1. INTRODUCCIÓN 1.1. Objeto y ámbito de aplicación del...

Swirl y combustión HCCI Introducción

1

1. INTRODUCCIÓN

1.1. Objeto y ámbito de aplicación del proyecto.

El presente proyecto se enmarca en una línea de trabajo que se está desarrollando en el

Grupo de Motores Térmicos de Sevilla (GMTS). En esta línea de trabajo estudia los motores

con combustión HCCI. En motores bajo este tipo de funcionamiento se dispone de una

mezcla casi homogénea y diluida en el cilindro que produce una combustión simultánea en

múltiples puntos al ser comprimida por el movimiento del pistón. Este tipo de funcionamiento

genera una premezcla rica en aire así como propicia la ausencia de altos gradientes de

temperatura. Estos aspectos minimizan con respecto a los motores de encendido por

compresión (MEC) tradicionales las emisiones de NOx y de partículas, todo ello manteniendo

una alta eficiencia, similar a la que tendría un MEC.

Este proyecto en concreto es una continuación natural de la tesis doctoral de D. Miguel

Torres García. En ella se estudia la combustión HCCI sobre un motor y se encuentra una

forma de regular la carga en él mediante un sistema de recirculación de gases de escape. En

este proyecto se pretende ir un paso más allá y modelar el movimiento de swirl del fluido en

el interior del cilindro y ver cómo este movimiento afecta a la combustión HCCI. El swirl es

un movimiento del aire en forma toroidal, es decir circular en torno al eje vertical con una

componente lineal con respecto a ese eje. En la figura 1.1 podemos ver una representación:

Fig. 1.1


2

En este tipo de combustión disponemos de una mezcla más o menos homogénea

contenida en los cilindros que entra en ignición una vez que las partes más calientes superan

el umbral de energía. En esa situación se inicia la combustión en varios focos de forma que la

energía liberada comprime el resto de la mezcla estableciendo la ignición generalizada de

forma casi instantánea. El principal reto que se presenta viene a ser el control de la ignición,

ésta tiene una dependencia fuerte de la cinética química de la mezcla que a su vez se

encuentra influenciada por la temperatura. Como consecuencia de lo anterior los fenómenos

de mezcla y transferencia de calor son muy importantes en la obtención de las condiciones

requeridas para la ignición. Es aquí donde el swirl ejerce un efecto de vital importancia dado

que este movimiento influye directamente en el proceso de mezcla combustible-comburente

así como en la transmisión de calor. En este proyecto la metodología para variar el

movimiento de swirl dentro de la cámara de combustión ha consistido en la variación de la

geometría de la misma. La geometría que se ha variado ha sido la geometría del pistón al que

se ha realizado un bowl. Un bowl no es más que una oquedad en la cabeza del pistón. Las

dimensiones del bowl se han ido variando de manera que varíe el swirl.

1.2. Estado del arte.

En este capítulo se describe el estado del arte del modelado del swirl y de la turbulencia

en aplicaciones para motores de combustión interna alternativos. Además de describir los

modelos se ha realizado una evaluación de la precisión, potencia de cálculo requerida y la

validez de cada modelo.

1.2.1. Modelos de swirl

Hoy en día el modelo para calcular el swirl se encuentra dentro de las ecuaciones de

Navier Stokes. Cuando estas ecuaciones se resuelven se obtiene como parte de la solución de

las mismas el campo de velocidades en todos los puntos del mallado. Los métodos para

resolver las ecuaciones de Navier Stokes están íntimamente ligados al modelo de turbulencia

utilizado siendo algunos de estos el método RANS y el LES, estos métodos se verán en el

apartado siguiente al estar íntimamente ligados al modelo de turbulencia utilizado. La

solución del swirl obtenida con el más impreciso de estos dos métodos, el RANS, se asemeja

bastante a la real como se atestigua cuando se comparan sus resultados con los medidos

experimentalmente en el laboratorio [21] [22]. Debido a que ahora conocemos todo el campo

de velocidades en cada punto del mallado se hace más complejo manejar y operar con tanta

información sobretodo a la hora de comparar los campos de velocidades obtenidos al variar


3

las condiciones de funcionamiento del motor (velocidad de giro, carga del motor, condiciones

ambientales,… ) y comparar también con resultados de simulaciones en motores distintos.

Para simplificar la comparación entre estas distintas soluciones se define el índice de swirl

(SR). El índice de swirl se define como el momento angular total del fluido en el interior del

cilindro con respecto al eje z (Hz) divido por el momento de inercia total del fluido respecto

del eje z (Mz) y normalizado por la velocidad de giro del cigüeñal (Ω) expresada en r.p.m. La

fórmula para calcular Hz y Mz son las siguientes:

2 2

1

( ) ( )celdasN

z i i i

i

M x x y y m=

= − + − ∑ (1.1)

[ ]1

( ) ( )celdasN

z i i i i i

i

H v x x u y y m=

= − − −∑ (1.2)

Ω=

z

z

M

HSR

π260

(1.3)

Para simplificar el cálculo de índice de swirl se toma la referencia en el eje z por lo que

x=0 e y=0. El índice de swirl está muy difundido para comparar entre distintas situaciones

como se puede comprobar en la bibliografía [21] [23].

La otra herramienta disponible y ampliamente usada para comparar el swirl entre

distintas situaciones son las representaciones gráficas del swirl. La información que

proporcionan los gráficos es muy abundante y muestra la distribución espacial del swirl.

1.2.2. Modelos de turbulencia

En la actualidad en las simulaciones de los motores de combustión interna el modelado

de la turbulencia es unos de los parámetros que más afecta a la precisión de los resultados.

Teóricamente los modelos que proporcionan la mayor precisión son los denominados

modelos de simulación numérica directa (DNS). En los superordenadores modernos más

potentes mediante la simulación numérica directa solo es posible resolverse problemas con

flujos relativamente sencillos a bajos números de Reynolds [1]. La simulación numérica

directa para problemas con grandes números de Reynolds y flujos más complejos requiere

tiempos de resolución excesivamente altos. Estos tiempos excesivamente altos se deben a que

el número de celdas de mallado necesarias para conseguir resolución espacial suficiente

aumenta de forma proporcional a Re9/4

y por otro lado el tiempo de cálculo aumenta de forma

proporcional con Re3.


4

Para reducir el tiempo de cálculo a valores aceptables se han desarrollado los distintos

modelos de turbulencia que no son más que simplificaciones de las ecuaciones fluido

dinámicas que modelan el problema. Existen multitud de tipos de modelos de turbulencia pero

en esta memoria solo trataremos aquellos que se han utilizado en el campo de la simulación

de motores de combustión interna alternativos.

1.2.2.1. Promediado de Reynolds de las Ecuaciones de Navier-Stokes (RANS)

Las ecuaciones de Navier-Stokes se utilizan para modelar las condiciones fluido-

dinámicas en el interior del cilindro así como las entradas de masa y energía del mismo. Pero

para poder modelar el flujo real las ecuaciones de Navier-Stokes deben ser caracterizadas a

partir de su forma diferencial general a los valores de los parámetros del motor. En el caso de

la metodología RANS también es necesario realizar un promediado sobre las ecuaciones de

Navier-Stokes para simplificar su resolución. En las siguientes líneas se detalla el

procedimiento de promediado a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes en su forma

diferencial:

0)( =∂∂

+∂∂

i

i

vxt

ρρ

(1.4)

j

ji

i

ij

j

ixx

pvv

xv

t ∂

∂+

∂∂

−=∂∂

+∂∂ τ

ρρ )()( (1.5)

)()()()(jj

jii

j

j

j x

Tk

xv

xHv

xE

t ∂∂

∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

τρρ (1.6)

El método descrito para el promediado de estas ecuaciones es universal por lo que

cambios del sistema coordenadas y de los términos fuente o sumidero se realizarán después de

la metodología de promediado y no antes.

Hay algunos términos de las ecuaciones anteriores que hay que definir antes de

proseguir con la metodología. El primero de ellos son los componentes del tensor de

esfuerzos viscosos jiτ que se define como:

ji

k

kjiji

k

kjiji

x

vS

x

vS δ

µµδλµτ

∂∂

−=∂∂

+=3

222 (1.7)


5

Donde

∂

∂+

∂∂

=i

j

j

iji

x

v

x

vS

2

1 y ijδ =

10si i jsi i j=≠⟨ (1.8)

Los otros términos a definir son la energía total (E) y la entalpía total que se obtienen de

las siguientes fórmulas:

iivveE2

1+= iivvhH

2

1+= (1.9)

Una vez definidos los distintos componentes se continua con la metodología de

promediado de las ecuaciones de Navier-Stokes según el método RANS. La metodología se

basa en la descomposición de las variables en una componente media y en otra componente

fluctuante. La componente media es el resultado del promediado de la variable absoluta

mientras que la componente fluctuante es la diferencia entre la variable absoluta y la media.

Una vez desglosadas las variables absolutas en variables medias y variables fluctuantes se

promedian las ecuaciones de Navier-Stokes para solamente tener en cuenta los valores medios

lo que simplifica la resolución de las ecuaciones y además proporciona información suficiente

del comportamiento del flujo de gases en el interior del cilindro en la mayoría de los casos.

Las componentes de la velocidad y la presión se sustituyen por [2]:

i i iv v v′= + ip p p′= + (1.10)

Donde la variable media se denota mediante una barra superior y la fluctuante mediante

una comilla. Antes se ha mencionado que las variables medias se obtienen a partir de un

procedimiento de promediado. Existen distintos procedimiento de promediado:

-El procedimiento de promediado de Reynolds [2].Para el procedimiento de promediado

de Reynolds se denota la variable media mediante una barra superior y la variable

fluctuante mediante una comilla. El procedimiento de promediado de Reynolds se

subdivide en tres formas distintas de realizar el promediado:

-Promediado en el tiempo- apropiado para turbulencia estacionaria.

1lim

t T

i iT

t

v v dtT

+

→∞= ∫ (1.11)

En este caso el valor medio iv no varía con el tiempo, solamente en el espacio.


6

-Promediado en el espacio-apropiado para turbulencia homogénea

1limi iv v dΩ→∞

Ω

= ΩΩ ∫ (1.12)

Ω es en el volumen de control. En este caso iv es uniforme en el espacio pero varia

con el tiempo.

-Promediado conjunto- apropiado para turbulencia general (más usado).

1

1lim

N

i iN

m

v vN→∞

=

= ∑ (1.13)

En este caso el valor medio iv es función del tiempo y del espacio. Y N representa

el número de veces que se ha repetido el ciclo.

Los tres tipos de promediado de Reynolds tienen las siguientes propiedades:

0 0 0i i i i jv v v v v′ ′ ′ ′= ≠ ≠

-El procedimiento de promediado de Favre [3] [4]. En los casos en los que la densidad

no es constante es recomendable aplicar el promediado de densidad ponderada también

conocido por procedimiento de promediado de Favre a ciertas variables mejor que el

procedimiento de promediado de Reynolds. Si no se realiza así, las ecuaciones

promediadas resultantes serán más complicadas de resolver debido a las correlaciones

adicionales de las fluctuaciones de las densidades. Esto ocurre por que en muchos de los

términos de las ecuaciones de Navier-Stokes aparece la densidad multiplicando a otra

variable y al promediar según Reynolds se están introduciendo dos fluctuaciones: la de

la densidad y la de la variable en sí. Hay dos términos especiales que son los del tensor

de esfuerzos de Reynolds y el término de temperaturas que no dependen directamente

de la densidad pero si indirectamente a través de µ y k respectivamente. Entonces según

lo dicho anteriormente la densidad y la presión se promediarán mediante Reynolds

debido a que uno es la variable de discordia en sí y a que el otro aparece solo en las

ecuaciones de Navier-Stokes. Mientras que todas la demás variables que aparecen

directa o indirectamente multiplicadas por la densidad se promediarán mediante el

procedimiento de Favre.


7

El promediado de Favre a su vez puede realizarse por los tres tipos de promediado

vistos para el promediado de Reynolds. Para evitar ser redundantes se expone aquí la

expresión del promediado de Favre para uno de estos métodos. Las demás expresiones

pueden extrapolarse de lo descrito aquí o encontrarse en la bibliografía [3] [4]:

1lim

t T

i iT

t

v v dtρρ

+

→∞= ∫ɶ (1.14)

Donde ρ representa la densidad media del promediado de Reynolds. La variable media

y la variable fluctuante obtenidas mediante el procedimiento de Favre se representan

mediante un símbolo superior como el de la ñ y mediante doble comilla

respectivamente:

i i iv v v′′= +ɶ

El promediado de Favre tiene las siguientes propiedades:

0 0 0i i i i i jv v v v v vρ ρ ρ ′′ ′′′′ ′′= = = ≠ɶ

Una vez definidos los distintos procedimientos de promediación solo queda escoger uno

y promediar las ecuaciones de Navier-Stokes. Para promediar promediaremos mediante el

método de Reynolds y la promediación escogida de las existentes dentro de Reynolds es la

conjunta que es la más general. La promediación se realizará sobre las ecuaciones de Navier-

Stokes generales integrales. Aplicando la promediación de Reynolds y teniendo en cuenta las

propiedades descritas para ambas promediaciones las ecuaciones que se obtienen son las

siguientes [5]:

( ) 0i

i

vt x

ρρ

∂ ∂+ =

∂ ∂ɶ (1.15)

( ) ( ) ( )i j i i j i j

j i j

pv v v v v

t x x xρ ρ τ ρ

∂ ∂ ∂ ∂′′ ′′+ = − + −

∂ ∂ ∂ ∂

ɶɶ ɶ ɶ (1.16)

( ) ( ) ( ) ( )j j i j i j i i j i j

j j j j

TE v H k v h v v K v v v

t x x x xρ ρ ρ τ ρ τ ρ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′+ = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

ɶɶ ɶɶ ɶ ɶ (1.17)

En las ecuaciones obtenidas se puede observar que cada variable está promediada por el

procedimiento correcto cosa que se debe a haber utilizado las propiedades de ambos tipos de


8

promediado durante el proceso de obtención de las ecuaciones. Estas ecuaciones se

denominan ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Favre y Reynolds.

El tensor de esfuerzos viscosos en las ecuaciones de conservación del momento y

conservación de la energía se encuentra aumentado por el tensor de esfuerzos de Reynolds

promediado por Favre (i j

Fτɶ ):

i j

F

i jv vτ ρ ′ ′= −ɶ (1.18)

Los componentes del tensor laminar de esfuerzos viscosos i jτɶ se calculan mediante las

velocidades, es decir mediante las componentes de las velocidades medias obtenidas por el

promediado de Favre.

Utilizando la definición de la energía turbulenta media obtenida mediante el

promediado de Favre:

1

2i iK v vρ ρ ′′ ′′=ɶ (1.19)

Podemos expresar la energía total ( Eρ ɶ ) y la entalpía total ( Hρ ɶ ) como:

1 1 1 1

2 2 2 2i i i i i iE e v v v v e v v Kρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ′′ ′′= + + = + +ɶ ɶɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ (1.20)

1 1 1 1

2 2 2 2i i i i i iH h v v v v h v v Kρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ′′ ′′= + + = + +ɶ ɶɶ ɶɶ ɶ ɶ ɶ (1.21)

El proceso de promediado ha desarrollado un sistema de ecuaciones el cual depende

principalmente de variables medias pero ha sido imposible conseguir la independencia total

del sistema de las variables fluctuantes. Es decir que aunque la mayoría de los términos de las

ecuaciones están formados por variables medias hay algunos términos formados por variables

fluctuantes. Los distintos términos de las ecuaciones tienen el siguiente significado [5]:

( )j j

Tk

x x

∂ ∂∂ ∂

ɶ

- difusión molecular de calor.

( )j

j

v hx

ρ∂

′ ′∂

-transporte turbulento de calor.


9

( )i j i

j

vx

τ∂

′ ′∂

-difusión molecular de K .

( )j

j

v Kx

ρ∂

′∂

-transporte turbulento de K .

( )i i j

j

vx

τ∂∂ɶ ɶ -trabajo realizado por las tensiones moleculares.

( )F

i i j

j

vx

τ∂∂ɶ ɶ - trabajo realizado por los esfuerzos de Reynolds promediados mediante

Favre.

La difusión molecular y el transporte turbulento de Kɶ son muy a menudo despreciables

por lo que de ahora en adelante los consideraremos de valor nulo. Entonces ahora nos quedan

nueve componentes por conocer para poder resolver el sistema de ecuaciones. De estas nueve

componentes 6 corresponden a las seis componentes del tensor de esfuerzos de Reynolds

promediado por Favre y las otras tres componentes corresponden al vector del flujo de calor.

Todo este procedimiento de promediado se ha realizado con la intención de evitar la

dependencia en las variables fluctuantes pero ahora tenemos nueve términos que necesitamos

conocer y que dependen de las variables fluctuantes. Para evitar el cálculo de las variables

fluctuantes se han desarrollado numerosos modelos que nos proporcionan el valor de estos

nueve términos desconocidos. Estos modelos dependen de las variables medias y de

coeficientes experimentales. En las próximas secciones se describen diferentes modelos para

calcular estos nueve coeficientes.

1.2.2.1.1. Modelo k-ε lineal estándar

Este modelo esta basado en la teoría de Boussinesq [6] [7]. Esta teoría se basa en la

observación de que la energía de los torbellinos turbulentos es la causa de la transferencia del

momento en un flujo turbulento a través del mecanismo del mezclado. El punto clave de la

teoría es la hipótesis de Boussinesq la cual establece que las tensiones turbulentas

(componentes del tensor de esfuerzos de Reynolds promediado por Favre) están relacionadas

de manera lineal con el gradiente de velocidades medias (es decir con las deformaciones),

como ocurre en los flujos laminares. En este caso el coeficiente de proporcionalidad no es

más que la viscosidad de torbellino o turbulenta que depende de las condiciones locales (µT).

La hipótesis de Boussinesq para el tensor de esfuerzos de Reynolds promediado por Favre es:


10

2 22

3 3i j

F kTi j T i j i j i j

k

vv v S K

x

µτ ρ µ δ ρ δ

∂ ′ ′= − = − − ∂

ɶɶɶ (1.22)

Donde: i jSɶ es el tensor de gradientes de las velocidades medias promediadas

mediante Favre.

K: Es la energía cinética turbulenta.

Tµ : es la viscosidad de torbellino, la viscosidad de torbellino depende

las condiciones locales del flujo.

El término 2

3i jKρ δɶ se ha introducido para obtener la traza adecuada de

i j

Fτɶ . Esto

es debido a que si 0i jS =ɶ se tiene que:

2i j

F Kτ ρ= − ɶɶ (1.23)

Es decir que aunque las velocidades medias no den lugar a turbulencia eso no quiere

decir que no exista un término generando turbulencia debido a las propias fluctuaciones.

Por otro lado para modelar el vector de flujo de calor se usa muy a menudo una

aproximación basada en la clásica analogía de Reynolds [8]:

j t

j

Tv h k

xρ

∂′ ′ = −

∂

ɶ

(1.24)

Donde: tk es el coeficiente de conductividad térmica turbulento.

El coeficiente de conductividad térmica turbulento se define como:

T

Tpt ck

Pr

µ= (1.25)

Donde pc es el coeficiente de calor específico a presión cte.

PrT es el número de Prandtl turbulento. El número de Prandtl

turbulento se considera de forma general que es constante en todo el flujo.


11

Cuando este modelo se introduce en las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas nos

damos cuenta de que los términos modelados tienen una forma muy similar a otros términos

de las ecuaciones. La única diferencias son la viscosidad y el coeficiente de conductividad

térmica turbulento, que en un caso son la laminares y en otro caso turbulentos. Para que las

ecuaciones sean más compactas definimos:

TL µµµ += (1.26)

Donde: Lµ es la viscosidad laminar. El valor de Lµ se conoce, existen varias

ecuaciones analíticas para calcular Lµ .

)PrPr

(T

T

L

LpTL ckkk

µµ+=+= (1.27)

Para poder resolver las ecuaciones de Navier-Stokes todavía quedan por conocerse el

valor de las variables Tµ y Kɶ . La energía cinética turbulenta se obtiene a partir de un modelo

de energía cinética turbulenta, en este caso el modelo que vamos a utilizar es el modelo de

turbulencia k-ε. Está demostrado que si la energía cinética turbulenta (k) y su tasa de

disipación (ε) se conocen, entonces la viscosidad turbulenta se obtiene de la siguiente

expresión:

εµ µ /2kCT = (1.28)

El modelo de turbulencia k- ε es un modelo basado en dos ecuaciones, la primera es la

ecuación de turbulencia y la segunda es la ecuación de la tasa de disipación turbulenta. Las

raíces históricas de los modelos k- ε provienen del trabajo de Chou [11]. Existen multitud de

modelos k- ε. Manipulando la ecuaciones promediadas de Navier-Stokes para eliminar de

ellas los máximos términos medios posible se obtienen unas ecuaciones denominadas de

segundo orden, a partir de estas ecuaciones de segundo orden se obtienen los diferentes

modelos de turbulencia k- ε existentes. Las diferencias entre los distintos modelos k- ε son las

hipótesis y suposiciones realizadas para simplificar las ecuaciones de segundo orden y los

coeficientes empíricos que cada modelo utiliza. Las hipótesis y suposiciones realizadas en un

modelo individual lo hacen más apropiado para resolver ciertos problemas fluido dinámicos y

menos apropiado para otros problemas. Debido a lo anterior hay que ser muy cuidadoso a la

hora de escoger un modelo de turbulencia k-ε determinado para resolver un problema fluido


12

dinámico, es decir que se debe escoger el modelo cuyas hipótesis acerca de la fluido dinámica

sean similares a las condiciones fluido dinámicas del problema.

Un modelo de turbulencia k-ε general tiene la siguiente estructura:

*

( ) ( ) FTj L i j i j

j j k j

Kv K S

t x x x

µρ ερ µ τ ρε

σ

∂ ∂ ∂ ∂+ = + + −

∂ ∂ ∂ ∂

ɶɶ ɶ (1.29)

* * * * 2* `

1 1 2 2

( )( ) ( ) FT

j L i j i j

j j j

v C f S C ft x x x K K

ε ε ε ε εε

µρε ε ε ερ ε µ τ ρ ϕ

σ

∂ ∂ ∂ ∂+ = + + − +

∂ ∂ ∂ ∂

ɶɶ ɶ (1.30)

Los términos de los miembros de la derecha representan la difusión conservativa,

generación y disipación de k en la primera ecuación y de ε en la segunda ecuación. El término

εφ es el término de pared. El término de pared se introduce en las ecuaciones para asegurar

que el movimiento del fluido cerca de las paredes se encuentra adaptado a las imposiciones de

la pared sobre el movimiento del fluido.

En una formulación general de las ecuaciones k- ε la viscosidad turbulenta se modela de

forma similar a la vista anteriormente pero con mayor número de factores:

2 */T C f kµ µµ ρ ε= (1.31)

La variable *ε está relacionada con la tasa de disipación turbulenta ε por:

*εεε += w (1.32)

Donde wε es el valor de la tasa de disipación en la pared.

Todos los valores de los coeficientes del modelo de turbulencia k-ε general están

definidos o modelados. Como ya se ha dicho anteriormente una de las diferencias entre los

distintos modelos de turbulencia son sus coeficientes. Como ejemplo en las siguientes líneas

se presenta el modelo de turbulencia k- ε de Launder-Sharma [12]. Se ha elegido este modelo

debido a que proporciona buenos resultados en un amplio rango de aplicaciones [13]. A

continuación se pasa a definir los coeficientes y las funciones de pared de este modelo:


13

Valores de los coeficientes:

µC =0.09, 1εC =1.44, 2εC =1.92,

kσ =1.0, εσ =1.3, TPr =0.9 (1.33)

Funciones de adaptación del flujo cercano a la pared:

+−

=2)Re02.01(

4.3exp

T

fµ

11 =εf

)exp(Re3.01 2

2 Tf −=ε (1.34)

Donde el número de Reynolds turbulento es 2

*ReT

L

Kρε µ

= (1.35)

Finalmente el término de pared εφ y wε se definen como:

22

2 sLT

j k

v

x xε

µϕ µ

ρ

∂= ∂ ∂

ɶɶɶ (1.36)

2

2 Lw

n

K

y

µε

ρ

∂= ∂

(1.37)

Donde sv es la velocidad paralela a la pared, y ny es la coordenada normal a la

pared.

Los modelos de turbulencia estándar son los más usados en las simulaciones de

aplicaciones para automoción. Esto se debe a su simplicidad, sus medios requisitos de

potencia de cálculo, su gran estabilidad numérica y su precisión media.

Los modelos de turbulencia k-ε estándar pueden resolver problemas que otros métodos

no pueden resolver debido a inestabilidades numéricas o necesidad de una excesiva potencia

de cálculo.


14

Su precisión es peor que la de los demás métodos que se describirán posteriormente. En

aplicaciones para automoción proporcionan los siguientes resultados para la las siguientes

variables [33] [34]:

-Velocidades medias: La diferencia entre las velocidades medias calculadas por el

modelo y las experimentales es del mismo orden de las mismas. Aunque el error es

bastante grande muchas veces basta con un resultado así. El problema de las

velocidades medias calculadas por este método es que su distribución y variación

espacial tiene una similaridad muy débil con la experimental.

-Media cuadrática de las velocidades fluctuantes: las medias cuadráticas calculadas por

el modelo difieren de las experimentales en el mismo grado que las velocidades medias.

Pero en este caso la distribución y variación espacial de las medias cuadráticas

calculadas es totalmente distinta a la experimental. Es decir que si nos interesa conocer

algo de la medía cuadrática este modelo no es el indicado para realizar la simulación.

Debido a lo visto en los párrafos anteriores se puede decir que hoy en día los modelos

de turbulencia k- ε se utilizan para resolver aplicaciones de automoción con las siguientes

características:

-No es necesario una gran precisión en los resultados del modelo.

-Problemas que requieran de precisión pero que su resolución por otros medios no sea

posible debido a inestabilidad numérica o necesidad de una excesiva potencia de

cálculo.

1.2.2.1.2. Modelo k-ε lineal RNG.

RNG significa teoría del grupo de renormalización. El RNG es una teoría matemática la

cual usa los métodos de los grupos de Re-normalización [24] para renormalizar las ecuaciones

de Navier-Stokes, para tener en cuenta lo efectos de las escalas más pequeñas en el

movimiento de un fluido.

El procedimiento RNG utiliza una fuerza aleatoria universal que barre las velocidades

fluctuantes de las escalas más pequeñas y que mantiene el efecto de las grandes escalas

(incluyendo las condiciones iniciales y de contorno) en los torbellinos. Esta fuerza se elige de

tal manera que las propiedades globales del campo del flujo resultante sean las mismas que

cuando el flujo es conducido por los esfuerzos medios.


15

Las ecuaciones de Navier-Stokes para la escala grande se promedian por bandas

infinitesimales de pequeñas escalas para eliminar las pequeñas escalas de ellas. Este

procedimiento de eliminación de las pequeñas escalas se repite hasta que las correcciones

infinitesimales de las ecuaciones acumuladas den lugar a cambios finitos. Este procedimiento

retiene solo las modificaciones de la viscosidad y una vez que se han eliminado todas las

pequeñas escalas la fuerza aleatoria se extrae de las ecuaciones resultantes y entonces las

condiciones iniciales y de contorno son restablecidas.

Las ecuaciones resultantes tras este proceso son muy similares a las ecuaciones

obtenidas por el método de promediado RANS. Aún más manipulando las ecuaciones se

obtiene la misma estructura que la que tienen las ecuaciones RANS pero con un coeficiente de

transporte modificado que representa el efecto de las pequeñas escalas. Como la estructura es

prácticamente la misma, las ecuaciones de Navier-Stokes obtenidas por la metodología RNG

se consideran ecuaciones RANS y se resuelven de la misma forma. Es más, a partir de estas

ecuaciones se definen también modelos de turbulencia k- ε. En los modelos de turbulencia k-

ε RNG aparecen nuevos términos y los coeficientes tienen distintos valores, pero este método

también esta basado en la teoría de Boussinesq para modelar el tensor de esfuerzos de

Reynolds.

Hay diferentes modelos de turbulencia RNG que se diferencian entre ellos en el valor de

sus coeficientes en las ecuaciones k- ε. Las ecuaciones del modelo de turbulencia k- ε RNG

generales son:

*

( ) ( ) FTj L i j i j

j j k j

Kv K S

t x x x

µρ ερ µ τ ρε

σ

∂ ∂ ∂ ∂+ = + + −

∂ ∂ ∂ ∂

ɶɶ ɶ (1.38)

* * * ** *`

1 1 2 3( ) ( )jFT

j L i j i j

j j j j

vv C f S C C R

t x x x K K xε ε ε ε

ε

µρε ε ε ερ ε µ τ ρ ρε

σ

∂∂ ∂ ∂ ∂+ = + + − + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

ɶɶɶ ɶ (1.39)

Donde el término R es cero para los modelos k- ε estándar mientras que para los

modelos k- ε RNG se modela mediante la siguiente expresión:

3 *20

3

(1 / )

(1 )

CR

K

µρ η η η εβη

−=

+ (1.40)


16

En la expresión anterior, η es la relación entre la escala de tiempo de la

turbulencia y la escala de tiempo de los esfuerzos medios. Se calcula mediante la

siguiente expresión:

*/ 2 i j i jK S Sη ε= (1.41)

Como ya se ha dicho anteriormente existen diferentes modelos k- ε RNG pero para

aplicaciones de automoción se utilizan dos de ellos de forma muy extendida. Estos modelos

son el modelo implementado por GM investigación y desarrollo [26] y la formulación de Han

y Reitz [27]. En la siguiente tabla se encuentran los valores para los coeficientes de ambos

modelos de turbulencia k- ε RNG.

1 2 3 0

1

GMRNGK-ε 0.0845 1.42 1.68 0.34 1.00 1.22 4.38 0.012

1 2 3 ( 1) ( 1) 6H-RRNGK-ε 0.0845 1.42 1.68 0.72 0.72 4.38 0.012

3

kC C C C

C mn CC

µ ε ε ε ε

δε µ η

σ σ η β

η

−

− + − − + −

Donde Cηη=-1/βη0, m=0.5 y n es la constante politrópica para sistemas

termodinámicamente cerrados. El índice δ es cero cuando el fluido se expande

( º / 0l lu x∂ ∂ > ) y uno cuando el fluido se comprime ( º / 0l lu x∂ ∂ < ).

Lo modelos de turbulencia k- ε RNG fueron acogidos como un gran avance cuando

aparecieron en los años noventa del siglo pasado. Generalmente dan mejores resultado que los

modelos k- ε estándar [35] pero en las aplicaciones de automoción estas mejoras son

cuestionables [33], [34]. Los modelos de turbulencia k- ε RNG son un poco más complejos,

requieren de mayor potencia de cálculo y tienen la misma estabilidad numérica que los

modelos de turbulencia k- ε estándar.

Para algunas aplicaciones de automoción los modelos de turbulencia k- ε RNG dan algo

mejores resultados que los modelos de turbulencia k-ε estándar pero para otras aplicaciones

de automoción ocurre todo lo contrario. Debido a este hecho se puede decir que para

aplicaciones de automoción los modelos de turbulencia k-ε RNG proporcionan resultados

similares a los proporcionados por los modelos k-ε estándar. Es decir que si se basa la

decisión de eligir un modelo u otro en la precisión de los resultados, hay que ver antes que


17

tipo de aplicación de automoción queremos simular pues en función de las propiedades de

aplicación la mayor precisión la tendrá uno u otro modelo de la turbulencia.

1.2.2.1.3. Modelos k- ε no lineales (EMVs)

Se diferencian de los modelos lineales en que usan modelos no lineales de viscosidad

turbulenta, Lumley [9] [10] propuso extender el método de Boussinesq mediante términos de

mayor orden de los tensores de deformación (gradiente de velocidades) y rotación. La

aproximación de Boussinesq es aceptable para flujos medios y estables en 2 dimensiones pero

en flujos transitorios el eje principal de deformaciones y las tensiones inducidas por las

velocidades (Tensor de Reynolds) no tienen por que estar alineados. Llegado este punto no se

puede asegurar la relación lineal entre el tensor de tensiones de Reynolds promediado por

Favre y la tasa media de deformación. Para resolver este problema se han desarrollado lo

modelos de turbulencia k- ε no lineales. Todos los modelos de turbulencia k- ε no lineales

parten de la suposición de que el tensor de Reynolds es función de los gradientes de velocidad

y de las variables escalares locales. Las variables escalares locales son las escalas de tiempo y

longitud de la turbulencia expresadas en términos de energía cinética turbulenta y su tasa de

disipación. La forma más general de expresar el tensor de Reynolds en función de estas

variables consiste en un polinomio infinito de tensores que se puede reducir a un polinomio

de tensores con tensores lineales independientes para el caso tridimensional [28], es decir esto

es algo parecido a los desarrollos polinomiales de Taylor de funciones. Los distintos modelos

de turbulencia k- ε no lineales truncan esta expresión de diez términos a diferentes niveles de

la misma y realizan distintas hipótesis para modelar los términos desconocidos. Para

aplicaciones de automoción tres modelos son los más usados:

-El modelo de Shih [29] que trunca la expresión en los términos cuadráticos.

-El modelo de Craft [30] que trunca la expresión en los términos cúbicos.

-El modelo de Lien [31] que trunca la expresión en los términos cúbicos. Este

modelo se encuentra implementado como un modelo opcional de turbulencia en el

programa comercial de resolución numérica Solver Star-CD [32].

En los siguientes párrafos se describe la formulación del tensor de Reynolds en los

modelos de turbulencia k- ε no lineales. Es conveniente expresar los gradientes de velocidad

en términos de la tasa media de deformación y de la vorticidad de manera que se simplifica la

expresión del tensor de Reynolds.


18

Ahora pasamos a describir los distintos componentes de la expresión del tensor de

Reynolds. Sij es el tensor de deformaciones y se describe de la siguiente forma.

1

2

jiij

j i

uuS

x x

∂∂= + ∂ ∂

ɶɶ (1.42)

Mientras que Ωij es el tensor de rotación y se describe de la siguiente forma.

1

2

jiij

j i

uu

x x

∂∂Ω = − ∂ ∂

ɶɶ (1.43)

La forma lineal del tensor de tensiones del Reynolds (la de los modelos lineales) se

reescribe de la siguiente forma en función del tensor de deformaciones.

*22

3ij ij T ijk Sτ ρ δ µ= − + (1.44)

Donde el asterisco indica la parte desviatoria del tensor.

* *1, .

3ij ij kk ij ij ijS S S δ= − Ω = Ω (1.45)

En la formulación no lineal del tensor de tensiones de Reynolds, los productos

tensoriales de la tasa de deformación y de la vorticidad se añaden al término lineal principal.

La siguiente ecuación es una expresión general para estos modelos. Merece la pena mencionar

que, mientras la viscosidad turbulenta (µT) se proporciona mediante la misma formulación

usada en los modelos lineales, el coeficiente Cµ no es una constante pero si depende del flujo,

es decir que es función de la deformación y de la vorticidad. Los coeficientes de los términos

no lineales varían en cada modelo.

* * *

1 2 3

2

4 5

22 ( ) ( ) ( )

3

( ) ( )

ij ij T ij T ik ik kj ik kj ik kj

T ik lj il kj kl kl kl kl kl ij

kk S c S c S S c

kc S S S c S S S

τ ρ δ µ µε

µε

= − + + + Ω −Ω + Ω Ω

+ Ω −Ω + −Ω Ω

(1.46)

Los valores de los coeficientes para cada modelo se encuentran en la siguiente tabla.


19

1.5

1 3 3

2 3 3

3

( ) ( ) ( )

0.667 0.667 0.3 0.361 exp

1.25 0.9 1.25 0.9 1 0.5(max( , )) exp(0.75max( , ))

3 30.4

(1000 ) (1000 )

15 150.4

(1000 ) (1000 )

1

Shih cuadrático Lien cúbico Craft cúbico

CS S S S

CS C S C

CS C S C

C

µ

µ µ

µ µ

−− + + Ω + + Ω + Ω Ω

− −+ +

+ +

3 3

2 2

4

2 2

5

9 191.04

(1000 ) (1000 )

/ 80 80

/ 16 40

2 2ij ij ij ij

S C S C

C n a C C

C n a C C

k kDonde S S S

µ µ

µ µ

µ µ

ε ε

+ +

= Ω = Ω Ω

Los modelos k- ε no lineales son una alternativa a la metodología LES debido a que

ambos tiene en cuenta las anisotropías del flujo pero los métodos de turbulencia k- ε no

lineales requieren menos potencia de calculo y son más estables que los LES.

La precisión de los modelos k- ε no lineales es mejor que la de los demás métodos de

turbulencia k- ε. Pero la precisión depende del modelo de turbulencia k- ε no lineal utilizado.

Acerca de los 3 métodos descritos aplicados a problemas de automoción se tiene que los

resultados del modelo de Shih se encuentran cerca de los resultados de los modelos k- ε RNG

mientras que los resultados de los modelos de Craft y Lien son los siguientes en cuanto a las

siguientes variables [33] [34]:

-Velocidades medias: Los valores de las velocidades medias calculadas son más

cercanos a los valores experimentales que los valores de las velocidades media

calculados por los modelos lineales. La distribución y variación espacial de las

velocidades medias es similar a la distribución y variación experimentales.

- Media cuadrática de las velocidades fluctuantes: Las medias cuadráticas de las

velocidades fluctuantes difieren de los valores experimentales en el mismo grado

que difieren las velocidades medias. La distribución y variación espacial de las

medias cuadráticas calculada difiere de la distribución y variación experimentales.

Después de todos estos resultados de los modelos no lineales se obtiene que no merece

la pena utilizar el modelo de Shih pues sus resultados no son mucho mejores que los de los

modelos RNG y sin embargo introducen muchas más complicaciones. Los otros dos modelos,


20

el modelo de Craft y el modelo de Lien proporcionan resultados mucho mejores que todos los

modelos de turbulencia anteriores por lo que es beneficioso utilizarlos cuando se busca

precisión y la potencia de cálculo requerida no nos importa demasiado. Los modelos cúbicos

empiezan ya a tener algunos problemas de estabilidad por lo que hay que ser cuidadoso

cuando se utilizan, es decir estudiar que mallados y condiciones harán que estos modelos de

turbulencia no tengan problemas de inestabilidad numérica.

1.2.2.2. Simulación de los torbellinos de mayor escala (LES).

La simulación de los torbellinos de mayor escala o LES se basa en la observación de

que las estructura turbulentas más pequeñas tienen un carácter más universal que los

torbellinos de mayor escala. Es decir que el comportamiento y la estructura de los torbellinos

más pequeños varían mucho menos entre ellos que lo que difieren los torbellinos de mayor

escala entre ellos. Entonces el punto clave de este modelo de turbulencia es simular

directamente los torbellinos de mayor escala mediante en las ecuaciones de Navier-Stokes y

el modelar los efectos de las estructuras más pequeñas que no se resuelven mediante las

ecuaciones de Navier-Stokes. A partir de ahora las estructura pequeñas se van a denominar

escalas de submallado. Las escalas de submallado son más universales y homogéneas que los

torbellinos de grandes escalas entonces los modelos de las escalas de submallado son más

simples que los modelos turbulentos de las ecuaciones RANS. Una mejor introducción a los

LES se puede encontrar en [14], pp.269-336 y en [15]-[17].

La simulación de los torbellinos de mayor escala (LES) es un sistema de ecuaciones

tridimensional en función del tiempo. Los modelos LES requieren un mallado más fino que

los modelos RANS pero necesitan menor potencia de cálculo que la simulación numérica

directa (DNS). El número de celdillas necesarias para resolver el flujo en los LES fuera de la

capa límite es proporcional a Re0.4

[18] y este número de celdillas tiene que ser proporcional a

Re1.8

en la capa límite viscosa. Si se compara las magnitudes anteriores con en el número de

celdillas necesarias por las simulación directa que es proporcional a Re9/4

se llega a la

conclusión que los LES pueden aplicarse a problemas con un número de Reynolds por lo

menos de un orden de magnitud mayor que los que pueden resolverse mediante simulación

numérica directa.

En realidad la metodología LES tiene una estructura similar a la metodología RANS

cuando descompone el problema entero en parte media y en parte fluctuante. La diferencia

entre ambas metodologías radica en la manera en la que la descomposición se lleva a cabo. La

primera diferencia consiste en que la metodología LES filtra todas la variables espacialmente


21

[19] [20], este filtrado sustrae las escalas de submallado en vez de promediar como la RANS.

La segunda diferencia estriba en el mayor número de celdillas que requiere la metodología

LES y la última diferencia esta en el modelo de las escalas de submallado que es totalmente

distinta a los modelos de turbulencia k-ε.

Si se fija la atención sobre el modelo de escalas de submallado se aprecia que

normalmente la energía se transporta de las escalas grandes a las pequeñas (proceso de

cascada turbulenta) pero en algunos casos la energía también fluye de las escalas pequeñas a

las escalas grandes. Es decir que los modelos de las escalas de submallado deben tener en

cuenta estos dos hechos, cosa que algunos modelos de submallado no tienen en cuenta y por

tanto pueden dar lugar a errores.

La bibliografía disponible no compara los métodos de Simulación de los torbellinos de

mayor escala (LES) con los métodos de generación de turbulencia k- ε no lineales. La

bibliografía disponible solo compara los métodos LES con los modelos k- ε RNG [36] [37].

Cuando los métodos LES y los métodos k- ε RNG se comparan entre ellos y entre los valores

experimentales para aplicaciones de automoción se llega a las siguientes conclusiones [36]

[37].

-Los modelos LES presentan más estructuras de flujo que los modelos RANS. Así

las velocidades medias y las velocidades fluctuantes están más cerca de los

valores experimentales que las de los modelos RANS. De este modo los modelos

LES pueden ser implementados en herramientas muy avanzadas de simulación de

motores para obtener variaciones ciclo a ciclo y para detectar las variaciones de

comportamiento debido a cambios casi imperceptibles en las condiciones de

operación del motor o a diseños geométricos.

-Una gran cantidad de la energía turbulenta total es resuelta y consecuentemente,

el modelo de escalas de submallado es responsable de esa cantidad del total de la

energía cinética turbulenta.

Los resultados anteriores muestran que lo mejores modelos para simular problemas

fluido dinámicos son los modelos LES pero con respecto a esto existen algunos

inconvenientes que se detallan en las siguientes líneas:

-La bibliografía acerca de los modelos LES para aplicaciones de automoción es

muy pobre por lo que tan solo tenemos información en algunos problemas de


22

automoción. Es decir que no podemos extrapolar los resultados obtenidos a todo

el campo de las aplicaciones de automoción con total seguridad.

-La potencia de computación y la complejidad de los modelos LES es muchísimo

mayor que la de los modelos RANS. Es decir hay que valorar si merece la pena

tener una mayor complejidad y potencia de cálculo requerida a cambio de una

mayor precisión.

Después de estudiar las ventajas y desventajas de los modelos LES se alcanzan algunas

conclusiones: los modelos LES van a ser cada vez más utilizados en el futuro debido a sus

mejores resultados y a la mejora progresiva de la tecnología electrónica para ordenadores y la

otra conclusión es que hace falta más investigación de los modelos LES en aplicaciones de

automoción para asegurar de manera absoluta y sin dudas sus mejores resultados sobre los

modelos RANS.

1. INTRODUCCIÓN 1.1. Objeto y ámbito de aplicación del...

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