01_Cortocircuito

López Roberto – Muñoz Adrián Cálculo de Cortocircuito Página Nº 1

CORTOCIRCUITO Introducción

Una falla de la aislación en un punto cualquiera de una red produce un brusco aumento de la corriente; este efecto se denomina corriente de cortocircuito. La corriente de cortocircuito es debida a una falla de aislacion que ocurre en un momento cualquiera y en un punto genérico de la red, también puede deberse a una maniobra equivocada (que anula una aislación necesaria) o a otras causas. Consideremos un circuito cualquiera formado por fuente E, resistencia R, inductancia L, y en el cual en un instante dado t0 se establece corriente (Figura 0)

Para este sencillo pero completo circuito puede escribirse la ecuación diferencial que se observa en la figura 0, y la solución de esta ecuación diferencial nos describe el valor de la corriente en el tiempo.

Influyen en la magnitud de la corriente de cortocircuito:

el instante en que se produce el cortocircuito con respecto a la tensión influye en forma determinante en el valor máximo de la punta de la corriente de CC

las fuentes de corriente de cortocircuito, principalmente son los distintos tipos de máquinas sincrónicas (ej, generadores y motores). Los generadores asincrónicos, así como los motores asincrónicos constituyen una fuente principal en las corrientes de cortocircuito Influyen las máquinas asincrónicas y los motores sincrónicos considerablemente debido al flujo que se encuentra dentro de ellos “almacenado”, y en el momento de producirce un CC, este flujo produce que la máquina tenga un comportamiento como generador

también influye en la magnitud de CC, la potencia disponible en una red superior de alimentación Si la red que alimenta la instalación donde se produce el CC no puede entregarme a mi toda la potencia que el CC podría demandar, el CC nunca llegará a este valor

Figura 0


el estado previo de carga de una red El estado de carga de la red (de los motores y generadores específicamente hablando) me estará dando la cantidad de flujo que yo tengo “almacenado” en ellos (Cuando se hace referencia de flujo almacenado, pensemos en la inercia electromagnética de las máquinas)

La duración del cortocircuito depende sobre todo de los dispositivos de protección de los aparatos de corte empleados en la red. En caso de reenganche rápido, el tiempo sin paso de corriente y la secuencia de maniobras También existen elementos que limitan la corriente de cortocircuito, las líneas, los transformadores, los autotransformadores, las barras, los arcos. Estos elementos son los que generalemente me condicionan la potencia de CC de una red

Consecuencia de CC Depende de la naturaleza y duración de los defectos, del punto de la instalación afectado y de la magnitud de la intensidad:

Según el lugar del defecto, la presencia de un arco puede: § degradar los aislantes, § fundir los conductores, § provocar un incendio o representar un § peligro para las personas.

Según el circuito afectado, pueden presentarse: § sobreesfuerzos electrodinámicos, con deformación de los JdB (juegos de barras), arrancado

o desprendimiento de los cables

Sobrecalentamiento debido al aumento de pérdidas por efecto Joule, con riesgo de deterioro de los aislantes

Para los otros circuitos eléctricos de la red afectada o de redes próximas § bajadas de tensión durante el tiempo de la eliminación del defecto, de algunos

milisegundos a varias centenas de milisegundos § desconexión de una parte más o menos importante de la instalación, según el esquema y la

selectividad de sus protecciones § inestabilidad dinámica y/o pérdida de sincronismo de las máquinas § perturbaciones en los circuitos de mando y control

Establecimiento de la Icc Una red simplificada se reduce a una fuente de tensión alterna constante, un interruptor, una

impedancia Zcc, que representa todas las impedancias situadas aguas arriba del interruptor, y una impedancia Zs de la carga.

En realidad, la impedancia del generador está compuesta de todo lo que hay aguas arriba del

cortocircuito, incluidas las redes de las diversas tensiones (AT, BT) y el conjunto de conductores serie, con sus diferentes secciones y longitudes.

Figura 1


Cuando se produce un defecto de impedancia despreciable entre los puntos A y B, aparece una intensidad de cortocircuito, Icc, muy elevada, limitada únicamente por la impedancia Zcc.

La intensidad Icc se establece siguiendo un régimen transitorio en función de las reactancias X y de las resistencias R que son las componentes de la impedancia Zcc:

En una distribución de potencia, la reactancia X = Lω es generalmente mucho mayor que la resistencia R, y la razón R/X está entre 0,10 y 0,3. Esto nos muestra que podemos visualizar un cortocircuito como una carga fuertemente inductiva, que tiene un valor muy reducido (a veces es solamente la Zcc de la máquina generadora)

Sin embargo, el régimen transitorio de establecimiento de una corriente de cortocircuito depende normalmente de la distancia del punto de defecto a los alternadores. Esta distancia no implica necesariamente una distancia geográfica, sino que se sobreentiende que las impedancias de los alternadores son inferiores a las de las conexiones entre ellos y el punto de defecto.

Cortocircuito en Corriente Continua Si la tensión es constante (corriente continua), y se aplica en un instante cualquiera (t =

0), el problema es muy simple de resolver, como se ve en las Figura 1,2 y 3, se deben conocer además las condiciones iniciales, por ejemplo antes de la aplicación de la tensión la corriente era nula (i = 0).

La expresión muestra la corriente en función del tiempo y se pueden observar sus componentes permanente y transitoria.

La corriente permanente Figura 1 es la que se presenta cuando se ha alcanzado la condición de régimen, la transitoria en cambio acompaña la transición del valor antes de la aplicación de la tensión al valor permanente después de la aplicación Figura 2.

Acabamos de estudiar el cortocircuito en corriente continua para el caso en que la tensión no se modifique a consecuencia de la corriente de cortocircuito (la tensión se mantiene constante) Figura 3.

La corriente crece hasta alcanzar el valor E/R, en un tiempo L/R la corriente transitoria se reduce de 1 a 0.367 = 1/e (recordemos e = 2.71828182846...). El circuito estudiado es muy simple, por complejo que sea el problema es siempre posible llevarlo a ese grado de simplicidad aplicando el teorema de Thevenin.

Se mide la tensión entre los bornes que se van a cortocircuitar y esta es la fuerza electromotriz del circuito equivalente, luego se mide la impedancia entre los puntos a cortocircuitar, habiendo pasivado (cortocircuitado) todas las fuentes de la red, y esta es la impedancia serie del circuito equivalente.

Conceptualmente esto es muy simple, en rigor encontrar los valores de R y L equivalentes quizás requiera un poco mas de estudio.


Cortocircuito en corriente alterna Tratemos de analizar un cortocircuito en una red de corriente alterna aplicando el

teorema de Thevenin. Podemos llegar al mismo circuito analizado para continua, que es general y nos representa

cualquier caso Figura 0, siempre que la circulación de la corriente no sea causa de modificaciones en la tensión de la fuente (como ocurre con un generador proximo).

Supongamos que la tensión del generador de Thevenin es sinusoidal, y su amplitud se mantiene en el tiempo.

Recordemos que la solución de la ecuación diferencial lineal de primer orden se obtiene como suma de la solución de la ecuación homogénea (igualada a cero) y una integral particular (de la completa, igualada a la función de excitación e y que sera similar a esta), otra forma de resolver las ecuaciones diferenciales es mediante la transformada de Laplace (o con el método operacional de Heaviside) veanse las formulas siguientes

El procedimiento parece complejo, y quizás esto sea cierto para un problema tan simple,

pero el método permite ser sistemático y entonces es fácilmente aplicable a problemas difíciles. Observando la solución obtenida se logran distinguir la corriente permanente y transitoria como ya se ha visto antes.

La corriente permanente puede calcularse conociendo los parámetros del circuito, la transitoria en cambio depende del instante de inicio de la corriente, y del estado previo.

Cortocircuito a tensión constante (alejado del generador)

Red Monofásica

NOTA: Se han tratado de mantener las letras originales se que utilizan en el libro “Corrientes de cortocircuito en redes trifásicas” de SIEMENS (Autor Richard Romper). Esto puede provocar algunos inconvenientes, pero facilitará la lectura del libro anteriormente mencionado, que es un paso casi obligatorio en el estudio de CC.

Sin Carga Cuando se produce un CC alejado del generador (cuando nos referimos a alejano, no nos

referimos en si a un valor de gran distancia sino a un valor de Zcc considerable), el cortocircuito posee una característica que la determina la Zcc entre él y el generador. El generador en la mayoría de los casos continúa funcionando (a veces incluso no pierde el sincronismo), y los valores de Icc no se ven afectados por la característica electromagnética de la máquina. Este CC se describe a continuación.


Cuando se produce un cortocircuito, se produce un fenómeno como el que se muestra en la figura 4. Supongamos en forma simplificada que no existe ninguna inercia electromagnética (ningún flujo remanente). En caso de producirse un cortocircuito, la corriente adoptaría en forma inmediata el valor de iⷀ (desfasada 90º debido a que un CC es una carga inductiva casi completamente) hasta que algún dispositivo lo interrumpiera.

Como verdaderamente contamos con una cantidad de flujo “almaceno”, en el momento de CC, este tiende a desaparecer y me produce una Ig, equivalente a una corriente continua (aperiódica) que se va reduciendo. Este valor tiene un valor inicial de A, y se suma a la corriente Iⷀ, logrando un valor en el comienzo de Is.

A la función que me determinada la curva de Icc real la denominamos Ik’’, pero como se vera a continuación, al cabo de unos pocos periodos, Ik’’ se transforma en Ik que termina con el mismo valor de Iⷀ.

Donde:

Ik’’ corriente de cortocirtuito (es una función) Ik componente permanente de cortocircuito (función) Iⷀ corriente simétrica de cortocircuito

Ig componente aperiódica (función)

Is es el máximo valor que adopta la corriente de CC (valor) A valor de la componente aperiodica (valor)

Figura 4


Si en un punto de una red monofasica de corriente alterna hacemos un cortocircuito Figura 0, la forma de la corriente es típica según hemos visto en el punto anterior (Grafico final, Figura 4).

Trazando las envolventes que pasan por los picos superiores e inferiores, y trazando luego la curva que pasa por el medio de las envolventes obtenemos la corriente que habíamos llamado transitoria . (Grafico intermedio, Figura 4).

Para evitar confusiones, de aquí en mas a esta componente la llamaremos continua o componente unidireccional y consideraremos que la corriente de cortocircuito es suma de una componente unidireccional y una componente alterna (Primer Grafico, Figura 4) Para aclarar los antes dicho, vamos a hacer uso de las matemáticas

Por otra parte, esta demostrado que la componente aperiódica responde a una función exponencial negativa, por lo que

La suma de estas dos funciones da

ik '' = iⷀ +ig

ik'' =

è 2 U

ZkBSen Hw t +a - fkL - e- R

L t Sen Ha - fkLF

Donde

U Valor eficaz de la fuerza electromotriz Zk módulo de la impedancia de cortocircuito de la red (=

è Rk2+ Xk2 ) 㪐 pulsación (=2㰀f) t tiempo 㬐 angúlo de fase inicial de la tensión u al producirse el cortocircuito 㱠 ángulo de la impedancia de cortocircuito (arctg Xk/Rk)

De la ecuación de ik resulta que para una misma impedancia Zk, el valor de cresta

de la corriente simétrica de cortocircuito iⷀ es independiente del ángulo 㱠k de la impedancia.

iⷀ =

è 2 U

Zk Sen Hw t +a - fkL

ig = -

è 2 U

Zk e-

RL t

Sen Ha - fkL

" Rk2 +Xk2 j º 45 º A = K " 2 I ~

Figura 5

Figura 6


El mayor valor inicial de la componente aperiódica ig aparece para el ángulo de fase inicial 㬐=(㱠 - 90)

El valor de la primera punta Is de la corriente de cortocircito ik depende del ángulo de fase inicial 㬐 y el ángulo 㱠k de la impedancia. El mayor valor valor corresponde siempre al ángulo de fase inicial 㬐=0.

Para 㬐= 㱠, no aparece componente aperiódica; la corriente de cortocircuito ik coincide con la corriente simétrica de cortocircuito iⷀ.

Es de extrema importancia el ángulo en que se inicia el CC, debido a que me determina el momento de carga de la línea, me determina el valor que poseen los flujo electromagnéticos en el interior de cada máquina y en la línea misma. Por ejemplo para α =0, me esta indicando que u=0, como el CC es inductivo, iⷀ está en su valor máximo (al igual que el flujo), por lo tanto, la componente aperiódica alcanza su máimo valor.

En caso de que α=90, u se encuentra en un máximo, iⷀ con un valor cercano a 0 (la línea se encuentra sin carga) por lo que no surge componente aperiódica.

En la figura siguiente se visualiza mucho mejor lo explicado anteriormente

En la figura 7a ( ϕ ≈ 90 º), con 㬐=0, tanto el valor inicial de la componente aperiódica como la primera punta de la corriente de cortocircuito han alcanzado prácticamente su máximo valor posible; los valores y las variaciones temporales de la corriente de CC están fuertemente influidos por el lento amortiguamiento de la componente aperiódica.

En la figura 7b ( ϕ ≈ 45 º), con 㬐=0, la primera punta de la corriente de cortocircuito presenta también su valor máximo, aunque la componente aperiódica no empiece teniendo su máximo valor posible

Si el ángulo de fase inicial es 㬐=-45 (línea de puntos), el valor de A’ de la componente aperiódica presenta al producirse el CC su máximo valor posible. Sin embargo la primera punta de la corriente de CC no alcanza el valor que tenía para 㬐=0, pues la componente aperiódica ya está prácticamente amortiguada

En la figura 7c y d ( ϕ ≈ 90 º o ϕ ≈ 45 º) se observa que para un ángulo de fase inicial 㬐= 㱠, no aparece componente aperiódica.

Nota: el segundo gráfico arranca en la línea de puntos verticales. Para ese valor de u le correspondería un valor de Ik máximo à Por eso la componente aperiódica Ig es máxima, pero como Ik’’ tiene que empezar a disminuir su valor, la ig se amortigua más rápido que en el graf A.

Figura 7


En la medida que el ángulo fi es menor, el circuito es mas resistivo, hay menor diferencia de fase entre corriente y tensión la constante de tiempo es menor y la duración del transitorio es menor.

La inductancia del circuito en estudio se ha supuesto constante, la amplitud de la fuerza electromotriz y su frecuencia también Si se desea conocer la duración se la componente aperiódica, existe la posibilidad de conocerlo, debido a que se a comprobado que Tg (duración de la componente aperiódica) se puede calcular como Tg=R k/Lk = Rk/㲐 Xk Este valor nos puede ayudar a seleccionar un correcto interruptor de protección en caso de CC. La gráfica siguiente nos evita utilizar la fórmula antes mencionada

También contamos con la posibilidad de calcular el valor máximo de A si conocemos la relación Rk/Xk. A continuación se muestran formas similares de cálculo según 2 autores. Según Siemens

Según Schneider y según Pág. WEB A= K

è2 I∼

Con Carga Verdaderamente, la figura 1, muestra un cortocircuito en carga (este gráfico ilustrativo es erróneo

para la primera sección, como siempre este detalla pasa en forma inadvertida). Se considera cortocircuito, cuando la Ik’’ posee un valor similar al que se encuentra

circulando por Zs (Ik’’ = Is). Cuando se produce un cortocircuito ik debe empezar con el valor instantáneo de la

corriente de carga is (Es imposible que la corriente modifique su valor en forma instantánea). Para que se cumpla esta condición, el valor inicial de la componente aperiótica tiene que coincidir con la diferencia con signo negativo de los valores instantáneos (iⷀ -is). En el caso

El fenómeno mencionado se representa en las figuras siguientes:

Figura 8


Comparando la figura 7 con la figura 9 se observa que las corriente simétricas de CC son idénticas, mientras los valores iniciales de la componente aperiódicas disminuyen por efecto de las corrientes de carga.

Para modelizar matemáticamente, sencillamente se adiciona al valor de iⷀ y ig, el valor is

ik '' = iⷀ +ig +is

ik '' =

è 2 U

ZkBSen Hw t +a - fkL +

ik

ZkZ

Sen Ha - fL - Sen Ha - fkLy{

e- RL tF

ik '' = " 2 Ik''BSen Hw t +a - fkL +ik

IsIk''

Sen Ha - fL - Sen Ha - fkLy{

e- RL tF

Se debe prestar atención a 2 detalles de esta fórmula

Esta fórmula es similar a la fórmula 3, con la única diferencia que agrega

ZkZ

Sen Ha - fL e- RL t

El ángulo de esta formula es el ángulo de la carga, ya que es a priori de CC (No confundir con

㱠k

Red Trifásica Una enorme cantidad de instalaciones eléctricas, por no decir casi todas las de

importancia, son trifásicas, y deben será estudiadas teniendo en cuenta esa condición. Lo tratado hasta aquí es plenamente valido para el caso de fallas trifásicas. Los generadores en rigor son trifásicos simétricos, constituyen un sistema generador que

llamaremos de secuencia directa. En funcionamiento normal la red es equilibrada de manera que se presentan en todas las

fases las mismas corrientes desfasadas 120 grados eléctricos. Desde nuestro punto de vista podemos suponer el circuito equivalente como tres

generadores monofásicos vinculados, desfasados entre si 120 grados eléctricos alimentan la red trifásica. Para una red trifásica, se puede utilizar simplemente un esquema como el mostrado en la siguiente figura.

Figura 9


Por lo que la tensión antes de CC es regida por las fórmulas

UR = " 2 USen Hw tL

US = " 2 USen Hw t +240L

UT = " 2 USen Hw t +120L

Debe observarse que al producirse una falla trifásica la tensión de las distintas fases tiene distinto ángulo respecto del cero de referencia.

Cuando en un sistema trifásico se presenta una falla trifásica, el sistema no pierde la simetría, por esto la falla trifásica se llama también simétrica

Hasta que se produce el cortocircuito, en el instante t=0 las corrientes de iRk= iSk= iTk=0. El cortocircuito se establece simultáneamente en el instante t=0 en las 3 fases actuando sobre interruptores sin resistencias (Esto es mera hipótesis)

Se supone que la falla trifásica es con cierre simultaneo de los tres polos, pero en realidad cuando esto se hace con un interruptor real puede haber algún defasaje entre los polos, hasta de 1/4 de ciclo, y entonces se establecerá una falla monofásica que evolucionara a trifásica; aún así generalmente se acepta la hipótesis de simultaneidad. En la figura 12 a se reprsentan las variaciones temporales de las fuerza electromotrices y de las corriente s de CC para el caso de un CC tripular que se haya producido al pasar uR por cero, es decir, con un ángulo de fase inicial 㬐=0. Se observa que esta figura coincide con la figura 12 ya que se consideran los mismos parámetros. Los que se debe prestar atención es que en este momento, para uR atravesando por cero, uS y uT se encuentran en distintos momentos, esto implica que la corriente de CC para la fase S y T no alcanzará el valor máximo de la fase R.

Debido al defasaje, iS ≈iT ≈ 0.5iR , como se observa en la figura. Empleando un poco el sentido común (se demuestra a continuación) que, el cálculo de CC en un sistema trifásico equilibrado es similar al cálculo como si no estuviera en CC. Esto trae implicado que conociendo solamente el ángulo 㬐 y efectuando los cálculo para una sola fase, sencillamente se pueden determinar los valores de las otras dos fases En la figura 12 b se representa otro caso particular, con un ángulo 㬐 = 90

Figura 10

Figura 11


La falla trifásica simétrica se trata con un circuito equivalente monofásico que

representa una sola fase del sistema, con este equivalente se puede determinar la corriente alterna fácilmente.

Las tres componentes alternas de fase en la falla trifásica están desfasadas entre si 120 grados, por lo que sus tres valores iniciales, suman algebraicamente cero, pero al menos dos son distintos de cero y siempre hay componente continua al menos en dos fases.

Los valores iniciales de la componente continua se obtienen haciendo t = 0. Se puede observar que si psi=0, como ya visto se presentara el pico máximo para la fase

R, las otras fases tendrán valores de pico menores. Si en cambio psi=fi entonces la fase R tendrá solo componente alterna, y las otras fases

componentes continuas iguales (y opuestas).

Figura 12


Cortocircuito alimentado por un generador sincrónico (cortocircuito próximo al generador) En caso de CC, las características específicas de los generadores tienen una gran influencia sobre las variaciones temporales de las corrientes de CC. Cuando el defecto se produce muy cerca del alternador que alimenta el circuito afectado, la variación de la impedancia del alternador, que ahora pasará a ser preponderante, provoca la amortiguación de la corriente de cortocircuito. Esto se debe, a que en caso de CC próximo al generador, la única impedancia considerable y limitante de las corrientes de cortocircuito la poseen los generadores En efecto, en este caso, el régimen transitorio de establecimiento de la corriente se complica por la variación de la f.e.m. (fuerza electromotriz) resultante del cortocircuito. Como simplificación, consideramos el valor de la f.e.m. constante, pero la reactancia interna de la máquina como variable; Esto mencionado anteriormente es muy importante, que se debe tener claro que lo variable es la tensión (cae debido al aumento de intensidad que debe entregar el generador y esta produce una gran fuerza contraelectromotriz [Ley de Lenz]), pero para simplicar los cálculos se supone una FEM constante y se hace variar la impedancia interna. De acuerdo con las componentes citadas, las reactancias correspondientes se denominan

Ø Reactancia síncrona Ø Reactancia transitoria y Ø Reactancia subtransitoria.

Más adelante se avanzará sobre este tema De acuerdo a lo mencionado anteriormente, podemos dividir al fenómeno transitorio que se produce en el cortocircuito (corriente simétrica de CC) en tres componentes: el subtransitorio: corresponde a los 10 ó 20 primeros milisegundos (del defecto [0.5 y 1 ciclo] el transitorio: a continuación del anterior y que se prolonga hasta 500 milisegundos, [1 y 25 ciclos] y después, el permanente o reactancia síncrona. [25 ciclos en adelante] Nótese que esta reactancia, a cada período, va tomando un valor cada vez mayor, según el orden indicado: la reactancia subtransitoria es inferior a la transitoria y ésta inferior a la permanente. Esta intervención sucesiva de las tres reactancias provoca una disminución progresiva de la intensidad de cortocircuito, intensidad que es, por tanto, la suma de cuatro componentes (figura 13), o sea:

Contribución a la corriente total de cortocircuito I cc (e) de: a) la reactancia subtransitoria b) la reactancia transitoria c) la reactancia permanente d) la componente unidireccional Nótese que la reactancia del alternador dismunuye más deprisa que la componente unidireccional. Este fenómeno, poco frecuente, puede representar serios problemas de corte y, además, provocar la saturación de los circuitos magnéticos ya que la corriente no pasa por cero sino después de varios periodos.

Figura 13


En la práctica, el conocimiento de la evolución de la corriente de cortocircuito en función del tiempo no es siempre indispensable: § En BT, como consecuencia de la velocidad de actuación de los aparatos de corte, el conocimiento

de la corriente de cortocircuito subtransitoria, denominada Ik'', y de la amplitud máxima de cresta asimétrica, A, es suficiente para la determinación del poder de corte (PdC) de los aparatos de protección y de los esfuerzos electrodinámicos que soportará el circuito

§ Por el contrario, en distribución BT de potencia y en MT, es frecuente utilizar la corriente de

cortocircuito transitoria si la ruptura o interrupción se produce antes de que llegue a aparecer la corriente de cortocircuito permanente. En este caso, es interesante introducir la corriente de cortocircuito cortada, denominada Ib, que es la que determina el PdC de los interruptores automáticos temporizados o retardados. Ib es el valor de la corriente de cortocircuito en el instante del corte efectivo, y, por tanto, después de un tiempo t desde el establecimiento del cortocircuito, siendo t = tmín. El tiempo tmín [tiempo muerto mínimo] es la suma del retardo (temporización) mínimo de funcionamiento del relé de protección y del tiempo de apertura más corto del interruptor automático al que está asociado. Se trata del menor tiempo transcurrido entre la aparición de la corriente de cortocircuito y la primera separación de los contactos de uno de los polos del aparato de maniobra.

En otra cátedra (CENTRALES Y LINEAS DE TRANSMICIÓN), se mostrará la importancia de conocer el fenómeno transitorio del cortocircuito para la selección de interruptores de gran potencia y para la correcta selectividad de los mismos. A continuación se repetirá una gráfica anterior, pero en este casó estará acotada y se explicará detenidamente el fenómeno que ocurre en la misma.

La componente permanente (corriente estacionaria simétrica de CC , corriente permanente de CC) tiene un valor de cresta

è 2 Ik constante. Su valor eficaz es de cociente de la fuerza electromotriz (nominal) entre fase y neutro U¶N (esta U significa U estrella-neutro) y de la reactancia sincrónica Xd (DEBIDA SOBRE TODO A LA REACCIÓN DEL INDUCIDO) que corresponde al régimen permanente de cortocircuito.

Ik =U ¦N

Xd

Figura 14


A la corriente estacionaria simétrica de CC se le superpone una componente transitoria que se amortigua en forma relativamente lenta. ESTA COMPONENTE ES DEBIDA PRINCIPALMENTE A LAS REACTANCIAS DE DISPERSIÓN DE LOS DEVANADOS ESTATÓRICOS Y DE EXCITACIÓN, pues el generador en CC se comporta como un transformador cortocircuitado. La reactancia para la componente transitoria es considerablemente menor que la correspondiente a la corriente permanente de CC. El valor eficaz de la corriente transitoria simétrica de cortocircuito es el cociente de la fuerza electromotriz (nominal) entre fase y neutro U¶N y de su reactancia transitoria Xd’’.

Ik ' =U ¦N

Xd' Al fenómeno transitorio se le superpone durante algunos períodos uno subtransitorio.

EN LOS GENERADORES SÍNCRONOS CON DEVANADO AMORTIGUADOR APARECE EN LOS CIRCUITOS ROTÓRICOS UNOS FENÓMENOS DE COMPENSACIÓN ENTRE LOS CIRCUITOS DE AMORTIGUACIÓN Y LOS DE EXCITACIÓN. ESTOS FENÓMENOS PROVOCAN EN LOS CIRCUITOS ESTATÓRICOS LA COMPONENTE SUBTRANSITORIA de la corriente simétrica de CC, cuyo valor inicial es igual a la amplitud máxima de la corriente inicial simétrica de CC

è2 Ik'' Ik'' =

U ¦N

Xd''

En las máquinas síncronas con polos laminados y sin devanados amortiguadores no aparece el fenómeno subtransitorio (Ik’=Ik’’)

Las variaciones temporales de la corriente de CC desde que se produce ese hasta

que se alcanza el estado estacionario puede expresarse mediante las siguientes ecuaciones:

ik = " 2 AHIk '' - Ik 'L e-têTd'' +HIk ' - IkL e-têTd' +IkE Sin Hwt - fkL +" 2 Ik '' e-têTg Sin fk

Tg =LkRk

Nota: se ha supuesto que el ángulo inicial 㬐=0 Como la resistencia estatórica es, sobre todo en los generadores síncronos de gran potencia relativamente pequeña, despreciable a las reactancias se toma 㱠=90º, por lo que la ecuación se puede escribir. ik = " 2 U ¦NBi

k1

Xd''-

1

Xd'y{

e-têTd'' +ik

1

Xd'-

1

Xdy{

e-têTd' +1

XdF Cos Hwt - fkL +" 2

U ¦N

Xd'' e-têTg Sin fk

Donde las constantes de tiempo Td, Td’ y Td’’ es la duración de cada componente transitoria. A continuación se describirá como se pueden determinar las constantes de tiempo de acuerdo a un diagrama mostrado a continuación y a continuación, su deducción Primero hay que determinar el valor inicial de la corriente transitoria simétrica de CC .1,4142 Ik’ Para ello se llevan a lo largo de ltiempo sobre una escala semilogarítmica las diferencias entre ls envolvente de la corriente simétrica de CC iⷀ y el valor de cresta de la corriente permanente de CC 1,4142 Ik según la figura anterior (LINEA GRUESA); las línea constituida por la sucesión de puntos parte del valor inicial 1,4142(Ik’’-Ik) y, después de un tramo curvo, se convierte en una recta descendente, cuya prolongación corta al eje de ordenadas en el valor correspondiente a la diferencia 1,4142 (Ik‘-Ik) (Figura 15) La constante de tiempo Td del fenómeno transitorio de amortiguamiento se obtiene a partir de la línea característica con el valor inicial 1,4142 (Ik’-Ik). Para ello se multiplica dicho valor por el factor e-1 y se lleva el producto sobre el eje de ordenadas.


Para determinar la constante de tiempo Td’ del fenómeno subtransitorio de amortiguamiento, se han representado en la figura 15 se diferencias entre las envolventes correspondientes a los fenómenos subtransitorio y transitorio a partir del valor inicial 1,4142(Ik’’-Ik’); además de las componente s de la corriente simétrica de CC se ha representado también la componente aperiódica que se amortigua exponencialmente con las constantes de tiempo Tg a partir del valor inicial A. La determinación de las constantes de tiempo Td’’ y Tg a partir del diagrama se efectuan de forma análoga a la Td (Puntos b, c) Demostración En el punto A se cumple " 2 HIk ' - IkL e-têTd'' = " 2

HIk ' - IkLe1

Ø e-têTd'' = e-1 Øt

Td''= 1 Ø t = Td''

Por eso después de seguir todos los pasos de diagrama termino leyendo t = Td’’ Reactancias a considerar durante el CC Estos párrafos que se presentan a continuación no se deben entender, ni conocer a la perfección. Están colocados aquí solamente como mera ilustración para que el estudiante se vaya introduciendo en el tema. Más adelante, cuando ya se halla tocado el tema de componente simétrica, se recomienda volver sobre el mismo. Como ya se ha indicado, se supone constante la fuerza electromotriz del generador y se considera que el fenómeno de amortiguamiento de la corriente simétrica de CC es debido al aumento de las impedancias del generador. Para calcular los valores instantáneos se precisan las siguientes reactancias: Reactancia subtransitoria Xd’’, reactancia transitoria Xd’ y reactancia sincronía Xd. El subíndice “d” significa que las reactancias están referidas a una posición del rotor para la cual coinciden los ejes de los devanados rotórico y estatórico. Esta posición se denomina eje longitudinal (direct axis). Además de estas reactancias, el generador presenta otras según el correspondiente eje transversal (quadrature axis), que deben conocerse. Sin embargo con las reactancias longitudinales se pueden calcular los CC con bastante precisión

Figura 15


Reactancia subtransitoria Xd’’: engloba las reactancias de dispersión de los devanados estarórico y retórico del generador. Reactancia transitoria Xd’: incluye las reactancias de dispersión de los devanados estatóricos y rotóricos del generador en un momento posterior (Es superior a la subtransitoria Xd’/Xd’’ = 1,2 a 1,6) Reactancia síncrona Xd: comprende la reactancia de dispersión estatórica y la reactancia de reacción del inducido Las reactancias citadas se engloban en el concepto de reactancias directas. La reactancia inversas X2 es la reactancia que aparece en el generador cuando, girando en régimen sincrónico, se le aplica forzadamente un sistema inverso de tensiones. Este sistema presenta una velocidad relativa al doble respecto al rotor; por el contrario, la velocidad relativa del sistema directo respecto al rotor es nula. En los turbogeneradores se cumple:

X2 =Xd' +Xq''

2= X''

En las máquinas de polos salientes con devanado amortiguador, la reactancia inversa es generalmente un 20% mayor que la reactancia subtransitoria La reactancia homopolar X0 depende en los generadores únicamente de los flujos de dispersión, ya que los sistemas homopolares no generan campos giratorios. La reactancia homopolar solo influye en los cortocircuitos entre los bornes y el punto neutro de un generador o en los CC a tierra. Mas o menos el valor de esta impedancia ronda 0.16 a 0.75 de Xd’’ Al final del apunte, se adjunta material del libro Máquinas Eléctricas escrito por el Ing Marcelo A. Sobrerilla que ayudará a interpretar mejor le tema.

Fallas asimétricas El tema de fallas asimétricas en cortocircuito no será tratado como “fenómeno físico” debido a la complejidad del mismo para este trabajo catalogado como “Apunte”, pero si será tratado como cálculo. No obstante, para el estudiante interesado, señalamos que puede encontrar el tema en diversos libros que figuran en la bibliografía del apunte.

Anexos de Teoría A continuación se presentan temas ilustrativos adicionales a cortocircuito. Estos temas están tratados muy levemente y solo sirven de carácter informativo al estudiante

2.7 - EFECTOS DINÁMICOS DE LAS CORRIENTES DE CORTOCIRCUITO ASPECTO TEÓRICO (Pag WEB) Entre dos conductores por los que circula corriente se manifiestan efectos electrodinámicos de atracción o de repulsión. Si los conductores son paralelos, y su longitud es grande respecto de su separación relativa, se producen fuerzas uniformemente distribuidas que solicitan las barras conductoras a flexión, o aumentan las solicitaciones de tracción de los cables tendidos. F = 0.0204 * i^2 * l / a ;(en kg fuerza) donde: i = corriente en kA que circula por los conductores; l = longitud (cm); a = separación entre conductores. Si por los conductores circula corriente alterna simétrica: i = Raíz(2) * I * cos(w * t) f = 0.0204 * I^2 * (l/a) * (1 + cos(2 * w * t)) Cuando las corrientes que circulan en los conductores no son las mismas, y además son variables en el tiempo el problema se complica. Mayor complicación se introduce si se trata de una corriente de cortocircuito trifásica y se desea conocer la fuerza de cada fase.

En este ultimo caso cuando los conductores están instalados por ejemplo en una disposición triangular y no son coplanares las fuerzas no están contenidas en un plano. Si el cortocircuito es entre dos fases, y en condiciones de simetría de la corriente, la fuerza máxima F0 es mínima. Si en cambio el cortocircuito se establece en condiciones de máxima asimetría la fuerza máxima sin considerar ningún decremento es: F = 4 * F0 Considerando el decremento que normalmente se produce de la componente continua se tiene: F = 3.24 * F0 Si el cortocircuito es trifásico, los conductores se encuentran en disposición coplanar, y se adopta como referencia la fuerza máxima F0 que se presenta en dos conductores adyacentes por los que circula la misma corriente, y de valor igual a la corriente de cortocircuito asimétrica, se tiene considerando cierto decremento de la componente continua y en caso de máxima asimetría una fuerza máxima en el conductor central: F = 2.8 * F0 A estas fuerzas corresponden tensiones (mecánicas) en las barras y esfuerzos en los aisladores, cuya magnitud es


indispensable determinar para estar seguros de que mantienen su integridad. sigmaH = Vsigma * beta * FH * l / (8 * W) donde: Vsigma = factor de frecuencia; beta = coeficiente de solicitación del conductor principal que depende del numero y tipo de apoyos (entre 0.5 y 1); FH = fuerza sobre el conductor de fase; W = momento resistente del conductor. El factor de frecuencia depende de la relación entre la frecuencia de resonancia de la barra, y la frecuencia de la corriente alterna, este valor no puede ser mayor de 1. Para corriente continua este valor alcanza 2. Una fase puede estar formada por un grupo de "subconductores", se presenta entonces una fuerza entre los subconductores que es: FT = 0.0204 * (i/t)^2 * lT/aT donde: t = cantidad de subconductores; lT = distancia entre "separadores"; aT = separación entre subconductores. La tensión correspondiente a esta fuerza es: sigmaT = VsigmaT * FT * lT / (16 * WT) donde: WT = momento resistente del subconductor. La distancia aT se calcula en base a la configuración de las barras, mediante factores de corrección. La tensión resultante en el conductor es: sigmares = sigmaH + sigmaT Los metales con los cuales se construyen barras (cobre , aluminio) no tienen un limite elástico de fluencia definido, y se adopta como tal la tensión para la cual el alargamiento permanente es 0.2 %. Caracterizan los materiales de las barras los valores siguientes: sigma0.2 valor mínimo del limite elástico. sigmaprima0.2 valor máximo del limite elástico. Se debe verificar que la tensión máxima de las barras cumpla las siguientes relaciones: sigmares menor o igual q * sigma0.2 El factor q tiene en cuenta la distribución de tensiones al estado plástico. Además debe tenerse en cuenta que: sigmaT menor o igual sigma0.2

Cuando q es mayor de 1, y sigmaT es igual a sigma0.2 pueden aparecer deformaciones permanentes que no afectan la operación del sistema. Esta situación es beneficiosa ya que si el sistema esta en condiciones próximas a la resonancia, al entrar en el dominio plástico los efectos disipadores producen amortiguación de la resonancia. En este caso el esfuerzo que la barra puede ejercer sobre el aislador no puede ser mayor que el que corresponde a la fuerza estática. Si en cambio la solicitación es muy pequeña debe verificarse el comportamiento de las barras en función de la frecuencia. El esfuerzo sobre los aisladores esta dado por: FS = VF * alfa * FM donde: VF - factor de frecuencia; alfa - coeficiente de solicitación en el punto de apoyo, que depende del tipo de apoyo (entre 0.5 y 1.25). Para corriente continua VF = 2. Para corriente alterna en cambio si la solicitación de la barra alcanza el periodo plástico: sigmares mayor o igual 0.8 * sigmaprima0.2; VF = 1 Si en cambio la solicitación se mantiene en el periodo elástico sigmares menor 0.8 * sigmaprima0.2 VF = 0.8 sigmaprima0.2/sigmares menor 5 El conductor tiene una frecuencia de oscilación: fL = C * f0 siendo: C = coeficiente que depende de las piezas intermedias (entre 0.7 y 2.2) Se considera que los apoyos son aproximadamente rígidos. f0 = (gama / l^2) * Raíz(E * JT / mprimaT) Siendo: gama - coeficiente de frecuencia que depende de la configuración de lo apoyos; E - modulo de elasticidad (unidades según gama); JT - momento de inercia (cm4); mprimaT - peso del conductor parcial por unidad de longitud (kg/cm2) En base a la relación entre frecuencia de la corriente alterna, y la frecuencia de oscilación de la barra pueden determinarse mejores coeficientes vF, vsigma y vT

Aspecto Práctico (Según Manuel SIEMENS de baja tensión) Método de Cálculo Cuando una corriente circula por dos conductores paralelos, éstos se atraen o se repelen según si a través de ellos la corriente circula en el mismo o en sentido contrario. La fuerza que actúa ente los conductores paralelos rígidos a la flexión, en función del valor de cresta de la corriente máxima asimétrica de CC (de choke) is o ip (en este caso) con la distancia “a” entre conductores como parámetro es:

F = 0.2 i1 i2 l

a El valor de la fuerza que actúa entre conductores (más de dos) paralelos es:

F = 0.2 ik

ip2

n

y{

l

as Método Grafico En las siguientes tablas se resumen los valores exactos de los cálculos de las corrientes de CC elaborados con los criterios mencionados. En los valores consignados en las tablas mencionadas se incluyó un 10% para valorar en forma global los factores cuya evaluación, por lo general, es dificultosa, tales como las resistencias óhmicas y las reactancias inductivas, las resistencias de paso de bornes y los contactos o las influencias de los elementos ferrosos de las construcciones (corrientes de Foucault). Los conductores deben resistir al CC hasta el valor de la corriente de CC prevista. Estas tablas suministran los valores de las corrientes de CC que se prevén en el extremo de conductores de cobre de diferentes longitudes, secciones asignadas y temperaturas de servicio en redes de 230 o 400V (Sistema TN-C) así como un CC tripular con Ik=10kA Tablas Manual SIEMENS


Esfuerzos dinámicos de la corriente de CC La fuerza que ejercen entre sí los conductores principales rígidos a la flexión por los que circula corriente eléctrica toma valores considerables en caso de CC. En la siguiente figura, se representan a esta fuerza F por unidad de longitud del conductor para un CC bipolar, en función del valor de cresta de la corriente máxima asimétrica de CC (de choke) is o ip (en este caso) con la distancia “a” entre conductores como parámetro Ej: Corriente máxima asimétrica de CC: ip=80 kA Distancia entre cond: a=30cm Separación entre soportes: l=50 cm Del diagrama se obtiene un valor de 43 N/cm que se deben multiplicar por la longitud de los conductores F=43 N/cm * 50cm=2150 N 2.8 - EFECTOS TÉRMICOS DE LAS CORRIENTES DE CORTOCIRCUITO Para las corrientes de cortocircuito que duran tiempos breves, al estudiar sus efectos térmicos se puede despreciar la disipación de calor. El limite de duración de la corriente de cortocircuito esta dado por la temperatura máxima que alcanza el conductor sin sufrir daños ni causarlos (a la aislación). Al circular corriente por un conductor, se produce calor, que supuesto que no se disipe, se acumula elevando la temperatura del conductor. i^2 * rho * (l/s) * dt = c * gama * l * s * dteta donde: c - calor especifico; gama - peso especifico; rho - resistividad; teta - temperatura; t - tiempo; i densidad de corriente. i^2 * dt = (c * gama / rho) * dteta integral de 0 a t (i^2 * dt) = integral de tetad a tetaf (c * gama / rho) * dteta Conocidas las leyes de variación con la temperatura de la resistividad y del calor específico el segundo termino es función de las temperaturas inicial y final. El primer término es independiente de las temperaturas, y depende de la variación de corriente en el tiempo y de la duración del lapso considerado.

Cuando el lapso considerado es mucho mayor que el periodo de la corriente el valor que debe introducirse en el primer término es el valor eficaz, entonces resulta: integral de 0 a t (i^2 * dt) = i^2 * t Valor que es independiente de las temperaturas, y fijados los límites se tiene que para no superar la temperatura final deberá ser: i^2 * t = cte i * Raíz(t) = cte Formula que permite encontrar los tiempos que corresponden a distintos valores de corriente para alcanzar la temperatura limite. Debe tenerse en cuenta que estas fórmulas desprecian la disipación de calor del conductor, este efecto tiene cierta importancia en los cables aislados. Cuando en cambio, el lapso de calentamiento es muy breve, la determinación debe hacerse utilizando valores instantáneos de corriente. integral de 0 a t (i^2 * dt) = integral de 0 a t de 2 * (sen(wt + psi - fi) - sen(psi - fi) * exp(-t/tau))^2 * dt Esta ley permite evaluar el tiempo de calentamiento hasta la fusión de los fusibles.

López Roberto – Muñoz Adrián Cálculo de Cortocircuito Hoja Nº 19

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