000 1 Geodesia Zakatov

7/23/2019 000 1 Geodesia Zakatov

1/14

II.

C.

3A}TATOB

}IYPC

BbICMF,iT

fEoAESVTVT

P.

S.

ZAKATOV

CURSO

DE

GtrODESIA

SUPERIOR

..,:

:{,

i .

-

ll

|'|i

((ll

'tir

)

Iti

ll

tlrl

l*,

lrlitt'

l,,r

ln,r

l*o

l,o

lo

l*r

l,s

l,

lc

lo

Ii

ll:

i

i:

I43AATEJITCTBO

HE,[PA

EDITORIAL

MIR


2/14

r

,

esfricas

del

punto

1l1:

AMt:

P,

, F**,

coordena.da

","orruYuJ;;

determinan

exacramenre

ra

orrorn

del

nunto

M

sobre

r"

."Jrri"i"-;i-;;;;d.,

,; son

cdno_

lda

las

coorenarrar

g.oJ.i"i.

rivT't."

otras

que

sean

equivalentes)

dol

ortsen

A

de

las

;J;;i;l;

r".irr"-,

"-.rrr""rlr

as

(p,

q)

tlcne

mucho

en

comn

"oo

.iri*u

ctangurar

de

coordenadas

en

l

plano.

bxlgten

adems.otros

s-istemas

de

co_ordenadas

curvilneas

esfe_

roldales

que depende"

"

ir-"i""

a"i.j;-a;;r;;"ouu,

v

"r

don

de cuenta

de

las

coordenades

,

.

G.-ovwfe6&L(,respL{,na,,,n]a'prcticaesindisperr-

blo

conocer

las

coord."ra"r

r

"tos

de

la

red

geodsica

situa-

do

en

un

sistema

de

coordenadus

crtesianas

para

que

puedan

uti-

hrre

fcilmenre

t".

d;;;r

s.;;:r"il

-ur

llevar

a

iab

diferentes

fpor

de.trabajos

de

provecci",

a.

,.gtr*."tr?i"

li"rogi-".,

a"

thrr,

etc.

Esto

conilero

I,

,".e.]u

a.

i"t"lJ*ii"prJir.".io.r*

de

*

auperficie

del

elipsoia

;;;;'il

;rfffi;"nI';?sto

es,

a

leprolentar

parres

de r

superficie

de

la

rilrra

soi;;;;

Iuperficie

hna

de_acuerdo

a.

una

dterminau

l"y.

Aotualmente

en

la

uRSs

h;

rid;;;"piada

ra

proyeccin

d.e

Gauss-

l,rd,scr

o ststema

d.

;;;;dr;;;;;"r;;;tr

ptnas

reetangutares

en

ta

lii ,::3',\#":'#:'{:-vr:::,#f

'#T,-:',1l","ll:k*ffi

"io;""aT

de

donde

dubz

_-L-

-

.x

az

y'

(4.3).

(4.4')

Comparand.o

las

expresiones

$'2)

V

(4'3) obtenemos

tg

B:#

+

La

ecuacin

$.a)

exiresa

Ia latitud

geodsica en

funcin de

las.

coordenadas

rectangulates

r

e

Y'

P

M

:-"

-=\

Nn

ffMt

E

Pt

Fig.

8

Para

encontrar

Ia

dependenoia

inversa,

es decir,

para

expresar

r

e

A

eD.

funcin de

Ia latitud

geodsica B, recordemos

Ia

ecuacin

(2.7).

Partiendo

de

Ia

expresin

(4)

podemos

escribir

'

tg

B:a#ry

+B

--X

b

1.-ez

Y

(4.5\

z'

)

7

I

)

)

)

I

)

)

)

I

I

*:tr(90"+

B)\

-cts

B.

(4.2)

Expresemos

la

primera

derivada

ff

en

funcin

de ras

coodeiadas

tcotangulares

r

e

y.

Diferenciando'i4.1)

obtenemos

$=ffi:0.

s0

a:x(l-e2)tgB.

(4.6\

Volvamos

a escribir

(4.1),

sustituyendo

y

de acuerdo

con

la

ecua-

cin

(4.6)

obtenemos

2 ,

t2

(L-ez)z

lgz

fi

a

Af

r arT-;T-:

t.

Resolviendo

esta ecuacin con respecto a e,

encontramos:

-2

;U+(.-eztgz

B|

--1,

,

{{r+

@'B)-r,ffi):o,,

a sen-B

*

-

{T=;rfeT5E

'

(4.7)

31

(4.1')

Es sabido

oue

la

tangente

del

ngulo,

formado

por

la

tangente

r

la

curva

"r,

,ro

punto

Ard;

y

;I

"i":.

positivo

de

las

#:t:;::

u

la

primera

derivad

a

fl;

d,"

esta

manera

-

BBr,acro[

s

srsrEuagn

rgcodriica

B

A

b

ewrdnad,as

s

c u

wq.fu

I

.purtto

qw,

*-

;iiififfi

To_

"1.

or

I

a.

e

I

i

p

se

m

e

r

i

rt

i

a n

;;

T;ffi

";

#

iw'

ff

ff.Tffi

;:f

i;

ouacin

de

esta

eirpse

"

-Lu'-

az

t

b2

-L'

Errb*--


3/14

Para

encon1.rar

y.reemplazamos

en

.la

ecuacin

onrrado

para

,

""

r.ii.iri";i#;";;

obrenemos

(4.6)

eI

valor

en_

-1,:{.l'l_4l 9la

V

7-ezsenzB

De

la

fig.

8

se

desprende

que

Ia

abscisa

del punto

.4/

fi

:

eMt:

MC

i'rl.ii

ffi,:Jr'f]h;"u:l

till'"",,"'

que

pasa

a

travs

der punro

1r{

(4.e)

D

"

i;

ii*]l;'gti"

H-#ffi

fi?fs?#uro,i

\

2::'f

bc_&6b

awe

,ld:

iattfud,aod,6s

egsica

B

y

I

e

Ia

exbres.in

a latilud

gcocntr.ca

e.

para_

la

Iatitud

eoc6n.

-

1

,rJt=poniendo

el

cos

La

-,

-

*r,

en

una

.."i.

.

,;r;f

obtenemos:

sen

(B

-

(D)

:

e2

sen

B

lcos

B

+

(B

_

{D)

sen

Bl,

.

sen

(A

._

(D)

:

e2senB

cos

B

+

"r(B

_

@)

senz.B.

El

segundo

trmino

del.

segundo

miembro

en la

expresin

obte.

nida

es

una

pequea

magnirud

de

orden

;'

d;_"rt

iA

_

O),

de

acuerdo

a

Ia

frmuli

(4.r2),

resurta

una

pequea

magnitud.

de

ordet

ez).

por

esto'

si

en

el

segundo

miembro

de ra

ecuac

in

(4.12)

reempra-

zamos

el

cos

(D

por

el

cgs

B,

enronces

;rp;l=i

rminos

de

orden

ea.

Con

este

grado

ae

exactitrra

-'-----*r"

'*

sen

(8-@):#

ez

sen2l.

Descomponiendo,

sen

(B

;

O)

en

una

serie y

limitndola

al

primer

trmino,

obtenemos

la

fOrmula

aproximada

(B-@)

:{p,ezsen2B,

donde

nuevamente

ha

sido

cometido

un

error

do

orden

a.

se

puede

apreciar

fcilmente

que

se

obtiene

,i-"ul-*

1ra*ii"al,

(a

_

6r

u1 -

=_45":,

En

eite

caso

(B-_

),

:

fl,Af-'*"

*"

t

una

rormula ms

exacta

para

(,8

(D)

tiene

la

siguiente

forma:

127,

pg.

24)

(B

-

@)"

:

p,

L*

srr

zB

-

4fu

sen

48

{

+Try

sen

6a-

(4.8)

Fig.

9

geodsicas

y

geocntricas

11,:1..1

funcjn

d" i;;

;;;;;;:

asrectangularesrey.

rs

@:+.

.to)

.,

Jasndonos

en

la

frmula

(4.5)

obtenemos

tE

B: U

'1'

"

(t-ez,

t

por

lo

tanto,

tg@:tgB(l-er).

(4.11)

Fncontremos

la

expresin

oa_

_

ra_

la

d,iferencia

d"

i.

i;;;;;t;,

-

@.

De

la

irmula

&.ltii;;;r,

'Ef 8rJon;*a*a,,Je

Grd-

'

r6idt,f'&9,ffi

Designand

el

radio-victrU

P

M

"{l\

I

X

(4.13)

(4.14)

,

I

I

I

moS

escribir:

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

tgB-rg(D*

eztgB,

sen

(B_

O)

asea;ti

-ettgB,

sen

(.8

-

O)

:

e2

sen.B

cos

(D.

p:lti@.

:pcos

(D;

u:psen(D.

Sustituyendo esta expresin

en

la

elipse-aeridiana

nemos:

P2

cosz

(D

, Os

sens

(D

---;t-:-

a-n7=q:

l.

.

Resolvemos

esta

ecuacin

cqn

espec

o

a,

p:

;,.kcgs2

(D

(1

--ea)

+senz

(D)

:

1,

^2,

a

;il[b.

(1.'.-e2cosz(D):

{,

(4.15)

(4.{)

obte-

(4.12)

ifl

:THlt

i""

"

1"

Hfl

:"':-

i*: I 1:' i]. I:1ia

u,r i

I

y

ar

I

a

e n r

p

r

c

r

i

c

a

lo:gru

el

sen

(B

-

co)

se;;;;;i;rf""

uf,ulzarra

en l

prctica

a

cusa

de

la-pesuea

rlifoan tiq tp *l

{"

B

y,@.

si"

"mrrg,

;i

T",1'r,?.

n#

::

l":

"i

"i::;lp

"

r"

:,t

j

:

j

I

,',

fl

;

ji""

"

*?3Hi;

s

adelante,

no

s

_^-:.",rwrq

tr

_-y/,

ra

cual,-como

veiemos

por

el

cos

B en

"r

J:I:li"

I:^118

' ,podemos

'eu.rurr;

el

cos

@

Lx,.."j,:l'.3;,"":l.l;:Ilt,rj'"r,il3i :*',x#uT':r;8r:"t3

*H#i,"?;i,":1,:",_"^*:rg:11,*;;

jl";:rJ#ilr1i11|"r.f

;"i:i-

a

mos

a

escribir.

I

a

expresi

"

q+.lii

iel;:;s;il#;o#i:i":

de

donde:

ri..1'"

3

-0

14A8

:.r,.)

(4.16)

80n'

ndonos

en la

fig.

g,

sen

(B

-

O)

=

ez'sen

B

cas.[B

_

(B

_

@)].

;-_

^L

aV

[-cz

'F'-

fr=74;;5'"

r'n,


4/14

Bainilonos

en

(4.15)

tenemos

".1/T=Acos

@

(4.17)

rrdemminil;;;;,'ii,?,.;i,r,(n"riiiiti.i,il"l

y

basndonos

en

(4.21)

*

:

a

cos

u,

,H;ffi:'f1#,t,p*;

i,,,i'

i|ffi;*,

_,":',::

,:ffi,r:-lfug

n J^l

--

,.

Y

't-ez

COS2

@

'

,

,f,1?ri3:"ff"liJ*acin

enrre

ra

rarirud

reducida

u

y

tageodsica

(4.22)

,I,?,1,':*Td::li*,1,,:t,r?l1,Tx:Ti;mndorosrr_

rnosq,..;,;;,,JilXi*1?:?,llt*i*?,ii1:[&1ff

:*H,1Lr.,:f,"I

pero

como

obtenemos

que:

:

IWllVIr-1,

lL[rM,

:

ct,

sal

tr

;,

*r :,

.u

y

entre

.

ra.s

tattus

io#::

oi,y

^i.

i""

;;

;tff

?';Ytr;

ll

* ir"-",:6

""",iff"J1,;r

IX

s.'ii*.*

:*g:ri"H 1F'r,t;:*:i1:"*:"""'

dii1,lu, i

x,?iT'11:

Pu"q'

;;;i;i'

#

Fig.

to

eauCidi

z.

,t1n,

$,".,

j;d;il

*H',9ai,,1,7

Il;:,:l*"le

esrabtecemos

ra

os

puntos

abscisa. pri:rl,x-r,,'i,"11:*r':Iru."r",,,1?lx?j,l*,H:ii:""'j:"tjfi:ffs#

'*;:itul7trWo':),;,'

X{.tr:;,,{,:);:HTf:f

,1"#H,xTXt,}{?"11i#

j

xe

-posean-ro,

.1.-"

oer

trien

;1;"

ir,,i:,,.

o..rr",r.

;"

1t4rz

*

(Mrnrry

-:

or.

n

vista

de

que

el

nunrn

n/r

^^_-

(4.Le)

3,::::,f

:,*'f

",

I

*

lltr::

-.",r,,,

jl',',ll

ood

en

a

d

a,

a

"

1i"",

i,1;#:i

tr

:iii:: i%

:

i:

:iii::

AXj

:..H#

vtvt

z)'

,

(t[zMyz

2

-r-

----'---

#+@ff)1_r,

(oMr)z+(jwrtry#:or.

las

expresiones

(4.1g)

y

@20)

se

obtiene

IVITMT:

iwr,M$,

IVIMz:,y

MrMr*,

a:asetu4:bsenu.

,"

J,"r-,'f:;

Ty*'-expresiones

"(nrq;;;.2,3)

o^-

^.

(4'23)

;,l,{,rfif

,}:,?i;i;i:'"+ffi

,df,|;;:;;

*:

*rro:l/T::&w

u,

--'*-5

Pero

basndon^'

^^

:::'-v**

G'24)

ros

en

(4.5)

/

r-

(4.25)

en

consecuencia,

,"

*r;l::;?,:":rnos

(4.26)

de

donde

rinarmente

;ii1"1ffi

H*,0,,,,0u

_

tg

u:llT-Vruu.

*{{f";l*#idhjffi::::#r

l:"

n*

n.s

sern

r;::

Deft.27)escribim9oIlZZ-Hc.in(2.7)y.8.)esuIta

(4.28)

tg2B:L

'l'

*

e2\-

t

t'

;l.,=-:1+

-

s'u

l1-2)

t

nemos

en

rorml-iitirfi,::

(4.20)

p:

"

(t

-f

senza_

-F$

senza-$ro".nB_

_-

')

rB)

Comparando

I

t

b----

de

donde

g(l

"os

'B:-{?l}

tot

,

*rn,

',u,?':iiXXX:i.il(a'gr,

*rrf;m,,.-

-

(4'2s)

. . .

rsmo

escribir

para

eI

,: ...

8a

|:ac5r:''"


5/14

la

Deduzcamos

la frmula

aproximada

para

Ia

diferencia

(B

-

u),

cual

resulta

cmoda

para

efectuar

los

clculos

tgB-tgu:tgB-1fGtgA,

Basndonos

en

(4.32),

(4.7)

y

(4.8)

escribimos

acosB r I

Y-:n^r.]

l/

t-ezsenz

B

I

acosB

-

I

Y:ffisenL['

n

a( -e')setB

I

)

1/

L-ez

setz B

(4.34)

(4.35)

(4.36)

z

(4.34)

^

al-bo

oa--

a2

1

x-

az cos

B

cos L

{@;gtrEl'z

B

x+.

a'cos B

ser.

L

'-{@B

o

DtsenB

1/

at

cosz

B{bzsenz

B

si

hacemos

Las

frmulas

(4.35)

se

eesoribirn

o

-

a2cosBcostr

p

1,

atcosBsenL

P

son I

P

f.

Pnsfq*

T

EH UI{

(4.371

fig.

11

tenemos

X:xcosL

Y: r.S1n

L

A

continuacin, basndonos

et

(4.32), (4.22)

X:aCO'SCOSZ

Y

:aCOs

Sen

i

Z:bsenq:ay l-ez

senu

l

(

I

I

(

(

I

I

?e

:isBlt-1:--e\ttzl.

Descomponiendo

en

serie

(L

oos

B

(admitiendo,

por tanto

un

X,Y,

Z

y

otre

srrrrti,

Enlafig.

ll

PRrPtResna

elipse

foeiitliana

en

cuyo

plano

se

halla'el

punto G,

a

partir

del

cual

se cuentan

las

longitudes

yr

por

lo

talto

en

este

plano

se ubica

ql

eje-de-coordenadas

Oy; PETPiE

es una

elipse

meridiana en

Ia

cual se

hallan ubicados

el

punto

M

y los

ejes coordenado

s

Or

y

Oy.

El

ngulo

entre

Io

dangs

de-estas elipses

meridianas

es

igual a

Ia longitud

geodsica

.L.

En la

-

ez)uz

y

reemplazando

cos

u

por

error

de

un

infinitsimo del

orden

en),

obtonemos

Ia expresi6n

final

para (B

-

z)

(B

-u)'

=

$

p'ez

sen2B.

(4.30)

Una

frmula

ms

precisa

pa-

ra

(B

-

u)

tiene

la

siguiente

forma

R

(B-u)":P'lusen2B-

-

f

t""

4^B

+

$sen

68-

-$'."8^a+...],

(4.3I)

donde

a-b le

B-ls.

u

:-

"-

a+b

tgBftgu'

courihnndac

5.

Rebin

anc

cl

Mru

de

,

rdnadns

coilafriil";

b

y&ry,

(4.32)

y

(4,23)

obtenemos:

-

r,,

,

(4:33)

Si

sustituimos

en

obtenemos

Por

Ia

normal

a

Ia

superficie del

elipsoide se

pede

trazar

un

conjunto

innumerable

de

planos.

Los

mismos,

perpendiculares aI

piano

tangente

a

la

superficie

del

elipsoide

en

un

p_unto

dado,

se

-denomina

planos normles.

Las

curvas,

formadas

por laintersecoin

de los

plans

normales,

trazados en

el

punto

dado, con

Ia

superfioie

det

elipsoide,

se

denomnan secciows

normnles.

Fn

cada

punto

sxisten-

dos

seciones

normales

recprocamente

perpendiculares,

la

curvatd

"

de

las

cuales

posee

valores mximo

y

mnimo;

estas

secciones nor-

males

se

llaman

secciones

normales

principales

VFEWB:p.

Fig.

lt

st


6/14

I

Como

se

sabe

de la

geometra

diferencial,

en

algn

punto

M

dela

superficie

del

elipsolde

de

revolucin

las princip"ales'secciones

Diferenciando

la Itima

frmula,

encontramos

'

d,r:a

{

--

sen

B

(L

.

e?'sen'z

Bl-'l'

+

*

e2

sen

B coszb

(L

-

r' se

B)-.312t-

d'8,

$

:

osen

B

(t

-

ez

se,z B)-

etz

{

-

(t

-

ez

senz

B)

+

e'cosz

B},

#:

sen

B

(l- ez

senz

B'-srz

(

-e').

Por

lo

tanto,

dzA

(,1,-ez

se

B)3tz

-lF:

-;ET=4-

Reemplazando

las

expresiones

obtenid.as

puru

fll

ffiet

$'1),

hallamos

que:

nn

(t*ctg

B)slz asensB(l-a2)

,rr:@.

P

0

n

P,

Fig. t2

norriiales

son:

*f)

seccin

meridiana. Ia

cual

pasa'por

el-puntolki='M

y

am-

bos polos

del

eiipsoide

P

y

P1

(en

la

fig.

12

la

seccin

meri-

diala

del

punto

M es

la

elipse

_

PMEQTE):

t,*

.F- 2J

@de

laSrimeraver-

"tql, lac@o

M

perpendicularmente

a

I

sec-

cin

meridiana

del

punto

M.

La

seccin

de la primera

vertical est

representada

en

la

fig.

12

por

la

curva

WME,

{Iue

tambin

es

una elipse.

Designamos

por

M

y

N

alos

radios

de

curvatura

del meridiano

y

de-Ia

prifera

vertical,

respectivamente.

Hallemos

la

expresin

para los

radios de curvatura

de

las

principales

secciones

norm-ales

en

funcin

de

Ia

latitud geodsica

B. Ei

radio

de curvatura

de

la

curva

pla4-a gxpresada

mediante

Ia

ecuacin

del

tipo

A

:

f

(r),

se define

por

la

frmula

{'*

(#)'}'''

Utilizando

esta

frmula

para Ia

elipse

meridiana

obtenemos

i,,

{'*

(#\'}'''

,,,__-.=#-.

(el

signo

menos

se

toma

porq

"u

#

t'

La

expresin

para .R

puede-ser

dada

en funcin

de

ias

magnitudes


10/14

f-

I

*

pt

radio medio'de

cuvatura

se

emplea

aI

representar

partes

de

lh

U r"p"rficiL

d=el

etipsoide'Sobr.eT'lofa;

iI

oalcular

los exeesos

esf-

l, rios'ile'

Ios

trinsu-Ios

y

en'

o'tibi

{s6s.*

H*';i;""il;ffi'"iffi"ir;t-p^*

a llir'soiae

de

K-rasovskv

por

eI'

-

fSlCrti

V

C*t"grrta

y

el"Departam-ento

Central

de

cIculo,.,se

*o

uo

los

intervaio

a"

ttitod

d

un

minuto

los logaritmos

de

({),

f2)*).

,R

v

tambin

el

valor

de

la

funcit

V'

t-

i.|.

Li."*.*L.udir

"de

.xnqn*,

{e

:

B-. Esi6n; '-6Bet

e

-niiil-p"d"#

"-pf"*i,

r*"t-eut

rs fe ul&

1O.t.

Al

rea-

i;;-i";

tf"t*

prati"o.. utilizando

transformaciones

senoillas,

o

d':aJffi6="$*'{2-aa'

La

lougitud

tlel

arco

de

meridiano

entre

los

puntos

que

poseen

htit"d^r;'

i

B,

i'

Ia

siguiente:

s:\o#ffidn:a$_.")T,#

(''t)'

Bt

rco

de

meridiano

so

reduce'

,,

*iil,,:J

;i'ix'i"hll,Tf,"lt*

$t't1'

Tnerrqrarru

D'i

J

=;*'"aztm-

)

w"

Ia

cual,

eomo-es

sabido'

no-se.Pyede-tr"'olver

mediante

funciones

elementales'

Para-

tii"i^-

"f"

integral

sealada

descompongamos

[i]ftTi*Hx1?"hftii.i-.+l*t"'***'ttw'"nunaseriede

-L-:ft-ez

sel*

B)-'tz

:

|

++ezsenz

B

++

eLsena

B

*

ws

i*eosenoB*

ffie'senaBf

W

"osenroB+'"

(7'2>

con

el

fin

de simplificar

ros

futuros

cmputos

limitaremos

la

serie

hasta

to.

*iu#|"*';; -;t'

Los

senos

cn

exponentes

pares'

qne se

incluyen

*t

o.r"o*poner

Ia

t"l::ui

fr.'"

""",*1'^"1

los

reem-

plazamos

por

los

oosenos

"

"""o'

mItiples'e

acerdo

con

las

igual-

dades:

senzB:+-lcos2B,

llzar

Io

uaruuruD

PrqvvrvvD'

'---a

.'

A}].uji"["s

se

$ueden

representar

ms

fcilmente

de

otro

modo'

Rz:MN:+:#.

JV

PA-

l+Iscoss

t

(6.5)

(6.6)

o

ea

'donde.

rl:

Gco,B'

,*"T;;'"erLrli

*"noE

sxastosr

gq...9lror'os

e4

los

t'6rnoines

4e

t'

Ia frmula

(6.1)

Puede

ser

tranffi

'

resfecto

a

Ia

superficie

del

elip-

\

soide

de

referenoia.

*SFGrfgP

DE

LA

II)I{GIflI-q

.

lE

;.ur,_r"acp,DB

IEHD}ffT

Sea

.4

un

punto

de

la eliPse

meridiana

con

latitud

B

(lg.

fl

Tomemos,

a

una distancia

inli-

nitamente

pequea ds

d.el

Punto

A,

el

punto

./.1,

que

Posee

una

latituil

B

*

d,B; de

ta1

manera'

Ia diferencia

de

las

longitudes

de

A

y

Ar,

correspondiente

al'

arco;

de

meridiano

ds

ser

dB. Considerando

eI

rco

elemental

ds como

eI

arco

de

una

circunferencia

de

radio

M,

obtenemos

ds:

Md'B

D

'1

Fig.

14

sena

B:'+-f

oo,

28++cos48'

Ahora

la

frmula

(7'2)

adquiere

el

siguiente

aspecto

#:t

++*(+-4

*(*-*coslB)++

"

\+-i

-*

(*-

|cos2B*

1

+$"o'

4BI+

.

",

#

:

t++r'-t"

e,

cos2&

+

#

5 ,.

L'

ar

e'-al

9 eL

cos2B *

I

3

+#eacos48*

.

'

'

+r:+(r+{"+A

rrr+ff"&+

...)-

(+

*"'+#

to+...)cos2Blr

*l

N.

d,et

?.

Las expresiones-(1)

v-(2)

souutilizaSas

en

Ia frmula

(5.13)'

la cudl

le resuelve

con

a'yuda

de

ls

tblas

mencionadas

46

(7.3)

4T

p

.:

R

(t

-*

cosz

B

cos

2)

(6.7)

f,,

fOr-"fulL7)

se

utiliza,

por ejemplo,

al

calcula;-la

correaia

---

-;-E-***

..

i#;lit'Jlul"'i3"i:"il,t","'i

+

(**+..')

cos48

"

'


11/14

-o""*'""''

::_,.-i::E:..

\

(?4,

*,*$:{i;gfr#$};*t;"I,$j[ffi

i

"",-l--"."r;fiil::',";::3;

*",,"

(?5)',******;****t***,,**"":t***

'

lj#iir'*"""t"*7lf;?i

"0,",u*.*,

oon

ra

eiacitu.

:

"-,n-rr'J,,

-'Bao62l+cco48-"')dB'

(7'6)

ffi

rntsgrando

trmitro

a

r6.itro,

hanasos

ida

e

:c1l-a

{(ll+

}'a'l

,'-i1-

I

,

-oti-

ul

{otur-e1-$

1*"za'-sen2at:)+

-{

e'sen

(B-B)

oos

(B'

+'J}'

I

+f

{""o

air-""oatr-

.,

.\, lt.tl

}raseos

s6s

(8,_BJ:(a_BJ_

(s._r,F

:

fi*ffimffi,tffiffil,=-lffi:"

E 6sa

mu.r

@u",."- a(7-e'\(n'-u{t

+

i*-}e'cos'28-

c:a1t-e1{a1-$sea21+|sea4t-"'},

{r'a) -'-':

.,,-

r" r.rihrd B

nuealo [-"'1Br-

nr'oos

2e*\

'

(7'9)


12/14

S.Demosunafrmu}amssenci}Iaycmodaparalos.clculos

a"

i.lriurgulaciones

cuando

ios

lados

son

de

poca

importancia

y

rara

vez

trf.ruo

los

40

50

km,

para esto

designamos

o

En

oonsecuencia,

para.las

tonsllu{Trde

un

arco

menor de

45 km'

i1^,emos

oonsrderar

dI

mirmo

como

e-sfrico'

con

un ngulo eritial

#l;fl;il-ditr.ncia

de

latitdes

de

los nuntos

extremos'

v

con nn

dio

a,

]a

seccin

meridiana

que

correspnde

a

la

latitud

media dei

o'?,0,

coeficientes

A,

B,

C'

obtenidos

antes

durante

la

deduccin

,ie

ia

frmula

para;i;'-e

+eridiano'

tienen

et

siguiente valor

pl"'JrtiPsoie

de

KrasovskY:r

'

D

:0,000

00002081'

En

Ia

tabla

2,

Para

su

con'119'

se

dau

a.

il.tiir";-;;tf

elipsoide

d^e.Krasovskv

con

una

exactitud

de

hasta

de

u'l

m' '

B-=

B' B'

y

M*:

ln

2

Introduzcamos

el

valor

auxiliar

0

-

r

5sz

B*Itz

'

ID D\2, 4

sr

:

ru

*

%n-

:

a

(L

-

r')

(B,7il1

h,

el

oue.

es

evidente,

representa

Ia longitud

del

arco

de

circunferencia

;;"=;h

ie"ur-

ui';,udo

de curva

ull-de

mgridiano en

un punto

coo

tatitud

p"ia,

Basndonos

en

(7.5)

'escribimos

r,.,l-r:o

(7-e')-+#-(A-BcoslB*lC

cos4B*)'

Sustituimoslosva}orestleloscoeficientes'o:u,,

tt:

a

(7

-

si

@a:Bt)'

{

(,

*

*

r:'+

#

'n)

-

-

(*

,r+

+*

eo) cos

za*

fi';i

"o,

+a,,)

.

(7.''2'l

Comparando

(7.' 2)-:pp:,.

(7,1Q

gbtenem.o

.

:.,i

s.=q.

+*ffi

e2cos2,B*(B,

.:Br)'r.

Suponiendo

que

en

eI

,trTr\inoxgrregido

de

la ltimt

f:11"'*

a.(l

-

ez)

:

M^,o

seadespreciandolstrminosdeloden

{rel

(Aa;-

las

lonsitudes

de

acos

frra

,igunas

latitudes

,,

:

..

.

Tabla

2

-

Br)'s,

obtene:qoP

t'_...,

s

:

4

^-t8';P'I-+

$

r'

gou

za*

ffiff

i.

La

frmula'firr"I

pai^

el

'alcuto

de

las

trihngtaciones

tiene

la,

pllll'-

.'

t::

:*

il"'.:

siguiente

forqA.

.

,.,.

,:u*9ff1t

+

'

togr:togl&G)# *k(Br-Br)'2cos2B*,

donde

,,

log

ft1rog$$

e2,73,9315-ro'

;sff"""2i^f.'

(z.ra)

_

"',,i,u

fr-ota

(7.18) es

ti1

para

distacias

del

orden

de

400

km

(para

s

:

4OOkm

admitiendo

un

error

mxim9

d9l

orden

9a

ft*@,

-

-

nr)rs

se

obtiene'un

erioi

de

prximamnt

igual-d

I

mm

en

el

valpr

de

s);

'*-b-rr,

s'k

45.:

km

-el

vJor"dl

miebro

.de

-correcin

t"^t"

*:T9I

L

T-

(7.{5}

d-e

i;;;"",F

l,*

9";nt".I'e1.q"

|es

qieqb11:*.I'

[T.jJLPI?'"

"

I

-..

pi.

eto

las correcci-Qnes'

de

los

miembros

en

(7'f 3)

pueden

dbsucliais';y.ls

dlculo 'n's'c'dndcen

a

.lg.

siguiente

trnrula

_ ,.

,

En

base

a

Ia

frmula

ti-.t+l

se

pq9d9 resolver

el

probleqa:":ti;;

artl*i,

1a

diferencia'de'longiiud

de

los

puntos

extremo

,r.r,

"iante

la

lopgitud

del--

arc,3

v

su

latifud

media

.:,

..,....

:

(Br-Brl."*fr0':s(1)-:

'

,

,,(''16)

En

ia

pnctica

con

frecu'encia

se

resuelv

el

siguinte

pioblemat

1.";a;,i.i,

f,

f"eit

"

"

primer,punto-_Ai,

rlrdistancia

, l;ffip;

ili;;;

;;iidi^h"

s,

hasta

un''sesundo-plnt

iler

ineri-

[rir,'3."

;;;;;;

t"".i",rr

{a'lqtitud

de

uir segundo

punto

B''

i)r:-\

68

.:.,M

l,

t,i(-;

5

Longitud,del

arco

de

nerldli|n9

en:m

1{0

576,3

1.70854,4

lLl4'1.4,7

111695,8

Despus de

transf

ormaciones

elemntales

r-a t1mqia'

g:'?[Jlt*

, r."

"iiioo

losuritlco.

El

qmero

retenid-o

ds

mi'ep'bros'Qug.garan:

iizan

eI

biculo-de

n

arco

hasta

400

kmS

de

longitud

es

'",

,

,:

:

,;,..

L.


13/14

Paradeterminar(Br-Br)empleamoslafrTula(7'16);.sin

".urgo

[a-difereniia'

buscad

-

(9-- 81)

no

puede so,r:

.calculada

directamente

por esta

frmula

ddbido

u

-qU.

es

desconocida

Ia

lati-

ii;;;;i"i.

ia

cual

debe ser

calculdo

eI radio

M*

o

tomdda

i;;"-"iih"d

iijr

.

las

tablas.

Consideremos

la solucin

de este

pro-

bt.*;

;Idalo

eI

mtodo

de

aproximaciones

sucesivas.

-

E;

la'primera

"pt*i.*l.ipn.se.oaloula

(8,

-Br),

utilizanrlo

o""r-1"

cletrminacin

de

(1)

la

latitutl

del primer punto,

y

se

obtiene

f

*l;t

aproximado

cte

(8,

-

Br),

es decir,

Aoliqumosle

a

la expresin

(7.17)

la

frmula

de

simpson

(for-

-"i;";h

p"*elotr,

divldiendo

on

esto el

intervalo

de integracin

en

dos

partes;

entonces

se

puede

escrrbrr

que:

,:+

gvlt+4Mn*Mr).

(7,f

e)

'En

la frmula

(Z.lS)

el

radio

de

curvatura

IVI

se

determina

el

tr"Jp:""["r;"1;il

,t;

-reridiano

buscado,,

en

el

comieoiglla

-tl'.d

i*"i'

-n

areslo

a

laq-latilr1tts.

B-1,

Brt

.B*.:

12.(B]

*

B,)'

.

i,.h",.iinitiva-

ial exfresin

(7.18)'

adquiere

la

siguiente

forma

donde

r:#:8080

2pl.ls-nn

2:

Mr*4M^*

M,

L,B,:(Br_Bt),.

Para

las

distancias

s

de

hasta

1000 km la

frmula

(7.19) garantiza

el

clculo

de la longitud del

arco

de meridiano

con

un

error

del orden

dela2cm.

Para

controlar

los

cicuios

dei

arco de meridiano

s,

ste se

debe

obtener

como diferencia

entre las

longitudes de los

arcos

de

meri-

diano

X,

y

X,

desde el

ecuador

hasta

los

puntos

con

latitudes

82

Bt,

es

decir,

s:

Xz-

Xr

Los

valores de

las

cantidades

Xr

l

X,

se

toman de las

Tablas

oara

el

clculo

de

las coordenadas

planas

conformadas

de Gauss,

hentro

de

]os

imites de

latitudes

desde

30" hasta

80o.

Ejernplo.

El

clculo

de

las

longitudes de

los

arcos de meridiano

mediant

la

frmula

(7.19)

entre

los

puntos

cuyas

latitudes

son

B,

:

:49o29'

58,938"

Y

Bt:

45"30'17,221",

resulta

B,

4dozg'

58,938'

B,

45

30

17

,221.

B;

47

30

08,080

t',

ZurZ,

o{u',3{n

M;

6

372

5ll,4$

;

i\i

3 33

333:?31"

38 221

727,817

r.)

'

30,884

0275

fr

,.4

38r,717

s

t*44

165,M3

m

Control

mediante

la tabla:

paral

latitud.

Bz

.

. .

X2:5485298,588

m

paratra

latitud

B;

.

.

.

X:5041

[fi,243

m

s:444165,345

m

|'

S.

G{,LC[}O.

,PE,,L4+

.-ITONSIIUD

'

DE UN

ARCO

DE

PARAI.BI

EI

paralelo en un

elipsoide

de

rev-oiucin

es

una

circunferencia,

por

est

eI

clculo

de

un arco

de

paralelo

se

reduce a

la

de-terminacin

de un

arco

de

circulferencia

en

base

=a

su

ngulo'central,

el

cual es

igual

a

la diferencia

de

longitudes

de

los

puntos

extremos del

arco.

53

Bz-

Bt*

(Br-

Br).

(Br-BJr:(1)r;

(Br)r:

Bt*(Br-BJr'

uego

Con

este

valorde

la

latitutl

delsegundo

punto

se

caloula

la

latitud

meia

aproximada

(B-)r:

ry;

utilizando

Ia

latitutl

media

anroximada

gue

hemos

hallado

(B-)r'

hallamos

la

diferencia

de

iffiiffir iB,--

Br),

y

la latitud

mdia

(B^)r-en

la

segunda

apro-

.i*i6".'Aialogarminte

se calculan

la

trcera,

la

cuarta,

etc.,

apro-

*i-uio".r,

hasia

tanto

dos

aproximaciones

contiguas

no

resulten

infr;i;;it" l"

Ios

imites

de

ia

exactitucl

dada;

stas sern

adems

lis

aproximaciones

definitivas'

Anteriormente

se

dio

la

solucin

universalmente

admitida

para

d"d";;il11r*"t"

ile

la longitutt

de un

arco

cle

meridian-o,

basada

;-;;".fori.iO,

en seri

con

arreglo.

aI

binomjo

de

Newton

de

iifi-6i

i7i

i)

qo"

se halla

bajo

la integral,

y

su

posterior

integracin

miembro

a

miembro.

-*D;;;

l"mtio

de

manera

diferente

Y,

Por

supuesto,

aproxi'

mala,-otra

solucin

de

la integral

inicial

B2

r:\uaa.

'Bi

(7.t7)

(7.18)

iil

tfi

Itl

B

li

t,-

'52

;t

i,i,

:sr

kLB',


14/14

El

radio

del paralelo

r

se determina

mediante

la

frmula

(4.g), quo

losee

Ia

siguiente

forma:

,

q

r:

y'f

cos.B-

-

a

cos

B

-

acos

B

-frffi-:_-W--

(8.1)

l,

:

(2)

s,.

sec

B

(8,3)

Esquema

de

resolucin:

La

longitud

del arco

de

paralelo

s,,_que

posee

latitud

B

y

dife-

::il'll

"il

l"#if

fr"'#tre

sus'

;

;;

"

i

at'

o'"

-

7

;

; ;;

; ;;

e v

d

e nte,

s':

lY

cos

B

*f-:

{tr

(8.2)

De

esta

oxnresin

obtenemos

fcirmente

ra

diferencia

de

ras

ron-

f;

i:l#,.,9,*

p""to"

-a"

-i"

p*ril"

-

i,iit"l

l-;ir;ff

".

a

una

I

'B

N

cos B

..lil

''

UP'

iNcosB

l"

/p"

.,p

0"/+5'

46.882'

54032'lg',354

66o392'453,954'

0.5801

5280

32746,882

484,8L37.L0-L

3

708

600,002

0,0133

1726

49 388,390

m

Control en

base

a

las

tablas:

para

B:54"32'19,354'

b'

:179

798,002

lsp:

bt.lo

:

17

,979

8002.2

746,882

scont.

-

49

888,889

ml

Divergenoi,

s$"1.-scont.-

{1

mm.

En

la

tabla

3 se"pued.en

observar

las_longitudes

de

los

arcos

de

3#3i"r,:

para

latitu"

.'"-;

illr#

z;-.""""i

"riiloiii

"

x,"-

t-

EJempto,

Calcular.

la

longitud

del

rco

je

pa"ateto

entre

los

untos,

situados

en

dicho

pr"-rt.lo,

sila.citaaa

difd;;;

ie

rongi-

udes

entre

esos

punroi

y

ta

i^tit"a

;I-;i;"_T

oo,

:

:

g:4sj6,88?"

y

a

:lt.e,

$lli[]."'

vorrrrcar

la

solucin

mediante

la

frmula

ge

control

so

:

bll,,

tilizando

las

Tabras

p"r,

.r

o?trr

;"

ros

pranos

de

cooidenadas

fi#1-rars

de

Gauss, p;

J

i""i,"ir-ae

latltudes

desde

30.

hasta

Llngitud

de

"r"o

d

piit.lo

en

E

30

40

50

60

70

96

4t)9,

I

85

395,3

71

696.9

55

800;e

33 t97,2

4

$r,tr.cro

DE

teB*&tm

IOS

TRApECTO

DnoriNtftlfifrtf

m6ii

'slco

-ElcIculo

del

rea

del trapeoio

de

un

levanta.misnto

o de

la

super-

ficje

del

qap?

se

hace

det_erminando

partes

de

la

superficie

del eiip-

soide,

liaitadas por

las

lneas

de

los

meridianos y

de

los

paralelos.

Tomemos

en

ol elipsoide

D

(fig.

f5)

un

trapecio

infinitampn-

te

pequeio

ABCD.

Los lados

del

mism.o

son elementos

de

arcos de

merldias

y paralelo,

y

sern

iguales

a:

AB:CD:MdB,

AD:BC:NcosBdt.

El

rea

del

trapeoio

elemen-

.--

tal

ABCD

designaa

por

df,

se

expresa por

la

frmula

d.T

:

MN

cos

B dB

dt.'

(9.I)

.:.d,2

-

Zn

MN

cos

B dB

:

2nR2

cos

B

d,B;

o:

d,z:2nbzffi.

tiene,

si

en

la

frmula

de

d,T,

el

valor,dl

se

sstitut

por

2o::o

se

.

(s.2)

55

000 1 Geodesia Zakatov

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