01EA-NG -VALEATORIA2015-1UNAC (1) (1)

Material de Clases Germn Pomachagua Perez 2-sep-15

Germn Elas Pomachagua Prez

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CLASE 01: VARIABLE ALEATORIA


VARIABLE ALEATORIA

Definicion1: Una variable aleatoria X es el resultado numricoobtenido de un experimento

S R

si X(si)

Definicion2:Se llama variable aleatoria a la funcin X que asigna acada uno de los elementos si S un nmero real X(si)

X

El conjunto de los valores posibles de la variable aleatoria X, recibe elnombre de rango de X, que se denota por RX.


Tipos de Variable Aleatoria

Variable Aleatoria Discreta

Variable Aleatoria Continua


Ejemplos variable aleatoria discreta

Experimento Variable aleatoria Valores posibles V.A

Llamar a cinco clientes Cantidad de clientes 0, 1,2,3,4,5

Inspeccionar un

embarque de 40 chips

Cantidad de chips

defectuosos

0,1,2,.,40

Funcionamiento de un

restaurante durante un da

Cantidad de clientes 0,1,2,3.

Vender un automvil Sexo de cliente 0 si es hombre y 1 si es

mujer


Ejemplos variable aleatoria continua

Experimento Variable aleatoria Valores posibles V.A

Funcionamiento de un

banco

Tiempo en minuto, entre

llegadas de clientes

X0

Llenar una lata de bebida

(mx =12.1 onzas)

Cantidad de onzas 0x 12.1

Proyecto para construir un

biblioteca

Porcentaje de terminado

del proyecto

0x 100

Ensayar un nuevo

proceso qumico

Temperatura cuando se

lleva a cabo la reaccin

deseada (min 150 F; mx

212F)

150 x 212


1. VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: X es una v.a.d. si: Si el nmero de valores posibles de X es un conjunto finito o infinito

numerable, es decir se pueden anotar los valores de X como x1,x2,xn..

La distribucin de probabilidad relaciona cada valor de la v. a. con suprobabilidad de ocurrencia . Se define como

1.....i i ip x P X x p para i n


nx x

xxxxpxp

xx x xp

xx

XF

1

........................................

)()(

)(

0

)( 3221

211

1

Tal que satisface: las siguientes condiciones.

La funcin de distribucin acumuladaSe denota como

,.......n,ixFxFxp iii 21 )()( )( 1 Propiedad

Xii Rx)p(xi ;0 )

1 )

Xi Rx

i )p(xii

xx

i

i

xpxXPxF )()()(


Ejemplo1: Una empresa fabrica componentes electrnicos y se cuenta el nmero deartculos defectuosos. Si se verifican al azar dos componentes.

a) Que valores toma la variable aleatoria?

b) Cual es su distribucin de probabilidades?Solucin:S X: nmero de artculos defectuosos.El espacio muestral S = {BB, BD, DB, DD}

BB

BDDB

DD

0

S R

1

2

El recorrido de la variable aleatoria es el conjunto de todos losvalores posibles de X R = {0,1,2}


1 0

4

2( ) 1

4

1 2

4

i

x

p x x

x

Su funcin de probabilidad

4

3

4

1

2

1



2. VARIABLE ALEATORIA CONTINUA: Es una variable que puede tomar valoresinfinitos dentro de un intervalo.

La funcin f(x) es una funcin de densidad de probabilidad de la variablealeatoria X si satisface las siguientes condiciones:

ba tal que -F(a) F(b)f(x)dxbxaPc

dxxfb

Ixxfa

b

a

)()

1)()

0)()

x

dttfxXPxF )()()( La funcin de distribucin acumulada Se denota como

)()(

xfx

xF

Propiedad


VALOR ESPERADO

Si x es una v.a discreta

Si x es una v.a. continua

VARIANZA

Si x es una v.a.discreta o continua

dxxxfxE )()(

)()( iRx

i xpxxEx

222 )()()( xExExV

Donde :

)()( 22 iRx

i xpxXEx

dxxfxXE )()( 22


PROPIEDADES

E[a] = a

E[x a ] = E[x] a

E[a x] = a E[x]

E[ax b] = aE[x] b

V[a] = 0

V[x a ] = V[x]

V[a x] = a2 V[x]

V[ax b] = a2 V[x]


1) Verificar que la funcin () es un funcin de densidad de probabilidad y su funcin de distribucin de probabilidad acumulada

= 2 0 < < 10


3) La vida de cierto dispositivo electrnico,medida en unidades de 1000 horas,est dada por la fdp:

= para x > 0

El costo de producir el dispositivo es 5UM y el precio de venta es 15 UM. Elvendedor promete devolver el dinero siel dispositivo dura menos de 600 horas.a) Cual es la distribucin de la

ganancia obtenida por el fabricantecuando vende un dispositivo.

b) Cual es el valor esperado de laganancia


4. El porcentaje de utilidad en una transaccin econmica, es una variable aleatoria cuya funcin de densidad esta dada por:

= 2 0 1

0 a) Hallar la constante k y grafique la funcin de densidad f(x).b) Calcule la probabilidad de que el porcentaje de utilidad en una

transaccin sea superior al 75%.c) Cul ser la utilidad porcentual mnima que debe aceptarse, para el 20%

de las transacciones mas altas?.d) Calcular : P(X0.50).e) Determine la esperanza y la varianza del porcentaje de utilidad de dicha

transaccin econmica.f) Cul es la variabilidad relativa para estas transacciones econmicas?g) Determine y grafique la funcin de distribucin acumulada F(x)


Ejemplo4 : De un lote que contiene 10 artculos, de los cuales 4 sondefectuosos se extraen al azar y sin reposicin 3. Se define lavariable aleatoria X: Nmero de artculos defectuosos que hay en lamuestra. Hallar la funcin de probabilidad de X.

a) Hallar los valores de la V.A. y su distribucin de probabilidades

Solucin: En este caso el rango de valores de X es Rx = {0, 1, 2, 3}

Su distribucin de probabilidades ser 3,2,1,0

3

10

3

64

)(

xxx

xP

x P(x)

0 20/120

1 60/120

2 36/120

3 4/120

Total 1.00

Las combinaciones se muestran enla siguiente tabla de funcin deprobabilidad:


Ejemplo 6: Enzo gerente de logstica de Florera ON LINE recibe en su almacnramos de flores para la venta del da. Por cada ramo de flores que vende gana $40 ypierde $10 por cada ramo no vendido al final del da. Enzo ha podido determinarque la demanda diaria X de los ramos de flores tiene la siguiente distribucin deprobabilidad:

a) Determinar la ganancia esperada si recibe 400 ramos en un da? Rpta: $ 9,000

b) Determinar la ganancia esperada si recibe 300 ramos en un da? Rpta: $ 8,000

X 100 200 300 400

p(x) 0.1 0..4 0.3 0.2

Ejemplo5 Si X denota el nmero de horas que usted estudia durante un daseleccionado al azar. Suponga que la funcin de probabilidad de X tiene la formasiguiente, donde k es constante.

caso otro0

3xsi)x5(k

21xsikx

0xsi1.0

)xX(P

Cul es la probabilidad que Ud. estudie:a) por lo menos 2 horas? b) exactamente dos horas?c) a lo ms dos horas?d) P(IX-I


1. El jefe del rea de RR. HH de una empresa tiene bajo su mando a cuatro hombresy tres mujeres. Desea elegir dos trabajadores para una labor especial y decideseleccionarlos al azar para no introducir algn sesgo en su seleccin. Sea X elnmero de mujeres seleccionadas. Construir la funcin de probabilidad de X.

2. Se sabe que un grupo de 4 componentes contiene dos defectuosos. Un inspectorprueba los componentes uno por uno hasta encontrar los dos defectuosos. Unavez encontrado el segundo se concluye la prueba, sea X el nmero de pruebasnecesarias hasta encontrar el segundo defectuoso. Construya la funcin deprobabilidad de la variable aleatoria X

3. Se tiene en dos archivadores documentos contables como sigue: en elarchivador A hay 4 documentos de clientes de Lima y 6 de clientes deprovincias, en el archivador B hay 5 documentos de clientes de Lima y 7 deprovincias. De cada archivador se elige al azar un documento y se define lavariable X: nmero de documentos de clientes de provincias elegidos.Construya la distribucin de probabilidad de XPor cada documento de clientes de Lima se paga 50 soles y por cada documentode clientes de provincias se paga 80 soles. Cunto se espera pagar por los dosdocumentos elegidos?

EJERCICIOS


4. Se tiene 3 depsitos (1, 2, 3) en el depsito 1 todos los artculos son de la marcaA; en depsito 2, de 300 artculos, 200 son de la marca A y el resto de la marcaB; y en el depsito 3 hay la misma proporcin de artculos de cada una de lasdos marcas.Para inspeccin, se escoge al azar un artculo de cada depsito. Se define lavariable X como el nmero de artculos de la marca A escogidos. Construir lafuncin de probabilidad y la funcin de distribucin de X.

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