Un lote contiene 10 artculos de los cuales 4 sondefectuosos, se extraen al azar 3 artculos unopor uno y sin reposicin. Cul es laprobabilidad de que:

Solamente el primero salga defectuoso?

Slo uno de los tres salga defectuoso?

REGLA DEL PRODUCTO

En un conjunto de 10 refacciones existen 8 enbuen estado y dos partes defectuosas. Si seseleccionan dos al azar sin reemplazo, cual es laprobabilidad de:

Las dos salgan defectuosas?

Salga defectuosa la segunda?

EJERCICIO

3PROBABILIDAD TOTAL

Regla de la Probabilidad Total:

B ' 'P A P B P A B P B P A B

Ejemplo

El 70 % de los pacientes de un hospital

son mujeres y el 20% de ellas son

fumadoras. Por otro lado el 40 % de los

pacientes hombres son fumadores. Se

elige al azar un paciente del hospital.

Cul es la probabilidad de que sea

fumador?

5Diagrama de rbol para el ejemplo

Durante un proceso de fabricacin de circuitosintegrados, la probabilidad de que el circuito falle alhaber estado expuesto a grandes niveles decontaminacin es de 0,10. Por otra parte, laprobabilidad de que falle sin haber estado expuestoa contaminacin es de 0,005. En una corrida deproduccin particular, el 20 % de los circuitosestuvieron expuestos a contaminacin. Cual es laprobabilidad de que un circuito falle?

EJERCICIO

La Regla de BayesSi el circuito falla, cual es la probabilidad de que estuviera

expuesto a la contaminacin?

De la regla del producto

Por tanto

O

P A B P A P B A

P A B P B P A B

8La Regla de Bayes

Bajo las mismas condiciones de la regla de probabilidad total,

se cumple que:

Por definicin de probabilidad condicional y

aplicando la regla del producto en el numerador y probabilidad

total en el denominador se obtiene la regla de Bayes. La frmula

permite calcular facilmente probabilidades condicionales,

llamadas probabilidades aposteriori siempre y cuando se

conozca las probabilidades a priori y las

probabilidades condicionales

n

i

ii

jj

j

BAPBP

BAPBPABP

1

)/()(

)/()()/(

)(

)()/(

BP

ABPABP

j

j

)( jBP

)/( jBAP

EJERCICIOEl parte meteorolgico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:a) Que llueva: probabilidad del 50%.b) Que nieve: probabilidad del 30%c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.

Segn estos posibles estados meteorolgicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:

a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%.b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20%c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.

Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estbamosen la ciudad no sabemos que tiempo hizo (nev, llovi o hubo niebla).

Cual es la posible pregunta?, resulvala!!

10

Eventos Independientes

Dos eventos A y B son independientes si la

ocurrencia de uno de ellos no afecta la probabilidadde ocurrencia del otro. O sea:

De la definicin de probabilidad condicional seobtiene la siguiente definicin equivalente:

Dos eventos A y B son independientes si:

11

Ejemplo

Un tirador hace dos disparos a un blanco. La

probabilidad de que acierte en el blanco es 0.8,independientemente del disparo que haga. Cul esla probabilidad de que el tirador:

a) Acierte ambos disparos?

b) Acierte slo uno de los dos disparos?

c) Acierte por lo menos un disparo?

d) No acierte ninguno de los dos disparos?

TECNICAS DE CONTEO EN PROBABILIDAD

EVENTOS ELEMENTALESPOSIBLES EN UN TAMAO MUESTRAL

REGLA MULTIPLICATIVA DEL CONTEO

Experimento I --- m maneras distintas de ocurrir

Experimento II --- n maneras distintas de ocurrir

El experimento compuesto I seguido de II ocurre de

mn maneras.Ejercicio:

Una codificacin de un producto que ayuda a la trazabilidad de un proceso consiste en6 caracteres, cuyos primeros 3 caracteres solamente pueden ser vocales y los restantesnicamente un digito.

a) Cuntos cdigos distintos pueden formarse?

b) Cuntos cdigos distintos pueden formarse conteniendo slo las vocales

(a,e ) y los nmeros (0 4)?

c) Cuntos cdigos distintos se pueden formar si deben tener las

vocales (i,o,u) y los nmeros (5 9 )?

d) Al restar b) de a) que condicin satisfacemos?

METODOS DE CONTEO

SIN REEMPLAZO CON REEMPLAZO

CON ORDEN

SIN ORDEN

CON ORDEN

SIN ORDEN

SIN REEMPLAZO

CON ORDEN. PERMUTACION SIMPLE. Calcula lasposibles agrupaciones acomodadas de una forma especficaque pueden establecerse con todos los elementos de un grupo

(n), al formar subgrupos de (m) elementos.

Ejercicio: Existen tres puestos operativos diferentes en una planta, hay 6 operarios candidatos para ocuparlos, de cuantas posibles maneras pueden ser organizados.

Si hubiesen 6 puestos como aplico la frmula?

!

!n m

nP

n m

SIN REEMPLAZO

CON ORDEN. PERMUTACION CON ELEMENTOSREPETIDOS. Calcula las posibles agrupaciones acomodadas deuna forma especfica que pueden establecerse con todos los

elementos de un grupo (n), donde existen diferentes clases (r1, r2, )

Ejercicio: Existen un grupo de 3 mujeres y 2 hombres para 5

cargos diferentes en una planta, de cuantas posibles maneras

pueden ser organizados, teniendo en cuenta solo el sexo.?

1 2

!

! !...

n

r r

SIN ORDEN. COMBINACION. es una seleccin de objetos (m) de un grupo total (n), donde el orden en que estos han sido escogidos no interesa.

Ejercicio. Existen tres puestos operativos iguales en una planta, hay 6 operarios candidatos para ocuparlos, de cuantas posibles maneras pueden ser organizados.

Si hubiesen 6 puestos?

Si hubiesen 3 operarios?

SIN REEMPLAZO

!

! !n m

nC

m n m

CON REEMPLAZO

CON ORDEN

rnCuantos nmeros de lotera pueden ser impresos si se manejan solamente los dgitos del 1 al 5 y la lotera es de 3 digitos?

CON REEMPLAZO

SIN ORDEN

Resultados de lanzar dos dados simultneamente

1

1 !

1 ! !n r r

n rC

n r

Usted tiene 8 reactivos, y debe transportaren un contenedor 5 de ellos De cuntasmaneras puede hacerlo si dos de ellos nopueden ser transportados juntos, por riesgoa una explosin?