037 054 0B2MTLPCS Unidad 03 - para alumnos y alumnas de ... · Con el fin de atender los distintos...

El estudio de los determinantes será el hilo conductor de la unidad, los alumnos aprenderán a trabajar con ellos y com-probarán su aplicación en la resolución de problemas y en particular en la resolución de sistemas de ecuaciones linea-les y en el cálculo del rango de matrices de determinación de matrices inversas.

Al inicio de esta unidad se definen los determinantes de diferente orden, sus propiedades, y se resuelven sistemas de ecua-ciones mediante las fórmulas de Cramer.

En la segunda parte de la unidad, se muestra el cálculo de la matriz inversa y el cálculo del rango de una matriz aplicando los determinantes. Por último, se presenta el teorema de Rouché-Fröbenius y se aplica a la resolución de sistemas de ecuaciones.

La metodología se ha diseñado incluyendo actividades de aprendizaje integradas que permitirán al alumnado avanzar hacia los resultados de aprendizaje de más de una competencia al mismo tiempo.

Se desarrolla la competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología a lo largo de toda la unidad. A través del conocimiento de los determinantes, se desarrolla en el alumno la capacidad de aplicar el razonamiento lógico-matemático y sus herramientas para describir e interpretar distintas situaciones.

La competencia digital se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos.

Especial interés tienen las actividades propuestas con herramientas tecnológicas a lo largo de los epígrafes, así como las actividades interactivas del test de autoevaluación que se encuentra al final de la unidad.

A través de la incorporación del lenguaje matemático a la expresión habitual de los alumnos, se fomenta la competencia en

comunicación lingüística. En esta unidad se presentan numerosos conceptos matemáticos que los alumnos han de utilizar correctamente a la hora de resolver actividades y problemas.

La competencia aprender a aprender se fomenta a través de la autonomía de los alumnos a la hora de resolver problemas. Es fundamental que el profesor incida en las destrezas necesarias para comunicar con eficacia los resultados de la resolución de cualquier actividad, reto o problema.

Las competencias sociales y cívicas se desarrollan en el área de Matemáticas mediante la aceptación de otros puntos de vista en la resolución de algunos problemas. Es importante que el docente trabaje situaciones que se pueden resolver de di-ferentes formas, aplicando las fórmulas de Cramer o el teorema de Rouché-Fröbenius, etcétera; para trabajar con los alumnos que distintas soluciones pueden ser igualmente válidas. El reconocimiento y valoración de las aportaciones ajenas enriquece el aprendizaje.

Temporalización

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos.

Objetivos

Los objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚ Identificar determinantes de diferente orden.

❚ Manejar las propiedades de los determinantes.

❚ Resolver sistemas de ecuaciones utilizando las fórmulas de Cramer.

❚ Calcular la matriz inversa de una dada aplicando los determinantes.

❚ Determinar el rango de una matriz aplicando determinantes.

❚ Conocer el teorema de Rouché-Fröbenius y aplicarlo a la resolución de sistemas de ecuaciones.

DETERMINANTES3

373. Determinantes

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables Competencias clave

Determinantes de segundo

orden

Resolución de sistemas de dos

ecuaciones con dos incógnitas

1. Utilizar el lenguaje matricial y las operaciones

con determinantes para describir e interpretar

datos y relaciones en la resolución de problemas

diversos.

1.1. Identifica determinantes de diferente orden.

1.2. Utiliza los determinantes para resolver sistemas de

ecuaciones lineales, tanto de forma manual como con el

apoyo de medios tecnológicos.

CMCT

CL

CAA

CSC

Determinantes de tercer orden

Determinantes de orden n

Propiedades de los

determinantes

1.3. Aplica las propiedades de los determinantes

adecuadamente.

Cálculo de la matriz inversa

aplicando los determinantes

2. Analizar, representar y resolver problemas

planteados en contextos reales, utilizando

determinantes e interpretando críticamente los

resultados.

2.1. Determina las condiciones para que una matriz tenga

inversa y la calcula empleando el método más adecuado.

CMCT

CD

CL

CAACálculo del rango de una

matriz aplicando los

determinantes

2.2. Determina el rango de una matriz, hasta orden 4,

aplicando determinantes.

Teorema de Rouché-Fröbenius

Aplicación del teorema de Rouché-

Fröbenius a la resolución de

sistemas con parámetros

2.3. Utiliza los determinantes para resolver sistemas de

ecuaciones lineales, tanto de forma manual como con el

apoyo de medios tecnológicos.

Atención a la diversidad

Con el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno.

38 Álgebra y Programación lineal

MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDADPARA EL PROFESOR PARA EL ALUMNO

Actividades de refuerzoActividades de ampliación

Prueba de evaluación

Presentación de la unidad Repasa lo que sabes

1. Determinantes de segundo orden• Resolución de sistemas de dos ecuaciones

con dos incógnitas

2. Determinantes de tercer orden

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

EVALUACIÓNActividades interactivas. Test de autoevaluación

3. Determinantes de orden n

Vídeo. Resolución de un sistema compatible indeterminado

4. Propiedades de los determinantes

5. Cálculo de la matriz inversa aplicando los determinantes

6. Cálculo del rango de una matriz aplicando los determinantes

7. Teorema de Rouché-Fröbenius• Aplicación del teorema de Rouché-Fröbenius

a la resolución de sistemas con parámetros

Vídeo. Propiedades de los determinantesVídeo. Discusión de un sistema de ecuaciones con parámetros

EJERCICIOS RESUELTOS

Vídeo. Matriz inversa

393. Determinantes


Repasa lo que sabes (página 59)

1. Fíjate en el siguiente sistema:

�Escribe la matriz de los coeficientes A y la matriz ampliada A*.

La matriz de los coeficientes es:

A �� La matriz ampliada de A es:

A* �� 2. Calcula el rango de la matriz, A, asociada al sistema del ejercicio anterior.

Triangulamos la matriz asociada y se obtiene:

� �Luego, rg(A) � 3.

3. Calcula la matriz inversa A�1 de la anterior.

Aplicamos el método de Gauss y obtenemos:

A�1 � � �4. Comprueba que se cumple esta propiedad:

A � A�1 � I

A � A�1 � � � � � �� 5. Resuelve el sistema inicial.

A � X � b ⇒ X � A�1 � b ⇒ X � � � � � �� Luego: x � 1/2; y � 2 y z � �1/2

�1

2�

2

��1

2�

2�3

0

�5

2�

�1

��3

2�

��1

2�

0

�1

2�

��1

2�

1

�1

2�

001

010

100

�5

2�

�1

��3

2�

��1

2�

0

�1

2�

��1

2�

1

�1

2�

141

1�1

0

121

�5

2�

�1

��3

2�

��1

2�

0

�1

2�

��1

2�

1

�1

2�

12

�2

1�3

0

100

2�3

0

141

1�1

0

121

141

1�1

0

121

2x � y � 4z � 2

2x � y � 4z � �3

2x � y � 2z � 0

6. Dado el sistema:

�a) Escribe la matriz de los coeficientes A y la matriz ampliada A*.

b) Calcula el rango de la matriz A.

c) Calcula la matriz inversa A�1.

d) Comprueba que se cumple A � A�1 � I.

e) Resuelve el sistema.

a) La matriz de los coeficientes es:

A � � �La matriz ampliada de A es:

A* � � � �b) Triángulamos la matriz asociada y se obtiene:

� �Luego rg(A) � 3.

c) Aplicamos el método de Gauss y obtenemos:

A�1 � � �d) A � A�1 � � � ��

e) A � X � b ⇒ X � A�1 � b ⇒ X � � � �� Luego: x � 4, y � 2 y z � 3

423

350

�2

5�

�3

5�

1

�1

5�

��

5

1�

0

1

1

1

001

010

100

�2

5�

�3

5�

1

�1

5�

��

5

1�

0

1

1

1

�11

�2

�1�3�1

�12

�1

�2

5�

�3

5�

1

�1

5�

��

5

1�

0

1

1

1

�13

�1

�1�5

0

100

350

�11

�2

�1�3�1

�12

�1

�11

�2

�1�3�1

�12

�1

�x � 4y � 4z � 3

2x � 3y � 4z � 5�x � 4y � 2z � 0

413. Determinantes

Actividades (páginas 61/78)

Calcula los siguientes determinantes:

a) � � b) � � c) � � d) � �a) 4 � 1 � 3 � 2 � �2 c) �1 � 4 � 2 � 0 � �4

b) 3 � 4 � 5 � 1 � 7 d) 2 � 1 � 1 � 2 � 0

Resuelve los siguientes sistemas aplicando las

fórmulas de Cramer:

a) � c) �b) � d) �a) det (A) � 3

x ��

� 1, y ��

� �1

X � � �� 1, y � � ��11

12

�11

12

21

12

�11

21

x � y � �5

2x � 4y � 2

x � y � �1

3x � 4y � �3

2x � y � 0

x � y � 6

x � y � 2

2x � y � 1

2

1

1

2

2

2

4�1

0

5

4

3

1

3

1

4

2

1

b) det (B) � 1

x ��

� �1, y ��

� 0

X � � � � �1, y � � �c) det (C) � 3

x ��

� 2, y ��

� 4

X � � �� 1, y � � �d) det (D) � �6

x ��

� �3, y � � �

� �2

X � � � � �3, y � � �Calcula los siguientes determinantes de tercer orden:

a) � �b) � �c) � �a) 2 � 2 � 0 � 1 � (�1) � 4 � 4 � 3 � (�1) – 4 � 2 � 4 � (�1) � (�1) �

� 2 � 0 � 1 � 3 � �50

b) (�1) � (�1) � 2 � 1 � 4 � 3 � 1 � 2 � (�1) � 1 � (�1) � 3 � 4 �� (�1) � (�1) � 2 � 1 � 2 � 7

c) 1 � (�1) � 4 � 1 � 3 � 3 � 1 � 2 � 0 – 1 � (�1) � 3 � 3 � 0 � 1 � 4 �� 1 � 2 � 0

Resuelve los siguientes sistemas aplicando las

fórmulas de Cramer:

a) �b) �a) det (A) � �2

x ��

� � 1, y ��

� 0,

112

213

325�2

��2

112

1�1

2

213

2x � y � z � �4

�x � y � z � �1

7x � 6y � z � �2

3x � y � z � 2

2x � y � z � 1

5x � 2y � 2z � 3

4

1

3

4

1

�1

0

1

2

3

1

4

2

�1

�1

�1

�1

2

3

4

�1

0

1

2

�1

2

3

4

3

�1�4

12

�1�4

12

�52

12

�1�4

�52

�11

21

�11

21

06

21

�11

06

14

13

14

13

�1�3

13

14

�1�3

x �� 2/(� 1, y ��

z ��

� � �12

��2

213

1�1

2

325

112

1�1

2

325

112

1�1

2

325

X �� 112

1�1

2

325

c) � x � y � z � �1

2x � y � z � 13

x � 2y � z � 8


SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES DEL LIBRO DEL ALUMNO

Sugerencias didácticas. Recursos TIC

Matriz inversa (página 70)

En el vídeo se muestra el cálculo, paso a paso, de la matriz inversade una matriz cuadrada de orden 3 hallando la matriz traspuestade la matriz de adjuntos y dividiendo por el valor del determi-nante. Puede utilizarse para mostrar en la pizarra digital un ejem-plo completo de este tipo de cálculo o para que los alumnospuedan repasar el procedimiento más tarde. También se muestracómo hallar la matriz inversa utilizando una calculadora científicacon cálculo matricial.

Resolución de un sistema compatible indeterminado

(página 75)

En el vídeo se muestra la discusión y resolución de un sistema deecuaciones lineales. Es un sistema compatible indeterminado, ytras identificar el grado de libertad, se indican las soluciones enfunción de un parámetro real. Puede utilizarse para mostrar en lapizarra digital un ejemplo de este tipo de resolución o para quelos alumnos puedan repasarlo más tarde.

Propiedades de los determinantes (página 79)

En el vídeo se muestra el cálculo del determinante de orden 4aplicando las propiedades de los determinantes, de modo alter-nativo al ejemplo resuelto del libro, aprovechando el único ele-mento nulo y reduciendo el determinante hasta conseguir unode orden 2. Puede utilizarse para mostrar en la pizarra digital unejemplo de este tipo de ejercicios, comprobando que el resulta-do no depende del método utilizado, o para que los alumnospuedan repasar el procedimiento más tarde. También se muestracómo calcular un determinante de orden 4 con una calculadoracientífica que realiza cálculo matricial.

Discusión de un sistema de ecuaciones con parámetros

(página 81)

En el vídeo se muestra la discusión de un sistema de cuatro ecua-ciones lineales con cuatro incógnitas y un parámetro. Se estudiael rango de las matrices de coeficientes y ampliada y se aplica elteorema de Rouché-Fröbenius para determinar de qué tipo desistema se trata. Puede utilizarse para mostrar en la pizarra digitalun ejemplo de este tipo de ejercicios o para que los alumnospuedan repasarlo más tarde.

433. Determinantes

z ��

c) det (C) � �9

x ��

� 4, y ��

� �3,

1�1

1

�113

8

121

�1�1

1

�1�1�2

�113

8

111

11

�6

2�1

7

B�1 � ��

t

� � ��10

Utilizando los procedimientos estudiados anterior-

mente, calcula el rango de las siguientes matrices:

a) � � d)

� �1

0

0

0

5

5

0

0

7

2

�1

0

1

2

3

4

4

12

16

3

9

12

2

6

8

1

3

4

7

�55

�5

�3�1

5

�13

�5

1�10

�5�5

5

�31

�5

�1�3

5[adj (B)]t

�det (B)

b) det (B) � 21

x ��

� �1, y ��

� �1,

111

�4�1�2

�2�1

7

111

�11

�6

�4�1�2

x �� 1, y ��

z ��

� �1

�4�1�2

11

�6

2�1

7

111

�11

�6

�2�1

7

111

�11

�6

�2�1

7

x � � �� 4, y �� 3,

z ��

� �2

�113

8

1�1�2

121

1�1

1

1�1�2

121

1�1

1

1�1�2

121

z �� Una empresa cinematográfica dispone de tres cines:

C1, C2 y C3. Cierto día proyecta tres películas, P1, P2 y P3, en

cada uno de ellos (P1 en sesión de mañana, P2 en sesión de

tarde y P3 en sesión de noche). El número de asistentes a

cada una de ellas, expresados en centenares, se indica en la

siguiente tabla:

Si los ingresos obtenidos ese día en C1, C2 y C3 fueron de

1 500 €, 1 400 € y 900 €, respectivamente, calcula el precio

de la entrada para cada una de las películas.

El sistema que debe plantearse, expresado en centenas, es:

� , su solución es x � 1, y � 2, z � 3, luego

las entradas se venden a 1 €, 2 € y 3 € respectivamente,según sea la sesión de mañana, tarde o noche.

Calcula la inversa de la matrices que sean regulares y

comprueba que el producto de la matriz por su inversa da

la matriz identidad.

A �� B �� C �� Una matriz es regular si su determinante es diferente de cero.

det (A) � �3, det (B) � �10, det (C) � 0, luego solo A y B sonmatrices regulares. Podemos calcular su inversa:

A�1 � ��

t

� � ��3

�301

�6�3

0

�33

�2

�1�

3

�201

�3�3

0

�36

�3[adj (A)]t

�det (A)

4

1

�3

1

2

1

2

4

2

�1

2

1

1

3

2

2

1

�1

3

3

3

2

3

4

1

1

2

6

2x � 2y � 3z � 152x � 2y � 3z � 142x � 2y � 3z � 9

5

1�1

1

1�1�2

121

P1 P3P2

C1 2 32

C2 1 32

C3 2 12

b) � � e)

� �c) � � f) � �a) El rango es 1, porque todas las filas son combinación lineal

de la primera.

b) El rango, como máximo es tres, y como mínimo es dos. Com-probamos si existe un menor de orden 3 diferente de cero

orlando el menor � �. Como el menor � �� 5,

el rango es 3.

c) El rango, como máximo es tres, y como mínimo es dos, como

existe un menor de orden 2 distinto de cero, � �. Como

el determinante de la matriz es 0, el rango es 2.

d) El rango de la matriz es 4, puesto que es una matriz cua-drada triangular de cuatro filas y no hay ninguna nula.

e) El rango como mínimo es dos y como máximo puede sercuatro. Calculamos el determinante de la matriz y se ob-tiene �4, por lo que el rango es 4.

f) El rango como máximo es tres y como mínimo es dos,puesto que existe un menor de orden dos diferente de cero

� �. Orlamos este menor, y como ninguno de los

tres determinantes que se obtienen es diferente de cero, elrango es 2.

Aplica el teorema de Rouché–Fröbenius para discutir

los siguientes sistemas y, en el caso de que sean compati-

bles, resuélvelos:

a)

�x � y � z � 4

2x � y � z � �5

3x � 2y � 5z � 3

3x � 2y � 2z � 7

b)

�2x � y � z � 5

2x � y � z � 5

3x � 2y � z � 11

2x � y � 2z � 10

c)

�2x � y � z � 2t � �5

x � y � z � t � 4

3x � y � z � t � 6

6x � y � 3z � 2t � 5

a) El rango de la matriz asociada es 3 y el de la matriz amplia-da es 3, por lo que el sistema es compatible determinado.

Dado que las tres primeras ecuaciones son linealmente in-dependientes, podemos aplicar Cramer y se obtiene x � 1,y � 5, z � �2.

8

32

17

25

14

�1�1�1

235

145

23

14

4

9

5

�3

21

�3

�1

12

�8

3

2

6

�1

7

�1

3

6

9

2

5

8

1

4

7

�1

2

�3

�4

2

0

2

4

1

1

0

2

3

0

2

5

1

1

1

0

2

2

�1

�1

�1

2

3

5

1

4

5


b) En primer lugar, determinamos el rango de la matriz ampliada, que como máximo es cuatro y como mínimo esdos, puesto que existe un menor de orden dos diferente

de cero, � �. Calculando el determinante de la matriz

ampliada se obtiene 8, por lo que su rango es 4 y el sis-tema es incompatible, puesto que el rango de la matrizasociada no puede ser 4.

c) El rango de la matriz asociada como máximo puede ser 4,y como mínimo 2. Calculamos el determinante de la matrizasociada y es cero, por lo que debemos orlar el menor deorden 2 diferente de cero y estudiar si el rango de la matriz asociada es 3.

Dado que existe un menor de orden tres diferente de cero

� �, el rango de la matriz asociada es 3.

Estudiamos el rango de la matriz ampliada, orlando estemenor con los términos independientes, y la última fila:

� �� 0, de modo que el rango de la matriz

ampliada es 3.

Dado que hay 4 incógnitas, el sistema es compatible inde-terminado con un grado de libertad. Tomando las tres pri-meras ecuaciones y haciendo que t sea el parámetro seobtiene como solución:

�x � 1 � �y � 5 � � � � �

z � �2 � 3�t � �

Discute y resuelve, cuando sea posible, el siguiente

sistema con parámetros:

�Para que el sistema sea compatible, los rangos de la matrizasociada y de la matriz ampliada deben ser iguales.

det (A) � m2 � 2m

Si det (A) � 0, entonces el sistema es compatible determina-do, esto es si m � 0 o m � �2. Entonces, aplicando Cramer, susolución es:

x � �m

7

�

m

2�, y ��

�

m

12

2

�

�

2m

m�

Veamos qué ocurre si det (A) � 0:

Si m � 0: � , el sistema es incompatible.

Si m � �2: � , el sistema es incompatible.

Ejercicios y problemas (páginas 83/86)

Cálculos con determinantes

Calcula los siguientes determinantes de orden 3.

a) � � c) � �b) � � d) � �4�3�

0

�2

�2

��3�1

2�3��1

0

0

�1

1

1

3

�1

2

4

�1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

�1

5

�3

2

3

4

1

4

1

1

x � 2y � 62x � 4y � 2

x � 62x � 0

x � my � 6

2x � m2y � m

9

�4�5

65

1113

�1111

2136

111

�111

213

12

23

a) � �� 8

b) � �� 1

c) � �� 0

d) � �� 8 � 4�3�

Calcula los siguientes determinantes de orden 4.

a)

� �b)

� �a)

� �� 50

b)

� �� a3 � 6a2 � 9a � 4

Determina para qué valores de m se anulan los

siguientes determinantes.

a) � � c) � �b)

� �d)

� �a) El determinante se anula para cualquier valor de m, pues

tiene dos filas (o dos columnas) iguales.

b) � �� 5 � m2 � 0 ⇒ m � �5�

c) Desarrollando el determinante por la segunda columna:

� �� 2 � � � � (m � 1) � � � �

� (m � 2) � � � � �11m � 14 � 0 ⇒ m � �1

1

4

1�

d) Desarrollando por la primera fila, se obtiene:

� � � 1 ��

� 3 � � �� 3m2 � 3 � 0 ⇒ m � 111

�1

1m1

m10

11

�1

112

1m1

011

�1

3112

01m1

1m10

�15

14

�1�3

11

5�3

41

�15

�3

2m � 1m � 2

141

m�1

0

1 0

�1

1m

�6

0

1

1

�1

3

1

1

2

0

1

m1

1

m1

0

m �1

0

1

0

�1

1

m �6

�1

5

�3

2

m � 1

m � 2

1

4

1

mm m

m0

m

mmm

3

111a

11a1

1a11

1114

2215

�10

�10

2531

1434

1

1

1

a

1

1

a1

1

a1

1

1

1

1

4

2

2

1

5

�1

0

�1

0

2

5

3

1

1

4

3

4

2

4�3�0

�2

�2��3�

1

2�3��1

0

111

101

111

0�1

1

13

�1

24

�1

�15

�3

234

141

453. Determinantes

Resuelve las siguientes ecuaciones.

a)

� �� 2

b)

� �� 216

a)

� �� 2x 2 � 4x � 8 � 2

⇒ �2x2 � 4x � 6 � 0 ⇒ x1 � 3, x 2 � �1

b) Desarrollando el determinante por la primera fila:

� �� 6x 2 � 6 � 216 ⇒ x2 � ��21

6

0�

Luego la ecuación no tiene solución en �.

Calcula el siguiente determinante desarrollándolo

por la primera fila:

� �� 3� �� 2� ��

� 1� �� 4� ��

� 3 � 2 � 2 � (�76) � 1 � (�22) � 4 � 34 � 0

Considera esta matriz donde a � 0:

A �� a) Calcula A2.

b) Halla A20.

c) Efectúa �A19�.

a) � �� a � �;

A2 � a2� �� a2� �b) A20 � � �c) �A19� � (a19)3 � a57

Propiedades de los determinantes

Si A es una matriz cuadrada de orden n y �A� � k,

¿cuál es el valor de �At�?

Como el determinante de una matriz coincide con el de sutraspuesta, �At� � k.

7

00

a20

0a20

0

a20

00

00

�1

010

�100

20

�1

010

10

�1

20

�1

010

10

�1

20

�1

010

10

�1

2a0

�a

0a0

a0

�a

2a0

�a

0

a0

a0

�a

6

�172

164

226

398

164

226

398

�172

226

398

�172

164

4398

1�1

72

2164

3226

4

3

9

8

1

�1

7

2

2

1

6

4

3

2

2

6

5

021

�1

3212

02x1

12x

10

�1x

�x

12 0

x0 4

0

2

1

�1

3

2

1

2

0

2

x1

1

2x1

0

�1

x�x

1

2

0

x0

4

4Calcula � � si � �� 10.

� �� 2 � 3 �� 60

Sabiendo que se cumple � �� k, utiliza las

propiedades de los determinantes para calcular:

a) � �b) � �a) � �� k

b) � �� (�1)3� ��

�� k

Calcula � �sabiendo que � �� 100.

� ��

� �1 � (�1)3 �� 100

Si todos los elementos de una matriz cuadrada de

orden n se multiplican por �2, ¿cómo se modifica el valor

del determinante?

El nuevo determinante será igual al de la matriz inicial por(�2)n.

Comprueba que �A � B� � �A� � �B� siendo:

A �� B �� A� �� 17

�B� �� 4

A � B �� A � B� �� 68

�A� � �B� � (�17) � (�4) � 68 � �A � B�

�201

447

22

12

�201

447

22

12

1�1

1

11

�1

202

0�1

2

315

124

1

�1

1

1

1

�1

2

0

2

0

�1

2

3

1

5

1

2

4

12

11

�f�c�i

�e�b�h

�d�a�g

fci

ebh

dag

cfi

beh

adg

�f�c�i

�e�b�h

�d�a�g

cfi

beh

adg

10

cfi

beh

adg

fci

ebh

dag

fci

dag

ebh

dag

fci

ebh

�d�a�g

�f�c�i

�e�b�h

cfi

beh

adg

cfi

adg

beh

adg

cfi

beh

�d�a�g

�f�c�i

�e�b�h

adg

cfi

beh

cfi

beh

adg

9

cfi

beh

adg

c2f3i

b2e3h

a2d3g

cfi

beh

adg

c2f3i

b2e3h

a2d3g

8


Dadas dos matrices inversas, A y B, si �A� � 5, ¿cuánto

vale �B�? Razona tu respuesta.

Si A y B son matrices inversas, verifican que A � B � I, de don-de, �A� � �B� � �I� � 1.

Luego: 5 � �B� � 1 ⇒ �B� � �1

5�

Una matriz A es idempotente, es decir, A2 � A.

a) Demuestra que �A� � 1 o �A� � 0.

b) Indica qué propiedad has aplicado.

a) Como A2 � A, entonces �A2� � �A�.Si existe A�1, entonces A2 � A�1 � A � A�1 � I, y además A2 � A�1 � A � A � A–1 � A. De modo que A � I por lo que det (A) � 1.

Si no existe la inversa de A es porque det (A) � 0.

De modo que las dos posibilidades que hay son det (A) � 0y det (A) � 1.

b) La propiedad que se ha aplicado es que si no existe inver-sa el determinante de la matriz vale 0.

Obtén el determinante en función de 1 siendo:

�� 1 ��

Los dos determinantes coinciden puesto que las columnas dela primera matriz son sumas de las columnas de la segunda.

Utiliza las propiedades de los determinantes para

calcular este:

� �� x� �Restando la segunda fila a la tercera y luego la primera a lasegunda, se obtiene:

x� �� x� �� 4 x

Rango de una matriz

Calcula el rango de las siguientes matrices.17

3x � 220

2x � 122

100

3x � 23x � 4

0

2x � 12x � 3

2

110

3x � 23x � 43x � 4

2x � 12x � 32x � 5

111

3x � 23x � 43x � 4

2x � 12x � 32x � 5

xxx

3x � 2

3x � 4

3x � 4

2x � 1

2x � 3

2x � 5

xxx

16

cc’

c’’

bb’

b’’

aa’

a’’

c � ac’ � a’

c’’ � a’’

b � cb’ � c’

b’’ � c’’

a � ba’ � b’

a’’ � b’’

15

14

13 b) El determinante de la matriz es 0, pero tenemos un menorde orden 2 con determinante distinto de 0 (si a � 0),

� � � �a. Luego el rango es 2.

Salvo que a � 0, entonces el rango de la matriz es 1.

c) El determinante de la matriz es 0, pero tenemos un menorde orden 3 con determinante distinto de 0:

� �� 32

Luego el rango es 3.

d) El determinante de la matriz es distinto de 0 (si a � 0),luego su rango es 3.

e) El determinante de la matriz es distinto de 0, luego surango es 3.

f) La matriz no es cuadrada, pero tenemos un menor de orden 4 con determinante distinto de 0,

� �� 2 � � � �2 � (�4) � 8.

Luego el rango es 4.

¿Qué valor deben tener a, b, c y d para que el rango

de la siguiente matriz sea tres?

� �Para que el rango sea 3, uno de los tres parámetros, y solouno, debe ser cero.

Sea la matriz � �. Determina los valores

de m para los cuales rango (A) � 3. ¿Puede ser rg(A) � 1 pa-

ra algún valor de m?

Para que el rango sea menor que 3 el determinante de A debeser igual a 0.

�A� �� m2 � 4m � 3 � 0 ⇒ m � �1, m � �3

Si m � �1 o m � �3 el rango de A es 2.

En ningún caso el rango de A será 1 puesto que existe un menor de orden 2 diferente de 0.

Estudia el rango de la matriz A en función de los va-

lores del parámetro m:

A �� Calculamos el determinante de A:

�A� �� m2 � 4m � 4 � 0 ⇒ m � 2

Si m � 2, el determinante de A es distinto de cero y, por tanto,su rango es 3.

Si m � 2, tenemos:

A �� , el rango es 1 puesto que todas la filas son

linealmente dependientes, también se puede argumentar queno se puede encontrar un menor de orden 2 diferente de cero.

244

122

122

22m

2 � m

1m2

12m

2

2m2 � m

1

m2

1

2

m

20

�1m3

0�1

m

140

�1

m3

0

�1

m

1

4

0

19

0

0

0

d

0

0

c0

0

b0

0

a0

0

0

18

200

�1�1

0

342

2000

1200

1�1�1

0

1342

617

435

4�2

2

aa

12

a) � � d) � �2a3a4a

aa

2a

1

2

3

1

3

2

1

1

0

1

2

1

b) � � e) � �0

2

�3

0

3

2

1

0

0

2a3a4a

aaa

1

2

3

c)

� �f)

� �a) El determinante de la matriz es 0, pero si consideramos el

determinante del menor de orden 2, � �� 2 � 0. Luegoel rango es 2.

32

10

2

0

0

0

0

1

2

0

0

0

1

�1

0

�1

0

1

3

0

4

2

6

1

7

5

4

3

5

1

4

�2

2

6

2

1

3

1

473. Determinantes

Inversa de una matriz

Calcula la matriz adjunta de las siguientes matrices.

a) � � c) � �b)

� �d)

� �a) � � c) � �b)

� �d)

� �Calcula las inversas de las siguientes matrices.

a) � � c) � �b) � � d)

� �a) �

1

9� ��

b) � �

c) � �

d) (A�1) � �1

2� � �

Dada la matriz

A � � �.

a) Calcula su matriz inversa y comprueba que la solución

es correcta aplicando la definición.

b) Escribe un ejemplo de matriz 2 � 2 que no tenga

inversa.

a) La matriz tiene inversa puesto que su determinante es dis-tinto de cero.

A�1 � �1

1

0� � �

� � � �1

1

0� � ��

b) Cualquier matriz cuyo determinante sea 0, es decir, quesus filas sean linealmente dependientes.

01

10

12

3�4

�13

24

12

3�4

�1

3

2

4

23

�2616

02

7�3�1�1

11�7

1�1

�1�1

11

2�1

0

10

�1

12

�6

�13

�3�8

�633

22

�1

5�4

2

7

2

9

3

2

3

3

2

4

3

7

3

3

2

5

2

1

3

3

8

�1

5

�2

�2

12

�5

�1

6

�2

2

1

2

0

3

1

1

2

0

22

10�4�1

3

0000

�1041

�3

0000

�2617

231

18�3�1

000

44

�4

44

�4

�31

�1�2

�1

0

�1

3

1

1

3

�1

�1

0

�1

3

1

3

4

2

0

�1

3

1

5

3

1

�2

4

2

0

2

�2

2

0

2

�2

0

2

�1

1

3

21

Discusión y resolución de sistemas

Discute y resuelve, si es posible, estos sistemas.24

f) � x � y � z � 2

2x � y � z � 3

2x � y � z � �1

g) � x � y � z � 0

x � y � z � 0

3x � y � z � 4

h) � x � y � z � 0

2x � y � z � 4

4x � 3y � z � 4

i) � x � y � z � 0

2x � y � z � 4

4x � 3y � z � �4

j) ��2x � 2y � 3z � 0

�2x � 3y � z � 0

�2x � 3y � 10z � 0

a) � x � y � z � 0

3x � 3y � z � 0

9x � 3y � z � 0

b) � x � y � z � 0

2x � y � z � �3

3x � 3y � 2z � �9

c) �2x � y � z � �3

x � y � z � �4

3x � 2y � 2z � 5

d) � x � 2y � z � 0

2x � 2y � 3z � 0

�x � 4y � 2z � 0

e)

�x � y � z � t � 1

2x � y � z � 2t � 1

3x � y � z � t � �3

x � y � z � t � 1

a) rg(A) � 2. El sistema es compatible indeterminado con ungrado de libertad. Sus soluciones son:

x � ��

3�

�y � ��2

3

��

z � �

b) rg(A) � rg(A*) � 3. El sistema es compatible determinado.Su solución es:

x � 1, y � 2, z � �3

c) rg(A) � 2; rg(A*) � 3 ⇒ rg(A) � rg(A*)

El sistema es incompatible.

d) rg(A) � 3. El sistema es compatible determinado y, portanto, únicamente admite la solución trivial:

x � 0, y � 0, z � 0

e) rg(A) � rg(A*) � 4. El sistema es compatible determinado.Su solución es:

x � 1, y � 2, z � �3, t � 1

Obsérvese que el método de Gauss es más apropiado que laregla de Cramer, ya que esta última requiere el cálculo de cin-co determinantes de orden 4.

f) rg(A) � rg(A*) � 3. El sistema es compatible determinado.Su solución es:

x � 1, y � �1, z � 2

g) rg(A) � rg(A*) � 3. El sistema es compatible determinado.Su solución es:

x � 0, y � 2, z � �2

h) rg(A) � rg(A*) � 2. El sistema es compatible indetermina-do con un grado de libertad. Sus soluciones son:

x � 4 � 2��y � �4 � 3� � � �

z � �

i) rg(A) � 2; rg(A*) � 3 ⇒ rg(A) � rg(A*)

El sistema es incompatible.

j) rg(A) � 2. El sistema es compatible indeterminado con ungrado de libertad. Sus soluciones son:

x � 11��y � 7� � � �

z � �


Discusión de sistemas con parámetros

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales

para los distintos valores del parámetro a y resuélvelo en

los casos en los que sea posible.

�3x � ay � 3z � 4

ax � y � z � 2

x � y � z � 1

ax � 4y � z � 5

La matriz del sistema y la matriz ampliada son:

A �� A* ��

Si �A*� � 0 ⇒ rg(A*) � 4. El sistema es, por tanto, incompati-ble.

�A*� � 3 � � �� a� ��

� 3 � � �� 4� �� 3a2 � 3a � 6

Si 3a2 � 3a � 6 � 0 ⇒ a � 2 o a � �1.

Si a � 2 y a � �1 ⇒ rg(A*) � 4. El sistema es incom-patible.

Si a � �1:

A �� A* ��

rg(A) � 2 y rg(A*) � 3. El sistema es incompatible.

Si a � 2:

A �� A* ��

Por tanto, rg(A) � rg(A*) � 3. El sistema es compatible deter-minado; sus soluciones son:

x � 1, y � 1, z � 1

Averigua los valores de m para que el siguiente siste-

ma tenga soluciones distintas de la trivial.

�La matriz de los coeficientes es:

A � � �m�4

2m2

2x � my � 0

m2x � 4y � 0

26

4215

3�1

1�1

�21

�14

3212

3�1

1�1

�21

�14

3212

4215

3�1

1�1

11

�14

3�1

1�1

3�1

1�1

11

�14

3�1

1�1

�11

�1

1�1

4

a1a

215

1�1

4

a1a

215

�11

�1

a1a

215

�11

�1

1�1

4

4215

3�1

1�1

�a1

�14

3a1a

3�1

1�1

�a1

�14

3a1a

25

Si �A� � 0, el sistema será compatible indeterminado y, portanto, admitirá infinitas soluciones:

�A� � �8 � m3 � 0 ⇒ m � �2

Si m � �2, las soluciones del sistema son:

x � � , y � � � � �

Resuelve el siguiente sistema para los valores de mque lo hagan posible.

� x � 2y � 8

2x � y � 1

4x � 3y � m

La matriz de los coeficientes es:

A �� Por tanto, rg(A) � 2.

Para que el sistema sea compatible, es necesario que rg(A*) � 2, por tanto:

� �� 5m � 85 � 0 ⇒ m � 17

Para m � 17, el sistema se convierte en:

� x � 2y � 82x � y � 14x � 3y � 17

Bastará con resolver:

�La solución es: x � 2, y � 3

Si m � 17, el sistema es incompatible, ya que los rangos de lasmatrices no coinciden.

Discute y resuelve, cuando sea posible, este sistema

de ecuaciones lineales:

�x � y � z � mx � y � z � nx � y � z � p

Si m � n � p ⇒ rg(A) � rg(A*) � 1. El sistema es compatiblecon dos grados de libertad; sus soluciones son:

x � m � � � �, y � �, z � � � , � � �

Si m � n � p o m � n o m � p o n � p ⇒ rg(A) � rg(A*). Elsistema es, por tanto, incompatible.

Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales

en función del valor del parámetro m.29

28

x � 2y � 82x � y � 1

81

m

2�1

3

124

2�1

3

124

27

�x � y � (m � 1)z � 1

x � (m � 1)y � z � m � 1

(m � 1)x � y � z � m � 2

Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes ylo igualamos a 0:

�A� �� m3 � 3m2 � 4 � 0

⇒ m � 2 y m � �1

Si m � 2 y m � �1, rg(A) � 3 ⇒ rg(A*) � 3, el sistema es com-patible determinado.

Si m � 2, rg(A) � 1 y rg(A*) � 2, el sistema es incompatible.

Si m � �1, rg(A) � 2 y rg(A*) � 2, el sistema compatible inde-terminado.

m � 111

1m � 1

1

11

m � 1

493. Determinantes

Considera el sistema de ecuaciones:30Sea el sistema � x � 3y � z � 5

, clasifícalo en función ax � y � z � 3

x � ay � z � a

del valor del parámetro a.

�A� �� a2 � 4a � 3 � 0 ⇒ a � 3, a � 1

Si a � 1 y a � 3, rg(A) � rg(A*) � 3, el sistema es compatibledeterminado.

Si a � 1, rg(A) � 2, � �� 0, rg(A*) � 3, el sistema es

incompatible.

Si a � 3, rg(A) � 2, � �� 0, rg(A*) � 3, el sistema es

incompatible.

Se considera el sistema de ecuaciones:34

533

313

13 1

531

311

11 1

111

31a

1a1

33

�px � 7y � 8z � 1 370

x � y � z � 200

7x � py � 8z � 1 395

a) Discute el sistema en función del valor del parámetro p.

b) Resuélvelo para p � 6.

a) Calculamos el determinante de la matriz de los coeficien-tes y lo igualamos a 0:

�A� �� 0 ⇒ p � 7 y p � 9

Si p � 7 y p � 9, rg(A) � 3 ⇒ rg(A*) � 3, el sistema es com-patible determinado.

Si p � 7, rg(A) � 2 y rg(A*) � 3, el sistema es incompatible.

Si p � 9, rg(A) � 2 y rg(A*) � 3, el sistema es incompatible.

b) Si p � 6, se resuelve el sistema por Gauss y se obtiene x � 85, y � 60 y z � 55.

Determina si este sistema puede ser compatible

indeterminado para algún valor de m:

� x � 3y � 2z � 0

2x � 4y � 3z � 0

x � 4y � mz � 0

¿Puede ser incompatible para algún valor de m?

Para que el sistema sea compatible indeterminado el rangode la matriz de los coeficientes debe ser menor que 3, portanto su determinante debe ser cero.

� �� 0 ⇒ m � 1

Si m � 1, rg(A) � 2 y rg(A*) � 2, por tanto el sistema es com-patible indeterminado.

Este es un sistema homogéneo porque todos los términos in-dependientes son 0.

Un sistema homogéneo nunca es incompatible pues siempreadmite, como mínimo, la solución trivial x � 0, y � 0, z � 0.

Considera el sistema de ecuaciones siguiente:32

23

m

341

121

31

818

71p

p17

� x � y � z � 5

2x � 3y � z � 3

ax � 10y � 4z � 2

a) Determina los valores de a para los cuales el sistema no

es compatible determinado.

b) Determina el valor de a para el cual el valor de x es 2.

Calcula, en este caso, el valor de y y z.

a) Calcularemos el determinante de la matriz de los coefi-cientes:

� �� 2a � 14 � 0 ⇒ a � 7

Si a � 7, el sistema es compatible determinado, si a � 7 elsistema no es compatible determinado.

b) Si x � 2, las dos primeras ecuaciones del sistema son:

� ⇒ y � �2, z � 5

Si sustituimos x � 2, y � �2 y z � 5, en la tercera ecuacióntenemos:

2a � 20 � 20 � 2 ⇒ a � 1

y � z � 33y � z � �1

114

13

10

12a

�2x � (a � )2y � (a � 1)z � 4

x � (a � )2y � (a � 1)z � �4

4x � (a � 1)y � (a � 1)z � �2a

a) Discútelo en función del valor del parámetro a.

b) Resuélvelo cuando sea compatible indeterminado.

c) En el caso b) halla una solución del sistema en el cual x, yy z tengan valores enteros.

a) Calculamos el determinante de la matriz de los coeficien-tes y lo igualamos a 0:

�A� �� 0 ⇒ a � 2 y a � 4

Si a � 2 y a � 4, rg(A) � 3 ⇒ rg(A*) � 3, el sistema es com-patible determinado.

Si a � 2, rg(A) � 2 y rg(A*) � 2, el sistema es compatibleindeterminado.

Si a � 4, rg(A) � 2 y rg(A*) � 3, es incompatible.

b) La solución del sistema en el caso a � 2 es:

x � �4 �

5

��

�y ��12 �

5

3��

z � �

c) Si � � 1, las soluciones son enteras: x � 1, y � 3, z � 1

Determina para qué valores de k este sistema es

compatible determinado:

�(1 � k)x � (2k � 1)y � (2k � 2)z � k(1 � )kx � (2 � 1)ky � (2k � 2)z � 2k � 2

( � k)2x � 2(k � 1)y � (k � 1)z � 9 � 2k � k2

¿Cómo es el sistema para k � 2?

�A� �� Si k � 0, k � 1 y k � 2, rg(A) � rg(A*) � 3, el sistema es com-patible determinado.

Si k � 2, rg(A) � 2, � � � 0, rg(A*) � 3, el siste-

ma es incompatible.

269

523

�12 2

2k � 20

k � 1

2k � 1k

k � 1

1 � kk2

35

�a � 111

1�2

�a � 1

214


�(m � 2)x � (m � 1)y � z � 3

( � 2)mx � (m � 1)y � z � 2

(m � 2)x � ( � 1)my � z � 0

a) Discútelo para los diferentes valores de m.

b) Resuélvelo para m � 1.

a) �A� �� 3m2 � m � 4

El sistema es compatible determinado ∀ m.

b) Para m � 1:

� � � ⇒ x � 1, y � �1, z � 0

Dado el siguiente sistema:37

320

�11 1

0�1

1

311

�11

�1

m � 1�1m

m � 2m1

�(2 � 2m)x � y � (2m � 2)z � 2m �(2 m)�2x � y � (2m � 2)z � �1m(2 � 2m)x � y � (2m � 2)z � m � 1

a) Discútelo en función del valor del parámetro m.

b) Resuelve los casos compatibles.

�A� �� 0 ⇒ m � 1

Si m � 1, el sistema es compatible determinado, x � ,y � 0, z � 2.

Si m � 1, rg(A) � 2, rg(A*) � 2, el sistema es compatible inde-terminado:

�Dado el siguiente sistema:

�a) Estudia la compatibilidad según los valores del paráme-

tro a.

b) Resuelve el sistema anterior cuando sea compatible

indeterminado.

a) � �� 0 ⇒ a � �3 o a � �1

2�

Si a � �3 y a � �1

2�, el sistema es compatible determinado y

dado que es homogéneo la solución es: x � 0, y � 0 y z � 0.

Si a � �1

2�, rg(A) � rg(A*) � 2, el sistema es compatible inde-

terminado.

Si a � �3, rg(A) � rg(A*) � 2, el sistema es compatible in-determinado.

b) Para a � �3, las soluciones son:

�x � ��y � 0 � � �

z � �

41

�1

�2�1 � a

a

1 � a1

�1

(1 � a)x � ( � a)2y � 4z � 0

(1 � a)x � (1 � a)y � z � 0

(1 a)�x � (1 � )ay � z � 0

38

x � 3/2y � 2 � � � � �

z � �

3�2

11

2m � 2

11 0

0�2

2 � 2m

Problemas de aplicación

Dadas las matrices:

A �� C �� D � � �a) ¿Para qué valores de x la matriz A posee inversa?

b) Calcula la inversa de A para el valor x � �1.

c) ¿Qué dimensión debe tener la matriz B para que la ecua-

ción matricial A � B � C � D tenga sentido? Calcula B para

el valor x � �1.

a) �A� � �4x � 2 � x2 � 0 ⇒ x � �2 �2� ⇒ si x � �2 �2�,A tiene inversa.

b) �A� � 1 ⇒ A�1 �� c) C � D es una matriz de 3 2.

Además A es una matriz de 3 3 luego B ha de ser unamatriz de 3 2.

A � B � C � D ⇒ A�1 � A � B � A�1 � C � D ⇒ B � A�1 � C � D

B �� Determina:

a) El valor de m para que esta matriz tenga inversa:

� �b) La matriz inversa para m � 0.

a) �A� �� 1 � 2m � m2 � 0 ⇒ m � �1

Para m � �1 la matriz tiene inversa.

b) A�1 � ��

� � ��1

Se considera la matriz:

A �� a) Determina los valores del número real t para los que el

determinante de A es cero.

b) Halla la inversa de la matriz A para t � �1.

c) Resuelve este sistema para t � �1:

A� �� a) � �� t � t2 � 0 ⇒ t � 0, t � 1

b) A�1 � ��

1

2��

c) � ��

1

2�� 0

�12

�10

�1

�1�2

3

�10

�1

�10

�1

xyz

�1�2

3

�10

�1

�10

�1

1t2

0

121

1t0

1

0

�1

xyz

1

t2

0

1

2

1

1

t0

41

0�2

1

0�1

0

12

�1

02

�1

010

�1�2

1(adj(A))t

��A�

0�2

1

m�1

0

1m1

0

�2

1

m�1

0

1

m1

40

�2�2

1

�1�1

1

01

10

010

100

�2�3

1

�2�2

1

�1�1

1

�2�3

1

�2�2

1

�1�1

1

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

2

x0

0

1

x

1

�2

1

39

Se considera el sistema de ecuaciones:36

Para a � �1

2�, las soluciones son: �x � 0

y � 2�z � �

513. Determinantes

Averigua para qué valores del parámetro t la matriz

A �� no tiene inversa. Calcula la matriz inversa de A para t � 1, si

es posible.

� �� t2 � 4t � 12 � 0 ⇒ t � �6, t � 2

La matriz no tendrá inversa para t � �6 y t � 2.

A �� , A�1 � ��

1

7��

t

Un depósito se llena mediante dos grifos, A y B, y se

vacía a través de un tercer grifo, C. Cuando se abren A y B,el depósito tarda 5 h en llenarse; cuando se abren los tres

grifos, tarda 10 h, y cuando se abren A y C, 15 h. Calcula en

cuánto tiempo se llenará:

a) Si se abre únicamente el grifo B.

b) Si se abre únicamente el grifo A.

c) Si se abren los grifos A y C.

Se debe plantear el sistema:

�El sistema anterior es equivalente al siguiente:

� 5A � 5B � 10C � 010A � 5B � 15C � 0

Este sistema es compatible indeterminado; sus soluciones son:

A � �5

3

��, B � �

�

3�, C � � � � �

Sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones iniciales, se obtiene:

k � 10� � � �

a) x � B � k ⇒ x � 30

Por tanto, el depósito tardará en llenarse 30 h únicamentecon el grifo B.

b) y � A � k ⇒ y � 6

Por tanto, el depósito tardará en llenarse 6 h únicamentecon el grifo A.

c) z � (A � C) � k ⇒ z � 15

Por tanto, el depósito tardará en llenarse 15 h abriendo losgrifos A y C.

Halla un número de tres cifras, sabiendo que estas

suman 9; que si al número dado se le resta el que resulta de

invertir el orden de sus cifras, la diferencia es 198; y que,

por último, la cifra de las decenas es la media aritmética en-

tre las otras dos.

Si el número de tres cifras se escribe xyz, se debe plantear elsiguiente sistema:

�⇒ �99x � y � z � 9

99x � 99z � 19899x � 2y � z � 0

x � y � z � 9(100x � 10y � z) � (100z � 10y � x) � 198

y � �x �

2

z�

44

5A � 5B � k10A � 10B � 10C � k15A � 15C � k

43

1�3

1

�45

�4

�1112

�4

441

013

�10

�1

44t

0t3

�10

�1

4

4

t

0

t3

1

0

�1

42

A x � y � z

B 2y

C 2z

A 2(x � y � z)

B 2y � (x � y � z) � 2z

C 4z

A 4(x � y � z)

B 2(2y � (x � y � z) � 2z)

C 4z � 2(x � y � z) � (2y � (x � y � z) � 2z)

A x

B y

C z

Resolviendo el sistema, se obtiene:

�El número buscado es 432.

Si Amparo invierte el 40 % de sus ahorros en accio-

nes del tipo A y el resto en acciones del tipo B, el interés

medio resultante es del 5 %, mientras que si realiza la in-

versión al revés, el interés medio resultante es del 6 %.

a) ¿Qué interés proporcionan las acciones del tipo A? ¿Y las

del tipo B?

b) ¿Cuál sería el interés medio si invirtiera la misma canti-

dad en los dos tipos de acciones?

a) Llamando x e y al interés de las acciones del tipo A y B,respectivamente, se debe plantear el sistema:

�0,4(1 � x) � 0,6 (1 � y) � 1,050,6(1 � x) � 0,4 (1 � y) � 1,06

Resolviendo el sistema, se obtiene:

x � 0,08, y � 0,03

Las acciones del tipo A dan un 8 % de interés, y las del tipoB, un 3 %.

b) Si se repartiera el capital por igual en los dos tipos deacciones, se obtendría:

0,5 � 1,08 � 0,5 � 1,03 � 1,055

Luego el interés sería de un 5,5 %.

Tres amigos acuerdan jugar tres partidas de dados

de forma que, cuando uno pierda una partida, entregará a

cada uno de los otros dos una cantidad igual a la que cada

uno de ellos posea en ese momento. Cada uno pierde una

partida y al final cada uno tiene 24 céntimos de euros.

¿Cuánto dinero tenía cada jugador al iniciar el juego?

Al iniciar la partida, el jugador A tiene x céntimos de euro, eljugador B tiene y, y el jugador C tiene z.

Suponemos que la primera partida la pierde A (el jugadorque pierde no tiene importancia para la resolución del pro-blema). Después de la primera partida tienen:

Suponemos, ahora, que la segunda partida la pierde B; cadauno de los jugadores tiene:

La última partida la pierde C, y les queda:

46

45

x � 4y � 3z � 2


A todos los jugadores les quedan 24 céntimos, luego se puede plantear el sistema:

�⇒ �Aplicando las fórmulas de Cramer, se obtiene:

x � 39, y � 21, z � 12

Luego el jugador A comenzó la partida con 39 céntimos, el B,con 21 céntimos, y el C, con 12 céntimos.

Actividades tipo test

Escoge y razona la respuesta correcta en cada caso.

Un grupo de 20 personas, entre hombres, mujeres y

niños, se reúne para ir de excursión. El número de hombres

y mujeres juntos resulta ser el triple que el de niños. Ade-

más, si se hubiera sumado al grupo una mujer más, habría

el mismo número de hombres que de mujeres. Averigua

cuántos hombres, mujeres y niños van.

a) 8 H, 7 M, 5 N

b) 7 H, 7 M, 6 N

c) 7 H, 8 M, 5 N

La respuesta correcta es la a). Veámoslo:

Llamamos x al número de hombres; y, al de mujeres, y z, alde niños. Se debe resolver el sistema:

�x � y � z � 20x � y � 3z x � y � 1

47

�x � y � z � 6�x � 3y � z � 12�x � y � 7z � 24

4(x � y � z) � 242[2y � (x � y � z) � 2z] � 244z � 2(x � y � z) � [2y � (x � y � z) � 2z] � 24

La solución del sistema es:

�Han ido de excursión 8 hombres, 7 mujeres y 5 niños.

Dos cajas grandes, tres medianas y una pequeña

ocupan un volumen de 1 m3, tres cajas grandes y una pe-

queña ocupan 800 dm3. ¿Cuánto ocuparán dos grandes,

doce medianas y dos pequeñas?

a) 2,6 m3 b) No se puede saber c) 2,6 dm3

La respuesta correcta es la b). Veámoslo:

Si planteamos el sistema se obtiene:

�La matriz de los coeficientes tiene rango 3; por tanto, la ma-triz ampliada también deberá tener rango 3. Esta condiciónno permite determinar la solución del problema, que es com-patible indeterminado, puesto que tenemos 3 ecuaciones ycuatro incógnitas.

Si la matriz de los coeficientes tuviera rango 2, imponiendoque el rango de la matriz ampliada fuera también 2, se podríadeterminar el valor de a. Es decir, cuando se plantea un pro-blema de este tipo, la agrupación de la cual se pregunta elprecio debe ser una combinación lineal de las agrupacionescuyos precios se conocen.

2x � 3y � z � 13x � 3 y � z � 0,82x � 12y � 2z � a

48

x � 8y � 7z � 5

533. Determinantes

Evaluación (página 87)

1. Calcula el valor del siguiente determinante.

� �Desarrollamos el determinante por la primera fila y obtenemos que:

� � � 1 �� 2 �� 4 �� 2 �� 59

2. Sabiendo que � �� 3, calcula: � �Aplicamos distintas propiedades de los determinantes y obtenemos que:

� �� 5 ��

� �1 � 5 �� 1 � 5 ��

� �1 � 5 � (3 � 0) � �15

3. Halla el rango de esta matriz en función de .

C �� C� �� 2 � 1. Luego: �C� � 0 ⇔ ��2 � 1 � 0 ⇔ � � 1, � � �1

Si � � 1 y � � �1: �C� � 0 y rg(C) � 3

Si � � 1: C �� y rg(C) � 2 ya que existen diferentes menores de orden 2 que son distintos de cero.

Si � � �1: C �� y rg(C) � 2 ya que existen diferentes menores de orden 2 que son distintos de cero.

4. Indica cuál debe ser el valor de m para que la matriz de A tenga inversa.

A �� La matriz A tendrá inversa si �A� � 0. El determinante de la matriz A, tiene las filas 1 y 2 proporcionales, lo que hace que su determi-nante sea cero sea cuál sea el valor que tome m.

5. Determina la matriz inversa de la matriz B.

B �� Calculamos la inversa por adjuntos y queda: B�1 � ��

1

6� �� 4

�12

�6�3

0

�600

�3

�1

�3

2

2

0

1

0

0

1

2

3

1

2

m

1

2

3

�00

�1

�1�1�2

001

201

�1�1�2

201

� � 10�

�1�1�2

� � 101

� 1

0

�1

�1

�2

� 1

0

1

010

211

412

z10

y11

x12

z10

y � 211

x � 412

z01

y � 211

x � 421

z05

y � 215

x � 425

555

210

x � 4y � 2

z

5

5

5

2

1

0

x � 4

y � 2

z

z1

0

y1

1

x1

2

10

�2

112

�123

345

112

�123

345

10

�2

�123

345

10

�2

112

2345

410

�2

2112

1�1

23

2

3

4

5

4

1

0

�2

2

1

1

2

1

�1

2

3


6. Discute y resuelve, si es posible, el siguiente sistema de ecuaciones:

�2x � 2y � z � 1

2x � 2y � z � 0

5x � 2y � z � 2

2x � 2y � z � 1

Las matrices asociadas al sistema son: A �� y A* �� Se tiene que:

rg(A) � rg(A*) � número de incógnitas � 3

Luego es un sistema compatible determinado cuya solución es:

x � 0, y � 1 y z � 2

7. Discute el siguiente sistema en función del valor del parámetro m:

��M� � � � � m � (�m � 3)

Luego: �M� � 0 ⇔ m � 0, m � 3

Si m � 0 y m � 3: �M� � 0 por lo que el rg(M) � rg(M*) � número de incógnitas � 2. Luego el sistema es compatible determinado.

Si m � 0 o m � 3: rg(M) � rg(M*) � 1 � número de incógnitas � 2. Luego en ambos casos son sistemas compatibles indeterminadoscon un grado de libertad.

m � 1m � 1

m2m

2mx � (m � 1)y � 1

2mx � (m � 1)y � m � 1

1021

�1�1

10

�1201

2152

�1�1

10

�1201

2152

037 054 0B2MTLPCS Unidad 03 - para alumnos y alumnas de ... · Con el fin de atender los distintos...

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