04Cerchas

70 Capítulo 1: Estática vectorial plana

1.9.- Aplicación a estructuras articuladas planas (cerchas).

Figura 1.9.1: Estructura de cubierta de pabellón polideportivo formada por cerchas metálicas.

Figura 1.9.2: Esquema de la cercha.

1.9.1.- Definiciones.

Un tipo habitual de estructura empleado en construcción es la cercha. Una cercha ideal es

una estructura compuesta en su totalidad por elementos lineales, de peso despreciable, que trabajan

exclusivamente bajo esfuerzos axiales. Tales elementos lineales (barras, en lo sucesivo) están

conectados entre sí por sus extremos mediante nudos articulados, formando subestructuras

trianguladas en el conjunto de la estructura principal, lo que le confiere la propiedad de sólido rígido.

Las acciones exteriores se consideran aplicadas únicamente en los nudos. En la realidad, por

supuesto, todos los componentes de una cercha tienen peso, pero con frecuencia éste es mucho

menor que la carga aplicada y puede omitirse con un error muy pequeño (hipótesis de peso

despreciable). Si este no fuera el caso y por ejemplo, el peso propio de una barra debiera ser

considerado en el cálculo, éste se tiene en cuenta mediante dos fuerzas verticales iguales a la mitad

del peso, actuando en cada uno de los extremos de la barra.

Capítulo 1: Estática vectorial plana 71

En la Figura 1.9.3 se muestran algunas de las cerchas de uso más frecuente en construcción.

Cercha tipo Howe, de cubierta. Cercha tipo Pratt, de cubierta.

Cercha tipo Howe. Cercha tipo Pratt.

Cercha tipo K Cercha tipo Fink

Figura 1.9.3

El objeto de los métodos de cálculo que se describen en este apartado es determinar las

fuerzas interiores que se originan en cada una de las barras de la estructura, para unas determinadas

cargas exteriores. Los métodos de cálculo que se desarrollan son: el Método de los Nudos, el Método

de las Zonas y el Método de las Secciones.

Al objeto de hacer posible el cálculo es necesario asumir ciertas hipótesis, las cuales reflejan

la realidad de forma aproximada, ya que los cálculos teóricos y los realizados experimentalmente

concuerdan en grado suficiente. Las hipótesis son las siguientes:

1. Cada uno de los nudos consta de una articulación a la cual las barras se conectan

individualmente. Por supuesto que en la realidad se pueden encontrar diversas formas de

conexión de las barras, sin embargo, en la actualidad se utilizan de forma habitual conexiones

especiales entre las barras, a modo de “rótulas” articuladas, como la mostrada en la Figura 1.9.4.

(F)(F)(F)(F)(F)(F) (F)(F)(F)(F)(F)(F)


Figura 1.9.4

2. Ninguna de las barras se extiende más allá de un nudo. En la Figura 1.9.5 se observa el esquema

de una cercha plana. Ésta consta de 9 barras y 6 nudos. El tramo AD consta de tres barras; AB,

BC y CD.

3. Las reacciones en los apoyos (R1 y R2) y las fuerzas exteriores (P1 y P2) se aplican

exclusivamente en los nudos.

A B C D

E

Ejemplo de cercha plana

F

1P2P1R 2R

Figura 1.9.5

Como ejemplo, en la Figura 1.9.6 se observa la barra CE extraída de la cercha de la Figura

1.9.5. Actuando sobre la barra CE se tienen dos fuerzas TCE y TEC respectivamente, que por el

principio de igualdad de acción y reacción, son exactamente iguales pero de sentido opuesto a las

fuerzas que la barra ejerce respectivamente sobre los dos nudos a los cuales está conectada. La

barra CE debe estar en equilibrio, y por tanto:


• Para que la suma de momentos en el punto C sea nula, la línea de acción de la fuerza TEC debe

pasar por el punto C.

• Para que la suma de momentos en el punto E sea nula, la línea de acción de la fuerza TCE debe

pasar por el punto E.

• Para que la suma de fuerzas en la dirección de la línea CE sea nula, las dos fuerzas, TCE y TEC ,

deben ser iguales y de sentidos opuestos.

Figura 1.9.6

La Figura 1.9.7 muestra las consideraciones anteriores en forma gráfica. Las dos fuerzas

actuando sobre la barra CE, empujan o estiran simultáneamente en cada extremo con la misma

magnitud pero en sentidos contrarios.

Figura 1.9.7: Fuerzas actuantes en barras y nudos

TEC

TCE

E

C

TEC

TCE

E

C

TEC

TCE

E

C

Tracción Compresión


Si estiran, entonces la barra trabaja a tracción, si comprimen, trabaja a compresión. Puede

darse también el caso de que las fuerzas que actúan en ambos extremos sean cero; en tal caso la

barra está sometida a tensión nula. Esta distinción es imprescindible en el cálculo de la estructura, y

cuando se calculan las fuerzas sobre las barras, siempre se debe indicar el signo de la tensión,

especificando si se trata de tracción, compresión, o bien una barra con tensión nula.

La razón de efectuar esta distinción de estado tensional es consecuencia de las diferentes

maneras en las que una barra puede romper o deformar (Figura 1.9.8).

Figura 1.9.8

Si una barra trabaja a tracción el único modo posible de rotura tiene lugar cuando las fuerzas

tensan el material con tal magnitud que algunas de las moléculas o átomos adyacentes de la barra se

separan (se supera la tensión límite de rotura del material).

Si una barra actúa a compresión pueden ocurrir dos tipos diferentes de fallo; si la barra es de

corta longitud, sus moléculas/átomos pueden no soportar las fuerzas exteriores y la barra comienza a

deformarse, abollándose y disminuyendo su longitud, lo que se denomina aplastamiento. Por otra

parte, si la barra es relativamente larga y delgada, puede tener lugar un pandeo, de modo que la

barra pierde su rectitud. Para prevenir el pandeo es habitual emplear barras de tensión nula. Estas no

soportan ninguna carga pero previenen el pandeo lateral por compresión.

1.9.2.- Método de los nudos.

El método de los nudos utiliza las propiedades de las barras comentadas anteriormente. A

continuación se muestra su aplicación con la cercha de la Figura 1.9.9.

tracción compresión

Pandeo Rotura

Aplastamiento


A B C D

E F

a

b

c

Figura 1.9.9: Método de los nudos

a) Preliminares.

La Figura 1.9.9 muestra la cercha que sirvió de ejemplo previamente, con su geometría dada

en función de los ángulos, α, β, γ y las longitudes a, b, y c. Las barras AB, BC, CD, y EF son

paralelas entre sí. Las fuerzas exteriores P1 y P2 son conocidas.

Se dibujan también las reacciones desconocidas de los soportes. Puesto que en el punto A

existe un apoyo, la fuerza R1 tiene exclusivamente componente vertical. En el punto D, existe una

articulación fija, por lo que la fuerza R2 tiene componentes vertical y horizontal.

Por otra parte, se han dibujado también todas las fuerzas que las barras ejercen sobre los

nudos respectivos. En la Figura 1.9.9 se han denominado las fuerzas de las barras de acuerdo con

los nudos correspondientes y considerando “a priori” que todas las barras trabajan a tracción. Esta

hipótesis facilita una mejor comprensión del método. Para aquellas barras que trabajan a compresión,

el valor de las fuerzas respectivas se obtendrá con signo negativo. No es necesario volver al dibujo y

cambiar el sentido de las fuerzas; un valor negativo es ya indicativo de aquél.

b) Base del método.

En el método de los nudos se considera el equilibrio de cada uno de ellos.

R1 R2y

R2x

P1 P2

TAB

TAE

TEF

TBETEC

TBC TCD

TFDTFC

α β γ


Para una cercha bidimensional (plana) como la de este caso, se dispone de dos ecuaciones

para cada nudo: suma de fuerzas horizontales igual a cero y suma de fuerzas verticales igual a cero.

En este caso hay 6 nudos y, por tanto, un total de 12 ecuaciones.

Hay una fuerza desconocida para cada una de las barras, 9 en este ejemplo, y tres

reacciones desconocidas, es decir, un total de 12 incógnitas.

Una cercha plana queda determinada estáticamente, sólo si el número total de incógnitas

desconocidas (una por barra, más las reacciones en los apoyos), es igual al número de ecuaciones

independientes disponibles.

Si el número de fuerzas desconocidas excede el número de ecuaciones independientes, la

cercha queda estáticamente indeterminada, y es necesario otro tipo de información (habitualmente,

acerca del modo en que las barras se deforman bajo la acción de las fuerzas), para determinar las

incógnitas.

Si el número de fuerzas desconocidas es inferior al número de ecuaciones disponibles, la

cercha es un mecanismo que puede deformarse, y en general colapsa.

Si se considera el equilibrio del conjunto de la cercha, se dispone de tres ecuaciones más (2

de suma de fuerzas y 1 de suma de momentos), lo que podría hacer pensar que es posible

incrementar el número de incógnitas de manera correspondiente. Desafortunadamente, estas tres

ecuaciones son linealmente dependientes de las ecuaciones de equilibrio de todos los nudos y

barras. (Esta redundancia puede utilizarse para comprobar resultados o resolver el sistema de

ec

Pr

en

uaciones de forma más rápida.)

Este curso se limitará al estudio de estructuras formadas a base de triángulos en las que las2n ecuaciones son linealmente independientes y el número de barras es 2n-3 (con 3incógnitas en los apoyos) Determinación b + r = 2n Estáticamente determinada b + r > 2n Estáticamente indeterminada. (en particular, el grado de indeterminación queda especificado por la diferencia (b + r) - 2n

ocedimiento de resolución

Una vez obtenidas las reacciones del ejemplo, el procedimiento de obtención de las tensiones

las barras es el siguiente:


1. Se aislan los nudos considerando las fuerzas que ejercen las barras sobre los mismos, con la

hipótesis de que las barras trabajan a tracción.

2. Se elige el nudo en el que, como máximo hay dos incógnitas (en este caso el nudo A o el D).

3. Se plantea el equilibrio del nudo.

=∑��

0 .F (1.9.1)

Esta ecuación vectorial da lugar a

α= → + =∑ 0 cos( ) 0 ,x AE ABF F T (1.9.2)

α= → + =∑ 10 sen( ) 0 .y AEF R T (1.9.3)

De la resolución del sistema anterior se obtienen TAB y TAE. Si alguna de ellas es negativa

significa que la barra trabaja a compresión.

1. A continuación se plantea el equilibrio en el nudo adyacente que tenga dos incógnitas como

máximo, y se sigue el mismo procedimiento.

2. Con este proceso se van obteniendo las tensiones en todos los nudos.

En este ejemplo, las 12 ecuaciones de equilibrio para cada uno de los nudos son;

α + =cos( ) 0 ,AE ABT T (1.9.4)

α+ =1 sen( ) 0 ,AER T (1.9.5)

− + = 0 ,AB BCT T (1.9.6)

− + =1 0 ,BEP T (1.9.7)

β− − + =cos( ) 0 ,BC EC CDT T T (1.9.8)

β− + + =2 sen( ) 0 ,EC CFP T T (1.9.9)

γ− − + =2cos( ) 0 ,CD FD xT T R (1.9.10)


γ+ =2 sen( ) 0 ,y FDR T (1.9.11)

α β− + + =cos( ) cos( ) 0 ,AE EF ECT T T (1.9.12)

α β =- - sen( ) - sen( ) 0 ,BE AE ECT T T (1.9.13)

γ− + =cos( ) 0 ,EF FDT T (1.9.14)

γ− − =sen( ) 0 ,FC FDT T (1.9.15)

Y las tres ecuaciones de equilibrio para el conjunto de la cercha;

− − + =1 1 2 2 0 ,yR P P R (1.9.16)

=2 0 ,xR (1.9.17)

− − + =1 2 2 0 .yaP bP cR (1.9.18)

1.9.3.- Método gráfico de las zonas.

a) Introducción.

El método gráfico de análisis de cerchas es similar al método de los nudos, al abordar ambos

el equilibrio de cada uno de los nudos de la cercha, de forma independiente. Si las fuerzas externas

(cargas y reacciones) que actúan sobre un nudo están en equilibrio, los vectores que representan

tales fuerzas, situados uno tras otro (extremo de uno con inicio de otro), crearán un polígono cerrado.

El “cierre” del polígono asegura el equilibrio del nudo. El diagrama que representa todas las fuerzas

actuantes en cada uno de los nudos de la cercha se conoce como Diagrama de Maxwell, o Diagrama

de Maxwell-Cremona.

b) Determinación de las zonas de la cercha.

Una vez determinadas las reacciones en los enlaces, el primer paso para construir el

diagrama es denominar los espacios de la cercha; es decir, las “zonas” exteriores comprendidas entre

las cargas y las reacciones y las “zonas” interiores de la propia cercha. Lo habitual es realizar esta

notación (conocida como notación de Bow), comenzando por la parte izquierda y procediendo

sucesivamente por la parte exterior de la cercha en el sentido de las agujas del reloj. Para la

denominación de las zonas se pueden utilizar letras o números (lo contrario a la notación de los


nudos). La Figura 1.9.10 muestra el ejemplo de notación para explicar este método (números para las

zonas y letras para los nudos).

Figura 1.9.10

c) Polígono de fuerzas.

Se define como un polígono cerrado formado por las fuerzas exteriores y las reacciones que

actúan sobre la cercha. Para su dibujo se elige un sentido de giro alrededor de los nudos, por ejemplo

el horario, y una escala de fuerzas, dependiendo de la magnitud de éstas. Si sólo existiesen fuerzas

verticales el polígono de fuerzas se reduciría a una línea vertical. Se toma un punto de partida y se

denomina con el número 1; refiriéndose a la zona de la cercha denominada como 1. En el diagrama

de Maxwell, representa el punto de inicio del vector fuerza 1-2, esto es, la fuerza exterior entre la

zona 1 y la zona 2 girando en el nudo B en el sentido elegido. En este caso 1-2 es la fuerza vertical

de 4 kN. Para dibujar el polígono, tómese la escala de 1 KN = 1 cm.

Figura 1.9.11

El polígono de fuerzas se muestra en la Figura 1.9.11. Obsérvese que las reacciones, aquí

representadas por los vectores 5-6, 6-7 y 8-1, forman también parte del diagrama. El polígono es

cerrado, es decir, debe concluir en el punto 1; esto indica el equilibrio del sistema.

F E

D

C

A

B1.5 m

1.5 m

4 m4 m

2 kN

5 kN 4 kN

6.25 kN 5.75 kN

1

2 4

5 9

10 11

12

8

3 kN

2 kN

72 kN

6

3

71

2

1

2

3

5

Escala 1 cm = 1 KN

4

6

8


d) Diagrama de Maxwell

Se dibuja ahora el polígono que representa las fuerzas que actúan en cada uno de los nudos

de la cercha. Se comienza por el nudo del soporte izquierdo, ya que al igual que en el método de los

nudos, se debe comenzar por un nudo en el que, como máximo, existan dos fuerzas desconocidas,

en este caso, las fuerzas 1-9 y 9-8. La situación del punto 1 en el diagrama de Maxwell indica la

posición del origen del vector tensión 1-9. Los vectores tensión, en el polígono de fuerzas, son

paralelos a las barras sobre las que actúan. Así, el vector fuerza 1-9 comienza en el punto 1 y es

paralelo a la barra inclinada de la cercha a la cual representa. Análogamente, el vector 9-8 tiene un

extremo en el punto 8, siendo paralelo a la barra 9-8. La intersección de ambas rectas determina el

punto 9.

La longitud del vector representa la magnitud de la fuerza, que es desconocida por el

momento. También se observa que al girar respecto al nudo en el sentido elegido se van encontrando

las zonas 8, 1, 9 en el mismo orden en que aparecen las fuerzas en el diagrama.

Figura 1.9.12

Las longitudes de los vectores 1-9 y 9-8 a la escala 4 mm = 1 kN, representan las magnitudes

10’4 kN y 8’3 kN, respectivamente. Una vez determinadas las fuerzas 1-9 y 9-8, se pasa a otro nudo

cualquiera en el que existan, como máximo, dos fuerzas incógnitas Este puede ser el nudo B, en la

parte izquierda de la cercha. Se dibujan de nuevo líneas paralelas a las barras de fuerza

desconocidas 2-10 y 10-9. Estas líneas determinarán en su intersección el punto 10.

Figura 1.9.13

7

8

1

2

4

5

Línea auxiliar de construcción

Línea auxiliar de construcción 9-8 = 83 mm = 8’3 kN

1-9 = 104 mm = 10’4 kN

9

6

3

10

2

3

7

1

4

Línea auxiliar de construcciónLínea auxiliar de construcción

9

65

8


Se procede de forma similar con todos los nudos de la cercha para completar el diagrama de

Maxwell, Figura 1.9.14. En este diagrama la magnitud de cada una de las fuerzas puede

determinarse midiendo la distancia entre los dos puntos correspondientes de acuerdo a la escala

utilizada. (1 cm = 1 kN).

Figura 1.9.14

e) Determinación del signo de las tensiones en las barras.

El signo (tracción o compresión) puede determinarse en un nudo concreto yendo en el sentido

de las agujas del reloj y siguiendo el vector en el polígono. La dirección correcta de cada vector, con

respecto al nudo en cuestión, es la dirección del movimiento al moverse de punto a punto en el

diagrama. Una dirección “entrante” en el nudo corresponde a una compresión en la barra, mientras

que una dirección “saliente” del nudo indica una tracción.

Por ejemplo, la barra 2-10 está representada en el diagrama de Maxwell por el vector 2-10.

Yendo en el sentido de las agujas del reloj en torno al nudo B, se va de 2 a 10 en el diagrama de la

cercha. En ésta se observa que la barra 2-10 está a la derecha del nudo B, mientras que si en el

diagrama de Maxwell se va del punto 2 al punto 10 (la dirección del vector 2-10), se observa que la

dirección del vector es “entrante” al nudo B, lo que indica que la barra 2-10 trabaja a compresión

(Figura 1.9.15).

Figura 1.9.15: Polígono de fuerzas correspondiente al nudo B.

1

2

10 9

3

2

1

5

7

9

10

11

12

6

48


1.9.4.- Método de las secciones.

a) Preliminares

Una desventaja de los métodos de los nudos y de las zonas radica en su propia naturaleza

secuencial. Esto es, para calcular las fuerzas de equilibrio de un nudo en particular, se deben emplear

los resultados de los cálculos precedentes. El Método de las Secciones permite calcular la fuerza en

barras concretas seleccionadas directamente.

b) Principio del método

En el método de las secciones se considera el equilibrio de una parte de la cercha que consta

de un cierto número de barras y de nudos. Como ejemplo, se supone que el objetivo es calcular la

fuerza en la barra CE, de la cercha de la Figura 1.9.16. Se asume que la geometría de la cercha, las

cargas exteriores y las reacciones en los apoyos son conocidas.

A B C D

a

b

c

E F

Figura 1.9.16: Método de las secciones

La estrategia del método de las secciones consiste en eliminar “mentalmente” tres barras de

acuerdo con las siguientes reglas:

• Una de las barras es aquélla que se desea calcular.

• La supresión de estas tres barras divide la cercha en dos partes independientes.

R1 R2y

R2x

P1 P2

TEC

α β γ


(Es posible eliminar más de tres barras si todas ellas menos una son paralelas o

concurrentes)

Algunas veces se dispone de varias opciones. En la cercha ejemplo sólo cabe una

posibilidad, esto es, eliminar las barras BC, CE, y EF (Figura 1.9.17).

A B C D

E F

P1P2

TEF

TEC

α β γ

a

b

c

TBC

R2X

R1 R2y

Figura 1.9.17: Método de las secciones. Tres barras eliminadas

En la Figura 1.9.17 se observan las dos partes resultantes y sus respectivos diagramas de

sólido libre. Cada una de las partes está sujeta a las cargas externas, reacciones en apoyos y las

fuerzas que las tres barras ejercen sobre ellas.

Resolviendo las ecuaciones de equilibrio de alguna de las partes (la elección es personal) se

obtienen las fuerzas en las tres barras eliminadas, aunque es posible en la mayoría de los casos

encontrar una ecuación de equilibrio que proporcione directamente la fuerza en la barra deseada.

En este ejemplo, se puede encontrar directamente la fuerza en la barra CE planteando el

sumatorio de fuerzas verticales en la parte izquierda de la cercha:

β− − =1 1 sen 0 .ECR P T (1.9.19)

Si se quisiera obtener la fuerza TBC bastaría plantear la suma de momentos en torno al punto

E (para la parte izquierda o la parte derecha de la cercha); en tal caso, la ecuación incluye sólo la

fuerza TBC como incógnita.

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