03-Dinámica_UGDL

Introduccin a laIntroduccin a laIntroduccin a laIntroduccin a laDinmica de EstructurasDinmica de EstructurasDinmica de EstructurasDinmica de Estructuras

y aly aly aly alDiseo Sismo ResistenteDiseo Sismo ResistenteDiseo Sismo ResistenteDiseo Sismo Resistente

Josef Farbiarz F., M.S.C.E.Profesor Asociado

Facultad de MinasFacultad de MinasFacultad de MinasFacultad de MinasUniversidad Nacional de ColombiaUniversidad Nacional de ColombiaUniversidad Nacional de ColombiaUniversidad Nacional de Colombia

Sede MedellnSede MedellnSede MedellnSede Medelln III.1

El curso va en laIII.1

IIIRESPUESTA DINMICA DE

LAS ESTRUCTURASIII.2

Introduccin a laIntroduccin a laIntroduccin a laIntroduccin a laDinmica de EstructurasDinmica de EstructurasDinmica de EstructurasDinmica de Estructuras

y aly aly aly alDiseo Sismo ResistenteDiseo Sismo ResistenteDiseo Sismo ResistenteDiseo Sismo Resistente


LAS ESTRUCTURASGeneralidades

Ecuaciones de movimientoSistemas elsticos de un grado de libertad

Clculo de la respuesta dinmicaEspectros de respuesta

Espectros de diseoVarios grados de libertad como SUGDL

Sistemas inelsticosIII.3

Acciones que varan rpidamente con el tiempo

fuerzas inerciales similares en magnitud a las estticas

RESPUESTA DINMICAGENERALIDADES

Sistema dinmicoSistema dinmicoSistema dinmicoSistema dinmico

Determinista: Variacin temporal conocida.

Estocstica o aleatoria: Variacin temporal slo

puede definirse estadsticamente.

Cargas dinmicasCargas dinmicasCargas dinmicasCargas dinmicas

III.4

Aceleraciones

Velocidades

Desplazamientos

Tensiones

Deformaciones


Respuesta estructuralRespuesta estructuralRespuesta estructuralRespuesta estructural

III.5


[ ] )()( tftu =Comportamiento dinmicoComportamiento dinmicoComportamiento dinmicoComportamiento dinmico

RespuestaExcitacin

Operador diferencial

u(t) f(t)Identificacin de la accin Identificacin de sistemas Anlisis dinmico - ConocidaConocidaConocidaConocida - DesconocidaDesconocidaDesconocidaDesconocida

III.6


Clculo del comportamiento dinmicoClculo del comportamiento dinmicoClculo del comportamiento dinmicoClculo del comportamiento dinmico

SolicitacinSolicitacinSolicitacinSolicitacin

Idealizacin dinmicaIdealizacin dinmicaIdealizacin dinmicaIdealizacin dinmica

Modelacin matemticaModelacin matemticaModelacin matemticaModelacin matemtica

Solucin numricaSolucin numricaSolucin numricaSolucin numrica

RespuestaRespuestaRespuestaRespuesta

Esttica, dinmica, ssmicaEsttica, dinmica, ssmicaEsttica, dinmica, ssmicaEsttica, dinmica, ssmica

Discretizacin, elementos Discretizacin, elementos Discretizacin, elementos Discretizacin, elementos finitos, etc..finitos, etc..finitos, etc..finitos, etc..

Equilibrio, compatibilidad Equilibrio, compatibilidad Equilibrio, compatibilidad Equilibrio, compatibilidad de deformaciones, etc..de deformaciones, etc..de deformaciones, etc..de deformaciones, etc..

Mtodos continuos o Mtodos continuos o Mtodos continuos o Mtodos continuos o discretosdiscretosdiscretosdiscretos

III.7


Excitacin PeridicaExcitacin PeridicaExcitacin PeridicaExcitacin Peridica

Motor sobre la Motor sobre la Motor sobre la Motor sobre la estructuraestructuraestructuraestructura

HliceHliceHliceHlice

Armnica simpleArmnica simpleArmnica simpleArmnica simple

ComplejaComplejaComplejaCompleja


III.8

Excitacin AperidicaExcitacin AperidicaExcitacin AperidicaExcitacin Aperidica


ExplosinExplosinExplosinExplosin

Aceleracin Aceleracin Aceleracin Aceleracin del suelodel suelodel suelodel suelo

ImpulsoImpulsoImpulsoImpulso

Larga duracinLarga duracinLarga duracinLarga duracin


III.9

IdealizacinIdealizacinIdealizacinIdealizacin DiscretizacinDiscretizacinDiscretizacinDiscretizacin


III.10



III.11



III.12

UN GRADO DE LIBERTAD

IdealizacinIdealizacinIdealizacinIdealizacin


III.13

DiscretizacinDiscretizacinDiscretizacinDiscretizacin



III.14


DOS GRADOS DE LIBERTAD



III.15




UNO Y DOS GRADOS DE LIBERTAD

III.16



IdealizacinIdealizacinIdealizacinIdealizacinMLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD

III.17




III.18




III.19




III.20



)(xu

Oscilacin generalizadaOscilacin generalizadaOscilacin generalizadaOscilacin generalizada


III.21

SuperposicinSuperposicinSuperposicinSuperposicin

L

xb

sen1

L

xb

2sen2

L

xb

3sen3

+

+


Elementos finitosElementos finitosElementos finitosElementos finitos


Nmero finito de segmentos

Tamao y forma independientes

Interconexin de segmentos: nodos

Nodos: Coordenadas globales

Incgnitas: desplazamientos nodales

Deformacin continua: funciones de

interpolacin entre nodos

III.22

GeneralidadesEcuaciones de movimiento

Sistemas elsticos de un grado de libertadClculo de la respuesta dinmica

Espectros de respuestaEspectros de diseo

Varios grados de libertad como SUGDLSistemas inelsticos III.23


LAS ESTRUCTURAS

1a Ley de Newton (1642-1727)Todo cuerpo permanece en su estado de

reposo, o movimiento uniforme rectilneo, a

menos que sea obligado a cambiar ese estado

debido a la aplicacin de cualquier tipo de

fuerzas."

Se conoce tambin como Ley de Inercia. Es vlida

para cuerpos sin fuerzas aplicadas, o con fuerzas cuya

resultante es nula.

RESPUESTA DINMICAECUACIONES DE MOVIMIENTO

III.24

2a Ley de Newton (1642-1727)"La fuerza que acta sobre un cuerpo y causa

su movimiento, es igual a la tasa de cambio del

momentum del cuerpo."

xmdt

dxmvmQ &===


dt

dQF =

Pero el momentum Q, o cantidad de movimiento, es

igual a la masa del cuerpo por su velocidad:

III.25

2a Ley de Newton (cont.)

Si la masa del cuerpo permanece constante:

xmdt

xdmF &&

& ==


)()()( xmdt

d

dt

dxm

dt

dmv

dt

d

dt

dQF &====

As:

maF =Es decirIII.26

3a Ley de Newton (1642-1727)

A toda accin se opone siempre una

reaccin de igual magnitud."

Permite utilizar el procedimiento de

cuerpo libre


III.27

Principio de DAlambert (1717-1783)

El equilibrio esttico debe cumplirse en

cada instante de tiempo, es decir,

incluso las fuerzas inerciales deben

cumplir con el equilibrio esttico en

cualquier instante dado

F ma ==== 0fuerza inercial


III.28

Energa PotencialTrabajo realizado por una fuerza al recorrer una

distanciadlFdE

P=

P

L

inicio

fin

P


III.29

LFdlFE

L

0

P==

P

L

F

uL

inicio

fin

PP

0P

x

P

u

kinicio

fin

x

F

===

x

0

x

0

2

x

0

Puk

2

1duukduPE

Energa PotencialEnerga Potencial

2

Pxk

2

1E =


III.30

Energa cintica

vdu

dvm

dt

du

du

dvm

dt

dvmamF ====

tt vvx

iC vmdvvmduFE0

2

00 21

===

dvvmduF =

2

21

tC vmE =


III.31

rEE PC =+

( ) 0=+ PC EEdt

d

Para todo sistema conservativo la energa total es constante:

es decir, el cambio de la energa total es nulo:

Algunos sistemas no son conservativos, es decir, tienenprdida de energa, ya sea por amortiguacin u otras fuerzasexternas no conservativas. El trabajo de estas fuerzasconstituye la energa disipada, Ed.


III.32

( ) += 21

21

t

t dt

t CPHdtEdtEE

Principio de Hamilton (1805-1865)

0=HUn sistema est en equilibrio dinmico si

donde:

21 y t tentre tiempode

intervalo elen de cambio =


III.33

Principio del trabajo virtualEl trabajo realizado por todas las fuerzas de un sistemaen equilibrio dinmico, incluyendo fuerzas inerciales,debido a un desplazamiento virtual, es nulo.

x

x

k

m

0

k mx..

c cx. f

0= ukuuucuumuf &&&( ) 0= ukuucumf &&&

fkuucum =++ &&&


III.34


Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1

f P

x

11

0 tt0 1

fr

rfxm =&&



frPfxsi = o 0 &

0 0 === xxt &

III.36

xm &&

P0

t1

f

t

P

PP 0

022 == xt



III.37

P0

t1

f

tt2

P



PPP 20

III.39



h

x

P00

0

=

=

x

hx

&

P

r

0 si

0 si 0

>=

=

xkxr

xr

Hallar la mxima deflexin del resorte

III.40



xg

PrP &&=

La ecuacin de movimiento es F=ma (2 Ley de Newton), es decir:

-h

f

x

P

x20

La energa cintica es cero en t=0 y en elmomento de mximo desplazamiento delresorte, por lo tanto, el trabajo realizado escero y el rea neta bajo la curva fuerza-desplazamiento debe ser cero

( ) 02

22

2 =+kx

xhP

++==

h

xk

PSi

211 2

III.41


(t)k

x

Por el principio de Hamilton:Para un sistema sin amortiguacin, y teniendo en cuenta que:

entonces:

[ ]2)(2

1)( tktE tP = [ ]

2)(

2

1)( tJtE dc =

[ ] [ ] = )()( tftf [ ] [ ] [ ])()()( 1 tftfntf nn =

( ) =21

0t

t dtdtJk

Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 3 III.42


(t)k

x ( ) ( ) =21

21

0t

t

t

t dtdtJdtk

( ) ] ( )( )[ ] 21

21

t

t dt

tddtJJ

0 (por Hamilton)

A

B

AB en ( )[ ] =+21

0t

t dtdtJk


III.43

se integra por partes

= dfggfdgf


(t)k

x

Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 3 Entre t1 y t2 puede tomar cualquier valor

0=+ dt Jk

Ecuacin de movimiento del sistema

( ) 0=+ PC EEdt

d

( ) 0)()(21 22 =

+ tktJdt

dtd

0)()()()( =+ ttkttJ td

0)()( =+ tktJ td

O tambin:

III.44


Sistemas elsticos de un grado de libertadClculo de la respuesta dinmica




LAS ESTRUCTURAS

Vibracin libre (no amortiguadaVibracin libre (no amortiguadaVibracin libre (no amortiguadaVibracin libre (no amortiguadaNA)NA)NA)NA)

x

km

0

masamasamasamasarigidezrigidezrigidezrigidez

coordenada que coordenada que coordenada que coordenada que describe el describe el describe el describe el movimientomovimientomovimientomovimiento

RESPUESTA DINMICASISTEMAS ELSTICOS DE UN GRADO DE LIBERTAD

(SUGDL)

kx

Mx

0xkxm =+&&III.46

0xm

kx =+&&

tm

kcosCt

m

ksenCx 21 +=

RESPUESTA DINMICASUGDL

Cuya solucin es:

Si:

dividiendo por m:

m

k=

tcosCtsenCx 21 +=

Para t=0: 02210 xC 0cosC0senCx =+=

tsenCtcosCx 21 =&

== 01210

xC 0senC0cosCx &&

Vibracin libre (NA)Vibracin libre (NA)Vibracin libre (NA)Vibracin libre (NA)

III.47

entonces:

= frecuencia en radianes/segundo (rad/s)

T = 2/2/2/2/ = 1/f = perodo en segundos (s)

f = /2/2/2/2 = frecuencia en ciclos/segundo (Hertz)

xo

vo

t

x

perodo T

amplitud

tcosxtsenx

x 00 +

= &

Ecuacin para vibraciones libres no amortiguadas


Vibracin libre (NA)Vibracin libre (NA)Vibracin libre (NA)Vibracin libre (NA)

III.48

Vibracin forzada (NA)Vibracin forzada (NA)Vibracin forzada (NA)Vibracin forzada (NA)Esta ocurre cuando hay una fuerza, P(t), que causa el movimiento. En tal caso, la ecuacin que lo define es:

m

tPx

m

kx

)(=+&&

m

Px

m

kx =+&&

Carga sbita constanteCarga sbita constanteCarga sbita constanteCarga sbita constante

k

PtcosCtsenCx 21 ++=

Solucin general Solucin particular

tsenCtcosCx 21 =&


III.49

Considerando las condiciones iniciales, x=0 y v=0:

0Cy k

PC 12 == ( )tcos1

k

Px =

0

1

2

P/k

t


Vibracin forzada (NA)Vibracin forzada (NA)Vibracin forzada (NA)Vibracin forzada (NA)

III.50

mit

m

Ptxx PP === &&&

PulsoPulsoPulsoPulsoCuando un sistema se somete a una carga P de valorconstante por un intervalo de tiempo tp, pequeo con respectoa su perodo natural, la aceleracin puede considerarseconstante, igual a P/m. El efecto es como el de una velocidadaplicada al sistema. Dicha velocidad est dada por:

Pulso o impulso: rea bajo la curva carga-

tiempo

Esta ecuacin es vlida para duraciones de la carga hasta deaproximadamente un dcimo del perodo natural de vibracindel sistema. En tales casos, es inconsecuente la forma de lafuncin carga-tiempo.



III.51

Funcin generalizada de cargaFuncin generalizada de cargaFuncin generalizada de cargaFuncin generalizada de cargaSi se tiene una funcin de carga, un diferencial de tiempopodra tratarse como un pulso, que ocasiona un incrementoen la aceleracin, cuyo

[ ]

[ ]dt

m

)t(fPxd

dt

xdx

xm)t(fP

==

=

&&

&&

&&

efecto puedeconsiderarse comouna velocidad inicialpara el instantesiguiente:

P[f(t)]

td

xxxxkkkk mmmm

0000

P[f(t)]P[f(t)]P[f(t)]P[f(t)]



III.52

tcosdxtsenxd

dx 00 +

= &

Recordando la ecuacin para vibracin libre no amortiguada, yteniendo en cuenta que el pulso no causa desplazamientoinicial:

[ ] ( )dttsenm

)t(fPdx

=

[ ] ( ) =t

0dttsen

m

)t(fPx

El desplazamiento total en un instante t ser el efecto sumadode todos los pulsos debidos a cada diferencial de tiempo entre0 y t:

Para un sistema con velocidad y desplazamiento iniciales:

( ) ( ) [ ] ( ) ++=t

0

00 dttsen

m

)t(fPtsen

xtcosxx

&

Ecuacin para cualquier carga arbitraria, para SUGDLNA



III.53


AmortiguacinAmortiguacinAmortiguacinAmortiguacin

Todo movimiento tiende a disminuir con el tiempo

debido a la prdida de la energa presente en el

sistema. La energa, ya sea cintica o potencial, se

transforma en otras formas de energa como ruido,

calor, etc.

En los sistemas dinmicos esta prdida de energa se

denomina amortiguamiento

III.54

Fx

c

.

ca

Fa

Viscoso

Existen diferentes tipos de amortiguamiento:

Viscoso

Proporcional a la velocidad del movimiento



III.55

Fx

c

.

ca

Fa

N

N

Fa

N

Viscoso

Coulomb


Viscoso


Coulomb

Causado por friccin



III.56

Fx

c

.

ca

Fa

N

N

Fa

N

u

F

Fy

u

F

Fy

u

F

Fy

Viscoso

Histertico

Coulomb


Viscoso


Coulomb

Causado por friccin

Histertico

Cuando el material trabaja

en el intervalo inelstico o

no lineal, y la trayectoria

de carga es diferente a

la de descarga



III.57

xk

m

0

c

masamasamasamasa

amortiguador amortiguador amortiguador amortiguador viscosoviscosoviscosoviscoso

coordenada que coordenada que coordenada que coordenada que describe el movimientodescribe el movimientodescribe el movimientodescribe el movimiento

rigidezrigidezrigidezrigidez


Vibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaA)A)A)A)

kx

cx

mx

Aplicando el principio de DAlambert:

m x c x k x&& &++++ ++++ ==== 0III.58

y sus races:

La solucin es:

( ) 0e kcm t2 =++

m2

mk4cc 21

+=



m2

mk4cc2

2 =

Sin embargo, esta solucin depende del valor del radical en las races, lo que resulta en tres posibilidades:

x t Ae Bet t( ) ==== ++++ 1 2 C

Cuya solucin es del tipo:Lo que implica que:

Reemplazando en la ecuacin del sistema

te)t(x =t2t e)t(xy e)t(x == &&&

III.59

Cuando el radical es igual a cero tenemos:

=== m2mk2c 0km4c2



a) El radical es nulo

21 m2

m2

m2

c==

=

= D

CD en : tt BteAe)t(x +=

III.60

Al evaluar A y B para condiciones iniciales, se obtiene:

( )[ ] t000 exvtx)t(x ++=



xovo

t

xEl sistema no vibra!Por esta razn este amortiguamiento

se conoce con el nombre de crtico.

Es interesante entonces saber si elamortiguamiento de un sistema esmayor o menor que el crtico. A estarelacin se le conoce como:

As:

=

== m2c m2

c

c

c

c

= 122y

+= 121III.61



La solucin es:

tampoco hay vibracin!

Sin embargo, el sistema regresa a su posicin de equilibrioms lentamente que en el sistema con amortiguamiento crtico

x ovo

t

x

x t e A e B et t t( ) ==== ++++

2 21 1

Amortiguamiento mayor que el crtico (Amortiguamiento mayor que el crtico (Amortiguamiento mayor que el crtico (Amortiguamiento mayor que el crtico ( > 1)> 1)> 1)> 1)

III.62

Amortiguamiento menor que el crtico (Amortiguamiento menor que el crtico (Amortiguamiento menor que el crtico (Amortiguamiento menor que el crtico ( < 1)< 1)< 1)< 1)La solucin es imaginaria:

pero utilizando las transformaciones de Euler se obtiene:

x t e A e B et i t i t( ) ==== ++++

1 12 2

x t e C t

Dsen t

t( ) cos====

++++

1

1

2

2



En las ecuaciones anteriores puede verse que sistema sub-amortiguado tiene una frecuencia equivalente, a igual a:

= 2a 1III.63

Amortiguamiento menor que el crtico (Amortiguamiento menor que el crtico (Amortiguamiento menor que el crtico (Amortiguamiento menor que el crtico ( < 1)< 1)< 1)< 1)Resolviendo para las condiciones iniciales:

(((( )))) (((( ))))x t e x t v x sen tt o a o oa

a( ) cos==== ++++++++

a

xovo

t

x

T

Taa

==== ====

2 2

1 2



III.64

=0

=0,4

=0,6

=0,8=1



Efectos del amortiguamiento en la vibracin libre

III.65



Decremento Decremento Decremento Decremento logartmicologartmicologartmicologartmico

xnXn+1

Xn+2

TaTa

Envolvente exponencial

Recordando la ecuacin para vibraciones libres sub-amortiguadas, la relacin entre picos sucesivos puede determinarse como:

anT

n

n ex

x =+1

Al logaritmo natural de la relacin se le llama decremento logartmico, y est dado por:

2an1n

n

1

2T

x

xln

==

=

+III.66

Evaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamiento



Decremento Decremento Decremento Decremento logartmicologartmicologartmicologartmicoDe la ecuacin anterior puede deducirse el valor del cociente de amortiguamiento:

Cuando el amortiguamiento es pequeo, el decremento de la vibracin es tambin pequeo y el radical puede aproximarse a uno:

2

2

412

+

=

2

III.67




Otra alternativa cuando el decremento es pequeo es considerar la diferencia entre varios perodos:

=

+ perodos#n

n

x

xln

perodos#

1

III.68

Existen otros mtodos para evaluar el amotiguamiento, como el de la amplificacin resonante y el del ancho de banda, que se basan en el estudio del fenmeno de resonancia en oscilaciones armnicas, que se ven ms adelante




De tal manera, se puede calcular el amortiguamiento de una estructura forzndola a vibrar y registrando su vibracin libre, cuando la excitacin ha cesado.Por ejemplo, si la amplitud del movimiento del centro de un puente de 120m de luz decrece de 20cm a 5 cm en dos ciclos sucesivos:

386,15

20ln == %5,21215,0

4

386,112

386.1

2

2=

+

=

III.69

EjemploEjemploEjemploEjemplo



Decremento Decremento Decremento Decremento logartmicologartmicologartmicologartmicoPor otra parte, si el movimiento del centro del puente decrece de 20cm a 18 cm en un ciclo:

1054,018

20ln == 0167,0

2

1054,0

20167,0

4

1054,012

1054,0

2

2=

=

==

+

=y

Cuando el decremento es muy pequeo entre dos picos, su medicin se hace difcil, as que puede utilizarse la tercera opcin. Por ejemplo, si en 20 ciclos el movimiento se redujo de 20cm a 2,45cm:

0,0167 105,045,2

20ln

20

1===

III.70

La nica diferencia entre este caso y el de vibracin forzada no amortiguada es que debe incluirse el trmino del amortiguamiento en la ecuacin:

m

)t(Pxx2x )t(Pkxxcxm 2 =++=++ &&&&&&

Carga sbita constanteCarga sbita constanteCarga sbita constanteCarga sbita constante

( )k

PtcosCtsenCex a2a1

t ++=

Solucin general Solucin particular


Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)

Pxx2x 2 =++ &&&

( )( )tcosCtsenCe

tcosCtsenCex

a2a1at

a2a1t

++

+=

&

III.71

Suponiendo que no hay desplazamiento ni velocidad iniciales:

k

PC

k

PC0x 220 =+==



k

P

1C CC0x

211a20

=+==&

+

= tcostsen

1e1

k

Px aa2

t

Remplazando en la ecuacin de solucin, se obtiene:

III.72

kP

Cuando el pulso termina el sistema oscila alrededor de su posicin inicial, de acuerdo con las ecuaciones de vibracin libre amortiguada. En este caso, las condiciones iniciales, sern las condiciones en el instante t1 en que termin el pulso.



( )

( ) ( )

+

+

=

1aa

oo1ao

tt

ttsenxv

ttcosx

e)t(x 1

III.73

dddd tttt

F(t)F(t)F(t)F(t)FFFFxxxx

kkkk mmmm0000

cccc F(t)F(t)F(t)F(t)



[ ] ( ) ( )

= tsenem

dt)t(fPdx a

t

a

Funcin generalizada de cargaFuncin generalizada de cargaFuncin generalizada de cargaFuncin generalizada de carga

Respuesta amortiguada a un impulso

De manera similar al caso no amortiguado, la velocidad al trmino de un pulso es el impulso dividido por la masa y el desplazamiento es cero. Aplicando estas condiciones a la ecuacin de vibracin libre amortiguada:

III.74

Para obtener la respuesta total, basta con integrar la ecuacin anterior:

Esta ecuacin se conoce con el nombre de Integral de Duhamel. Si el sistema tiene condiciones iniciales, la Integral de Duhamel se convierte en:

Esta ecuacin es slo vlida para el intervalo elstico del comportamiento de las estructuras. Para funciones complicadas que no permitan una solucin cerrada de la integral se requiere la utilizacin de mtodos numricos. Varios mtodos numricos ms eficientes se presentan ms adelante.

[ ] ( ) ( ) ++

+= t

0a

t

aa

00a0 dttsene

m

)t(fPtsen

xxtcosxx

&

[ ] ( ) ( ) =t

0a

t

a

dttsenem

)t(fPx



III.75

Cuando un motor o una mquina rotan, cualquier desbalancede las partes en movimiento producen una vibracin. Laexcitacin que produce el motor es armnica de la forma:

donde P es proporcional al peso desbalanceado y es lafrecuencia angular de la rotacin del motor o de la mquina.Para un sistema amortiguado, la ecuacin de movimiento es:

Interesa slo la solucin particular, pues la general disminuyerpidamente con el tiempo.

Derivando dos veces y remplazando la solucin y sus dosderivadas en la ecuacin de movimiento, se obtiene:


Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)Fuerza pulsanteFuerza pulsanteFuerza pulsanteFuerza pulsante

tsenP)t(P =

tsenm

Pxx2x 2 =++ &&&

tcosCtsenCx 21 =

III.76



( )[ ] ( )[ ] tsenm

PtcosC2CtsenC2C 12

2221

22 =++

Para que esta ecuacin sea valida, los coeficientes de lostrminos de seno deben ser iguales, y el coeficiente deltrmino de coseno debe ser nulo. As, dividiendo por 2:

k

PC2C1 21

2

=

+

0C1C2 22

1 =

+

y

222

2

1

21

1

k

PC

+

=

2222

21

2

k

PC

+

=y

Resolviendo este sistema de ecuaciones, se obtiene:

E

GF

III.77


Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)Fuerza pulsanteFuerza pulsanteFuerza pulsanteFuerza pulsanteRemplazando las ecuaciones F y G en E se obtiene la solucin particular de la ecuacin de movimiento. Esta parte corresponde a la respuesta del sistema ante la excitacin pulsante. Para obtener la respuesta completa basta aadir la solucin encontrada antes para las vibraciones libres. Sin embargo, estas vibraciones libres decaen exponencialmente con el tiempo, fase transitoria, en una tasas que depende de la relacin entre y ....

Respuesta total

Respuesta sin los trminos de las vibraciones libres o estacionaria

t/T

Por esta razn, interesa ms la respuesta correspondiente a las vibraciones forzadas, que permanece por ms tiempo. Cabe anotar, sin embargo, que la deformacin mxima puede ocurrir antes de que las vibraciones libres hayan decado completamente.

k

Px ; 0 x; 0,05 ; 2,0 000

====

&

III.78


Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)Fuerza pulsanteFuerza pulsanteFuerza pulsanteFuerza pulsanteCuando el movimiento se grafica contra el tiempo se obtiene la tpica

figura sinusoidal, como la anterior. Sin embargo, puede utilizarse una

diagramacin que se conoce como plano de fase. En esta grfica, las

ordenadas siguen siendo amplitud, pero las abscisas son la relacin entre

la velocidad de la respuesta y la de la excitacin

t

C1

C12 + C22/

C1sent

C2cost

C2

x

III.79


Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)Fuerza pulsanteFuerza pulsanteFuerza pulsanteFuerza pulsanteEn la figura aparecen dos vectores que representan los trminos de la

solucin particular, en funcin de las constantes C1 y C2. En la grfica, las

constantes son las longitudes de los vectores que permanecen

perpendiculares entre s, mientras rotan con una velocidad angular

constante .

El movimiento resultante es la suma de los dos vectores:

donde:

Remplazando los valores de C1, C2 y en H, se obtiene:

( )+= tsenCCx 2221 ( )

+=

tCC cos222

1y

( )2121

1

2

C

Ctan

=

= J

IH

( )= tsenRk

Px d

1222

d 21R

+

=dondeK

III.80


Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)Fuerza pulsanteFuerza pulsanteFuerza pulsanteFuerza pulsanteEl trmino Rd se conoce con el nombre de factor de respuesta del

desplazamiento o factor de amplificacin dinmica. es el ngulo dedesfase entre las velocidades angulares de la excitacin y de la respuesta.

Derivando la ecuacin K una vez se obtiene la velocidad de la respuesta:

( )= tcosRkm

Px v&

222v

21

R

+

=donde

Derivando de nuevo:

( )= tsenRm

Px a&&

222

2

a

21

R

+

=donde

III.81


Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)Fuerza pulsanteFuerza pulsanteFuerza pulsanteFuerza pulsanteSi / > 1, el factor de amplificacintiende a cero y es independiente del

amortiguamiento. La masa del sistema

controla la respuesta.

Por otra parte, si / 1, la respuestadepende del amortiguamiento del sistema.

Para valores bajos de x, el factor de

amplificacin crece hasta valores muchas

veces mayores que 1.

estxx

2

2

estxx

=

c

P

2

xx 0est

III.82

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5

/

Rd

= 0.0

= 0.1

= 0.2

= 0.5

= 1.0

Si se evala este diferencial, puede determinarse cul es la relacin

de frecuencias para la cual ocurre la resonancia.



III.83


( ) 0ddRd =

En realidad, la resonancia no ocurre exactamente cuando / = 1,sino cuando:

( )( ) ( )

0

21

1

d

d

d

Rd

22

222

2

d =

+

=

Para eliminar el radical, se puede derivar la funcin al cuadrado con

respecto a (/):



III.84

Evaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamiento( )( ) ( )

0

421

1

d

d

d

Rd

2

2

222

22

2

d =

+

+

=

( )( )

0

421

4220

d

Rd

2

2

222

2

2

2

2

d =

+

+

+

+=

( )( )

021422d

Rd 22

2

2

2

2

d =+

+=+

+=

00.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

/



III.85


Relacin de resonancia

2

2

21 =

221 =



III.86


Relacin de resonancia

Como puede comprobarse, slo para

amortiguamiento nulo la resonancia ocurre

justamente cuando la relacin de frecuencias es

unitaria. Mientras ms crece el amortiguamiento, la

realcin de resonancia tiende a cero.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

/

0.00

0.40

0.80

1.20

1.60

2.00

2.40

0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5

/

Rd

= 1.0

0.5

0.4

0.3

0.2



Si / > 1, se acerca a 180 y hay un fuerte desfase entre accin y reaccin.Cuando la fuerza se aplica en una direccin, el sistema se mueve en direccin

contraria.

Por otra parte, si / 1, se acerca a 90 para todos los valores de . Losdesplazamientos son mximos cuando la fuerza pasa por cero.

III.87

0

30

60

90

120

150

180

0 1 2 3 4 5

/

= 0.0

= 1.0

= 0.5

= 0.2

= 0.1



III.88

0.0

0

Rd0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Relacin de frecuencias, / / / /

A

m

p

l

i

t

u

d

d

e

l

a

r

e

s

p

u

e

s

t

a

a

r

m

n

i

c

a

,

max

Evaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamiento1

22

2

d 21R

+

=

Para valores pequeos de ,/ 1 y, entonces:

( ) 1d 2R=

==2

R 0d0mx mx

mx

0

2

=

Mtodo de la amplificacin resonante

Otro mtodo para evaluar

el amortiguamiento se

basa en que para cualquier

valor de la amplitud de la

respuesta hay dos valores

de la relacin de

frecuencias.

Tmese, por ejemplo:



III.89

0.0

0

Rd0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Relacin de frecuencias, / / / /

A

m

p

l

i

t

u

d

d

e

l

a

r

e

s

p

u

e

s

t

a

a

r

m

n

i

c

a

,

max


2

mx=

2

mx

A la diferencia entre las

dos relaciones

correspondientes de /se le llama ancho de

banda.

Ancho de banda



III.90


( ) ( )1

22

22

2

d 212211R mx

+

=

2

R

2mxd0mx

=

=

Ahora, bien, la respuesta mxima, es decir, la

resonancia, ocurre, como se prob atrs, para:221 =

A su vez, para esta relacin de frecuencias:

( )1

4222

d 82211R mx

++=

[ ] [ ] 12142d 1244R mx

==



III.91


=

+

2

22

21

As, para :

Elevando al cuadrado:

( )2122

( )

( ) 018421

1821

22

2

2

222

22

22

2

=

+

+

=

+



III.92


Resolviendo la ecuacin cuadrtica:

( ) ( )[ ] 0181212 222

2

22

=+

( ) ( ) ( )[ ]

( )

( ) ( ) 224222

424222

222222

12212

1616212

2

3232416164212

2

1814214212

=

=

++=

=



III.93


Para amortiguamientos pequeos se pueden ignorar los

trminos con , de manera que:

=

2121

2

Y, por series de Taylor, ste radical puede aproximarse a:

211

211

1 y 11

12

12

12

=++=

+

=++=

=

+=

Ancho de banda



III.94


Mtodo del ancho de banda

Finalmente, el valor del amortiguamiento se obtiene con la

relacin:

=

=

+

2

2

-

12

12


Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)Generador de vibracionesGenerador de vibracionesGenerador de vibracionesGenerador de vibracionesExisten formas intencionales y no

intencionales de generar vibraciones.

Las primeras son especializadas y se

refieren generalmente a trabajos

experimentales. Las segundas son

generalmente accidentales, como llantas

desbalanceadas, hlices rotas en un

ventilador, motores desbalanceados, etc.

La modelacin de ambas fuentes de

vibracin es la misma.

tsenrmkxxcxm E =++2* &&&

tmE

m

mgx

r sent

Ks=Kcol

c

( )= tsenRm

mx a

E

*&&

III.95m*=m+mg+mE


Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)Generador de vibracionesGenerador de vibracionesGenerador de vibracionesGenerador de vibraciones

Generador de vibraciones para experimentacinIII.96


Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)AceleraciAceleraciAceleraciAceleracin en los apoyosn en los apoyosn en los apoyosn en los apoyosSi en lugar de una fuerza armnica el sistema

vibra debido a un movimiento armnico de los

apoyos (A sen t), la ecuacin del movimientoes:

tAsenmxmkxxcxm s ==++2

&&&&&

tsenAxxx =++ 222 &&&

( )= tsenARx a

m

Ks=Kcol

c

X Relativo al apoyo

xs m(x + xs)

kucu

Si la excitacin es una aceleracin arbitraria:

{ }

=

d)t(1sen

e)(x1

1)t(x

2

t

0

)t(o2&&

III.97


Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)Transmisin de fuerzasTransmisin de fuerzasTransmisin de fuerzasTransmisin de fuerzasLas mquinas pueden transmitir importantes cantidades de fuerzas a sus

apoyos, por medio de su vibracin.

xxxx

kkkk

mmmm0000

cccc

F(t)F(t)F(t)F(t)=Psen =Psen =Psen =Psen tttt

ffffrrrr

La fuerza transmitida depende de la accin

esttica y de la accin del amortiguamiento.

Utilizando las ecuaciones del movimiento por

fuerza pulsante y la ecuacin para el factor de

amplificacin dinmica de desplazamientos:

El mximo valor de fr en el tiempo es:

xckxfff aestr &+=+=

( ) ( )[ ]+= tcosctsenkRk

Pf dr

222dr ckRk

Pf

mx+=

III.98

2dr

21RP

fmx

+=

=

m2

c

Remplazando el valor de Rd se obtiene una relacin entre la fuerza

transmitida al apoyo y la amplitud de la funcin de fuerza aplicada.

Esta relacin se conoce con el nombre de Transmisibilidad del

sistema

222

2

r

21

21

P

fTR mx

+

+==


Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)Transmisin de fuerzasTransmisin de fuerzasTransmisin de fuerzasTransmisin de fuerzas

III.99

Similarmente, puede demostrarse que:

y que:

222

2

s

m

21

21

x

xTR

+

+==

&&

&&



22

2

2

s

m

21

21

x

xTR

+

+==

&

&

III.100



El amortiguamiento reduce la

amplitud del movimiento para

todas las frecuencias de

entrada. Sin embargo, el

amortiguamiento slo reduce

las fuerzas transmitidas

cuando

Para que la fuerza transmitida

sea menor que la aplicada, la

rigidez, y por lo tanto la

frecuencia, debe ser

suficientemente baja como

para que

2>

2>

III.101

0.01

0.10

1.00

10.00

100.00

0.1 1.0 10.0

/

TR

= 0.0 = 0.1

= 0.2 = 0.5

= 1.0



Es deseable que el apoyo no tenga amortiguamiento, pues aumentara la

fuerza. Esto implica un resorte con baja rigidez, pero debe revisarse que la

deformacin esttica sea aceptable. Adems, cuando la mquina es

rotatoria o tiene motor, su frecuencia vara cuando se enciende y se apaga.

Debe tenerse cuidado en proveer algo de amortiguamiento para reducir la

fuerza transmitida cuando pasa por las frecuencias de resonancia, sin que

sea mucho como para aumentarla en su nivel de servicio.

Puede demostrarse que la transmisividad de fuerzas aplica exactamente a

la transmisibilidad de vibraciones. La anterior figura puede utilizarse

indistintamente para los dos casos. Puede observarse que para bajas

relaciones de frecuencias, la relacin de aceleraciones tiende a uno, es

decir, la masa se mueve rgidamente con el suelo. En el otro extremo,

cuando la relacin de frecuencias es alta, la relacin de aceleraciones

tiende a cero, es decir, que la masa permanece quieta mientras el suelo se

mueve. Este es el principio del aislamiento basal.III.102


Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)Transmisin de fuerzasTransmisin de fuerzasTransmisin de fuerzasTransmisin de fuerzas EjemploEjemploEjemploEjemplo

30m 30m

15cm

Un bus de 2 t viaja por el puente de la Avenida del Ferrocarril sobre

el Ro Medelln. El flujo plstico de los materiales ha causado una

deflexin de 15 cm en el medio de cada luz. La rigidez del sistema

es de 140 kN/m Cul es la amplitud del movimiento vertical del

bus, si viaja a 60 km/h?

Cul es la velocidad que causar resonancia?III.103

xxxx

kkkk

mmmm0000

cccc

xxxxssss

Si se supone que las llantas no se separan

de la va y que son infinitamente rgidas, el

sistema puede idealizarse como se muestra

en la figura. Las llantas se desplazan sobre

la va que tiene una forma sinusoidal. As:

El perodo de la carga del sistema es el

tiempo que le toma al bus cruzar una luz:



tsen5,7tsenA)t(xs ==

srad5.3

m30s

m7,162

Lv2

T2

vLT

=

=

===

III.104

La frecuencia angular natural del sistema es:

Entonces,

Suponiendo una alta amortiguacin, como 40% de la crtica:



srad38,8

2

140

m

k===

42,0=

( )

{ }( ) ( )186,1

42,04,0242,01

42,04,021

x

xTR

222

2

s=

+

+==

cm9,8cm5,7186,1x186,1x s ===

III.105

( )( ) 8,380,893 893,0 0dTRd 2

===

Ahora bien, para considerar la resonancia, debe recordarse que

para amortiguamientos grandes, el pico de la resonancia no ocurre

exactamente cuando /=1. Sin embargo, si se observa la grficade TR vs. /, puede verse que en el pico de la resonancia lapendiente de las curvas es cero, es decir, que la resonancia ocurre

cuando TR es mxima.



( ){ } ( )

( )( ) ( ) 136,1

64,01

8,021

8,01TR 24

2

22

2

2

2

+

+=

+

+

=

III.106

h/km5,128s/m7,35283,6

3048,7

2

Lv ==

=

=

srad48,7=



III.107


Sistemas elsticos de un grado de libertadClculo numrico de la respuesta dinmica




LAS ESTRUCTURAS


Mtodos numricos IntegralesEn muchos casos, la solucin analtica de la ecuacin de

movimiento implica realizar integrales muy complicadas. Estas

integrales pueden solucionarse por medio de mtodos numricos.

Por ejemplo, la integral de Duhamel

puede solucionarse numricamente utilizando el mtodo numrico

de Simpson, sabiendo que:

As, la integral de Duhamel se convierte en:

[ ] ( ) ( ) =t

0 at

adtsene

m

dt)t(fPx

( ) = aaaaa sentcoscostsentsen

[ ] [ ]

=

t0 at

aa

t0 at

aa dsen

e

e

m

dt)t(fPtcosdcos

e

e

m

dt)t(fPtsen)t(x

A B III.109


Las integrales A y B pueden entonces solucionarse por medio de la

regla de Simpson. En un instante de tiempo dado, n, si se definenlas funciones

el valor de A o de B ser el rea bajo la curva de z(), que, segnSimpson, puede aproximarse a:

Vlidas para n=2,4,6,V

[ ] [ ] cos)(z y )(nB

== ntfPnsentfPz aanA

[ ]nAnAnA

a

nn zezezm

eAA ++

+=

2

1

2

2

2

2 43

[ ]nBnBnB

a

nn zezezm

eBB ++

+=

2

1

2

2

2

2 43

Mtodos numricos Integrales

III.110


Mtodos numricos IntegralesEjemplo

Un SUGDL se somete a una aceleracin constante igual a

cierto porcentaje de la gravedad, por un tiempo

determinado. Averiguar la respuesta del sistema utilizando

la integral de Duhamel

III.111

(Ver Duhamel.xls)

n t F(t) coswat senwat z=F coswat z=F senwat A B xn

0 0.0 -1.96 1.0000 0.0000 -1.9600 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.1 -1.96 0.9990 0.0443 -1.9581 -0.0868

2 0.2 -1.96 0.9961 0.0885 -1.9523 -0.1735 -0.6576 -0.0322 -0.0261

3 0.3 -1.96 0.9912 0.1326 -1.9427 -0.2598

4 0.4 -1.96 0.9843 0.1763 -1.9293 -0.3456 -1.0052 -0.1076 -0.0714

5 0.5 -1.96 0.9755 0.2198 -1.9121 -0.4308

6 0.6 -1.96 0.9649 0.2628 -1.8911 -0.5151 -1.1813 -0.2054 -0.1122

7 0.7 -1.96 0.9523 0.3053 -1.8664 -0.5983

8 0.8 -1.96 0.9378 0.3472 -1.8381 -0.6804 -1.2602 -0.3141 -0.1429

9 0.9 -1.96 0.9215 0.3884 -1.8061 -0.7612

10 1.0 -1.96 0.9034 0.4288 -1.7707 -0.8405 -1.2821 -0.4271 -0.1639

11 1.1 -1.96 0.8835 0.4684 -1.7317 -0.9181

12 1.2 -1.96 0.8619 0.5071 -1.6893 -0.9939 -1.2686 -0.5404 -0.1775

13 1.3 -1.96 0.8386 0.5448 -1.6436 -1.0678

14 1.4 -1.96 0.8136 0.5814 -1.5947 -1.1395 -1.2315 -0.6513 -0.1861

15 1.5 -1.96 0.7871 0.6169 -1.5426 -1.2091

16 1.6 -1.96 0.7590 0.6511 -1.4876 -1.2762 -1.1775 -0.7582 -0.1913

17 1.7 -1.96 0.7294 0.6841 -1.4296 -1.3409

18 1.8 -1.96 0.6983 0.7158 -1.3687 -1.4029 -1.1103 -0.8597 -0.1943

19 1.9 -1.96 0.6659 0.7460 -1.3053 -1.4622

20 2.0 -1.96 0.6322 0.7748 -1.2392 -1.5186 -1.0322 -0.9547 -0.1962 III.112

-0.50

-0.40

-0.30

-0.20

-0.10

0.00

0.10

0.20

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0

Tiempo,s

x

(

t

)

,

m

=0

=0,05

=1


Mtodos numricos IntegralesEjemplo

III.113


Mtodos numricosMtodos numricosMtodos numricosMtodos numricos

Cuando la funcin de carga dinmica de un sistema es arbitraria o

no es lineal, no es posible aplicar la solucin analtica de la ecuacin

de movimiento, incluso de SUGDL. En estos y otros casos de alta

complejidad en el anlisis dinmico y, en general, en el campo de la

mecnica de los materiales, es necesario utilizar mtodos numricos

para realizar la integracin de las ecuaciones diferenciales que

dominan la modelacin de los sistemas dinmicos.

Existe un vasto nmero de mtodos numricos propuestos en la

literatura especializada, tanto en el rea de las matemticas como

en el de las ingenieras. Aqu se hace un sucinto compendio de los

mtodos ms conocidos y utilizados en el rea de la Ingeniera

Ssmica.

III.114


Mtodos numricosMtodos numricosMtodos numricosMtodos numricosClasificacinClasificacinClasificacinClasificacin

Soluciones en el dominio del tiempohAproximaciones fsicas

hAproximaciones matemticas

Soluciones en el dominio de la frecuencia

III.115


Dominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempo Aproximaciones FsicasAproximaciones FsicasAproximaciones FsicasAproximaciones Fsicas

Muchos de los mtodos numricos se basan en la metodologa

expresada por las series de Taylor.

Cualquier funcin que tenga un nmero finito de discontinuidades,

se le puede aproximar tanto como se quiera por medio de

superposicin de funciones analticas. Por ejemplo, si el valor de

una funcin x(t), y todas sus derivadas, se conocen para un instante

t0, se puede calcular su valor en otro instante cualquiera t=t0+tutilizando la serie de Taylor:

Series de TaylorSeries de TaylorSeries de TaylorSeries de Taylor

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) LLLL&&&&&& ++++++=+ 0nn

0

3

0

2

000 tx!n

t tx

!3

ttx

2

ttxttxttx

III.116


Aunque en teora el factorial domina rpidamente y

podra utilizarse un intervalo de tiempo de cualquier

tamao, en la prctica debe utilizarse un intervalo de

tiempo pequeo para que la serie converja rpido. En

general, la expansin de la serie de Taylor para un

tiempo tn cualquiera da:

Series de TaylorSeries de TaylorSeries de TaylorSeries de Taylor

LL&&&&&& +

+

+

++=+ niv4

n

3

n

2

nn1n x24

tx

6

tx

2

txtxx

L


III.117


Mtodo de la aceleracin linealMtodo de la aceleracin linealMtodo de la aceleracin linealMtodo de la aceleracin lineal

LL&&&&&&& +

+

++=+ niv3

n

2

nn1n x6

tx

2

txtxx

N

M

LL&&&&&&& +

++=+ niv2

nn1n x2

txtxx

Derivando, trmino a trmino:L

De se obtiene xn y se reemplaza en y :MLN

( ) LL&&&&& ++++= ++ ivn4

1nn

2

nn1n x24

txx2

6

txtxx O

( ) LL&&&&&& +++= ++ 12xt

xx2

txx

ivn

3

1nnn1n P


III.118


Conociendo el desplazamiento y la velocidad en un momento dado

(como las condiciones iniciales) se calcula la aceleracin de la

ecuacin de movimiento. Se toma un intervalo de tiempo t y:

1. Se estima la aceleracin x*n+1 al final del intervalo. La primera

aceleracin xn ser el ms simple primer estimado de x*n+1

2. Se calcula

3. Se calcula

4. Se calcula

( )1nnn1n xx2t

xx ++ +

+= &&&&&&

( )1nn2

nn1n xx26

txtxx ++ +

++= &&&&&

( )1n1n1n1n t,x,xfx ++++ = &&&

Mtodo de la aceleracin linealMtodo de la aceleracin linealMtodo de la aceleracin linealMtodo de la aceleracin linealDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempo Aproximaciones FsicasAproximaciones FsicasAproximaciones FsicasAproximaciones Fsicas

III.119(Se desprecian los trminos con grados mayores que la tercera derivada)


5. a) Si xn+1 x*n+1, se toma xn+1 calculada como un estimadomejorado para regresar al paso 2.

b) Si xn+1 = x*n+1, la iteracin ha convergido. Puede avanzarse al

prximo intervalo de tiempo y regresar al paso 1.

Este mtodo iterativo es de un slo paso, pues involucra

informacin del inicio y el final de un slo intervalo de tiempo.

Si la aceleracin fuera lineal, la tercera derivada sera constante,

y de la cuarta en adelante seran cero y el mtodo sera exacto.

Al ignorar del tercer trmino en adelante, se asume

implcitamente que la aceleracin es lineal; por eso el mtodo se

llama as.

Para que converja, t

Para ilustrar el mtodo, se utilizar la ecuacin de

vibracin libre para un oscilador lineal amortiguado:

El oscilador vibra con un perodo natural de 1 s, tiene

un coeficiente de amortiguacin crtica del 5 % y las

condiciones iniciales son, velocidad nula y

desplazamiento de 2,5 cm. El intervalo de tiempo ser

de 0,125 s

xx2x 2= &&&



III.121


Mtodo de la aceleracin linealMtodo de la aceleracin linealMtodo de la aceleracin linealMtodo de la aceleracin linealEn la siguiente tabla se consignan los pasos calculados.

En el instante t=0, el desplazamiento x es 2,5 cm y la velocidad

es cero. Con la ecuacin del oscilador se calcula la aceleracin

inicial, que da -98.69 cm/s. Con ste valor se calcula el

desplazamiento y la velocidad, utilizando las series de Taylor, que

dan 1.73 cm y -12.34 cm/s, al final del intervalo constante t.Estos valores se utilizan, a su vez, para calcular la aceleracin de

nuevo con la ecuacin del oscilador, lo que da -60.50 cm/s.

Evidentemente, el mtodo no ha convergido. Se repite el proceso

utilizando el ltimo valor de la aceleracin para los clculos, pero

manteniendo constantes los valores de las columnas 2 y 5,

porque son los trminos que dependen de valores al principio del

intervalo. Cuando se converge, puede pasarse al prximo

intervalo de tiempo.


III.122

III.123

(1) (2) (3) (4)(1) (5) (6) (7) (8)


Ver Linear Acceleration.xlsVer Linear Acceleration.xlsVer Linear Acceleration.xlsVer Linear Acceleration.xls


Una vez obtenida la convergencia para todos los intervalos de

tiempo en la duracin estudiada del movimiento, ste puede

graficarse, como se muestra en la figura.

Como puede observarse, se grafic tambin la respuesta exacta,

calculada con la ecuacin para vibracin libre amortiguada.


Mtodo de la aceleracin linealMtodo de la aceleracin linealMtodo de la aceleracin linealMtodo de la aceleracin lineal

La respuesta numrica difiere tanto en amplitud como en tiempo, es

decir, tiene un desfase con la respuesta exacta. Ms adelante se

hablar del error, que depende, en parte del intervalo de tiempo

escogido.


III.124

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 1 2

Tiempo, s

x

,

c

m

Analtica

Aceleracinlineal



III.125


Mtodo Especial de la aceleracin linealMtodo Especial de la aceleracin linealMtodo Especial de la aceleracin linealMtodo Especial de la aceleracin lineal

Para el caso particular de SUGDL, el mtodo de la aceleracin lineal

puede formularse de tal manera que se evite la iteracin. Por ejemplo, si

se tiene un oscilador cuyo movimiento se describe mediante la ecuacin:

Al instante t=tn+1:

Si se reemplaza en la ecuacin R las ecuaciones para el desplazamiento

y la velocidad del mtodo de la aceleracin lineal, se obtiene:

m

)t(fxx2x 2 =++ &&& Q

1n2

1n1n

1n xx2m

)t(fx ++

++ = &&& R

++

++

=

+

+

6

tt1

x3

tt1xt

m

)t(f)t(f

xnn

2n1n

1n

&&&

&& S


III.126


Mtodo Especial de la aceleracin linealMtodo Especial de la aceleracin linealMtodo Especial de la aceleracin linealMtodo Especial de la aceleracin lineal

Esta ecuacin da la aceleracin al final del intervalo,

en trminos de la excitacin en ambos extremos del

intervalo y de sus condiciones iniciales. Junto con las

ecuaciones para desplazamiento y velocidad del

mtodo de la aceleracin lineal, descritas

anteriormente, esta versin especial del mtodo

incluye un incremento de tiempo completo sin

iteraciones.

Este mtodo, sin embargo, es vlido slo para un

oscilador de un grado de libertad.


III.127


El mtodo Beta de NewmarkEl mtodo Beta de NewmarkEl mtodo Beta de NewmarkEl mtodo Beta de NewmarkPuede considerarse como una generalizacin del mtodo de la

aceleracin lineal. Teniendo los valores para el desplazamiento, la

velocidad y la aceleracin en el instante t, se escoge un t y:

1. Se calcula x*n+1, cuyo primer estimado es xn

2. Se calcula

3. Se calcula

4. Se calcula

( )* 1nnn1n xx2t

xx ++ +

+= &&&&&&

+

++= ++ * 1nn2nn1n xx21

txtxx &&&&&

( )1n1n1n1n t,x,xfx ++++ = &&&5. a) Si xn+1 x*n+1, se toma xn+1 calculada como un estimado

mejorado para regresar al paso 2.

b) Si xn+1 = x*n+1, la iteracin ha convergido. Puede avanzarse al

prximo intervalo de tiempo y regresar al paso 1.


III.128


El mtodo Beta de NewmarkEl mtodo Beta de NewmarkEl mtodo Beta de NewmarkEl mtodo Beta de Newmark puede tomar valores entre 0 y 0,5. Cuando =1/6, el mtodo es el mismo que el de la aceleracin lineal. Si b=1/4 el mtodo sera exacto si la velocidad variase

linealmente en el intervalo.

Si 1/6


El mtodo de la Diferencia CentralEl mtodo de la Diferencia CentralEl mtodo de la Diferencia CentralEl mtodo de la Diferencia CentralDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempo Aproximaciones MatemAproximaciones MatemAproximaciones MatemAproximaciones Matemticasticasticasticas

El mtodo se basa en una aproximacin de diferencias finitas de las

derivadas del desplazamiento en el tiempo, es decir, la velocidad y la

aceleracin.

t/2 t/2

Xn+0,5

Xn-0,5

Xn

Xn+1Xn-1Xn

t t

x x

t

tIII.130

Si el intervalo t es constante, la velocidad a la mitad de intervalos sucesivos puede aproximarse como:

A su vez, la aceleracin en t=n ser, aproximadamente:

Remplazando y en :

Ahora bien:

t2

xxx 1n1nn

= +&

21nn1n

21nn

2n1n

nt

xx2x

t

xx

t

xxx

+

=

= ++&&


El mtodo de la Diferencia CentralEl mtodo de la Diferencia CentralEl mtodo de la Diferencia CentralEl mtodo de la Diferencia CentralDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempo Aproximaciones MatemticasAproximaciones MatemticasAproximaciones MatemticasAproximaciones Matemticas

t

xxx 1nn5,0n

= & t

xxx n1n5,0n

= ++&y UT

t

xxx 5,0n5,0nn

= +

&&&& V

UT V

X

W

III.131



Por otra parte, si:

entonces,

nn1n1n

21nn1n fkx

t2

xxc

t

xx2xm)t(fkxxcxm =+

+

+=++ ++&&&

Y

Para t=0 (n=0):

=

+

+ 2n21nn21n tm2

kxt2

c

t

mxf

t2

c

t

mx

+

=

+

t2

c

t

mt

m2kx

t2

c

t

mxf

x

2

2n21nn

1n

10111

0 xxt2xt2

xxx

+=

= && Z

III.132

012

012101

0 x2xtxxt

xx2xx +=

+

=

&&&&

De la ecuacin de movimiento, evaluada en t=0:

AA



( )

00

20

1

0102

01

xtx2

txx

x2xxt2txx

+

=

++=

&&&

&&&

AAZ en :

m

kxxcfx 000

+= &&&

III.133



En sntesis:

1.

2.

3.

m

kxxcfx 000

+= &&&

00

20

1 xtx2

txx +

= &

&&

+

=

+

t2

c

t

mt

m2kx

t2

c

t

mxf

x

2

2n21nn

1n

III.134

Un oscilador de UGDL tiene las siguientes

propiedades:

m=44,4kg

k=1750N/m

=0,05El sistema parte del reposo.


El mtodo de la Diferencia CentralEl mtodo de la Diferencia CentralEl mtodo de la Diferencia CentralEl mtodo de la Diferencia Central EjemploEjemploEjemploEjemplo

Dominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempo Aproximaciones MatemticasAproximaciones MatemticasAproximaciones MatemticasAproximaciones Matemticas

0

2

4

6

8

10

12

0 0.2 0.4 0.6 0.8

T iempo, s

F

u

e

r

z

a

,

t

t fn xn-1 xn xn+10.0 0.0000 0.0000 0.0000 0.000000

0.1 5.0000 0.0000 0.0000 0.001092

0.2 8.6602 0.0000 0.0011 0.003592

0.3 10.0000 0.0011 0.0036 0.006753

0.4 8.6603 0.0036 0.0068 0.009033

0.5 5.0000 0.0068 0.0090 0.008816

0.6 0.0000 0.0090 0.0088 0.005243

0.7 0.0000 0.0088 0.0052 -0.000119

0.8 0.0000 0.0052 -0.0001 -0.005112

0.9 0.0000 -0.0001 -0.0051 -0.007851

1.0 0.0000 -0.0051 -0.0079 -0.007424III.135

La funcin

de carga es

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.0 2.0 4.0 6.0

t

x


El mtodo de la Diferencia CentralEl mtodo de la Diferencia CentralEl mtodo de la Diferencia CentralEl mtodo de la Diferencia Central EjemploEjemploEjemploEjemplo

Dominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempo Aproximaciones MatemticasAproximaciones MatemticasAproximaciones MatemticasAproximaciones Matemticas

III.136


Mtodo de Runge-KuttaDominio del tiempo Aproximaciones Matemticas

Antes que un mtodo, es una familia de mtodos. Se basan en la

seleccin de varios valores de velocidad, dentro de un mismo

intervalo de tiempo, que se promedian ponderadamente para

vaticinar el desplazamiento y la velocidad al final del intervalo.

Estos mtodos son de un slo paso y no son iterativos. Hay

varias variantes, cuyo grado depende del nmero de valores que

se proponen para la aceleracin. Aqu se presenta un mtodo de

cuarto grado.

En este caso, el primer valor de la velocidad se calcula con el

dato de la aceleracin que sale de la ecuacin de movimiento, o

de otro mtodo, considerada constante en el intervalo. Luego se

toman otros tres valores, cada uno basado en el anterior, para

luego promediarlos en el clculo del desplazamiento y la

velocidad al final del intervalo. III.137


Mtodo de Runge-KuttaDominio del tiempo Aproximaciones Matemticas

III.138

Los pasos se resumen a continuacin:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

( )nnn1 t,x,xf tk &=

++++=

2

tt,

2

kx,

8

kt

2

xtxf tk n

1n

1nn2 &

&

++++=

2

tt,

2

kx,

8

kt

2

xtxf tk n

2n

1nn3 &

&

++++= tt,kx,2

ktxtxf tk n3n

3nn4 &&

++++=+ 6kkk

xtxx 321nn1n &

( )6

kkk2kxx 4321n1n

++++=+ &&

xx 22 &x..

t u1 v1 a1 k1 u2 v2 a2 k20.000 2.500 0.000 -98.696 -12.337 2.307 -6.169 -77.037 -9.6300.125 1.840 -9.626 -66.579 -8.322 1.108 -13.787 -30.595 -3.8240.250 0.300 -13.711 -3.239 -0.405 -0.563 -13.913 27.915 3.4890.375 -1.280 -10.597 57.175 7.147 -1.830 -7.023 68.157 8.5200.500 -2.101 -2.369 84.447 10.556 -2.085 2.908 71.177 8.8970.625 -1.806 6.459 67.225 8.403 -1.271 10.661 38.131 4.7660.750 -0.622 11.400 17.384 2.173 0.125 12.486 -11.743 -1.4680.875 0.790 10.243 -37.627 -4.703 1.357 7.891 -52.114 -6.5141.000 1.702 4.011 -69.730 -8.716 1.817 -0.347 -63.334 -7.9171.125 1.692 -3.793 -64.404 -8.051 1.329 -7.818 -41.848 -5.2311.250 0.830 -9.125 -27.024 -3.378 0.207 -10.814 -0.831 -0.1041.375 -0.388 -9.478 21.278 2.660 -0.939 -8.148 37.654 4.7071.500 -1.323 -5.032 55.389 6.924 -1.529 -1.570 54.406 6.8011.625 -1.524 1.629 59.149 7.394 -1.307 5.326 42.551 5.3191.750 -0.943 6.990 32.848 4.106 -0.442 9.043 10.118 1.2651.875 0.071 8.445 -8.105 -1.013 0.583 7.938 -25.078 -3.1352.000 0.976 5.542 -42.030 -5.254 1.241 2.915 -45.111 -5.639


Mtodo de Runge-Kutta EjemploDominio del tiempo Aproximaciones Matemticas

Se calcular la respuesta del oscilador del ejemplo de la

aceleracin lineal, es decir, =0,05; T=1s; x0=2,5cm.

III.139

u3 v3 a3 k3 u4 v4 a4 k4 u v2.307 -4.815 -77.838 -9.730 1.892 -9.730 -53.579 -6.697 1.840 -9.6261.108 -11.538 -31.925 -3.991 0.387 -13.616 -4.468 -0.559 0.300 -13.711

-0.563 -11.966 26.764 3.345 -1.204 -10.365 43.360 5.420 -1.280 -10.597-1.830 -6.337 67.751 8.469 -2.075 -2.128 65.910 8.239 -2.101 -2.369-2.085 2.079 71.667 8.958 -1.838 6.589 53.641 6.705 -1.806 6.459-1.271 8.842 39.206 4.901 -0.692 11.360 15.239 1.905 -0.622 11.4000.125 10.666 -10.666 -1.333 0.720 10.066 -28.076 -3.509 0.790 10.2431.357 6.986 -51.579 -6.447 1.668 3.796 -54.134 -6.767 1.702 4.0111.817 0.052 -63.570 -7.946 1.707 -3.935 -51.053 -6.382 1.692 -3.7931.329 -6.409 -42.682 -5.335 0.884 -9.128 -22.481 -2.810 0.830 -9.1250.207 -9.177 -1.799 -0.225 -0.325 -9.350 15.359 1.920 -0.388 -9.478

-0.939 -7.125 37.049 4.631 -1.283 -4.847 42.741 5.343 -1.323 -5.032-1.529 -1.631 54.442 6.805 -1.527 1.774 46.627 5.828 -1.524 1.629-1.307 4.289 43.165 5.396 -0.983 7.025 26.749 3.344 -0.943 6.990-0.442 7.622 10.958 1.370 0.016 8.360 -5.171 -0.646 0.071 8.4450.583 6.878 -24.451 -3.056 0.935 5.389 -32.190 -4.024 0.976 5.5421.241 2.722 -44.997 -5.625 1.318 -0.083 -41.053 -5.132 1.325 0.056



III.140



III.141III.141

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 1 2

Runge-Kutta

Analtica

Aceleracinlineal


Dominio de la frecuencia

Como ya se vio, una funcin peridica es aquella en la que la

forma de variacin en un perodo se repite indefinidamente.

Muchos tipo de funciones de carga son aproximadamente

peridicas, bajo ciertas condiciones, como las fuerzas en de la

hlice en los barcos, oleaje en plataformas marinas, cierto tipo de

cargas de viento en rascacielos, etc.

Aunque las cargas ssmicas nunca son peridicas pues son

cargas arbitrarias, su solucin puede aproximarse por medio de

superposicin de muchas funciones sinusoidales. Ya se ha

presentado el caso de las series de Taylor y de la Integral de

Duhamel.

Otra aproximacin al problema puede hacerse utilizando las

series de Fourier.

III.142



El armnico fundamental de la funcin de carga tiene una

frecuencia de:

Los coeficientes de las series pueden expresarse en funcin de

f(t), puesto que las funciones de seno y coseno son ortogonales

(cuando una vale 0, la otra vale uno, y viceversa)

( ) ( ) K1,2,3,j tjsenbtjcosaa)t(f1j

0j1j

0j0 =++=

=

=

00 T

2=

Cualquier funcin

peridica puede

separarse en sus

componentes armnicas

usando las series de

Fourier, as:

AB

III.143



El coeficiente a0 es el promedio de f(t), mientras que los

coeficientes aj y bj son las amplitudes del j-simo armnico de

frecuencia j0.

Las condiciones matemticas para que converja son en

extremo generales y cubren prcticamente cualquier situacin de

ingeniera concebible, aunque estrictamente hablando slo se

aplica a sistemas lineales.

( )

( )

=

=

=

0

0

0

T

0 00

j

T0 0

0j

T

00

0

dttjsen)t(fT

2b

dttjcos)t(fT

2a

dt)t(fT

1a

KK 1,2,3,j donde =

AB

III.144



La nica restriccin importante es que cuando la

funcin de carga es discontinua, la serie de Fourier da

su valor promedio en la discontinuidad.

Si el eje de la grfica de la funcin peridica fuera tal

que la suma de las reas positivas es igual a la suma

de las reas negativas, se obtendra que el valor

promedio de la funcin sera nulo, es decir, que la

integral bajo la curva de la funcin de carga sera igual

a cero, o, que a0=0. Los otros dos coeficientes

constantes son, en general, diferentes entre s.

III.145



Si se sustituyen los valores de los coeficientes de Fourier en la

funcin de carga, se obtiene:

( ) ( )

( ) ( )

=

=

+

=

1j0

T0 0

0

01j

T

0 00

tjsendttjsen)t(fT

2

tjcosdttjcos)t(fT

2)t(f

0

0

Cuando el perodo tiende a infinito, la frecuencia fundamental

tiende a ser un diferencial.

( ) ( )

( ) ( )tjsendttjsen)t(fd

tjcosdttjcos)t(fd

)t(f

00 000

00 000

0

0

+

=

=

=

III.146



Si se definen:

Los coeficientes A() y B() son las componentes de latransformada de Fourier y la funcin de carga est expresada por

la Integral de Fourier o la Transformada Inversa de Fourier.

Mediante un artificio matemtico, la ecuacin puede

expresarse como:

( )

( )

=

=

0 0

0 0

dttjsen)t(f2

1)(B

dttjcos)t(f2

1)(A

( ) ( )

+=0 00 0

dtjsen)(B2dtjcos)(A2)t(f

y

AC

AC

( ) ( )

+= dtjsen)(Bdtjcos)(A)t(f 00III.147



Ahora bien, puede demostrarse, a travs de las propiedades de

las funciones trigonomtricas (paridad), que:

De tal manera, si estas integrales son cero, pueden sumarse a la

funcin de carga sin alterarla.

y( ) ( )

== 0cos)(i 0)( 00 dtjBdtjsenAi

( ) ( )

( ) ( )

++=

dtjcos)(Bidtjsen)(Ai

dtjsen)(Bdtjcos)(A)t(f

00

00

[ ] ( ) ( )[ ]

=

+=

de)(F)t(f

dtjsenitjcos)(iB)(A)t(f

ti

00

AD

III.148

)(iB)(A)(F =



Como:

remplazando los valores de las componentes de Fourier da:

)(iB)(A)(F =

( ) ( )[ ]

=

=

dte)t(f2

1)(F

dttjsenitjcos)t(f2

1)(F

tij

00

0

se conoce como la Transformada de Fourier, mientras

que es la Transformada Inversa de Fourier

Estas expresiones estan dadas en el campo complejo de la

frecuencia.

Las seales de excitacin y de respuesta, en ambos campos de

la sismologa y la ingeniera ssmica, son finitas, acotadas y

continuas; por lo tanto, sus transformadas de Fourier siempre

existen y pueden evaluarse.

AE

AEAD

III.149



Como: )t(ma)t(fmaf ==

)(mA)(F

dte)t(a2

mdte)t(f

2

1)(F tijtij 00

=

=

=

A la relacin entre la transformada de la respuesta y la

transformada de la excitacin se le llama Funcin de

Transferencia

Para cada ,

Transformada de Fourier de la aceleracin

)(F

)(X)(H

=

tie)(Fkxxcxm =++ &&& AF

III.150


Dominio de la frecuenciaLa solucin es del tipo:

Remplazando en :

La funcin de transferencia ser la relacin entre la respuesta y la

excitacin:

ti2

titi

e-x

eixex

=

==

&&

&

AF

( ) )(Fcimk 2 =+

cimk

)(F2 +

=

cimk

1

)(Fcimk

)(F

e)(F

e2

2

ti

ti

+=

+

=

Amplitud de la respuesta de un sistema

bajo carga de la forma eiwt III.151


Dominio de la frecuenciaResumiendo:

cimk

12 +

f(t) Transformada de Fourier F()

dte)t(f2

1 tij 0

H()Funcin de transferencia

X()Transformada Inversa

de)(X ti

x(t)

III.152


Dominio de la frecuenciaCuando no se conoce la funcin continua que describe la seal

con la que se requiere trabajar generalmente se tienen valores de

la funcin a intervalos constantes. Estos valores pueden

representarse por un vector o serie discreta xr, donde r =

0,1,2,...n-1, como se aprecia en la figura.

x(t)

t

r

x0x1x2

x3x4x5

III.153


Dominio de la frecuenciaLa transformada de Fourier, en forma de integral no puede

calcularse. El procedimiento tiene que realizarse en forma

discreta mediante mtodo numrico. Retomando los coeficientes

constantes de la serie de Fourier,

pueden combinarse definiendo X=aj-ibj y expresndolos en forma

compleja, as:

( )

( )

=

=

0

0

T

0 00

j

T

0

03-Dinámica_UGDL

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