TEMA 1Extensiones del modelo de regresión lineal con dos variables .- Algunos aspectos del análisis de regresión lineal se insertan bien en el marco del modelo de regresión lineal con dos variables que hemos analizado hasta ahora. Primero consideraremos la regresión a través del origen, es decir, una situaciones en la cual el termino del intercepto, β1, está ausente del modelo.

6.1.- Regresión a través del origen.- Hay ocasiones en las cuales la función de regresión poblacional (FRP) de dos variables adquiere la siguiente forma: Yi = β2Xi + ui (6.1.1)En este modelo, el termino del intercepto está ausente o es cero, lo cual explica el nombre regresión a través del origen.A manera de ilustración consideraremos el modelo de asignación de precios de activos de capital (CAPM, del inglés capital asset pricing model) de la teoría moderna de portafolio, la cual, en su versión de prima por riesgo, se expresa como:(ERi – rf) = βi(ERm – rf) (6.1.2)

Donde ER = tasa esperada de rendimiento del titulo iErm = Tasa esperada de rendimiento del portafolios de mercados como la representa por ejemplo, el índice de compuestos de acciones S&P 500

Rf = Tasa de rendimiento libre riesgo sistemático, es decir, el riesgo que no se ha eliminado con la diversificación. Asimismo, es una medida del grado en el cual i-esima tasa de rendimiento del titulo se mueve con el mercado. Un βi > 1 implica un titulo volátil o riesgoso, mientras que βi < 1 es un titulo seguro.

Si los mercados de capitales funcionan de manera eficiente, el CAPM postula que la prima esperada por el riesgo del titulo (= Eri – Rf ) es igual a ese coeficiente β del titulo multiplicado por la prima esperada del riesgo del mercado (= (ERm – rf ). Si el CAPM se mantiene se da la situación de la figura 1. La línea que aparece en la figura se conoce como línea del mercado de valores (LMV)

Para fines empíricos suele expresarse así:Ri – rf = βi(ERm – rf) + u (6.1.3)ERi – rf = ∞ + βi(ERm – rf) (6.1.4)Este ultimo modelo se conoce como el modelo del mercado. Si el CAPM es valido, se espera que ∞ sea cero

La hipótesis del ingreso permanente de Milton Friedman, que afirma que el consumo permanente es proporcional al ingreso permanente, es otro caso en el que el modelo de intercepto cero puede ser apropiado, como también en la teoría de análisis de costos, que postula que la variable costo de producción es proporcional a la producción; y algunas versiones de la teoría monetaria que afirma que la tasa de cambio de los precios ( es decir la tasa de inflación) es proporcional a la tasa de cambio de la oferta monetaria.

0

ERi – rf

βi

ERi – rf

Línea del mercado de valores

Figura 1Riesgo sistemático

0

ERi – rf

βi

Riesgo sistemático

Figura 2El modelo del mercado de la teoría de portafolios (con el supuesto de que ∞ = 0)

Prim

a po

r rie

sgo

del ti

tulo

¿Cómo se estiman modelos como (6.1.1) y que problemas presentan? Para responder, primero escribimos la FRM de (6.1.1) a saber:Yi = β2Xi + ui (6.1.5)Ahora aplicamos el método MCO (6.1.5) y se obtiene las siguientes formulas para β2 y su varianza.β2 = ∑ XiYi/∑X2 (6.1.6)var(β2) = σ2/∑X2 (6.1.7)Donde σ2 se estima conσ2 = ∑ XiYi/n – 1 (6.1.8)Deben ser obvias las diferencias entre estos dos conjuntos de fórmulas: en el modelo sin término de intercepto se utilizan sumas de cuadrados simples y productos cruzados, pero en el modelo con intercepto, se utilizan sumas de cuadrados ajustadas (de la media) y productos cruzados. Segundo, los gl para calcular σ2 son (n – 1) en el primer caso y (n – 2) en el segundo (¿Por qué?).

Aunque el modelo sin intercepto o con intercepto cero puede ser apropiado en algunas ocasiones, deben observarse algunas características de este modelo.Primero, ∑ui, que es siempre cero en el modelo con intercepto (el modelo convencional), no necesita serlo cuando ese término está ausente.Segundo, r2, el coeficiente de determinación presentado, que siempre es no negativo en el modelo convencional, en ocasiones puede volverse negativo en el modelo sin intercepto.Este resultado anómalo surge porque el r2 que presentamos en el tema anterior supone explícitamente que el intercepto está incluido en el modelo

r2 para el modelo de regresión a través del origen.Como recién mencionamos y más adelante analizaremos en mayor detalle, el r2 convencional del tema antes realizado no es apropiado en regresiones que no incluyan o no consideren el intercepto. Pero se puede calcular para tales modelos, lo que se conoce como el r2 simple, el cual se define como. (6.1.9)

Nota: Se trata de sumas de cuadrados simples (es decir, no corregidas por la media) y de productos cruzados.A pesar de que este r2 simple satisface la relación 0 < r2 < 1, no es directamente comparable con el valor r2 convencional. Por esta razón, algunos autores no presentan el valor r2 en los modelos de regresión con intercepto cero.

Debido a las características especiales de este modelo, se debe tener mucho cuidado al utilizar el modelo de regresión con intercepto cero. A menos que haya una expectativa a priori muy sólida, es aconsejable apegarse al modelo convencional con presencia de intercepto. Esto tiene una doble ventaja.Primero, si se incluye en el modelo el término del intercepto pero es estadísticamente no significativo (es decir, estadísticamente igual a cero), para todos los fines prácticos se tiene una regresión a través del origen. Segundo y más importante, si el modelo si tiene un intercepto pero insistimos en ajustar una regresión a través del origen, cometeríamos un error de especificación.

EJEMPLO 1 En primer lugar ajustamos el modelo (6.1.3) a estos datos. Con EView6 obtuvimos los siguientes resultados de regresión, que se presentan en el formato estándar de EViews.Variable dependiente: YMétodo: mínimos cuadrados Muestra: 1980M01 1999M12Observaciones incluidas: 240

Como muestran estos resultados, el coeficiente de la pendiente (el coeficiente Beta) es muy significativo, pues su valor p es muy pequeño. La interpretación en este caso es que si la tasa excedente del mercado aumento un punto porcentual, el rendimiento excedente del índice del sector de bienes de consumo aumenta alrededor de 1.15 puntos porcentuales.

Coeficiente Error estándar Estadístico t Probabilidad

X 1.155512 0.074396 15.53200 0.0000

R cuadrada 0.500309 Media de la variable dependiente 0.499826

R cuadrada ajustada+ 0.500309 Desviación estándar de la variable dependiente 7.849594

Error estándar de regresión 5.548786 Estadístico de Durbin-Watson* 1.972853

Suma de cuadrados de residuos 7 358.578

El coeficiente de la pendiente no es solo estadísticamente significativo, sino que es significativamente mayor que 1 (¿puede verificar esto?). Si un coeficiente Beta es mayor que 1, se dice que este título (en este caso, un portafolio de 104 acciones) es volátil; se mueve más que proporcionalmente con el índice general del mercado de valores. Sin embargo, este resultado no debe sorprender, porque en este ejemplo se consideran acciones del sector de bienes de consumo cíclico, como los bienes duraderos de uso doméstico, automóviles, textiles y equipo deportivo.Si ajustamos el modelo (6.1.4), obtenemos los siguientes resultados:Variable dependiente: YMétodo: mínimos cuadrados Muestra: 1980M01 1999M12Observaciones incluidas: 240

Coeficiente Error estándar Estadístico t Probabilidad

C -0.447481 0.362943 -1.232924 0.2188

X 1.171128 0.075386 15.53500 0.0000

R cuadrada 0.503480 Media de la variable dependiente 0.499826

R cuadrada ajustada 0.501394 Desviación estándar de la variable dependiente 7.849594

Error estándar de regresión 5.542759 Estadístico de Durbin-Watson* 1.984746

Suma de cuadrados de residuos 7 311.877 Probabilidad (estadístico f) 0.000000

Estadístico F 241.3363

En estos resultados observamos que el intercepto no es estadísticamente diferente de cero, aunque el coeficiente de la pendiente (el coeficiente Beta) es muy significativo estadísticamente. Esto indica que el modelo de regresión a través del origen se ajusta bien a los datos. A demás, en términos estadísticos, no hay diferencia entre los valores del coeficiente de la pendiente en los dos modelos. Observe que el error estándar del coeficiente de la pendiente en el modelo de regresión a través del origen es un poco menor que el del modelo con el intercepto presente, lo cual apoya el argumento de Theil de la nota 4. Aun en este caso, el coeficiente de la pendiente es estadísticamente mayor que 1, lo que una vez más confirma que los rendimientos de las acciones del sector de bienes de consumo cíclico son volátiles.

A propósito, observe que el valor de r2 para el modelo de regresión a través del origen debe tomarse con ciertas reservas, pues la fórmula tradicional de r2 no es aplicable en tales modelos. Sin embargo EViews presenta de manera habitual el valor estándar de r2; incluso para estos modelos.6.2.- Escalas y unidades de medición.- En resumen, ¿las unidades con que se mide la variable regresada y la (s) variable (s) regresora (s) influyen de algún modo en los resultados de la regresión? De ser así, ¿qué curso razonable debe seguirse en la selección de las unidades de medición para el análisis de regresión? Para responder estas preguntas, procedamos sistemáticamente. Sea

Yi = β1 + β2Xi + ui (6.2.1)Donde Y = IDPB y X = PIB. Defina (6.2.2) (6.2.3)Donde y son constantes, denominadas factores de escala; puede ser igual o diferente a .De (6.2.2) y (6.2.3) es claro que y son y reescaladas. Por tanto, si y se miden en miles de millones de dólares y se desea expresarlas en millones de dólares, se tendrá = 1 000 y = 1000 ; aquí = = 1 000.

Ahora considere la regresión con las variables y : (6.2.4)Donde = , y = . (¿Por qué?)

Año IDPB IDPB PBI PBI

1990 886.6 886600.0 7112.5 7112500.0

1991 829.1 829100.0 7100.5 7100500.0

1992 878.3 878300.0 7336.6 7336600.0

1993 953.5 953500.0 7532.7 7532700.0

1994 1042.3 1042300.0 7836.5 7836500.0

1995 1109.6 1109600.0 8031.7 8031700.0

1996 1209.2 1209200.0 8328.9 8328900.0

1997 1320.6 1320600.0 8703.5 8703500.0

1998 1455.0 1455000.0 9066.9 9066900.0

1999 1576.3 1576300.0 9470.3 9470300.0

2000 1679.0 1679000.0 9817.0 9817000.0

2001 1629.4 1629400.0 9890.7 9890700.0

2002 1544.6 1544600.0 10048.8 10048800.0

2003 1596.9 1596900.0 10301.0 10301000.0

2004 1713.9 1713900.0 10703.5 10703500.0

2005 1842.0 1842000.0 11048.5 11048500.0

Tabla 6.1Inversión nacional privada bruta y PIB, del Peru, 1990-2005 (miles de millones de dólares [de 2000] ajustados por la inflación, salvo donde se indica lo contrario; datos trimestrales con tasas anuales ajustadas por estacionalidad)

Nota:IDPBmm = Inversión domestica privada bruta (miles de millones de soles de 2000)IDPBm = Inversiones nacionales privadas brutas (millones de soles)PBImm = Producto bruto interno (miles de millones de soles de 2000)PBIm = Producto Bruto interno (millones de soles de 2000)Deseamos encontrar las relaciones entre los siguientes pares:1.- β1 y β1

2.- β1 y β1

3.- var (β1) y var ()4.- var (β2) y var ()5.- σ2 y σ*2

6.- y

De la teoría de mínimos cuadrados, sabemos que: = (6.2.5) = (6.2.6) =(6.2.7)

= (6.2.8) = (6.2.9)Del mismo modo, al aplicar el método MCO a (6.2.4), obtenemos = (6.2.10) = (6.2.11)

= (6.2.12) = (6.2.13) = (6.2.14)Con estos resultados es fácil establecer relaciones entre estos dos conjuntos de parámetros estimados. Todo lo que se debe hacer es recordar las siguientes relaciones: (o ); (o ); ; ; y . Con estas definiciones, el lector puede verificar fácilmente que

= (6.2.15) = (6.2.16) = (6.2.17) = (6.2.18) = (6.2.19) = (6.2.20)

De los resultados anteriores debe quedar claro que, con los resultados de regresión basados en una escala de medición, se pueden obtener los resultados basados en otra, una vez que se conozcan los factores de escala, w. En la práctica, sin embargo, se deben escoger las unidades de medición en forma razonable, no tiene objeto manejar todos esos ceros al expresar números en millones o en miles de millones de dólares.

De los resultados de (6.2.15) hasta (6.2.20) se derivan fácilmente algunos casos especiales.

Por ejemplo, si w1 = w2, es decir, si son idénticos los factores de escala, el coeficiente de la pendiente y su error estándar permanecen inalterados en el cambio de escala de (, ) a (, ), lo cual intuitivamente debería ser claro. Sin embargo, el intercepto y su error estándar están multiplicados por w1. Si la escala X no se cambia (es decir, w2 = 1), pero la escala Y se cambia por el factor w1, el coeficiente de la pendiente, al igual que el intercepto y sus errores estándar respectivos, se multiplican por el mismo factor w1. Por último, si la escala Y permanece inalterada (es decir, w1 = 1), pero la escala X se cambia por el factor w2, el coeficiente de la pendiente y su error estándar se multiplican por el factor (1/w2), pero el coeficiente del intercepto y su error estándar permanecen inalterados.

Sin embargo, debe observarse que la transformación de la escala (Y, X) a la escala (, ) no afecta las propiedades de los estimadores de MCO analizadas en los capítulos anteriores.

EJEMPLO 2Relación entre la IDPB y el PIB Peru 1990-2005 Para demostrar los resultados teóricos anteriores, consideremos de nuevo los datos presentados en la tabla 6.2 y examinaremos los siguientes resultados (las cifras entre paréntesis son los errores estándar estimados).Si las escalas de la IDPB y del PIB están en miles de millones de solesIDPBt = -926.090 + 0.2535 PIBt ee = (116.358) (0.0129) r2 = 0.9648 (6.2.21)Si las escalas de IDPB y del PIB están en millones de dólares: IDPBt = -926.090 + 0.2535 PIBt ee = (116.358) (0.0129) r2 = 0.9648 (6.2.22)Observe que el intercepto, lo mismo que su error estándar, es de 1 000 veces los valores correspondientes de la regresión (6.2.21) (observe que w1 = 1 000 al pasar de miles de millones a millones de soles), pero el coeficiente de la pendiente, al igual que su error estándar, permanecen sin cambio, como lo afirma la teoría.La IDPB en miles de millones de dólares y el PIB en millones de soles: IDPBt = -926.090 + 0.0002535 PIBt ee = (116.358) (0.0000129) r2 = 0.9648 (6.2.23)

Como se esperaba, el coeficiente de la pendiente al igual que su error estándar, es (1/1 000) de su valor en (5.2.21), pues solo se modificó la escala de X, es decir, del PIBLa IDPB en millones de dólares y el PIB en miles de millones de dólares:IDPBt = -926.090 + 253.524 PIBt ee = (116 358.7) (12.9465) r2 = 0.9648 (6.2.24)De nuevo, observe que tanto el intercepto como el coeficiente de la pendiente y sus errores estándar respectivos son 1 000 veces sus valores en (6.2.21), lo cual concuerda con los resultados teóricos.

Note que, en todas las regresiones presentadas antes, el valor de r2 permanece constante, lo cual no sorprende debido a que el valor r2 es invariable respecto de los cambios en las unidades de medición, pues es un número puro adimensional.Advertencia sobre la interpretaciónComo el coeficiente de la pendiente, β2, es tan sólo la tasa de cambio, ésta se mide en las unidades de la razón.

Así, en la regresión (6.2.21), la interpretación del coeficiente de la pendiente 0.2535 es que si el PIB cambia en una unidad, de 1 000 millones de soles, la IDPB cambia en promedio en 0.2535 miles de millones de soles. En la regresión (6.2.23), una unidad de cambio en el PIB, que es 1 millón de soles, induce en promedio a un cambio de 0.0002535 miles de millones de soles en IDPB. Los dos resultados son por supuesto idénticos en sus efectos del PIB sobre la IDPB, simplemente están expresados en diferentes unidades de medición.