02 reglas de simpson
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MÉTODOS NUMÉRICOS
CAPÍTULO 6: INTEGRACIÓN
NUMÉRICA.
REGLAS DE SIMPSON.
Ing. Willians Medina.
Maturín, Junio de 2015.
Capítulo 6. Integración Numérica. Reglas de Simpson.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 36
6.4.- REGLAS DE SIMPSON.
Además de aplicar la regla del trapecio con una segmentación más fina, otra forma
de obtener una estimación más exacta de una integral consiste en usar polinomios de grado
superior para unir los puntos. Por ejemplo, si hay otro punto a la mitad entre )(af y )(bf ,
los tres puntos se pueden unir con una parábola (Figura 6.15). Si hay dos puntos igualmente
espaciados entre )(af y )(bf , los cuatro puntos se pueden unir mediante un polinomio de
tercer grado (Figura 6.18). Las fórmulas que resultan de tomar las integrales bajo esos
polinomios se conocen como reglas de Simpson.
Figura 6.15. Descripción gráfica de la regla de Simpson 1/3, que consiste en tomar el área bajo una parábola
que une tres puntos.
Regla de Simpson 1/3.
La regla de Simpson 1/3 resulta cuando un polinomio de interpolación de segundo grado se
sustituye en la ecuación (6.1):
b
a
b
axdxPxdxfI )()( 2 (6.1)
Si se designan a y b como 0x y 2x , y )(2 xP se representa por un polinomio de Lagrange de
segundo grado [(véase la ecuación (3.17)], la integral se transforma en
Capítulo 6. Integración Numérica. Reglas de Simpson.
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2
0
)()()(
)()()(
)()(
)()()(
)()(
)()()( 2
1202
10
1
2101
20
0
2010
21x
x
b
axdxf
xxxx
xxxxxf
xxxx
xxxxxf
xxxx
xxxxxdxf
Después de la integración y de las manipulaciones algebraicas, se obtiene la siguiente
fórmula:
)]()(4)([3
)( 210 xfxfxfh
xdxfb
a (6.10)
donde, en este caso 2
abh
. Esta ecuación se conoce como regla de Simpson 1/3, y es la
segunda fórmula de integración cerrada de Newton - Cotes. La especificación “1/3” se
origina del hecho de que h está dividida entre 3 en la ecuación (6.10). La regla de Simpson
1/3 también se puede expresar como
promedio Altura
210
Ancho6
)()(4)()()(
xfxfxfabxdxf
b
a
(6.11)
donde 0xa , 2xb y 1x = el punto a la mitad entre a y b, que está dado por 2
1
bax
.
Observe que, de acuerdo con la ecuación (6.11), el punto medio está ponderado por dos
tercios; y los dos puntos extremos por un sexto.
Error de la regla de Simpson 1/3.
Se puede demostrar que la aplicación a un solo segmento de la regla de Simpson 1/3
tiene un error de truncamiento de
))(()4(5
901 xfhEt
o, como 2
abh
,
))((2880
)( )4(5
xfab
Et
(6.12)
donde )(x está en algún lugar en el intervalo de a a b. Así, la regla de Simpson 1/3 es más
exacta que la regla del trapecio. No obstante, una comparación con la ecuación (6.3) indica
que es más exacta de lo esperado. En lugar de ser proporcional a la tercera derivada, el
error es proporcional a la cuarta derivada. Esto es porque, el término del coeficiente de
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tercer grado se hace cero durante la integración de la interpolación polinomial. En
consecuencia, la regla de Simpson 1/3 alcanza una precisión de tercer orden aun cuando se
base en sólo tres puntos. En otras palabras, ¡da resultados exactos para polinomios cúbicos
aun cuando se obtenga de una parábola!.
Ejemplo 6.8.
[WM] Use la regla de Simpson 1/3 para aproximar
3
1
2 )( xdex x . Compare la
aproximación con el valor real y encuentre una cota para el error, si esto es posible.
Solución.
3
1
2 )( xdex x
1a
3b
xexxf 2)(
Aplicando la ecuación 6.10.
)]()(4)([3
)( 210 xfxfxfh
xdxfb
a (6.10)
10 ax
32 bx
22
31
21
bax
12
13
2
abh
6321206.01)1()1()( 1)1(2
0 eefxf
8646647.34)2()2()( 2)2(2
1 eefxf
9502129.89)3()3()( 3)3(2
2 eefxf
La gráfica de estos puntos se ilustra en la figura 6.16.
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Figura 6.16. Representación gráfica del empleo de una sola aplicación de la regla de Simpson 1/3 para
aproximar la integral de xexxf 2)( de 1x a 3x .
Valor aproximado de la integral.
)9502129.88646647.346321206.0(3
1)(
3
1
2 xdex x
3469974.8
Error absoluto de aproximación.
aproximadoValor exactoValor t
3469974.83485742.8
3105768.1
Cota de error.
))((2880
)( )4(5
xfab
Et
(6.12)
La cuarta derivada de la función xexxf 2)( es xexf )()4( . Al evaluar en 1x y
en 3x tenemos:
3678794.0)1( 1)4( ef
0497871.0)3( 3)4( ef
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)3678794.0(2880
)13( 5tE
3100875.4
Observamos que la estimación se encuentra entre los límites del error.
Ejemplo 6.9.
[WM] Use la tabla de abajo para encontrar una aproximación a 5.1
1.1xde x aplicando la regla
de Simpson 1/3.
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 xe 3.0042 3.3201 3.6693 4.0552 4.4817
Compare la aproximación con el valor real y encuentre una cota para el error, si esto es
posible.
Solución.
5.1
1.1xde x
1.1a
5.1b
xexf )(
Aplicando la ecuación 6.10.
)]()(4)([3
)( 210 xfxfxfh
xdxfb
a (6.10)
1.10 ax
5.12 bx
3.12
5.11.1
21
bax
2.02
1.15.1
2
abh
0042.3)1.1()( 0 fxf
6693.3)3.1()( 1 fxf
4817.4)5.1()( 2 fxf
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La gráfica de estos puntos se ilustra en la figura 6.17.
Figura 6.17. Representación gráfica del empleo de una sola aplicación de la regla de Simpson 1/3 para
aproximar la integral de xexf )( de 1.1x a 4.1x .
Valor aproximado de la integral.
)4817.46693.340042.3(3
2.05.1
1.1 xde x
47754.1
Error absoluto de aproximación.
aproximadoValor exactoValor t
47754.147752.1
5102
Cota de error.
))((2880
)( )4(5
xfab
Et
(6.12)
La cuarta derivada de la función xexf )( es xexf )()4( . Al evaluar en 1.1x y en
5.1x tenemos:
0042.3)1.1( 1.1)4( ef
4817.4)5.1( 5.1)4( ef
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4817.42880
)1.15.1( 5
tE
5105935.1
Ejercicios adicionales.
16. [CC] Aproxime las integrales h), i), j), k) y l) del problema 1 con una sola aplicación de
la regla de Simpson 1/3. Compare la aproximación con el valor real y encuentre una cota
del error en cada caso, si esto es posible.
La regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple.
Así como la regla del trapecio, la regla de Simpson se mejora al dividir el intervalo de
integración en varios segmentos de un mismo tamaño (Figura 6.18).
Figura 6.18. Representación gráfica de la regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple. Observe que el método
se puede emplear sólo si el número de segmentos es par.
n
abh
(6.13)
La integral total se puede representar como
n
n
x
x
x
x
x
x
b
axdxfxdxfxdxfxdxf
2
4
2
2
0
)()()()(
Al sustituir la regla de Simpson 1/3 en cada integral se obtiene
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6
)()(4)(2
6
)()(4)(2
6
)()(4)(2)(
12
432210
nnn
b
a
xfxfxfh
xfxfxfh
xfxfxfhxdxf
o, combinando términos y usando la ecuación (6.13),
promedio Altura
2
6,4,2
1
5,3,1
0
Ancho3
)()(2)(4)(
)()(n
xfxfxfxf
abxdxf
n
n
i
i
n
i
ib
a
(6.14)
Observe que, como se ilustra en la figura 6.18, se debe utilizar un número par de segmentos
para implementar el método. Además, los coeficientes “4” y “2” en la ecuación (6.12) a
primera vista parecerían peculiares. No obstante, siguen en forma natural la regla de
Simpson 1/3. Los puntos impares representan el término medio en cada aplicación y, por lo
tanto, llevan el peso de 4 de la ecuación (6.9). Los puntos pares son comunes a aplicaciones
adyacentes y, por lo tanto, se cuentan dos veces.
Algoritmo de la regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple.
Para aproximar b
axdxfI )( :
ENTRADA: puntos extremos a, b; entero positivo 2/nm .
SALIDA: aproximación XI de I.
Paso 1 Tomar n
abh
Paso 2 Tomar )()(0 bfafXI
).)( de Suma(;01 12 ixfXI
).)( de Suma(;02 2 ixfXI
Paso 3 Para 12,,1 mi seguir los pasos 4 y 5.
Paso 4 Tomar hiax
Paso 5 Si i es par entonces tomar )(22 XfXIXI
sino )(11 XfXIXI
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Paso 6 Tomar 3/)14220( XIXIXIhXI
Paso 7 SALIDA ( XI )
PARAR.
Error de la regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple.
Un error estimado en la regla de Simpson de aplicación múltiple se obtiene de la
misma forma que en la regla del trapecio: sumando los errores individuales de los
segmentos y sacando el promedio de la derivada para llegar a
)4(
4
5
180
)(f
n
abEa
(6.15)
donde )4(f es el promedio de la cuarta derivada en el intervalo.
Ejemplo 6.10.
[WM] Use la regla de Simpson 1/3 compuesta con 8n para aproximar
3
1
2 )( xdex x.
Compare la aproximación con el resultado exacto.
Solución.
3
1
2 )( xdex x
1a
3b
xexxf 2)(
Aplicando la ecuación 6.14.
n
xfxfxfxf
abxdxf
n
n
i
i
n
i
ib
a 3
)()(2)(4)(
)()(
2
6,4,2
1
5,3,1
0
(6.14)
10 ax
3 bxn
25.08
13
n
abh
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Se debe evaluar la función desde 1x hasta 3x con un paso de 25.0h . Los resultados
se muestran en la tabla siguiente:
i x xexxf 2)(
0 1.00 0.6321206
1 1.25 1.2759952
2 1.50 2.0268698
3 1.75 2.8887261
4 2.00 3.8646647
5 2.25 4.9571008
6 2.50 6.1679150
7 2.75 7.4985721
8 3.00 8.9502129
La gráfica de estos puntos se ilustra en la figura 6.19.
Figura 6.19. Representación gráfica del empleo de la regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple con n = 8
para aproximar la integral de xexxf 2)( de 1x a 3x .
La tabla anterior se completa con una columna que incorpore el doble del valor de la
función en los i pares y el cuádruple del valor de la función en los i impares:
i x xexxf 2)( )(2 xf )(4 xf
0 1.00 0.6321206
1 1.25 1.2759952 5.1039808
2 1.50 2.0268698 4.0537397
3 1.75 2.8887261 11.5549042
4 2.00 3.8646647 7.7293294
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5 2.25 4.9571008 19.8284031
6 2.50 6.1679150 12.3358300
7 2.75 7.4985721 29.9942886
8 3.00 8.9502129
Total 24.1188991 66.4815767
Valor aproximado de la integral.
)8(3
9502129.81188991.244815767.666321206.0)13()(
3
1
2
xdex x
24
1828093.1002
3485674.8
Error absoluto de aproximación.
aproximadoValor exactoValor t
3485674.83485742.8
6108.6
El error de aproximación es menor que cuando se utiliza la regla de Simpson 1/3 en un solo
intervalo y menor que cuando se utiliza la regla del trapecio múltiple con el mismo número
de segmentos.
El ejemplo anterior demuestra que la versión de la regla de Simpson 1/3 de
aplicación múltiple da resultados muy precisos. Por esta razón, se considera mejor que la
regla del trapecio en la mayoría de las aplicaciones. Sin embargo, como se indicó antes,
está limitada a los casos donde los valores están equidistantes. Además, está limitada a
situaciones en las que hay un número par de segmentos y un número impar de puntos. En
consecuencia, como se analizará en la siguiente sección, una fórmula de segmentos impares
y puntos pares, conocida como regla de Simpson 3/8, se usa junto con la regla 1/3 para
permitir la evaluación de números de segmentos tanto pares como impares.
Ejemplo 6.11.
[BF, WM] Dada la función f en los valores tabulados abajo:
x 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6
)(xf 3.12014 4.42569 6.04241 8.03014 10.46675
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Aproxime 6.2
8.1)( xdxf usando la regla de Simpson 1/3 compuesta.
Solución.
6.2
8.1)( xdxf
8.1a
6.2b
Puesto que los extremos (1.8 – 2.6) incluyen entre ellos tres puntos, tenemos un total de
cinco puntos. La subdivisión es entonces de cuatro intervalos, por lo cual 4n .
Adicionalmente observamos que el paso en este caso es 2.0h , pues es la diferencia
constante entre dos x consecutivos.
Aplicando la ecuación 6.14.
n
xfxfxfxf
abxdxf
n
n
i
i
n
i
ib
a 3
)()(2)(4)(
)()(
2
6,4,2
1
5,3,1
0
(6.14)
Se debe evaluar la función desde 8.1x hasta 6.2x con un paso de 2.0h . Los
resultados están mostrados en la tabla proporcionada.
Valor aproximado de la integral.
Utilizando los datos:
)4(3
46675.10)04241.6(2)03014.842569.4(412014.3)8.16.2()(
6.2
8.1
xdxf
12
75.495038.0
0330020.5
Para resolver este ejemplo 6.11, se pudieron tomar también 2 intervalos con 4.0h y los
puntos que se indican a continuación:
x 1.8 2.2 2.6
)(xf 3.12014 6.04241 10.46675
En cuyo caso el valor de la integral, de acuerdo con la ecuación 6.11 es:
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)2(3
46675.10)04241.6(412014.3)8.16.2()(
6.2
8.1
xdxf
6
75653.378.0
034204.5
No existe otra posibilidad en cuanto al número de segmentos para determinar el valor de la
integral 6.2
8.1)( xdxf , puesto que no se conoce la función y estamos limitados a los datos
proporcionados en la tabla dada en el planteamiento del problema. En cualquiera de los
casos, para aplicar la regla de Simpson 1/3, el número de segmentos debe ser par.
Ejemplo 6.12.
[WM] Determine los valores de n y h necesarios para aproximar 4/
0tan
xdx con 10–8
de
precisión usando la regla de Simpson 1/3 compuesta.
Solución.
El error estimado en la regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple está dado por la
ecuación 6.15.
)4(
4
5
180
)(f
n
abEa
(6.15)
4)4(
5
180
)(f
E
abn
a
Siendo xxf tan)( , entonces:
xxf 2sec)( , xxxf tansec2)( 2 , xxxxf 422 sec2tansec4)( y
xxxxxf tansec16tansec8)( 432)4(
Valor promedio de la cuarta derivada.
ab
xdxff
b
a
)(
0
)tansec16tansec8(
4
4/
0
432
xdxxxx
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7853981634.0
14
2617.8253536
48
5
4 )2617.8253536(10180
)0(
n
48.41n
Se requieren 42 segmentos como mínimo.
Observación: En caso de haber obtenido como resultado un número impar de segmentos,
dado que se aplicaría la regla de Simpson 1/3, el valor del número de segmentos a reportar
como solución del problema debe ser el número par inmediatamente superior.
70186999562.042
04
n
abh
En cuanto al número de segmentos, si comparamos el resultado de este ejemplo con el
resultado obtenido aplicando el método del trapecio para aproximar la integral 4/
0tan
xdx
con 10–8
de precisión (Ejemplo 6.7), el método del trapecio requiere 2268 segmentos como
mínimo, mientras que el método de Simpson 1/3 requiere sólo 42 segmentos.
Ejercicios adicionales.
17. [CC] Aproxime las integrales h), i), e j) del problema 1 con la regla de Simpson 1/3 de
aplicación múltiple, usando 4n y 6n .
18. [BF] Repetir el ejercicio 5 usando la regla compuesta de Simpson 1/3.
19. [CC] Evalúe la integral del problema 6, pero ahora utilice la regla de Simpson 1/3 de
aplicación múltiple.
20. [CC] Integre la siguiente función 5
3
3)54( xdx , en forma analítica y usando la regla
de Simpson 1/3, con 4n . Analice sus resultados.
21. [WM] Repetir el ejercicio 8 usando la regla compuesta de Simpson 1/3.
22. [BF] Repetir el ejercicio 11 usando la regla compuesta de Simpson 1/3.
23. [WM] Repetir el ejercicio 12 usando la regla compuesta de Simpson 1/3.
24. [BF] Repetir el ejercicio 13 usando la regla compuesta de Simpson 1/3.
Capítulo 6. Integración Numérica. Reglas de Simpson.
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25. [BF] Repetir el ejercicio 14 usando la regla compuesta de Simpson 1/3.
Regla de Simpson 3/8.
De manera similar a la obtención de la regla del trapecio y Simpson 1/3, es posible ajustar
un polinomio de Lagrange de tercer grado a cuatro puntos (Figura 6.20) e integrarlo:
b
a
b
axdxPxdxfI )()( 3 (6.16)
para obtener
)]()(3)(3)([8
3)( 3210 xfxfxfxf
hxdxf
b
a (6.17)
donde 3
abh
. Esta ecuación se llama regla de Simpson 3/8 debido a que h se multiplica
por 3/8. Esta es la tercera fórmula de integración cerrada de Newton – Cotes. La regla 3/8
se expresa también en la forma
promedio Altura
3210
Ancho8
)()(3)(3)()()(
xfxfxfxfabxdxf
b
a
(6.18)
Así los dos puntos interiores tienen pesos de tres octavos, mientras que los puntos extremos
tienen un peso de un octavo.
Figura 6.20. Descripción gráfica de la regla de Simpson 3/8, que consiste en tomar el área bajo una ecuación
cúbica que une cuatro puntos.
Error de la regla de Simpson 3/8.
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La regla de Simpson 3/8 tiene un error de
))(()4(5
803 xfhEt
ó, como 3
abh
))((6480
)( )4(5
xfab
Et
(6.19)
Puesto que el denominador de la ecuación (6.16) es mayor que el de la ecuación (6.10), la
regla 3/8 es más exacta que la regla 1/3.
Por lo común, se prefiere la regla de Simpson 1/3, ya que alcanza una exactitud de
tercer orden con tres puntos en lugar de los cuatro puntos requeridos en la versión 3/8. No
obstante, la regla de 3/8 es útil cuando el número de segmentos es impar. Una alternativa
sería aplicar la regla de Simpson 1/3 a los primeros segmentos pares y la regla de Simpson
3/8 a los últimos tres (Figura 6.22). De esta forma, podríamos obtener un estimado con una
exactitud de tercer orden durante todo el intervalo.
Ejemplo 6.13.
[WM] Use la regla de Simpson 3/8 para aproximar
3
1
2 )( xdex x. Compare la
aproximación con el valor real y encuentre una cota para el error, si esto es posible.
Solución.
3
1
2 )( xdex x
1a
3b
xexxf 2)(
Aplicando la ecuación 6.17.
)]()(3)(3)([8
3)( 3210 xfxfxfxf
hxdxf
b
a (6.17)
10 ax
33 bx
Capítulo 6. Integración Numérica. Reglas de Simpson.
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6666667.03
13
3
abh
hxx 01
6666667.16666667.011 x
hxx 202
3333333.2)6666667.0(212 x
6321206.01)1()1()( 1)1(2
0 eefxf
5889022.27777778.2)6666667.1()6666667.1()( 6666667.1)6666667.1(2
1 eefxf
3474725.54444444.5)3333333.2()3333333.2()( 3333333.2)3333333.2(2
2 eefxf
9502129.89)3()3()( 3)3(2
3 eefxf
La gráfica de estos puntos se ilustra en la figura 6.21.
Figura 6.21. Representación gráfica del empleo de una sola aplicación de la regla de Simpson 3/8 aproximar
la integral de xexxf 2)( de 1x a 3x .
Valor aproximado de la integral.
]9502129.8)3474725.5(3)5889022.2(36321206.0[8
6666667.03)(
3
1
2
xdex x
3914576.3325.0
3478644.8
Capítulo 6. Integración Numérica. Reglas de Simpson.
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Error absoluto de aproximación.
aproximadoValor exactoValor t
3478644.83485742.8
410098.7
El error de aproximación es menor que cuando se utiliza la regla de Simpson 1/3 y la regla
del trapecio en un solo intervalo.
Cota de error.
))((6480
)( )4(5
xfab
Et
(6.19)
La cuarta derivada de la función xexxf 2)( es xexf )()4( . Al evaluar en 1x y en
3x tenemos:
3678794.0)1( 1)4( ef
0497871.0)3( 3)4( ef
3678794.06480
)13( 5
tE
3108167.1
Observamos que la estimación se encuentra entre los límites del error.
La regla de Simpson 3/8 de aplicación múltiple.
Así como la regla del trapecio y la regla de Simpson 1/3, la regla de Simpson 3/8 se mejora
al dividir el intervalo de integración en varios segmentos de un mismo tamaño (Figura
6.21).
Capítulo 6. Integración Numérica. Reglas de Simpson.
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Figura 6.21. Representación gráfica de la regla de Simpson 3/8 de aplicación múltiple. Observe que el método
se puede emplear sólo si el número de segmentos es múltiplo de 3.
n
abh
(6.20)
La integral total se puede representar como
n
n
x
x
x
x
x
x
b
axdxfxdxfxdxfxdxf
3
6
3
3
0
)()()()(
Al sustituir la regla de Simpson 3/8 en cada integral se obtiene
8
)()(3)(3)(3
8
)()(3)(3)(3
8
)()(3)(3)(3)(
123
65433210
nnnn
b
a
xfxfxfxfh
xfxfxfxfh
xfxfxfxfhxdxf
o, combinando términos y usando la ecuación (6.19),
promedio Altura
9,6,3
1
5,4,2,1
0
Ancho8
)()(2)(3)(3
)()(n
xfxfxfxf
abxdxf
n
n
i
i
n
i
ib
a
(6.21)
Observe que, como se ilustra en la figura 6.18, se debe utilizar un número múltiplo de 3 de
segmentos para implementar el método. Además, los coeficientes “3” y “2” en la ecuación
(6.21) a primera vista parecerían peculiares. No obstante, siguen en forma natural la regla
de Simpson 3/8. Los puntos impares no múltiplos de 3 representan los términos medios en
Capítulo 6. Integración Numérica. Reglas de Simpson.
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cada aplicación y, por lo tanto, llevan el peso de 3 de la ecuación (6.18). Los puntos
múltiplos de 3 son comunes a aplicaciones adyacentes y, por lo tanto, se cuentan dos veces.
Ejemplo 6.14.
[WM] Use la regla de Simpson compuesta con 9n para aproximar
3
1
2 )( xdex x .
Compare la aproximación con el resultado exacto.
Solución.
Puesto que la cantidad de segmentos es impar ( 9n ), se aplicará la regla de Simpson 1/3
en los primeros 6 segmentos (7 primeros puntos), y la regla de Simpson 3/8 en los tres
segmentos restantes (4 últimos puntos).
3
1
2 )( xdex x
1a
3b
xexxf 2)(
2222222.09
13
n
abh
Se debe evaluar la función desde 1x hasta 3x con un paso de 2222222.0h . Los
resultados se muestran en la tabla siguiente:
i x xexxf 2)(
0 1.0000000 0.6321206
1 1.2222222 1.1992523
2 1.4444444 1.8505427
3 1.6666667 2.5889022
4 1.8888889 3.4166615
5 2.1111111 4.3356868
6 2.3333333 5.3474725
7 2.5555556 6.4532151
8 2.7777778 7.6538729
9 3.0000000 8.9502129
La gráfica de estos puntos se ilustra en la figura 6.22.
Capítulo 6. Integración Numérica. Reglas de Simpson.
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Figura 6.22. Ilustración de cómo se utilizan en conjunto las reglas de Simpson 1/3 y 3/8 para manejar
aplicaciones múltiples con números impares de intervalos.
3/8Simpson
3
3333333.2
2
6 1/3,Simpson
3333333.2
1
23
1
2 )()()(
xdexxdexxdex x
n
xx
Aplicación de la regla de Simpson 1/3 compuesta a los seis primeros segmentos.
Aplicando la ecuación 6.14.
n
xfxfxfxf
abxdxf
n
n
i
i
n
i
ib
a 3
)()(2)(4)(
)()(
2
6,4,2
1
5,3,1
0
(6.14)
)6(3
3474725.5)2672042.5(2)1238413.8(46321206.0)13333333.2()(
3333333.2
1
2
xdex x
18
0093667.493333333.1
6303234.3
Aplicación de la regla de Simpson 3/8 a los tres últimos segmentos.
Aplicando la ecuación 6.17.
)]()(3)(3)([8
3)( 3210 xfxfxfxf
hxdxf
b
a (6.17)
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]9502129.8)6538729.7(3)4532151.6(33474125.5[8
)2222222.0(3)(
3
3333333.2
2 xdex x
6188894.560833333.0
7182388.4
Finalmente
7182388.46303234.3)(3
1
2 xdex x
3485622.8
Error absoluto de aproximación.
aproximadoValor exactoValor t
3485622.83485742.8
5102.1
Puesto que el número de segmentos es múltiplo de 3, el ejemplo 6.14 pudo haberse resuelto
también aplicando la regla de Simpson 3/8 de aplicación múltiple como se ilustra a
continuación.
3
1
2 )( xdex x
1a
3b
xexxf 2)(
Aplicando la ecuación 6.21.
n
xfxfxfxf
abxdxf
n
n
i
i
n
i
ib
a 8
)()(2)(3)(3
)()(9,6,3
1
5,4,2,1
0
(6.21)
10 ax
3 bxn
Capítulo 6. Integración Numérica. Reglas de Simpson.
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2222222.09
13
n
abh
Se debe evaluar la función desde 1x hasta 3x con un paso de 2222222.0h . Los
resultados se muestran en la tabla siguiente:
i x xexxf 2)(
0 1.0000000 0.6321206
1 1.2222222 1.1992523
2 1.4444444 1.8505427
3 1.6666667 2.5889022
4 1.8888889 3.4166615
5 2.1111111 4.3356868
6 2.3333333 5.3474725
7 2.5555556 6.4532151
8 2.7777778 7.6538729
9 3.0000000 8.9502129
La gráfica de estos puntos se ilustra en la figura 6.23.
Figura 6.23. Representación gráfica del empleo de la regla de Simpson 3/8 de aplicación múltiple con n = 9
para aproximar la integral de xexxf 2)( de 1x a 3x .
La tabla anterior se completa con una columna que incorpore el triple del valor de la
función en los i no múltiplos de tres y el doble del valor de la función en los i múltiplos de
tres:
i x xexxf 2)( )(3 xf )(2 xf
Capítulo 6. Integración Numérica. Reglas de Simpson.
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0 1.0000000 0.6321206
1 1.2222222 1.1992523 3.5977570
2 1.4444444 1.8505427 5.5516280
3 1.6666667 2.5889022 5.1778043
4 1.8888889 3.4166615 10.2499844
5 2.1111111 4.3356868 13.0070604
6 2.3333333 5.3474725 10.6949450
7 2.5555556 6.4532151 19.3596453
8 2.7777778 7.6538729 22.9616186
9 3.0000000 8.9502129
Total 74.7276937 15.8727493
Valor aproximado de la integral.
)9(8
)9502129.88727493.157276937.746321206.0(3)13()(
3
1
2
xdex x
72
)1827765.100(32
3485647.8
Error absoluto de aproximación.
aproximadoValor exactoValor t
3485647.83485742.8
6105.9
El error de aproximación es menor que cuando se utiliza la regla de Simpson 3/8 en un solo
intervalo ó una combinación de la regla de Simpson 1/3 en los primeros 6 segmentos y la
regla de Simpson 3/8 en los tres últimos segmentos.
Ejercicios adicionales.
26. [CC] Aproxime las integrales h), i), j), k) y l) del problema 1 con una sola aplicación de
la regla de Simpson 3/8. Compare la aproximación con el valor real y encuentre una cota
del error en cada caso, si esto es posible.
27. [CC] Evalúe las integrales h), i) e j) del problema 1, pero ahora utilice la regla de
Simpson de aplicación múltiple, usando 5n .
28. [CC] Evalúe la integral del problema 20 usando las reglas de Simpson, con 5n .
Capítulo 6. Integración Numérica. Reglas de Simpson.
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29. [CC] Realice la misma evaluación que en el problema 2, pero ahora use las reglas de
Simpson.
30. [CC] Realice la misma evaluación que en el problema 3, pero ahora use las reglas de
Simpson.
31. [WM] Aproximar la integral 3
0
21 xdxx usando la regla de Simpson 3/8
compuesta con 5.0h .
6.5.- INTEGRACIÓN CON SEGMENTOS DESIGUALES.
Hasta aquí, todas las fórmulas de integración numérica se han basado en datos
igualmente espaciados. En la práctica, existen muchas situaciones en donde esta suposición
no se satisface y se tienen segmentos de tamaños desiguales. Por ejemplo, los datos
obtenidos experimentalmente a menudo son de este tipo. En tales casos, un método consiste
en aplicar la regla del trapecio a cada segmento y sumar los resultados:
2
)()(
2
)()(
2
)()()( 121
210
1nn
n
b
a
xfxfh
xfxfh
xfxfhxdxf
(6.22)
donde ih = ancho del segmento i. Obsérvese que éste fue el mismo procedimiento que se
utilizó en la regla del trapecio de aplicación múltiple. La única diferencia entre las
ecuaciones (6.5) y (6.22) es que las h en la primera son constantes. Entonces, la ecuación
(6.6) podría simplificarse al agrupar términos para obtener la ecuación (6.7). Esta
simplificación no puede aplicarse a la ecuación (6.22).
Ejemplo 6.15.
[WM] La función xexxf 2)( se puede utilizar para generar la siguiente tabla de datos
irregularmente espaciados.
x 1.00 1.25 1.50 1.80 2.15 2.50 3.00
)(xf 0.63212 1.27600 2.02687 3.07470 4.50602 6.16792 8.95021
Evalúe la integral desde 1a hasta 3b .
Solución.
En primer lugar identificamos cada punto de la función. Podemos escribir la tabla de la
siguiente manera:
Capítulo 6. Integración Numérica. Reglas de Simpson.
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i 0 1 2 3 4 5 6
ix 1.00 1.25 1.50 1.80 2.15 2.50 3.00
)( ixf 0.63212 1.27600 2.02687 3.07470 4.50602 6.16792 8.95021
La gráfica de estos puntos se ilustra en la figura 6.24.
Figura 6.24. Uso de la regla del trapecio para determinar la integral de datos irregularmente espaciados.
Aplicando la Ecuación 6.22.
2
)()(
2
)()(
2
)()()( 121
210
1nn
n
b
a
xfxfh
xfxfh
xfxfhxdxf
(6.22)
2
)()()(
2
)()()(
2
)()()()( 1
121
1210
01
3
1
2 nnnn
x xfxfxx
xfxfxx
xfxfxxxdex
2
)3()50.2()50.200.3(
2
)15.2()80.1()15.250.2(
2
)15.2()80.1()80.115.2(
2
)80.1()50.1()50.180.1(
2
)50.1()25.1()25.150.1(
2
)25.1()00.1()00.125.1()(
3
1
2
ffff
ffff
ffffxdex x
Capítulo 6. Integración Numérica. Reglas de Simpson.
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2
95021.816792.65.0
2
16792.650602.435.0
2
50602.407470.335.0
2
07470.302687.230.0
2
02687.227600.125.0
2
27600.163212.025.0)(
3
1
2
xdex x
2
11813.155.0
2
67394.1035.0
2
58072.735.0
2
10157.530.0
2
30287.325.0
2
90812.125.0)(
3
1
2
xdex x
7795325.38679395.1326626.17652355.041285875.0238515.0)(3
1
2 xdex x
39070725.8)(3
1
2 xdex x
Error absoluto de aproximación.
aproximadoValor exactoValor t
39070725.83485742.8
04213305.0
La integral del ejemplo 6.15 se pudo haber resuelto con mayor exactitud aplicando la regla
de Simpson 1/3 a los segmentos comprendidos en los intervalos ]50.1,00.1[ y ]50.2,80.1[
, pues en ambos casos en el intervalo están comprendidos dos segmentos con igual
espaciamiento ( 25.0h en el primer caso y 35.0h en el segundo) y aplicando la regla
del trapecio en los segmentos pertenecientes a los intervalos ]80.1,50.1[ y ]00.3,50.2[ .
Ejemplo 6.16.
[WM] La función xexf )( se puede utilizar para generar la siguiente tabla de datos
irregularmente espaciados.
x 1.10 1.12 1.14 1.16 1.20 1.24 1.29 1.35 1.42 1.50
)(xf 3.0042 3.0649 3.1268 3.1899 3.3201 3.4556 3.6328 3.8574 4.1371 4.4817
Capítulo 6. Integración Numérica. Reglas de Simpson.
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Evalúe la integral desde 1.1a hasta 5.1b usando a) la regla del trapecio y b) una
combinación de las reglas del trapecio y de Simpson; emplee las reglas de Simpson donde
sea posible para obtener la mayor exactitud. Calcule el error relativo porcentual ( t ).
Solución.
Observando la tabla nos damos cuenta que se trata de puntos desigualmente espaciados.
a) Aplicando la regla del trapecio para puntos desigualmente espaciados, ecuación 6.22.
2
)()(
2
)()(
2
)()()( 121
210
1nn
n
b
a
xfxfh
xfxfh
xfxfhxdxf
(6.22)
En el intervalo ]16.1,10.1[ se tienen cuatro puntos igualmente espaciados con 02.0h .
Son definidos entonces tres segmentos igualmente espaciados, por lo cual es posible aplicar
la regla del trapecio de aplicación múltiple. En el intervalo ]24.1,16.1[ se tienen tres
puntos igualmente espaciados con 04.0h , por lo cual es posible aplicar la regla del
trapecio de aplicación múltiple nuevamente. Finalmente, desde 24.1x en adelante, no se
tiene regularidad en el espaciamiento, por lo cual se debe aplicar la regla del trapecio para
puntos desigualmente espaciados.
2
4817.41371.4)42.150.1(
2
1371.48574.3)35.142.1(
2
8574.36328.3)29.135.1(
2
6328.34556.3)24.129.1(
2
4556.3)3201.3(21899.304.0
2
1899.3)1268.30649.3(20042.302.0
5.1
1.1
xde x
2
6188.808.0
2
9945.707.0
2
4902.706.0
2
0884.705.0
2
2857.1304.0
2
5775.1802.0
5.1
1.1 xde x
344752.02798075.0224706.017721.0265714.0185775.05.1
1.1 xde x
4779645.15.1
1.1 xde x
Error absoluto de aproximación.
aproximadoValor exactoValor t
4779645.14775230.1
0004415.0
Capítulo 6. Integración Numérica. Reglas de Simpson.
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Error relativo porcentual.
1004775230.1
0004445.0t
%0299.0t
b) En el intervalo ]16.1,10.1[ se tienen cuatro puntos igualmente espaciados con 02.0h .
Son definidos entonces tres segmentos igualmente espaciados, por lo cual es posible aplicar
la regla de Simpson 3/8. En el intervalo ]24.1,16.1[ se tienen tres puntos igualmente
espaciados con 03.0h , por lo cual es posible aplicar la regla de Simpson 1/3. Finalmente,
desde 24.1x en adelante, no se tiene regularidad en el espaciamiento, por lo cual se debe
aplicar la regla del trapecio para puntos desigualmente espaciados.
2
4817.41371.4)42.150.1(
2
1371.48574.3)35.142.1(
2
8574.36328.3)29.135.1(
2
6328.34556.3)24.129.1(]4556.3)3201.3(41899.3[
3
04.0
)1899.31268.330649.330042.3(8
02.035.1
1.1
xde x
2
6188.808.0
2
9945.707.0
2
4902.706.0
2
0884.705.09259.190133333.07692.240075.0
5.1
1.1
xde x
344752.02798075.0224706.017721.02656787.0185769.05.1
1.1 xde x
4779232.15.1
1.1 xde x
Error absoluto de aproximación.
aproximadoValor exactoValor t
4779232.14775230.1
0004002.0
Error relativo porcentual.
Capítulo 6. Integración Numérica. Reglas de Simpson.
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1004775230.1
0004445.0t
%0271.0t
Ejercicios adicionales.
32. [CC] La función xexf )( se puede utilizar para generar la siguiente tabla de datos
irregularmente espaciados.
x 0 0.1 0.3 0.5 0.7 0.95 1.2
)(xf 1 0.9048 0.7408 0.6065 0.4966 0.3867 0.3012
Evalúe la integral desde 0a hasta 2.1b usando a) la regla del trapecio y b) una
combinación de las reglas del trapecio y de Simpson; emplee las reglas de Simpson donde
sea posible para obtener la mayor exactitud. Calcule el error relativo porcentual ( t ).
6.6.- APLICACIONES.
Ejemplo 6.17.
[WM] En un proceso termodinámico presión – volumen, a temperatura constante, se tienen
los siguientes datos (Ver ejemplo 4.5):
Volumen V (pulg3) 54.3 61.8 72.4 88.7 118.6 194.0
Presión P (lb/pulg2) 61.2 49.5 37.6 28.4 19.2 10.1
Se sabe que 2
1
V
VVdPW , donde W es el trabajo, P es la presión y V es el volumen.
Calcule el trabajo: a) Con la regla del trapecio y b) Haga un análisis de regresión para
ajustar los datos a una función de la forma CVP . Después calcule el trabajo integrando
analíticamente esta función.
Solución.
Observando la tabla nos damos cuenta que se trata de puntos desigualmente espaciados.
Aplicando la regla del trapecio para puntos desigualmente espaciados, ecuación 6.22.
2
)()(
2
)()(
2
)()()( 121
210
1nn
n
b
a
xfxfh
xfxfh
xfxfhxdxf
(6.22)
Capítulo 6. Integración Numérica. Reglas de Simpson.
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2
1.102.19)6.1180.194(
2
2.194.28)7.886.118(
2
4.286.37)4.727.88(
2
6.375.49)8.614.72(
2
5.492.61)3.548.61(
194
3.54
VdP
2
3.294.75
2
6.479.29
2
663.16
2
1.876.10
2
7.1105.7
194
3.54 VdP
61.110462.7119.53763.461125.415
lb.pulg 885.3230
b) Aplicando la ecuación obtenida en el ejemplo 4.5.
4042040.1807.14971 VP
194
3.54
4042040.1194
3.5480725.15971 VdVVdP
194
3.54
4042040.180725.15971 VdV
194
543
4042040.0
4042040.080725.15971
V
194
543
4042040.022363.39514 V
)1989697.01189218.0(22363.39514
lb.pulg 030622.3163
Ejercicios adicionales.
Ingeniería Química / Bioingeniería.
33. [CC] En un proceso termodinámico presión – volumen, a temperatura constante, se
tienen los siguientes datos (Ver ejemplo 4.5):
Volumen V (m3) 0.5 2 3 4 6 8 10 11
Presión P (kPa) 420 368 333 326 326 312 242 207
Calcule el trabajo en kJ (kJ = kN.m) usando una combinación de la regla del trapecio, la
regla de Simpson 1/3 y la regla de Simpson 3/8.
34. [CC] Con los datos que se presentan a continuación, encuentre el trabajo isotérmico
realizado sobre un gas que se comprime de 22 L a 2 L (Recuerde que 2
1
v
vVdPW )
Capítulo 6. Integración Numérica. Reglas de Simpson.
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V, L 2 7 12 17 22
P, atm
12.20 3.49 2.04 1.44 1.11
a) Usando todos los datos y la regla del trapecio encuentre numéricamente el trabajo
realizado en el gas.
b) Repita la integración numérica utilizando sólo dos datos y la regla del trapecio.
35. [CC] La integración ofrece un medio para calcular cuanta masa entra o sale de un
reactor en un periodo específico, como
2
1
t
ttdcQM
Donde 1t y 2t = tiempo inicial y final, respectivamente. Esta fórmula tiene cierto sentido
intuitivo, si usted recuerda la analogía entre integración y sumatoria. Entonces, la integral
representa la sumatoria del producto del flujo por la concentración para obtener la masa
total que entra o sale desde 1t hasta 2t . Si el flujo es constante, Q se puede sacar de la
integral:
2
1
t
ttdcQM
Use integración numérica para evaluar esta ecuación con los datos de la tabla. Considere
que /minm 4 3Q .
t , min 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
c , mg/m3 10 22 35 47 55 58 52 40 37 32 34
36. [CC] La concentración química registrada a la salida de un reactor perfectamente
agitado fue
t , min 0 2 4 6 8 12 16 20
c , mg/m3 10 20 30 40 60 72 70 50
Para un flujo de salida /minm 12 3Q , estime la masa de sustancias químicas que sale del
reactor desde 0t hastas min 20t .
37. [CC] Un ingeniero bioquímico ha diseñado un parche para pacientes diabéticos, que
libera insulina, de manera controlada, a través de la piel, eliminando la necesidad de las
dolorosas inyecciones. Se recopilaron los siguientes datos del flujo de masa de insulina que
se libera a través del parche (y de la piel) en función del tiempo
Capítulo 6. Integración Numérica. Reglas de Simpson.
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t , h 0 1 2 3 4 5 10 15 20 24
Flujo, mg/cm2/h 15 14 12 11 9 8 5 2.5 2 1
Recuerde que el flujo de masa es la rapidez de flujo a través de un área ó td
md
A
1. Dé la
mejor estimación posible de la cantidad de droga liberada a través de la piel en 24 horas de
empleo de un parche de 10 cm2.
Ingeniería Civil / Ambiental.
38. [CC] La fuerza del viento distribuida sobre el lado de un rascacielos se registra como
Altura H, m 0 30 60 90 120 150 180 210 240
Fuerza, F(H), N/m
0 350 1000 1500 2600 3000 3300 3500 3600
Calcule la fuerza total sobre la línea de acción debida a esta distribución del viento.
39. [CC] Los datos que se muestran en la siguiente tabla presentan las mediciones por hora
del flujo de calor q (cal/cm2/h) en la superficie de un colector solar. Como ingeniero
arquitecto, usted debe estimar el calor total absorbido por un panel colector de 150000 cm2
en 14 horas. El panel tiene una eficiencia de absorción abe del 45%. El calor total absorbido
está dado por
t
ab tdAqeH0
donde A = área y q = flujo de calor.
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 q 0.10 1.62 5.32 6.29 7.80 8.81 8.00 8.57 8.03 7.04 6.27 5.56 3.54 1.00 0.20
40. [CC] Las áreas de la sección transversal de los ríos (A) se necesitan en varias tareas en
la ingeniería hidráulica, como pronósticos de inundación y diseño de presas. A menos que
se disponga de dispositivos electrónicos de sonido para obtener perfiles continuos del fondo
del río, el ingeniero debe basarse en mediciones discretas de la profundidad para calcular A.
Un ejemplo de la sección transversal en un río se muestra en la figura 6.25. Los puntos
representan posiciones donde se ancló un bote y se tomaron lecturas de diferentes
profundidades. Use dos aplicaciones de la regla del trapecio ( m 4h y m 2h ) y de la
regla de Simpson 1/3 para estimar el área de la sección transversal a partir de estos datos.
Dist, m 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Capítulo 6. Integración Numérica. Reglas de Simpson.
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Prof, m 0 –1.8 –2.0 –4.0 –4.0 –6.0 –4.0 –3.6 –3.4 –2.8 0
41. [CC] Un estudio de ingeniería de tránsito requiere el cálculo del número total de
automóviles que pasan por una intersección en 24 horas. Una persona llega a la intersección
varias veces durante un día y cuenta el número de automóviles que pasan por la
intersección en un minuto. Utilice estos datos, que se resumen en la tabla siguiente, para
estimar el número total de automóviles por día que pasa por la intersección (sea cuidadoso
con las unidades).
Velocidad del flujo de tráfico (autos/min) en una intersección medida a tiempos diferentes
en un periodo de 24 horas.
Tiempo Velocidad Tiempo Velocidad Tiempo Velocidad
12:00
medianoche 2 9:00 a.m 12 6:00 p.m 22
2:00 a.m 2 10:30 a.m 5 7:00 p.m 10
4:00 a.m 0 11:30 a.m 10 8:00 p.m 9
5:00 a.m 2 12:30 p.m 12 9:00 p.m 11
6:00 a.m 5 2:00 p.m 7 10:00 p.m 8
7:00 a.m 8 4:00 p.m 9 11:00 p.m 9
8:00 a.m 25 5:00 p.m 28 12:00 p.m 3
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Pro
fun
did
ad, m
Distancia desde la orilla izquierda, m
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42. [CC] Para estimar el tamaño de una nueva presa, usted tiene que determinar el volumen
total de agua (m3) que fluye por un río en un año. Usted dispone de los siguientes datos
promedio, de años anteriores.
Fecha Med-
Ener.
Med-
Feb.
Med-
Mar.
Med-
Abr.
Med-
Jun.
Med-
Sept.
Med-
Oct.
Med-
Nov.
Med-
Dic.
Flujo, m3/s 31 37 80 119 102 20 21 23 27
Determine el volumen. Sea cuidadoso con las unidades y de realizar una estimación
adecuada del flujo en los puntos extremos.
Ingeniería Eléctrica.
43. [CC] El valor promedio de una corriente eléctrica oscilante en un periodo
T
tdtii
T
0
)(
puede ser cero. A pesar del hecho de que el resultado total es cero, dicha corriente es capaz
de realizar trabajo y generar calor. Por consiguiente, los ingenieros eléctricos a menudo
caracterizan esa corriente por
T
tdtiT
i0
2
RMC )(1
donde )(ti = corriente instantánea (A). Calcule la RMC o raíz media cuadrática para la
corriente que tiene la forma de onda
teti t 2sen 4)( 5.1 para Tt210
0)( ti para TtT 21
donde s 1T
Utilice la regla de Simpson 1/3 con cinco segmentos para estimar la integral.
Ingeniería Mecánica / Aeronáutica.
44. [CC] Una viga de 11 ft está sujeta a una carga, y a la fuerza cortante siguiente
215.04 xV donde V es la fuerza cortante en lbf y x es la longitud en pies a lo largo de
la viga. Se sabe que xd
MdV , y que M es el momento de doblamiento. La integración da
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la relación x
xdVMM0
0 . Si 0M es cero y 1x , calcule M usando a) la regla del
trapecio, b) la regla de Simpson 1/3 y c) la regla de Simpson 3/8.
45. [CC] Emplee la regla del trapecio de aplicación múltiple para evaluar la distancia
vertical recorrida por un cohete si la velocidad vertical (m/s) está dada por
3020)20(245
201051000
100510
2
2
ttt
tt
ttt
v
46. [CC] La velocidad hacia arriba de un cohete se calcula con la siguiente fórmula:
tgtqm
muv
0
0ln
donde v = velocidad hacia arriba, u = velocidad relativa al cohete a la cual se expulsa el
combustible, 0m = masa inicial del cohete en el tiempo 0t , q = velocidad de consumo
del combustible y g = aceleración hacia abajo debida a la gravedad (se supone constante =
9.8 m/s2). Si m/s 2000u , kg 1500000 m y kg/s 2600q , use la regla del trapecio y la
de Simpson 1/3 con seis segmentos para determinar qué tan alto volará el cohete en 30
segundos.
47. [CC] Si se conoce la distribución de la velocidad de un fluido a través de una tubería, es
posible calcular la rapidez de flujo Q (es decir, el volumen de agua que pasa a través de la
tubería por unidad de tiempo) mediante AdvQ , donde v es la velocidad y A es el área
de la sección transversal de la tubería. (Para entender el significado de esta relación en
forma física, recuerde la estrecha relación entre suma e integración). En un tubo circular,
2rA y rdrAd 2 . Por lo tanto,
rdrvQ )2(
donde r es la distancia radial medida desde el centro de la tubería. Si la distribución de
velocidad está dada por
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6/1
0
10.2
r
rv
donde 0r es el radio total (en este caso, 2 cm) y v está en m/s, calcule Q usando la regla del
trapecio de aplicación múltiple. Analice sus resultados.
48. [CC] Un flujo que se mueve a través de un tubo de 16 in de diámetro tiene el siguiente
perfil de velocidades:
Radio, r, in 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Velocidad, v, ft/s 3.00 2.92 2.78 2.61 2.36 1.78 1.40 0.67 0.00
Encuentre la tasa volumétrica de flujo, Q, usando la relación R
rdvrQ0
2 donde r es el
radio axial del tubo, R es el radio del tubo y v es la velocidad. Resuelva el problema con
dos métodos diferentes.
a) Ajuste una curva polinomial a los datos e integre.
b) Utilice la regla de Simpson 1/3 de aplicaciones múltiples para integrar.
c) Encuentre el error porcentual usando la integral del ajuste polinomial como el valor más
correcto.
49. [CC] El flujo de un fluido plástico de Binghan que se mueve a través de un tubo de 12
in de diámetro tiene el perfil de velocidades dado a continuación. El flujo de un fluido de
Bingham no corta el núcleo lo que genera un flujo tapón alrededor de la línea central.
Radio, r, in 0 1 2 3 4 5 6
Velocidad, v, ft/s 5.00 5.00 4.62 4.01 3.42 1.69 0.00
Encuentre la tasa volumétrica de flujo, Q, usando la relación cc
r
rAvrdvrQ
2
1
2 ,
donde r es el eje radial del tubo, R es el radio del tubo, v es la velocidad, cv es la velocidad
en el núcleo y cA es el área de la sección transversal del tapón. Resuelva el problema
usando dos métodos diferentes.
a) Ajuste una curva polinomial a los datos e integre.
b) Utilice la regla de Simpson 1/3 de aplicaciones múltiples para integrar.
c) Encuentre el error porcentual usando la integral del ajuste polinomial como el valor más
correcto.
Capítulo 6. Integración Numérica. Reglas de Simpson.
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50. [CC] Una barra sujeta a una carga axial se deformará, como se muestra en la curva
esfuerzo – deformación de la figura 6.26. Al área bajo la curva esfuerzo – deformación se le
conoce como módulo de rigidez del material. Éste proporciona una medida de la energía
por unidad de volumen requerido para causar la ruptura del material. Como tal, representa
la habilidad del material para resistir una carga por impacto. Use integración numérica para
calcular los módulos de rigidez para la curva esfuerzo – deformación que se tiene en la
figura.
Figura 6.26.
E 0.02 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
S 40.0 37.5 43.0 52.0 60.0 55.0
51. [CC] Determine la distancia recorrida a partir de los siguientes datos:
t 1 2 3.25 4.5 6 7 8 8.5 9.3 10
v 5 6 5.5 7 8.5 8 6 7 7 5
Donde t = tiempo, v = velocidad.
a) Use la regla del trapecio y b) haga un análisis de regresión para ajustar los datos a un
polinomio de segundo grado. Después calcule la distancia integrando analíticamente este
polinomio.
52. [BF] Una partícula de masa m que se mueve a través de un fluido está sujeta a una
resistencia viscosa R que es una función de la velocidad v. La relación entre la resistencia
R, la velocidad v y el tiempo t está dada por la ecuación
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)(
)( 0 )(
tv
tvvd
vR
mt
Supóngase que vvvR )( para un fluido particular, donde R está dada en newtons y v
en metros/segundo. Si kg 10m y m/s 10)0( v , aproxime el tiempo requerido para que
la partícula reduzca su velocidad a m/s 5v , usando:
a) La regla del trapecio extendida con 25.0h .
b) La regla compuesta de Simpson con 25.0h .
c) Compare estas aproximaciones con el valor real.
53. [BF] Para simular las características térmicas de los frenos de disco, D. A. Secrist y R.
W. Hornbeck necesitaron aproximar numéricamente la temperatura exterior promediada en
el área, T, del cojín del freno a partir de la ecuación
0
0
)(
r
rp
r
rp
e
e
rdr
rdrrTT
donde er representa el radio para el cual el cojín del freno empieza a hacer contacto, 0
r
representa el radio exterior de contacto del cojín del freno, p representa el ángulo
subtendido por el sector del cojín del freno y )(rT es la temperatura del cojín en cada
punto, obtenida numéricamente analizando la ecuación del calor. Si pies 308.0er ,
pies 478.00 r y radianes 7051.0p , y las temperaturas en la tabla siguiente han sido
calculadas en varios puntos del disco, encuentre una aproximación para T usando la regla
compuesta de Simpson.
r (pies) 0.308 0.325 0.342 0.359 0.376 0.393 0.410 0.427 0.444 0.461 0.478
T (r) (ºF) 640 794 885 943 1034 1064 1114 1152 1204 1222 1239
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RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.
6.4.- REGLAS DE SIMPSON.
Regla de Simpson 1/3.
16.
Integral Valor aproximado Valor exacto Error Cota del error.
h) 2.0288462 2.0497871 0.0209409 0.0843750
i) 900.0000000 576.0000000 324.0000000 –1296.0000000
j) 16.5754901 16.5663706 0.0091195 –0.0132821
k) 47.6666667 41.3581698 6.3084969 –67.2259358
l) 21.9911486 21.7079632 0.2831853 –0.3187705
La regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple.
17.
Integral 4n 6n
g) 2.0482224 2.0494667
h) 596.2500000 580.0000000
i) 16.5669089 16.5664759
18.
Integral Valor aproximado Valor exacto
a) 1.1000000 1.0986123
b) 4.0000000 4.0000000
c) 10.2063463 10.2075922
d) 0.6368945 0.6366198
e) –6.2975102 –6.2831854
f) 0.7183215 0.7182818
g) 0.4227162 0.4227251
h) 0.9163064 0.9162907
19. Valor exacto: 5359919.504416
45 e , Valor aproximado: 523.5355600. Error relativo:
3.7658%.
20. Valor exacto: 24264. Valor aproximado: 24264. El Resultado es exacto porque
proviene de una función cúbica. Recuérdese que el error es proporcional a la cuarta
derivada, y siendo ésta nula, el error también lo es.
21.
Integral n Valor aproximado Valor exacto
a) 6 10.2063463 10.2075922
b) 8 0.7183215 0.7182818
c) 20 0.5386508 0.5386506
22. Valor exacto: –0.3465736
a) 4n : –0.3466742, 8n : –0.3465949; b) 4100059.1 tE , 5101358.2 tE ; c)
42n .
23. 14n , 1428571429.0h .
24. 16n , 1250000.0h .
Capítulo 6. Integración Numérica. Reglas de Simpson.
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25. 30n , 3000000.0h .
Regla de Simpson 3/8.
26.
Integral Valor aproximado Valor exacto Error Cota del error.
h) 2.0402132 2.0497871 0.0095738 0.0375000
i) 720.0000000 576.0000000 144.0000000 –576.0000000
j) 16.5703903 16.5663706 0.0040197 –0.0059032
k) 44.4032687 41.3581698 3.0450989 –29.8781937
l) 21.8295361 21.7079632 0.1215729 –0.1416758
27. h) 2.0489296)1()1()1(
1.5482178
3
2.1
0.5007118
2.1
0
3
0
xdexdexde xxx
i)
9801600.597)41()41()41(
0617.732352
4
4.0
52
19.7521920
4.0
2
524
2
52
xdxxxxdxxxxdxxx
j) 5668159.16)sen 48()sen 48()sen 48(
10.7762938
2/
5/
5.7905221
5/
0
2/
0
xdxxdxxdx
28. 0000000.72)54()54()54(
9200000.93
5
2.0
3
9200000.1
2.0
3
35
3
3
xdxxdxxdx
29. 2250000.2)()()(
1250000.1
5.0
2.0
1000000.1
2.0
0
5.0
0
xdxfxdxfxdxf
30. 7500000.4)()()(
7500000.18
11
5
0000000.14
5
3
11
3
xdxfxdxfxdxf
31. Valor exacto: 10.2075922, Valor aproximado: 10.2048052. Error relativo: 0.0273%.
6.5.- INTEGRACIÓN CON SEGMENTOS DESIGUALES.
32. Valor exacto: 0.6988058. a) Valor aproximado: 0.7012400. Error relativo: 0.3483%; b)
Valor aproximado: 0.7004267. Error relativo: 0.2319%.
6.6.- APLICACIONES.
33. W = 3352.3333333 kJ.
34. a) W = 68.1250000 L.atm; b) 133.1 L.atm.
35. Aplicando la regla de Simpson 1/3 con n = 10:
mg 6666667.7986m
mg6666667.1996
min
m4
3
3
M
36. mg 12608m
mg0000000.804
m
mg6666667.246
min
m12
33
3
M
37.
mg 791667.1189cm
mg3750000.09375000.600000000.306666667.27cm 10
2
2 M
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38. 508000 N.
39. Aplicando la regla de Simpson 1/3 con 14n :
cal 934.688538cm
cal2005768.10cm 15000045.0
2
2 H
40. Regla del trapecio con m 4h : A = 53.6 m2. Regla del trapecio con m 2h : A = 63.2
m2. Regla de Simpson 1/3 con n = 10: A = 66.4 m
2.
41. 13430 autos.
42. El flujo estimado para mediados de enero del año siguiente es 31 m3/s. El volumen
obtenido aplicando una combinación de las reglas del trapecio y reglas de Simpson es
1.783836×109 m
3.
43. 1.3992360 A.
44. Regla del trapecio: .ftlb 0750000.4 fM ; Regla de Simpson 1/3:
.ftlb 0500000.4 fM ; Regla de Simpson 3/8: .ftlb 0500000.4 fM .
45. Utilizando 6 segmentos con 5h : m 24250d
46. Regla del trapecio: m 4963011.15017d ; Regla de Simpson 1/3:
m 9541918.14939d ;
47. Utilizando la regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple con 6n :
/scm 0.1852743 3Q
48. a) 20499351.00271472.09699394.2)( rrrv , inr , ft/s)( rv ;
/sft 1178541.2 3Q ; b) /sft 2.0967222 3Q ; c) %9978.0a
49. a) 21969643.03964643.07230000.4)( rrrv , inr , ft/s)( rv ;
/sft 1728731.21090831.00637900.2 3Q ; b) Aplicando una combinación de las reglas
de Simpson 1/3 y Simpson 3/8: /sft 1774800.21090831.02831442.17852527.0 3Q ;
c) %2120.0a
50. Aplicando una combinación de las reglas del Trapecio y regla de Simpson:
3041667.111416667.101625000.1
51.a) Aplicando la regla del trapecio para datos desigualmente espaciados: m 425.60d .
b) Aplicando regresión lineal:
m 56872.60)1182893.04070116.13679978.3(10
1
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