02 Dual Simplex

II UNIDAD: MÉTODO DUAL SIMPLEX Investigación de Operaciones I

Ing. Juan Pablo Sánchez Chávez Semestre 2015 II - UNS

1

METODO DUAL SIMPLEX

Propiedad III del Problema Primal Dual: En cualquier iteración primal o dual Sirve para

encontrar los valores en la columna Bi para las variables básicas actuales si no es la

iteración óptima el proceso continua hasta encontrar la solución óptima. Si es la iteración

óptima permite a través del análisis de sensibilidad, encontrar soluciones directas cuando se

cambia algún valor de interés en los recursos si y solo si el cambio de dicho valor de Bi está

dentro de los rangos mínimo y máximo.

Procedimiento:

1. Utiliza la matriz bajo las V.B.I. de la iteración respectiva [B]pxn

2. Utilizar los elementos del lado derecho del modelo original primal para generar la

matriz columna [D]nxq

3. Determinar los valores de la matriz resultante [S]pxq obtenida del producto [B] [D] =

[S]

Ejemplos de aplicación:

Modelo Primal original

Cj = utilidades por unidad de actividad j

VD.

Xj = N° de unidades a fabricar tipo j (j = A, B y C)

Max : Zo = 2 X1 + 4 X2 + 3 X3

s.a.

3X1 + 4 X2 + 2 X3 ≤ 60 - - - - -> Horas de ensamble

2X1 + X2 + 2 X3 ≤ 40 - - - - -> Horas de acabado

X1 + 3 X2 + 2 X3 ≤ 80 - - - - -> Horas de ensaque



2

X1, X2, X3 ≥ 0

Nos dan esta iteración primal

V . B . Cj X1 X2 X3 S1 S2 S3 Bi

Solución 2 4 3 0 0 0

X2

X3

S3

Zj

Cj - Zj

4

3

0

1/3 1 0 1/3 -1/3 0

5/6 0 1 -1/6 2/3 0

-5/3 0 0 -2/3 -1/3 1

23/6 4 3 5/6 2/3 0

-11/6 0 0 -5/6 -2/3 0

Aplicando la Propiedad III para encontrar los valores de la columna solución

Los valores encontrados en la matriz Solución (S) los colocamos en la columna solución y

vemos que es la iteración óptima por que el modelo es de maximización y todos los valores

en Cj – Zj son menores o iguales a cero

V . B . Cj X1 X2 X3 S1 S2 S3 Bi


X2

X3

S3

Zj

Cj - Zj

4

3

0

1/3 1 0 1/3 -1/3 0

5/6 0 1 -1/6 2/3 0

-5/3 0 0 -2/3 -1/3 1

23/6 4 3 5/6 2/3 0

-11/6 0 0 -5/6 -2/3 0

20/3

50/3

80/3

230/3

De esta forma también podemos encontrar el valor de Zo en la función objetivo



3

Max : Zo = 2 X1 + 4 X2 + 3 X3

Zo = 2 (0) + 4 (20/3) + 3 (50/3)

Zo = S/. 230/3

Rangos Mínimos y Máximos

Mínimo (Bi) Original (Bi) Máximo (Bi)

B1 40 60 100

B2 15 40 60

B3 53.33 80 + infinito

Ejemplos de aplicación de soluciones directas para este modelo primal

original:

1. Hallar directamente la solución al modelo primal si el número de horas en ensamble

varía de 60 a 75 horas (nuevo B1 = 75 horas)

Solución:

Observamos que SI estamos dentro de los rangos. Según el procedimiento

solamente variamos el valor de 60 por 75 en los elementos del lado derecho del

modelo original y resolvemos el producto de matrices

VB Cj S1 S2 S3 LD Solución

X2 4 1/3 -1/3 0

x

75

=

35/3

X3 3 -1/6 2/3 0 40 85/6

S3 0 -2/3 -1/3 1 80 50/3

Zj 505/6

La solución directa lo logramos con los datos obtenidos del producto de matrices y

del valor de Zj lo ubicamos en una nueva tabla óptima, así:

V . B . Cj X1 X2 X3 S1 S2 S3 Bi


X2

X3

S3

Zj

Cj - Zj

4

3

0

1/3 1 0 1/3 -1/3 0

5/6 0 1 -1/6 2/3 0

-5/3 0 0 -2/3 -1/3 1

23/6 4 3 5/6 2/3 0

-11/6 0 0 -5/6 -2/3 0

35/3

85/6

50/3

505/6

Interpretación de la nueva solución:



4

X1 = 0 unidades del producto tipo A

X2 = 35/3 de unidades del producto tipo B

X3 = 85/6 de unidades del producto tipo C

Zo = S/. 505/6 de nuevos soles

Respuesta: Para obtener una utilidad máxima de S/. 505/6 de nuevos soles se debe fabricar

y vender 35/3 de unidades del producto B y 85/6 de unidades del producto C

2. Hallar directamente la solución al modelo primal si el número de horas en ensamble

varía de 60 a 102 horas (nuevo B1 = 102 horas)

Solución:

Observamos que NO estamos dentro de los rangos, estamos fuera por la derecha del

rango máximo. Aun si estuviésemos fuera por la izquierda del rango mínimo,

trabajamos, según el procedimiento, en este caso solamente variamos el valor de 60

por 102 según corresponda en uno de los elementos del lado derecho del modelo

original y resolvemos el producto de matrices

VB Cj S1 S2 S3 LD Solución

X2 4 1/3 -1/3 0

x

102

=

61/3

X3 3 -1/6 2/3 0 40 29/3

S3 0 -2/3 -1/3 1 80 -4/3

Zj 335/3

La solución directa lo logramos con los datos obtenidos del producto de matrices y

del valor de Zj lo ubicamos en una nueva tabla óptima, así:

V . B . Cj X1 X2 X3 S1 S2 S3 Bi


X2

X3

S3

Zj

Cj - Zj

4

3

0

1/3 1 0 1/3 -1/3 0

5/6 0 1 -1/6 2/3 0

-5/3 0 0 -2/3 -1/3 1

23/6 4 3 5/6 2/3 0

-11/6 0 0 -5/6 -2/3 0

61/3

29/6

-4/3

335/3

Observamos que la solución es óptima pero no factible por que aparece S3 con un

valor de -4/3 de horas. Cuando tenemos esta situación, en donde aparece por lo

menos un valor negativo en la columna Bi o columna solución aplicamos el Método

Dual Simplex para devolverle la factibilidad, según el siguiente procedimiento:

EQUIPO

Comentario en el texto

2



5

1. Utilizamos esta última tabla óptima pero no factible (S3 = -4/3) y a partir de ella

determinamos en primer lugar la variable de salida (VS) aplicando la CONDICIÓN

DE FACTIBILIDAD DEL METODO DUAL SIMPLEX, que obliga a la

solución óptima hacia el espacio factible y, determina la variable de salida (VS) y

esta es aquella variable básica que tiene el valor más negativo en la columna

solución (en caso que haya más de un valor negativo, si hay empate la VS será

aquella que está más arriba). Esta condición será aplicada hasta que hallemos la

iteración óptima, es decir, cuando todos los valores en la columna solución sean

mayores o iguales a cero. Ejemplo en esta caso la VS es S3 (aquí tenemos un valor

único negativo)

2. En segundo lugar aplicamos la CONDICIÓN DE OPTIMIDAD DEL MÉTODO

DUAL SIMPLEX que nos dice que la nueva solución será igual o mejor que la

solución actual y seguirá siendo optima y determina la variable de entrada (VE) a

través del siguiente procedimiento:

a) En primer lugar determinamos cocientes válidos (Cociente Válido es aquel QUE

tiene como numerador un valor en Cj – Zj y como denominador un Aij negativo

BAJO LAS VARIABLES NO BÁSICAS); para esto, observamos en la fila de la

VS bajo las VARIABLES NO BÁSICAS DE LA ITERACIÓN ACTUAL, que

haya por lo menos un valor negativo. En caso que no haya en esta fila ningún

valor negativo el problema no tiene solución factible puesto que no habría

ningún cociente válido. En este caso vemos que bajo las variables no básicas

(X1 – S1 – S2) los Aij negativos correspondientes a estas variables no básicas

son: -5/3, -2/3 y -1/3, y los Cj-Zj correspondientes son: -11/6, -5/6 y -2/3; por lo

tanto tendremos tres cocientes válidos el primero será (-11/6)/(-5/3) = 1.1, el

segundo será (-5/6)/(-2/3) = 1.25 y el tercero será (-2/3)/(-1/3) = 2.

b) En segundo lugar determinamos la variable de entrada y esta será: Si el modelo

es de MAXIMIZACIÓN aquella variable no básica cuyo cociente válido sea el

menor (dado que todos los Cj-Zj serán negativos; por qué se está cumpliendo la

condición de optimidad y los correspondientes Aij son negativos), en caso de

que haya empate la variable de entrada será aquella que está más a la izquierda.

En este caso la variable de entrada (VE) es X1 por tener el cociente válido

menor (1.1). Si el modelo es de MINIMIZACIÓN será aquella variable no

básica cuyo cociente válido sea el menor en valor absoluto (dado que todos los

Cj-Zj serán no negativos; por qué se está cumpliendo la condición de optimidad

para un problema de minimización y los correspondientes Aij son negativos; por

lo tanto, un valor no negativo entre un valor negativo será negativo), en caso de

que haya empate en el valor negativo la variable de entrada será aquella que está

más a la izquierda.



6

3. Determinada la VS y VE, procedemos como si estuviésemos aplicando el método

simplex es decir, encontramos los nuevos valores para la VE dividiendo todos los

Aij de la fila de la VS entre el PIVOT incluyendo el Zj de la columna solución

luego encontramos los nuevos valores del resto de variables que siguen siendo

básicas con la formula siguiente: Valores inmediatos anteriores de la variable de

interés menos el elemento interseccional de la variable de interés por los

correspondientes valores de la fila de la VE. A continuación calculamos los nuevos

valores de la fila Zj y los nuevos valores de la fila Cj – Zj y observamos si todos los

valores en la columna solución son no negativos o ceros entonces hemos llegado a

la iteración óptima, en caso contrario seguimos aplicando las dos condiciones del

método dual simplex: Condición de Factibilidad y Condición de Optimidad hasta

llegar a la solución óptima y factible si el problema tiene solución.

2.1 Aplicación del método Dual Simplex

V . B . Cj X1 X2 X3 S1 S2 S3 Bi


X2

X3

S3

Zj

Cj - Zj

4

3

0

1/3 1 0 1/3 -1/3 0

5/6 0 1 -1/6 2/3 0

-5/3 0 0 -2/3 -1/3 1

23/6 4 3 5/6 2/3 0

-11/6 0 0 -5/6 -2/3 0

61/3

29/6

-4/3

335/3

X2

X3

X1

Zj

Cj - Zj

4

3

2

0 1 0 1/5 -2/5 1/5

0 0 1 -1/2 1/2 1/2

1 0 0 2/5 1/5 -3/5

2 4 3 1/10 3/10 11/10

0 0 0 -1/10 -3/10 -11/10

102/5

27/3

4/5

110.2

Nuevos valores de las Variables que siguen siendo básicas

Para X2 (Aij Interseccional = 1/3)

Elementos anteriores – Interseccional * (Aijs de X1)

1/3 – (1/3*1) = 0

1- (1/3*0) = 1

0 – (1/3*0) = 0

1/3- (1/3*2/5) = 1/5

-1/3-(1/3*1/5) = -2/5



7

0- (1/3*-3/5) = 1/5

62/3-(1/3*4/5) = 102/5

Para X3 (Aij Interseccional = 5/6)

Elementos anteriores – Interseccional * (Aijs de X1)

5/6 – (5/6*1) = 0

0- (5/6*0) = 0

1 – (5/6*0) = 1

-1/6- (5/6*2/5) = -1/2

2/3-(5/61/5) = 1/2

0- (5/6*-3/5) = 1/2

62/3-(5/6*4/5) = 27/3

Interpretación de la nueva solución:

X1 = 4/5 o 0.8 unidades del producto tipo A

X2 = 102/5 o 20.4 unidades del producto tipo B

X3 = 27/3 o 9 unidades del producto tipo C

Zo = S/. 110.2 nuevos soles

Respuesta: Para obtener una utilidad máxima de S/. 110.2 nuevos soles se debe fabricar y

vender 0.8 unidades del producto A, 20.4 unidades del producto B y 9 unidades del

producto C.

POR EL SIMPLEX REGULAR LA ITERACIÓN OPTIMA SERÍA QUE

COINCIDE CON LA SOLUCIÓN APLICANDO EL MÉTODO DUAL SIMPLEX



8



9

ASIGNACIÓN DE TRABAJO EN CUADERNO Y ARCHIVO WORD

TODO EN FRACCIONES (entrega Miércoles 28.10.15 hora 10:00 a.m.)

PROBLEMA 01 (En papel oficio a manuscrito a entregar el día del examen 12.11.14)

Con la siguiente información (definición de las variables de decisión, el modelo original

Primal):

Xj = Número de unidades a fabricar el PT tipo j (j = A, B y C)

Cj = Utilidades en S/. Por unidad de producto tipo j.

Max : Zo = 35 X1 + 15 X2 + 28 X3

s.a.

3 X1 + 2 X2 + 1 X3 ≤ 125 Horas de la Mq1 (Dpto. de Ensamble)

4 X1 + 1 X2 + 2 X3 ≤ 75 Horas de la Mq2 (Dpto. de Acabado)

2 X1 + 3 X2 + 1 X3 ≤ 70 Horas de la Mq3 (Dpto. de empaque)

X1, X2, X3 ≥ 0

a) A partir de la iteración dada, completar la información y hallar la solución o

iteración óptima. (TRABAJAR EN FRACCIONES PARA NO PERDER

INFORMACION)

Sugerencias para resolver esto: 1. Aplicar la Propiedad III. Utilizando para ésto el producto de matrices donde la

primera matriz 3x3, esta conformada por los elementos bajo las variables

básicas iniciales, la segunda matriz 3x1 conformada por los valores Bi del

modelo original primal y los valores de la matriz resultante o producto 3x1 se

coloca en la coluna solución de la iteración dada.

2. Luego se verifica si es la iteración óptima, si es la óptima allí termina, pero en

este caso podemos ver que, como el modelo es de maximización, observando la

fila de Cj-Zj no se cumple todavia la condición de optimidad por que hay

valores mayores que cero por lo tanto seguimos iterando, es decir aplicamos la

condición de optimidad para determinar la variable de entrada y la condición de

factiblidad para determinar la variable de salida, y continuamos hasta que se

cumpla la condición optimidad, es decir hasta llegar a la solución óptima.

V . B . Cj X1 X2 X3 S1 S2 S3 Bi

Solución 35 15 28 0 0 0

S1 0 0 5/4 -1/2 1 -3/4 0



10

X1

S3

Zj

Cj - Zj

35

0

1 1/4 1/2 0 1/4 0

0 5/2 0 0 -1/2 1

35 35/4 35/2 0 35/4 0

0 25/4 21/2 0 -35/4 0

Zj

Cj - Zj

Zj

Cj- Zj

b) Hacer e incluir los cálculos correspondientes para hallar los rangos para los Cj y los

Bi.

c) Hallar la solución directa si el número de horas en ensamble varía de 125 a 55 horas

Sugerencias para esto Utilizar la solución o iteración óptima donde todos los valores de dicha tabla

permanecen igual excepto los valores de la columna solución que quedaría en

blanco y será rellenada con los valores de la matriz resultante luego de aplicar la

propiedad III, donde primera matriz 3x3, esta conformada por los elementos bajo las

variables básicas iniciales de dicha iteración óptima, la segunda matriz 3x1

conformada por los valores Bi del modelo original primal donde solamente cambia

el valor de 125 a 55 y el resto o sea 75 y 70 horas quedan igual, y los valores de la

matriz resultante o producto 3x1 se coloca en la coluna solución de la iteración

óptima, incluyendo el valor de Zo em dicha columna.

Luego se verifica si la nueva solución es óptima y factible de no ser así se aplica el

procedimento correspondiente.

d) Para este modelo primal confeccionar su dual y dar la solución dual

correspondiente, definiendo com propiedad cada variable dual y finalmente defina

en general que es el precio sombra.




11

Dado la siguiente información (definición de las variables de decisión, el modelo original

Primal):

Xj = Número de unidades a fabricar el PT tipo j (j = R, S y T)

Cj = Utilidades en S/. por unidad de producto tipo j.

Max : Zo = 60 X1 + 30 X2 + 45 X3

s.a.

3 X1 + 4 X2 + 2 X3 ≤ 120 Horas de la Mq1 (Dpto. de Ensamble)

2 X1 + 1 X2 + 2 X3 ≤ 80 Horas de la Mq2 (Dpto. de Acabado)

1 X1 + 3 X2 + 2 X3 ≤ 150 Horas de la Mq3 (Dpto. de Control y empaque)

X1, X2, X3 ≥ 0

Se pide:

a) Utilizar el método simplex y en función a ello haga e incluya los cálculos

correspondientes para hallar la solución óptima al modelo primal original y enuncie su

respuesta.

b) Interprete correctamente los precios sombra en cada Departamento y el por qué tienen

cada uno de ellos dichos valores económicos.

c) Construya el modelo dual y a partir de la solución óptima primal de la solución dual.

d) Para el modelo original Primal. Usando el procedimiento e incluyendo los cálculos

correspondientes, hallar los rangos para los Cj y los Bi.

e) Toda solución directa tanto al modelo primal como al dual se hallan en la iteración

óptima ¿Por que?

f) Para este modelo primal, hallar la solución directa si C1 varia de S/. 60 a S/. 65

Analizando la nueva solución que valores varían y que valores no varían por qué.

g) Para este modelo primal, hallar la solución directa si C2 varia de S/. 30 a S/. 36


h) Para este modelo primal, hallar la solución directa si C3 varia de S/. 45 a S/. 42


i) Para este modelo primal, incluyendo los cálculos correspondientes hallar la solución

directa primal si B1 varía de 120 a 90 horas, enunciando su respuesta.

j) Para este modelo primal, incluyendo los cálculos correspondientes hallar la solución


k) Para este modelo primal, incluyendo los cálculos correspondientes hallar la solución




12

l) Para este modelo primal, incluyendo los cálculos correspondientes hallar la solución


m) Para este modelo primal, incluyendo los cálculos correspondientes hallar la solución


n) Para este modelo primal, incluyendo los cálculos correspondientes hallar la solución


o) Para este modelo primal, confecciones su modelo dual y utilizando el método simplex

resuelva el modelo dual, incluyendo los cálculos correspondientes hallar la solución

óptima, enuncie cada uno de los precios sombre y su respuesta.

p) Construya el modelo primal y a partir de la solución dual de la solución primal.

q) Para el modelo dual, usando el procedimiento e incluyendo los cálculos



Dado la siguiente información (definición de las variables de decisión, el modelo original

Primal y datos incompletos de la tabla o iteración óptima):

Xj = Número de unidades a fabricar el PT tipo j (j = A y B)

Cj = Utilidades en S/. por unidad de producto tipo j.

Max : Zo = 5 X1 + 5 X2

s.a.

12 X1 + 8 X2 ≤ 96 Horas de la Mq1 (Dpto. de Ensamble)

6 X1 + 12 X2 ≤ 72 Horas de la Mq2 (Dpto. de Acabado)

1 X1 ≥ 2 Unidades tipo B

X1, X2 ≥ 0

Se pide:

a) Utilizar el método simplex y en función a ello haga e incluya los cálculos

correspondientes para hallar la solución óptima al modelo primal original y enuncie su

respuesta.

b) Interprete correctamente los precios sombra en cada Departamento y el por qué tienen

cada uno de ellos dichos valores económicos.

c) Para el modelo original Primal. Usando el procedimiento e incluyendo los cálculos




13

d) Para este modelo primal, incluyendo los cálculos correspondientes hallar la solución

directa primal si B1 varía de 96 a 146 horas, enunciando su respuesta. Para esta nueva

solución encuentre los rangos de los Cj y de los Bi correspondientes.

e) Construya el modelo dual y a partir de la solución óptima primal de la solución dual.

f) Para este modelo primal, incluyendo los cálculos correspondientes hallar la solución

directa primal si B2 varía de 72 a 45 horas, enunciando su respuesta. Para esta nueva

solución encuentre los rangos de los Cj y los Bi correspondientes.

g) Para este modelo primal, confeccione su modelo dual y utilice el método simplex para

hallar la solución óptima y enuncie su respuesta.

h) Para el modelo dual incluyendo los cálculos correspondientes encuentre los rangos de

los Cj y los Bi correspondientes.

02 Dual Simplex

Documents

Transcript of 02 Dual Simplex