Contenido de la Unidad 3DISTRIBUCIONES DISCRETAS23.1 DEFINICIN DE VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.23.2 FUNCIN DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIN, VALOR ESPERADO, VARIANZA Y DESVIACIN.2Funcin de Probabilidad.2Media o valor esperado de una variable aleatoria discreta.3Varianza y desviacin estndar de una variable aleatoria discreta.33.3 DISTRIBUCIN BINOMIAL33.4 DISTRUBUCIN HIPERGOEMTRICA.73.5 DISTRIBUCIN GEOMTRICA.103.6 DISTRIBUCIN MULTINOMIAL.113.7 DISTRIBUCIN DE POISSON.123.8. APROXIMACIN DE LA BINOMIAL POR LA DE POISSON.153.9. DISTRIBUCIN BINOMIAL NEGATIVA163.10 DISTRIBUCIN UNIFORME (DISCRETA)18

DISTRIBUCIONES DISCRETAS3.1 DEFINICIN DE VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.

Variable aleatoria discreta. Es una variable aleatoria con un rango finito o infinito contable.

Funcin. Es el comportamiento de una variable.

Binomial

Multinomial

Distribuciones

Poisson

Discretas

Geomtrica

Hipergeomtrica

Distribuciones

Normal (z)

de

t

Probabilidad

Chi cuadrada (x2)

F

Distribuciones

Exponencial

Continuas

Uniforme

Gamma

Beta

Erlang

Logartmicas

3.2 FUNCIN DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIN, VALOR ESPERADO, VARIANZA Y DESVIACIN.

Funcin de Probabilidad.

La funcin f(x)= P(X=x) que va del conjunto de los valores posibles de una variable aleatoria discreta X al intervalo [0,1] recibe el nombre de funcin de probabilidad.[footnoteRef:1] [1: MONTGOMERY, Douglas C. Op. Cit.Pg. 105]

Para una variable aleatoria X, f(x) satisface las propiedades siguientes:

1) f(x)= P(X=x)

2) f(x) 0 para toda x

3) f(x)=1

Media o valor esperado de una variable aleatoria discreta.

Si X es una variable aleatoria, el experimento aleatorio que determine el valor de X se repite muchas veces, entonces se obtiene una secuencia de valores para X. Puede emplearse un resumen de estos valores, tal como el promedio (media), para identificar el valor central de una variable aleatoria.

La funcin de probabilidad de X puede interpretarse como la porcin de ensayos en los que X=x en secuencia, en realidad no es necesario realizar el experimento muchas veces con la finalidad de determinar el valor medio de X. La media de X puede calcularse como el promedio ponderado de los valores posibles de X, asignando al resultado x un factor de ponderacin f(x)=P(X=x).

La media o valor esperado de una variable aleatoria discreta[footnoteRef:2] X, denotado por o E(X), es: [2: Ibid. Pg. 113]

Varianza y desviacin estndar de una variable aleatoria discreta.

La varianza de una variable aleatoria discreta[footnoteRef:3] X, denotada por 2 o V(X), es [3: Ibid. Pg. 116]

La varianza de una variable aleatoria discreta es similar a la varianza muestral utilizada anteriormente. La varianza de una variable aleatoria se calcula ponderando el cuadrado de cada desviacin con respecto a la media, con la probabilidad asociada de la desviacin. La probabilidad asociada con una desviacin representa la proporcin de un grande de repeticiones del experimento aleatorio en los que se obtiene dicha desviacin.

La desviacin estndar de una variable aleatoria[footnoteRef:4] X, denotada por , es la raz cuadrada positiva de2. [4: Ibid. Pg. 117]

3.3 DISTRIBUCIN BINOMIAL[footnoteRef:5] [5: Ibid.Pg. 125]

Ensayo de Bernoulli._ Es un experimento aleatorio que contiene solo dos resultado posible, denotados por xito y fracaso. La probabilidad de un xito se denota por p.

Un experimento aleatorio que consiste en n ensayos repetido tales que:

1) Los ensayos son independientes.

2) Cada ensayo tiene solo dos resultados posibles denominados xito y fracaso.

3) La probabilidad de xito de cada ensayo, denotado por p, permanece constante.

Recibe el nombre de experimento binomial.

La variable aleatoria X que es igual al de ensayos donde el resultado es un xito, tiene una distribucin binomial con parmetros p y n =1,2,

La funcin de probabilidad de la distribucin binomial es:

Ejemplo:

Suponga que la probabilidad de recuperar un automvil robado en cierta ciudad es de 0.40.

a) Cul es la probabilidad de 2 automviles de los 10 robados?

b) Cul es la probabilidad de recuperar cuando mucho 3 de los 10 automviles robados?

c) Cul es la probabilidad de recuperar por lo menos 7 de los 10 automviles robados?

n= 10

P= 0.40

X= 2

a)

b)

c)

EJERCICIO 1:

Al probar cierto tipo de neumticos para camin en un terreno escabroso se encuentra que el 25% de los camiones no completaban la prueba si ponchaduras.

a) Dentro de los siguientes 15 camiones encuentre las probabilidades que de 3 a 6 tengan ponchaduras.

b) De que menos 4 tengan ponchaduras.

c) De que ms 5 tengan ponchaduras.

P=0.25

n= 15

a)

b)

c)

EJERCICIO 2:

La probabilidad de que un paciente se recupere de una delicada operacin de corazn es 0.90.

a) Cul es la probabilidad de que exactamente 5 de los pacientes intervenidos sobrevivan?

P=0.90

n= 7

3.4 DISTRUBUCIN HIPERGOEMTRICA.

Si se selecciona una muestra sin reemplazo de una poblacin finita conocida y contiene una proporcin relativamente grande de la poblacin, de manera que la probabilidad de xito sea perceptiblemente alterada de una seleccin a la siguiente, debe utilizarse la distribucin hipergeomtrica.[footnoteRef:6] [6: WEBSTER, Allen L. Estadstica Aplicada a los negocios y la economa, Pag. 115.]

Un conjunto de N objetos contienen

R objetos clasificados como xitos y

N-R objetos clasificados como fallas

Se toma una muestra de tamao n, al azar (sin reemplazo) de entre N objetos, donde R N y n .

Sea la variable aleatoria X el de xitos en la muestra. Entonces, X tiene una distribucin hipergeomtrica y[footnoteRef:7] [7: MONTGOMERY, Douglas C. Op. Cit. Pg. 140]

f(x): Probabilidad de x xitos en n intentos.

n: La cantidad de intentos.

r: La cantidad de elementos identificados como xitos en la probabilidad.

N: La cantidad de intentos de la poblacin.

x: elementos identificados como xitos.

EJEMPLO 1:

Supongamos que en un establo de caballos de carrera hay N = 10 caballos, y r = 4 de ellos son del dueo Y. Cul es la probabilidad de seleccionar una muestra de n = 3 en la cual x = 2 sean del dueo Y?

Existe un 30% de probabilidad de seleccionar tres caballos de carreras, dos de los cuales estn enfermos.

EJEMPLO 2:

Un grupo de segundo semestre est formado por treinta alumnos de los cuales 6 son mujeres y el resto hombres. Determine la probabilidad de seleccionar por lo mucho 3 mujeres.

N= 30

r= 6

n= 3

EJERCICIO 1:

Una poblacin consiste de 10 artculos 4 de los cuales son defectuosos y los 6 restantes no lo son, Cul es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de tamao 3 contenga 2 artculos defectuosos?

N= 10

r= 4

n= 3

EJERCICIO 2:

Como subgerente de una empresa de materias primas, usted debe contratar 10 personas entre 30 candidatos, 22 de los cuales tienen ttulos universitarios. Cul es la probabilidad de que 5 de los que usted contrate tengan un ttulo?[footnoteRef:8] [8: WEBSTER, Allen L. Op. Cit, Pag. 115.]

N=20, r=22, n=10, x=5

F(x)= 0.049083151 = 4.9 %

EJERCICIO 3:

De los 15 altos ejecutivos de un negocio de importaciones y exportaciones, se seleccionan 12 para ser enviados al Japn a estudiar un nuevo proceso de produccin. Ocho de los ejecutivos ya tienen algo de entrenamiento en el proceso. Cul es la probabilidad de que 5 de los enviados tengan algo de conocimiento sobre el proceso antes de partir para el lejano oriente?[footnoteRef:9] [9: Ibid. Pg. 115.]

N=15, r=8, n=12, x=5

F(x)= 0.123076923 = 12.3 %

EJERCICIO 4:

Cuarenta trabajadores han recibido en su oficina nuevos computadores. Veintisiete tienen la nueva tecnologaMMX. Si se seleccionan 10 aleatoriamente, cul es la probabilidad de que 3 estn equipados con MMX? [footnoteRef:10] [10: Ibid. Pg. 115.]

N=40, r=27, n=10, x=3

F(x)= 0.005921356= 0.59 %

3.5 DISTRIBUCIN GEOMTRICA.

Considere un experimento aleatorio que est muy relacionado con el que se emple para definir una distribucin binomial, suponga una serie de ensayos Bernoulli independientes con una probabilidad constante p de xitos, sea la variable aleatoria X el nmero de ensayos realizados hasta la obtencin del primer xito, entonces X tiene una distribucin geomtrica con parmetro p.[footnoteRef:11] [11: MONTGOMERY, Douglas C. Op. Cit. Pg. 132]

Funcin de Probabilidad.

EJEMPLO:

Se sabe que en cierto proceso de fabricacin en promedio uno de cada 100 artculos, esta defectuoso Cul es la probabilidad de que 5 artculos que se inspeccionan sea el primer defectuoso en hallarse?

EJERCICIO I:

En tiros repetidos de un dado equilibrados, la probabilidad de que el primer 6 ocurra en el tercer tiro es.

3.6 DISTRIBUCIN MULTINOMIAL.

Una importante y til variable aleatoria de mayor dimensin tiene una distribucin conocida como distribucin multinomial.[footnoteRef:12] Supngase que en un experimento X con espacio muestra z se particiona en K eventos mutuamente excluyentes, digamos B1, B2,,Bk. Consideremos n repeticiones independientes de X y dejemos que p1=p(Bi) sea constante de ensayo a ensayos de Bernoulli como los descritos anteriormente. El vector aleatorio, [X1, X2,,Xk ], tiene la siguiente distribucin donde X1 es el nmero de veces que B1 ocurre en las n repeticiones de X,1= 1,2,,K. [12: Ibid. Pg. 186.]

Con.

X= El nmero de veces que se descarta cuando ocurra un evento.

P= La probabilidad de que ocurra cada evento.

n= el total de veces de todos los eventos.

EJEMPLO:

Se lanza 6 veces un par de dados Cul es la probabilidad de obtener un total de 7 u 11 en dos ocasiones, un par igual una vez o cualquier otra combinacin diferente de las 2 anteriores 3 veces?

n= 6

X1= 2 E1: 7 u 11.

X2= 1 E2: Par o igual.

X3= 3 E3: Combinacin diferente.

P1= 8/36 = 2/9

P2= 6/36 = 1/6

P3=22/36 = 11/18

3.7 DISTRIBUCIN DE POISSON.

Distribucin de Poisson Ideada por el matemtico francs Simeon Poisson (1781 -1840), la distribucin de Poisson mide la probabilidad de un evento aleatorio sobre algn intervalo de tiempo o espacio[footnoteRef:13]. [13: WEBSTER, Allen L. Op. Cit, Pag. 115.]

La distribucin de Poisson puede desarrollarse de dos maneras, y ambas son instructivas en lo que respecta a que indican las circunstancias en las que esta variable aleatoria puede esperarse que se aplique en la prctica. El primer desarrollo implica la definicin de un proceso de Poisson. El segundo desarrollo muestra la distribucin de Poisson como una forma lmite de la distribucin.[footnoteRef:14] [14: MONTGOMERY, Douglas C. Op. Cit.. Pg.189]

La primera suposicin es que el nmero de llegadas durante intervalos de tiempo que no se traslapen, son variables aleatorias independientes. Segundo, hacemos la suposicin de que existe una cantidad positiva tal que para cualquier intervalo pequeo de tiempo, t, se cumplen los siguientes postulados.

1) La probabilidad de ms de una ocurrencia en el subintervalo es mayor a cero.

2) La probabilidad de una ocurrencia en un subintervalo en la misma para todos los subintervalos y es proporcional a la longitud de estos.

3) El conteo de la ocurrencia en cada subintervalo es independiente de los dems subintervalos.

Funcin de Probabilidad:

= El nmero promedio de ocurrencias en un rango.

X= El nmero de veces que se busca ocurra el evento promedio.

EJEMPLO:

A menudo el de llamadas telefnicas que llegan a un conmutador se modela como una variable aleatoria de Poisson, suponga que en promedio se reciben 10 llamadas por hora.

a) Cul es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamadas en 1 hora?

b) Cul es la probabilidad de que se reciban 3 o menos llamadas en una hora?

c) Cul es la probabilidad de que se reciban exactamente 15 llamadas en 2 horas?

d) Cul es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamadas en 30min?

a) .

b) = 10 llamadas / hora

c) = 20 llamadas / 2 horas

d) . = 5 llamadas /hora

3.8. APROXIMACIN DE LA BINOMIAL POR LA DE POISSON.

Se demostrara ahora que cuando el valor de n es grande y el valor de p es cercano a 0, la distribucin binomial con parmetros n y p se puede aproximar por una distribucin de Poisson con media np. Supngase de una variable aleatoria X tiene una distribucin binomial con parmetros n y p y sea Pr(X = x) = f (x|n, p) para cualquier valor dado de x. Entonces de la ecuacin (6) de la seccin 5.2, para x=1,2,., n.

[footnoteRef:15] [15: Probabilidad y Estadstica, Morris H DeGroot, pgs. 243, 244]

Si definimos = np, entonces se puede reescribir de la siguiente forma:

Supngase ahora que y de forma que el valor del producto np permanezca igual al valor fijo a travs de este proceso de lmites. Puesto que los valores de y x permanecen fijos cuando , entonces

Adems se sabe de clculo elemental que

Por la ecuacin (8), resulta ahora que para cualquier entero positivo fijo x,

Por ltimo para ,

Ejemplos:

1. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por da, cules son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un da dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos das consecutivos?

Solucin:

a) x = variable que nos define el nmero de cheques sin fondo que llegan al banco en un da cualquiera = 0, 1, 2, 3,.., etc., etc.

l = 6 cheques sin fondo por da

e = 2.718

b) x= variable que nos define el nmero de cheques sin fondo que llegan al banco en dos das consecutivos = 0, 1, 2, 3, , etc., etc.

l = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos das consecutivos

Nota: l siempre debe de estar en funcin de x siempre o dicho de otra forma, debe hablar de lo mismo que x.

2. En la inspeccin de hojalata producida por un proceso electroltico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfeccin en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando ms una imperfeccin en 15 minutos.

Solucin:

a) x = variable que nos define el nmero de imperfecciones en la hojalata por cada 3 minutos = 0, 1, 2, 3,., etc., etc.

l = 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos en la hojalata

b) x = variable que nos define el nmero de imperfecciones en la hojalata por cada 5 minutos = 0, 1, 2, 3,., etc., etc.

l = 0.2 x 5 =1 imperfeccin en promedio por cada 5 minutos en la hojalata

=1-(0.367918+0.367918) = 0.26416

c) x = variable que nos define el nmero de imperfecciones en la hojalata por cada 15 minutos = 0, 1, 2, 3,.., etc., etc.

l = 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada 15 minutos en la hojalata

3.9. DISTRIBUCIN BINOMIAL NEGATIVA

Si Repetidos intentos independientes pueden resultar en existo con una probabilidad p y en un fracaso con una probabilidad , entonces la distribucin de la probabilidad de la variable x, el nmero de intentos en el cual ocurre el k-simo xito es:[footnoteRef:16] [16: Probabilidad y Estadstica, Walpole Myers, 4a edicin, pgs. 134, 135.]

Ejemplo 1

Encuentre la probabilidad de que una persona que lanza al aire tres monedas obtenga ya sea solo caras o solo cruces por segunda ocasin en el quinto lanzamiento.

Solucin Utilizando la distribucin binomial negativa con se tiene:

La distribucin binomial negativa toma su nombre del hecho que cada termino en expansin de corresponde a los valores de para

Si se considera el caso especial de la distribucin binomial negativa donde k=1, se tiene una distribucin de probabilidad para el numero de intentos requeridos para un solo xito. Un ejemplo seria el lanzamiento de una moneda hasta que ocurriera una cara. Se podra estar interesado en la probabilidad de que la primera cara ocurriera en el cuarto lanzamiento. La distribucin binomial negativa se reduce a la forma dado que los trminos sucesivos constituyen una progresin geomtrica, se acostumbra referirse a este caso especial como la distribucin geomtrica y sus valores se representan por .

Ejemplo 2

La solucin es:

Ejemplo 3

1) Esperanza: E(X) =r q/p

2) Varianza: V(X) =r q/p2

3) Se cumplen las siguientes propiedades respecto la funcin de densidad:

4) Este modelo se ajusta bien a contajes (nmeros de individuos por unidad de superficie) cuando se produce una distribucin contagiosa (los individuos tienden a agruparse).

5) La distribucin Binomial negativa puede definirse con mayor generalidad si tomamos r como un nmero real positivo cualquiera (no necesariamente entero). Pero, en dicho caso, se pierde el carcter intuitivo del modelo y se complican ligeramente los clculos. Por dichas razones, se ha excluido dicha posibilidad en esta presentacin.

3.10 DISTRIBUCIN UNIFORME (DISCRETA)

Si una variable aleatoria puede tomar n valores distintos con iguales probabilidades, decimos que esta tiene una distribucin uniforme discreta; en forma simblica se tiene:

DefinicinUna variable X tiene una distribucin uniforme discreta, y se conoce como variable aleatoria uniforme discreta, si y solo si su distribucin de probabilidad est dada por [footnoteRef:17] [17: Probabilidad y Estadstica para ingeniera y ciencias, Gabril Velasco Sotomayor, pgs. 107, 109.]

Para x1, x2, x3,.., xn

La media y la varianza de esta distribucin son, respectivamente:

y

La desviacin estndar, por tanto, est dada por la siguiente expresin:

.

En la mayora de las calculadoras cientficas de bolsillo existe una modalidad estadstica con la cual estos dos parmetros se pueden calcular oprimiendo una tecla. Pero la obtencin de la media y la desviacin estndar de una variable aleatoria por medio de la calculadora en general solo funciona para la distribucin uniforme discreta, la cual la calculadora la asume por default.de hecho, la media de la variable aleatoria con distribucin uniforme discreta es el promedio aritmtico comn, denotado en las calculadoras por el smbolo x (x testada).

Ejemplo:

Se lanza un dado ordinario. Para definimos la variable aleatoria como la cara del dado que sale hacia arriba. Obtenga la distribucin de probabilidad de esta variable aleatoria, as como su media y su desviacin estndar.

Solucin. Naturalmente, si el dado no est cargado, entonces cualquiera de las seis caras tiene la misma probabilidad de salir, as que la funcin de distribucin de probabilidad de este ejemplo est dada por

La media y la desviacin estndar son, por lo tanto:

Ejemplos: Si lanzamos un dado de seis caras, jugamos a la ruleta francesa, jugamos a la lotera, la funcin de masa es:

P(X = i) = i = 1, ..., n

y la esperanza matemtica es:

E [X]=p(x=i) ==n=

Sea una variable aleatoria que puede tomar n valores distintos, x1,..., xn, cada uno de ellos con la misma probabilidad, es decir, con probabilidad uniforme. La distribucin de probabilidad o funcin de masa de esta variable aleatoria es:

P(X = xi) = para i = 1,..., n

Comprobemos que es funcin de masa:

P(X = xi) 0 i.

(X = xi) ==1

Sin prdida de generalidad, suponemos ahora que los valores estn ordenados de menor a mayor. La funcin de distribucin es:

F(x)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

2

2

2

m

m

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-

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12093

.

0

60

.

0

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.

0

45

40

.

1

40

.

2

10

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2

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10

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.

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0

3

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.

0

60

.

0

064

.

0

120

40

.

0

1

40

.

0

3

10

3

12093

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0

60

.

0

16

.

0

45

40

.

0

1

40

.

0

2

10

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.

0

60

.

0

40

.

0

10

40

.

0

1

40

.

0

1

10

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.

0

60

.

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1

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.

0

1

40

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0

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10

0

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7

3

10

3

8

2

10

2

9

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10

1

10

0

10

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0544

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0

7

8

9

10

7

04224

.

0

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.

0

00163

.

0

120

40

.

0

1

40

.

0

7

10

7

01053

.

0

36

00065

.

0

45

40

.

0

1

40

.

0

8

10

8

00156

.

0

6

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0

00026

.

0

10

40

.

0

1

40

.

0

9

10

9

0001

.

0

1

0001

.

0

1

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.

0

1

40

.

0

10

10

10

7

7

10

7

8

10

8

9

10

9

10

10

10

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(

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70409

.

0

6

5

4

3

6

3

09018

.

0

07508

.

0

00024

.

0

5005

25

.

0

1

25

.

0

6

15

6

16402

.

0

05631

.

0

00097

.

0

3003

25

.

0

1

25

.

0

5

15

5

22481

.

0

04223

.

0

00390

.

0

1365

25

.

0

1

25

.

0

4

15

4

22508

.

0

03167

.

0

01562

.

0

455

25

.

0

1

25

.

0

3

15

3

6

3

6

15

6

5

15

5

4

15

4

3

15

3

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x

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x

p

x

p

x

p

x

p

x

p

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