Magnitudes Fisicas I1VIA.GNITUI>ES FSICA.S Captulo 2MAGNITUDES FSICASEs todoaquello quese puedeexpresarcuantitativamente,dichoen otras palabras essusceptible a ser medido.Para qu sirven las magnitudes fsicas?sirven para traducir en nme- ros los resultados de las observaciones;as el lenguaje que se utiliza en laFsica ser claro, preciso y terminante.CLASIFICACIN DE LAS MAGNITUDES FSICAS1.-POR JU ORIGENMagnitudesFundamentalesSonaquellasquesirven de base paraescribir lasdemsmagnitudes. En mecnica, tres magnitudes fundamentales son suficientes:La longitud,la masa y el tiempo.Lasmagnitudes fundamentalesson:Longitud (L),Intensidad de corriente elctrica( I) Masa(M),Temperatura termodinmica () Tiempo (T),Intensidad luminosa (J)Cantidad desustancia()MagnitudesDerivadasSon aquellas magnitudes que estn expresadasen funcin de las magnitudes fundamentales;Ejemplos:Velocidad,Trabajo,PresinAceleracin,Superficie(rea),Potencia,etc.Fuerza,DensidadMagnitudesSuplementarias(Son dos), realmente no son magnitudes fundamentales ni deriva- das;sin embargose lesconsideracomo magnitudesfundamentales:ngulo plano (),ngulo slido ()Jorge Mendoza DueasMagnitudes Fsicas2.-POR JU NATURALEZAMagnitudesEscalaresSon aquellas magnitudes que estn perfectamente determinadas con slo conocer su valor numri- co y su respectiva unidad.Ejemplos:VOLUMENTEMPERATURATIEMPOSlonecesito 100mm3 yestar terminado Tengofiebre de 40CQuefatal! Sonlas12:15P.M.Yaestarde!Comoseveren todosestoscasos,slosenecesitael valor numrico ysu respectiva unidadpara quela magnitud quedeperfectamentedeterminada.MagnitudesVectorialesSon aquellas magnitudes que adems de conocer su valor numrico y unidad,se necesita la direccin y sentido para que dicha magnitud quede perfectamente determinada.Ejemplos:FUERZADESPLAZAMIENTOF 5NSabemos que la fuerza que se est aplicando al bloque es de 5Newton;pero denoser por la flecha(vector)quenosindica que la fuerzaesvertical y hacia arriba;realmenteno tendramosidea siseaplica hacia arribao hacia abajo.La fuerzaesunamagnitud vectorial.El desplazamiento indica que mide 6 km y tienen una orienta- cin N 60E(tiene direccin ysentido)con lo cual es fcil llegar del puntooa lacasa.SISTEMA DE UNIDADES - NOTACIN EXPONENCIALSISTEMA DE UNIDADESLanecesidad de tener unaunidad homogneapara determinada magnitud,obliga al hombre a definir unidades convencionales.Origen del Sistema de Unidades:1 pulgada1 yarda1 pie Convencionalmente:1 pulgada = 2,54 cm1 pie= 30,48 cm1 yarda= 91,14 cmEl 14 de octubre de 1 960, la Conferencia General de Pesas y Medidas,estableci el Sistema Interna- cional de Unidades (S.I.), que tiene vigencia en la actualidad y que en elPerse reglamentsegn la ley N 23560.Existe 3 tipos de unidades en el Sistema Interna- cional (S.I), estasson:UNIDADEJ DE BAJESon las unidades respectivas de las magnitudes fundamentales.MAGNITUDUNIDADSIMBOLOPATRON PRIMARIOLongitudmetromBasado en la longitud de onda de la luz emitida por una lmpara de criptnespecial.MasakilogramokgUn cilindro de aleacin de platino que se conserva en el laboratorio Nacional dePatronesenFrancia.TiemposegundosBasado en la frecuencia de la radiacin de un oscilador de cesio especial.Intensidad de CorrienteElctricaAmpereACon baseen ladefuerzamagnticaentredosalambresque transpor- tan lamismacorriente.Temperatura TermodinmicaKelvinKDefinido porlatemperaturaalaquehierveelaguaysecongelasimul- tneamentesi lapresinesadecuada.Intensidad LuminosaCandelacdBasado en la radiacin de una muestra de platino fundido preparada especialmente.Cantidad deSustanciamolmolCon baseen laspropiedadesdel carbono 12.MAGNITUDUNIDADSIMBOLOAnguloPlanoradinradAnguloSlidoestereorradinsrUNIDADEJ JUPLEMENTARIAJSon lasunidadescorrespondientesalasmag- nitudes suplementarias, sin embargo se les considera como unidades de base.UNIDADEJ DERIVADAJPREFIJOSMBOLOFACTORDE MULTIPLICACINdeci centi mili micro nano pico femto attod c m n p f a10-1 = 0,110-2 = 0,0110-3 = 0,00110-6 = 0,00000110-9 = 0,00000000110-12 = 0,00000000000110-15 = 0,00000000000000110-18=0,000000000000000001MAGNITUDUNIDADSIMBOLOFuerzaNewtonNSuperficie(Area)metrocuadradom2Velocidadmetro porsegundom/sVolumenmetrocbicom3TrabajoJouleJPresinPascalPaPotenciaWattWFrecuenciaHertzHzCapacidadElctricafaradiofResistenciaElctricaOhmSon lasunidadescorrespondientesalasmag- nitudesderivadas. Acontinuacinslose pre- sentarn algunas de ellas. JUBMLTIPLOJOBSERVACIONESEl smbolo de una unidad no admite punto al final.Cada unidad tiene nombre y smbolo;estos seescriben con letra minscula,a noser que provenga del nombre de una persona, en cuyo caso se escribirn con letra mayscula.NOTACIN EXPONENCIALEn la fsica, es muy frecuente usar nmeros muy grandes, pero tambin nmeros muy pequeos; parasu simplificacin se hace uso de los mltiplos y submltiplos. OBSERVACIONESLossmbolosde losmltiplososubmltiplos se escriben en singular.Todos los nombres de los prefijosse escribi- rn en minscula.Los smbolos de los prefijos para formar los mltiplos se escriben en maysculas,excep- to el prefijo de kilo que por convencin ser con la letra k minscula.En el caso de los submltiplosse escriben con minsculas.Al unir un mltiplo o submltiplo con unaunidad del S.I.se forma otra nueva unidad.Ejemplo:Unidad delS.I.m(metro)NuevasUnidadeskm(kilmetro)cm(centmetro)PREFIJOSMBOLOFACTORDE MULTIPLICACINDeca Hecto Kilo Mega Giga Tera Peta ExaD Hk M G T P E101 = 10102 = 100103 = 1 000106 = 1 000000109 = 1 0000000001012 = 1 0000000000001015 = 1 0000000000000001018 =10000000000000000001.MLTIPLOJ La escritura, al unir mltiplo o submltiplo con una unidad del S.I.es la siguiente: Primero:El nmero (valor de la magnitud). Segundo:El mltiplo o submltiplo (dejan- do un espacio)Tercero:Launidad delS.I.(sin dejar espacio).Ejemplo:20103 m = 20 km (20 kilmetros) 36,410-6 f = 36,4 f (36,4microfaradios)CIFRAS SIGNIFICATIVASCuando un observador realiza una medicin, nota siempre queel instrumento de medicin posee una graduacin mnima:Ilustracin CONCEPTO DE CIFRAJ JIGNIFICATIVAJLas cifras significativas de un valor medido, estn determinados por todos los dgitos que pueden leerse directamente en la escala del instrumento de medicin ms un dgito estimado.En el ejemplo del libro, la longitud del mismo se puede expresar as:33,5 cm ; 335 mm ; 0,335 mEs notorio que el nmero de cifrassignificativasen el presente ejemplo es tres.El nmero de cifrassignificativas en un valor me- dido, generalmente se determina como sigue:La regla graduada tiene como graduacin mnimael centmetro.Al medir el largo del librose observaquesu medidaestentre33y34cm. El dgito distinto de cero que se halle ms a la izquierda es el ms significativo.El dgito que se halle ms a la derecha es el menos significativo, incluso si es cero.El cero quese colocaa la izquierda del punto de una fraccin decimal no es significativo.20; tiene una cifra significativa.140 ; tiene dos cifras significativas. 140,0 ; tiene cuatro cifras significativas. 1 400; tiene dos cifras significativas.Todos los dgitos que se hallen entre los dgitos menos y mssignificativosson signi- ficativos.Ejemplo; determinar el nmero de cifras significa- tivas:Se podr afirmar entonces que el largo del libro mide 33 centmetros ms una fraccin estimada o determinadaal ojo,as por ejemplo, nosotros po- demos estimar:L = 33,5 cm. 4,356 m; tiene cuatro cifras significativas. 0,23 m; tiene dos cifras significativas.0,032 m; tiene dos cifras significativas 36,471 2 m; tiene seis cifras significativas 6,70 m; tiene tres cifras significativas 321,2 m; tiene cuatro cifras significativas 2,706 m; tiene cuatro cifras significativasTESTa)metro (m)b)Pascal (Pa)1.-Entre las alternativas, una de las unidades no corres- ponde a las magnitudes fundamentales del sistema internacional:Amperio (A)candela (cd)segundo (s)2.-Qu magnitud est mal asociada a su unidad base en el S.I.?Cantidad de sustancia - kilogramoTiempo - segundoIntensidad de corriente - AmperioMasa - kilogramoTemperatura termodinmica - kelvin3.-Cul de las unidades no corresponde a una unidad fundamental en el S.I.?A Amperiomol - molC - Coulombkg - kilogramom - metro4.-Entre las unidades mencionadas,seala la que perte- nece a una unidad base en el S.I. 50 millas y por 2,05 10 4 m20 millas y por 2,1 104 m30 millas y por 2,1 105 m40 millas y por 10 4 mN.A.7.-Un estudiante determinado meda 20 pulg de largo cuando naci.Ahora tiene5 pies,4 pulg y tiene18aos de edad. Cuntos centmetros creci, en promedio, por ao?6,2 cm5,3 cm5,4 cm6,7 cm4,3 cm8.-Cul de las siguientes alternativas tiene mayor n- mero de cifras significativas?a) 0,254cmb) 0,00254 102 cmc) 254 103 cm d) 2,54 103 me) Todos tienen el mismo nmero9.-Determine el nmero de cifrassignificativas en lassi- guientescantidades medidas:(a) 1,007 m,(b) 8,03 cm,(c) 16,722 kg,(d) 22 ma)N Newtonabcdb)Pa - Pascala)4353c)C - Coulombb)2252d)A - Amperioc)4352e)g - gramod)1132e)21325.-Qu relacin no corresponde?a) 1GN = 109 N b) 2TJ= 21012 Jc) 1 nHz = 10 9 Hz d) 3 MC = 3109 C e) 5 pA = 51012 A6.-Alconvertir unaseal decaminoalsistemamtrico,slo se ha cambiado parcialmente.Se indica que una po- blacinesta60km dedistancia,y laotraa50millasde distancia (1 milla = 1,61 km).Cul poblacin est ms distante y en cuntos kilmetros? 10.- Cul de lascantidadessiguientes tiene trescifrassig- nificativas?a) 305cmb) 0,0500 mmc) 1,00081 kg2 mN.A.PROBLEMAS RESUELTOS A PROBLEMA/ DE APLICACIN B PROBLEMA/ COMPLEMENTARIO/ 1.-Efectuar: E= 5 000 0 0,01Solucin: 1.-Dar la expresin reducida:Solucin: E (9 000) (0,000 81)32(0,000 000 243)2E e5 104 je1102j 23 3 5 2 69 4 5 2E (3 10 ) (8110 ) 3 10 (3 10 ) E 5 104 2 5 102 (243109)2 (35 109)2698 10E= 5002.-Efectuar: E 0,005 104 30 000 000Solucin:E e5 103je104 je3 107 j E 5 103 4 7 5 100E = 53.-Convertir: 400 320 m a kmSolucin:400 320m 400 320 m 1km1000 m E 3 10 3 103(6810) 10(91018)310 1018E 3(6810) 10(91018)E 34 1017E 8110172.-Dar el valor simplificado de:R bg24b25000g5b0,000125g3 0,006 25 b0,05gSolucin:R b25 000g5b0,000125g3400320 m = 400,320km b0,006 25g2b0,05g4534.-Convertir: 360 km a m e25103j e125106 jR hsSolucin: e625105j2e5 102j453360 km 360 km 1 000 m 1 h e52 103j e53 106 jR hh1km 3 600s e54 105j2e5 102j4km (360)(1 000) 10159 18360hkm 3 60036 104 m / s4 2 R 5 10 5 10 58 1010 54 108360h360 kmh 1036 102100 m / s m / s R 5b10 9 8 4g 10b15 18 10 8gR 57 10155.-CuntosGm tendrs en 2 230 m?Solucin: 3.-Hallar la altura del nevado Huascarn en hectme- trossi expresado en metros mide 6 780 m.Solucin:2 230 m 2,23 103 m 1Gm9 6 780m 6 780 m 1Hm 10 m2 230 m 2,23 103 9 Gm2 230 m 2,23 106 Gm 6 780 m 67,80Hm 102 m1BJorge Mendoza DueasMagnitudes Fsicas194.-Darel espesor que forman 26monedasen lo quecada 46 1/2 6 6 1/3 una de ellas tiene un espesor de 2 mm; expresar di- cho resultado en nm.Solucin: e5 10 j e2 10 j Q e52 104 je24 103j4Q 5 10 2 10 214 10b3 2 4 12g232252 104 216 1012Q 214 1011e 26 2 mme 26 2 mm e 52 103 m 1m1000 mm 7.-Hallar en Em la distancia que existe desde la tierra a unaestrella,siendo estadistanciaequivalentea2aos luz. (1 ao luz = distancia que recorre la luzen un ao de 365 das).Considere que la luz recorre 300 000 km en 1 segundo.Solucin:e 52103 m 1nm 109 me 52 103 109 nm e 52106 nm5.-Un cabello humano crecea razn de 1,08 mm por da.Expresar este clculo en Mm / s.Solucin: d = 2 ao luz1 ao luz = 300 000 km 365 dass23231 hkm24 2h3 3 600s1ao luz 300 000 365dia23 23V 1,08 mm 1,08 mm s1 dia 231,08 mm 1 m 1h1 da 24 h 123 1ao luz 300 000 36524 3 600 km123V123 252h24123123123 1 000 mm 3 600s 1ao luz 3 10 36524 36 10 km2341000 2m34 1Em7 1234 234108 102mV 32 s 1ao luz 946 080 10 1k2m34 23412k3m4 1018 m2323423424 10 36 10m 1ao luz 946 080 107 103 1018 EmV 0,125107 s 1M m 1ao luz 946 080 108 EmV 0,125107 m ss 106 m s Finalmente:d 2e946 080 108 EmjV 0,1251013 Mms6.-Expresar en potencias de 10.0,000 625 3 0,000 064 d 1892160 108 Em d 19 103 EmQ Solucin: b0,05g2b0,016g4 8.-Convertir: 30 m/s a milla/h1 milla = 1 609, 347 m1/2 1/3 Solucin:e625106 j e64 106 jQ 24 mm 3 600 s 1 milla e5 102j e16 103j 3030 ss 1h 1609,347 m30 m 30 3 600 milla Solucin:s1609,347 h * 1kg 2,2 lb * 1litro 1dm330 m 67,108 milla 1000 g 2,2 lb 1litro1 3sh1 g 2,2 103 lb dm1000 1000339.-Convertir: 1kw-h aJoule (J) ;1 kw = 1 kilowattwatt Newton 1 lb 1 lb 1 ml 10 1 g dm1pulg3sSolucin: *pulg3pulg32,2 103 lb b0,254 dmg31 kw-h kw h1 kw-h kw h 1000 w 3 600s 1lb pulg3 1e2,2 103jb0,254g3 g dm31kw1 kw-h 36 105 w s1 kw-h 36 105 w s 1hJoule s 1lb pulg31lb 27738,1 g dm3g 103dm31w1 kw-h 36 105 Joule 27 738,1 pulg3dm3 1ml10.Convertir: lb a gramo F g I 1lb pulg3 27,7381 gmlpulg3 milili tro HG mlKJ1 litro = 1dm3 ;1 kg = 2,2 lb ; 1 pulg = 0,254 dmPROBLEMAS PROPUESTOS A PROBLEMA/ DE APLICACIN 1.-Efectuar: E= 0,0022 000Rpta. E= 42.-Efectuar: E= 2 250 0,020,000004106Rpta. E= 1804 5.-Expresar el resultado en notacin cientfica. 3 27 000 000E 4 0,0081Rpta. E= 10 36.-Dar el resultado de efectuar:0,003 49 000 0,9 0,0813.-Efectuar: E 4 000 004 10 0,0030,000 004 104Rpta. E = 30,000 03 E Rpta. E= 10 5 8100 270 b0,7g24.-Cul es el resultado de efectuar: E 2,635 26,35 ?0,000 2635Rpta. E= 26,35 104 7.-Qu distancia en Mm recorri un mvil que marcha a 36 km/h en 2Es?Rpta. 2 1013Jorge Mendoza DueasMagnitudes Fsicas218.-En un cm3 de agua se tiene aproximadamente 3 go- tas,en 6 m 3Cuntas gotas tendremos?6 5.-Halla la expresin reducida en:M b0,000 008 Jg2b128 000 Jg3 ; 1JNmRpta. 18 10 gotas b0,0256 Jg4 b400Ngs29.-A cuntos kPa equivalen 25 GN distribuidos en 5 Mm2? (Pa = N/m 2)Rpta.5 kPa 10.- Si 1J = Nm, expresar en pJ el producto de 6 GN por 12 am.Rpta.72 x 10 3 pJB PROBLEMA/ COMPLEMENTARIO/1.-Efectuar: E 0,000 020123 25105146 234 Rpta.M = 2 -71011 m/s26.-En un cultivo bacterial se observa que se reproducen en progresin geomtrica cada hora, en razn de 2 000 bacterias. Si inicialmente se tuvo 8 bacterias.Cuntas habran en 3 horas? Expresar este resulta- dos en Gbacterias?Rpta. 64 Gbacterias 7.-Una pelota de 0,064 5 m de dimetro est sobre un bloque que tiene 0,010 9 m de alto.A qu distancia est la parte superior de la pelota por sobre la base del bloque?(Dar su respuesta en metros)2Rpta. E= 3,44 10-4 Rpta.7,54 10 m8.-Se ha encontrado que en 1 kg de arena se tiene232.-Efectuar: E 0,000 000 000 004 45 000 000 6,023 10 granos de arena. Cuntos ng habr0,000 006Rpta. E = 0,001 b , 30 000g319 en 18,069 1028 granos de arena?Rpta.3 1017 ng9.-Una bomba atmica libera 40 GJde energa.Cun- tas bombasse destruyeron si se obtuvo 64 1036Jde3.-Efectuar: E 0 000 000 004 002 10 2245000Rpta. E= 5,223 x 10 8 0,006 energa?Rpta.16 10264.-Halla la expresin reducida en (pN) 10.- Un cuerpo tiene una masa de 1 500Mg y un volumen de 4 500 km3.Hallar su densidad en g/m3.b6, 4 GNgb0,000 32 fNgb1600 kNg Rpta. 1 103 gE b12,8 TNgb8 Ng 3m3Rpta. 32 pN ANLISIS DIMENSIONALEstudia la forma como se relacionan las magni- tudes derivadas con las fundamentales.Todaunidad fsica,estasociadacon unadimensin fsica.As, el metro es una medida de la dimensin longitud(L),el kilogramo lo es de lamasa(M), el segundo pertenece a la dimensin del tiem- po (T).Sin embargo, existen otras unidades, como el m/s que es unidad de la velocidad que puede expre- sarse como la combinacin de las antes mencio- nadas. Finesdel anlisisdimensional1.- El anlisis dimensional sirve para expresar las magnitudes derivadas en trminos de las fun- damentales.2.- Sirven para comprobar la veracidad de las fr- mulasfsicas,haciendo uso del principio de ho- mogeneidad dimensional.3.- Sirven para deducir lasfrmulasa partir de da- tos experimentales.ECUACIONES DIMENSIONALESSon expresiones matemticas que colocan a lasDimensin de velocidad = Dimensin de longitud Dimensin del tiempo magnitudesderivadasen funcin de lasfundamen- tales; utilizando para ello las reglas bsicas delAs tambin, la aceleracin, la fuerza, la potencia, etc, pueden expresarse en trminos de las dimen- siones (L),(M),y/o (T).El anlisisde lasDimensionesen unaecuacin,mu- chas veces nos muestra la veracidad o la falsedad de nuestro proceso de operacin; esto es fcil de demostrar ya que el signo = de una ecuacin in- dica que los miembros que los separa deben de tener las mismas dimensiones.Mostraremos como ejemplo:ABC = DEFEs una ecuacin que puede provenir de un desa- rrollo extenso,unaformade verificarsi nuestro pro- ceso operativo es correcto, es analizndolo algebra,menos las de suma y resta.Estas ecuaciones se diferencian de las algebraicas porque slo operan en las magnitudes.NOTACINA :Se lee letraA[A] :Se lee ecuacin dimensional de AEjemplos: Hallar laEcuacin Dimensional de:Velocidad (v)eeLdimensionalmente, as:(dimensin de longitud)2 = (dimensin de longitud)2 v t v tTEn el presente caso comprobamos que ambos v LT1miembros poseen las mismas dimensiones, luego la ecuacin es correcta. Aceleracin(a)vv LT1En la aplicacin del Mtodo Cientfico, ya sea para la formulacin de una hiptesis,o en laexperimen- tacin tambin es recomendable usar el Anlisis Dimensional. a ta LT2 a tTFuerza (F)F m.a ;siendo a = aceleracin Presin(P)P Fuerza FMLT2P F m . aF MLT2 AreaP ML1T2 AL2Trabajo (W)W F.d Densidad (D)W F.d W F d MLT2L D MasaVolumen D M MVL3W ML2T2Potencia (P) D ML3PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD2 2P W W ML T P Si unaexpresinescorrectaen unafrmula,sedebettTP ML2T3Area (A) cumplir que todos sus miembros deben serdimensionalmente homogneos.As:E A + B + C = D VVVVVA = (Longitud)(Longitud) A L2 A LL Por lo tantose tendr: E A B C DVolumen(V)V = (Longitud)(Longitud)(Longitud)V L3 OBSERVACINLos nmeros, los ngulos, los logaritmos y las funciones trigonomtricas,no tienen dimensio- nes,pero para los efectos del clculo se asume que es la unidad.Magnitudes FsicasJorge Mendoza DueasTEST1.-Siendoauna magnitud fsica,que proposicin o que proposiciones siempre se cumplen:I.[a] + [a] + [a] = [a]II.[a] - [a] = [a]III. [a] - [a] = 0Id) IIIIIe) N.A.I y II2.-Cul ser las dimensiones de Q3 kg / m.s2?M L1 T1d) M LT1M L1 T2e) M LTM LT23.- Qu relacin no es correcta dimensionalmente? [fuerza] = M LT2d) [trabajo] = M L 2T2[frecuencia] = T1e) [cargaelctrica] = I.T[velocidad angular] = T14.-Precisar verdadero o falso dimensionalmente:L + L + L L = L ( ) VVVd) FFVVVFe) VFVFFF7.-Respecto a una frmula o ecuacin dimensional,se- alar verdadero o falso:I.- Todoslos trminosen el primer ysegundo miem- bro tienen las mismas dimensiones.II.- Todos los nmeros y funciones trigonometricas que figuran como coeficientes tienen las mismas dimensiones,e igual a 1.III.- La ecuacin dimensional de los trminos del pri- mer miembro,difieren de lasdimensionesdel se- gundo miembro.VVFd) VFVVVVe) FVFFVV8.-ElS.I.considera................fundamentales y ........................ con carcter geomtrico.Tres magnitudes dos auxiliaresSiete magnitudes dos auxiliaresSeis magnitudes una auxiliarTres magnitudes una auxiliarEn sec(P 12) xm P 1 ( ) N.A.En a kg x ML1 ( ) 9.-Qu magnitud no est asociada a sus correctas di-mensiones?VVFd) FVVFFFe) FFVVVV5.-Qu proposicin o proposiciones son falsas respec- to al Anlisis Dimensional?I.- Sirve para hallar las dimensiones de los cuerpos. II.- Se emplea para verificar frmulas propuestas. III.- Se usa para deducir frmulas. Velocidad- LT1Fuerza- MLT2Volumen- L3Densidad- ML3Aceleracin - LT210.- Qu unidad vaasociadaincorrectamentealasdimen- siones dadas?a) Id) I y IIb)IIe) III y IIc)III6.-Respecto al anlisis dimensional sealar verdadero o falso:I.- Pueden existir dos magnitudes fsicas diferentes kg smkg m s2Am skg m2 MTL1MLT2ILT2 1 2con igual frmula dimensional.II.- Losarcosen lacircunferen ciasonadimensionales.III.- Dimensionalmente todoslosngulosy funciones trigonomtricas representan lo mismo. As2m3kgs4 ML A TML3T4PROBLEMAS RESUELTOS A PROBLEMA/ DE APLICACIN 1.-Halle la dimensin deKen lasiguiente frmula fsica: mv2K FDonde; m: masaF : fuerzav : velocidadSolucin: Analizando cada elemento: 3.-Hallar la dimensin de yen lasiguiente frmula: V = .A + .DDonde; V: volumenA :reaD : densidadSolucin: Aplicando el principio de homogeneidad.m Mv LT1 V A DF MLT2 Luego tendremos: Determinando: V AmvF2bMgeLT1j2K MLT2 ML2T2 MLT2 L3 L2 L Determinando: KL2.-Halle la dimensin deSen lasiguiente frmula fsica: SFd V DL3 ML3 M1L6Donde; F : fuerzam : masa mc2 4.-Si la siguiente ecuacin es dimensionalmente homo- gnea,determinar la ecuacin dimensional dexey.Siendo; A : fuerzad : distanciav : velocidadSolucin: Analizando cada elemento:F MLT2d L B : trabajo C : densidadAx + By = CSolucin: Si laexpresinesdimensionalmente homognea, entonces:m M Ax By C A MLT2c LT1 2 2 Luego tendremos:2 bg 2 2 A x B y C B ML TC ML3 F d eMLTS j L ML T Con lo cual se tiene:m c 2S 1 bMgeLT1j2 ML2T2 A x C MLT2 x ML33x MLMLT2 x L4T2B y C B PROBLEMA/ COMPLEMENTARIO/ ML2T2 y ML33 1.-Halle la dimensin deAyBen la siguiente frmulay ML y L5T2 fsica.2 2ML T5.-Si lasiguienteexpresin esdimensionalmente homo- gnea:P = qzRy sxDonde; P : presinq :fuerzaR:volumen s: longitudHallar: x 3y W ADonde; W: trabajov : volumen F : fuerzaSolucin: v F B Aplicando el principio de homogeneidad:Solucin: LW O N A Q Lv O1/2 M PNBQFMPP ML1T2R L3 q MLT2s L Determinando A WP qzRysxA FP q z R y s xz yx ML2T2 A MLT2 A LML 1T 2 eMLT 2j eL3j bLg ML1T2 MzLzT2zL3yLx Determinando B1/2 vF1/2 ML1T2 MzLz 3y xT2z vFB 1/2 B 1/2 M1 Mz z 1 vB 2 L3 2L1 Lz 3y x 1z 3y x113y x F2 4 eMLT2j Nos piden: x 3yx 3y = 2 B M LT2.-Halle la dimensin de A,B y C en la siguiente fr- mula fsica.NOTALas ecuaciones dimensionales slo afectan a las bases,ms no a losexponentes,puesestos siempre son nmeros y por lo tanto estos ex- ponentes se conservan siempre como tales (nmeros).De lo expuesto, queda claro que la ecuacin dimensional de todo exponente es la unidad. E = A.F + B.v 2 + CaDonde; E: trabajoF: fuerzav :velocidada :aceleracinSolucin: Aplicando el principio de homogeneidad: E AF Bv2 Ca Determinando A : E A FML2T2 A MLT2 A L Determinando B :E B v 2 5.-Determinar lasdimensionesquedebe tenerQparaque la expresinW sea dimensionalmente homognea.21 2ML2T B eLT j B M W = 0,5 mcx + Agh + BPSiendo: Q Ax x B ; Determinando C :E C a Adems; W: trabajoh : alturam: masaP : potenciaML2T2 C LT2 C ML c : velocidadA,B : constantes dimensionales g : aceleracin3.-Halle la dimensin de Ren lasiguiente frmula fsica: R= (x + t)(x2 y)(y2 + z)Donde ; t: tiempoSolucin: Observamos por el principio de homogeneidad: x Ty x 2 T2z y 2 eT2j2 T4 Luego tendremos: Solucin: Aplicando el principio de homogeneidad: W m c x A g h B PW A g h ML2T2 A LT2LA M B P WWR x y zR T T2 T4 B W tR T7B T B t4.-La potencia que requiere la hlice de un helicptero viene dada por la siguiente frmula:P = K.Rx.Wy.DzDonde; W : velocidad angular (en rad/s) R : radio de la hlice (en m) W m c xML2T2 MeLT1jxML2T2 MLxTxx 2D : densidad del aire (en kg/m 3) K : nmeroCalcular x,y,z.Solucin: Finalmente:Q A x B 1/2 Q M2T1/2P K R x W y D zML2T3 b1gbLgx eT1jy eML3jz 6.-Suponga que la velocidad de cierto mvil,quese des- plazacon movimiento bidimensional,puede determi- narse con la frmula emprica:ML2T3 LxTyMzL3z V aT3 bT2 cML2T3 MzLx 3zTy Donde: T, es tiempo; a, b, c, son constantes dimensionales.Determine las dimensiones dea,b,y c, para que la frmula sea homognea dimensio-M1 Mz z 1 nalmente.L2 Lx 3b1g x 3 2 x 5 Solucin:T3 Ty y 3 Por el principio de homogeneidad: de: T2 c Solucin:cT2V a T 3 tan nmeroLT1 a T3 b a LT4 Dimensionalmente;paraque(n+ tan )seahomognea:[n] = [tan ] = 1V T2b Con lo cual: n + tan = nmeroLT1 T2 b LT [n + tan ] = 17.-Si la siguiente ecuacin es dimensionalmente ho- mognea.Hallar: x 2y Con todo el sistema: F x D y v z n tan m1 m2 m3a vtx e1ky x j eMLT j eML j eLT j b1gbMgbMgbMg2 x 3 y 1 zSiendo; a: aceleracin MxLxT2xMyL3yLzTz M3v : velocidad x y x 3y z 2x z 3 0 0t : tiempo MLT M L TSolucin: Mx y M3 x y 3Lx 3y z L0 x 3y z 0Dimensionalmente se tiene: T2x z T0 2x z 0k y x1k y x y x 0 y x Resolviendo: z = -99.-En lasiguiente ecuacin dimensionalmente correcta. Luego tendremos: a vtx e1ky y j Determinar la ecuacin dimensional de x.a vtx e1k0 j E Mvx Mvx Mvx ........ Dimensionalmente: a vtx b11ga 2vtxa 2 v t x Donde; M :masa ; v :velocidadSolucin:E Mvx Mvx Mvx ........LT2 b1geLT1jbTgx ------y---- ELT2 LT1Tx LT2 LTx 1 E Mvx E E2 Mvx ECon lo cual: x 1 T2 Tx 1y 1 x 12 Dimensionalmente:E 2 M v x E2Nos piden: x 2y x 2y = 1 2(1) E E E 1x 2y = 18.-En la expresin mostrada.Hallarz Adems:M v x E M v x 1Fx Dy vz = (n + tan ) m m m1Donde; F :fuerza 1 2 3 bMgeLT j x 1D:densidad v :velocidadm1, m2,m3 : masas x 1MLT1 x M1L1T2BJorge Mendoza DueasMagnitudes Fsicas2910.- Si lasiguienteexpresin esdimensionalmente homo- gnea.Determinar la ecuacin dimensional de K Resolviendo: x y z 32KGMbx ygLbz xgTby zg 2Mb6 2xgLb6 2ygTb6 2zg Luego: b6 2xgb6 2ygb6 2zgSolucin: K 2 MLTFF IIF F II FF II Dimensionalmente: HG6 2H 3KKJ HG6 2H 3 KKJ HG6 2H 3 KKJbgbgbgb6 2 gb6 2 g K b1g MLTx yz xy x xy 222G MLTT b6 2zg ML K M3L3T3De donde:G 2M bx yg M b6 2xg L bz xg L b6 2yg T by xg T b6 2zg x y 6 2xz x 6 2yy x 6 2zPROBLEMAS PROPUESTOS A PROBLEMA/ DE APLICACIN 1.-Halle la dimensin deHen lasiguiente frmula fsica.DA V Donde; E: t rabajo ; v :velocidad ; F:fuerza.H FDonde; D: densidadA :aceleracin Rpta. M1L1V: volumen F:fuerzaRpta.[H] = 1 4.-Halle la dimensin de A y B en la siguiente frmula: v At BxDonde; v :velocidad ; t : tiempo ; x :distancia2.-La medida de cierta propiedad (t) en un lquido se de- termina por la expresin:h 2trd Rpta. A LT2 B T1Siendo: h medidaen m;d,peso especfico.Cul ser la ecuacin dimensional de t para que r se mida en m? 5.-Halle la dimensin de A y B en la siguiente frmula:x2gV ABRpta. t MT2 Donde; v :velocidad ; x : distancia ; g :aceleracin3.-Halle la dimensin de yen lasiguiente frmula fsica. Rpta. A LT2B T1Ev F6.-Halle la dimensin de A, B y C en la siguiente fr- mula fsica:e A Bt2 Ct3Donde; e :distancia (m) ; t : tiempo (s) B PROBLEMA/ COMPLEMENTARIO/ 1.-Determinar la dimensin de x, si la ecuacin es dimensionalmente correcta.Rpta. A L xv2 WMasen 30 bt2 ; donde:B LT2 C LT37.-Halle la dimensin de G, H e I en la siguiente fr- mula fsica:F = Ga + Hv + I v : velocidad a : aceleracin M : masaW : trabajoRpta.M 2LT-22.-Hallar laecuacin dimensional dez,si laecuacin mos- trada,es dimensionalmente correcta:bw w log 2g z 3Donde; F: fuerza ; a :aceleracin ; v :velocidad tan bg gsen gxRpta. G MH MT1 w :peso ; g :aceleracin-2I MLT28.-En la siguiente expresin,calcular x + yS Kaxty K: constante numrica S: espacioa: aceleracint : tiempoRpta. 3 La O9.-Si lasiguienteexpresin esdimensionalmente homo- gnea.Determinar:NMb QP ? Rpta.MLT3.-Determinar las dimensiones dea,sabiendo que lasi- guiente ecuacin es dimensionalmente correcta:bg42L2 L b cos GT2 adonde; G: aceleracin de la gravedad T : tiempob y L: longitudRpta.L 24.-La fraccin mostrada es dimensionalmente correcta y homognea:Ax3 Bx2 Cx D A8 B6 C4 Da: aceleracin t : tiempoRpta. T 2 20 t k a pb q y A L6T4 , determinar las dimensiones dex.Rpta.L -14T28/35.-Si la siguiente ecuacin es dimensionalmente homo- gnea,hallar las dimensiones deb.10.- Si la siguiente expresin es dimensionalmente ho- mognea;determinar la ecuacin dimensional deC. W 5Flogax 8F2C b2 v2 xR: longitudy :aceleracinRpta. L 3T-4 C 3Ry N eNx 2j2 W: trabajov : velocidad F : fuerzaRpta.L 1/2T-1/26.-En la ecuacin:Hallar: (x.y.z) P KgydxhzJorge Mendoza DueasMagnitudes Fsicas31donde; P: presing: aceleracin de la gravedad h : altura m: masah: altura A ,A :areas1 2K: constante numricad: densidadRpta. 1 7.-En la expresin: sen 302 Rpta.x = Ly = M1J 9.-Determinar la dimensin de b para que la ecuacin sea homognea.Ftan A I eC(F) W ba b2cHG 2 K mBL tan10n 1 60cos 60 eDonde; W: trabajoHallar las dimensiones de A, B y C para que sea dimensionalmente homognea,donde: e : espacioa : aceleracin: ngulo en radianes L : longitudF : fuerzae : base de los logaritmos neperianos m y n :nmeros Rpta. M 10.- Hallar [x][y]: tx dsen bgi2 vy emBRpta.A = adimensional B = L-1/2C = M-3/2L-3/2T38.-Hallar las dimensiones de x e y, sabiendo que la igualdad mostrada es dimensionalmente correcta. Donde; v : velocidade : espacio m: masat : tiempoB : nmero real2 2Fx I2 Rpta.M LTHG2 hKJ0,85 m xy A1 A2MEDICIN - TEORA DE ERRORESMEDICINMedicin, es el proceso por el cual se compara unamagnitud determinadacon launidad patrn correspondiente.Todos los das una persona utiliza laactividadme- dicin;ya sea en nuestras actividades personales, como estudiante o como trabajador.Cuando estamos en el colegio, por ejemplo; al to- mar laasistencia,estamos midiendo lacantidad dealumnos que llegaron a clase;en este caso la uni- CLAJEJ DE MEDICINMedicindirectaEs aquella en la cual se obtiene la medida exacta mediante un proceso visual,a partir de una simple comparacin con la unidad patrn.Ejemplo Ilustrativo:Magnitud:Longituddad patrn serun alumno.Cuando jugamos ftbol,el resultado final lo define la diferencia de golesa favor;la unidad patrn ser un gol.En ocasionescuando nos tomamosla tem- peratura, nos referimos siempre respecto a una unidad patrn 1C. 1metro Unidad patrn:1 metroEsto significa que toda medicin quedar perfec- tamente definida cuando la magnitud al que nos referimos termine por ser cuantificada respecto a la unidad patrn correspondiente. Ahora para rea- lizar la medicin, generalmente se hace uso de he- rramientasy/oequiposespecialesascomo tambin en algunos casos de los clculos matemticos.El resultado de la medicin nos mostrar cuantitati- vamenteel valor delamagnitud; yconello podemos saber o predecir lasconsecuencias que conllevan di- choresultado.As;si medimoslavelocidad deunatle- ta y obtenemos como resultado 1 m/s;sabremos entoncesqueste nuncasercampenen unacom- petenciade100metrosplanos;estosignificaquegra- ciasa la medicin (actividad cuantitativa) podremos saber o predecir los resultadoscualitativos.Ejemplo ilustrativo Enlafigura,esfcilentenderquelalongitudABmide3veces1metro:3metros (medicindirecta).MedicinIndirectaEs aquella medida que se obtiene mediante ciertos aparatos o clculos matemticos, ya que se hace imposible medirla mediante un proceso visual simple.IlustracinSe quiere medir el rea del rectnguloUnidadPatrn(uncuadrito) 9vecesun cuadrito, dichode otra forma: 9cuadritos Frmula:Area = largo ancho A = (3 m)(2 m) A = 6 m2Serecurrial usodeunafrmulamatemticaERRORES EN LA MEDICINLamedicinesunaactividad que loejecutael hom- bre provisto o no de un instrumento especializado para dicho efecto.En toda medicin hay que admitir, que por ms calibrado que se encuentre el instrumento a usar, siempre el resultado obtenido estar afectado de cierto error;ahora,en el supuesto de que existien- do un aparato perfecto cuyos resultados cifrados coincidieran matemticamente con la realidad f- sica, nunca llegaramos a dicho valor, debido a la imposibilidad humana de apuntar al punto preci- so o de leer exactamente una escala. Al medir la longitudentredospuntos,endascalurosos,lacintamtricasedi- latadebidoa la fuertetemperatura,luegosecometerunerrordemedicin.InstrumentalesSonaquellosquese presentan debidoalaim- perfeccin de los instrumentos de medicin.Lasagujasdeuncron- metrossonsusceptibles al retraso o adelanto debido al mecanismo delmismoinstrumento, luego se cometer un errordemedicin.PersonalesSon aquellos, ocasionados debido a las limi- taciones de los sentidos humanos en las ob- servaciones (vista,tacto,etc.)ExactitudEs el grado de aproximacin a la verdad o grado de perfeccin a la que hay que procu- rar llegar.PrecisinEs el grado de perfeccin de los instrumen- tos y/o procedimientos aplicados.ErrorPodra afirmarse que es la cuantificacin de la incertidumbre de una medicin experimental respecto al resultado ideal.CAUJAJ DE ERROREJA)Naturales La vista de una persona puedenopermitirobser- var correctamente las agujasdeun reloj,seco- meterentoncesunerror personal en la medida del tiempo.CLAJEJ DE ERROREJPropiosSon aquellos que provienen del descuido, torpezao distraccin del observador,estasno entran en el anlisis de la teora de errores.Es posible queel operador lea en la cinta mtrica 15,40myalanotar,escribapordescuidoL=154m;ste 1516Son aquellos errores ocasionados por las va-riaciones meteorolgicas (lluvia,viento, tem- peratura,humedad,etc). esunerrorpropio,tangra- vequenosedebeconside- rarenlosclculosdeTeoradeErrores.Magnitudes FsicasJorge Mendoza DueasSistemticosSon aquellos que aparecen debido a una im- perfeccin de los aparatos utilizados, as como tambin a la influencia de agentes ex- ternos como: viento, calor, humedad, etc.Es- tos errores obedecen siempre a una Ley Ma- temtica o Fsica, por lo cual es posible su correccin. L=0,305mL=0,306mL=0,304m Cuandomedimosel lar- go de un libro,cada vez que se mida, la lectura serdiferente.TEORA DE ERRORESLABLSupongamosquesequieremedir la longitudAB,peroal usar lacintamtrica, stasepandeacomomuestrala figura,la lecturaquesetomaenestascondi- cionesnoserlaverdadera,habrquecorregir.L = L correccinLacorreccinsedeterminamediantelasiguientefrmula:2correccin W L 24FDonde:W,LyFsonparmetrosconocidos.NOTAEsta clase de error no se tomar en cuenta en este libro. Es imposible encontrar el verdadero valor del error accidental;si as fuese, podramos entonces calcu- lar el valor exacto de la magnitud en medicin su- mando algebraicamente el valor observado.No obstante es posible definir ciertos lmites de error, impuestos por la finalidad u objetivo de la medicin.As pues, queda claro que los errores accidentales tienen un rango establecido, cuyo clculo irn de acuerdo con los principios y mtodos de la teora matemtica de errores con aplicacin del clculo de probabilidades.Estableceremos convencionalmente dos casos:I.-CUANDO JE REALIZA UNA JOLA MEDICINHay casos en las que se toma una sola medicin u observacin respecto a un patrn establecido,as por ejemplo:AccidentalesoFortuitosSon aquellos quese presentan debido a cau- sasajenasa la pericia del observador,y al que no puedeaplicarsecorreccinalguna,sin em- bargo estoserroressuelen obedecer a lasLe- yes de lasProbabilidades.Por tal motivose recomienda tomar variaslec- turas de una misma medicin, pues general- mente estassuelen ser diferentes. PATRONVALORAPROXIMADO= 3,141 592 6543,141 6g = 9,8 m/s210 m/s2tan 37 = 0,753 554 050,75Es importante establecer entonces bajo que error se est trabajando.Valorverdadero (A)Es el valor exacto o patrn que se establece en unamedicin,en realidad,tal valorexactono existe, pero se suele establecer de acuer- do al tipo de trabajo a realizar; as por ejem- plo,el valor verdadero de la constante ( ) se puede considerar como 3,141 6.ErrorAbsoluto(EA)Es la diferencia entre el valor verdadero y elaproximado.EA AADonde; EA: error absolutoA : valor verdaderoA : valor aproximadoErrorRelativo (ER) Desviacin(V)Selellama tambinerroraparentedeuname- dicin.Es la diferencia entre la media y el va- lor correspondiente a una medicin.Ejemplo:10,20 V = 10,20 10,20 = 010,22 V = 10,20 10,22 = -0,0210,18 V = 10,20 10,18 = +0,02Desviacintpica stndar ( )Viene a ser el promedio de todas las desvia- ciones de las mediciones realizadas.V2Llamado tambin error porcentual y nos de- termina segn parmetros establecidos si la equivocacin puede ser aceptable o no. Donde; n 1 2 n 30E EA 100%RADonde; ER : error relativoE : error absolutoAA : valor verdadero2.-CUANDO JE REALIZA DOJ O MJ MEDICIONEJGeneralmente cuando se lleva a cabo una medi- cin, no se conoce el valor verdadero; es por esto que se recomienda tomar varias mediciones, no obstante, jamsse podr conocer el valor exacto.A) Media ( X )Es el valor que tiende a situarse en el centro del conjunto de datos ordenados segn su magnitud.Es la media aritmtica de un con- : desviacin tpica o stndarV : desviacin de cada medicin n : nmero de medicionesPara la explicacin de la presente expresin,parti- remos diciendo que el nmero mnimo de medi- ciones tendr que ser dos, de lo contrario no ten- dra sentido hablar de promedio y por ende de desviacin.Por otro lado no es difcil deducir que el promedio de todas las desviaciones sera:V nSin embargo, en la prctica, el resultado de di- cha expresin siempre ser cero; es por ello que se utiliza la suma de los cuadrados, la cual nunca se anular.Error probabledeuna observacin(E )junto de datos. Esaquel intervalo [-E 0,+ E ],dentro de cus00yoX x1 x2 x3 ... xnn lmitespuedecaer o noel verdaderoerroracci-dental con una probabilidad del 50%.Ejemplo: 10,20 ;10,22;10,18X 10,20 10,22 10,183 Donde; E0 0,6 74 5 X 10,20 E0 :error probable de una observacin:desviacin tpica o stndar.Error relativo (ER)Es la relacin entreE0 y la media X;y viene a ser el parmetro que califica la calidad del trabajo.EE 0 Error probabledela media (E)Est visto que la media,tambin estsujeto a error.El error probable de la media al 50% de pro- babilidad se puede determinar as:2R0ER X1F X I E 0,674 5Donde; V nbn 1gDonde;ER : error relativoX : media GHE JK E : error probable de la mediaV : desviacin de cada medicin n : nmero de medicionesValormsprobable (V.M.P.)E0 : error probable de una observacinEjemplo:Supongamos que se desea realizar un traba- jo de laboratorio,donde es requisito para ob- tener las metas deseadas un error relativo Es aquel que se acerca ms al verdadero va-lor pero que no lo es.Comnmente se considera a la media como el valor ms probable de varias mediciones.V.M.P. XDonde;menor que13000 ;si el trabajo de laborato-1 V.M.P.:valor ms probableX : mediario arroj un ER 4 000Tendremos: 1 1 Como quiera que el V.M.P.nuncaser el valor verdadero,se deduce que existir un error y que dicho valor exacto estar ubicado den- tro del rango de ciertos lmites;este ser:4 000 3 000 V.M.P. E , V.M.P. EDedondesededucequeel trabajorealizadoesacep- table;de lo contrario habr que volver a empezar. Donde;E:error probable de la mediaTEST1.-.............,esel proceso por el cual se compara una mag- nitud determinada con la unidad ............previamente establecida.Estimacin baseMedicin patrnEstimacin de comparacinMedicin baseMarcacin estelar2.-Sealar verdadero o falso en las siguientes proposi- ciones:I.- Exactitud,esel grado deaproximacina la verdad o perfeccin a la que se procura llegar.II.- Precisin instrumental o procedimental,esel gra- do de perfeccin alcanzado.III.- Error, es la cuantificacin de la incertidumbre de una medicin experimental respecto al resultado ideal.VFFd) VVVVFVe) FVFFFV3.-Cul de las alternativas no puede ser una causa de error en las mediciones?Naturales.Instrumentales.Personales.Temperamentales.N.A.4.-Errores...................provienen del descuido,torpezao dis- traccin del observador,estas no entran en el anlisis de................Sistemticos teora de errores.Propios la teora de errores.Accidentales mtodos cientficos.Fortuitos mtodos cientficos.N.A.5.-Cul es la media o promedio ponderado de las me- diciones de cierta varilla cuyas medidas obtenidas fueron:12 cm ; 14 cm ; 11 cm ; 13 cm ; 12 cm 6.-La media de un grupo de medidas de cierto peso es 28,5 g,siendo una de las medidas obtenidas 27,8 g;la desviacin sera:a) +1,3 gb) 1,3 gc) 0,7 gd) +0,7 ge) +0,9 g7.-En la medicin de la longitud de un terreno, el valor ms probable obtenido:100,212 0,0008;esto signi- fica que:El valor real est comprendido entre 100,211 2 y 100,2128.El valor que msse acerca es 100,22El valor ms probable es 100,212 8El valor menos probable es 100,212 6N.A.8.-La media de 5 mediciones a sido 12,6, si una de es- tas mediciones fue 12,7,hallar la desviacin aparen- te obtenida.a) 0,1b) 0,1c) 25,3d) 25,3e) N.A.9.-Cunto pague por 0,5 Mg,300 kg,50 Hg de arroz a S/. 2,00 el kilo?a) S/.10000 b) S/.5 000c) S/.1 610d) S/.9 050e) N.A.10.- Lasuma de loscuadrados desviaciones de cierto gru- po de medidas (cinco mediciones) fue 81. Hallar su desviacin tpica o stndar.a) 6,5b) 5,5c) 3,5d) 8,5e) 4,5a)12 cmd) 11,8 cmb)12,2 cme) 12,8 cmc)12,4 cmPROBLEMAS RESUELTOS A PROBLEMA/ DE APLICACIN 1.-Se ha obtenido lossiguientes valoresal determinar la masa de un cuerpo:2,350 g;2,352 g;2,348 g y 2,350 g.Cul es el valor ms probable?Solucin: Calculado el error relativoE EA 100%RA0,001 6ER 3,1416 100%V.M.P.= XCalculando la media: X ER 0,051%X 2,350 2,352 2,348 2,3504 4.-Un alumno A mide la longitud de un hilo de 5 m y halla un valor de 6 m,otro alumnoB mide la longitud de un paseo de 500 m y halla un valor de 501 m.QuLuego: X 2,3502,350 error absoluto se cometi en cada caso?,qu medi- da fu ms precisa?Solucin:2.-Consideremos la longitud de una mesa 112,8 cm; al medirla hemos obtenido 113,4 cm; hallar el error ab- soluto y el error relativo.Solucin: Calculando el error absoluto En el cuadro mostrado notamos que ambosalumnos cometieron el mismo error absoluto:1 metro por ex- ceso, y la medida ms precisa fue la del alumno B, ya que cometi un error relativo menor.ALUMNOERRORABSOLUTOERRORRELATIVOA1 m (exceso)1 100 20%5B1 m (exceso)1 100 0,2%500EA A' AEA 113,4 112,8EA 0,6 cm(por exceso) Calculado el error relativoE EA 100%RA0,6 5.-Con cuntas cifras decimales debemos tomar el n- mero = 3,141 59 para que su error relativo sea me- nor del 0,1%?Solucin:ER 112,8 100% ER 0,1%ER 0 5, 3% EA 100% 0,1% A3.-Qu error relativo,se comete al dar a = 3,141 6 el valor 3,14? EA 3,14159 100% 0,1%Solucin: Calculando el error absolutoEA A' A EA 0,00314Rpta. Dos cifras decimales Verificando:3,14 3,14159EA 3,14 3,1416 ER 3,14159 100%EA 0,0016 (por defecto) Tomando valor absoluto: ER 0 0, 5% 0,1%3BJorge Mendoza DueasMagnitudes Fsicas39 B PROBLEMA/ COMPLEMENTARIO/ MEDICIONESERRORES(V)V24,556 mm+0,0010,0000014,559 mm-0,0020,0000044,553 mm+0,0040,0000164,561 mm-0,0040,0000164,562 mm-0,0050,0000254,555 mm+0,0020,0000044,557 mm0,0000,0000004,553 mm+0,0040,0000164,556 mm+0,0010,0000014,558 mm-0,0010,000001X = 4,557 mmV = 0,000V2 = 0,0000841.-En la medida de 1 metro,se ha cometido un error de 1 mm y en 300 km un error de 300 m.Qu error rela- tivo es mayor?Solucin: Cuando L = 1 mA = 1 000 mmE EA 100%RA1ER 1 000 100%ER 01, % Cuando L = 300 kmA = 300000 mE EA 100%RAE 300 100%R 300 000ER 01, % Cmo se debe expresar el resultado final de las me- diciones?Solucin: Calculando el error probable de la media (E)2Rpta. Los dos tienen igual error relativo E 0,674 5 V nbn 1g2.-Qu medida es ms precisa: La de un qumico que pesa200mgcon unabalanzaqueapreciael miligramo o la de un tendero que pesa 2 kg de arroz con una balanza que aprecia el gramo?Solucin:Ser ms precisa aquella pesada cuyo error relativo sea menor. Con el qumico:EEA 100%RAE 1mg 100%R 200 mgER 0 5, % Con el tendero E 0,674 5 0,000 084b g10 9E 0,0007 El valor ms probable: V.M.P.= X = 4,557 Luego el resultado final podr ser expresado.4,557 0,0007Del concepto de teora de errores,se deduce que hay un 50% de probabilidades de que el verdadero valor del resultado final est comprendido entre 4,556 3 m y 4,5577 m.4.-Se ha medido la longitud de un terreno,los datos ob- tenidos en metros son:1 Medicin :100,2122 Medicin :100,2103 Medicin :100,214E1 gR 2 000 g 100%ER 0 0, 5%Rpta. Es ms precisa la medida del tendero3.-Consideremos la siguiente serie de mediciones reali- zadas con un esfermetro: Se pide: A) Calcular la media.B) Calcular ladesviacin tpicaostndar ( ).Solucin:Son tres mediciones n = 3X 100,212 100,210 100,214 300,63633X 100,212MEDIDAV = X - XiV2100,21200100,210+0,002410-6100,214-0,002410-6Sumatoria810-6Tabulando 6.-Con ayuda de un teodolito se midi un ngulo, reali- zando una observacin angular en ocasionesdiferen- tes y por diferentes observadores.Calcular la media.Los datos de campo son: V2 8 10 6 = 40 20 101 medida1= 40 20 304 medidas2= 40 20 503 medidas3n 10,002 3 1 Calcular la media.Solucin:5.-En el problema anterior calcular:El error relativoEl resultado finalSolucin: n 14 3 8 observacionesb1g1 b4g2 b3g384020 10 + 4(4020 30) + 3(4020 50) R A) EE0 1 XXE0 322 44 408 8= 40 24 35E0 0,674 50,674 5b0,002gE0 0,001349 7.-Se haefectuado la medicin de una distancia y los re- sultados obtenidosson:E 1R100,2120,001349E 1R 74 286B) E 0,674 5 174 286V2 1 Medicin : 800,213 m2 Medicin : 800,220 m3 Medicin : 800,603 m4 Medicin : 800,218 m Se pide: Calcular el error relativoSolucin:nbn 1g6 En primer lugar,si analizamosel valor decadamedicin, respecto a los dems,ser fcil detectar que la tercera medicin tiene un valor muy lejano a las otras medicio-b g E 0,674 5 8 103 2E 0,000 8El V.M.P.= X = 100,212Luego el resultado final podr ser expresado: nes,lo cual hace deducir queen el proceso de medicin sedebicometerunerrorpropio(en la3medicin),por tal motivo nose tomaren cuentaen losclculos.Luego; 1 Medicin : 800,213 m2 Medicin :800,220 m3 Medicin :800,218 m100,212 0,0008 n = 3800,213 800,220 800,218 2 400,651Esto significa que hay un 50% de probabilidades deX 3 3que el verdadero valor del resultado final est com- prendido entre 100,2112 y 100,2128. X 800,217 m40Jorge Mendoza Dueas40Jorge Mendoza Dueas Tabulando Tabulando:MEDIDAV = X - XiV2800,213+0,0041610-6800,220-0,003910-6800,218-0,001110-6Sumatoria2610-6MEDIDAV = X - Xi100,44-0,065100,46-0,085100,50-0,125100,10+0,275 valor mayor que 0,20 (tolerancia) V2 26 106 Observamos que la desviacin V correspondiente a 100,10 es mayor que el permitido; si analizamos ini-n 10,0036 3 1 cialmenteel problema,esfcil darsecuentaque100,10 esta muy lejosa los dems datos,seguramente se co- meti algn error propio.Por lo tanto no se tomar en cuenta en los clculos. E0 0,674 50,674 5b0,0036gE0 0,002 428 2 Ahora tendremos:n = 3EE0 1 X 100, 44 100, 46 100,50 X 100,467N R XXE0 1 MEDIDAV = X XiV2100,44+0,02772,9105100,46+0,0074,90105100,50-0,033108,90105Sumatoria186,7105 1 3 Tabulando:ER 800,2170,002 428 2 ER 329 5528.- En el problema anterior, determinar el resultado final.Solucin:E 0,674 5E 0,001 4 V2nbn 1g 0,674 5 26 10b g62 3 E0 0,674 50,674 5 E0 0,020 608X11 V2n 1V.M.P.= X = 800,217 ER F I 100, 467 Luego el resultado final podr ser expresado: 800,217 0,0014 HGE0 KJE 1R4 875 0,020 6089.-Se ha pesado varias veces un saco de papas y los da- tos obtenidosson:100,44N ;100,46N ;100,50N ; 100,10N 10.- En el problema anterior, expresar el resultado final. Solucin: Calculando el error probable de la media.Calcular el error relativo,si la tolerancia mxima per- mitida es 0,20 N.Solucin: E 0,674 5E 0,012 V2nbn 1g 0,674 5 186,7 1053b2g n = 4X 100, 44 100, 46 100,50 100,104X 100,375N El valor ms probable: V.M.P.= X = 100,467N Luego el resultado final podr ser expresado.100,467N 0,012N