- UD03A02 Sistemas Ecu Primeiro Grao.rtf

8/18/2019 - UD03A02 Sistemas Ecu Primeiro Grao.rtf

1/23

Dirección Xeral de Formación Profesional eEnsinanzas Especiais

Material para a preparaciónde probas a distanciaGrao Medio

Proba Científico-tecnolóxica

Parte da proba Ex. Matemáticas

Unidade didáctica 3. Ecuacións e sistemas

Actividade 2. istemas de ecuacións de primeiro !rao

"utores Grupo de traballo de desen#ol#emento dematerial para a preparación das probas deacceso

$ome do ar%ui#o U&'3"'2(sistemas(de(ecuacions.)*+

Páxina 1 de 23


2/23

,ndice

. +ic a t/cnica..................................................................................................................3. *ítulo e descrición..........................................................................................................3.2 0bxecti#os.....................................................................................................................3.3 Contidos.........................................................................................................................3.1 "spectos metodolóxicos.................................................................................................3. &escrición do %ue se #ai aprender.................................................................................3

2. &escrición da acti#idade................................................................................................. 4ntrodución.....................................................................................................................

istemas de ecuacións............................................................................................M/todos para resol#er sistemas de ecuacións.........................................................Protocolo do m/todo de i!ualación..........................................................................Protocolo do m/todo de substitución.......................................................................

Protocolo do m/todo de redución.............................................................................Protocolo para resolución de problemas..................................................................Exemplos resoltos....................................................................................................5M/todo de 4!ualación...............................................................................................5M/todo de substitución............................................................................................6M/todo de redución..................................................................................................6

.5 *arefas......................................................................................................................... '.5. *arefa 7 )esolución de sistemas de ecuacións de primeiro !rao................................. '

Exercicio . 8a distancia9...................................................................................... ' "utoa#aliación........................................................................................................ 'Exercicio .2 8a distancia9.......................................................................................

"utoa#aliación........................................................................................................Exercicio .3 8a distancia9...................................................................................... 3

"utoa#aliación........................................................................................................ 3Exercicio .1 8a distancia9...................................................................................... 1

"utoa#aliación........................................................................................................ 1.5.2 *arefa 27 Problemas resolubles mediante sistemas de ecuacións de primeiro !rao......

Exercicio 2. 8a distancia9...................................................................................... "utoa#aliación........................................................................................................Exercicio 2.2 8a distancia9...................................................................................... 5

"utoa#aliación........................................................................................................ 5Exercicio 2.3 8a distancia9...................................................................................... 6

"utoa#aliación........................................................................................................ 6Exercicio 2.1 8a distancia9...................................................................................... :

"utoa#aliación........................................................................................................ :Exercicio 2. 8a distancia9......................................................................................2'

"utoa#aliación........................................................................................................2'

Páxina 2 de 23


3/23

1. Ficha técnica

1.1 !t"lo e descriciónTítulo: Sistemas de ecuacións de primeiro graoDescrición: nesta unidade imos resolver problemas mediante formulación de sistemas dedúas ecuacións de primeiro grao con dúas incógnitas.

Nome do arquivo: UD0 !0 "sistemas"ecuacions"primeiro"grao.#T$

1.2 #b$ectivos%omprender e producir mensa&es orais e escritas utili'ando os termos matem(ticos con precisión.#esolver problemas sin&elos eli&indo a forma de c(lculo apropiada )e valorar aadecuación do resultado ao conte&to* para os que se precise o seguinte: dun+a banda, autili'ación das catro operacións, as potencias e raíces, con números enteiros, decimais,fraccionarios e reais- doutra banda, a formulación e resolución de ecuacións de primeiroe segundo grao, e de sistemas de ecuacións lineais con dúas incógnitas.Utili'ar estrate&ias sin&elas, tales como a organi'ación da información de partida, a procura de e&emplos, contrae&emplos, casos particulares ou os m todos de ensaio e errosistem(tico, en conte&tos de resolución de problemas.

1.% &ontidosSistemas de ecuacións de primeiro grao de dúas ecuacións con dúas incógnitas./ todos de resolución de sistemas: redución, igualación e substitución.

roblemas que se resolven mediante sistemas de ecuacións.

1.' Aspectos metodoló$icos!ctividade de aprendi'a&e a distancia, escrita e individual,#ecursos: non se utili'ar(n recursos alleos- serve como te&to de apoio ou complementariocalquera te&to correspondente aos cursos de 1S2.

1.( Descrición do )"e se vai aprender 2 primeiro que imos aprender nesta unidade a resolver sistemas de dúas ecuacións de primeiro grao con dúas incógnitas. Utili'aremos t cnicas de c(lculo nas que cumprir(ntodos os recursos de resolución de ecuacións de primeiro grao.

!prenderase tam n a traducir os enunciados ( lingua&e matem(tica, que a que nosa&uda a que se&a m(is simple poder facer operacións. %omo doado comprender, o que se

estudou na actividade 3 fundamental para o estudo da unidade actual: antes traballabamos

Páxina % de 23


4/23

cun+a incógnita, agora imos traballar con dúas. ense que as incógnitas que adoitamosc+amar x e y representan por si mesmas palabras completas ou mesmo frases que, de non ser por elas, teriamos que estar repetindo varias veces ao longo do problema. 4embre oe&emplo anteriormente utili'ado: x 5 6número de coellos que +ai na gran&a7- pense acantidade de palabras e de espa'o que aforramos gra'as ao x.

4embre tam n que un protocolo un+a serie de pasos repetitivos que nos a&udan aresolver o que vai deseguido- conv n sabelos de memoria ou, cando menos, telos impresos e( vista para podermos ra'oar o proceso con m(is soltura.

8 conveniente imprimir as p(&inas onde est(n os protocolos e, así, ter ( man os distintos pasos para ( resolución de sistemas, de problemas ou de ecuacións.

Páxina ' de 23


5/23

2. Descrición da actividade

1.* +ntrod"ción

,istemas de ec"acións

Un sistema de ecuacións un con&unto de ecuacións. 2s que nós trataremos neste capítuloson os sistemas de dúas ecuacións de primeiro grao con dúas incógnitas.

! forma +abitual ser(=+=+ f eydx

cbyax

a , b, c, d , e, f son números- x e y son as incógnitas que nós queremos calcular.! solución dun sistema de dúas ecuacións de primeiro grao con dúas incógnitas un par devalores que, substituídos nas incógnitas, satisf(n as dúas ecuacións que o forman.

9 &ase un e&emplo:

=+=−

:

;

y x

y x

! solución x 5 < e y 53, &a que ao substituírmos eses valores nas ecuacións do sistema, oresultado certo.

=+=−:3<

;3<

Métodos para resolver sistemas de ec"acións

4embre que cando vostede se enfronte a un sistema deber( seguir un protocolo. Naautoavaliación, os pasos do protocolo seguido ir(n sinalados pola inicial e o númerocorrespondente.

2 primeiro que debemos facer e simplificar os números que aparecen en cada ecuación.

Protocolo do método de i-"alación

Tr(tase de despe&ar a mesma incógnita nas dúas ecuacións- por tanto:

I1. Despe&amos a mesma incógnita nas dúas ecuacións.

Páxina ( de 23


6/23

I2. !plicaremos que dúas e&presións iguais a un+a terceira son iguais entre si ) y 5 a , y 5 b,entóna 5 b*. Deste &eito teremos un+a ecuación cun+a incógnita que resolveremos polosm todos +abituais.

I3. ara co=ecermos o valor da incógnita que queda soamente temos que substituír o valor atopado nun+a das dúas ecuacións do sistema, aproveitando na que temos a outra incógnitadespe&ada- neste caso vale calquera das dúas ecuacións.

I4. %omprobamos a correcta resolución do sistema substituíndo os valores atopados nasecuacións ori&inais e vendo que os resultados son correctos.

1n todos os e&ercicios da tarefa 3 vai a resolución do sistema correspondente polom todo de igualación.

Protocolo do método de s"bstit"ción

Tr(tase de despe&ar soamente un+a incógnita dun+a das ecuacións, a que nós consideremosm(is doada para non equivocarnos nas operacións.S1. Despe&amos un+a incógnita dun+a das dúas ecuacións, a que nos resulte m(is sin&ela.

S2. Substituímos esa incógnita na outra ecuación- deste &eito teremos un+a ecuación cun+aincógnita que resolveremos do &eito +abitual.

S3. ara co=ecermos o valor da incógnita que queda só temos que substituír a incógnitacalculada na ecuación onde a ti=amos despe&ada.

S4. %omprobamos a correcta resolución do sistema substituíndo os valores atopados nasecuacións ori&inais e vendo se os resultados son correctos.

1n todos os e&ercicios da tarefa 3 vai a resolución do sistema correspondente polom todo de substitución.

Protocolo do método de red"ción

Tr(tase de igualar os coeficientes dun+a das incógnitas, pero con signos distintos.

R1. >gualaremos os coeficientes dun+a das incógnitas nas dúas ecuacións, pero co signocambiado, de &eito que te=amos un positivo e outro negativo )aplicamos a propiedade de

ecuacións, que di que se pode multiplicar ou dividir un+a ecuación nos dous membros senque varíe o resultado*.

R2. Sumaremos as dúas ecuacións, o que nos +a dar un+a ecuación cun+a incógnita, queresolveremos polos m todos +abituais.

R3. Substituiremos a incógnita que se acaba de calcular nun+a das dúas ecuacións ori&inais para calcular a outra.

R4. %omprobamos a correcta resolución do sistema substituíndo os valores atopados nasecuacións ori&inais e vendo se os resultados son correctos.

Páxina * de 23


7/23

1n todos os e&ercicios da tarefa 3 vai a resolución do sistema correspondente polom todo de redución.

Protocolo para resol"ción de problemas

P1 . $acer un+a lectura de todo o enunciado e, ao rematar, preguntar as palabras que non seentendan ou sobre as que se te=an dúbidas- tam n se poden buscar nun dicionario.

P2 . %ambiar da lingua&e escrita con palabras ( lingua&e matem(tica escrita con símbolos,quedando só co fundamental do problema.

P3 . $ormular a situación en termos de ecuacións ou inecuacións.

P4 . #esolver as ecuacións cos m todos co=ecidos.

P5 . 8 fundamental ler novamente o enunciado para comprobar se se contestou ao querealmente se preguntaba.

2s e&ercicios correspondentes ( tarefa ? est(n resoltos na p(&ina 3 e nas posteriores.

E$emplos resoltos

Nun aparcadoiro +ai ?; ve+ículos, entre turismos e motos. Se contamos as rodas vemos que+ai @; rodas. %antos ve+ículos +ai de cada claseA

P1 . Busque palabras que desco=e'a. %ando entenda todo o enunciado, pode seguir.

P2 . %omo temos ve+ículos de dous tipos, c+amar moslles x aos turismos e y (s motos

)puidera ser ao rev s*. 1n total +ai ?;, polo que x C y 5 ?;.!o contarmos as rodas temos que os turismos te=en catro e as motos te=en soamente dúas.$acendo as contas de cantas rodas ten cada un+a das dúas clases, ser( ; x, dicir, catrorodas polo número de turismos que temos, e ? y, &a que temos dúas rodas por cada moto.

1n total temos ; x C ? y rodas de todos os ve+ículos, que o enunciado di que son @;.

;& C ?E 5 @;

P3 . !s ecuacións que interve=en son

=+

=+

@;?;

?;

y x

y x

2 primeiro que debemos facer e simplificar os números que aparecen en cada ecuación-neste e&emplo simplificamos por ? a segunda ecuación, que pasa a ser ;?? =+ y x .

P4 . Fmolo resolver polos tres m todos.

Páxina de 23


8/23

Método de +-"alación

=+=+

@;?;

?;

y x

y xI1. 4mos resol#er este sistema de ecuacións polo m/todode i!ualación.

−=−=

x y

x y

?;??;

I2 . &;as expresións i!uais a un a terceira son i!uais entre

elas< por tanto= despexamos a #ariabley nas d;asecuacións.

x x ?;??; −=−?;;?? −=− x x

3@= x turismos I3 . Calculamos a outra incó!nita= para o %ue temos %uesubstituír o x nun a das d;as ecuacións do sistema ondetemos o y despexado.

3@?;?; −=−= y x y:= y motos

I4. Comprobamos %ue a solución / correcta substituíndoos dous #alores no sistema orixinal.

=+=+=+ @;3?G?:D?3@D;?;@3:

>ea o enunciado para #er se a solución dada / o %ue realmente pide o problema= e estude se /co erente

Solución final x 5 3@ turismos, y 5 motos.

Neste caso co+erente, pois en principio, a falta de facermos a comprobación, pode ser que+a&a 3@ turismos e motos.

Un+a solución non co+erente sería que x 5 3@H;0, pois non posible ter 0H;0 turismos.

Método de s"bstit"ción

=+=+

@;?;

?;

y x

y xS1 . Como podemos elixir= despexaremos a incó!nita máisdoada das d;as ecuacións.

x y −= ?; S2 . &ese!uido substituímos esa incó!nita na outra ecuacióne resol#emos do xeito abitual.

( ) @;?;?; =−+ x x@;?;@; =−+ x x;@@;?; −=− x x

:? = x3@

?: == x turismos

S3 . Calculamos a!ora o y.

x y −= ?; 3@?; −= y ? @ motos S4 . Comprobamos %ue a solución / correcta substituíndo osdous #alores no sistema orixinal.

=+=+=+

@;3?G?:D?3@D;?;@3:

>ea o enunciado para #er se a solución dada / o %ue realmente pide o problema= e estude se / co erente.

Páxina / de 23


9/23

Solución final: x 5 3@ turismos, y 5 motos

Método de red"ción

=+=+

@;?;

?;

y x

y xR1 . 4!ualamos os coeficientes multiplicando por A1 nosdous membros da primeira ecuación.

=+−=−−

@;?;

I:;;

y x

y xR2 . umaremos as d;as ecuacións para obtermos un aecuación cun a incó!nita e resol#/mola do xeito abitual.

3?? −=− y

:?

3? =−−= y motos

R3 . ubstituímos este #alor na primeira ecuación= por ser amáis sinxela.

?;: =+ x3@= x turismos R4 . Comprobamos se a solución / correcta substituíndo osdous #alores no sistema orixinal.

=+=+=+

@;3?G?:D?3@D;?;:3@


Solución final x 5 3@ turismos, y 5 motos.

Páxina 0 de 23


10/23

1. arefasTarefa 3: #esolución de sistemas de ecuacións de primeiro grao.Tarefa ?: roblemas resolubles mediante sistemas de ecuacións de primeiro grao.

1. .1 arefa 1 esol"ción de sistemas de ec"acións de primeiro -rao

E$ercicio 1.1 3a distancia4

#esolva o sistema polos tres m todos=−=+

@E?&E&?

A"toavaliaciónMétodo de igualación

=−=+

@??

y x


−−=

−=

?

@

?

x y

x yI2 . &;as expresións i!uais a un a terceira son i!uais entreelas< por tanto= despexamos a #ariabley nas d;asecuacións.

x x

??

@ −=−− E1 . 4!ualamos as expresións da #ariable y obtidas dasecuacións iniciais= obtemos un a ecuación en x %ue

resol#emos polos m/todos abituais.

*?D)??

@D? x

x −=

−− E2 . 0p/rase alxebricamente para despexar a #ariable x.

x x ;:@ −=+− E4 .@:; +=+ x x E3 .

3;G = x E5 .

?G

3; == x I3. Calculamos a outra incó!nita= para o %ue temos %uesubstituír o x nun a das d;as ecuacións do sistema ondetemos o y despexado.

3;?D? −=−=−= yI4. Comprobamos %ue a solución / correcta substituíndoos dous #alores no sistema orixinal.

=+=−−=−==−+

@?:*3D)??D3;*3)?D?

>e o enunciado para #er se a solución dada / o %ue realmente pide o problema= e estude se /co erente=

Páxina 15 de 23


11/23

Método de substitución

=−

=+

@?

?

y x

y xS1 . Como podemos elixir= despexaremos a incó!nita máis doada dasd;as ecuacións.

x y ?−= S2 . &ese!uido substituímos esa incó!nita na outra ecuación eresol#emos do xeito abitual.

@*?)? =−− x x E2 .@;: =+− x x E4 .

:@G += x E3 .3;G = x E5 .

?G

3; == x S3 . Calculemos a!ora o y .

x y ?−= ?D?−= y

3; −=−= y

S4 . Comprobamos se a solución / correcta substituíndo os dous#alores no sistema orixinal.

=+=−−=−=−+

@?:*3D)??D3;*3)?D?


Método de redución

=−=+

@??

y x y x

R1 . 4!ualamos os coeficientes multiplicando por dous nos dous membros daprimeira ecuación.

=−=+@?

:?;

y x

y xR2 . umamos as d;as ecuacións para obtermos un a ecuación cun aincó!nita e resol#emos do xeito abitual.

3;G = x?

G3; == x

R3 . ubstituímos este #alor na primeira ecuación= por ser a máis sinxela.

? =+ y x ?D? =+ y &espexamos a outra incó!nita; =+ y 3; −=−= y R4 . Comprobamos se a solución / correcta substituíndo os dous #alores no

sistema orixinal.

=+=−−=−=−+

@?:*3D)??D3;*3)?D?

>ea o enunciado para #er se a solución dada / o %ue realmente pide o problema= e estude se / co erente=

Páxina 11 de 23


12/23


#esolva o sistema polos tres m todos

=−

=+

??

33?

y x

y x

A"toavaliación

Método de igualación

=−=+??

33?

y x


+=

−=

?

?

?33

y x

y xI2 . &;as expresións i!uais a un a terceira son i!uais entreelas< por tanto= despexamos a #ariabley nas d;asecuacións.

??

?33 +=− y y

E1.

( )

+=−

??

D??33D? y yE2.

?;?? +=− y y E4.

y y +=− ;??? E3.?0< = y E5.

;<

?0 == yI3. Calculamos a outra incó!nita= para o %ue temos %uesubstituír o x nun a das d;as ecuacións do sistema ondetemos o y despexado.

@33;D?33 =−=−= xI.4 . Comprobamos se a solución / correcta substituíndo osdous #alores no sistema orixinal.

=−=+=+

?;D?

33@;D?

>ea o enunciado para #er se a solución dada / o %ue realmente pide o problema= e estude se /co erente.

Método de substitución

=−=+??

33?

y x

y xS1 . Como podemos elixir= despexaremos a incó!nita máis doada das d;asecuacións.

Páxina 12 de 23


13/23

y x ?33 −= S2 . &ese!uido substituímos esa incó!nita na outra ecuación e resol#emos doxeito abitual.

?*?33D)? =−− y y E2.?


14/23

A"toavaliación

/ todo de igualación

=+

−=−

G


15/23

=+=+−=−=−

G:3?D3

ea o enunciado para #er se a solución dada / o %ue realmente pide o problema= e estude se / co erente.


=+−=−

G


16/23

−==−

x y

y x


17/23

?:0D?

& =+= S4 . Comprobamos se a solución / correcta substituíndo os dous #alores

no sistema orixinal.

=+=+=−=−

300300D??D<:0:0D??D



=+=−30E?&<

:E?& R1 . 0s coeficientes do y xa están i!ualados e cambiados de si!no.

R2 . umamos as d;as ecuacións para obtermos un a ecuación cun aincó!nita e resol#/mola do xeito abitual.

3:&@ =?

@3:& == R3 . ubstituímos este #alor nun a das ecuacións.

:E??D =− E4 .

:E?: =− E?:: ==− E5 . &espexamos a outra incó!nita.

0?0

?::

E ==−= R4 . Comprobamos %ue a solución / correcta substituíndo os dous

#alores no sistema orixinal.

=+=+=−=−

300300D??D<

:0:0D??D

>ea o enunciado para #er se a solución dada / o %ue realmente pide o problema= e estude se / co erente

1. .2 arefa 2 Problemas resol"bles mediante sistemas de ec"aciónsde primeiro -rao


%alcule dous números cu&a diferen'a se&a e a súa suma se&a 3


18/23

P3 . ! súa resta ser( - dicir, x J y 5 . ! suma ter( que ser 3


19/23

P3 . ! suma ser( 3


20/23

A"toavaliación

P1 . Busque palabras que desco=e'a. %ando entenda todo o enunciado, pode seguir.

1ste e&ercicio doado de facer pensando nun+a soa incógnita, pero para practicar sistemasfar molo pensando en dúas )a formulación cun+a soa incógnita pódea facer vostede comoe&ercicio de repaso de ecuacións de primeiro grao cun+a incógnita*. %omo temos dous datosdesco=ecidos, os dous números que nos piden, necesitamos construír dúas ecuacións paraigualar o número de incógnitas.

P2 . %+amar moslle x ao número de coellos e y ao número de gali=as. 2 número total deanimais ser( 3I, tantos como cabe'as. >mos contar o número de patas: cada coello ten catro patas- un coello ten catro, dous te=en oito, tres te=en 3?,... polo que en total, como teremos xcoellos, teremos ; x patas. %oas gali=as o ra'oamento igual, pero en ve' demultiplicarmos por catro ter molo que facer por dous )? y* patas. Lu danos calcular cantas patas +ai entre coellos e gali=as, para o que teremos que sumalas todas.

; x C ? y son as patas totais, que o problema nos di que son 0.

P3. 2 número de animais era x C y 5 3I. 2 número de patas era ; x C ? y 5 0.

! formulación do sistema queda:=+

=+:0E?&;

3IE&

%omo &a est(n as incógnitas nun membro e os números no outro podemos come'ar aresolvelo decidindo o m todo m(is a&eitado neste caso. %alquera sistema se pode facer por cada un dos m todos e&plicados.

P4. >mos utili'ar o m todo de substitución, para ir repas(ndoos todos.

=+=+

:0E?&;

3IE&implificamos a se!unda ecuación di#idindo entre dous nos dous

membros.

=+=+

0E&?

3IE& S1 . Como podemos elixir= despexaremos a incó!nita máis doada das

d;as ecuacións. $este caso= / máis doado traballar co y na se!undaecuación= polo %ue despexaremos oy na primeira.

&3IE −= S2 . &ese!uido substituímos esa incó!nita na outra ecuación e

resol#emos do xeito abitual.0&3I&? =−+ E3.

3I0& −= E4.33& = coellos S3 . Calculamos a!ora a outra incó!nita.

333IE −=

@E = !aliBas S4 . Comprobamos se a solución / correcta substituíndo os dous #aloresno sistema orixinal.

Páxina 25 de 23


21/23

=+=+=+

:03:;;?D@33D;3I@33


P5 . 2 enunciado pídenos o numero de animais de cada clase, e o resultado que nós damos conforme a iso. Non sería a&eitada un+a solución negativa nin con decimais, pois non +ai unnúmero negativo de animais nin con decimais )non e&isten ;H 0 coellos, por e&emplo*.

E$ercicio 2.' 3a distancia4

Dos quince amigos que celebran un aniversario, +ai tres rapaces menos que rapa'as. %antosrapaces e cantas rapa'as sonA

A"toavaliación

P1 . Busque palabras que desco=e'a. %ando entenda todo o enunciado, pode seguir.1ste e&ercicio doado de facer pensando nun+a soa incógnita, pero para practicar sistemasfar molo pensando en dúas )a formulación cun+a soa incógnita pódea facer vostede comoe&ercicio de repaso de ecuacións de primeiro grao cun+a incógnita*.

%omo temos dous datos desco=ecidos, o número de rapaces e o número de rapa'as,necesitamos construír dúas ecuacións para igualar o número de incógnitas.

P2. %+amar moslle x ao número de rapaces e y ao número de rapa'as. 2 número total de persoas 3mos utili'ar o m todo de redución.

−=−=+

E&

3


22/23

:& =3


23/23

=+=+

GMGE

- UD03A02 Sistemas Ecu Primeiro Grao.rtf

Documents

Transcript of - UD03A02 Sistemas Ecu Primeiro Grao.rtf