El Solucionario de Matemáticas para 4.º ESOes una obra colectiva concebida, diseñaday creada en el departamento de EdicionesEducativas de Santillana, dirigidopor Enric Juan Redal.

En su realización han intervenido:Ana María Gaztelu

Augusto González

EDICIÓNAngélica Escoredo

Mercedes de Lucas

Carlos Pérez

Rafael Nevado

DIRECCIÓN DEL PROYECTODomingo Sánchez Figueroa

Santillana

Matemáticas 4 ESO

Biblioteca del profesorado

SOLUCIONARIO

opción B

Presentación

2

80

Polinomios y fracciones algebraicas3

DIVISORES DE UN POLINOMIO

FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO

POTENCIAS DIVISIÓNSUMA, RESTA

Y MULTIPLICACIÓN

POLINOMIOS

REGLA DE RUFFINI

TEOREMA DEL RESTO

RAÍCES DE UN POLINOMIO

VALOR NUMÉRICODE UN POLINOMIO

SIMPLIFICACIÓN OPERACIONES

FRACCIONESALGEBRAICAS

Un hombre de principios

Días negros y noches largas, estas últimas semanas habían sido especialmentedifíciles para Paolo Ruffini.

Mientras caminaba en dirección a su casa, pensaba en lo duro que le había sidotomar la decisión de no jurar fidelidad a la bandera de los invasores franceses.

Un golpecito en el hombro y la voz amiga de Luigi lo devolvieron a la realidad:

–¡Paolo! ¿Qué has hecho? En la universidad no se comenta otra cosa. El responsable político ha asegurado que nunca volverás a sentarte en tu cátedra y que has marcado tu destino; se le veía terriblemente enfadado.

–Lo pensé durante mucho tiempo y cuando comuniqué mi decisión me he sentido aliviado –argumentó Ruffini, plenamente convencido.

–Pero ¿no has pensado en tu familia o en tu posición? –Luigi mostró la preocupación que parecía haber abandonado a Ruffini.

–Luigi, ¿cuánto darías por un puesto de funcionario? –Estaban llegando al mercado y Ruffini se paró en seco–. Yo no estoy dispuesto a pagar tanto por la cátedra; si hiciera el juramento, habría traicionado mis principios y mutilado mi alma, mantendría mi cátedra pero el Paolo Ruffini que conoces habría muerto.

Ruffini se dedicó por entero a su oficio de médico en los años en que estuvo alejado de la docencia.

En la división de polinomios P(x) : (x − a), calcula el grado del cociente y del resto.

El grado del cociente es un grado menorque el grado del polinomio P(x), y el grado del resto es cero, pues es siempre un número (un número es un polinomio de grado cero).

El nombre de la serie, La Casa del Saber, responde al planteamiento de

presentar un proyecto de Matemáticas centrado en la adquisición de los

contenidos necesarios para que los alumnos puedan desenvolverse en la

vida real. El saber matemático, dentro de la etapa obligatoria de la ense-

ñanza, debe garantizar no solo la interpretación y la descripción de la rea-

lidad, sino también la actuación sobre ella.

En este sentido, y considerando las matemáticas a estos niveles como una

materia esencialmente procedimental, recogemos en este material la reso-

lución de todos los ejercicios y problemas formulados en el libro del alum-

no. Pretendemos que esta resolución no sea solo un instrumento sino que

pueda entenderse como una propuesta didáctica para enfocar la adquisi-

ción de los distintos conceptos y procedimientos que se presentan en el

libro del alumno.

113

3

Al recoger el correo,

Ana ha recibido la factura

de su consumo de luz

en los dos últimos meses.

Ana le pide ayuda a su hermano y ambos se disponen a analizar la factura

con detalle.

Con esta información, escriben un polinomio:

1,16 ⋅ [1,09 ⋅ (2px + cy) + 2z]

siendo x el importe de la potencia al mes, y el importe de la energía consumida

y z el importe mensual del alquiler.

Ahora comprenden por qué la factura ha sido de 49,84 €.

a) Comprueba el importe.

b) Deciden bajar la potencia a 3,5 kW y el consumo aumenta a 315 kWh.

¿Cuánto tendrán que pagar en la factura de los dos próximos meses?

a) Importe = 1,16 ⋅ [1,09 ⋅ (2px + cy) + 2z] =

= 1,16 ⋅ [1,09 ⋅ (2 ⋅ 4,4 ⋅ 158,19 + 8,99 ⋅ 272) + 2 ⋅ 57] =

= 4.984,18 céntimos = 49,84 €

b) El importe de la factura de los dos próximos meses es:

1,16 ⋅ [1,09 ⋅ (2px + cy) + 2z] =

= 1,16 ⋅ [1,09 ⋅ (2 ⋅ 3,5 ⋅ 158,19 + 8,99 ⋅ 315) + 2 ⋅ 57] =

= 5.112,93 céntimos = 51,13 €

098

lll

FACTURACIÓN

Potencia... 158,19 cent. €Consumo..... 8,99 cent. €Alquiler .......... 57 cent. €Impto. electricidadIVA

No olvides los precios de cada variable y los impuestos.

Aparecen varias variables: la potencia, p, contratada, 4,4 kW cada mes;

el consumo, c, 272 kWh.

¿Cómo han hecho las cuentas en esta factura?

SOLUCIONARIO

112

EN LA VIDA COTIDIANA

Dentro de los proyectos

de conservación de zonas

verdes de un municipio,

se ha decidido instalar

un parque en el solar

que ocupaba una

antigua fábrica.

El parque tendrá tres áreas delimitadas: la zona de juego, la zona de lectura,

que rodeará a la zona de juego, y el resto, que se dedicará a la zona de paseo.

Aún no han hecho mediciones, pero los técnicos han determinado que la zona

dedicada a los juegos sea cuadrada y su lado medirá 40 metros.

a) ¿Qué expresión nos da el área de la zona para pasear? ¿Y el área de la zona

de lectura?

b) Si deciden que la zona de paseo tenga un ancho de 40 metros, ¿cuáles serán

las áreas de cada zona?

a) A juego = 402= 1.600 m2

A lectura = (100 − x)2− 402

= 8.400 − 200x + x2

Apaseo = 1002− (100 − x)2

= 200x − x2

b) A juego = 402= 1.600 m2

A lectura = (100 − 40)2− 402

= 2.000 m2

Apaseo = 1002− 602

= 6.400 m2

097

lll

Disponemos de una superficiecuadrada de 100 metros de lado.

Podríamos dividir el parque en tres zonas.

Polinomios y fracciones algebraicas

3

Índice

Unidad 0 Repaso 4-11

Unidad 1 Números reales 12-47

Unidad 2 Potencias y radicales 48-79

Unidad 3 Polinomios y fracciones

algebraicas 80-113

Unidad 4 Ecuaciones e inecuaciones 114-149

Unidad 5 Sistemas de ecuaciones 150-185

Unidad 6 Semejanza 186-209

Unidad 7 Trigonometría 210-243

Unidad 8 Vectores y rectas 244-273

Unidad 9 Funciones 274-299

Unidad 10 Funciones polinómicas

y racionales 300-345

Unidad 11 Funciones exponenciales

y logarítmicas 346-377

Unidad 12 Estadística 378-405

Unidad 13 Combinatoria 406-429

Unidad 14 Probabilidad 430-455

4

NÚMEROS

Expresa en forma decimal estas fracciones. ¿Qué tipo de decimal obtienes?

a) c)

b) d)

a) = 0,875 → Decimal exacto

b) = 1,83333… → Decimal periódico mixto

c) = 0,18888… → Decimal periódico mixto

d) = 0,0121212… → Decimal periódico mixto

Calcula.

a) b) c)

a) =

=

b)

c) =

=

Opera y simplifica, teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones.

a)

b)

c) 24

3

1

2

2

5

4

32

1

5− ⋅ +

− +

⋅

−+ ⋅ − − − ⋅ −

2

3

1

3

7

32

1

43( )

3

6

4

5

4

12

3

6−

⋅ −

003

− = −342

189

38

21

6

7

8

27

1

9

6

7

72

27

162 504

189− = − =

−=:

6

7

2

3

1

9

3

−

:

6

7

3

4

7

10

2

5

6

7

30

28

2

5

120 150 56

140

26

140− + = − + =

− +=: ==

13

70

32 25

100

7

100

−=

2

5

8

10

1

4

16

50

1

4

8

25

1

4⋅ − = − = − =

2

5

3

2

7

10

1

4⋅ −

−

6

7

2

3

1

9

3

−

:6

7

3

4

7

10

2

5− +:

2

5

3

2

7

10

1

4⋅ −

−

002

4

330

17

90

11

6

7

8

4

330

11

6

17

90

7

8

001

Repaso0

5

0

a)

b)

c)

Indica a qué conjunto numérico pertenece cada número.

a) 18,6777… c) 18,6777 e) 0,246810… g) −1,333…

b) 63 d) −4 f) −2,25 h) π

a) 18,6777… → Decimal periódico mixto

b) 63 → Natural

c) 18,6777 → Decimal exacto

d) −4 → Entero

e) 0,246810… → Irracional

f) −2,25 → Decimal exacto

g) −1,333… → Decimal periódico puro

h) π → Irracional

Escribe tres números decimales periódicos puros y otros tres periódicos mixtos,

y trúncalos a las milésimas.

Periódicos puros: 1,º3; 21,º27; 3,142¼ → Truncamiento: 1,333; 21,272; 3,142

Periódicos mixtos: 1,1º3; 4,051º; 2,106º → Truncamiento: 1,133; 4,051; 2,106

Redondea y trunca los siguientes números irracionales a las décimas

y a las milésimas.

a) π = 3,141592… b) e = 2,718281… c) Φ = 1,618033…

006

005

004

= − ⋅ − ⋅ = − − = =24

3

9

10

10

3

1

52

36

30

10

15

4

30

2

15

24

3

1

2

2

5

4

32

1

52− ⋅ +

− +

⋅ = −

44

3

5 4

10

4 6

3

1

5⋅+

−+

⋅ =

=−

− =−12

18

47

18

59

18

=−+ ⋅

−−

=−+ ⋅

−

2

3

1

3

14

6

33

6

2

3

1

3

47

6

=−+−

=

2

3

47

18

=−+ ⋅ − − − ⋅

−

=−2

3

1

3

7

32

11

4

2( )

33

1

3

7

3

11

2+ ⋅ − −

=

−+ ⋅ − − − ⋅ −

=

2

3

1

3

7

32

1

43( )

3

6

4

5

4

12

3

6

15 24

30−

⋅ −

=

−⋅

44 6

12

9

30

2

12

18

360

1

20

−=−⋅−= =

SOLUCIONARIO

Redondeo

Aproximación a las décimasNúmero

π = 3,141592…

e = 2,718281…

φ = 1,618033…

3,1

2,7

1,6

3,142

2,718

1,618

Truncamiento Redondeo

Aproximación a las milésimas

Truncamiento

3,1

2,7

1,6

3,141

2,718

1,618

6

Juan quiere instalar un cable eléctrico a lo largo de las cuatro paredes

de una habitación cuadrada de 25 m2. Calcula la longitud, en cm,

y el coste, en €, del cable, si cada centímetro del cable cuesta 0,30 €.

Como la habitación es cuadrada y tiene 25 m2 de área, el lado de cada pared

mide 5 m de longitud.

Longitud del cable = 5 ⋅ 4 = 20 m = 2.000 cm

Coste del cable = 2.000 ⋅ 0,30 = 600 €

ECUACIONES

Escribe cuatro expresiones algebraicas.

2x + 4 −2 + 5y − 3z 3x − y + 1 −3z − 10

Expresa los enunciados en lenguaje algebraico.

a) El doble de un número.

b) Un número al cuadrado.

c) La mitad de un número menos 3.

d) Un número menos el doble de otro.

e) El cubo de un número menos el triple de su cuarta parte.

f) El cuádruple de un número.

g) La suma de dos números.

h) El cuadrado de la diferencia de dos números.

i) La quinta parte de un número más su triple.

a) 2x d) x − 2y g) x + y

b) x 2 e) h) (x − y )2

c) f) 4x i)

Determina si las siguientes igualdades son identidades o ecuaciones.

a) 5(2x − 4) = 4(2x − 1) + 2x − 16

b) 2x + 3 = 5(x − 1) − 3x + 8

c) 2x − 8 = 3x + 6 − x + 2

d) 4(x − 3) = 3(x + 4)

e) 4x + 6 − x − 3x = 5 + 8x − 3 − 2x

f) (x + 2)2− x 2

− 4x = 4

a) Identidad d) Ecuación

b) Identidad e) Ecuación

c) Ecuación f) Identidad

010

xx

53+

x

23−

xy3 3

4−

009

008

007

Repaso

7

0

Indica los miembros y términos de estas ecuaciones señalando su coeficiente

y su incógnita.

a) 2x + 3 = 5

b) −x + 11x − 7 = 5x + x −9x

c) 4x + 6 − x − 3x = 5 + 2x − 3 − 2x

Resuelve estas ecuaciones.

a) 3(8x − 2) = 4(4x + 2) c)

b)

a) 3(8x − 2) = 4(4x + 2) → 24x − 6 = 16x + 8 → 8x = 14

→

b) 2(7x + 1) = → 14x + 2 = → 70x + 10 = 30 − 3x

→ 73x = 20 →

c) = 24(x + 1)

→ 4x − 20 − 9 + 9x = 24x + 24 → −11x = 53 → x = −53

11

245

6

3 3

8

x x−−

−

x xx

−−

−= +

5

6

3 1

81

( )→

x =20

73

63

5−

x3 2

5−

x

x = =14

8

7

4

2 7 1 3 25

( )xx

+ = −

x xx

−−

−= +

5

6

3 1

81

( )

012

011

Miembros Términos Coeficientes Incógnita

2x + 3

5

2x

3

5

2

3

5

x

Miembros

−x + 11x − 7

Términos

−x

11x

−7

Coeficientes Incógnita

−1

11

−7x

5x + x − 9x

5x

x

−9x

5

1

−9

Miembros

4x + 6 − x − 3x

Términos

4x

6

−x

−3x

Coeficientes Incógnita

4

6

−1

−3 x

5 + 2x − 3 − 2x

5

2x

−3

−2x

5

2

−3

−2

SOLUCIONARIO

a)

b)

c)

8

Dentro de 5 años la edad de Paloma será el triple de la que tenía hace 9 años.

¿Qué edad tiene Paloma?

x → edad actual de Paloma

x + 5 → edad de Paloma dentro de 5 años

x − 9 → edad de Paloma hace 9 años

x + 5 = 3 ⋅ (x − 9) → x + 5 = 3x − 27 → −2x = −32 → x = 16

Paloma tiene 16 años.

Cristina iba a pagar 7.800 € por los 150 menús de los invitados a su boda.

a) Si al final asistieron 40 invitados más, ¿cuánto pagó en total?

b) Si el coste del banquete hubiera sido de 8.736 €, ¿cuántos invitados más

asistieron respecto de los 150 iniciales?

a) Menús Coste-(€)

→ → 150 ⋅ x = 7.800 ⋅ 190

→

Si asistieron 40 invitados más, pagó 9.880 €.

b) Menús Coste-(€)

→ → 150 ⋅ 8.736 = 7.800 ⋅ x

→

Al banquete asistieron 18 invitados más.

En una peña quinielística de 120 socios, cada uno aporta 3 € a la semana.

a) En el caso de que fueran 60 socios más, ¿cuánto aportaría cada socio?

b) Si quisieran jugar 540 € a la semana, ¿cuánto tendría que aportar cada uno?

a) Socios Aportación-(€)

→ → 120 ⋅ 3 = 180 ⋅ x →

Si fueran 60 socios más, cada socio aportaría 2 €.

b) Apuesta-(€) Aportación-(€)

→ → 360 ⋅ x = 540 ⋅ 3

→

Si quisieran jugar 540 € a la semana, cada uno de los socios tendría

que aportar 4,50 €.

x = =1 620

3604 5

.,

360

540

3=

x

360 → 3

540 → x

x = =360

1802

120

180 3=

x

120 → 3

180 → x

015

x = =1 310 400

7 800168

. .

.

150 7 800

8 736x

=.

.

150 → 7.800

x → 8.736

x = =1 482 000

1509 880

. ..

150

190

7 800=

.

x

150 → 7.800

190 → x

014

013

Repaso

Pedro compró 2 m de tubería de cobre por 5,20 €. Si tiene que comprar 5 m de la misma tubería, ¿cuánto le costará?

Tubería (m) Coste (€)

→

Los 5 metros de tubería le costarán 13 €.

Un tren que circula a 80 km/h tarda 3 horas en llegar a una ciudad. ¿Cuánto tardará circulando a 60 km/h?

Velocidad (km/h) Tiempo (h)

→

Circulando a 60 km/h, el tren tardará 4 horas.

En una escalada llevan agua para 5 excursionistas durante 8 horas. Si pasadas2 horas se marchan 2 excursionistas, ¿para cuántas horas tendrán agua?

Pasadas 2 horas, a los 5 excursionistas les quedaría agua para 6 horas.

Personas Tiempo (h)

→

Tendrán agua para 10 horas después de marcharse los 2 excursionistas.

GEOMETRÍA

Determina gráficamente el vector vW de la traslación que transforma F en F', y el vector wW de la traslación que transforma F' en F.

019

3

5

6 30

310= = =

x

x→

5 → 6

3 → x

018

60

80

3 80 3

604= =

⋅=

x

x→

80 → 3

60 → x

017

2

5

5 20 5 20 5

213= =

⋅=

, ,

x

x→

2 → 5,20

5 → x

016

F

F'

vW

wW

9

0SOLUCIONARIO

10

Determina la figura simétrica de F respecto del eje e.

Aplica a la figura F un giro de centro O y ángulo −135°. (Los ángulos negativos

van en el sentido de las agujas del reloj.)

Obtén la figura simétrica de F respecto del punto O.

FUNCIONES

Razona si las siguientes relaciones son funciones.

a) El peso de una persona y su edad.

b) El diámetro de una esfera y su volumen.

c) El número de DNI de una persona y la letra de su NIF.

d) El número de teléfono de una persona y su número de DNI.

a) No, por ejemplo, una persona puede pesar lo mismo en dos años distintos.

b) Sí, el volumen de una esfera depende de su radio.

c) No, pues solo se consideran funciones las relaciones entre variables

numéricas.

d) Sí, a cada teléfono le corresponde un único número de DNI.

023

022

021

020

Repaso

O

F'

F

F'

F

O

135°

e

F F'

11

0

Expresa algebraicamente, mediante una tabla y una gráfica, la función que:

a) Asocia a un número su mitad más 4 unidades.

b) Relaciona la cantidad de peras compradas en kilogramos y su precio

(1 kg cuesta 2,25 €).

a)

b)

Describe, mediante un enunciado, las siguientes funciones.

a) y = x 3− 1 c) e) y = 9x − 2

b) y = (x − 1)3 d) y = x (x + 1) f) y = x 2+ x

a) El cubo de un número menos 1.

b) El número anterior a un número al cubo.

c) La quinta parte de un número más 2.

d) El producto de un número por el siguiente número.

e) Un número multiplicado por 9 menos 2.

f) Un número más su cuadrado.

Expresa, mediante una fórmula,

la función que relaciona

el número de CD y su precio.

Después, construye una tabla

de valores y representa

los puntos que obtienes.

¿Puedes unirlos?

026

yx

= +

52

025

024

x yx

= +

24

0 4

1 9/2

2 5

4 6

x y = 2,25x

0

1

2

4

0

2,25

4,5

9

CD €

1

2

3

4

8,20

16,40

24,60

32,80

10

30

50

1 2 3 4

1

Y

Y

X

X

1

Y

X1

SOLUCIONARIO

1

Cada CD cuesta: 32,80 : 4 = 8,20 €

La función es: y = 8,2x

Los puntos no se pueden unir porque

no podemos comprar fracciones de CD.