03_nivelacion_matematica

7/25/2019 03_nivelacion_matematica

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1ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 3

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NIVELACIN MATEMTICA

SEMANA 3

NMEROS REALES

(PARTE II)


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NDICE

NMEROS REALES (PARTE II) .............................................................................................................. 4

OBJETIVOS ESPECFICOS ........................................................................................................................... 4

INTRODUCCIN ................................................................................................................................... 4

RACES ................................................................................................................................................. 5

PROPIEDADES DE LAS RACES.............................................................................................................. 6

RACIONALIZACIN .............................................................................................................................. 8

TIPOS DE RACIONALIZACIONES ........................................................................................................... 9

PROBLEMAS DE APLICACIN ............................................................................................................ 11

COMENTARIO FINAL .......................................................................................................................... 16

REFERENCIAS ........................................................................................................................................ 17


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NMEROS REALES (PARTE II)

OBJETIVOS ESPECFICOS

Operar en el conjunto de races.

Aplicar racionalizacin en fracciones que involucran races.

INTRODUCCIN

En la semana anterior se estudi la definicin de una raz, que corresponde a Raz n-sima:

nn a b b a , en que " "a recibe el nombre de radical y " "n se denomina ndice de la raz.

Durante esta semana se estudiar este concepto con mayor profundidad y se conocern

propiedades que permiten resolver ejercicios que involucran races.

Las races son nmeros reales o complejos, no siempre se pueden escribir a travs de un entero.

Estos nmeros satisfacen modelos reales de la fsica, biologa, astronoma, etc. La radicacin es el

proceso inverso de la potenciacin.

Por ejemplo, si se sabe que la frmula que permite determinar el volumen de una esfera es 34

3r

en que representa al real 3,14 y r corresponde al radio (distancia entre el centro de la

esfera y un punto es su casquete), se puede resolver el siguiente problema:

Una persona requiere mandar a construir una esfera de mrmol que colocar en su jardn, sta

conoce el volumen de la esfera que requiere, el que es 36 . Los encargados de construir la

esfera necesitan el radio de ella, cul es el radio de dicha esfera?

Solucin:

Para resolver el problema, se realiza el siguiente procedimiento:

Paso 1: Para obtener el radio debemos igualar la frmula del volumen de una esfera expuesta en

la pgina anterior con la informacin entregada en el ejercicio, el volumen de la esfera que se

quiere construir para colocar en el jardn )36(

3*3

436 r


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Paso 2: Una vez planteada la ecuacin, se debe despejar la variable r, para obtener el valor del

radio de la esfera.

3

*4

3*36r

3

4

3*36r

327 r

r3 27

Luego se requiere saber lo que significa 3 27 .

RACES

Se sabe que 32 es igual a 8, pues 32 2 2 2 . Ahora es de inters conocer el nmero quemultiplicado por s mismo 3 veces da como resultado 8. La respuesta es 2. Esto se interpreta a

travs del smbolo de raz, tal como se muestra a continuacin:

3 8 2 , porque 2 2 2 8 .

Luego la raz cbica de un nmero x , es otro nmero y , tal que3y x , esto se anota

3 x y .

Con este concepto nacen todas las races, en particular la raz cuadrada de un nmero se anota

x . Se observa que en este caso no se coloca el ndice de la raz.

Si se considera por ejemplo 16 , al pensar en la solucin, se debe analizar la interrogante sobre

qu nmero real multiplicado por s mismo da como resultado -16. La respuesta es que no existe

tal nmero, porque cualquier nmero real al cuadrado es mayor e igual a cero. En este caso la

solucin pertenece al conjunto de los nmeros complejos. Estos nmeros no se estudian en esta

semana.

Se deduce que si el ndice es un nmero par, entonces el radical debe ser positivo, para que el

resultado pertenezca al conjunto de los nmeros reales.


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En este curso, si la raz no es exacta, entonces se aplica una de las siguientes propiedades para

descomponer la raz, con el objetivo de simplificar. Sin embargo, no siempre se determina su

clculo.

PROPIEDADES DE LAS RACES

1. nnn abba se multiplican las cantidades radicales y se conserva el ndice.

Ejemplo: 44 4 4 42 8 2 8 16 2 (pues 2 16)

2. ;

n

nn

a a

bb 0b se dividen las cantidades radicales y se conserva el ndice.

Ejemplo:3

3333

54 5427 3 (pues 3 27 )

22

3.nmm n aa se conserva la cantidad radical y se multiplican los ndices.

Ejemplo:3 5 3 5 152 2 2

4.mn mnmn aaa

Ejemplo:2 4 8 62 443 3 3 3

5.n

n m m n

m

aa

a

, 0a

Ejemplo: 2 3 3 2 6 1 63

55 5 5

5

6.n nn abab

Ejemplo:3 33 35 4 5 4 500


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7. nm nmn nm n ababab

Ejemplo: 3 23 3 2 64 3 4 3 16 3 48

8. m n

m nm n

aaa

1 1

, 0a

Ejemplo: 1

5 53 3

55 3

1 12 2

82

9.n na a

Ejemplo:2

( 3) 3 3

A continuacin, se resuelven ejercicios en los cuales se aplican las propiedades.

1. Reduzca trminos semejantes. 3 2 4 12 2 75 2 8

Solucin:

Paso 1: Lo primero que se realizar es entender a qu es equivalente esta expresin para poder

reducir las races

4*223*2523*44238275212423

Paso 2:A continuacin, se aplica la propiedad N1

)2*4(*2)3*25(*2)3*4(*4234*223*2523*4423

Observacin: NO EXISTE LA PROPIEDAD EN LA QUE SE PUEDA SEPARA LA SUMA O

RESTA DE RACES, luegodistinto

n n na b a b


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Paso 3: De esta forma, se puede reducir a la siguiente expresin, es importante recordar que

24 y 525

2*2*23*5*23*2*423)2*4(*2)3*25(*2)3*4(*423

Paso 4: Se agrupan trminos semejantes:

2431038232*2*23*5*23*2*423

2. Exprese como una sola raz 3 84 2 3 2 6

Solucin:

Paso 1: Lo primero que se debe realizar es aplicar la propiedad N6 para poder reducir las races.

De esta forma se obtiene

8 24 33 384 3 6*2*3*26*2*3*2

Paso 2: A continuacin, se aplica la propiedad N1 que indica que al multiplicar races con el

mismo ndice, se multiplica las cantidades radicales manteniendo el mismo ndice. De esta forma

se obtiene:

84 384 38 24 3 38 24 33 3 24*246*4*3*86*2*3*26*2*3*2

Paso 3: A continuacin, se aplica la propiedad N3

161284 3 24*2424*24

Paso 4: A continuacin, se aplica la propiedad N4

192 2816*12 16121612 242424*24

RACIONALIZACIN

La racionalizacin de radicales es un proceso que se aplica a una fraccin cuyo denominador es un

trmino radical o suma (resta) de trminos radicales. El objetivo es eliminar el radical o los

radicales que estn en el denominador de la fraccin. Racionalizar una fraccin con races en el


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denominador, es encontrar otra expresin equivalente que no tenga races en el denominador.

Para ello se multiplica el numerador y el denominador por la expresin adecuada (amplificar).

TIPOS DE RACIONALIZACIONES

1. Si el denominador contiene una nica raz, esto es:

)(, nr

p

A

n r

Se debe amplificar la fraccin por el trmino n rnp , es decir:

n r n r n r n r n n n n

r n r n r nn n n n n

p A p A p A pA

p p p p p p

Ejercicio 1.

Racionalizar3 2

1x

x

Solucin

Paso 1: Lo primero que se debe hacer para racionalizar es amplificar la fraccin por el trmino

n rnx , tal como se aprecia a continuacin:

3 23

3 23

3 23 2*

11

x

x

x

x

x

x

Paso 2: De esta forma se multiplica el numerador y denominador y se obtiene lo siguiente

3 3

3 1

3 23

3 23

3 2

*)1(

*

1

x

xx

x

x

x

x

Paso 3:Dado que xx 3 3

se obtiene:

x

xx

x

xx 3

3 3

3 1 *)1(*)1(


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2. Si la fraccin es de la forma :ba

A

, se debe amplificar por ba

Ejercicio 2

Racionalizar2 1

3

x

x y

Solucin

Paso 1:Lo primero que se debe realizar es multiplicar por lo que se denomina el conjugado, esdecir, se multiplica la fraccin completa por la primera raz del denominador, menos la segundaraz del denominador (el signo menos es porque en la fraccin original se encuentran sumandoambas races en el denominador, si hubiesen estado restando tendramos que multiplicar por lasuma de ambas races).

yxyx

yxx

yxx

33*

312

312

Paso 2:Se realiza la multiplicacin, tanto en el denominador como en el numerador y se obtiene elsiguiente resultado:

yx

yxx

yx

yxx

yx

yx

yx

x

3

)3(*)12(

)3()(

)3(*)12(

3

3*

3

1222

Paso 3: Se multiplican en el numerador, el primer parntesis por el segundo parntesis, todos sus

trminos tal como se aprecia a continuacin, obteniendo el resultado final:

yx

yxyxxx

yx

yxx

3

)3*1()*1()3*2()*2(

3

)3(*)12(


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A continuacin, revise el video N2 Racionalizarde la semana que aparece en el apartado de

Videos de la semana y luego realice el siguiente ejercicio.

PROBLEMAS DE APLICACIN

1. El rea de una circunferencia se calcula a travs de la frmula 2r , en que r es el radio de la

circunferencia. Utilizando esta frmula se resolver el siguiente problema: un individuo debe

cubrir con un material especial la cubierta de una mesa circular, utilizada para reuniones en una

oficina. Determine la cantidad de material que necesita si se sabe que el radio de la mesa es2

2

m.

3.- Racionalice 2323

xxx


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Solucin:

Paso 1: Dado que el ejercicio indica que la frmula para calcular el rea de una circunferencia es2r , se reemplaza el valor del radio en la frmula. De esta forma se obtiene:

221*

42*

22**

2

2

r

Para cubrir la superficie de la mesa, es necesario obtener 2

2m

de material. Como es sabido, es

un nmero y corresponde aproximadamente a 3,1415, por ende, es necesario obtener

aproximadamente 257,12

1415,3m de material.

2. De acuerdo con la teora de la relatividad de Einstein, la masa m de un objeto que se mueve a

una velocidad v es dada por la frmula 02

21

mm

v

c

, en que0

m corresponde a la masa del

objeto en reposo y v es la velocidad de la luz. Determine la masa de un electrn que viaja a la

velocidad de 0,6c si su masa en reposo es 319,1 10 Kg

Solucin:

Paso 1: Reemplazando los datos en la frmula en que

31

0 101,9

m y cv 6,0

31 31 31 31 31 3030

12

2

9,1 10 9,1 10 9,1 10 9,1 10 9,1 10 9,1 101.1375 10

0.8 8 10 81 0.36 0.64(0.6 )1

mc

c

La masa del electrn es de kg30101375,1


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3. Se desea colocar un papel adhesivo en la hipotenusa de una escuadra

Fuente: http://goo.gl/fqxRUx

Si se sabe que la longitud de la hipotenusa corresponde a 2 2a b , en que ,a b corresponde a la

longitud de los otro dos lados de la escuadra (catetos), determine la longitud del papel adhesivo

que se necesita si los catetos miden 3 y 4 cm respectivamente.

Solucin:

Tal como indica el problema, la hipotenusa corresponde a 2 2a b . Lo que es necesario realizar

es reemplazar los valores de a y b en la frmula para encontrar el valor de la hipotenusa. De

acuerdo con los datos del problema, es sabido que a=3 y b=4, por ende se reemplazan en la

frmula como se puede apreciar a continuacin:

2 23 4 9 16 25 5

Hipotenusa

Cateto

Cateto
http://goo.gl/fqxRUxhttp://goo.gl/fqxRUxhttp://goo.gl/fqxRUx


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La longitud de la hipotenusa es 5 cm.

4. Carlos desea realizar un proyecto. Para tal caso su jefe le ha designado un presupuesto el cual

asciende a 35.000 (dlares). El proyecto involucra diferentes tipos de gastos, algunos tienen que

ser costeado por el proyecto y otros, son costeados con dinero de otros fondos. Los gastos totales

que Carlos debe costear con el proyecto se pueden ver representados en la siguiente frmula.Gastos Totales del proyecto (GT), agcGT 2*3 , si c representa a todos los gastos

relacionados con proveedores y actualmente su valor es de 4.000.000 (dlares), g son gastos

asociados a permisos y patentes y actualmente corresponde a 170 (dlares) en tanto a

representa los gastos relacionados con mano de obra directa del proyecto que actualmente

ascienden a 3000 (dlares). Est Carlos cumpliendo con el presupuesto entregado por su jefe? En

caso de que estuviera su proyecto actualmente fuera de presupuesto, a cunto es necesario

disminuir los gastos relacionados con los proveedores (c) para no pasarse del presupuesto

entregado?

Solucin:

Paso 1: Primero se evaluar si actualmente Carlos se est o no pasando del presupuesto

entregado por su jefe. Para esto es necesario reemplazar los datos entregados en el ejercicio en la

frmula

900.37

000.3900.28000.6000.3900.28000.2*3

000.3)170(000.000.4*3*3 22

agcGT

El gastos total actual del proyecto es de 37.900 (dlares), por ende Carlos efectivamente se est

pasando del presupuesto entregado por su jefe y es necesario disminuir algunos costos.

Paso 2: Dado que el presupuesto mximo de Carlos es de 35.000 y actualmente est gastando

37.900, es necesario disminuir uno de los gastos. De acuerdo al enunciado del problema, se debe

ver cunto es el valor mximo que Carlos puede gastar en proveedores para no pasarse de los

35.000 dlares totales. Es por esto que a continuacin se determina la ecuacin para obtener el

mximo valor de c para no pasarse de los 35.000 dlares.

000.35*3 2 agcGT

000.3)170(*3000.35 2 c

900.31*3000.328900*3000.35 cc

c*3900.31000.35

c*3100.3


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c3

100.3

22

3

100.3c

c

9

000.610.9

c

9

000.610.9

777.067.1c

Es necesario disminuir los gastos de proveedores a un mximo de 1.067.777 (dlares) para poder

cumplir con el presupuesto

A continuacin, revise el video N3 Aplicacin de racesde la semana que aparece en el apartado

de Videos de la semana y luego realice el siguiente ejercicio.

5.- Una fbrica de cigarrillos produce c unidades diarias, producidas con a unidades

de materia prima y b unidades de mano de obra, lo que se encuentra representado

en:

5

3

3

2

*4

3),( bayxC

Estime cuntas unidades de cigarrillos diarios se pueden producir con 15 unidades de

materia prima y 23 unidades de mano de obra.


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COMENTARIO FINAL

Las races son nmeros reales o complejos, no siempre se pueden escribir a travs de un entero.Estos nmeros satisfacen modelos reales de la fsica, biologa, astronoma, etc. La radicacin es el

proceso inverso de la potenciacin.

La racionalizacin de radicales es un proceso que se aplica a una fraccin cuyo denominador es un

trmino radical o suma (resta) de trminos radicales, el objetivo es eliminar el radical o los

radicales que estn en el denominador de la fraccin. Racionalizar una fraccin con races en el

denominador, es encontrar otra expresin equivalente que no tenga races en el denominador.

Para ello se multiplica el numerador y el denominador por la expresin adecuada (amplificar).


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REFERENCIAS

Baldor, A. (2004).lgebra. Mxico D. F.: Publicaciones Cultural S. A.

Stewart, J. (1999). Clculo, trascendentes tempranas. Mxico: Thomson.

Stewart, J.; Redlin, L. y Watson, S. (2001). Preclculo. Mxico: Thomson.

Swokowski, E. y Cole, J. (2011). lgebra y Trigonometra con Geometra Analtica. Mxico:

CENGAGE Learning.

Zill, D. y Dewar, J. (1999).lgebra y Trigonometra. Mc Graw Hill.

PARA REFERENCIAR ESTE DOCUMENTO, CONSIDERE:

IACC (2014). Nmeros Reales (Parte II). Nivelacin Matemtica. Semana 3.


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