ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑ

(7Ο ΕΞΑΜΗΝΟ)

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ - ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ

Νίκος Μ. ΚατσουλάκοςΜηχανολόγος Μηχανικός Ε.Μ.Π., PhD, Msc

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΙΝΗΣΗΣ - ΟΔΟΝΤΩΤΟΙ ΤΡΟΧΟΙ

Εισαγωγικά

Κύριο χαρακτηριστικό των μηχανών είναι η αναγκαιότητα μετάδοσης κίνησης απόμία άτρακτο σε μία άλλη

Διάφορα μέσα χρησιμοποιούνται για το σκοπό αυτό, όπως ιμάντες, αλυσίδες,οδοντωτοί τροχοί κ.ο.κ.

Η κίνηση που μεταδίδεται με τους οδοντωτούς τροχούς ονομάζεται οδοντοκίνηση

Οδοντωτός τροχός είναι κάθε μεταλλικός (ή από άλλο υλικό) δίσκους, του οποίου ηπεριφέρεια χωρίζεται κατά κανονικά διαστήματα σε εσοχές και εξοχές, δηλαδήδόντια. Όλα τα δόντια πρέπει να έχουν το ίδιο ύψος, το ίδιο πάχος και την ίδιααπόσταση μεταξύ τους

Χαρακτηριστικά οδοντωτών τροχών

Σε κάθε οδοντωτό τροχό διακρίνουμε:

Την περιφέρεια που διέρχεται από τις κορυφές των δοντιών (περιφέρεια κορυφών,με διάμετρο dk)

Την αρχική περιφέρεια που διέρχεται από το μέσο περίπου των δοντιών καιαντιστοιχεί στην περιφέρεια του δίσκου πριν κοπούν τα δόντια, με διάμετρο d

Την περιφέρεια που αντιστοιχεί στη βάση των δοντιών (περιφέρεια ποδιών, μεδιάμετρο df)

Το τμήμα k του ύψους του δοντιού από την αρχική περιφέρεια μέχρι την κεφαλήπου ονομάζεται ύψος κεφαλής

Το τμήμα f του ύψους του δοντιού από την αρχική περιφέρεια μέχρι τη βάση τουδοντιού που ονομάζεται ύψος ποδιού

Την απόσταση t μεταξύ δύο αντίστοιχων σημείων δύο γειτονικών δοντιών πουονομάζεται βήμα

Το μήκος του δοντιού b

Το τμήμα s που μετρείται στην αρχική περιφέρεια και ονομάζεται πάχος δοντιού

Περιπτώσεις εμπλοκής οδοντωτών τροχών

Προφανώς, σε κάθε οδοντοκίνηση χρειάζονται δύο οδοντωτοί τροχοί, οι οποίοιπρέπει να βρίσκονται σε εμπλοκή, δηλαδή τα δόντια του ενός να εμπλέκονται σταδιάκενα των δοντιών του άλλου.

Διακρίνονται τέσσερις βασικές περιπτώσεις, αναλόγως της θέσης των ατράκτων στοχώρο

Παράλληλοι οδοντωτοί τροχοί

Όταν βρίσκονται σε κανονική εμπλοκή, οι αρχικές τους περιφέρειες εφάπτονταιμεταξύς τους και η κίνησή τους μπορεί να εξομοιωθεί με κύλιση της μιαςπεριφέρειας πάνω στην άλλη.

Συνεπώς, αφού οι περιφέρειες βρίσκονται σε επαφή, θα έχουν στο σημείο επαφήςτην ίδια περιφερειακή ταχύτητα

𝑣 =𝜋 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛

60

𝒅𝟏 ∙ 𝒏𝟏 = 𝒅𝟐 ∙ 𝒏𝟐 =𝟔𝟎 ∙ 𝒗

𝝅

𝒅𝟏𝒅𝟐

=𝒏𝟐𝒏𝟏

Οι στροφές δύο παράλληλων οδοντωτών τροχών που βρίσκονται σε εμπλοκή είναι αντιστρόφως ανάλογες προς τις αρχικές τους διαμέτρους

Παράλληλοι οδοντωτοί τροχοί

𝒅𝟏 ∙ 𝝅 = 𝒕 ∙ 𝒛𝟏

Μεταξύ του αριθμού των δοντιών, του βήματος και της αρχικής περιφέρειας, ισχύει ηεξής σχέση:

Συνεπώς, εάν δύο παράλληλοι οδοντωτοί τροχοί βρίσκονται σε εμπλοκή, θα ισχύει:

𝒅𝟏𝒅𝟐

=𝒛𝟏𝒛𝟐

=𝒏𝟐𝒏𝟏

Ο οδοντωτός τροχός που έχει τα περισσότερα δόντια, έχει τις λιγότερες στροφές

Οποιοσδήποτε παράλληλος οδοντωτός τροχός που έχει βήμα t και κατατομή δοντιούμορφής εξειλιγμένης, με οσαδήποτε δόντια, μπορεί να συνδυαστεί με οποιονδήποτεάλλο παράλληλο οδοντωτό τροχό που έχει το ίδιο βήμα t.

Σχέση μετάδοσης κίνησης

Η άκτρακτος που κινείται και μεταδίδει την κίνηση ονομάζεται κινητήρια. Μεταδίδειτην κίνηση στην κινούμενη άτρακτο. Η κινούμενη άτρακτος άλλοτε δέχεταιπερισσότερες κι άλλοτε λιγότερες στροφές, σε σχέση με την κινητήρια.

Ο λόγος των στροφών της κινούμενης ατράκτου προς τις στροφές της κινητήριαςονομάζεται σχέση μετάδοσης της κίνησης.

𝒊 =𝒏𝟐𝒏𝟏

Προτιμάται η σχέση μετάδοσης να είναι τέτοια, ώστε ο αριθμός των δοντιών τουενός τροχού να διαιρείται ακριβώς με τον αριθμό των δοντιών του άλλου. Αυτόσυμβάλει στο να εφαρμόζουν ταχύτερα τα δόντια και η κίνηση να γίνεται πιοαθόρυβη.

Συνήθεις τιμές από 1:1 έως 6:1

Σε ειδικές περιπτώσεις μπορεί η σχέση μετάδοσης να παίρνει τιμές 2:3, 3:4 κλπ.

Μετρικό διαμετρικό βήμα (μοντούλ)

Για να χαραχθεί ένας οδοντωτός τροχός κατ’ αρχήν πρέπει να υπολογίζεται η αρχικήτου περιφέρεια και να χωριστεί σε ίσα τόξα, όσα και ο αριθμός των δοντιών

Το μήκος κάθε τόξου είναι ίσο με το βήμα της οδοντώσεως (t)

𝒅 =𝒕 ∙ 𝒛

𝝅

Η διαίρεση με το π δημιουργεί πρόβλημα στους κατασκευαστές

Έτσι, από την αρχή καθορίζεται η σχέση t/π, η οποία συμβολίζεται με m καιονομάζεται μοντούλ

Για λόγους τυποποίησης και οικονομίας κατασκευάζονται οδοντωτοί τροχοί μεσυγκεκριμένες τιμές μοντούλ

Κανονικό δόντι

Τα δόντια ενός οδοντωτού τροχού χαρακτηρίζονται κανονικά, ένα έχουν τιςακόλουθες αναλογίες:

Ύψος κεφαλής k = m

Ύψος ποδιού f = 1,17*m

Μήκος δοντιού b = 2,17*m

Πάχος s = 0,5*t

Εφαρμογή

Η σχέση μετάδοσης σε ένα σύστημα παράλληλων οδοντωτών τροχών είναι 1:3. Ηταχύτητα της κινητήριας ατράκτου είναι 240 rpm και η διάμετρος του προσαρμοσμένουσε αυτήν τροχού είναι 150 mm.

Να βρεθεί η διάμετρος του κινούμενου τροχού και η ταχύτητα της κινούμενηςατράκτου.

Αν ο κινητήριος τροχός έχει 25 δόντια, πόσα δόντια έχει ο κινούμενος;

Ανταποκρίνονται οι συγκεκριμένοι οδοντωτοί τροχοί σε κάποιες τυποποιημένεςτιμές μοντούλ;

Εφαρμογή

Ο κινητήριος τροχός μιας οδοντοκίνησης έχει 22 δόντια και περιστρέφεται με 1200στροφές το λεπτό. Αν η σχέση μετάδοσης είναι 1:2 και το βήμα των τροχών πρέπει ναείναι τουλάχιστον t = 7 mm, να βρεθούν:

Το μοντούλ και το ακριβές βήμα

Το ύψος των δοντιών

Ο αριθμός δοντιών του κινούμενου γραναζιού

Η αρχική διάμετρος του κάθε γραναζιού

Η απόσταση των αξόνων

Εφαρμογή

Άτρακτος περιστρέφεται με 3000 rpm και θέλουμε να μείώσουμε τις στροφές στις 250rpm χρησιμοποιώντας τρία ζεύγη οδοντωτών τροχών με μικρότερες σχέσεις μετάδοσης.Απαιτείται και στα τρία ζεύγη ο μικρός τροχός να έχει την ίδια αρχική διάμετρο, ίση με60 mm. Να γίνει μια επιλογή αρχικών διαμέτρων για τα γρανάζια των τριών ζευγών.

Εφαρμογή

Η ισχύς στον άξονα ενός κινητήρα είναι 20 PS και περιστρέφεται με 1000 rpm. Η ισχύςμεταφέρεται σε άλλο άξονα μέσω δύο γραναζιών με βαθμό απόδοσης 0,9. Αν η σχέσημετάδοσης είναι 1:2, να βρεθούν:

Η ισχύς που μεταφέρεται στο δεύτερο άξονα

Οι στροφές του δεύτερου άξονα

Η ροπή στον πρώτο και στο δεύτερο άξονα

Κατατομές δοντιών

Η μορφή ενός δοντιού χαρακτηρίζεται από την κατατομή του, η οποία βασίζεται σεδιάφορους τύπους καμπυλών

Από όλες τις κατατομές, στις μηχανολογικές κατασκευές χρησιμοποιείταιπερισσότερο η καμπύλη της εξειλιγμένης

Αντοχή οδοντωτού τροχού

Λαμβάνεται υπ’ όψιν η περιφερειακή δύναμη Ft, δηλαδή η εφαπτομενική στηναρχική περιφέρεια συνιστώσα της δύναμης Fn που ασκείται στο δόντι

Εάν Md είναι η μεταφερόμενη από τον τροχό ροπή στρέψης, ισχύει:

F𝑡 =𝑀𝑑

𝑟

Εάν L είναι η μεταφερόμενη από τον τροχό ισχύς σε ίππους και n o αριθμόςστροφών ανά λεπτό, ισχύει (F σε kp):

F𝑡 =L

𝑛

Αντοχή οδοντωτού τροχού

Αν υποτεθεί ότι η Ft ενεργεί στην ακμή της κεφαλής του δοντιού (δυσμενέστερηπερίπτωση), τότε βάσει των σχέσεων αντοχής σε κάμψη, για το βήμα της οδόντωσης(mm) ισχύει:

𝑡 = 100 ∙3 450 ∙ 𝐿

𝑦 ∙ 𝑐 ∙ 𝑧 ∙ 𝑛

L: ισχύς σε ίππους

y: συντελεστής που σχετίζεται με την κατεργασία και μορφολογία των δοντιών

c: σταθερά που εξαρτάται από το υλικό κατασκευής

n: αριθμός στροφών ανά λεπτό

Εφαρμογές

Να βρεθεί το μοντούλ ενός οδοντωτού τροχού, ο οποίος είναι κατασκευασμένος απόχυτοσίδηρο (κατεργασμένα δόντια), έχει 30 δόντια, μεταφέρει ισχύ 6 ίππων καιπεριστρέφεται με 80 rpm.

Ένας οδοντωτός τροχός με γωνιώδη δόντια από κοινό χάλυβα περιστρέφεται με 800rpm. O τροχός έχει μοντούλ 5 mm και 50 δόντια. Να υπολογιστεί η ισχύς που μπορεί ναμεταφέρει ο τροχός.

Κωνικοί οδοντωτοί τροχοί

Χρησιμοποιούνται για τη μετάδοση κίνησης υπό γωνία

Οι κωνικοί οδοντωτοί τροχοί έχουν σχήμα κόλουρου κώνου

Κάθε κόλουρος κώνος ορίζεται με τις δύο διαμέτρος και το ύψος του. Οι διάμετροισε κάθε κωνικό οδοντωτό τροχό είναι η μεγάλη ή εξωτερική αρχική διάμετρος da καιη μικρή ή εσωτερική διάμετρος de

Επειδή ο αριθμός των δοντιών σε κάθε τροχό είναι σταθερός και εφ’ όσον υπάρχουνδύο αρχικές διάμετροι, κάθε κωνικός οδοντωτός τροχός έχει δύο διαμετρικά βήματα(μοντούλ)

Κωνικοί οδοντωτοί τροχοί

Στη μεγάλη διάμετρο αντιστοιχεί το μεγάλο μοντούλ m1 και στη μικρή διάμετρο τομικρό μοντούλ m2

Το μεγάλο μοντούλ πρέπει βασίζεται σε τυποποιημένες τιμές και το μικρό προκύπτειαπό την κωνικότητα του τροχού

Αναλυτικός υπολογισμός κωνικών οδοντωτών τροχών

Έστω ένα ζεύγος κωνικών οδοντωτών τροχών με τα εξής βασικά στοιχεία: Αριθμός δοντιών z1, z2

Μεγάλο μοντούλ m Πλάτος τροχού b Γωνία αξόνων 90ο

Αναλυτικός υπολογισμός κωνικών οδοντωτών τροχών

Αρχικές εξωτερικές διάμετροι

da = m*z1 και Da = m*z2

Η βασική γωνία α

tanα = Da/da = m*z2/m*z1 = z2/z1

Η ημιγωνία κορυφής

β = 90 – α

Η εσωτερική αρχική διάμετρος

di = da – 2*y = m*z1 – 2*b*cosa

Το εσωτερικό μοντούλ

mi = di/z1

Διάμετρος κεφαλών

dκ = dα + 2*x = m*(z1+2*sina)

Ημιγωνία του κώνου των δοντιών

tanβ1 = (z1+2*sina)/(z2-2*sina)

Ημιγωνία του συμπληρωματικού κώνου

γ = α

Εφαρμογή

Να υπολογιστούν οι απαραίτητες διαστάσεις και οι γωνίες του μικρού κωνικούοδοντωτού τροχού για να γίνει η χάραξη της οδόντωσης όταν z1 = 20, z2 = 25, m = 5. Ηγωνία των αξόνων είναι ορθή.

Σύστημα ατέρμονα κοχλία – οδοντωτού τροχού

Ο οδοντωτός τροχός που συνεργάζεται με τον ατέρμονα κοχλία έχει δόντια που ημορφή τους μοιάζει με σπείρωμα περικοχλίου. Όταν περιστρέφεται ο κοχλίας, τασπειρώματά του κοχλιώνονται στα δόντια του τροχού (σαν να ήταν ο τροχόςπερικόχλιο), με αποτέλεσμα να μεταδίδεται κίνηση και σε αυτόν

Αν με α, συμβολιστεί η πολλαπλότητα του βήματος και με z ο αριθμός δοντιών τουτροχού, ορίζεται η σχέση μετάδοσης κίνησης ατέρμονα – οδοντωτου:

i = α/z

Αν για παράδειγμα α = 2 και z = 40, τότε i = 1:20. Αυτό σημαίνει ότι μία πλήρηςπεριστροφή του τροχού πραγματοποιείται με 20 στροφές του κοχλία.