Una simetra extraa observada

en la lgica proposicional clsica

Arnold Oostra

Universidad del Tolima

Simposio de Topologa

Carlos Javier Ruiz Salguero

Como se fue el maestrola luz de esta maaname dijo: Van tres das

que mi hermano () no trabaja.Muri? Slo sabemos

que se nos fue por una senda claradicindonos: Hacedme

un duelo de labores y esperanzas.Sed buenos y no ms, sed lo que he sido

entre vosotros: alma.Vivid, la vida sigue

los muertos mueren y las sombras pasanlleva quien deja y vive el que ha vivido.

Yunques sonad; enmudeced campanas!

Antonio Machado

Simetra extraa

Simetra extraa

1 2 3

4 5 2

6 4 1

Una notacin tipo Federici

cerrar el cuadrante falso C. S. Peirce

Problema 1

Encontrar todas las tautologas

de la forma:

(x x) O (x x)

Preliminar

Clasificacin de los conectivos segn la

forma x x

x x

N VS FW xE x

Solucin al Problema 1

(x x) O (x x)

Expresin ms simtrica

(x x) O (x x)

Problema 2

Encontrar todas las tautologas

de la forma:

(x y) O (x y)

Solucin dada por Peirce

26 de enero 1902(x y) O (x y)

Otra notacin tipo Federici

punto en la esquina verdaderaS. Zellweger

Modelos

Lineales

Slido

El Problema

Encontrar una expresin

matemtica para este tipo de

simetra

Simetra usual

Un grupo G acta sobre un conjunto X

La simetra/invarianza est dada porla igualdad

Dos conjuntos importantes

Xg = { x X | g x = x } g-simtricos

Gx = { g G | g x = x } es subgrupo

g x = x

Primera aproximacin

El grupo D4 de los movimientos rgi-dos del cuadrado acta sobre el

conjunto S

Surgen dos acciones de D4 sobre elconjunto M(S) de las tablas o matricescuadradas:

M = movimiento de cada entrada

M = movimiento de la matriz M

Se nota que ( M ) = (M )

Matriz M es -simtrica1 si M = M

Casos observados

En las tres tablas siguientes se tiene

M = M para cada D4

Caso no contemplado

Segunda aproximacin

Un grupo G acta sobre el conjunto S

Los elementos de un marco M estnrotulados por elementos de S

Un grupo H acta sobre el marco M

Surgen dos acciones sobre el conjuntoM(S) de marcos rotulados:

Mg = movimiento g de cada signo

hM = movimiento h del marco M

De nuevo (hM )g = h(Mg)

M es (g,h)-simtrica2 si hMg = M

La Bsqueda contina

La nocin anterior generaliza laprimera y adems da cuenta de las

simetras en el modelo slido

Sin embargo, no parece muy natural

Se busca una forma de verterla en unadefinicin ms sencilla, como cierta

accin de un solo grupo

Una metfora de Grothendieck