01 MATEMATICAS APLICADAS CIENCIAS SOCIALES - ediasa.es · Una vez definida la matriz, se procederá...

ESQUEMA

Introducción.

Objetivos didácticos.

1.1. Matrices.

1.2. Operaciones con matrices.

1.3. Transposición de matrices.

1.4. Determinantes.

1.5. Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea.

1.6. Producto de determinantes.

1.7. Suma de Determinantes.

1.8. Rango de una matriz.

1.9. Obtención del rango de una matriz.

1.10. Matriz inversa de una matriz dada.

Resumen.

Actividades.

Problemas propuestos.Solución a los problemas propuestos.

Palabras clave.

Cálculo matricial

Capítulo 1

CÁLCULO MATRICIAL 3

INTRODUCCIÓN. OBJETIVOS DIDÁCTICOS

En este capítulo se va a estudiar, y profundizar, en los conocimientos sobre las ma-trices y determinantes.

Una vez definida la matriz, se procederá a la realización de las distintas operacionesentre matrices, estudiando sus propiedades, también se presentan los conceptos de trans-posición y rango de una matriz.

Se estudia el desarrollo de los determinantes, fundamentalmente de orden dos yorden tres, por los elementos de una línea y se introduce el concepto de matriz inversa.

OBJETIVOS DIDÁCTICOS

Comprender la definición de matriz.

Relacionar la definición de matriz con la transposición de matrices.

Entender el concepto de determinante y su desarrollo por los elementos deuna línea (fila o columna)

Comprender el producto y la suma de determinantes.

Entender el concepto de rango de una matriz y su obtención.

Identificar y comprender el concepto de matriz inversa de una matriz dada.

4 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

1.1. MATRICES

Se conoce con el nombre de matriz a un conjunto de m × n elementos dispuestos en m filas y n columnas.

Por ejemplo, los 3x2 números 5, 4, 2, 0, 3, 1, dispuestos en tres filas y dos columnas,

constituyen una matriz 3x2. Para indicar que se trata de una matriz se suelen encerrarentre paréntesis.

Es muy frecuente representar los elementos de una matriz con una letra, por ejemploa, con un doble subíndice i, j, donde i indica la fila y j la columna: (aij), i = 1, 2, 3 ;j = 1, 2 que equivale a

Para designar una matriz abreviadamente se suele utilizar una sola letra mayúscula.

La matriz A es de dimensiones m × n; algunas veces, si interesa poner de manifiestodichas dimensione, se escribe Am×n.

Existen algunos tipos especiales de matrices como son la matriz fila, columna, dia-gonal e identidad.

En este curso trabajaremos con matrices 2x2 o 3x3.

Tipos especiales de matrices

a) Un único elemento se puede considerar una matriz 1x1.

A a A a= =, o

EJEMPLO 2

5 4

2 0

3 1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

A

a a a

a a a

a a a

n

n

m m mn

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞11 12 1

21 22 2

1 2 ⎠⎠

⎟⎟⎟⎟

EJEMPLO 1

a a

a a

a a

11 12

21 22

31 32

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟


b) Una matriz de dimensiones 1xn, se conoce con el nombre de vector fila (o matriz fila).

Vector fila:

c) Si una matriz es de dimensiones mx1, se denomina vector columna (o matriz co-lumna).

Vector columna:

d) Una matriz, rectangular o cuadrada, tal que todos sus elementos son iguales a cerose denomina matriz cero; se suele representar 0.

Matriz cero:

e) Si en una matriz cuadrada se cumple, para todo par de subíndices i, j, que

aij = ajiLa matriz se denomina simétrica.

Matriz simétrica:

a a a

a a a

a a a

11 12 13

12 22 23

13 23 33

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

EJEMPLO 6

A a a a A a a an m= … = …( , , , ( , , , )11 12 1 1 2) o bien

EJEMPLO 3

A

a

a

a

A

a

a

am m

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=

11

21

1

1

2

L Lo bien

⎛⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

EJEMPLO 4

0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

00

=⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ =

00

0 0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

EJEMPLO 5


NOTA. Se denomina diagonal principal, en una matriz cuadrada, a la formada por loselementos a11, a22, a33, …, ann, y diagonal secundaria a la a1n, a2(n–1), …, an1

diagonal principal diagonal secundaria

Obsérvese que en una matriz simétrica los elementos simétricos respecto a la diago-nal principal son iguales.

f) Si en una matriz, para todo par i, j de subíndices se verifica

aij = −aji

La matriz se denomina hemisimétrica.

Matriz hemisimétrica:

Obsérvese que en una matriz hemisimétrica los elementos simétricos respecto a ladiagonal principal son iguales en valor absoluto, pero de signo contrario.Además los ele-mentos de dicha diagonal principal son todos nulos, ya que

g) Una matriz simétrica se llamamatriz diagonal si todos los elementos situados fuerade la diagonal principal son ceros.

Matrices diagonales:

3

1

5

;

40 0

0 0

0 0

0⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ 0

3

0

0 0

0 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

EJEMPLO 8

••

•L

•

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

••

•

•

⎛

L

⎝⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

a a aii ii ii= − ⇒ = 0

0 a b c

a d− 0 ee

b d f

c e f

− −− − −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠0

0

⎟⎟⎟⎟⎟

EJEMPLO 7


NOTA. Obsérvese que al menos un elemento de la diagonal principal debe ser distinto decero.

h) Una matriz diagonal, tal que todos los elementos de su diagonal principal son igua-les es una matriz escalar.

Matriz escalar:

i) Una matriz escalar tal que sus elementos no nulos son iguales a la unidad, se de-nomina matriz unidad o matriz identidad.

Matrices unidad:

j) Si en una matriz cuadrada todos los elementos situados a un lado de la diagonalprincipal son ceros la matriz se denomina triangular.

Matrices triangulares:

3

4

2

0 0 0

1 0 0

5 3 0

0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

;

4

5 0

3 2

0 0

0 ;

2 3 4

5

1

1

0⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

6 7

8 90 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

EJEMPLO 11

II 42

1 0

0 1

1 0 0

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=;

0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

EJEMPLO 10

4

4

4

0 0

0 0

0 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

EJEMPLO 9


1.2. OPERACIONES CON MATRICES

Igualdad de matrices. Dos matrices A = (aij) y B = (bij) son iguales si y sólo si:

a) Son equidimensionales (tienen el mismo número de filas y de columnas).

b) aij = bij, esto es, los elementos que ocupan el mismo lugar en las dos matrices soniguales.

Implica:

Se definen, a continuación, las operaciones suma de matrices, producto de dos matri-ces y transposición de una matriz.

Suma de matrices

Dadas dos matrices equidimensionales:

Se dice que la matriz Smn es la suma de ambas, si

Sean las matrices:

A

a a

a a

a a

=⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟11 12

21 22

31 32

⎟⎟ =⎛

⎝

⎜⎜y B

b b

b b

b b

11 12

21 22

31 32

⎞⎞

⎠

⎟⎟

EJEMPLO 13

S a bmn ij ij= +( )

A a B bmn ij mn ij= =( ) ( )y

a m b n c p

d r e s f t

= = == = =

, ,

, ,

a b c

d e f

m n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=p

r s t

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

EJEMPLO 12


La suma será:

La suma de matrices, así definida, es una ley de composición interna en el conjuntode las matrices m × n y que goza de las siguientes propiedades de inmediata comproba-ción, teniendo en cuenta que los elementos que forman las matrices son pertenecientes aun cuerpo.

I. Siendo A, B y C tres matrices equidimensionales:

(A + B) + C = A + (B + C) Propiedad asociativa

II. Siendo A una matriz m × n y 0 la matriz cero de m filas y n columnas:

A + 0 = 0 + A = A Existencia del elemento neutro

III. Dadas la matriz A = (aij)la matriz −A = (−aij) formada por los mismos elementosque la A, pero cambiados de signo, se cumple:

A + (−A) = 0 Existencia de elemento opuesto

IV. Siendo A y B dos matrices equidimensionales, se verifica:

A + B = B + A Propiedad conmutativa

Por tanto, el conjunto de las matrices m × n, con la ley de composición interna suma,alcanza la estructura de grupo abeliano.

Producto de un escalar por una matriz

Sea una matriz A sobre el cuerpo K, de dimensiones m × n

Y sea λ ∈ K un escalar. El producto del escalar λ por la matriz A se define:

λ λ

λ λλ λ λ

λ

⋅ = =A A

a a a

a a a

a

n

n

m

( )

λ 11 12 1

21 22 2

1 λλ λa am mn2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

A

a a a

a a a

a a a

n

n

m m mn

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞11 12 1

21 22 2

1 2 ⎠⎠

⎟⎟⎟⎟

A

a b a b

a b a b

a

=+ ++ +

11 11 12 12

21 21 22 22

311 31 32 32+ +

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

b a b


Esto es, se obtiene multiplicando a todos y cada uno de los elementos de la matriz porel escalar.

Son de comprobación inmediata las siguientes propiedades de esta ley de composi-ción externa; siendo A y B matrices m × n, y λ, μ ∈ K, se tiene:

I. (λ + μ)A = λA + μA Propiedad distributiva respecto a los escalares.

II. λ(A + B) = λA + λB Propiedad distributiva respecto a las matrices.

III. (λμ) A = λ(μA) Asociatividad de los escalares.

Representando por 1 el elemento neutro de la ley multiplicativa de K.

IV. 1 · A = A.

El espacio vectorial de las matrices m x n

Teniendo en cuenta las propiedades de la suma de matrices y del producto de un es-calar por una matriz, se puede concluir que el conjunto de las matrices de dimensionesm × n sobre el cuerpo K, con las referidas operaciones, constituye un espacio vectorialsobre el cuerpo K.

Producto de matrices

Dadas dos matrices, tales que el número de columnas de la primera coincida con el nú-mero de filas de la segunda, el producto de las matrices:

Se define:

Que se puede resumir de la siguiente forma:

Si cij es el elemento de la fila i y de la columna j de la matriz C = A·B, cij es el productoescalar del vector de la fila i de la matriz A por el vector de la columna j de la matriz B.

A B

a b a b a b a b a b an n

⋅ =

+ + + + + +11 11 12 21 1 1 11 12 12 22 11 2 11 1 12 2 1

21 11 22 21

n n p p n npb a b a b a b

a b a b

+ + +

+ + + + + + +a b a b a b a b a b an n n n p2 1 21 12 22 22 2 2 21 1 222 2 2b a bp n np+ +

⋅⋅⋅⋅⋅a b a b a b a b am m mn n m m1 11 2 21 1 1 12+ + + + 22 22 2 1 1 2 2b a b a b a b a bmn n m p m p mn np+ + + + +

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

A A

a a a

a a a

a a a

mxn

n

n

m m mn

= =

⎛

⎝

11 12 1

21 22 2

1 2

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

= =y B B

b b b

b b bnxp

p

p

11 12 1

21 22 2

bb b bn n np1 2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟


Sean las matrices:

c11, es el producto escalar del vector de la primea fila de A por el vector de la primeracolumna de B, o sea:

Sean las matrices

Propiedades

De la propia definición del producto se puede concluir que no es conmutativo.

En el ejemplo anterior ni siquiera se puede calcular el producto B·A

Asociatividad: (AB)C = A(BC)

Distributividad:

– Por la derecha: (A + B)C = A·C + B·C

– Por la izquierda: C(A + B) = C·A + C·B

1.3. TRANSPOSICIÓN DE MATRICES

Si en una matriz A se cambian las filas por las columnas (y viceversa) se obtiene otramatriz que se llama matriz transpuesta de la dada y se suele representar AT o, simple-mente A .

EJEMPLO 14b

C A B= =+ ++ +

+ −·

· · · ·

· · · ·

· ( )·

3 6 2 1 3 8 2 7

0 6 51 0 8 5 7

4 6 1 11 4 8 1 7

20 38

5 35

23 25· ( )·+ −

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ =

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

A B=−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3 2

0 5

4 1

6 8

1 7

c11 3 6 2 1 20= ⋅ + ⋅ =

A B=−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ =

3 2

0 5

4 1

6 8

1 7

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

EJEMPLO 14a


Son evidentes las propiedades:

a) Si A es de dimensiones m ×n, las dimensiones de AT son n × m.

b)

c)

d)

La transpuesta de la transpuesta de una matriz A, es la misma matriz, o sea:

(AT)T = A

La transpuesta de una suma de matrices es la suma de las transpuestas:

(A + B)T = AT + BT

Algo menos evidente es la propiedad relativa a la transpuesta de un producto:

(A · B)T = BT · AT

Esto es, la transpuesta del producto de dos matrices es el producto de las transpues-tas, pero en orden inverso. Se comprueba dicha propiedad, observando los desarrollos deAB y de BT · AT.

Si su transpuesta será

1.4. DETERMINANTES

Definición

Dada la matriz cuadrada de orden n

A

a a a

a a a

a a a

n

n

n n nn

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞11 12 1

21 22 2

1 2 ⎠⎠

⎟⎟⎟⎟

EJEMPLO 15b

EJEMPLO 15a

A =⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

3 4

1 0

2 5

AT =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3 1 2

4 0 5

A AT=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

3 1 2

4 0 5

3 4

1 0

2 5

;


Se llama determinante de A a la suma de todos los productos de n factores que se pue-den formar entrando un elemento de cada fila y uno de cada columna, de tal forma que,ordenados los factores de cada producto según los subíndices de fila, cada término iráprecedido por el signo + o –, según que la permutación de los subíndices de columna seapar o impar (véanse permutaciones).

El determinante se representa escribiendo la matriz entre barras:

Como con los n subíndices de columna se pueden formar n! permutaciones, éste seráel número de términos del determinante; como la mitad de las permutaciones son de clase

par, habrá términos con el signo + y con el signo –.

A partir de la definición se va a obtener el desarrollo de los determinantes de segundoy tercer orden.

A) Determinantes de segundo orden

Con los subíndices de columnas (1 y 2) sólo se pueden formar dos permutaciones:

1 y 2 y 2 y 1

La primera de clase par (no tiene ninguna inversión) llevará el signo + y la segundade clase impar (tiene una inversión), el signo –.

Por tanto, como los términos que se pueden formar son 2! = 2, éstos serán:

El primero con signo + y el segundo con –.

Luego,

O sea, el desarrollo de un determinante de segundo orden es el producto de los ele-mentos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal se-cundaria.

n!

2

n!

2

a a

a aa a a a11 12

21 2211 22 12 21= + −

a a a a11 22 12 21y

A

a a a

a a a

a a a

n

n

n n nn

=

11 12 1

21 22 2

1 2

L

L

L L L L

L


Obsérvese que si hay elementos negativos en la matriz cuyo determinante se cal-cula puede haber alteraciones en los signos:

Inclusive, el número de términos de un determinante de orden n puede ser inferiora n! si existe algún elemento 0 en la matriz.

B) Determinantes de tercer orden

Con los subíndices de columna (1, 2 y 3) se pueden formar 3! = 6 permutaciones:

123 132 213 231 312 y 321

Cuyo número respectivo de inversiones es:

0 1 1 2 2 3

Luego,

Para recordar este desarrollo, es útil el esquema conocido como regla de Sarrus: vie-nen con signo + los productos de los elementos, recogidos con un punto negro

EJEMPLO 16

• • •• • •• • •

• • •• • •• • •

• • •• • •• • •

a a a

a a a

a a a

a a a a a11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 1 22 33 11 2= − 33 32 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 22a a a a a a a a a a a a a− + + − 33 1

a a a

a a a

a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

4 2

3 24 2 2 3 8 6 14

−= − − = + =· ( )·

7 5

3 27 2 5 3 14 15 1= ⋅ − ⋅ = − = −


Y con signo –

Propiedades de los determinantes

a) El valor de un determinante no varía si se cambian las filas por las columnas.

En efecto, el desarrollo se obtendrá de manera análoga, ordenando los factores decada término según los subíndices de columna y teniendo en cuenta las inversio-nes de los subíndices de fila, llegándose al mismo resultado.

2

0

4 0

0 3

5 1

2

2 5 0 0 1 4 0 2 3 3

−−

−= + − + − − − −· · ·( )· ·( )·( ) ( ))· · · · ( )·( )·5 4 0 0 0 1 2 2

60 4 56

− − − − =

= − =

EJEMPLO 19

4 3 1

2 5 1

2 4 5

4 5 5 3 1 2 2

−− −

− −= − + − − + −· ·( ) ( )·( )· ( ))·( )· · · ( )·( )·( ) ( )·( )·− − − − − − − − − =4 1 15 2 3 2 5 1 4 4

== − + + − + − = −100 6 8 10 30 16 82

EJEMPLO 18

3 5 4

8 6 9

1 2 7

3 6 7 5 91 8 2 4 4 61 5 8 7 9 2= + + − − −· · · · · · · · · · · ··3

126 45 64 24 280 54 235 358 123

=

= + + − − − = − = −

EJEMPLO 17

• • •• • •• • •

• • •• • •• • •

• • •• • •• • •


b) Si se cambian entre sí dos líneas (filas o columnas) paralelas, el determinante novaría, en valor absoluto, pero cambia de signo.

c) Si en un determinante dos líneas paralelas son iguales, el determinante es nulo.

En efecto: Sea ⎪A⎪ un determinante con dos líneas paralelas iguales. Si se inter-cambian éstas entre sí, el determinante cambiará de signo, pero, también por seriguales, dichas líneas quedará el mismo determinante; luego:

d) Si se multiplican (o se dividen) todos los elementos de una línea, de un determi-nante por un número λ, el valor del determinante queda multiplicado (dividido)por dicho número.

En efecto, como en cada término del desarrollo del determinante entr un elementode cada línea, al multiplicar a todos los elementos de una línea por λ, quedan mul-tiplicados por λ todos los términos, o sea queda el valor del determinante multi-plicado por λ.

e) Si dos líneas paralelas de un determinante son proporcionales, el determinante esnulo.

En efecto separando el factor de proporcionalidad, resultará un determinante condos líneas paralelas iguales, que es nulo.

Sea

Se observa que la primea y tercera fila son proporcionales, ya que

Luego,

ya que se trata de un determinante con dos líneas paralelas (filas primera y tercera)iguales.

f ) Si una línea se obtiene como combinación lineal de los elementos de otras líneas,el determinante es nulo.

3 4 2

5 7 0

6 8 4

3 4 2

5 7 0

2 3 2 4 2 2

2

3 4 2

5 7 0

3 4

−

−=

−

⋅ ⋅ ⋅ −=

−

−( ) 22

2 0 0= ⋅ =

3

6

4

8

2

4= =

−−

3 4 2

5 7 0

6 8 4

−

−

EJEMPLO 20

− = ⇒ =A A A 0


1.5. DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOSDE UNA LÍNEA

La aplicación de la definición para desarrollar determinantes de órdenes superiores, re-sulta muy laboriosa; por este motivo se han elaborado otros métodos para obtener estosdesarrollos.

Dada la matriz cuadrada A de orden n se llama:

1. Matriz complementaria del elemento aij y se designa por Mij a la matriz de ordenn – 1 que se obtiene al suprimir la fila i y la columna j de A.

2. Menor complementario del elemento aij y se designa por αij al determinante de lamatriz complementaria Mij, es decir αij = ⎪Mij⎪.

3. Adjunto del elemento aij y se designa por Aij al producto del menor complementa-rio αij por (–1)i+j, es decir Aij = (–1)i+jαij.

En

el menor complementario del elemento a32 es

Teorema. El valor de un determinante es igual a la suma de los elementos de una líneacualquiera, multiplicados por sus adjuntos respectivos.

Sea por ejemplo, la fila i-ésima. En cada término de ⎪A⎪ existe un elemento de dichafila y sólo uno. Todos los términos del desarrollo de ⎪A⎪ que contienen al término ai1 for-man ai1Ai1; los que contienen ai2 constituyen ai2Ai2 y así sucesivamente. Luego,

A a A a A a Ai i i i in in= + +1 1 2 2

α32

11 13 14

21 23 24

41 43 44

=a a a

a a a

a a a

A

a a a a

a a a a

a a a a

a a

=

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 422 43 44a a

EJEMPLO 21


Desarrollar el determinante

por los elementos de la segunda fila.

Los adjuntos de los elementos de la segunda fila son, respectivamente:

Luego el desarrollo será

Consecuencia del teorema anterior es:

La suma de los elementos de una línea, multiplicados por los adjuntosde una paralela a ella es cero.

Sea por ejemplo las filas i y k

La propiedad es fácil de comprobar, pues el desarrollo anterior es el de un determi-nante con dos filas iguales.

a A a A a Ai k i k in kn1 1 2 2+ + +L

EJEMPLO 22

A a A a A a A a A= + + + =

= ⋅ − ⋅ −

21 21 22 22 23 23 24 24

2 1

1 5 2

( ) 44 5 6

1 2 3

3

3 5 2

2 5 6

2 2 3

4 1

3 1 2

2 4 6

2 1 3−+ − ⋅ + ⋅ − ⋅ −

−+( ) ( ) 55

3 1 5

2 4 5

2 1 2

2 15 30 16 10 60 12 3 4

⋅ −−

=

= − ⋅ − − + + − − ⋅( ) ( 55 60 8 20 30 36

4 36 12 4 16 6 18 5

+ + − − − −− − + − + − + + ⋅ −

)

( ) ( 224 10 10 40 4 15

2 27 3 27 4 0 5 27 0

+ − + − + == − ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ =

)

A A232 3

242 41

3 1 2

2 4 6

2 1 3

1

3 1 5

2 4 5

2

= − −−

= − −+ +( ) , ( )

−−1 2

A A212 1

222 21

1 5 2

4 5 6

1 2 3

1

3 5 2

2 5 6

2 2

= − −−

= −+ +( ) , ( )

33

A =−−−

3 1 5 2

2 3 4 5

2 4 5 6

2 1 2 3


Si en el determinante

se calcula la suma de los elementos de la segunda fila por los adjuntos de la fila cuarta (porejemplo)

puesto que, la segunda y la cuarta fila son iguales.

1.6. PRODUCTO DE DETERMINANTES

Sean dos determinantes:

Se puede demostrar que el producto de dos determinantes adopta la misma forma queel producto de matrices

A B

c c c

c c c

c c c

n

n

n n nn

⋅ =

11 12 1

21 22 2

1 2

A

a a a

a a a

a a a

n

n

n n nn

=

11 12 1

21 22 2

1 2

y B

b b b

b b b

b b b

n

n

n n nn

=

11 12 1

21 22 2

1 2

a A a A a A a A

a

a a

21 41 22 42 23 43 24 44

21

12 13

+ + + =

= −a

a a a

a a a

a

a14

22 23 24

32 33 34

22

11

+aa a

a a a

a a a

a

a13 14

21 23 24

31 33 34

23

11

−a a

a a a

a a a

a

a12 14

21 22 24

31 32 34

24

1

+11 12 13

21 22 23

31 32 33

1

a a

a a a

a a a

a

=

=

11 12 13 14

21 22 23

a a a

a a a aa

a a a a

a a a

24

31 32 33 34

21 22 233 24

0

a

=

A

a a a a

a a a a

a a a a

a

=

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

441 42 43 44a a a


donde cij es el producto de la fila i de ⎪A⎪ por la columna j de ⎪B⎪, o sea,

Esta propiedad permite establecer el valor del determinante del producto de dos ma-trices A y B de dimensiones n × n:

El determinante del producto de dos matrices cuadradas del mismo orden es igual alproducto de sus determinantes.

1.7. SUMA DE DETERMINANTES

Dos determinantes del mismo orden son sumables si tienen iguales respectivamentetodas las filas menos una o todas las columnas menos una.

Sean los determinantes

Desarrollando ambos por los elementos de la línea desigual y sumando, teniendo encuenta que los adjuntos de x1, x2, …, son los mismos que los de y1, y2, …, resulta

que expresa: para sumar dos determinantes que tienen iguales todas las líneas menos una,se forma un determinante que tiene las líneas iguales de ambos y en el lugar de la líneadesigual, la suma de las líneas desiguales.

X Y x X x X x X y X y X y Xn n n n+ = + + + + + + + =

=

( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2

(( ) ( ) ( )x y X x y X x y X

a a a

n n n1 1 1 2 2 2

11 12 1

+ + + + + + =

=

nn

n n

n n nn

x y x y x y

a a a1 1 2 2

1 2

+ + +

X

a a a

x x x

a a a

Y

a an

n

n n nn

==

11 12 1

1 2

1 2

11 12

e

aa

y y y

a a a

n

n

n n nn

1

1 2

1 2

A B A B⋅ = ⋅

c a bij ik kjk

n

==∑

1


Sean los determinantes

que tienen iguales, respectivamente, la primera y tercera fila. Entonces,

Como consecuencia de este teorema, resultan las siguientes propiedades:

a) En un determinante cualquiera se puede sumar a los elementos de una línea, otrau otras paralelas multiplicadas por números cualesquiera, sin que altere el valor deldeterminante.

En efecto, equivale a sumar al determinante dado otro u otros nulos, por tenerlíneas paralelas proporcionales.

Si en el determinante

sumamos a la primera fila la segunda multiplicada por λ y la tercera por μ, resultael determinante:

pero el determinante anterior se puede obtener por suma de los tres determinantes:

luego ⎪A⎪ = ⎪B⎪ como se quería comprobar.

a a a

a a a

a a a

a a a

a11 12 13

21 22 23

31 32 33

21 22 23

21+λ λ λ

aa a

a a a

a a a

a a a

a a22 23

31 32 33

31 32 33

21 22 23

31 3

+μ μ μ

22 33

0 0

a

A A= + + =

B

a a a a a a a a a

=+ + + + +11 21 31 12 22 23 13 23 33λ μ λ μ λ μ

aa a a

a a a21 22 23

31 32 33

A

a a a

a a a

a a a

=11 12 13

21 22 23

31 32 33

4 5 3

2 3 4

3 5 1

4 5 3

7 0 2

3 5 1

4 5 3

2 7 3 0 4 2

3 5 1

− + − = + − + + −( ) == −4 5 3

9 3 2

3 5 1

4 5 3

2 3 4

3 5 1

4 5 3

7 0 2

3 5 1

−− y

EJEMPLO 23


1.8. RANGO DE UNA MATRIZ

Si en una matriz hay algún menor no nulo de orden h y son nulos todos los menoresde orden h + 1, el número h se llama rango o característica de dicha matriz.

Como consecuencia de esta definición y de las propiedades anteriores resulta:

a) Si h es el rango de una matriz y M un menor no nulo de orden h, todas las restan-tes filas y columnas de la matriz dada son combinación lineal, respectivamente,de las filas y columnas que forman el menor M.

b) En todo determinante nulo existen, por lo menos, una fila o una columna que soncombinación lineal de las restantes.

a) En la matriz

el menor

formando por elementos de la primera y segunda filas y primera y tercera columnas,es de segundo orden y no nulo.

Cualquier menor de tercer orden que se obtenga de la matriz dada es nulo, comose puede comprobar

Por tanto, la segunda columna y las filas tercera y cuarta son combinaciones li-neales de las líneas que forman el menor.

2 4 5

3 6 4

3 6 10

0

2 4 5

3 6 10

7 14 14

0

− −= − − =

2 5

3 4

2 4 5

3 6 4

3 6 10

7 14 14

− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

EJEMPLO 24


b) El determinante

es nulo, como se puede comprobar.

Por tanto, en él existen al menos una fila y una columna que son combinación li-neal de las restantes.

Obsérvese que la tercera fila es igual al doble de la segunda menos la primera y laprimera columna es suma de la tercera y cuarta.

Teorema. (Caracterización del rango mediante determinantes). El rango de una ma-triz A es igual al orden del mayor menor complementario no nulo.

Demostración. Por el razonamiento preliminar hemos probado ya que si una matriztiene rango r todos los menores de orden r + 1 o mayor son nulos, luego el mayor menorno nulo tendrá orden menor o igual que r.

Recíprocamente, sea s el orden del mayor menor no nulo, es decir existe un menorcomplementario de orden s distinto de cero y todos los menores de orden mayor que s soniguales a cero, entonces por la segunda parte del razonamiento previo sabemos que todaslas filas restantes son combinación lineal de las s que constituyen el menor no nulo, luegoel rango de la matriz es menor o igual que el orden del mayor menor no nulo. En resu-men, ambos coinciden como queríamos probar.

Es el orden del mayor determinante no nulo que se puede formar con los elementosde una matriz.

c) Dada la matriz podemos afirmar que

Su rango es como máximo 3 ya que es una matriz 3x3.

Su rango es menor que 3 ya que la 1.a y la 3.a fila son proporcionales, y por tantoel único determinante de orden 3 es nulo.

Como existe un determinante de orden dos formado a partir de las filas y las

columnas de A y que es no nulo, podemos afirmar que el rango de A es dos (rgA = 2).

1 2

4 5

EJEMPLO 24

A =⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

1 2 3

4 5 6

3 6 9

5 4 3 2

4 1 3

3 6 1 4

2 3 4 2

5

−−


1.9. OBTENCIÓN DEL RANGO DE UNA MATRIZ

Como consecuencia de aplicar el Teorema anterior, para hallar el rango de una matrizconviene por tanto seguir los sucesivos pasos siguientes:

1. Si a «simple vista» se observa que una línea cualquiera es combinación lineal deotras paralelas, se suprime; lo cual, no altera el rango, pues todos los menores enque entrara dicha línea serían nulos.

2. Se forma un menor de segundo orden no nulo; entonces, el rango será por lo menosdos.

3. Se orla el referido menor de segundo orden, sucesivamente, con las filas y colum-nas restantes.

Si todos los orlados fueran cero, al no encontrar un determinante de tercer ordenno nulo el rango sería 2 y se acaba el proceso.

Si algún orlado fuera distinto de cero, al existir un menor de tercer orden no nulo,el rango será igual o mayor que 3.

4. Se procede similarmente. El menor no nulo de tercer orden, se orla con las filas ycolumnas disponibles.

Si todos los orlados fueran cero, el rango sería 3, al no existir menores de cuartoorden no nulos, acabándose el proceso.

Si algún menor de cuarto orden fuera distinto de cero, el rango será igual o mayorque 4.

5. Se sigue el proceso hasta que se agoten las filas o las columnas.

Hallar el rango de la matriz

Se observa que la tercera fila se puede obtener como suma de las dos primeras;luego se puede suprimir sin que altere el rango de la matriz. En la matriz:

2 3 1 3 0

1 2 1 2

2 1 7 17 4

−−

− −

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟1

A =

−−

− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

2 3 1 3 0

1 2 1 2

3 0 1 1

2 1 7 17 4

1

5

EJEMPLO 25


se tiene que

luego el r(A) al menos es 2.

Orlando el referido menor de todas las formas posibles, se tiene:

Como todos los determinantes así formados son nulos, el rango no puede ser 3,luego r(A) = 2.

Hallar el rango de

El menor indica que r(A) ≥ 2.

Formando todos los menores de tercer orden que se pueden obtener orlandose tiene

El primero de ellos es cero, pero no así el segundo (ni el tercero); por existir unmenor de tercer orden distinto de cero, se puede concluir que r(A) ≥ 3.

Pero como no existen más columnas:

r(A) = 3

2 3 1

4 3 2

0 3 4

2 3 1

4 3 2

1 1 0

2 3−

−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

−⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

−, ,

11

4 3 2

0 0 1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

2 3

4 3

2 3

4 30≠

A =

−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

2 3 1

4 3 2

0 3 4

1 1 0

0 0 1

EJEMPLO 26

2 3 1

1 2 1

2 1 7

2 3 3

1 2 2

2 1 17

2 3 0−

−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ −

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟, , 11 2

2 1 4

1

−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

2 3

1 20≠


Transformaciones que conservan el rango de una matriz

1. Multiplicar todos los elementos de una fila o una columna por un número distintode cero. Por ejemplo,

2. Sumar a una fila (columna) una combinación lineal de las restantes filas (colum-nas). Por ejemplo,

(donde hemos restado a la primera columna la suma de la segunda y tercera).

(donde hemos multiplicado la primera fila por 1/2).

3. Suprimir una fila (columna) cuyos elementos sean todos iguales a cero. Por ejemplo,

4. Suprimir una fila (columna) que sea combinación lineal de otras. Por ejemplo,

(puesto que la primera fila es igual a menos la suma de la segunda y tercera)

5. Intercambiar dos filas o dos columnas. Por ejemplo,

1.10. MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ DADA

Dada una matriz A regular (cuadrada y con determinante no nulo), se llama matriz in-versa y se representa por A–1 a una matriz que verifique A · A–1 = A–1 · A = I.

Para calcularla necesitamos el concepto de adjunto visto en el apartado 1.5.

1

3 1 1

0 5 3

2 1 2

1 3 1

5

2 2

−−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ =

−−

⎛⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ =

−−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

0 3

1

5

1 3 1

2 2

−− −

−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ =

− −−

3 6 5

1 8 3

2 2 2

1 8 3

2 2 2

⎛⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 6 2 0 3

0 0 0 0 0

2 0 3 0 2

1 6 2 3

0

−⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ =

−00 0 0

2 0 3 2

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ =

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 6 2 3

2 0 3 2

2

3 1 2

6 4 2

1 1

0 1 2

0 4 2

2 1 2

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ =

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

2 4 6 2

0 1 1 2

1 3 0 0

1 2 3 1

0 1 1 2−⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ = −

11 3 0 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟


Dada la matriz cuadrada A, de dimensión m m , es decir:

cada elemento aij lleva asociado un adjunto que denotamos por Aij = (–1)i+jαij. Al sustituirlos elementos de la matriz A por sus adjuntos se obtiene la matriz adjunta de A queviene dada por:

La matriz inversa de una matriz dada A se obtiene como:

a) Hallar la matriz inversa de

En primer lugar se comprueba si ⎪A⎪ = 0.

En este caso

luego A admite matriz inversa.

A = − + − = ≠6 4 6 5 3 0

A =−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

3 5 4

1 2 2

0 1 1

EJEMPLO 27

AAdj A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

AT

n

n− = ( ) =1

11 12 1

21 22 2( )

A

A

A

A

A

Am m mn

T

1 2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

m1

m2

1m 2m

=

11 21

12 22

A

A

A

A

A

Amm

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

Adj A

A A A

A A A

A A A

m

m

m m mm

( ) =

⎛

⎝

11 12 1

21 22 2

1 2

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

A

a a a

a a a

a a a

m

m

m m mm

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞11 12 1

21 22 2

1 2 ⎠⎠

⎟⎟⎟⎟

×


Obteniendo los adjuntos de cada elemento,

y los valores de los adjuntos de cada fila divididos por ⎪A⎪ = 3 serán las columnas de A–1:

que es la matriz pedida.

Método de Gauss-Jordan para obtener la inversa de A

Este método permite obtener la inversa de A mediante transformaciones elementalesde A, es decir, operaciones entre las filas de A. Estas se llevan a cabo de la siguiente forma:

1. Escribimos la matriz A seguida de la matriz identidad.

(A⎪I)

2. Operamos las filas de A⎪I hasta conseguir transformar A en I.

3. La matriz I, se ha transformado en A–1.

( )A I| ⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (( )I A| −1

A− =

−

− −

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=1

4

3

9

3

2

31

333

23

13

33

13

4

33

2

31

31

23

13

13

−

− −

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟1

A A A

A

1 31211

21

2 2

1 14

1 2

0 11

1 2

0 11

5

= +−

= = − = − = +−

= −

= −4

1 19

3 4

0 13

3 5

0 13

5 4

2 22

2 322

31

−= − = + = = −

−=

= + =

A A

A A 233 33

3 4

1 22

3 5

1 21= − = − = + =A


b) Sea . Vamos a obtener su inversa

c) Hallar la matriz inversa de

En él las transformaciones elementales que secuencialmente se hacen son:

por el método de Gauss.

3 5 4

1 2 2

0 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 5 3 4

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎯ →⎯⎯/ / 3

1 2 2

0 1 1

1 3 0 0

0 1 0

0 0 1

1 5 3

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎯ →⎯⎯⎯/

/ 44 3

0 1 3 2 3

0 1 1

1 3 0 0

1 3 1 0

0 0 1

/

/ /

/

/

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎯⎯ →⎯⎯−

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 5 3 4 3

0 1 2

0 1 1

1 3 0 0

1 3 0

0 0 1

3

/ / /F +⎯ →⎯⎯

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

F2

1 5 3 4 3

0 1 2

0 0 3

1 3 0 0

1 3 0

1 3 1

/ / /

⎟⎟⎯ →⎯⎯ −

−

⎛

⎝

⎜F3 3

1 5 3 4 3

0 1 2

0 0 1

1 3 0 0

1 3 0

1 3 1 1 3

/

/ / /

/ /⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎯ →⎯⎯⎯−−

−

F F

F F

1 3

2 3

432

1 5 3 0

0 1 0

0 0 1

7 9 4/ / / 33 4 9

1 3 1 2 3

1 3 1 1 3

1 253

−− −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎯ →⎯−

/

/ /

/ /

F F⎯⎯⎯

−− −−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞1 0 0

0 1 0

0 0 1

4 3 3 2 3

1 3 1 2 3

1 3 1 1 3

/ /

/ /

/ / ⎠⎠

⎟⎟⎟

I A−1

A =−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

3 5 4

1 2 2

0 1 1

EJEMPLO 27

A− =−

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

12 1

3

2

1

2

( ):

A IF F

| =⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎯ →⎯⎯⎯

− −⎛

−

1 2

3 4

1 0

0 1

1 2

0 2

1 0

3 12 13 ⎝⎝⎜⎞

⎠⎟→

⎯ →⎯⎯−

−−

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎯ →⎯+ −F FF1 2 2

1 0

0 2

2 1

3 1 2: ( )⎯⎯⎯

−−

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟1 0

0 1

2 1

3 2 1 2/ /

EJEMPLO 27

A =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 2

3 4

(-2)

2 2 1F = F – 3F

F1 = F 1 + F 2

F2 = F 2

En él las transformaciones elementales que secuencialmente se hacen son:

F1 = F1 / 3

F 2

F 3=

F3=

F1=

F1=F2=

= F2 − F1

F2 = F2x 3


Propiedades:

a) A · A–1 = A–1 · A = I.

donde I es la matriz unidad del mismo orden de A.

Baste efectuar el producto para comprobar la propiedad.

Calcular la matriz

Primero se calcula det (A) = 42 ≠ 0, por lo que tendrá inversa y la inversa será:

Ahora se realiza la operación pedida A · A–1

A · A–1 siendo la matriz A =

b) La matriz inversa del producto de dos matrices cuadradas regulares y equidimen-sionales es igual al producto de las inversas, pero en orden contrario:

En efecto, premultiplicando (o postmultiplicando) por AB

donde I es la matriz unidad.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B A B A B B A A B B A⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅− − − − −1 1 1 1 1 == ⋅ ⋅ = ⋅ =− −A I A A A I1 1

A− =

−

− −

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

1

4

33

2

31

31

2

31

31

13

⎟⎟⎟

EJEMPLO 28 −

−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

3 2 1

4 1 0

1 2 3

A = =

−

−−1

A · A–1 =

342

842

142

1242

1042

442

9

42

4

42

11

42

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

−

−

114

421

142

27

521

221

3

14

2

21

11

42

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

−

−

114

421

142

27

521

221

3

14

2

21

11

42

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=·

⎛

⎝

⎜1 0 0

0 1 0

0 0 1⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎛

⎝

⎜ 3 –2 1

4 1 0

–1 2 3⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

( )A B B A⋅ = ⋅− − −1 1 1


c) La inversa de la transpuesta es igual a la transpuesta de la inversa

como es inmediato comprobar.

Sea la matriz A (del ejemplo 28)

Su inversa, calculada anteriormente, es

y su transpuesta

admite por inversa

que coincide con la transpuesta de A–1.

( )AT − =

−

−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

1

1

14

2

7

3

14421

521

221

142

221

1142

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

AT =−

−⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

3 1

2 1 2

0 3

4

1

A− =

−

−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

1

114

421

142

2

7

5

21

2

213

142

211142⎠⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

A =−

−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

3 2 1

4 1 0

1 2 3

EJEMPLO 29

( ) ( )A AT T− −=1 1


d) Como A · A–1 = I, se tiene

o sea

A A AA

⋅ = =− −1 111

,

A A A A I⋅ = ⋅ =− −1 1


RESUMEN

Matriz

Es un conjunto de m × n elementos (generalmente pertenecientes a un cuerpo K) dis-puestos en m filas y n columnas.

aij es el elemento de la fila i y de la columna j.

La matriz es de dimensiones m × n.

Si m ≠ n, la matriz es rectangular. Si m = n es una matriz cuadrada de orden n.

Si en una matr

Matriz diagonal Matriz escalar Matriz unidad

iz cuadrada aij = aji la matriz es simétrica.

Suma

Si A = (aij)m ×n y B = (bij)m n

A + B = (aij + bij)m

×

×

× ×

n

Producto por un escalar

Si A = (aij)m n y λ ∈ K, λA = (λaij)m n

a111

22

0 0

0 0

0 0

0 0

a

a

a

nn

·

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

00 0

0 0

1 0 0

0 1 0a

a

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟ 00 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

= I

A

a a a

a a an

n=

11 12 1

21 22 2

a a a

A a

m m mn

ij m × n

1 2

= ( )

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

34 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES CÁLCULO MATRICIAL 35

Producto de dos matrices

La transpuesta

De A = (aij)m n es AT = (aji)n m obtenida cambiando las filas por las columnas.

Se cumplen

(AT)T = A (A + B)T = AT + BT (AB)T = BTAT

Si AAt = I se dice que A es ortogonal .

Determinante de segundo orden

Determinante de tercer orden

a a a

a a a

a a a

k n

i ik in

m mk mn

11 1 1

1

1

⋅

b b b

b b b

j p

k kj

11 1 1

1

pkk

n nj np

j

b b b

c c

1

11 1

=

c

c c c

c c c

p

i ij ip

m mj mp

1

1

1

c = a b a b a bij i1 i2 2j1j ik kj in nj

A a B b C A Bij m ×× ×

××

n ij n p= = = ⋅( ) ( ) ddo C cij m p= ( )

a a

a aa a a a11 12

21 2211 22 12 22= −

+• •• •• •• •

con

nocc −

a a a

a a a

a a a

a a a a a11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 22 33 11 2= − 33 32 12 23 31 12 21 33 13 21 32 13 22a a a a a a a a a a a a a+ − + − 331

58 MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

+ + ++ + +

Cap02.qxp 2/8/10 11:00 Página 58

a b


Propiedades

Si se cambian en un determinante entre sí dos líneas paralelas (dos filas o dos colum-nas), el determinante cambia de signo pero no de valor absoluto.

Si se multiplican por un número todos los elementos de una línea, el determinantequeda multiplicado por dicho número.

Si los elementos de dos líneas paralelas son iguales o proporcionales, el determinantees cero.

El valor de un determinante no se altera si a una línea se le suman otra u otras paralelasmultiplicadas por números cualesquiera.

⎪AT⎪ = A donde AT es la matriz transpuesta de A.

En general ⎪A⎪ · ⎪B⎪ = ⎪AB⎪ pero ⎪A + B⎪ ≠ ⎪A⎪ + ⎪B⎪.

Menor complementario de un elemento aij de la matriz cuadrada A, es el determinanteque resulta de suprimir en A la fila i y la columna j, se representa por αij.

Adjunto de aij es el menor complementario de aij con el signo + o – según que i + j seapar o impar; se representa por Aij. Por tanto Aij = (–1)i+jαij.

Desarrollo de un determinante

El valor de un determinante es igual a la suma de los elementos de una línea multi-plicados por sus adjuntos respectivos.

Matriz adjunta de una matriz

Dada la matriz

A

a a a

a a a

a a a

n

n

n n nn

=

⎛

⎝

⎜11 12 1

21 22 2

1 2

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

Con −• • •• • •• • •

• • •• • •• • •

• • •• • •• • •

Con +• • •• • •• • •

• • •• • •• • •

• • •• • •• • •


la matriz adjunta es

donde el adjunto del elemento aij se escribe en la fila j y columna i.

➤ Matriz inversa de una matriz cuadrada

Dada la matriz A con ⎪A⎪ ≠ 0, la matriz inversa es

➤ Rango o característica de una matriz

Es el orden del mayor determinante no nulo que se puede extraer de la matriz.

Representa el mayor número de vectores columna (fila) linealmente independientescontenidos en la matriz.

AA

Adj A T− =1 1( )

Adj A

A A A

A A A

A A A

n

n

n n n

=

11 12 1

21 22 2

1 2

L

L

LLLLLLLL

L nn

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟


ACTIVIDADES

PROBLEMAS PROPUESTOS

Dadas las matrices

efectuar las operaciones siguientes, que sean posibles:

a) A + B

b) A + C

c) A · B

d) C · B

Desarrollar los determinantes

a)

b)

c)

Hallar la inversa de la siguiente matriz usando el método de la adjunta y el de Gauss.

A = −⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

1 0 3

2 1 2

2 2 1

3

3 7 1 2

4 3 5 1

0 2 4 3

2 3 1 0

−−

− −

3 1 2

4 3 1

2 1 5

−−

3 17

5 21

2

A B= −−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ =

−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

3 1 2

4 3 1

2 1 5

2 3 5

1 4 3

1 1 0

; ;; C =−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3 7 1

1 2 4

1


Dadas las matrices

hallar sus matrices adjuntas.

Hallar, si es posible, las matrices inversas de las del ejercicio anterior usando las ad-juntas.

Idem usando el método Gauss-Jordan.

Dadas las matrices A y B, hallar una matriz X, tal que AX = B. ¿Cuál es la condiciónpara que el problema sea posible?

Calcular

Sugerencia: descompóngase en suma de dos determinantes, tales que el primerotenga su primera columna de unos.

Hallar el rango de la matriz

Sabiendo que 144, 120 y 108 son múltiplos de 12, probar que el determinante

es , sin desarrollo.

Sugerencia: multiplicar por 100 a la primera columna, por 10 a la segunda y sumara la tercera.

⋅12

6

1 4 4

1 2 0

1 0 8

10

A =−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

12 4 4 8 12

8 7 6 17 5

7 5 1 22 1

11 3 5 0 13

9

Δn

n

x

x

x

x

=

++

+

+

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1

2

3

8

7

5

A B=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

2 5

4 9

3 5 2

4 8 1

3 1 0

y

4


11 Dadas las matrices 5

A = 7 , B = (2, 4, 6) y C = (3, 0, 3) 9

Efectuar las operaciones siguientes si es posible, y en caso que no lo sea explicar ¿por qué?

i) A · B + C

ii) B · A

iii) C · B

iv) A · Ct

12 Dada la matriz 1 3 5

A = a 2 4 b c 3

Establecer los valores de a, b y c de forma que A sea simétrica.


A = a b 4 c d e

Establecer los valores de a, b, c, d y e de forma que A sea hemisimétrica

14 Dada las matrices

1 2 3A = a 1 2 3 0 1

y 1 3 5B = 0 7 9 b c 5

Establecer los valores de a, b y c de forma que la matriz C = A + B sea triangular superior.


A = 0 1 2 3 0 1

Hallar la matriz B, de forma que A + B = I.



1 1 1A = 0 1 0 0 0 1

y 1 2 3B = 0 2 0 0 0 2

Probar que A · B ≠ B · A


1 1 1A = 0 1 0 0 0 1

y 2 2 2B = 0 2 0 0 0 2

Probar que A · B = B · A ¿Por qué se cumple en este caso?


A = 0 2 2 0 0 2

i) Halla el determinante de A

ii) Halla la transpuesta de A

iii) Halla la adjunta de A

iv) Halla la inversa de A

19 Hallar el rango de la matriz 1 2 3 3

A = 5 4 3 9 1 3 5 4 0 1 2 1

20 Deducir que el rango de la matriz 1 2 7 3

A = 1 1 5 2 0 1 2 1 2 4 14 6

Es 2 sin desarrollar los determinantes.


SOLUCIÓN A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS

1. a)

b) No es posible.

c) A · B =

d)

2. a) –22

b) 0

c) 564

3.

4.

5.

6. Las mismas del ejercicio anterior.

7. Es posible si ⎪A⎪ ≠ 0 ; X = A–1B.

BA −− =−

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=

−

1192

52

2 1

1

28

1

14

1

;

1

283

283

145

2857

37

17

− −

− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

Adj A Adj B=−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=−

−−

−

⎛

⎝

9 5

4 2

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

9 4

5 2=

1 2 11

3 6 5

20 12 4

; ⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ =

−−

−⎛

⎝

1 3 20

2 6 12

11 5 4

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

A− =−

−−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

1

T

113

5 6 3

2 5 4

6 2 –1

14 36 36

4 1 1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

5 4 7

5 7 2

3 2 5−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

9 11 18

10 25 29

8 –3 7

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟


8.

9. El rango es 3.

; múltiplo de 12.

10. En efecto

Δ =1 4 144

1 2 120

1 0 108

12

1 4 12

1 2 10

1

= ⋅0 9

12= ⋅

Δn

n

x

x

x

x

=+

+

+

+

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1

2

3

1 11

0 1 1 1

0 1 1 1

0 1 1 1

2

3

++

+

x

x

xn

La solución consistiría en todas las sumas de todos los productos que se pueden formar con n – 1 términos que no son 1, más el sumando con el producto de los n términos x

1 x

2 x

3 x

n… x

n.

11. i) No es posible. A es de dimensión 3 x 1, B es de dimensión 1 x 3, lo cual nos daría una matriz de 3 x 3, pero como C es de dimensión 1 x 3, no puede sumarse a la anterior.

ii) El resultado es 92

iii) No es posible. C es de dimensión 1 x 3 y B igual, luego no pueden multiplicarse.

iv) No es posible. A es de dimensión 3 x 1 y Ct es de dimensión 3 x 1, luego no pueden multiplicarse.

12. Para que la matriz sea simétrica todos los aij = aji , luego a= 3, b = 5 y c= 4, siendo por tanto

1 3 5A = 3 2 4 5 4 3

13. Para que la matriz sea hemisimétrica todos los aij = – aji , y los elementos de la diagonal son 0, luego a = – 2, b = 0 , c = –3, d = – 4, y e= 0, siendo por tanto

0 2 3A = –2 0 4 –3 –4 0


14. Para que la matriz C sea triangular superior, todos los elementos por debajo de la diagonal han de ser 0. Luego tenemos que:

a + 0 = 0 ⇒ a = 0 3 + b = 0 ⇒ b = –3 0 + c = 0 ⇒ c = 0

Y por tanto C = A + B = 1 2 3 0 1 2 3 0 1

+ 1 3 5 0 7 9 –3 0 5

= 2 5 8 0 8 11 0 0 6

15. B = A – I= 1 2 3 0 1 2 3 0 1

– 1 0 0 0 1 0 0 0 1

= 0 –2 –3 0 0 –2 –3 0 0

16. C = A · B = 1 4 5 0 2 0 0 0 2

≠ 1 3 4 0 2 0 0 0 2

= B · A

En general no se da la propiedad conmutativa para el producto de matrices.

17. A · B = 2 4 4 0 2 0 0 0 2

= 2 4 4 0 2 0 0 0 2

= B · A

En este caso la igualdad se da, porque B = 2A, y entonces tenemos:

A · B = A · 2A = 2 · A · A = B · A

18. i) det(A) = 4

ii) At = 1 0 0 3 2 0 4 0 2

iii) Adj A = 4 –6 –8 0 2 0 0 0 2

iv) A –1 = 1 –1.5 –2 0 0.5 0 0 0 0.5


19. Podemos ver que la fi la cuarta es la resultante de restar la primera fi la a la tercera, por tanto la eliminamos.

Ahora comprobamos que la cuarta columna es la suma de la primera y la segunda columnas, luego la eliminamos.

Con la matriz A = 1 2 3 5 4 3 1 3 5

resultante comprobamos que el determinante de

orden 3, tiene valor 0, y cualquiera de los de orden 2 tienen valor distinto de 0, luego el rango de la matriz A es 2.

20. La tercera fi la es la resultante de restar la segunda a la primera, luego podemos eliminarla.

La cuarta fi la es dos veces la primera, luego podemos eliminarla. Por tanto nos quedan solo dos fi las, el rango es 2.

También podemos ver que la cuarta columna es la suma de las dos primeras.


PALABRAS CLAVE

Adjunto.Característica.Desarrollo de un determinante por los ele-

mentos de una línea.Determinantes.Determinantes de segundo orden.Determinantes de tercer orden.Diagonal principal de una matriz.Diagonal secundaria de una matriz.Dimensiones (de una matriz).El espacio vectorial de la matriz m x n.Escalar (matriz).Espacio vectorial de las matrices m x n.Matrices ortogonales.Matriz.Matriz cero.Matriz cuadrada.Matriz diagonal.Matriz escalar.

Matriz hemisimétrica.Matriz inversa.Matriz rectangular.Matriz simétrica.Matriz transpuesta.Matriz triangular.Matriz unidad.Menor complementario.Orden de un determinante.Producto de determinantes.Producto de dos matrices.Producto de un escalar por una matriz.Propiedades de los determinantes.Rango o característica de una matriz.Suma de determinantes.Suma de matrices.Transposición de matrices.Vector columna.Vector fila.

01 MATEMATICAS APLICADAS CIENCIAS SOCIALES - ediasa.es · Una vez definida la matriz, se procederá...

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