Dr. Eberardo Osorio Rojas

FISICA I

Módulo: 2 Unidad: I Semana:01

Vectores en el plano

ORIENTACIONES GENERALES DEL CURSO

CICLO ACADÉMICO 2015- 2 - MÓDULO 2

Estimados alumnos y estimadas alumnas:

¡Bienvenidos al curso de Física I ubicado en el I ciclo del Plan de

estudios de la carrera profesional de Ingeniería Industrial.

El curso de Física I contribuirá a la formación de su perfil profesional

aportando sus conocimientos en el Área de la Ingeniería Industrial ya

que está enfocada en las aplicaciones que debe hacer el alumno y

como soporte elemental para complementar cursos posteriores. Por

esta razón la importancia de su estudio responsable y autónomo para

el logro de las competencias que se buscan desarrollar en este ciclo.

•El curso de Física I tiene 8 semanas de duración durante las cuales se

desarrollarán 4 unidades didácticas:

•La unidad I se denomina vectores su finalidad es lograr que usted conozca y

aplique el desarrollo de problemas mediante vectores, aplicadas en las leyes de

Newton, el equilibrio y el centro de gravedad.

•La unidad II se denomina cinemática analiza, calcula e interpreta las distintas

ecuaciones de la cinemática,. su finalidad es lograr que usted sea capaz de

comprender y analizar el concepto de movimiento y sus efectos e interacciones

en la naturaleza. Torque de varias fuerzas. su finalidad es lograr que usted sea

capaz de analizar y aplicar las teorías del Teorema de Varignon. Equilibrio de

fuerzas no concurrentes.

•La unidad III se denomina Dinámica y la interpretación de las leyes de Newton,

y el rozamiento mediante el desarrollo de problemas, y analizar la fuerza

centrípeta.

•La unidad IV denominada Trabajo, su finalidad primordial es lograr que usted

comprenda y aplique las leyes, determinar gráficas e interpretar el concepto de

trabajo, el impulso, las colisiones, aceleración angular y movimiento armónico

simple.

•Examen parcial: se evaluará en la semana 4 (las fechas, horarios y locales

serán comunicadas por los Coordinadores a nivel nacional. Los contenidos

evaluados incluyen las unidades desarrolladas desde la semana 1 a la semana

4.

•Trabajo académico: El trabajo académico del curso lo encontrará en el aula

virtual, descargue el archivo y revíselo desde la primera semana para que el

avance sea progresivo. Lo presentará hasta la semana 7, la publicación se

realiza sólo a través del campus virtual.

•Las recomendaciones para el desarrollo del trabajo académico del curso,

•Revisar la bibliografía adecuada e indicada en las preguntas del trabajo

académico.

•En la cuarta semana debe tener un avance del 50% de su trabajo académico.

•Al final de la tutoría debe ser entregado el 100% del trabajo académico.

•Consultar al docente tutor sobre inquietudes adicionales.

Examen final

•Se evaluará en la semana 8 (las fechas, horarios y locales serán comunicadas por

los Coordinadores a nivel nacional, que evaluará los contenidos desde la semana 5

a la semana 8.

•Los esperamos en cada sesión para absolver sus dudas, escuchar sus

comentarios y aportes sobre el tema de la semana, le recomendamos que lea su

material didáctico.

•Le recomendamos que ingrese a la sala de conferencia en los horarios

establecidos y antes verifique el correcto funcionamiento de sus equipos (PC,

conexión a internet, audífonos, parlantes y micrófonos) para evitar contratiempos.

•Cualquier consulta pueden escribirnos al siguiente correo :

e_osorio_r@doc.uap.edu.pe

•Deben tener en cuenta que este correo no recibirá trabajos académicos.

•Estaremos atentos a su comunicación.

El concepto de vector está motivado por la idea de desplazamiento en el espacio

P Q

Si una partícula se mueve de P a Q determina un segmento de recta dirigido con punto inicial P y punto final Q

PQ

MAGNITUD

UNIDAD

ORIGEN

VECTOR

RECTA

DIRECCIÓN

SENTIDO

LAS MAGNITUDES VECTORIALES, PARA QUEDAR

DEFINIDAS , ADEMÁS DE LA CANTIDAD EXPRESADA EN

NÚMEROS Y EL NOMBRE DE LA UNIDAD, REQUIEREN QUE

SE SEÑALE LA DIRECCIÓN Y EL SENTIDO

LA SUMA DE DOS CANTIDADES VECTORIALES DEPENDE DE TANTO SU DIRECCIÓN

COMO DE SU MAGNITUD.

SUMAR VECTORES CONSISTE EN HALLAR UN VECTOR QUE TENGA EL MISMO

EFECTO QUE EL QUE CORRESPONDERIA A LA ACCIÓN SIMULTÁNEA DE TODOS

LOS VECTORES QUE QUEREMOS SUMAR.

PUNTO DE

PARTIDA

4M D1

3M

D2

ESTE

NORTE

PUNTO DE

LLEGADA

D1+D2

5M

A

B

C

A+B+C

MEDIANTE ESTE MÉTODO GRÁFICO PODEMOS SUMAR

CUALQUIER TIPO DE VECTOR. ESTE MÉTODO SE LE CONOCE

COMO EL MÉTODO DEL POLÍGONO

VECTOR

SUMA LÍNEAS

AUXILIARES

B

A

MEDIANTE ESTE MÉTODO DEL PARALELOGRAMO SE

PUEDE REALIZAR LA SUMA DE DOS VECTORES

CONCURRENTES.

B

A

R

AL CALCULAR LA RAÍZ CUADRADA DE LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE

LAS MAGNITUDES DE LOS VECTORES SUMADOS A Y B, SE OBTIENE LA

RESULTANTE.

R2 = A2 + B2

α=TAN –1 (A / B )

Tan(α)=A/B

α

EL TEOREMA DE PITAGORAS ESTABLECE QUE PARA UN TRIÁNGULO

RECTÁNGULO EL CUADRADO DE LA HIPOTENUSA ES IGUAL A LA SUMA

DE LOS CUADRADOS DE LOS CATETOS.

B CATETO

A

CATETO

HIPOTENUSA

LA DIRECCIÓN DE LA RESULTANTE LA OBTENDREMOS MIDIENDO EL

ÁNGULO QUE FORMA R CON LA HORIZONTAL. R= A2 + B2

N

S

E O

D1=300m

D2=200m

D3=350m

D4=150m

R

85.5°

DESPLAZAMIENTO TOTAL DE LA LANCHA ES DE :

300m EN UNA DIRECCIÓN NOROESTE QUE FORMA

UN ÁNGULO DE 85.5° MEDIDO CON RESPECTO AL

OESTE.

Magnitudes físicas

Masa, densidad,

temperatura, energía,

trabajo, etc

Velocidad, fuerza,

cantidad de movimiento,

aceleración, torque, etc.

Escalares

Vectoriales

Cuerpos que se toman como referencia para

describir el movimiento del sistema bajo estudio.

Bases para el estudio del movimiento mecánico

x(t)

y(t)

z(t)

Se le asocia

• Observador

• Sistema de Coordenadas

y

x

z

• Reloj

Relacion entre (x,y) y (r,)

y (m)

x (m)O

origenabcisa

(x,y)

r

θcosrx

θrseny θtan

x

y22

yxr

Propiedades de Vectores

• Dados A y B, si A = B entonces A = B

• Todo vector se puede desplazar paralelamente a

si mismo

A

B

C

CBA

Propiedades de Vectores

A

Opuesto -A

Nulo 0 = A + ( ) -A

Vector unitario A

A

μ

ˆAA

Propiedades de la suma de

Vectores

Ley

Conmutativa

ABBAR

Ley Asociativa

C)BA)CBAR

((

Diferencia

B-AR

)B(-AR

A

B A

-B R

Ley conmutativa

¿Como se explica esta regla?

Los vectores A y B pueden ser

desplazados paralelamente para

encontrar el vector suma

B

A

B

(Método paralelogramo)

B

A

B

AB

2

1

A

B

AB

4

1

Vectores unitarios en el plano

ij

x

y

i Vector unitario en la dirección del eje x+

j Vector unitario en la dirección del eje y+

Vectores unitarios en el espacio

x y

z

ij

k

Representación de un vector

x

y

z

θ

A

Ax

Ay

Az

222

zyxAAAAA

kAjAiAAzyx

Determínese la resultante de los

siguientes vectores

A4u 3u

B

BAR

7u

+

A

B

8u 4u =

BAR

4u

R = - 8 j + 4 j = - 4 j

15

5tan

xR

yR

15 u

5 u

yxRRR

105R

43.18

Suma gráfica de vectores

•Cuando se tienen muchos vectores, se repite el proceso hasta que se incluyen todos ellos •La resultante se dibuja desde el origen del primer vector hasta el final del último

Producto escalar de dos

vectores

θABBA cos

1ˆˆ ii

1ˆˆ jj

0ˆˆ ji

0ˆˆ kj

0ˆˆ ki

xAiA ˆ

1ˆˆ kk

yAjA ˆ

zAkA ˆ

ZZYYXX

BABABABA

Producto vectorial de dos

vectores

BAC

ABsen

sen

AXB

θABC

0ii

0ˆˆ

jj

0ˆˆ

kk

kji ˆˆˆ ikj ˆˆˆ

jik ˆˆˆ

Sean los vectores u=(ux, uy,uz) y v=(vx,vy,vz) calcular el

producto vectorial de uxv:

-

uxv= (uy.vz-vyuz) i – (uxvz-vxuz) j + (uxvy-vxuy) k

Ejemplo: El producto vectorial de los vectores y se

calcula del siguiente modo:

Expandiendo el determinante:

i(0 – (-1))= i (1) = i

-J(6 – 1) = -J (5) = - 5j

K( -2-0)= -2 k

F

Fz

Fy

Fx F

FzCos

F

FyCos

F

FxCos

Propiedades de la suma de vectores

Propiedad Conmutativa: La suma es independiente del orden de los vectores

Propiedad asociativa: Cuando sumamos tres o más vectores, la suma es independiente de la forma en que los vectores se agrupan.

Diferencia de vectores

Es un caso especial de suma de vectores •Para calcular A – B, se hace A+(-B) •Continuar con el procedimiento standard de suma de vectores

Vectores unitarios

Un vector unitario es un vector sin unidades cuyo módulo es exactamente la unidad. Se utilizan para especificar dirección y sentido. Por ejemplo, dado un vector a, podemos hallar un vector unitario en la dirección y sentido de a, sin más que escribir:

Los símbolos representan a los vectores unitarios en un sistema de coordenadas rectangular Forman un conjunto de vectores unitarios perpendiculares dos a dos

Para hallar las componentes de un vector, se proyecta éste en las tres direcciones X, Y y Z, hallando Ax, Ay y Az y escribiendo el vector:

Demostrar que el área del paralelogramo de lados A y B es:

Solución:

Aparalelogramo = B.h

Aparalelogramo= B. A senθ Senθ= h/A

h= A senθ

PROBLEMA Nº 1 ¿Cuál es la suma del siguiente grupo de

vectores

C

jiB

kjiA

32

16106

Es un vector situado en el plano XY, con una

inclinación de 45º con el eje positivo de X; está

dirigido hacia el origen y tiene una magnitud

de 25.

Solución:

kjiCBA

jiC

jiB

kjiA

C

cosCC

cosCC

kCjCiCC

z

y

x

zyx

165,105,9

5,175,17

32

16106

0

5,172/225º45

5,172/225º45

Z

y

X C

o

45º 45º

Cx

CY

Las magnitudes de las componentes en las direcciones X , Z de la fuerza F

mostrada en la Fig. es : 1000N y 300N respectivamente. Calcular el valor de la fuerza

F y sus cosenos directores

Eje+ox

Eje+oy

Eje-oz

Calcular la fuerza mostrada en la fig. en términos de sus vectores

unitarios i, j , k Solución

• Prob. Calcular la distancia perpendicular desde el punto P(4,5,-6) a la recta que pasa por

el punto Q(-3,5,7) y es paralela al vector B=(4,-1,3)

B=4i-j+3k

PQ

dSen

P

Q

d

senα= d/QP

d= QP senα

d= (QP senα B)/B

B

BxPQd

4 -1 3

7 0 -13

i –j k

QPXB=

QPXB=-13i -73j -7k

P-Q=7i+ 0j-13k

3.8376.14

66.14Sen

Modulo: IQPxBI = 74.48 Modulo B = 5.1

d = 14.66

B=4i-j+3k

PQ

dSen

P

Q

d

Haciendo uso del producto vectorial determinar el vector unitario normal a

la superficie inclinada ABC

-4.6 0 10

-4.6 8 0

i –j k

ABXAC= = 80i +46j +36.8k

Una mosquito se para en la pared de un cuarto. La esquina inferior

izquierda de la pared se selecciona como el origen de un sistema

de coordenadas cartesianas en dos dimensiones. Si el mosquito

está en el punto que tiene coordenadas (2, 1) m, (a) ¿qué tan lejos

está de la esquina del cuarto? (b) ¿Cuál es su dirección?

= 30°

Bx

PROBLEMA Nº 2 Determinar el vector, cuyo punto inicial es

y cuyo punto terminal es , y hallar la

magnitud de dicho vector.

111;; ZYXP

111

;; ZYXP 222

;; ZYXQ

Solución:

Z

X

o

y

222

;; ZYXQ

2

12

2

12

2

12

121212

111222

1221

2222

1111

:por dada está magnitud La

: tienese Luego

: tantolopor ;

:es Q deposición de vector El

:es P deposición de vector El

zzyyxxPQ

kzzjyyixxPQ

kzjyixkzjyixPQ

rrPQrPQr

kzjyixr

kzjyixr

PROBLEMA Nº 3 Si son dos vectores dados. Demostrar

que:

Solución:

a)

BA

y

BABA

a)

BAC

A

B

BABA

BAC

BAC

ABBAcosABBA

cos

ABCosBA-cos(180ABBAC

22

2222

22222

22

: tantoloPor

11 :que recúerdese

2)2

: tenemoscosenos, deley Aplicando

-180

FIN