivencia

escolar. Esto será posible sólo si los docentes hacemos buen uso de estos materiales,

y aplicamos estrategias adecuadas que conduzcan al

alumno a descubrir lo que debe aprender.

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La solución de los problemas de las tarjetas denominadas “tarjetas resolutivas” se trabaja en grupos. Cada uno de los grupos inicia con el primer problema; sólo si lo resuelven y la respuesta es correcta pueden pasar al segundo problema y luego tercero. Gana el grupo que resuelva primero los tres problemas en forma correcta.

Este contenido se trabaja sucesivamente en series, sobre todo relacio-nando el álgebra con la geometría, haciendo que los estudiantes desarro-llen su capacidad creativa, imaginativa, valorando la interrelación entre las partes de la Matemática, la generalización y las particularidades, así como la abstracción y lo concreto.

1.3 Elaboración de material manipulable

El conocimiento matemático constituye el mejor medio para el desarrollo de las capacidades matemáticas, esto implica que su aprendizaje debe ser activo, evitando que éste se reduzca al uso de pizarra y tiza solamente.

El trabajo con materiales manipulativos:

• Es una fuente de actividades matemáticas estimulantes, que permiten ampliar el estudio de la Matemática.

• Permite que los estudiantes realicen actividades de forma autónoma. En muchos casos sirven para desarrollar el trabajo en grupo sobre un tema en particular.

• Contribuye a la formación de respetar las reglas, las cuales deben ser claras y sencillas.

• En la medida de lo posible deben ser construidos por los estudiantes.

• Es un reto para los estudiantes que trabajan solo con lápiz y papel, pues actuarán desde otra perspectiva: manipulan, desarrollan procedimientos y estrategias y fi nalmente formalizan.

• Contribuye a cambiar las actitudes de los estudiantes hacia la Matemática, para hacerlas más positivas.

Proponemos actividades con materiales para conseguir una doble fi nalidad: por un lado, desarrollar los temas habituales de los programas de Matemática y por otro, desarrollar los procedimientos propios de la resolución de problemas y los modos habituales de pensamiento matemático.

En cuanto a la primera fi nalidad, los materiales didácticos potencian una enseñanza más rica, más activa, más creativa y más participativa de los temas habituales del currículo de secundaria.

Ayudan a adquirir y/o afi anzar de una manera más atractiva para los estudiantes los conceptos, procedimientos y actitudes contemplados en la programación didáctica. Su utilización puede hacerse tanto cuando se introduce por primera vez un nuevo contenido como cuando se trata de afi anzar contenidos ya adquiridos.

Material educativoDebemos tener en cuenta que el material educativo va directamente a las manos de los estudiantes, y por tanto, deben reunir las siguientes características:• Adecuado a las

particularidades, necesidades e intereses de los estudiantes.

• Atractivo en actividades e imagen.

• Didáctico y variado.• Factible en cuanto a su

elaboración y uso.• Durable y resistente.• Funcional (fácil de

entender en cuanto a estructura, contenido y explicación).


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Fascículo 5 / MATERIALES EDUCATIVOS Y EL

APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA

En lo que se refi ere a la segunda fi nalidad, se trata de iniciar o desarrollar, a partir de las actividades con materiales concretos, las destrezas específi cas para la resolución de problemas y los modos típicos del pensamiento matemático. En este sentido, su infl uencia puede ser duradera en cuanto que propicia la actitud para abordar e intentar resolver los problemas, actitud que permanece y se aplica no sólo a lo matemático, sino también a las situaciones problemáticas de la vida real.

A continuación, presentamos algunos ejemplos de materiales manipulativos, que los estudiantes pueden construir para trabajar en clase y lograr el aprendizaje matemático en función del desarrollo de su capacidad. Estos permiten buscar y plantear estrategias al desarrollar los procesos, determinar diferentes formas de solución y sistematizarlas; permitiendo así la generalización de manera abstracta o simbólica.

Adaptación de la Torre de Hanoi

Esta adaptación tiene un tablero que sirve como base, con tres tarugos debidamente espaciados, en uno de los cuales hay seis discos ordenados, iniciándose en la base de mayor a menor diámetro. El juego consiste en trasladar los seis discos de un tarugo a otro, de modo que queden ordenados al igual que al inicio del juego; siguiendo las reglas siguientes:1. Debe moverse sólo un disco a la

vez.2. No se puede colocar un disco sobre

otro de menor diámetro.3. Se debe resolver con un máximo de 63 movimientos.

Como podemos apreciar, sólo se necesita emplear el razonamiento basado en la Lógica. Este juego contribuye más al desarrollo de la mente que a la aplicación utilitaria de la Matemática.

A B C

A B C

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Torre de Hanoi

Realidad sobre la que se inspiró el

material del juego de las torres de

Hanoi.

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Edouard lucas (1842 - 1891)Inventor del juego de las torres de Hanoi.

Z_S1 fasc5 Materiales Educ.indd 9Z_S1 fasc5 Materiales Educ.indd 9 6/13/07 6:28:47 PM6/13/07 6:28:47 PM

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1.4 Materiales didácticos seleccionados

JUEGO DE NIMEs un juego de origen chino.

Juego de Estrategia JUEGO DE NIM.Material necesario Juego de fichas, palitos de fósforos u otros materiales.N. ° de jugadores Dos.Referencias Juegos tradicionales.Niveles de utilización A partir del primer grado de Educación Secundaria.

ObjetivosObtener estrategias ganadoras.Practicar técnicas de resolución de problemas.Desarrollar capacidades matemáticas.

Descripción del material del juegoSe necesitan dieciséis fichas (o, en general, ese número de objetos iguales cualesquiera: piedras, botones, fósforos, etc.).

Reglas del juegoEs un juego para dos participantes, que juegan por turno.

Disponemos las 16 fichas en cuatro filas de la siguiente manera: Una en la primera, tres en la segunda, cinco en la tercera y, finalmente, siete fichas en la cuarta.

Cada uno de los jugadores, en su turno, retira el número de fichas que quiera, siempre que estén en la misma fila.

Pierde el jugador que se ve obligado a coger la última ficha (o gana el jugador que fuerza al otro a coger la última ficha).

Escribe la estrategia que hace que siempre ganes el juego de NIM.

NIM

Material del niMMaterial manipulable de mucha utilidad para comprender conceptos en Matemática.

11

Fascículo 5 / MATERIALESEDUCATIVOS Y EL

APRENDIZAJE DE LAMATEMÁTICA

PENTAMINÓSPresentamos dos de los juegos que se pueden hacer con ellos.

Juego de Estrategia PENTAMINÓS.Tipo Tablero.Material necesario Tablero y pentaminós.Número de jugadores Uno o dos.

Niveles de utilización A partir del primer grado de Educación Secundaria.

ObjetivosDesarrollar el sentido geométrico.Desarrollar las capacidades matemáticas.Estudiar todas las posibilidades de construcción.

Descripción del material del juegoPara el Juego 1, un tablero rectangular 6 x 10 y los doce pentaminós diferentes que se pueden fabricar con facilidad, recortándolos en cartulina.

Para el Juego 2, como tablero un cuadrado (de 6, 7, 8 ó 9 cuadrados de lado) y varios ejemplares de cada uno de los pentaminós.

Reglas del juegoJUEGO 1.– Es un juego solitario.Se trata de llenar el rectángulo 6 x 10 utilizando una sola vez cada uno de los 12 pentaminós diferentes.

JUEGO 2.- Es un juego para dos personas.Cada uno de los dos jugadores va poniendo alternativamente un pentaminó en el tablero. Gana el último jugador que pueda colocar un pentaminó llenando el tablero.

ObservaciónEl “pentaminó” está formado por cinco cuadrados unidos sólo por sus lados.

Para una mayor comprensión de los pentaminós, te sugerimos ingresar a la siguiente dirección electrónica:http://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/matrecreativa/juegos/poliominos/pentominos/pentominos.htm

F I L N P

T U V W

X Y

PentaminósEs un material muy

recomendado para construir o consolidar el conocimiento

matemático. Puede servir para la construcción de

figuras de igual superficie y observar perímetros,

introducir el principio de conservación de cantidad y utilizar diferentes unidades

de superficie, etc.

Z

12


CUBO SOMA

Juego de Estrategia CUBO SOMA.Tipo Rompecabezas.Material necesario 27 cubos iguales de madera.Número de jugadores Uno (solitario).Referencias Diseñado por Piet Hein.

Niveles de utilización A partir del primer grado de Educación Secundaria

ObjetivosDesarrollar el sentido espacial.Buscar notaciones de las soluciones.

Descripción del material del juegoA partir de 27 cubitos iguales (de madera, por ejemplo), y pegándolos por caras completas, se forman los siete bloques que componen el rompecabezas: seis tetracubos (cuatro cubos unidos entre sí) y un tricubo (tres cubos unidos entre sí), que se muestran en la figura.

EL CUBO SOMA

Reglas del juegoEntre todos los bloques contienen 27 cubos iguales, el número suficiente para formar un cubo mayor de 3 cubitos de lado. El objetivo del juego es justamente lograr formar ese cubo.

Observaciones• Aunque hay muchas soluciones posibles, no es nada sencilla la

construcción del Cubo Soma. No debes conformarte con una sola solución, hay que buscar varias de ellas.

• Se puede utilizar como una actividad de introducción a la Geometría en el espacio.

Te mostramos una posible solución del Cubo Soma:

Si deseas conocer otras soluciones, puedes ingresar a la siguiente dirección electrónica:

http://web.educastur.princast.es/PROYECTOS/AULAMATEMATICA/Cubo_soma_1S.htm

RECUERDA: LO IMPORTANTES ES QUE TÚ LO RESUELvAS.

1 2 3 4

765

13



Un mate...

Un director de UGEL visita un colegio para ver cómo andan los estudiantes en Matemática. Selecciona un estudiante y le pregunta:– A ver, Juanito, ¿cuatro por

cuatro?– Un todo terreno -responde

el estudiante.– ¿Y tres por dos?– Una oferta de la lotería.

El director se pone en comunicación con el padre del estudiante para que le ayude a estudiar Matemática. El padre de Juanito se sienta con él por la tarde y comienza planteando un problema:

– Vamos a ver, Juanito. Tomamos una camioneta y nos paramos en un chacra que tiene doscientos melones. Nos llevamos cien melones en la camioneta, ¿cuántos quedan en la chacra?

– Pues... otro viaje, responde Juanito.

CUBO DE STEINHAUS

Juego de Estrategia CUBO DE STEINHAUS.Tipo Rompecabezas.Material necesario 27 cubos iguales de madera.Número de jugadores Uno (solitario).Referencias Steinhaus.

Niveles de utilización A partir del primer grado de Educación Secundaria.

ObjetivosDesarrollar el sentido espacial.Buscar notaciones de las soluciones.

Descripción del material del juegoA partir de 27 cubitos iguales (de madera, por ejemplo), y pegándolos por caras completas, se forman las fichas que componen el rompecabezas, que son las que se muestran en la figura.

Reglas del juegoEntre todas las fichas contienen 27 cubos iguales, el número suficiente para formar un cubo mayor de 3 cubitos de lado. El objetivo del juego es justamente lograr formar ese cubo.

Observaciones• Existen varias soluciones posibles, no es nada sencilla la construcción

del Cubo de Steinhaus. No debes conformarte con una sola solución, hay que buscar varias de ellas.

• Se debe utilizar como una actividad de introducción a la Geometría en el espacio.

14


matemáticascuriosidades

CUBO DURERO

Juego de Estrategia CUBOS DIABÓLICOSTipo Rompecabezas.Material necesario 04 cubos iguales de madera.Número de jugadores Uno (solitario).

Niveles de utilización A partir del primer grado de Educación Secundaria

ObjetivosDesarrollar el sentido espacial.Desarrollar el sentido visual.Buscar notaciones de las soluciones.

Descripción del material del juegoTenemos cuatro cubos del mismo tamaño con las caras coloreadas decuatro colores distintos, que en la notación llamamos A, B, C y D. Presentamos en la fi gura el desarrollo de los mismos.

Por ejemplo, se puede pintar:A: azul B: amarillo C: verde D: rojo

Reglas del juegoSe trata de lograr apilarlos en una torre tal que en las cuatro caras laterales haya los cuatro colores distintos.Puede parecer sencillo, pero la práctica demuestra que no lo es tanto. Y por ello es aconsejable una búsqueda de posibilidades según algún orden. Al cambiar la disposición de los colores en las caras o la cantidad total de caras de cada color, obtenemos varios rompecabezas del mismo tipo y distintos grados de difi cultad.

Martín Gardner, matemático,

escritor y docente, creó un

club matemático que se

reunía los sábados por la

mañana para jugar con la

Matemática. Tuvo gran éxito

entre sus estudiantes y fue la

mejor manera de difundir los

juegos matemáticos.

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A CB

D

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A

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EDIfICIO DE CINCO PISOS

Material educativo EDIFICIO DE CINCO PISOSTipo Algorítmico.

Material necesarioFichas circulares de diferentes diámetros; base de madera y bastones delgados del mismo tamaño.

Número de jugadores Uno.

Niveles de utilización A partir de estudiantes del 5º grado de educación primaria.

Objetivos

– Desarrollar la agudeza mental.– Identificar el contenido matemático “potenciación”.

Descripción del materialCon el material educativo organizado como el de la figura, procedemos a trasladar las cinco fichas así organizadas en la posición inicial a otra posición final, considerando las reglas:R1 : Una ficha de mayor área no puede superponer a otra de menor

área.R2 : Sólo mover una ficha (no en bloque). R3 : Se debe trasladar la torre con un máximo de 31 movimientos.

APosición inicial

BPosición intermedia

CPosición final

Como podrá constatarse, el material educativo en referencia ayuda a desarrollar las operaciones básicas, la potenciación, entre otros temas de la Matemática.

SudokuEn la actualidad es el juego

de moda, aunque en realidad se trata de un juego antiguo,

que requiere de lógica y paciencia para lograr

resolverlo y rompe el dicho de que los números son

aburridos.

¿Cómo se juega?El Sudoku consiste en una cuadrícula de 9 x 9 casillas (es decir 81), dividida en 9 “cajas” de 3 x 3 casillas. Al

comienzo del juego, sólo algunas casillas contienen

números del 1 al 9. El objetivo del juego es llenar

las casillas restantes también con cifras de 1 al 9, de modo

que en cada fila, en cada columna y en cada “caja” aparezcan solamente esos

nueve números sin repetirse.

http://usuarios.lycos.es/sudoku/

9 4 7 3 83 7 2 1

8 9 78 5 3 7 1

4 5 2 86 1 88 5 3 6

3 8 74 2 8 6 9

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Serie 1 / CURRÍCULOY DESARROLLO DECAPACIDADES ENMATEMÁTICA

La Prensa Es poco frecuente utilizar la prensa como recurso en el área de Matemática, pero es recomendable su uso, no sólo por el gran caudal de información que se encuentra en los periódicos, y que es susceptible de tratarse desde un punto de vista matemático, sino porque también suministra conocimientos sobre fenómenos o hechos sociales y naturales, constituyéndose de esta manera en una enriquecedora estrategiadidáctica.En los periódicos podemos encontrar: pasatiempos de contenidos matemáticos, manejo de porcentajes, representaciones gráficas, mapas, tablas numéricas, grandes números, manejo de magnitudes, encuestas, estadística, artículos matemáticos específicos, temas de Matemática financiera y otros. Con los contenidos propuestos y una adecuada estrategia podemos lograr en nuestros alumnos capacidades, como por ejemplo:• Enriquecer significados

matemáticos.• Comprender y formular

problemas matemáticos con realidades de la vida.

• Analizar e interpretargráficos y datos expuestos en tablas.

1.5 La prensa y los materiales educativos

Observando la información referente a las importaciones y su impacto, vemos que éstas, en los diferentes lugares del mundo, se expresan en porcentajes y números racionales.

Las importaciones y su impacto

Enero-julio 2005 Enero-Julio 2006

Origen de las importaciones de confecciones(US$ millones FOB)

China

Sudeste asiático(excepto china)

Resto del mundo

11,8

24,9

15,6

41,5

6,6

14,2

Total: 52,2

Total: 62,3

US$ 10,15millones más

Extraído de: “El Comercio”, sábado 28 octubre 2006. Cuerpo B.

0,2

0,5

0,6

0,8

0,9

20%

50%

60%

80%

90%

Para nuestro propósito, de todos los números racionales que representan las barras en el 2005 y el 2006, consideramos sus partes decimales. Esto es:De 11,8 consideramos 0,8De 24,9 consideramos 0,9De 15,6 consideramos 0,6, igual que de 6,6De 41,5 consideramos 0,5De 14,2 consideramos 0,2Cada una de estas partes decimales se pueden representar de otras tres formas diferentes, es decir:

17



Constituyéndose en un material denominado Juego de “Cartas en § ”.

Descripción del Material.

La baraja está constituida por 20 cartas, cada una de ellas contiene cuatro representaciones distintas de los números:

15

; 12

; 35

; 45

y 910

Cada uno de los números está formado por representaciones fraccionarias, decimal, porcentual y gráfi ca.

Reglas del juego:

Cuando tengamos dos cartas de una misma fi la (observa el cuadro anterior), tenemos una pareja, si son tres, un trío y si son cuatro, hacen un póquer. Con estas características se tienen las reglas:

1º Se reparten cuatro cartas a cada jugador y se dejan las que sobran colocadas boca abajo sobre la mesa con la primera levantada.

2º El jugador al que le corresponde, coge la última carta que queda boca arriba sobre la mesa. Después debe dejar una de sus cinco cartas boca arriba en la mesa.

3º El objetivo del juego es agrupar tres o cuatro de las cartas estableciendo lo siguiente: un póquer, un trío o una pareja, cuando un jugador tiene alguna de las jugadas citadas termina el juego.

4º Los puntajes establecidos son:

Póquer 20 puntos

Trío y pareja 15 puntos

Trío 10 puntos

Pareja 5 puntos

5º El ganador es el jugador que tiene el puntaje mayor, después de un número establecido de jugadas.

La cantidad de cartas con el presente material puede variar en número, dependiendo de la adaptación que pueda realizar el docente en clase. Lo fundamental es que se trabaja el reconocimiento de las diversas formas de representar un número racional; lo que resulta de suma importancia para valorar el aporte práctico utilitario de la Matemática.

El juego de cartas es un juego muy popular de

procedimientos conocidos, nuestros estudiantes los

conocen y eso se aprovecha para la enseñanza de la

Matemática. Por ejemplo, en el conjunto

podemos lograr: potenciar la operación de adición

de fracciones, potenciar el cálculo mental, reconocer fracciones equivalentes y relacionar fracciones con

porcentajes entre otras. Este juego también nos

permite desarrollar en los alumnos actitudes como: cooperación, honestidad,

responsabilidad y respeto.


18

Actividad 1

en grupo...investiga con tus colegas

Reconoce, elabora y usa materiales didácticos para desarrollar las capacidades matemáticas de los estudiantes, manifestando creatividad.

1. A partir del juego de estrategia Cubo Soma, propón una variante para obtener un nuevo juego de estrategia. Sugerimos cambiar algunos bloques para obtener esta variante.

2. Para profundizar sobre los Cubos diabólicos ingresa a la siguiente dirección electrónica: http://www.divulgamat.net/weborriak/RecursosInternet/Juegos/cuboscolores.asp

Aquí tienes un ejemplo: coloca los cuatro cubos en fila de modo que en cada lado de la fila esté uno de los cuatro colores.

3. Para profundizar sobre los pentaminós ingresa a la siguiente dirección electrónica:

h t t p : / /www.dma . f i . upm.e s /docenc ia /primerciclo/matrecreativa/juegos/poliominos/pentominos/pentominos.htm

EL ENGAÑO DEL CORDEL

Una vieja historia narra que cierto día un comprador se acercó a un vendedor de espárragos y le dijo:

- Traigo este cordel que mide 10 cm, ¿cuánto me cobras por el atado de espárragos que pueda atar con él?

El vendedor de espárragos pidió 5 nuevos soles y el comprador se mostró conforme. A los dos días, el comprador dijo al vendedor de espárragos:

- vuelvo con este cordel que mide veinte cen-tímetros, ¿te acuerdas que por los espárragos que pude atar con el que medía 10 cm me co-braste 5 nuevos soles?, así que por este cordel que mide veinte centímetros te pagaré 10 nue-vos soles, ¿te parece justo?

El vendedor aceptó, aunque quedó con cierta duda, preguntándose si le habría engañado o no el comprador.

¿Qué piensas tú?

• Con un cordel de doble longitud se encierra una superficie cuatro veces mayor, por lo que no se trataba de doble cantidad de espárragos, sino de cuádruple cantidad.

Un ladrillo pesa 10 kilos, más medio ladrillo, ¿cuánto pesa ladrillo y medio?

Usando una balanza de dos platillos, usa este problema para plantear las fases del desarrollo del pensamiento matemático, es decir, fase manipulativa, fase de la representación gráfica y fase de la representación simbólica o abstracta.

Discute con tus colegas el proceso que has seguido.

19



2. JUEGOS y PASATIEMPOS

APRENDIzAJE

Según cuenta Martín Gardner, Albert Einstein (1879-1955) tenía toda una estantería de su biblioteca particular dedicada a libros sobre juegos matemáticos.

La parte teórica de este capítulo tiene como base lo planteado por el matemático español Miguel de Guzmán en su publicación Juegos Matemáticos en la Enseñanza.

2.1 Matemática y juegos

Para el matemático Miguel de Guzmán, la pregunta: “¿Dónde termina el juego y dónde comienza la Matemática?”, es una pregunta capciosa que admite múltiples respuestas. Para muchos de los que ven la Matemática desde fuera, ésta, mortalmente aburrida, nada tiene que ver con el juego. En cambio, para los más de entre los matemáticos, la Matemática nunca deja totalmente de ser un juego, aunque además de ello pueda ser otras muchas cosas. Considera que el juego que tiene bien definidas sus reglas y que posee cierta riqueza de movimientos, suele prestarse muy frecuentemente a un tipo de análisis intelectual cuyas características son muy semejantes a las que presenta el desarrollo matemático.

El mismo autor considera que cuando la teoría del juego no es elemental es generalmente porque las reglas usuales de éste se han desarrollado extraordinariamente en número y en complejidad y es necesario un intenso esfuerzo para hacerse con ellas y emplearlas adecuadamente. Son herramientas muy poderosas que se han ido elaborando, cada vez más sofisticadas, a lo largo de los siglos.

para el

de laMATEMÁTICA

MIGUEL DE GUZMAN1936 – 2004

Nació en 1936 en Cartagena, era catedrático

de Análisis de la Universidad Complutense de Madrid, miembro numerario de la

Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales

desde 1982, miembro correspondiente de la

Academia Nacional de la Ciencia de la República

Argentina desde 1985. En la década de los 90, desde el 91 al 98, fue presidente

de la ICMI, Comisión Internacional de Instrucción

Matemática.Se doctoró en la Universidad

de Chicago de la mano de Alberto Calderón en 1968.

Regresó a la Universidad Complutense en 1968, obteniendo el título de

doctor por esta universidad ese mismo año.

El 14 de abril de 2004, una inoportuna y fulminante

infección detenía los latidos del corazón de Miguel de

Guzmán. Nos ha dejado a los 68 años un matemático

universal, el último de los pitagóricos.

http://divulgamat.net/weborriak/homenajes/deguzman/guzman.asp

http://platea.pntic.mec.es/aperez4/miguel/image001.jpg

20


Agrega que la Matemática así concebida es un verdadero juego que presenta el mismo tipo de estímulos y de actividad que se da en el resto de los juegos intelectuales. Uno aprende las reglas, estudia las jugadas fundamentales, experimentando en partidas sencillas, observa a fondo las partidas de los grandes jugadores, sus mejores teoremas, tratando de asimilar sus procedimientos para usarlos en condiciones parecidas, trata fi nalmente de participar más activamente enfrentándose a los problemas nuevos que surgen constantemente debido a la riqueza del juego, o a los problemas viejos aún abiertos esperando que alguna idea feliz le lleve a ensamblar de modo original y útil herramientas ya existentes o a crear alguna herramienta nueva que conduzca a la solución del problema.

2.2 El juego como diversión y fuente de aprendizaje de la Matemática

Los juegos, comprendidos como una técnica, pueden lograr que nuestras clases de Matemática sean atractivas e innovadoras, haciendo que por medio de estos juegos-técnicas se puedan presentar contenidos matemáticos, con la fi nalidad de trabajarlos en el aula; así como de afi anzarlos; es por ello que los juegos constituyen una estrategia efectiva para poder motivar a los estudiantes, haciendo que ellos se integren en la ciencia de la Matemática y desarrollen su creatividad.

Cuando se utilizan los juegos en las clases de Matemática, se consideran las siguientes ventajas.V1. Rompe la rutina, no dando espacio al aprendizaje tradicional.V2. Desarrolla las capacidades particulares de los estudiantes hacia

la Matemática, ya que mediante ellas se aumenta la disposición al aprendizaje.

V3. Fortalece la socialización entre estudiantes, así como con sus docentes.

V4. Fortalece la creatividad de los estudiantes.V5. Desarrolla el espíritu crítico y autocrítico, la disciplina, el respeto,

la perseverancia, la cooperación, el compañerismo, la lealtad, la seguridad, la audacia, la puntualidad, entre otros valores y actitudes.

V6. Propicia el compañerismo, el gusto por la actividad y la solidaridad.

Por lo tanto, el juego es un recurso didáctico por medio del cual se puede concluir en aprendizajes signifi cativos favorables para los estudiantes, sin embargo, debe cumplir con ciertos principios.

Según Caneo, entre otros principios podemos mencionar:1. Debe ser sencillo y fácil de entender.2. Debe provocar el interés de los estudiantes.3. Debe ayudar a la socialización, haciendo que los estudiantes se

expresen sin temores ni miedo.4. Debe considerar las diferencias individuales de los estudiantes.5. Debe adecuarse a la edad cronológica y mental de los estudiantes.

http://www.nndb.com/

people/699/000022633/martin-

gardner-aut-ab.jpg

Martin Gardner (1914)

Matemático que contribuyó a la

Matemática recreativa.

http://www.portalciencia.net/images/

einstein10.jpg

Albert Einstein (1879 – 1955)

Científico notable que contribuyó al

desarrollo de la Matemática.


21



2.3 Sugerencias heurísticas para abordar los juegos matemáticos

Miguel de Guzmán en muchos textos de Matemática como: Aventuras matemáticas y páginas web como: http://utenti.quipo.IT/Bases/Introduz/Guzman.vegos.htm, sugiere una diversidad de secciones para trabajar conceptos matemáticos desde el uso de juegos. A continuación, considerando el aporte de este notable matemático comentaremos los pasos para poner en práctica los juegos matemáticos.

a. Antes de hacer trataré de entender. Incluye la comprensión de enunciados, así como del propósito del juego

y el uso de reglas establecidas.

b. Tramaré una estrategia. Comprende las conexiones con otros juegos o resultados parecidos,

básicamente para establecer la estrategia que conducirá todo el juego; para tal propósito algunas interrogantes que ayudarán en esta sección son:

¿Este juego lo has visto antes? ¿Conoces algún juego similar al planteado? ¿Puedes usar ahora la misma estrategia del juego para realizar el nuevo

juego planteado? Si el juego está resuelto en su integridad, ¿puedes hacer una retrospección

de su solución?

c. Mirarésimiestrategiamellevaalfinal. Elegida la estrategia que me permite desarrollar el juego con facilidad,

esta debe ser puesta en práctica. Comprobaré si mi intuición se refleja en la formalidad, pondré en

práctica la estrategia, respetando las reglas del juego. Ensayaré la estrategia de diversas formas, con la finalidad de hacerla

vigente.

d. Sacaré jugo al juego. Una vez resuelta la situación por medio del juego aprovecharé dicha

estrategia para generalizarla a otras situaciones parecidas o similares. Ensayaré diversos casos para simplificar los procedimientos y afinar la

estrategia. Asimismo adaptaré situaciones nuevas a la estrategia con la finalidad de

crear otros juegos.

Eduardo Mancera, propuso una diversidad de procedimientos para resolver problemas y también para el tratamiento de los juegos matemáticos, estos son:- Planteamiento de un problema.- Pedir estimaciones de la solución. - Discutir con el grupo para determinar cuáles son las más viables.- Solicitar que se resuelva el problema.

Dr. EDUARDO MANCERA MARTÍNEZ

Puesto:Responsable de la Línea de

Educación-Matemática del Doctorado en Educación.

Distinciones:Ex-presidente de la

asociación nacional de profesores de matemáticas.

Presidente fundador de la asociación “Maestros

enseñando con tecnología avanzada”

Línea de investigación:Formación de maestros,

Argumentación en matemáticas y Resolución

de problemas.

descartes.ajusco.upn.mx/varios/piem/ppemm.html

http://descartes.ajusco.upn.mx/varios/piem/13.jpg

22


- Solicitar que se presenten algunas formas para resolver el problema.- Presentar, si es necesario, una solución que se vincule con el contenido

del temario.- Solicitar que se modifiquen los datos del problema y que se analice si las

formas planteadas para resolver el problema siguen siendo válidas.- Plantear una solución y pedir todos o algunos de los datos que se ajusten

a la solución planteada.- Solicitar que se planteen problemas.- Utilizar una de las soluciones al problema, la que se ligue con la teoría,

para introducir conceptos y nociones del temario por cubrir.Considerando el aporte, podemos proponer una secuencia didáctica para el tratamiento de los juegos matemáticos como un recurso fundamental que debe estar presente en las clases de Matemática. Estos son:

I. FORMULACIÓN DEL JUEGO - Organización de grupos y equipos de trabajo. - Presentar uno o más juegos.

II. EXPERIMENTACIÓN DEL JUEGO - Puesta en práctica el juego, respetando sus reglas. - Listado intuitivo de posibles soluciones al juego, individual y/o

grupal.

III. SOCIALIzACIÓN DE LA SOLUCIÓN MáS vIABLE DEL JUEGO Quiere decir: - Internalizar una o dos soluciones del juego. - Ampliar los argumentos de las soluciones del juego.

Iv. EXPOSICIÓN DE EXPERIENCIAS DEL JUEGO - Hacer conocer la solución al juego en forma grupal. - Presentar justificaciones y estrategias. - Responder a interrogantes y aclaraciones.

v. INTRODUCCIÓN DE NUEvOS CONCEPTOS - Presentar definiciones relacionadas al tema. - Presentar nociones. - Presentar aclaraciones.

vI. FORMULACIÓN DE NUEvOS JUEGOS - Modificar datos en los juegos anteriores. - Emplear datos de los juegos anteriores, pero en otros contextos. - Crear nuevos juegos.

2.4 Juegos matemáticos seleccionados

A continuación, proponemos algunos juegos matemáticos que además de fuente de aprendizaje sirven para el desarrollo de las capacidades matemáticas. Los tres primeros aparecen en la publicación Juegos matemáticos en la enseñanza, de Miguel de Guzmán.

Juegos matemáticosOperaciones combinadas para reforzar las operaciones básicas.

x + = 8 + x + + : = 1 - : - : + = 8= 8 = 2 = 5

- : = 3 - + x - x = 1 + - + + - = 1= 9 = 9 = 8

0,2

0,5

0,6

0,8

0,9

20%

50%

60%

80%

90%

23



• Escribe un número cualquiera. Multiplícalo por 9. Tacha una cifra cualquiera distinta de 0. Dime lo que suman las restantes y yo te diré qué cifra es la tachada. (Fácil: criterio de divisibilidad por 9).

• Averigua una estrategia para el siguiente juego. Dos jugadores A y B tienen un montón de piedrecillas. Juega A quitando entre 1 y 6. Juega B quitando de las que quedan entre 1 y 6,... Gana quien se lleva la última. (Otro juego: gana quien no se lleva la última) (La estrategia para el primer juego es dejar un número de piedras múltiplo de 7).

• Escribe un número de tres cifras abc. Repítelas para formar uno de 6 abcabc. Divide por 7, divide lo que queda por abc, divide por 11. Te resulta 13.

• ¿QUÉ TAL ADIVINO? Di a alguien que piense en un número, que sume 20, multiplique por 2,

sume el dinero que lleva en el bolsillo, multiplique por 4, sume 40, sume el cuádruple de su edad expresada en años, divida entre 2, reste el doble del dinero que lleva en el bolsillo, reste 20, divida entre 2, reste su edad, divida entre 2 y reste el número que pensó. Dile que le queda 20.

• OPERACIONES QUE CASI SIEMPRE DAN EL MISMO RESULTADO

Dile a algún amigo que piense en un número de tres cifras, que invierta el orden de sus cifras y reste el número menor del mayor. Que al resultado sume el número que se obtiene al invertir sus cifras y que se acuerde el resultado.

Con toda tranquilidad, dile que obtuvo 1 089. Por ejemplo, si su amigo pensó 371. Va obteniendo: 173; 371 – 173 = 198, 198 + 891 = 1 089. Esto se justifi ca como sigue: supongamos que las cifras del número

inicial son a, b, c. en el que a es mayor que c. Entonces dicho número es: a . 102 + b . 10 + c, es decir: 100a + 10b + c, la expresión polinómica del número que se forma al invertir el orden de las cifras es:

100c + 10b + a Al restar el segundo de estos números del primero, se obtiene el número:

100a – 100c + 0 + c – a. Restando 100 y sumando 90 y 10, este número se puede expresar:

100a – 100c – 100 + 90 + 10 + c – a o bien, sacando factor común 100 en los tres primeros términos y

agrupando los tres últimos:100(a – c – 1) + 90 + (10 + c – a)

Invirtiendo las cifras de este número, resulta:

100(10 + c – a) + 90 + (a – c – 1)

Sumando ahora los dos últimos números, se tiene: 100(a – c – 1) + 90 + (10 + c – a) + 100 (10 + c – a) + 90 + (a – c – 1) =

900 + 180 + 9 = 1 089 Este resultado es invariable y se puede probar con cualquier número de

tres cifras.

Los Juegos Matemáticos Una de las mejores maneras

de aprender de nuestros estudiantes es jugando.

A través de esta actividad ellos irán descubriendo su

creatividad, su capacidad de compartir el conocimiento y

la experiencia de aprendizaje con los demás.

Por ello, los docentes debemos crear

oportunidades de juego para que no sólo construyan sus aprendizajes matemáticos,

sino también para que desarrollen aptitudes

(habilidades espaciales, razonamiento verbal y no verbal) y actitudes (interés

hacia la resolución de ejercicios y problemas,

interés por la investigación, respeto, solidaridad,

responsabilidad) y puedan vivir así todas las

dimensiones del proceso de aprendizaje.


24

Serie 1 / CURRÍCULOY DESARROLLO DECAPACIDADES ENMATEMÁTICA

matemáticascuriosidades

• EL DOBLE DEL AÑO ACTUAL

Dile a alguien que escriba el año en que nació y un año cualquiera de la era cristiana. Luego, que escriba los años transcurridos desde cada uno de esos años hasta el actual y que sume esos cuatro números. Multiplica el año actual por 2 y dile el resultado.

Así por ejemplo, para 1 991 el resultado será 3 982.

¿Cómo se explica esto?

Según la propiedad de la sustracción: “La suma del sustraendo con la diferencia es igual al minuendo’’, se tiene que en ambos casos el minuendo es el año actual y los sustraendos el año de nacimiento y el año de la era cristiana, con sus respectivas diferencias. Sumando cada sustraendo con su respectiva diferencia se obtiene dos veces el minuendo o año actual. Esto se puede presentar como sigue:

M S D M S DM S D M S D

M S S D D

' ' '

'2

donde M es el año actual, S es el año de nacimiento, S’ es cualquier año de la era cristiana, D es la diferencia entre el año actual y el año de nacimiento (años transcurridos o edad) y D’ es la diferencia entre el año actual y el año de la era cristiana.

• SIGUE ADIVINANDO

Dile a alguien que piense un número, sume 8, multiplique por 2, reste el doble del número que pensó y dile que obtiene 16 como resultado.

Por ejemplo, si pensó el número 12, va obteniendo.

12 12 + 8 = 20 20 × 2 = 40 40 – 2(12) = 16

En general, si pensó n y se pide que sume a, va obteniendo:

n n + a 2 (n + a) 2(n + a) – 2(n) = 2a.

Esto significa que obtiene el doble del número que aumentó o sumó.

• ADIVINA OTRA VEZ.

Dile a alguien que piense un número, multiplique por 4, que sume 16, divida entre 4, reste el número que pensó y dile que obtiene 4 como resultado.

Por ejemplo, si pensó el número 8, va obteniendo:

8 8 × 4 = 32 32 + 16 = 48 48 4 = 12 12 – 8 = 4.

En general si pensó n y suma a, va obteniendo:

n n × 4 = 4n 4n + a

44

44 4

n a n an

a

Esto significa que obtiene la cuarta parte del número que sumó o aumentó.

• ¿MATEMÁTICO O ADIVINO?

Dile a alguien que piense un número, sume 7, multiplique por 5, reste 5 veces el número que pensó y dile que obtiene 35 como resultado.

Si el número 2 519 se divide por 10 deja residuo 9, si se divide por 9 deja residuo 8, si se divide por 8 deja residuo 7, si se divide por 7 deja residuo 6, si se divide por 6 deja residuo 5, si se divide por 5 deja residuo 4, si se divide por 4 deja residuo 3, si se divide por 3 deja residuo 2, si se divide por 2 deja residuo 1; y finalmente, si se divide por 1, deja residuo 0.

25



Por ejemplo, si pensó el número 10, va obteniendo.

Esto significa que obtiene la parte del número que aumentó o sumó.

10 10 + 7 = 17 17 × 5 = 85 85 – 5(10) = 35.

En general, si pensó n y suma a, va obteniendo:

n n + a (n + a) × 5 5(n + a) – 5(n) = 5a.

Esto significa que obtiene el quíntuple del número que sumó o aumentó.

• PARA ACTUAR ANTE UN AUDITORIO

Pide a dos personas del auditorio un número cualquiera, del 1 al 9, teniendo en cuenta que los dos sean distintos. Una vez elegidos y nombrados en voz alta, multiplica secretamente la suma de estos dos dígitos por 11 y encarga este resultado escrito en un papel a una tercera persona, para su custodia. Ahora pide a una cuarta persona que forme todas las permutaciones posibles con esas dos cifras y luego sume los números resultantes.

Una vez obtenida esa suma, que se la comunique en voz alta al auditorio. Pregunta a la tercera persona encargada de la custodia de su resultado, que diga en voz alta si es o no cierto el número que tiene en custodia. Ejemplo: si eligieron las cifras 4 y 6. Secretamente obtiene: 4 + 6 = 10; 11 × 10 = 110. Encarga 110 escrito en un papel para su custodia. La cuarta persona forma las permutaciones 46 y 64, suma: 46 + 64 = 110.

Este resultado se dice en voz alta, y de igual modo lo hace la persona que custodia el resultado del que propone.

Demostremos por qué se multiplica por 11 la suma de los dos dígitos distintos.

Sean a y b los dígitos elegidos y que se nombran en voz alta. Todas las permutaciones de a y b son ab y ba.

Desarrollando estos números formados se tiene:

ab a b

ba b a

ab ba a b b aa ba b

= +

= +

+ = + + += += +

10

10

10 1011 1111( )

Esto demuestra que para hallar la suma de los números resultantes al formar todas las permutaciones de dos dígitos cualesquiera, basta multiplicar por 11 la suma de dichos dígitos.

• ANILLO ADIVINO

Escriba sobre una tira de papel el número 142 857, dejando un pequeño espacio entre cada una de las cifras. Pegue los extremos y forme un anillo con el número visible en la parte exterior. Solicite a alguien que multiplique este número por el dígito mayor que 1 y menor que 7, elegido libremente por él y en el menor tiempo posible.

Los juegos de ingenio y creatividad constituyen el común denominador de los juegos matemáticos.

Juegos matemáticosLos cuadrados mágicos son interesantes para motivar las clases de Matemática.

1 2 3

4 5 6

7 8 9

26


Un mate...

Dos aeronautas viajan en globo. Un fuerte viento les arrastra durante muchas horas, y se encuentran perdidos. Hacen descender su aerostato en un jardín, y, sin bajarse del mismo, le preguntan a la única persona que encuentran por allí:– Perdone, buen hombre,

¿dónde nos encontramos? El lugareño piensa un rato y

responde:– En un globo. Entonces uno de los

aeronautas le dice al otro:– Vámonos de aquí a

preguntarle a otro, porque este es idiota.

– No, hombre, no es idiota. Lo que pasa es que es matemático.

– Ah, ¿sí? ¿Y cómo lo sabes?– Pues muy sencillo, porque

le hemos hecho una pregunta bien sencilla que cualquier persona normal podría haber respondido inmediata y eficazmente; pero él lo ha pensado largamente, y al final ha dicho algo totalmente cierto, absolutamente exacto, pero que ya sabíamos, y que además no nos sirve para nada.

La persona en cuestión se arma de papel y lápiz, se apresta a multiplicarlo, por ejemplo, por 5. Apenas ha nombrado este nuevo número, rasgar el anillo, mostrando a los espectadores el producto exacto de la operación que la persona ni siquiera ha tenido tiempo de empezar. Por curiosidad la persona puede realizar la operación y verificar el resultado. ¿Cómo se procede para rasgar el anillo?

Al multiplicar el número 142 857 por 2, 3, 4. 5 ó 6, el resultado se forma con las mismas seis cifras ordenadas cada vez de distinta manera. Así, lo único que se debe hacer es multiplicar por 7 el multiplicador elegido por el espectador y rasgar el anillo a la derecha del último dígito resultante de dicha operación.

En el ejemplo, si se eligió el multiplicador 5, multiplicar 5 7 = 35, se rasga el anillo a la derecha del 5 y se obtiene el número 714 285, que es el mismo resultado que se obtiene al multiplicar 142 857 5.

• ADIVINA LA EDAD Y EL DINERO QUE SE LLEVA EN EL BOLSILLO

Dirígete a un auditorio y diles que puedes adivinar la edad de cada uno y el sencillo (en nuevos soles) que llevan en el bolsillo. Si aceptan las siguientes indicaciones:

Multipliquen su edad por 2; sumen 5 al resultado; multipliquen por 50; resten el número de días que tiene un año no bisiesto; sumen el número (entero) de nuevos soles en sencillo (menor de 100) que llevan en el bolsillo y que te digan el resultado. A este resultado, que será un número de cuatro cifras, súmale 115 y dales las dos primeras cifras de la izquierda como la edad y las dos últimas de la derecha como el sencillo que llevan en el bolsillo. ¿Cómo se explica esto?

Sea x la edad de una de las personas del auditorio y p el sencillo (menor de S/. 100) en soles que lleva en el bolsillo. Entonces cada uno va obteniendo: 2x; 2x + 5; 50(2x + 5) = 100x + 250; 100x + 250 – 365 = 100x – 115; 100x – 115 + p.

Esta última expresión se iguala al resultado obtenido por la persona y se transpone 115 al segundo miembro de la ecuación, quedando un número de cuatro cifras, de las cuales las dos primeras de la izquierda constituyen la edad y las dos últimas de la derecha representa el dinero en sencillo que lleva en el bolsillo. Así, si alguien tiene 25 años y S/. 32 en sencillo va obteniendo: 25, 50, 55, 2 750, 2 385, 2 417. Este número se iguala a 100x – 115 + p. Esto es:

100x 115 + p = 2 417100x + p = 2 532100x + p = 2 500 + 32100x

−

+ p = 100 25 + 32100x = 100 5 , p = 32

x = 25

⋅⋅2

La edad: 25 años. Sencillo: 32 nuevos soles.

Juegos matemáticosLos segmentos constituyen una ayuda fundamental para la comprensión de los contenidos matemáticos.

PQ

1

2

34

5

6

PQ

1

2

34

5

6

27

Actividad 2

Analiza pasatiempos matemáticos para el aprendizaje y desarrollo de las capacidades matemáticas, mostrando perseverancia.

1. A lo largo de la historia siempre ha existido un interés de los matemáticos por los juegos matemáticos. Investiga con tus colegas sobre el tema “Impacto de los juegos en la historia de la Matemática”. Para ello revise el texto de Miguel de Guzmán, “Cuento con cuentas” o de Martín Gadner, “Carnaval matemático” u otros sobre juegos matemáticos.

2. El bizantino Moscópulo llevó a Italia en el siglo Xv de nuestra era el culto al cuadrado mágico. He aquí uno de ellos:

1 15 14 412 6 7 98 10 11 513 3 2 16

Como ven, cada columna, o fila, o diagonal, suma 34. Este cuadrado, grabado en una plaquita de plata, en el siglo XvI, protegía contra la peste al que se la ponía. y se llegaba a más: no sólo servía para la curación de enfermedades; aspiraba a un lugar destacado en el psicoanálisis. Por cierto que en uno de los más famosos grabados de Alberto Durero aparece en una pared un cuadrado mágico.

Cuando un cuadrado mágico presenta ciertas características, lleva el nombre de hipermágico. y entre éstos existen los «diabólicos», que continúan siendo mágicos si cambiamos columnas o cambiamos filas.

En el cuadrado mágico dibujado más arriba no sólo suman 34 las filas, las columnas y las diagonales, sino también:

Los vértices: 1 + 4 + 13 +16 = 34; los números que están a continuación de los vértices y por debajo de ellos: 12 + 9 + 8 + 5 = 34; los números que están a continuación de los vértices y a su derecha/izquierda: 15 + 14 + 3 + 2 = 34; las cuatro cifras centrales: 6 + 7 +10 + 11 = 34; los cuatro números vecinos a dos vértices opuestos: 15 + 12 + 5 + 2 = 34; 14 + 9 + 8 + 3 = 34, etcétera.

Aquí tienes un ejemplo: este cuadro mágico fue inventado por Benjamín Franklin y tiene muchísimas propiedades:Cada fila suma 260.Cada columna suma 260.La primera mitad de cualquier fila suma 130.La segunda mitad de cualquier fila suma 130.La primera mitad de cada columna suma 130.La segunda mitad de cada columna suma 130.Los cuatro números de las esquinas más los cuatro números del centro suman 260.La suma de los cuatro números de cualquier cuadrado de 2 × 2 es 130.Los cuatro números de una diagonal que sube más los cuatro número de la diagonal respectiva que baja suman 260.¿Podrías determinar más propiedades de este cuadrado mágico?

52 61 4 13 20 29 36 45

14 3 62 51 46 35 30 19

53 60 5 12 21 28 37 44

11 6 59 54 43 38 27 22

55 58 7 10 23 26 39 42

9 8 57 56 41 40 25 24

50 63 2 15 18 31 34 47

16 1 64 49 48 33 32 17

http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/lugares/mate2i.htm

28

8 3 4

1 5 9

6 7 2

Las líneas y columnas dan la suma de 260 cada una (las diagonales, no). Partiendo del 1, los siguientes números de la serie natural (lógicamente hasta el 64) van apareciendo por el movimiento del caballo en el juego de ajedrez.

Prosigamos con los cuadrados mágicos. Esta fi gura adjunta se compuso por primera vez unos mil años antes de Jesucristo y representa el primer cuadrado mágico que se encuentra en la historia. Los círculos blancos representan números machos (impares) y los círculos negros los números hembras (pares). Sumando los números por columnas, por fi las o por diagonales siempre da la misma suma: 15.

He aquí el mismo cuadrado mágico escrito con la notación arábiga:

El primer cuadrado mágico apareció en un libro chino llamado Libro de las permutaciones, escrito 500 años antes de Pitágoras. Parece ser que el sabio Yu reveló que había encontrado en el Río Amarillo una tortuga, que él denominó «divina», porque en su caparazón estaba decorado el cuadrado mágico de las nueve primeras cifras con círculos blancos y negros (impares y pares), machos y hembras.

Se realizan no sólo estos cuadrados mágicos, sino polígonos con más de cuatro lados mágicos, cubos mágicos, hasta distintos haces mágicos, con fi guras muy curiosas.

• Elabora un mapa conceptual respecto a los casos planteados sobre cuadrados mágicos.

en grupo...investiga con tus colegas

Resuelve con tus colegas los problemas publicados en el diario La República como preparación para la práctica pedagógica y concursos matemáticos posteriores.


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Lee atentamente y haz lo que se te pide.

1. Señala los procesos que se debe tener en cuenta para la elaboración de materiales.

2. Plantea las sugerencias heurísticas para resolver los juegos matemáticos.

3. Diseña un juego de estrategia en el que se usen los pentaminós.

4. Diseña un juego de estrategia en el que uses bloques de cubos de 2 cm de arista, para formar un cubo de 27 de estos pequeños cubos.

5. Plantea tres juegos heurísticos diferentes para adivinar números. Puedes tomar como referencia los juegos planteados en la segunda parte del presente fascículo.

6. Señala qué capacidades puedes desarrollar usando los cuadrados mágicos. Recuerda que las propiedades de los cuadrados mágicos son:

• El orden de un cuadrado mágico es el número de renglones o el número de columnas que tiene. Así un cuadrado de 3 × 3 se dice que es de orden 3.

• Al sumar los números de cualquier renglón, cualquier columna o cualquiera de las dos diagonales el resultado es el mismo, a este número se le llama constante mágica.

• Hay muchas maneras de encontrar la constante mágica:

a . Si se conoce el cuadrado mágico basta sumar cualquier renglón o columna o diagonal.

b . Si el cuadrado no se conoce, una manera es sumar todos los números que se colocarán en el cuadrado y dividir el resultado entre el orden de éste.

Por ejemplo: en un cuadrado mágico de orden 3 los números que se colocarán son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

c . Otra manera de calcular la constante mágica de un cuadrado mágico es acomodar en la cuadrícula los números que se van a utilizar en su orden natural (no en forma de cuadrado mágico) y sumar los números de cualquiera de las diagonales.

Supongamos que siempre se usarán números naturales consecutivos a partir del 1, para cuadrados mágicos de n × n. Escribe una fórmula general para determinar la constante mágica para cualquier cuadrado mágico n × n.

3. EVALUACIÓN

a - c a + (b + c) a - b

a + b a - (b + c) a + c

a - (b - c) a a + (b - c)


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Responde en una hoja aparte:

1. ¿De qué manera te organizaste para leer el fascículo y desarrollar las actividades propuestas?

2. ¿Te fue fácil comprender el enunciado de las actividades? ¿Por qué?

3. Si no te fue fácil, ¿qué hiciste para comprenderlo?

4. ¿Qué pasos has seguido para desarrollar cada una de las actividades?

5. ¿Cuáles de estos pasos te presentaron mayor difi cultad?

6. ¿Cómo lograste superar estas difi cultades?

7. Al resolver la evaluación, ¿qué ítems te presentaron mayor difi cultad?

8. ¿Qué pasos has seguido para superar estas difi cultades?

9. ¿En qué acciones de tu vida te pueden ayudar los temas desarrollados en este fascículo?

10. ¿Qué nivel de logro de aprendizaje consideras que has obtenido al fi nalizar este fascículo?

4. METACOGNICIÓNMetacognición es la habilidad de pensar sobre el discurso del propio pensamiento, es decir, sirve para darnos cuenta cómo aprendemos cuando aprendemos.

Muy bueno Bueno Regular Defi ciente

¿Por qué?

11. ¿Crees que las actividades de investigación fueron realmente un trabajo de equipo? Explica.

12. ¿Tuviste la oportunidad de compartir tus conocimientos con algunos de tus colegas? ¿Qué sentimientos provocaron en ti este hecho?

N O E S C R I B I R


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1. Antón Bozal, J. L.; González Ferreras, E.; Gonzáles García, C.; Llorente Medrano, J.; Montamarta Prieto, G.; Rodríguez Rodrigo, J. A.; Ruiz Jiménez, M. J. Taller de Matemática. Madrid. Ministerio de Educación y Ciencia. Narcea S. A. de Ediciones, 1994.

Taller de Matemática está compuesto por tres fascículos, el primero de ellos trata sobre los objetivos, contenidos y evaluación del taller de Matemática para la educación secundaria obligatoria española. Además, tiene una propuesta metodológica, la guía de uso de las actividades del profesor o profesora y las soluciones de todas las actividades propuestas. El segundo fascículo contiene las actividades desarrolladas y en el tercer fascículo se encuentran las actividades referidas a resolución de problemas, juegos de lógica y estrategia.

2. Corbalán, Fernando. Juegos matemáticos para Secundaria y Bachillerato. Madrid. Editorial Síntesis S. A., 1994.

Es un libro en el que aparecen juegos que requieren alguna acción física –mover fichas o piezas, dibujar o hacer cálculos–, además de que permiten pensar, implican una competencia. Los juegos planteados en el libro se pueden utilizar en contextos distintos y para estudiantes de diferentes edades.

3. Gómez Chacón, Inés María. Los juegos de estrategia en el currículo de matemáticas. Narcea, S. A. de Ediciones, 1992.

Se plantea una aceptable teoría y una gran cantidad de juegos de estrategias, que ponen en evidencia la comprensión lectora, sistematización y formulación de conjeturas.

4. Guzmán, Miguel de. Enseñanza de la ciencia y de la Matemática. zaragoza. Publicaciones del Instituto de Ciencias de la Educación de la Universidad de zaragoza, 1989.

Las notas contienen una serie de observaciones personales de Miguel de Guzmán sobre algunos aspectos del panorama actual de la educación matemática. Se presentan unas cuantas reflexiones sobre la situación de cambio en la que actualmente nos encontramos, señalando las razones profundas que nos mueven en la actualidad para desear salir de algunas vías menos deseables en las que la enseñanza matemática se introdujo en un pasado reciente.

5. National Council of Teachers of Mathematics. Principios y Estándares para la Edu-cación Matemática. Sevilla. Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales, 2003.

Es un documento de última generación que todo o toda docente debe tener en su biblioteca personal; en él encontramos las orientaciones básicas para el desarrollo de las capacidades matemáticas propuestas en el Diseño Curricular Nacional.

bibliografíacomentada

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1. http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/

Página web dedicada íntegramente a la Matemática. Accediendo a su índice, se pueden encontrar cuadrados mágicos, cuentos matemáticos, historia de la Matemática, biografías de matemáticos famosos, números piramidales, juegos matemáticos, acertijos, etc.

2. http://www.nuevaalejandria.com/

Este portal aborda todos los temas concernientes al docente. Basta citar parte de su ideario para entender de qué se trata: “La filosofía educativa de nuestra empresa, Nueva Alejandría, puede explicarse en unas pocas líneas: Enseñar a pensar, enseñar a pensar sobre cosas concretas, enseñar a amar el conocimiento, enseñar a conocerse a uno mismo y enseñar a proyectarse en los demás”.

3. http://www.labiblio.com/

Colección de enlaces clasificados en muchos temas. Contiene una sección dedicada a las Matemática y otra de apuntes.

4. http://www.xtec.es/~jjareno/index.htm

Excelente página en catalán sobre recreaciones matemáticas. Problemas (con pistas y solución que también están en formato pdf), matemática recreativa, actividades y libros. En las secciones enlace del mes y enlaces anteriores se analizan páginas de contenido matemático. Feria de la Matemática lúdica (Matemàgnum). Actualización constante.

5. http://centros5.pntic.mec.es/cpr.de.aranjuez/foro/circo/circoinicio.htm

Página elaborada por el Departamento de Matemáticas del I.E.S. villa de valdemoro. Esta página muy bien estructurada, contiene las siguientes secciones: perfiles, noticias, juegos y paradojas, ¿sabías que?, matemáticas en la red, en el aula y matemáticas 2000. En la sección perfiles nos encontramos con notas biográficas de Galileo, Gauss, Fermat y Copérnico con reseñas de su vida, obra y época.

6. http://rt000z8y.eresmas.net/matemat.htm

Problemas de ingenio, juegos y actividades relacionadas con las matemáticas recreativas (con solución). Contiene una sección dedicada al número de oro: Pitágoras, sección áurea, sucesión de Fibonacci, el rectángulo áureo, y el número de oro en el arte, el diseño y la naturaleza.

enlacesweb

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