22

VECTOR

Es un elemento matemático, cuya representación convencional es por medio de un segmento de recta orientado, y caracterizado por poseer módulo, dirección y sentido. Ejemplo: El desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, el torque, cantidad de movimiento, etc. ELEMENTOS DE UN VECTOR: a) Magnitud, valor, norma, intensidad o módulo: Este elemento está representado gráficamente por la

longitud del vector, incluyendo su unidad, es decir a mayor longitud el vector tendrá mayor valor. b) Dirección: Este elemento está definido por el ángulo medido en sentido antihorario desde un eje de

referencia hasta la línea de acción del vector.

c) Sentido: Es la orientación que tiene el vector en la línea de acción. d) Origen o punto de aplicación: Está determinado por el punto de origen O del segmento que forma el

vector. REPRESENTACIÓN GRÁFICA Y SÍMBOLO:

Vector A : →A

Módulo del →A : |

→A | = A

Dirección del →A : θ

Origen del →A : O

TIPOS DE VECTORES: Vectores colineales: Son aquellos que se encuentran sobre la misma línea de acción. Tienen por tanto la misma dirección, pero no siempre el mismo sentido.

⇒ →→

= AkB

→→

= A'kC Donde k y k´ son números reales de signos opuestos. Vectores paralelos: Son aquellos que se encuentran sobre líneas de acción paralelas. Tienen por tanto la misma dirección, pero no siempre el mismo sentido.

→→→

CBA ////

⇒ →→

= AkB

→→

= A'kC

Donde k y k´ son números reales de signos opuestos.

V e c t o r e s

23

Vectores iguales: Son aquellos que tienen igual magnitud, igual dirección e igual sentido.

→→

= BA →→

= BA

Vectores opuestos: Son aquellos que tienen igual magnitud, igual dirección, pero sentido contrario.

→→

−= AB

→→

= BA

Vectores coplanares: Son aquellos que están contenidos en un mismo plano.

A contenido en el plano P→

B contenido en el plano P→

C contenido en el plano P→

Vectores Concurrentes: Son aquellos que tienen un origen común, o, cuando al extrapolar sus líneas de acción se

cortan en un mismo punto.

⇒ →→→

≠≠ CBA Vectores ortogonales: Son aquellos cuyas líneas de acción forman entre si un ángulo recto.

→→

⊥ BA ⇒ tg θA . tg θB = -1

24

Vectores fijos: Son aquellos que tienen un punto de aplicación fijo. Ejm.: fuerza, desplazamiento, vector posición, etc. Vectores libres: No tienen su origen O fijado en ningún punto en particular. Vectores rotatorios: Es aquel vector que gira en el plano XY en sentido horario o antihorario, con su origen

fijo situado en el origen de coordenadas O. Vectores deslizantes: Son vectores que actúan sobre una misma recta. Esto es, pueden deslizarse sobre una misma recta. Ejm.: velocidad, aceleración, velocidad angular, etc. OPERACIONES VECTORIALES: Por ser los vectores elementos matemáticos se pueden realizar operaciones con ellos, así por ejemplo dos vectores se pueden sumar, restar, multiplicar, etc. En este libro, sólo contemplaremos la Adición (Suma) y Sustracción (Diferencia) de vectores. Dado que los vectores poseen magnitud, dirección y sentido, es que se emplean métodos gráficos y métodos analíticos para realizar estas operaciones. Así:

X

Y

O

θ

Y

X

O

25

→→→

+= BAR →→→

+= BAR

→→→

−= BAD →→→

−= BAD Se utiliza para sumar o restar los Se utiliza para sumar o restar los vectores de dos en dos. vectores de dos en dos. Permite obtener el módulo del vector

→→→→→

+++= DCBAR suma (→

R ) y del vector diferencia (→

D )

→R se denomina vector suma o vector resultante.

OPERACIONES CON VECTORES

MÉTODO DEL POLÍGONO

MÉTODOS GRÁFICOS

MÉTODO ANALÍTICO

MÉTODO DEL TRIÁNGULO

SUSTRACCIÓN

ADICIÓN SUSTRACCIÓN

ADICIÓN

MÉTODO DEL PARALELOGRAMO

SUSTRACCIÓN

ADICIÓN

Utilizado para sumar más de dos vectores sin necesidad de agruparlos de dos en dos.

LEY DE COSENOS

26

¡DEBO RECORDAR!

Para 2 vectores de igual módulo, obtener el valor del vector suma (R) es muy sencillo, sobre todo para algunos ángulos notables, sólo basta aplicar la siguiente tabla:

A B θ R X X 60º X X X 90º X X X 120º X

R

PROPIEDADES REFERIDAS A LAS OPERACIONES VECTORIALES: a) Resultante máxima y mínima

• Cuando dos vectores forman 0° entre sí, el módulo de su resultante será máxima.

Rmáx = A + B

• Si el ángulo que forman es 180°, el módulo de su resultante será mínima.

Rmín = A - B

b) Respecto a la suma y diferencia de →→ByA

Si →→

+= BAR y →→

−= BAD , entonces:

1. A B B A→ →→ →

− = − y A B B A→ →→ →

+ = +

2. Si →A es perpendicular a

→B ⇒

→→→→−=+ BABA

Rmáx

Rmín

27

x

y

z

c) Multiplicación de un vector por un escalar: Cuando dos vectores →A y

→B son colineales o paralelos,

entonces uno de ellos se puede escribir en función del otro, y viceversa. Así:

→→

= AkB 1. Si el escalar k es positivo o negativo, la dirección no cambia. Sólo se invierte el sentido en el caso

que sea negativo. 2. Si el valor del escalar k es mayor o menor que 1, el módulo del vector aumenta o disminuye

respectivamente. d) Ley de senos:

Si →A ,

→B y

→C son tres vectores que forman un triángulo, entonces se cumple la siguiente relación entre los

módulos de dichos vectores:

γβα sen

Csen

Bsen

A==

Dónde: →A ,

→B y

→C , serán necesariamente vectores coplanares.

VECTOR UNITARIO

∧µ

Para comprender el concepto de vector unitario, veamos el siguiente ejemplo en donde consideraremos un sistema referencial XYZ para representar el desplazamiento de una alumna cuando ésta se dirige desde su casa hasta el CPU. Primero imaginemos que la alumna camina 600m a lo largo del eje X+, a continuación 200 m sobre el eje Y+, y por último 300 m en dirección del eje Z+; nuestro interés es encontrar un modelo capaz de describir al detalle el desplazamiento de esta dedicada estudiante. Es aquí que introducimos el concepto de vector unitario, para ayudarnos en nuestro cometido. Definimos el vector unitario como:

Es un vector utilizado generalmente para indicar una dirección referencial, y se caracteriza porque su

módulo es la unidad (1), frecuentemente se llama también versor o vector normalizado. Así: AA→

∧=µ

donde: 1=∧µ

Podemos deducir entonces, que todo vector puede representarse multiplicando su módulo, por su vector unitario de dirección referencial.

Así: ∧→

= µAA

28

Propiedades:

ü Existen dos versores asociados al vector →A , uno en la dirección de

→A y otro opuesto a el.

ü Dos vectores paralelos, tienen el mismo versor.

ü No existe el versor del vector nulo →0 .

ü La suma vectorial de dos versores da como resultado un vector no versor. ü El producto escalar de dos versores da como resultado un numero real, que puede ser: 0,1 0 -1. ü El producto vectorial de dos versores da como resultado otro versor, perpendicular a ambos.

Nota: Al proceso de obtener un versor asociado a un vector se le llama normalización del vector, razón por la cual es común referirse a un vector unitario como vector normalizado.

Un caso particular de vectores unitarios son los que representan la dirección de los ejes X+, Y+ y Z+ designados

por ∧∧∧kyj,i respectivamente.

De esta manera, en el ejemplo dado inicialmente, se puede

representar su desplazamiento como 600∧i m, 200

∧j m y 300

∧k m,

respectivamente. Así agregando las direcciones en las que se ha desplazado esta

alumna una tras otra obtenemos: (600∧i + 200

∧j + 300

∧k m).

Notemos que a pesar que 1kji ===∧∧∧

se cumple que ∧∧∧

≠≠ kji , puesto

que actúan en direcciones diferentes perpendiculares mutuamente entre sí. Así, de manera general, tomando como referencia los vectores

unitarios ∧∧∧kyj,i , todo vector en el espacio se puede escribir:

∧∧∧→

++= kAjAiAA ZYX donde:

→

XA =AX ∧i = componente rectangular de

→A en la dirección del eje X

→

YA =AY ∧j = componente rectangular de

→A en la dirección del eje Y

→

ZA =AZ ∧k = componente rectangular de

→A en la dirección del eje Z

y de módulo: 2Z

2Y

2X AAAA ++=

¡ATENCIÓN!

Es usual escribir también como: ( )ZYX A,A,AA =→

para referirse al vector →A .

Con esta forma de expresión vectorial, resulta muy práctico sumar o restar vectores. Por ejemplo, si

definimos los vectores: ∧∧∧→

++= kAjAiAA ZYX y ∧∧∧→

++= kBjBiBB ZYX , entonces:

( ) ( ) ( )∧∧∧→→

+++++=+ kBAjBAiBABA ZZYYXX , y

( ) ( ) ( )∧∧∧→→

−+−+−=− kBAjBAiBABA ZZYYXX

29

Caso particular:

Una situación sencilla se presenta cuando AZ = 0; en estas

condiciones el vector se encontrará en el plano XY, y su expresión simplificada será:

∧∧→+= jAiAA YX

con módulo: 2Y

2X AAA +=

y dirección:

= −

X

Y1AAtgθ

pagina 54 Producto escalar:

Dados dos vectores �� y ���, su producto escalar o interno se representa por ��.��� y se define como el producto

de sus módulos por el coseno del ángulo “θ” que forman, esto es: 0� � � � El resultado de ��.���es un escalar, es decir un número. Propiedades:

1) ��.��� =���.�� 2) ��.(���+��) = ��.���+��.�� 3) m(��.���) = (m��).���=��.(m���) 4) �̂.�̂ = �̂.�̂ = ��.�� = 1 5) �̂.�̂ = �̂.�� = �̂.�� = 0 6) Dados: �� = ����+����+�����

��� = ����+����+����� Se verifica que:

• ��. ��� = ����+����+���� • ��.�� = ��

�+���+��

� = �� • ��.�� = ��

�+���+��

� = �� 7) Si ��.��� = 0 y ninguno de los vectores es nulo, entonces, ambos son perpendiculares entre si.

Producto Vectorial: Dados dos vectores �� y ���, su producto vectorial o externo se representa por ��x��� y se define como el producto de sus modulos por el seno del angulo “�” que forman, esto es:

0� � � � Siendo �� un vector unitario que indica la dirección del producto ��x���. Si, �� = ���, o bien si �� tiene la misma dirección que ���, sen� = 0, con lo que ��x���= 0��.

��.���=ABcos� ��

���

�

�� x ��� = ABsen� �� ��

���

�

������

��

30

Propiedades:

1) ��x��� = -���x�� 2) ��x(���+��) =��x���+��x�� 3) m(��x���) = (m��)x ��� = ��x (m���) 4) �̂x�̂ = �̂x�̂= ��x�� = 0� 5) �̂x�̂ = ��; �̂x�� = �̂; ��x�̂ = �̂ 6) Dados: �� = ���̂+ ���̂+ ����

��� = ���̂+ ���̂+ ���� Se verifica que:

������� ��̂ �̂ ��

�� �� ���� �� ��

�

7) El módulo de ��x��� representa el área del paralelogramo de lados ���� y �����. 8) Si ��x��� = 0�� y ninguno de los vectores es nulo, ambos tienen la misma dirección.

Proyección y componentes de un vector:

• Proyección de un vector La proyección ortogonal del vector �� sobre el vector ���, viene dado por:

��������� = ( ���.���

������)��� , ���� 0��

Como se aprecia la proyección de �� sobre ��� es un vector.

• Componente de un vector La componente del vector ��en la dirección del vector ���, viene dado por: La componente de �� en la dirección de ��� es un escalar. También, se cumple:

��������� = ��� ������ ���

�����

���

��

�

���������

���

��

�

��� ������

31

Ejemplos ilustrativos: 1. Se tiene dos vectores:

→a = (3 ; 4) µ y

→b = (-8 ; 6) µ; respecto a las siguientes afirmaciones marcar falso (F) o verdadero (V),

donde corresponda.

I) →a y

→b son ortogonales y coplanares ( )

II) |→a +

→b | = 5 3 µ ( )

III) |→a -

→b | = 5 5 µ ( )

IV) La dirección de →b con respecto al eje x+ es 143° ( )

V) El vector unitario de la resultante es 55 (-1 ; 2) ( )

VI) El ángulo que forma →a +

→b y

→a -

→b es 135° ( )

a) FVVVF b) VFVFV c) VFFVF d) VFVVF e) VFVVV

Solución: Graficando los vectores en el plano XY:

I) Es verdadero (del gráfico)

II) →a +

→b = (-5 ; 10)

|→a +

→b | = 55105 22 =+

∴ Es falso

III) →a -

→b = (11 ; -2)

|→a -

→b | = 554121211 22 =+=+

∴ Es verdadero

IV) Es verdadero (del gráfico)

V) →µ = )2;1(

555

55)10;5(

|ba|

baRR

−=−

=+

+=

→→

→→→

→µ = )2;1(

55

−

∴ Es verdadero

32

VI) Graficando:

→→→+= baA A = 5 5 µ

→→→

−= baB B = 5 5 µ

→→ByA se bisecan

a = 5 µ y b = 10 µ Trabajando con:

R2 = θ−

+

Cos

2Bx

2A2

2B

2A 22

100 = θ−+ Cos4

125x24

1254

125

R = 10 Cos θ = -3/5 ⇒ θ = 127° ∴ Es falso Rpta. d

2. Los puntos A, B, C y D determinan un cuadrado.

Escribir el vector →x en función de los vectores

→→bya .

a)

+

→→ba2 b)

+

→→ba

22

c) 2

ba→→

+ d) 3ba→→

+

e)

+→→ba

32

Solución:

Comparando los gráficos. El vector →x es colineal con el

vector suma

+

→→ba .

a bx

x a b

→→→→

→ →→

+µ = =

+

2Lba

Lx

→→→+

=

θ

O

.

.

33

∴ )ba(

22x

→→→+= Rpta. b

3. Los puntos P, Q, R y S determinan un cuadrado donde M y N son

puntos medios de PQ y QR respectivamente. Relacionar el

vector →x con los vectores

→→bya .

a) 5

ba→→

+ b)

10ba2→→

+ c)

5b3a2→→

+

d) 10

b2a3→→

+ e) 15

b2a→→

+

Solución: Los triángulos SPM y PQN son congruentes. Luego: α + β = 90°

Los triángulos rectángulos POM, POS y MPS son semejantes,

cuyos lados están en la razón de 1 a 2. Luego:

|→

PO | = 2 |→

OM | y | |x|4|SO→→

= Método del polígono, en el ∆SPM:

2bax5→

→→+=

∴ 10

)ba2(x

→→→ +

=

Rpta. b

34

Donde: X= longitud

V= velocidad

PROBLEMAS PROPUESTOS

MAGNITUDES FÍSICAS Y VECTORES

1. En el estudio del MRUV, se utilizan las cantidades físicas: desplazamiento, longitud, velocidad, aceleración y tiempo; que cantidades físicas son vectoriales: a. Velocidad y aceleración b. Desplazamiento, velocidad y aceleración c. Desplazamiento y aceleración d. Longitud y velocidad. e. Todas.

2. Calcular el valor numérico de:

A. ����� ���������

�������� ���� B.

�� �������������� ����������

a. 6�10���; 2,5�10�� b. 6�10���; 2,5�10�� c. 6�10���; 2,5�10���

d. 6�10��; 2,5�10�� e. 6�10���; 2,5�10��

3. En la siguiente expresión dimensionalmente correcta, calcular X,Y,Z.

P � 2x�� . log� � Yd ���

Donde: P= presión; t= tiempo; d= densidad; F= fuerza. a. ���� ��� b. ���� ��� c.��� ���� d. �� ���� e. ���� ���

4. En la siguiente expresión dimensionalmente correcta, calcular la dimensión de K

�� � 2 ���

�√�� � �� � ��2 donde: � � ����������; � � � ���

�, � � ���������� a. �� � b. LM c.� � d.���� e. �����

5. En la ecuación dimensionalmente correcta, calcular la dimensión de R:

� � ��6�� � ������ � 4����� ����� a. �� b. � � c.�� d.���� e. �����

6. En la ecuación dimensionalmente correcta, calcular la dimensión de P:

VP�√K� �x �� �� √⋯ ∞���n

a. ����� b. ������ c. ��� �

� . � d. ������ �. � e. ����

35

Donde: F= fuerza � = 45°

7. Calcular la ecuación dimensional de A (A, B y K son magnitudes físicas): ���� � � ���� ��� � � � �

a. �� �� b. ���� ����� c. ��� ���� d. ���� ���� e. ��� ���

8. Convertir: a) 50cm3 a litros b) 20 litros a dm3 a. 6�10�; 2 b. 50; 20 c. 5; 2 d. 5�10��; 20 e. 0,5; 2

9. Determinar el ángulo sólido registrado:

a)Por una semiesfera b) Por el vértice de un cubo (en sr) a. 2�; �

� b. �

� ; � c. 2�; � d. �; 4� e. �; �

10. En la relación de unidades físicas:

I) Kwh II) Amperio III) Voltio IV) Ergio V) Atmosfera x litro

Son unidades de energía: a. I y IV b. II y V c. Solamente IV d. I, IV,V e. Todos

11. La resultante de 2 vectores, varía al girar uno de ellos; si el mínimo módulo de la

resultante es 2u y la máxima 14u. Calcular el módulo de la resultante, cuando los vectores forman un ángulo de 120° a. 5√13� b. 3√13� c. 2√13� d. 7√7� e. √13�

12. Se tiene 2 vectores de módulos 6u y 4u. ¿Qué valor no puede ser su resultante?

a. 6,5u b. 3,2u c. 8,7u d. 10,2u e. 4,2u

13. ¿Cuál (o cuáles) de los siguientes diagramas son correctos? ��� ��

I) ��� ��� ��� II) �� ��� �� III) ��� ��

�� ��

a. Solo I b. I y III c. Solo II d. Solo III e. I y II

14. Calcular la dirección del vector ���� 6���� 8���� a. �

���� �

��� b. �

���� �

��� c. ��� 2�� d. 2��� 2�� e. �

���� �

���

15. Calcular �� en función de los vectores ������ Si ��

��� �

� ; ��

�� � �

�

B ��

a. ���������

�� b. �����������

�� c. ����������

�� Q

36

�� ���

d. �����������

�� e. ���������

�� A P C

16. En la figura, calcular el módulo del vector resultante, si: � � 2√3�; � � 10�; � � 4�; � � 10√2� ��� a. √2� b. 2√2� c. 2� ��

d. 3√2� e. √��

� ��

����

17. En la figura, calcular “∝”, para que la resultante de los vectores sea mínima; ��� �� si B=20u ; C=40u. a. 8° b. 10° c. 15° ��

d. 22° e. 25°

18. En el siguiente conjunto de vectores, B=2u; C=3u; D=5u; calcular el módulo del vector resultante.

a. 2√17� b. 2√19� c.3√17� ��� �� d. √19� e.2� ���� �����

19. En el conjunto de vectores; calcular el módulo del vector resultante: a. 10√3� b. 3√3� c. 7√3� 10u

d. √3� e. 5√3� 8u 6u

20. Calcular el ángulo entre 2 vectores de módulos 4 y 5 unidades, si el módulo de su diferencia es 5 unidades.

a. 30° b. arcocos ���� c. arcotan �√��

�� d. arcosin �

� e. 37°

37°

30°

45°

y

x

70°

10°

23°

y

x

�

20°

20°