PROBLEMAS PROPUESTOS 1

1. El número 123456789101112…979899100 ¿Cuántas cifras tiene? ¿Es múltiplo

de 2? ¿Y de 3? ¿Y de 5? ¿Y de 6? ¿Y de 8? ¿Y de 9?

El número 123456789101112…192021…293031… ….979899100 está formado por 9 números

de 1 cifra. A continuación se añaden 90 números de 2 cifras (del 10 al 99) y por último 1

número de 3 cifras (100).

Por tanto, cifras

La respuesta a la primera pregunta es que el número dado tiene 192 cifras (10 % puntos)

Como el número termina en cero sabemos que es múltiplo de 2 y de 5 (5 % puntos)

Ahora vamos a sumar todas sus cifras para ver si es múltiplo de 3. Para ello las colocamos

formando una tabla ordenada

1 2 3 4 5 6 7 8 9 Aparece 1 vez cada cifra del 1 al 9

10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Lo mismo que antes (1 vez cada cifra) y el 1 se repite 10 veces

20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 vez cada cifra del 1 al 9 y el 2 se repite 10 veces

30 . . . . . . . . . . . 1 vez cada cifra del 1 al 9 y el 3 se repite 10 veces

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 vez cada cifra del 1 al 9 y el 9 se repite 10 veces

100 Una vez el 1

Los ceros no los contamos porque no afectan al resultado de la suma

Con esto queda claro que cada cifra se repite 10 veces en columna y 10 veces en una fila salvo

el 1 que aparece una vez más. Por tanto, la suma de las cifras del número será

La suma no es un múltiplo de 3 por lo que podemos afirmar que el número dado no es un

múltiplo de 3 y tampoco lo será de 6 ni de 9 (20 % puntos)

Nos queda comprobar si es múltiplo de 8.

El número termina en dos ceros lo que implica que es un múltiplo de 100 (100=22 52) y por ello

será un múltiplo de 4=22. Si dividimos el número entre 100 y el cociente es un múltiplo de 2

podremos decir que el número dado es múltiplo de 8. Pero vemos que dicho cociente es un

número impar (termina en 8991) por lo que podemos afirmar que el número dado tampoco es

un múltiplo de 8. (5 % puntos)

2. Un depósito tiene una capacidad de 5400 litros. El grifo A llena la tercera parte

en una hora; el grifo B llena la quinta parte en 2 horas y el desagüe C lo vacía en

5 horas.

Si los tres funcionan al mismo tiempo, ¿cuánto tiempo, en horas, minutos y

segundos, tardan en llenarlo?

a) Si el grifo A rellena la tercera parte del depósito en una hora lo llenará en 3 horas. El grifo B

tardará en llenar ese mismo depósito 10 horas y el C lo vacía en 5 horas.

La velocidad de llenado del grifo A es de

Para el grifo B es de

La velocidad de vaciado del grifo C es

Si los tres funcionan simultáneamente la velocidad de llenado será:

El tiempo que tardarán en llenar el depósito de 5400 litros será

(30 % puntos)

3. Determina el valor de

(30 % puntos)