Parmetros de una PoblacinIng. Julio Carreto

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Parmetros de una PoblacinMedidas de Tendencia Central

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Parmetros de una PoblacinUna caracterstica importante de cualquier poblacin es su posicin, es decir, donde est situada con respecto al eje de abscisas (Eje horizontal). En nuestro caso, es importante saber si los datos se agrupan alrededor de 60 Kg. o de 90 Kg. o alrededor de 12 Kg.

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Parmetros de una PoblacinUna manera de obtener un dato numrico que nos d idea de la posicin de nuestra poblacin es calcular el Promedio o Media de todas las observaciones:

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Parmetros de una PoblacinEste importante parmetro nos permite efectuar comparaciones entre distintas poblaciones.

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Parmetros de una PoblacinPor ejemplo, si tuviramos una poblacin formada por mediciones del peso de mujeres de 30 aos, otra de peso de varones de 40 aos y una tercera de peso de nios de 8 aos, es indudable que los promedios van a ser diferentes.

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Parmetros de una PoblacinEl promedio, entonces, nos est diciendo que las tres poblaciones son diferentes y tambin en que medida difieren.

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Parmetros de una PoblacinAhora, si tuviramos una poblacin de varones con peso promedio 70 Kg. y otra poblacin de varones con el mismo promedio Se puede afirmar que ambas poblaciones son equivalentes?

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Parmetros de una PoblacinPara responder esta pregunta necesitamos tener medidas de la dispersin de la poblacin de datos.

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Parmetros de una PoblacinMedidas de Dispersin

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Parmetros de una PoblacinOtra caracterstica muy importante de una poblacin es el grado de dispersin de las observaciones. No es lo mismo si en nuestra poblacin encontramos que todos los valores estn entre 75 y 90 Kg. que si estn entre 60 y 105 Kg., aunque el promedio sea el mismo.

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Parmetros de una PoblacinSi llegara a la tierra un marciano y le dijramos que el peso promedio de los seres humanos adultos es de 70 Kg, puede llegar a creer que existen hombres de 350 Kg, o de 5 Kg

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Parmetros de una PoblacinEs necesario agregar alguna idea de la dispersin de los valores. Una manera es a travs del Rango de las observaciones, es decir, el valor Mximo y el valor Mnimo de los datos de la poblacin.

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Parmetros de una PoblacinEntonces, una descripcin mas realista acerca de los seres humanos sera decir que pesan en promedio 70 Kg. y que el rango es de 40 a 120 Kg. (Estos valores son supuestos).

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Parmetros de una PoblacinUna manera mas precisa de dar idea de la dispersin de valores de una poblacin es a travs de la Varianza o su raz cuadrada, que es la Desviacin Standard.

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Parmetros de una PoblacinVamos a calcular la varianza y la desviacin standard de un nmero pequeo de datos (Una muestra) para ilustrar el clculo.

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Parmetros de una PoblacinSupongamos que se midi la altura de 10 personas adultas y de sexo femenino, y se obtuvieron los valores siguientes:Altura

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Parmetros de una Poblacin165 cm.163 cm. 171 cm. 156 cm. 162 cm. 159 cm. 162 cm. 168 cm.159 cm. 167 cm.

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Parmetros de una PoblacinEl promedio de estas observaciones es:Si a cada una de las observaciones le restamos el promedio, obtenemos los Residuos:

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Parmetros de una Poblacin

165 1,8 163 -0,2 171 7,8 156 -7,2 162 -1,2 159 -4,2 162 -1,2 168 4,8 159 -4,2 167 3,8

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Parmetros de una PoblacinLos residuos tambin nos dan una idea de la dispersin de las observaciones individuales alrededor del promedio. Si el valor absoluto (El valor numrico sin el signo) de los residuos es grande, es porque los valores estn muy dispersos.

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Parmetros de una PoblacinSi el valor absoluto de los residuos es pequeo, significa que las observaciones individuales estn muy cerca del promedio, y por lo tanto, hay poca dispersin.

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Parmetros de una PoblacinPero nosotros necesitamos un slo nmero que nos provea informacin acerca de la dispersin de los valores.

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Parmetros de una PoblacinSi sumamos los residuos, como algunos son positivos y otros negativos, se cancelaran entre s, con lo cual perdemos la informacin acerca de la dispersin. Entonces, los elevamos al cuadrado:

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Parmetros de una Poblacin

165 1,8 3,24163-0,2 0,04171 7,8 60,84156-7,2 51,84162-1,2 1,44159-4,2 17,64162-1,2 1,44168 4,8 23,04159-4,2 17,64167 3,8 14,44

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Parmetros de una PoblacinSi ahora sumamos los residuos elevados al cuadrado, tenemos un nmero donde se condensa toda la informacin de la dispersin de la poblacin:

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Parmetros de una PoblacinEste nmero, la suma de cuadrados, es dependiente del nmero de datos N, y por lo tanto no nos sirve para comparar poblaciones con distinto nmero de observaciones.

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Parmetros de una PoblacinPero si dividimos la suma de cuadrados por N, tenemos un nmero que es independiente del nmero de observaciones, que se denomina Varianza:

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Parmetros de una Poblacin

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Parmetros de una PoblacinEn nuestro caso:

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Parmetros de una PoblacinLas frmulas anteriores son las que se aplican al clculo de la varianza y desviacin standard de una poblacin de datos. Mas adelante veremos que las frmulas a aplicar en el caso de una muestra son ligeramente diferentes.

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Parmetros de una PoblacinLa varianza es un nmero que nos permite comparar poblaciones. Cuando la dispersin de las observaciones es grande (Datos que se alejan mucho por encima y por debajo del promedio), el valor de los residuos (distancia entre cada dato y el promedio) ser grande.

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Parmetros de una PoblacinEntonces aumenta la suma de cuadrados de los residuos y por lo tanto la varianza. Tambin se utiliza la raz cuadrada de la varianza:

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Parmetros de una PoblacinPor lo tanto:

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Parmetros de una PoblacinLa desviacin standard o desviacin tpica tiene las mismas unidades que la variable con la que estamos trabajando, en nuestro caso el centmetro. Tanto la varianza como la desviacin standard nos permiten comparar el grado de dispersin de distintas poblaciones.

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Parmetros de una PoblacinMedia y Varianza de una Muestra

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Parmetros de una PoblacinHasta ahora hemos visto como se calcula la media o promedio de una poblacin y tambin como se calcula la varianza y la desviacin standard de una poblacin o universo de observaciones.

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Parmetros de una PoblacinCuando tenemos una muestra (Subconjunto de algunos datos extrados de una poblacin), tambin podemos calcular su media, su varianza y su desviacin standard.

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Parmetros de una PoblacinEs muy importante distinguir entre la media, varianza y desviacin standard poblacional, de la media, varianza y desviacin standard muestral.

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Parmetros de una PoblacinLa media, varianza y desviacin standard de una poblacin o universo se denominan parmetros de la poblacin y en general se designan con letras griegas: m para la Media, s2 para la Varianza y s para la Desviacin Standard poblacionales.

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Parmetros de una PoblacinEn el caso de una muestra, la media, varianza y desviacin standard se denominan estadsticos y se utilizan letras de nuestro alfabeto:para la Medias2 para la Varianzay s para la Desviacin Standard muestrales.

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Parmetros de una PoblacinEl clculo de la varianza y la desviacin standard de una muestra de n observaciones se realiza con una frmula levemente diferente que la ya vista para la varianza y desviacin standard de una poblacin:

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Parmetros de una Poblacin

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Parmetros de una PoblacinEn lugar de dividir por n, el nmero total de observaciones en la muestra, dividimos por n - 1. Este valor, n - 1, son los Grados de Libertad de la muestra. En general, cuando tenemos una muestra de n observaciones, se dice que la misma tiene n - 1 grados de libertad.

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Parmetros de una PoblacinLa media, varianza y desviacin standard de una muestra, en general, no van a coincidir con los mismos parmetros de la poblacin de la cual se extrajo la muestra (Aunque usemos la misma frmula para calcular la varianza muestral y poblacional).

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Parmetros de una PoblacinSi extraemos n muestras de una poblacin, vamos a obtener n promedios muestrales distintos del promedio de la poblacin y n varianzas muestrales distintas de la varianza de la poblacin.

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Parmetros de una PoblacinEsto se debe a que una poblacin o universo tienen un nmero muy grande de datos, mientras que una muestra son slo algunos pocos datos extrados de ese universo.

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Parmetros de una PoblacinCuando sacamos una segunda, tercera, ... etc. muestras, los datos extrados no tienen por que ser los mismos que en la primer muestra.

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Parmetros de una PoblacinPor lo tanto, el promedio y la varianza de las muestras van a ser distintos para las distintas muestras, y distintos de la media y la varianza de la poblacin de la cual se extrajeron las muestras.

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Parmetros de una PoblacinMuestreo Aleatorio

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Parmetros de una PoblacinEn general, no es posible disponer de todas las observaciones de un universo o poblacin, ya sea porque es un universo hipottico o porque el relevamiento de todos los datos resulta una tarea excesiva para nuestras posibilidades.

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Parmetros de una PoblacinNormalmente se dispone de una muestra de datos extrados de un universo, y lo que se pretende es estimar (Conocer de manera aproximada) los parmetros del universo por medio de clculos realizados sobre la muestra.

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Parmetros de una PoblacinEn este sentido decimos que la media muestral es una estimacin de la media del universo, y que la varianza y desviacin standard muestrales son estimaciones de la varianza y desviacin standard poblacionales respectivamente.

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Parmetros de una PoblacinVeamos algunos ejemplos. Supongamos que un partido poltico necesita averiguar la cantidad de personas que estn dispuestas a votar por su candidato. Entonces, encarga a una empresa la realizacin de una encuesta el da previo a las elecciones.

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Parmetros de una PoblacinEl encargado de la encuesta podra pensar en consultar la intencin de voto de toda la poblacin de votantes (Mas de 18 millones en la Argentina). Esto, obviamente, es una tarea excesiva que por distintas razones no se puede realizar.

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Parmetros de una PoblacinEntonces, el camino que resta es tomar una muestra representativa de esa poblacin de personas y consultar la intencin de voto en esa muestra.

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Parmetros de una PoblacinLos resultados que se obtengan son solamente una estimacin del resultado que se hubiera obtenido si la consulta se hubiera efectuado sobre toda la poblacin de votantes.

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Parmetros de una PoblacinAhora bien Cmo se obtiene una muestra representativa? Para tratar de entenderlo, vamos a trabajar con una poblacin de muy pocos datos. Supongamos que nuestra poblacin son 10 crculos con los siguientes nmeros:

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Parmetros de una Poblacin

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Parmetros de una Poblacinsi ordenamos las crculos de menor a mayor:

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Parmetros de una Poblacininmediatamente comprobamos que nuestra poblacin consta de 6 dos, 2 cincos y 2 nueves:

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Parmetros de una Poblacin DatoFrecuencia

26

52

92

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Parmetros de una PoblacinEl promedio de la poblacin es 4. Supongamos que queremos obtener una muestra de 5 elementos de esa poblacin. Hay varias maneras de hacerlo.

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Parmetros de una PoblacinSupongamos que puedo ver los nmeros y elijo 2, 2, 2, 2 y 5 porque me gustan esos nmeros. El promedio de estos 5 nmeros extrados de la poblacin es 2,6 que difiere sustancialmente del promedio de la poblacin.

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Parmetros de una Poblacin

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Parmetros de una PoblacinEs evidente que dicha muestra no es representativa de la poblacin de la que fue extrada. No se mantiene la misma proporcin de cada nmero que existe en la poblacin.

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Parmetros de una PoblacinUna muestra de 5 elementos en la que hay la misma proporcin de cada dgito debera tener 3 dos, 1 cinco y 1 nueve, y su promedio es 4, el mismo de la poblacin.

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Parmetros de una Poblacin

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Parmetros de una PoblacinEn una poblacin de muchos datos, no es posible obtener una muestra eligiendo cada elemento para que figure en la misma proporcin que en la poblacin, porque para ello deberamos disponer de todos los datos de la misma, y en ese caso no sera necesario sacar una muestra.

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Parmetros de una PoblacinSi a cada elemento de la poblacin se le da la misma oportunidad de ser elegido, entonces se supone que cada nmero estar en la muestra en un nmero proporcional a la cantidad de veces que est en la poblacin.

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Parmetros de una PoblacinPor ejemplo, el 2 va a estar en la muestra mas veces que el 5, porque en la poblacin hay 6 dos y slo 2 cincos. Si metemos las diez crculos en una bolsa y las mezclamos suficientemente, la probabilidad que tiene una bolilla individual de ser extrada es la misma para cualquiera de las crculos.

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Parmetros de una PoblacinEn esas condiciones, si sacamos cinco crculos sucesivas, mezclndolas previamente en cada oportunidad, es razonable pensar que vamos a extraer el 2 en mas oportunidades que el 5 el 9.

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Parmetros de una PoblacinEsta forma de obtener la muestra es lo que se conoce como Muestreo Aleatorio.

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Parmetros de una PoblacinEl muestreo aleatorio no garantiza que la muestra va a ser representativa de la poblacin, pero al eliminar toda influencia externa en el acto de extraer un elemento de la poblacin, la proporcin de cada uno estar influda slo por la cantidad de veces que est presente en la poblacin de la cual se extrae la muestra.

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Parmetros de una Poblacin253733262Poblacin o Universo de MedicionesMuestra RepresentativaExtraccin Aleatoria

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Parmetros de una PoblacinEntonces, realizando el muestreo en forma aleatoria (al azar), la probabilidad de obtener una muestra representativa de la poblacin es mayor que si en la eleccin de los elementos de la muestra interviene la voluntad del que efecta la operacin o algn otro factor de influencia.

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