MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES: Mayores de 25 años.Tema 1. Números enteros, racionales e irracionales. Números reales.

Números enteros. Operaciones. Múltiplos y divisores. Números primos y compuestos. Números racionales. Operaciones. Expresión decimal y fraccionaria. Aproximaciones y errores. Números irracionales. Radicales y potencias. Radicales equivalentes. Operaciones con radicales. Números reales. Operaciones. La recta real. Intervalos y semirrectas. Notación científica.

IPEP de Granada

Dpto. de Matemáticas

Tema 1. Números enteros, racionales e irracionales. Números reales.Números enteros. Operaciones

http://www.ditutor.com/numeros_enteros/numeros_enteros.htmlSe dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero.

Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de los números enteros.

Valor absoluto de un número enteroEl valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al pasar al número a positivo.

|−a| = a |a| = a

Criterios para ordenar los números enterosTodo número negativo es menor que cero. −7 < 0Todo número positivo es mayor que cero. 7 > 0De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto. −7 >− 10             |−7| < |−10| De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto. 10 > 7             |10| > |7| Operaciones con números enterosSuma de números enterosSi los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.

3 + 5 = 8(−3) + (−5) = − 8

Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.

− 3 + 5 = 23 + (−5) = − 2

Resta de números enterosLa diferencia de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

a - b = a + (-b) 7 − 5 = 2 7 − (−5) = 7 + 5 = 12

Multiplicación de números enterosLa multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Regla de los signos

-

2 · 5 = 10 (−2) · (−5) = 10 2 · (−5) = − 10 (−2) · 5 = − 10

División de números enteros La división de dos números enteros es igual al valor absoluto del cociente de los valores absolutos entre el dividendo y el divisor, y tiene de signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.10 : 5 = 2 (−10) : (−5) = 2 10 : (−5) = − 2 (−10) : 5 = − 2

Potencia de números enteros La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas:Las potencias de exponente par son siempre positivas. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.Propiedades

a0 = 1 · a1 = a am · a n = am+n (−2)5 ·(−2)2 = (−2)5+2 = (−2)7 = −128 am : a n = am - n (−2)5 : (−2)2 = (−2)5 - 2 = (−2)3 = −8 (am)n = am · n [(−2)3]2 = (−2)6 = 64an · b n = (a · b) n (−2)3 · (3)3 = (−6) 3 = −216an : b n = (a : b) n (−6)3 : 3 3 = (−2)3 = −8

Potencias de exponente entero negativo

Raíz cuadrada de un número enteroLas raíces cuadradas de números enteros tienen dos signos: positivo y negativo.

El radicando es siempre un número positivo o igual a cero, ya que se trata del cuadrado número.

Operaciones combinadas con números enterosPrioridades en las operaciones1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. 2º.Calcular las potencias y raíces.3º.Efectuar los productos y cocientes.4º.Realizar las sumas y restas.

Múltiplos y divisores. Números primos y compuestos.Un número a es múltiplo de otro b cuando a es el resultado de multiplicar b por otro número c → a = b · cAl número b y al número c se les llaman divisores de a.Por ejemplo 6 es múltiplo de 2 y de 3. Luego 2 y 3 son divisores de 6.Un número es primo si solo tiene dos divisores: él mismo y la unidad. Son números primos el 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, … Un número es compuesto cuando tiene más de dos divisores. Son compuestos el 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, …El número 1 no es ni primo ni compuesto. Es el elemento unidad (es el único número natural que divide a todos y que deja a los números invariantes cuando se multiplica con ellos).

Números racionales. Operacioneshttp://www.vitutor.net/1/0_7.htmlUn número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Se representa por .

 

Operaciones con números racionales

Suma y resta de números racionales

Con el mismo denominadorSe suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

Con distinto denominadorEn primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

Multiplicación de números racionales

Propiedad Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c

Sacar factor común: a · b + a · c = a · (b + c)

División de números racionales

.

Ejercicios de operaciones con números racionales

Calcula las siguientes operaciones con números racionales:

1

2

3

4

Efectúa las divisiones de números racionales:

1

2

3

Realiza las operaciones con números racionales:

1

2

Expresión decimal y fraccionaria.

Expresión decimal http://www.ceibal.edu.uy/contenidos/areas_conocimiento/mat/comparaciondefracciones/expresin_decimal.html

Expresión decimalComo todo número racional puede escribirse como fracción, admite también una representación decimal, que es la que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador. De esta forma podemos comparar sus expresiones decimales. Por ejemplo 1/2 tiene como expresión decimal 0,5 y 1/3 = 0,3333...

Esto da lugar a dos tipos de expresiones decimales, las de período cero y las de período diferente de cero.Por ejemplo 1/2 = 0,50 representa una expresión decimal de período 0. Observa que el período es 0, pues después de la cifra 5 siguen infinitos ceros.1/3 = 0,3 representa una expresión decimal de período diferente de 0. El período es 3 y se puede

representar escribiendo el número y una raya encima .

Tomemos otro caso, busquemos la expresión decimal de 1/7. Al dividir uno por siete se obtiene donde el período es 142857.

Siempre que el período sea distinto de cero estará formado por un número finito de cifras diferentes.

Podríamos preguntarnos ¿es toda expresión decimal un número racional? La respuesta es no.Existen expresiones decimales no periódicas que no se pueden expresar en forma de fracción. Por ejemplo podemos construir el número 97,1010010001.... donde las cifras decimales no se repiten nunca de la misma manera, en este caso por ejemplo, porque cada vez vamos colocando un cero más antes de escribir el 1. Así se construye un número que no es posible representarlo con una fracción porque no es periódico, por lo tanto no es un número racional. Estos números se llaman irracionales y serán los que completen la recta numérica.

Uno de los irracionales más "populares" es el número pi . Normalmente tomamos una expresión decimal aproximada de π tomando 3.14 o bien 3.1416, pero π = 3.14159265358…

Expresión fraccionaria de un número decimal exacto o periódico.

http://www.vitutor.com/di/r/a_9.html

Un número decimal exacto o periódico puede expresarse en forma de fracción, llamada fracción generatriz, de las formas que indicamos:

1 Pasar de decimal exacto a fracción.

Si la fracción es decimal exacta, la fracción tiene como numerador el número dado sin la coma, y por denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga.

Ejemplo:

2 Pasar de periódico puro a fracción generatriz.

Si la fracción es periódica pura, la fracción generatriz tiene como numerador el número dado sin la coma, menos la parte entera, y por denominador un número formado por tantos nueves como cifras tenga el período.

Ejemplo:

3 Pasar de periódico mixto a fracción generatriz.

Si la fracción es periódica mixta, la fracción generatriz tiene como numerador el número dado sin la coma, menos la parte entera seguida de las cifras decimales no periódicas, y por denominador, un número formado por tantos nueves como cifras tenga el período, seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica.

Ejemplo:

Aproximaciones y erroreshttp://www.calculo.cc/N%C3%BAmeros_reales/Aproximaciones_y_errores.htm

Aproximaciones

En ocasiones, ciertos números tales como π,  √2,  5,675...  dificultan el trabajo.En estos casos usamos valores próximos a dichos números para simplificar los cálculos.Es por ello que surgen los siguientes conceptos:

Aproximación por defecto o truncamiento

Consiste en eliminar las cifras a partir del orden considerado.

Aproximación por exceso

Se eliminan las cifras a partir del orden considerado, pero se aumenta en una unidad la última cifra que dejamos.

Redondeo

Es la mejor de las aproximaciones de las dos anteriores.

Se aumenta una unidad si el decimal último está comprendido entre 5 y 9.Y se deja igual si está comprendido ente 1 y 5.

Ejemplo de aproximación hasta las centésimas:

Aproximación por

defectoo truncamiento

Aproximación por exceso

Redondeo

5,357 5,35 5,36 5,36

7’333 = 7,33 7,34 7,33

= 1’732… 1,73 1,74 1,73

= 1’02777… 1,02 1,03 1,03

Errores

Error absoluto

Es la diferencia, en valor absoluto, entre el valor real y la aproximación.

Error relativo

Es el cociente del error absoluto y error real.

Ejemplos de error absoluto y error relativo:

Calcular los errores cometidos al redondear 5,327 a las centésimas.

5,327   redondeo a la centésima →   5,33

Números irracionales. Radicales y potenciasPotencias de números racionales

Potencias de exponente entero y base racional

Propiedades

1

2

3. Producto de potencias con la misma base:

4. División de potencias con la misma base:

5. Potencia de una potencia:

6. Producto de potencias con el mismo exponente:

7. Cociente de potencias con el mismo exponente:

Ejercicios de potencias de números racionales

Realiza las siguientes operaciones con potencias de fracciones:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Halla las operaciones de fracciones con potencias:

Ejercicios de operaciones combinadas de números racionales

Primero operamos con los productos y números mixtos de los paréntesis.

Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamos en el último.

Realizamos el producto y lo simplificamos.

Realizamos las operaciones del paréntesis.

Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado.

Resuelve las operaciones combinadas:

Radicales equivalentes. Operaciones con radicales

Expresión de un radical en forma de potencia

De esta forma podemos expresar un radical como una potencia fraccionaria o viceversa (una potencia fraccionaria como un radical)

Por ejemplo, para expresar una potencia fraccionaria como un radical: a) b)

c)

Ejemplos de cómo expresar un radical como una potencia fraccionaria a)

b)

c)

Simplificación de radicales

Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical equivalente.

Reducción de radicales a índice común

1 Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice

2 Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.

Extracción de factores fuera del signo radical

Se descompone el radicando en factores. Si un exponente es menor que el índice, el factor

correspondiente se deja en el radicando.

Si un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.

Si un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.

Introducción de factores dentro del signo radical

Se introduce los factores elevados al índice correspondiente del radical.

a)

b) = c) =

d) =

Suma de radicales

Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.

a) b)

c) d)

e) f)

g)

h) i)

Producto de radicales

Radicales del mismo índicePara multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.

Radicales de distinto índicePrimero se reducen a índice común y luego se multiplican.

Cociente de radicales Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.

Radicales de distinto índicePrimero se reducen a índice común y luego se dividen.

Potencia de radicales

Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.

Raíz de un radical

La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.

Racionalizar radicales

Consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.

Podemos distinguir tres casos.

1 Del tipo

Se multiplica el numerador y el denominador por .

Ejemplos: a)

b)

2 Del tipo

Si m es mayor o igual que n, primero se sacan factores fuera del radical.

Si m es menor que n, se multiplica numerador y denominador por .

3 Del tipo , y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un

radical.

Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

a)

b)

c)

Números reales. Operaciones. La recta real

http://www.vitutor.com/di/re/r2.html

El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por .

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo, y la división por cero.

La recta real

A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.

Los puntos en la recta se identifican con los números que representan. El número real que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto y la recta recibe el nombre de recta real o recta de los números reales. El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos".

Ejemplo.

 

Representación de los números reales

Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos representarlos de forma exacta.

Intervalos y semirrectas. Notación científica http://www.vitutor.com/di/re/r4.html

Intervalo abierto

Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.

(a, b) = {x / a < x < b}

Intervalo cerrado

Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la izquierda

Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.

(a, b] = {x / a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la derecha

Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.

[a, b) = {x / a ≤ x < b}

Semirrectas

( – ∞ , a ] = {x / x ≤ a}

( – ∞ , a ) = {x / x < a}

(a , ∞ ) = {x / x > a}

[a , ∞ ) = {x / x ≥ a}

Notación científica http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/scno/sn_home.html

Un número está en notación científica si ha sido expresado en la forma a × 10b donde 1 ≤ a < 10 y b son enteros. La siguiente tabla presenta ejemplos de números y cómo ellos pueden ser expresados en notación científica. Cabe señalar que 2.34 EE4 es una notación abreviada para 2.34 x 104. En particular, este formato es común en las calculadoras.

Número Notación Científica Forma EE de la Notación Científica

123 1.23 × 102 1.23 EE 2

0.0234 2.34 × 10-2 2.34 EE -2

1230000 1.23 × 106 1.23 EE 6

0.000321 3.21 × 10-4 3.21 EE -4

La clave de la notación científica está en comprender el efecto que tiene multiplicar un número por una potencia de diez. La manera más fácil de entender esto es asociar la multiplicación por potencias de diez con un movimiento del punto decimal.

Las siguientes tablas muestran el efecto de multiplicar el número 1.23 por diversas potencias de 10. Cabe señalar que el número estará expresado como 1. 23000, para que el movimiento del punto decimal será más claro.

Multiplicar por 105 es mover la coma decimal 5 unidades a la derecha

Multiplicar por 10-4 es mover la coma decimal 4 unidades a la izquierdaDe aquí, podemos llegar a las siguientes conclusiones.

El efecto de multiplicar un número por 10a, donde a ≥ 0, es mover el punto decimal a unidades a la derecha.

El efecto de multiplicar un número por 10-a, donde a ≥ 0, es mover el punto decimal a unidades a la izquierda.

Conversión de Expresiones en Notación Científica a Números Simples

Ejemplo: Convertir el número 2.34 x 105 a una expresión numérica simple expresando el mismo número sin exponentes o productos.

Solución: Podemos convertir el número anterior expresado en notación científica a una expresión numérica simple, sin exponentes o productos siguiendo los siguientes pasos.

Colocar el número 2.34 por sí mismo sin su potencia de diez asociada. Ya que 5 ≥ 0, contar cinco dígitos a la derecha. Añadir cuantos ceros sean necesarios para

completar el movimiento.

Mover el punto decimal de 5 unidades a la derecha. El resultado es 234000

Ejemplo: Eliminar los productos y las potencias de la expresión 5.581 × 10-7

Solución: Podemos convertir la expresión anterior en notación científica a un número simple sin exponentes o productos con los siguientes pasos. 

Colocar el número 5.581 por sí mismo sin su potencia de diez asociada.

Ya que -7 ≤ 0, contar 7 dígitos a la izquierda. Añadir cuantos ceros sean necesarios para completar el movimiento.

Mover el punto decimal 7 unidades a la izquierda. El resultado es .000000581

Ejemplos:

Escribe en forma usual el número en notación científica 7.43 × 103

1. Colocar el número solamente 7.43

2. Como 3 ≥ 0, contar 3 dígitos a la derecha. Añadir tantos ceros como sea necesario.

3. Mover el punto decimal 3 unidades a la derecha. 7430

Eliminar los productos y potencias del número 1.97 × 10-9

1. Colocar el número solamente 1.97

2. Como -9 ≥ 0, contar 9 dígitos a la izquierda. Añadir tantos ceros como sea necesario

3. Mover el punto decimal 9 unidades a la izquierda.

.00000000197

Expresar un número en Notación Científica

Ejemplo: Expresar 4730000 en notación científica.

Solución: Podemos convertir el número anterior a notación científica mediante los siguientes pasos.

Eliminar todos los puntos decimales del número (en este caso no hay ningún punto decimal) 473000 Colocar un punto decimal en los dígitos para que el número esté entre uno y diez. En adelante nos

referiremos a este número como a. En este caso a = 473000.

Determinar el número de unidades y la dirección que el punto decimal debe moverse para convertir a al número inicial.

4.73000 a 4730000 significa 6 unidades a la derecha.

Consideraremos que el número b tiene la misma magnitud que el número de unidades que el punto decimal debe moverse y su signo es positivo si se mueve el punto decimal a la derecha y negativo si se mueve el punto decimal hacia la izquierda. En este caso b = +6

El número en notación científica es a × 10b o en este caso 4.73000 × 106. Dependiendo de la situación, es usual eliminar los ceros de la derecha dando el resultado final 4.73 × 106.

Ejemplo: Expresar -0.0000426 en notación científica.Solución: Podemos convertir el número anterior a notación científica mediante los siguientes pasos.

Eliminar todos los puntos decimales del número -00000426. Colocar un punto decimal en los dígitos para que el número esté entre uno y diez. En adelante nos

referiremos a este número como a. En este caso a = -000004.26 = -4.26 .

Determinar el número de unidades y la dirección que el punto decimal debe moverse para convertir a al número inicial.

-4.26 a -0.0000426 significa 5 unidades a la izquierda. Cabe señalar que hay que añadir ceros superfluos a la izquierda para lograr el movimiento requerido.

Consideraremos que el número b tiene la misma magnitud que el número de unidades que el punto decimal debe moverse y su signo es positivo si se mueve el punto decimal a la derecha y negativo si se mueve el punto decimal hacia la izquierda. En este caso b = -5

El número en notación científica es a × 10b o, en este caso -4.26 × 10-5. En este caso, no hay ceros a la izquierda por lo que el resultado final es -4.26 × 10-5.

Ejemplos: Expresar 82600000 en notación científica.

1. Eliminar todos los puntos decimales del número (es este caso no hay ningun punto decimal)

8260000

2. Colocar un punto decimal en los dígitos para que el número esté entre uno y diez. En adelante nos referiremos a este número como a.

a = 8260000.

3. Determinar el número de unidades y la dirección que el punto decimal debe moverse para convertir a al número inicial. 8.260000 a 82600000 significa

7 unidades a la derecha

4. Consideraremos que el número b tiene la misma magnitud que el b = +7

número de unidades que el punto decimal debe moverse y su signo es positivo si se mueve el punto decimal a la derecha y negativo si se mueve el punto decimal hacia la izquierda.

El número en notación científica es a × 10b. Dependiendo de la situación, es generalmente necesario eliminar los ceros de la derecha dando el resultado final .

8.26000 × 107 = 8.26 × 107

Expresar -0.00936 en notación científica

1. Eliminar todos los puntos decimales del número. -000936

2. Colocar un punto decimal en los dígitos para que el número esté entre uno y diez. De ahora en adelante nos referiremos a este número como a.

a = -0009.36 = -9.36a

3. Determinar el número de unidades y la dirección que el punto decimal debe moverse para convertir a al número inicial. -9.36 a -0.00936 significa 3

unidades a la izquierda.

4. Consideraremos que el número b tiene la misma magnitud que el número de unidades que el punto decimal debe moverse y su signo es positivo si se mueve el punto decimal a la derecha y negativo si se mueve el punto decimal hacia la izquierda.

b = -3

5. El número en notación científica es a × 10b . -9.36 × 10-3