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CONSTANTES OPTIMAS PARA EL OPERADOR DE HARDY-LITTLEWOOD

ACTUANDO SOBRE GRAFOS FINITOS

ANGIE YURANI PUENTES SOLER

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS

FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACION

PROYECTO CURRICULAR DE MATEMATICAS

BOGOTA D.C.

- 2019 -

CONSTANTES OPTIMAS PARA EL OPERADOR DE HARDY-LITTLEWOOD

ACTUANDO SOBRE GRAFOS FINITOS

ANGIE YURANI PUENTES SOLER

Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al tıtulo de:

Matematica

DIRECTOR:

Dr. JULIO CESAR RAMOS FERNANDEZ

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS

FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACION

PROYECTO CURRICULAR DE MATEMATICAS

BOGOTA D.C.

- 2019 -

Indice general

Introduccion vi

1 Preliminares de Analisis 1

1.1 Algunas propiedades de las funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Espacios metricos y de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Algunas propiedades de operadores lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1 Operadores acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.2 Funcionales lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Desigualdades debiles y fuertes (p, p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Metrica y Funciones sobre Grafos 8

2.1 Grafos y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Tipos de grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Una metrica para un grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Espacios `p(V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 El Operador Maximal sobre Grafos Finitos 26

3.1 Definicion y propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 El caso minimal puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3 Operador maximal sobre grafos isomorfos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4 Norma del operador maximal sobre `p(V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5 Estimaciones y cotas del operador maximal de Hardy-Littlewood . . . . . . . . 52

3.6 Constantes optimas para la norma del operador maximal sobre grafos . . . . . 60

Conclusiones 75

Bibliografıa 76

iii

Agradecimientos

Agradezco de manera especial al profesor Julio Cesar Ramos Fernandez por su paciencia,

apoyo y dedicacion en este trabajo, en mi carrera y en mi vida personal; siempre le tendre ad-

miracion, respeto y un gran afecto. Tambien agradezco a John Mora por soportar mis crisis

durante la realizacion de este trabajo y por nunca dudar en que podrıa terminarlo, y a todas

las personas que se cruzaron en mi camino mientras estaba realizando este trabajo y me dieron

su apoyo y motivacion, en especial a Daniel Bernal, Julian Castiblanco, Camilo Porras, y mis

padres Jaime Puentes y Paola Soler.

iv

Resumen

Este trabajo consiste en estudiar funciones y espacios de sucesiones sobre grafos finitos, y

con ayuda de la medida de conteo lograr describir y observar el comportamiento del operador

maximal de Hardy-Littlewood sobre grafos finitos; luego se establecen propiedades sobre este

operador para ası dar acotaciones y equivalencias asintoticas a su norma p.

Palabras clave: Operador de Hardy-Littlewood, grafos finitos, equivalencia asintotica, esti-

maciones.

v

Introduccion

En el presente trabajo se habla del operador maximal de Hardy-Littlewood, usualmente se

define como

Mf(x) = supr

1

|B(x, r)|

∫B(x,r)

|f(w)| dw, (1)

donde x es un elemento de Rd para lo cual la expresion de la derecha es finita, B(x, r) es la

bola euclıdea en Rd con centro en x y radio r > 0 y |B| denota la medida de Lebesgue del

conjunto B. Se define este operador sobre grafos finitos como

MGf(v) = maxr>0

1

|BG(v, r)|∑

w∈BG(v,r)

|f(w)|, (2)

aquı |BG| se refiere a la cardinalidad del conjunto BG. Este operador debe su nombre a dos

grandes matematicos G. H. Hardy y J. E. Littlewood, los cuales establecieron en 1930 que

esta aplicacion M transforma una funcion f en Lp(Rd) en otra del mismo espacio [7]. Hoy en

dıa este resultado se conoce como la desigualdad maximal de Hardy-Littlewood y establece

que existe una constante Cd > 0 tal que

|Mf > λ| < Cdλ‖f‖L1(Rd), (3)

para todo λ > 0 y para toda funcion f ∈ L1(Rd).

El presente trabajo se realiza en torno a encontrar acotaciones para la norma maximal de

Hardy-Littlewood. Algunas estimaciones para el operador maximal de Hardy-Littlewood fue-

ron establecidas por Busemann y Feller en 1934 [5]. Posteriormente, E M. Stein en [14] de-

muestra que la constante que aparece en la desigualdad

‖Mf‖Lp(Rd) ≤ Cp,d‖f‖Lp(Rd), (4)

es independiente de la dimension del espacio d, quedando como problema abierto hallar la

mejor constante involucrada en la estimacion fuerte de Hardy-Littlewood y establecer estima-

ciones debiles y fuertes para funciones en otros espacios.

vi

INDICE GENERAL vii

El estudio de este y de los operadores maximales relacionados en los espacios de medida ha

recibido una considerable atencion recientemente (algunos ejemplos de esto se encuentran en

los siguientes artıculos [1], [11], [12]). Este tipo de operadores tambien se estudian en relacion

con las funciones armonicas y el operador de Laplace en los arboles en [6] y [9].

Con la aparicion de la ”big data”muchos cientıficos se han motivado a estudiar versiones

discretas de resultados clasicos del Analisis Matematico que permitan modelar el comporta-

miento de esta gran cantidad de informacion que se encuentran en lo que hoy se conoce como

”la nube”. Ciertamente, la teorıa de grafos y la topologıa son de gran ayuda para explicar las

relaciones existentes entre los datos que se encuentran en la nube, visto cada dato como un

nodo o vertice de un grafo finito. Estas relaciones a su vez permiten definir funciones entre

los datos y el conjunto de estas funciones se puede ver como un espacio vectorial donde se

pueden definir distintas metricas o normas.

Se pretende con esta monografıa iniciar estudios en una lınea de investigacion que unifica la

teorıa de grafos con el area del Analisis Matematico y que podrıa eventualmente encontrar

aplicaciones en otras areas del conocimiento como lo son la Computacion y la Informatica.

En este trabajo, se estudian las propiedades del operador maximal de Hardy-Littlewood cuan-

do actua sobre funciones definidas en grafos finitos, se define una distancia o metrica para

un grafo general G, con conjunto de vertices V y conjunto de lados E; y al usar distintas

propiedades de grafos y teoremas se encuentra la constante mas optima para la desigualdad

maximal de Hardy-Littlewood en grafos finitos. Unas de las principales motivaciones para es-

tudiar estimados para la norma p del operador sobre grafos finitos proviene de los resultados

de discretizacion probados para la funcion maximal de Hardy-Littlewood en R en terminos

de deltas de Kronecker. Se ve que la estructura geometrica en el grafo es mucho mas rica ya

que da mejores estimaciones para el operador maximal que, a su vez, caracteriza el grafo en

algunos casos extremos.

Mas precisamente, se dan los detalles de los resultados que aparecen en el artıculo de J. Soria

y P. Tradacete [13]. El trabajo se complementa con los ejemplos ilustrativos que aclara cada

definicion y resultado del artıculo. Tambien, se dan los preliminares necesarios para que la

obra tenga el caracter de autocontenido.

En el primer capıtulo de la monografıa se mencionan los preliminares necesarios del Analisis,

se habla de funciones especıficas, de espacios metricos, de sucesiones sobre estos espacios,

de operadores, funcionales, en especial funcionales sublineales los cuales van a ser de suma

importancia en el trabajo, y de teoremas relevantes en dichos temas.

viii INDICE GENERAL

En el segundo capıtulo se mencionan los tipos de grafos mas relevantes para el estudio del

artıculo [13], como lo son Kn, Cn, Sn y Ln, se definen algunas propiedades importantes en los

grafos, como la conexidad, el grado, el diametro; tambien se menciona lo referente a la metrica

que se define en un grafo, la cual se llama distancia geodesica, se prueba que efectivamente

es una metrica, tambien se ve que con esta metrica el espacio G es completo; y se dan los

ejemplos necesarios para entender esto. Se define el espacio `p(V ), y su norma, por ultimo

se demuestran algunas propiedades sobre estos espacios las cuales son importantes en las

demostraciones que se realizan en el tercer capıtulo.

Mientras que el analisis del operador maximal de Hardy-Littlewood actuando sobre grafos

finitos especıficos se hace en un tercer capıtulo, calculando el operador maximal de Hardy-

Littlewood sobre Kn, Ln, y Sn, luego de esto se acota la norma p del operador sobre estos

grafos. Para la norma p de MLn , y MSn , con 0 1.

Capıtulo 1

Preliminares de Analisis

Con el objetivo de dar a esta obra un caracter de autocontenido, en el presente capıtulo

se recopilan ciertos preliminares que seran de gran utilidad en los estudios posteriores. En

la primera seccion, se mencionan algunas propiedades de las funciones reales y convexas.

En la segunda seccion se resume las propiedades mas relevantes de los espacios metricos,

ultrametricos y de Banach. Posteriormente, en la tercera seccion se definiciones y propiedades

de los operadores lineales y funcionales lineales.

1.1 Algunas propiedades de las funciones reales

En esta seccion se recuerdan brevemente, algunas funciones especıficas, el concepto de funcion

convexa y se enuncian algunas de sus propiedades que se utilizan mas adelante.

Para un conjunto S, la funcion delta de Kronecker, es una funcion de dos variables, que aplica

S × S en 0, 1 de tal manera que

δ(i, j) = δj(i) =

1, i = j

0, i 6= j.(1.1)

Se escribe con el sımbolo δij o δj(i), y la primera se usa como una notacion y la segunda mas

como la funcion a trozos que se define en (1.1).

La funcion parte entera f : R → Z aplica los reales a los numeros enteros, la cual se define

como f(x) = [x] = n, si n ≤ x < n+ 1 ([15], pag. 87).

Teniendo estas funciones definidas y claras, se pasa a la definicion de una funcion convexa.

Sea J un intervalo en R, se dice que la funcion real ϕ : J ⊆ R → R es convexa en J si para

1

2 CAPITULO 1. PRELIMINARES DE ANALISIS

cualquier par de puntos x, y ∈ J y para todo λ ∈ [0, 1] cumple que

ϕ (λx+ (1− λ)y) ≤ λϕ(x) + (1− λ)ϕ(y).

En particular, si ϕ : J ⊆ R→ R es convexa, entonces cada para cada x, y ∈ J se cumple que

ϕ

(x+ y

2

)≤ 1

2(ϕ(x) + ϕ(y)) ; (1.2)

pero no toda funcion que satisface la desigualdad anterior es convexa. Las funciones ϕ con-

tinuas que satisfacen la relacion anterior se conocen como funcion convexa de punto medio

([4], pag. 239). La generalizacion de la desigualdad (1.2) se le conoce como la desigualdad de

Jensen, la cual se enuncia a continuacion:

Desigualdad de Jensen: Dada una funcion convexa ϕ : J ⊆ R → R, numeros reales

x1, x2, · · · , xn en su dominio J y numeros positivos ai, se cumple que:

ϕ

(∑ni=1 aixi∑ni=1 ai

)≤∑n

i=1 aiϕ(xi)∑ni=1 ai

.

En particular, si ai = 1 para todo i = 1, 2, · · · , n, entonces

ϕ

(∑ni=1 xin

)≤ 1

n

n∑i=1

ϕ(xi) (1.3)

([3], pag. 113).

1.2 Espacios metricos y de Banach

La nocion o la idea de metrica o medida se remonta de muchos anos atras, al menos se puede

decir que desde los inicios de la geometrıa, la cual segun Herodoto (Siglo V AC) esta asociada

a las tecnicas de medir terreno; hoy en dıa se entiende como una funcion que determina una

distancia entre cada par de elementos de un conjunto, una definicion mas formal es ([2] pagina

60) que dados los objetos en un conjunto X y una funcion d (llamada la metrica del espacio),

se cumplen las siguientes propiedades para x, y, z ∈ X:

(i) d(x, x) = 0

(ii) d(x, y) > 0, x 6= y

(iii) d(x, y) = d(y, x)

(iv) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

1.2. ESPACIOS METRICOS Y DE BANACH 3

La tercera propiedad se le conoce como la simetrıa y la cuarta es la famosa desigualdad trian-

gular. Un espacio metrico se denota por el par (X, d). Entre los espacios metricos, destacan

aquellos donde la metrica posee una desigualdad mas fuerte que la desigualdad triangular, a

saber, para todo x, y, z ∈ X se cumple que:

d(x, y) ≤ maxd(x, z), d(z, y). (1.4)

A estos espacios metricos se les conoce en la literatura como espacios ultrametricos.

Una bola abierta B(x, r) en (X, d) un espacio metrico, con x ∈ X y r ∈ R+, es el conjunto de

todos los y ∈ X tales que d(x, y) < r; y la bola cerrada B(x, r), es el conjunto de todos los

y ∈ X tales que d(x, y) ≤ r. De lo anterior se tiene que B(x, r) ⊆ B(x, r) para todo x ∈ X([10] pag. 18).

Asociado al concepto de metrica se tiene la nocion de convergencia que se menciona a conti-

nuacion. Se recuerda que una sucesion xnn∈N de un determinado conjunto S ⊆ X, es una

funcion que aplica los naturales N = 1, 2, 3, · · · a dicho conjunto S, es decir cuyo rango

esta en S ([4], pag. 114). En un espacio metrico (X, d), una sucesion xnn∈N se dice que es

convergente ([10], pag. 25) si existe un punto x ∈ X tal que

lımn→∞

d(xn, x) = 0,

y x es el lımite de xn.

Como ejemplo de un espacio metrico, se tiene Rn con la metrica euclidiana que se define a

continuacion

d(x, y) =√

(x1 − y1)2 + · · ·+ (xn − yn)2.

Aquı x = (x1, · · · , xn) y y = (y1, · · · , yn) son elementos de Rn.

Una sucesion xn se dice de Cauchy si cumple la propiedad en la cual para todo ε > 0 existe

un entero N , tal que d(xn, xm) < ε siempre que n,m ≥ N ([2], pag. 88). Como una propiedad

destacable, se puede mencionar que si una sucesion es convergente en Rn, entonces es una

sucesion de Cauchy ([4], pag. 132).

Se ven algunas propiedades especıficas de las sucesiones. Una sucesion xn en Rn se dice que

es acotada si xn ∈ B(0,M) para un M > 0 y para toda n ∈ N, siendo 0 = (0, 0, · · · , 0) ∈ Rn

([4], pag. 116). Una propiedad de dichas sucesiones es que una sucesion convergente en Rn es

acotada ([4], pag. 116).

Un espacio metrico (X, d) se dice que es completo si toda sucesion de Cauchy converge en el

espacio ([2], pag. 90).

Varios ejemplos de espacios metricos son los espacios normados sobre el campo de los numeros

reales, estos son espacios vectoriales los cuales estan dotados de una funcion norma. Mas

precisamente ([4], pag. 76), el espacio vectorial X sobre el campo R, se dice que es normado si

existe una funcion ‖·‖ : X → R+∪0, llamada norma, que satisface las siguientes condiciones

para todo x, y ∈ X y todo α ∈ R:

(i) ‖ x ‖≥ 0,

(ii) ‖ x ‖= 0 ⇐⇒ x = 0,

(iii) ‖ x+ y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖

(iv) ‖ αx ‖= |α| ‖ x ‖.

Un espacio normado se denota por el par (X, ‖ · ‖). Todo espacio normado X es tambien un

espacio metrico ([10], pag. 58) con la metrica definida por

d(x, y) = ‖x− y‖,

donde x, y ∈ X. Un espacio de Banach es un espacio vectorial normado completo, visto como

espacio metrico.

Se finaliza esta seccion con el siguiente ejemplo el cual es de gran importancia en este trabajo.

Ejemplo 1.2.1. Para 0 < p ≤ 1 se dice que una funcion f : X ⊆ N → R pertenece al

conjunto `p(X) si se cumple que

‖f‖p :=∑j∈X|f(j)|p <∞.

Ahora con 1 < p <∞, f pertenece a `p(X) si

‖f‖p :=

(∑j∈X|f(j)|p

)1/p

<∞.

Por ultimo para p =∞‖f‖∞ := max

j∈X|f(j)|p <∞.

Una metrica para `p(X) es

dp(f, g) = ‖f − g‖p . (1.5)

En estos espacios se cumple:

Desigualdad de Holder: Sea X ⊆ N, y sea 1 ≤ p, q ≤ ∞ con p y q exponentes conjugados;

los exponentes conjugados son aquellos exponentes que cumplen con la siguiente condicion:

1.3. ALGUNAS PROPIEDADES DE OPERADORES LINEALES 5

1p+1

q = 1 ([10], pag. 12). Entonces, para toda funcion de valores reales o complejos f, g ∈ `p(X),

se tiene que:

‖ fg ‖1 ≤ ‖ f ‖p ‖ g ‖q (1.6)

La relacion (1.6) trae como consecuencia la famosa Desigualdad de Minkowski la cual

establece que para funciones f, g ∈ `p(X) se cumple

‖f + g‖p ≤ ‖f‖p + ‖g‖p. (1.7)

Teorema 1.2.1. Un subespacio Y de un espacio de Banach X es completo si y solo si Y es

cerrado ([10] pag. 67).

1.3 Algunas propiedades de operadores lineales

Este trabajo especıficamente estudia el comportamiento de un operador no lineal pero tiene

resultados sobre funcionales sublineales, hay que tener claras ciertas nociones y propiedades

sobre operadores lineales. Un operador T es una funcion que aplica un espacio vectorial X

sobre otro espacio vectorial. Un operador T : X → Y se dice que es lineal si su dominio

D(T ) ⊆ X es un espacio vectorial y su rango R(T ) ⊆ Y es un espacio vectorial sobre el

mismo campo de D(T ) ([10], pag. 82), y si para todo x, y ∈ D(T ) y α ∈ R se cumple que

T (x+ y) = Tx+ Ty,

T (αx) = αTx.

Se define la inversa de un operador lineal, para esto, es necesario recordar que la funcion

T : D(T ) → Y se dice inyectiva si diferentes puntos del dominio tienen diferentes imagenes,

esto es, si para todo x1, x2 ∈ D(T ) se cumple que

x1 6= x2 ⇒ Tx1 6= Tx2.

Ahora si T es inyectiva existe la funcion

T−1 :R(T )→ D(T )

y0 7→ x0

que aplica a cada y0 ∈ R(T ) en x0 ∈ D(T ), con y0 = Tx0. La aplicacion T−1 se conoce como

la inversa de T , y se le dice el operador inverso de T ([10], pag. 86).

Como una propiedad del operador inverso, sea T : D(T ) ⊆ X → Y se llega a que la inversa

T−1 : R(T )→ D(T ) existe si y solo si Tx = 0⇒ x = 0, y de ser ası la inversa es un operador

lineal; si tambien se tiene que dim(D(T )) = n <∞, entonces dim(D(T )) = dim(R(T )) ([10],

pag. 88).

1.3.1 Operadores acotados

Sean X y Y espacios normados y T : D(T ) ⊂ X → Y un operador lineal, se dice que T es

acotado ([10], pag. 91) si existe una constante c ≥ 0 tal que

‖Tx‖ ≤ c‖x‖. (1.8)

para todo x ∈ D(T ).

Dicho operador anteriormente mencionado tambien tiene su respectiva norma, esta se define

como:

‖T‖ = supx∈D(T )\0

‖Tx‖‖x‖

([10], pag. 92). Una forma alternativa y usualmente mas usada ya que facilita los calculos,

con x ∈ D(T ), es:

‖T‖ = sup‖x‖=1

‖Tx‖.

En espacios normados de dimension finita se tiene que todo operador lineal es acotado ([10],

pag. 96).

1.3.2 Funcionales lineales

Otro concepto relevante dentro de la teorıa de operadores es el de funcional. Un funcional es

un operador cuyo rango esta contenido en el campo K; en el presente el campo son los reales.

El conjunto de todos los funcionales lineales definidos en un espacio vectorial X es un espacio

vectorial. Este espacio se denota por X∗ y se denomina espacio dual de X.

Es necesario conocer la definicion de funcionales sublineales, un funcional sublineal T : X → K

es un operador que cumple con dos propiedades para todos los elementos de X, T debe ser

subaditivo y ser positivamente homogeneo, lo que quiere decir respectivamente que cumpla

∀x, y ∈ X, y α ∈ R+ con:

T (x+ y) ≤ Tx+ Ty

T (αx) = αTx.

1.4. DESIGUALDADES DEBILES Y FUERTES (P, P ) 7

Es claro que hay una diferencia entre un operador lineal y uno sublineal, mas adelante en el

texto se mencionan los operadores sublineales en un importante lema.

1.4 Desigualdades debiles y fuertes (p, p)

Ya que la idea del trabajo es llegar a una estimacion tipo debil del operador maximal sobre

grafos finitos, es necesario conocer que es una desigualdad tipo debil.

Definicion 1.4.1. Un espacio de medida (X,Σ, µ) se dice finito si µ(X) es un numero real

finito. Y se dice σ-finito (leıdo sigma finito) si X es la union contable de conjuntos medibles

de medida finita.

Definicion 1.4.2. Sea (Ω,Σ, µ) un espacio medible σ− finito y 0 0 t1/pf∗(t) 0 0, si existe una constante Cd > 0 tal que

|Tf > λ| ≤ Cdλ−1/p‖f‖L1(Rd). (1.9)

Con |Tf > λ| la medida de Lesbegue del conjunto Tf > λ. Por lo que cuando se habla de

estimaciones tipo debiles, se refiere a la estimacion de la constante que cumple la desigualdad

anterior para un operador.

Las estimaciones debiles, implican desigualdades fuertes.

Definicion 1.4.4. Un operador T satisface una desigualdad del tipo fuerte (p, p) si existe

una constante Cp,d > 0 tal que

‖Tf‖Lp(Rd) ≤ Cp,d‖f‖Lp(Rd) (1.10)

para toda funcion f ∈ Lp(Rd).

Y cuando se habla de estimaciones tipo fuertes, se refiere a la estimacion de la constante que

cumple la desigualdad anterior para un operador.

Capıtulo 2

Metrica y Funciones sobre Grafos

En este capıtulo se estudian los espacios donde se ha realizado esta investigacion. En vista

de que estos espacios se definen sobre conjuntos de vertices de un grafo, en las primeras

secciones de este capıtulo, se provee los conceptos basicos sobre teorıa de grafos necesarias

para posteriormente definir los espacios lp(V ).

2.1 Grafos y sus propiedades

En esta seccion se trabajan las diferentes propiedades sobre grafos que se necesitan para

los siguientes capıtulos, conceptos de la teorıa de grafos; se mencionan los grafos simples,

la adyacencia de un vertice, la vecindad, se definen los grafos isomorfos y por ultimo los

subgrafos. Las definiciones y propiedades estudiadas en esta seccion se puede consultar en el

excelente texto de Johnsonbaugh (2015) ([8]).

Definicion 2.1.1. Un grafo (o grafo no dirigido) G consiste en un conjunto V de vertices (o

nodos) y un conjunto E de aristas (o lados) tal que cada arista e ∈ E se asocia con un par

no ordenado de vertices.

Un grafo G con conjunto de vertices V y conjunto de aristas E se denota por G = (V,E).

En el caso que la arista e se le asocie los vertices v1 y v2, entonces se dice que e incide en los

vertices v1 y v2.

Si existen dos aristas e1 y e2 con los mismos vertices incidentes, entonces se dice que e1 es

paralela a e2.

Un lazo es una arista que es incidente en un mismo vertice.

8

2.1. GRAFOS Y SUS PROPIEDADES 9

Definicion 2.1.2. Un grafo simple no dirigido es aquel grafo que no tiene aristas paralelas

ni lazos.

En el grafo de la Figura 2.1 no se tienen aristas paralelas, ni tampoco se tienen lazos; por lo

que ese grafo es simple con 5 vertices y 5 aristas;

Figura 2.1: Grafo simple

Una trayectoria de v0 a vn de longitud n es una sucesion que se alterna entre vertices y

aristas, de n + 1 vertices y n aristas que comienza en el vertice v0 y termina en el vertice

vn, donde la arista ei es incidente sobre los vertices vi−1 y vi para i = 1, · · · , n. Debe estar

claro que esta definicion permite repeticion de vertices o artistas, o ambos. Por esto se tiene

la siguiente definicion, una trayectoria simple entre dos vertices v1 y v2 es una trayectoria

de v1 a v2 sin vertices repetidos; se denota como T (v1, v2).

En el presente trabajo se asume de ahora en adelante que las trayectorias de las que se hablan

son simples.

Figura 2.2: Trayectoria

En la Figura 2.2 se puede ver que hay un trayectoria de v0 a v4.

Un grafo G se dice que es conexo, si dados cualesquiera dos vertices vi y vj en G, existe una

trayectoria de vi a vj .

10 CAPITULO 2. METRICA Y FUNCIONES SOBRE GRAFOS

Figura 2.3: Grafo conexo

Se puede ver en la Figura 2.3 que se puede llegar de un vertice a otro por una sucesion de

aristas, por lo que hay una trayectoria de cada par de vertices.

Definicion 2.1.3. Un ciclo se tiene cuando para un vertice v ∈ V existe una trayectoria

directa de v a v.

Definicion 2.1.4. Un grafo cıclico es un grafo que tiene ciclos.

De aquı que un grafo acıclico es un grafo que no tiene ciclos. En la Figura 2.4 se tiene un

grafo acıclico.

Un vertice vi es adyacente o vecino a otro vertice vj si el grafo contiene una arista ei que

incide en vi y vj .

Figura 2.4: Vecinos

En la Figura 2.4 se observa que los vecinos de v1 son v0 y v2.

La vecindad de un vertice v, se denota por N(v) y esta dado por todos los vertices adyacentes

a v. En la Figura 2.4 se tiene que N (v1) = v0, v2.

El grado de un vertice v, se denota por dG(v), y es el numero de aristas que inciden en v.

En la Figura 2.4, se tiene que dG(v1) = 2.

2.1. GRAFOS Y SUS PROPIEDADES 11

Los grafos G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2) se dicen que son isomorfos, denotado por G1 ∼ G2,

si existen funciones biyectivas f : V1 → V2 y g : E1 → E2 de manera que una arista e ∈ E1 es

incidente en v, w ∈ V1 si y solo si la arista g(e) ∈ E2 es incidente en f(v), f(w) ∈ V2. El par

de funciones f y g reciben el nombre de isomorfismo de G1 en G2.

En la siguiente figura se muestra dos grafos isomorfos:

Figura 2.5: Grafos isomorfos

Con V1 el conjunto de vertices del grafo de la izquierda y V2 el conjunto de vertices del grafo

de la derecha; si se toma la funcion f : V1 → V2 como:

• f(1) = 1

• f(2) = 4

• f(3) = 2

• f(4) = 5

• f(5) = 3,

para los vertices en la Figura 2.5, ciertamente f es una biyeccion entre los vertices de ambos

grafos.

Similarmente, con E1 el conjunto de aristas del grafo de la izquierda y E2 el conjunto de

aristas del grafo de la derecha; si se toma la funcion g : E1 → E2 como:

• g(e1) = e3

• g(e2) = e1

• g(e3) = e2

• g(e4) = e4


• g(e5) = e5

se tiene que g es una biyeccion y ademas se obtiene

f(j) = j, j ∈ 1, 2, 3, 4, 5

g(e) = e, e ∈ e1, e2, e3, e4, e5.

Y a cada dos vertices vecinos incidentes a una arista, su imagen bajo f tambien seran vecinos

y seran incidentes en la imagen bajo g de la arista. Esto muestra que los dos grafos de la

Figura 2.5 son isomorfos.

Se puede observar, en la Figura 2.5, que los grados de los vertices del primer grafo son los

mismos que los del segundo grafo. Por ser isomorfos los grafos, sus vertices respectivos o

equivalentes deben tener los mismos grados. Con esta observacion, se puede deducir que los

grafos de la siguiente figura no son isomorfos.

Figura 2.6: Grafos no isomorfos

Ya que en la Figura 2.6 se ve que en el grafo de la derecha existe un vertice con grado 1;

mientras que en el grafo de la izquierda no existe ningun vertice con esta propiedad.

Se finaliza esta seccion, mencionando el concepto de subgrafo. Sea G = (V,E) un grafo se dice

que la estructura G′ = (V ′, E′) es un subgrafo de G si se satisfacen las siguientes propiedades:

(i) V ′ ⊆ V y E′ ⊆ E

(ii) Para toda arista e′ ∈ E′ , si e′ incide en v′ y w′, entonces v′, w′ ∈ V ′.

2.2. TIPOS DE GRAFOS 13

Figura 2.7: C5 no es subgrafo de C7

En la Figura 2.7 el grafo de la derecha que se nota como C5 no es un subgrafo del grafo de la

izquierda que se nota como C7.

Figura 2.8: G5 es subgrafo de C7

En la Figura 2.8 se puede ver que al quitar la arista e5 del grafo C5 se cumple que toda arista

incidente en dos vertices en G5 es incidente en los mismos dos vertices en C7; por lo que G5

es un subgrafo de C7.

2.2 Tipos de grafos

En esta seccion se definen y se dan ejemplos de los grafos que se utilizaran en esta monografıa

y mas especıficamente en el proximo capıtulo.

Definicion 2.2.1. Para n ∈ N, el grafo completo, denotado por Kn, es el grafo simple con

n vertices en el que cada vertice es vecino o adyacente a los demas.

En la siguiente figura se muestra un ejemplo de un grafo completo.


Figura 2.9: Grafo completo K7

Definicion 2.2.2. Para n ∈ N, el grafo ciclo con n vertices, se denota por Cn y es el grafo

simple con n vertices y n aristas y en el cual cada vertice tiene grado 2.

En la siguiente figura se muestra un ejemplo de un grafo ciclo.

Figura 2.10: Grafo ciclo C7

Definicion 2.2.3. Para n ∈ N, el grafo estrella con n vertices, se denota por Sn y es el

grafo simple con n vertices en el que un vertice tiene grado n − 1, y los otros vertices tiene

grado 1, por lo que hace la figura de una estrella.

En la siguiente figura se puede observar un ejemplo de un grafo estrella.

2.2. TIPOS DE GRAFOS 15

Figura 2.11: Grafo estrella S8

Definicion 2.2.4. Un arbol A (libre) es un grafo simple, conexo y acıclico. Un arbol con

raız es un arbol en el que un vertice especıfico se designa como raız.

Sea A un arbol con raız v0. Suponga que x, y y z son vertices en A y que (v0, v1, · · · , vn) es

una trayectoria simple en A. Entonces se tiene las siguientes nomenclatura o convencion:

(i) vn−1 es el padre de vn.

(ii) v0, · · · , vn−1 son ancestros de vn.

(iii) vn es un hijo de vn−1.

(iv) Si x es un ancestro de y, y es un descendiente de x.

(v) Si x y y son hijos de z, x y y son hermanos.

(vi) Si x no tiene hijos, x es una hoja (o vertice terminal).

Entre los ejemplos mas importantes de arboles que se usan en el proximo capıtulo se encuen-

tran los arboles lineales que se define a continuacion.

Definicion 2.2.5. El arbol lineal con n vertices, se denota por Ln, es el grafo simple con

n vertices en el que dos vertices tiene grado 1, y los otros n− 2 vertices tiene grado 2, por lo

que hace la figura de una lınea

En la siguiente figura se muestra un ejemplo de un arbol lineal.

Figura 2.12: Grafo lineal L7


En la siguiente seccion se construye un arbol lineal a partir de un grafo.

2.3 Una metrica para un grafo

En esta seccion se considera G = (V,E) un grafo simple y conexo, donde V es el conjunto de

vertices el cual se asume numerable y E el conjunto de aristas entre ellos. Este grafo G se ve

como un espacio metrico (G, dG), donde dG es la distancia geodesica.

Definicion 2.3.1. La distancia geodesica entre dos vertices vi y vj en un grafo G, es el

numero de aristas en la trayectoria mas corta que los conecta, y se denota como dG(vi, vj)

[13].

La funcion anterior esta bien definida, ya que si se supone que hay dos trayectorias mas cortas

que conectan a los mismos vertices, entonces el numero de aristas que conecta los vertices es

el mismo.

Tomando E como la funcion que cuenta el numero de arista en una trayectoria. Con esto se

tiene que

dG(vi, vj) = E [mınT (vi, vj) : vi, vj ∈ G].

Es necesario probar que esta distancia es efectivamente una metrica, entonces se deben com-

probar 4 propiedades para v1, v2, v3 ∈ V :

(1) dG(v1, v2) ≥ 0.

Ya que dG se define como el menor numero de aristas en la trayectoria mas corta de

dos vertices, en este caso v1 y v2, y como sabemos que G es un grafo conexo entonces

se cumple para cualesquiera par de vertices v1, v2 que dG(v1, v2) ≥ 0.

(2) dG(v1, v2) = 0 sii v1 = v2.

→) Si dG(v1, v2) = 0, quiere decir que el menor numero de aristas en la trayectoria mas

corta entre v1 y v2 es 0, por lo que v1 = v2.

←) Si v1 = v2 entonces se tendrıa que el menor numero de aristas en la trayectoria mas

corta serıa 0, ası pues dG(v1, v2) = 0.

(3) dG(v1, v2) = dG(v2, v1).

Ya que se trabaja con G un grafo simple, la menor cantidad de aristas en la trayectoria

mas corta de v1 a v2 es la misma que la de v2 a v1, ası pues dG(v1, v2) = dG(v2, v1).

(4) dG(v1, v2) ≤ dG(v1, v3) + dG(v3, v2).

Se toman dos casos:

2.3. UNA METRICA PARA UN GRAFO 17

i) Cuando el vertice v3 se encuentra en la trayectoria mas corta entre v1 y v2, por lo

que en este caso dG(v1, v2) = dG(v1, v3) + dG(v3, v2).

ii) Cuando el vertice v3 se encuentra por fuera de la trayectoria mas corta entre, v1 y

v2, por lo que dG(v1, v2) < dG(v1, v3) + dG(v3, v2) de no ser ası se volverıa al caso

anterior.

Ya que dG efectivamente es una metrica para el grafo G = (V,E), entonces este grafo es un

espacio topologico con la topologıa inducida por esta metrica. En particular, y como es usual,

para v ∈ V y r > 0, la bola abierta con centro v y radio r se define por

B (v, r) = w ∈ V : dG(v, w) < r .

Ahora, debido a que el conjunto de vertices V es a lo sumo numerable, el valor de la distancia

geodesica es un entero no negativo, claramente para cualquier r > 0 que no sea un numero

natural, se tiene que

B (v, r) = w ∈ V : dG(v, w) ≤ [r] ,

mientras que para r ∈ N, se tiene

B (v, r) = w ∈ V : dG(v, w) ≤ r − 1 ,

Por esta razon, en este espacio metrico se consideran radios que son enteros n no negativos y

para seguir la misma notacion [13], entonces

B (v, n) = w ∈ V : dG(v, w) ≤ n .

La cardinalidad de este conjunto se denotara por |B (v, n)|. Tambien se usara la notacion

BG (v, n) cuando se quiera hacer enfasis sobre el grafo en que se esta trabajando. Se ilustra

lo anterior con un ejemplo.

Ejemplo 2.3.1. Se considera el grafo cuyo dibujo es:

Figura 2.13: Grafo P4

Para el vertice 1, se ven cuales son las respectivas bolas:

• B(1, 0) = 1, ası |B(1, 0)| = 1

• B(1, 1) = 1, 2, ası |B(1, 1)| = 2

• B(1, 2) = 1, 2, 3, 4, ası |B(1, 2)| = 4

• B(1, 3) = 1, 2, 3, 4, ası |B(1, 3)| = 4.

Las respectivas bolas con centro 2, son:

• B(2, 0) = 2, ası |B(2, 0)| = 1

• B(2, 1) = 1, 2, 3, 4, ası |B(2, 1)| = 4

• B(2, 2) = 1, 2, 3, 4, ası |B(2, 2)| = 4

• B(2, 3) = 1, 2, 3, 4, ası |B(2, 3)| = 4.

En particular, para un grafo completo, se tiene la siguiente propiedad:

Proposicion 2.3.1. En el grafo Kn, se tiene que la bola BKn(j, r) con centro en el vertice

j ∈ Kn y radio r > 0 viene dada por

BKn(j, r) =

j, si 0 < r ≤ 1,

V, si r > 1.

Demostracion: Por definicion de grafo completo, todos los vertices se relacionan entre sı, al

tener un radio mayor o igual a 1 con cualquier vertice se obtiene todo el conjunto de vertices,

lo que quiere decir que si el radio esta en el segundo intervalo r > 1, toma todos los vertices,

porque el vertice j tiene grado n − 1 lo que significa que todos los vertices son sus vecinos.

De aquı se obtiene que

BKn(j, r) = V.

Si el radio esta en el primer intervalo 0 < r ≤ 1, el unico elemento de la bola es su centro, en

este caso j, por lo que BKn(j, r) = j.

Teorema 2.3.2. El espacio metrico (G, dG) es un espacio metrico completo

Demostracion . El grafo G tiene un conjunto de vertices V a lo sumo numerable.

Se toma xnn∈N una sucesion de Cauchy de vertices en G; entonces para ε = 1/2, existe

N0 ∈ N tal que

dG(xn, xm) < 1/2 (2.1)

2.3. UNA METRICA PARA UN GRAFO 19

para todo n,m ≥ N0, pero dG(v, w) ≥ 1 para todo v, w ∈ V ; y por esta razon, (2.1) implica

que dG(xn, xm) = 0 para todo n,m ≥ N0. En particular, dG(xn, xN0) = 0 para todo n ≥ N0

con lo cual

xn = xN0

para todo n ≥ N0 despues de N0 la sucesion xnn∈N es constante, y por esta razon es

convergente.

Por lo tanto la sucesion de Cauchy converge, y como la sucesion es arbitraria el espacio G es

completo.

Ahora se utiliza esta metrica para construir el arbol lineal LG(v) inducido o definido por un

grafo G = (V,E) de n vertices a partir de un vertice especıfico de V . La idea es organizar

los vertices del grafo G respecto de las bolas B(v, k), con k ∈ N, de tal forma que a partir

del vertice v ∈ V se colocan a la derecha los vertices en B(v, 1) \ v, luego los vertices en

B(v, 2) \B(v, 1) y ası sucesivamente hasta que se hayan agregado todos los vertices del grafo.

Se ilustra esta situacion con el siguiente grafo:

Figura 2.14: Grafo G1

Se va a construir su grafo lineal LG1(5) a partir del vertice v = 5. Entonces se inicia en ese

vertice v = 5. Luego se pone en orden de numeracion de menor a mayor ya que para esto se

nombran los vertices con numeros, los vertices en BG1(v, 1)\v, despues BG1(v, 2)\BG1(v, 1),

y ası sucesivamente, en este caso hasta BG1(v, 3)\BG1(v, 2). El grafo resultante es:

Figura 2.15: Arbol lineal L9(5) de G1

Se ve que al hacer la construccion los grados de los vertices cambian.

Se finaliza esta seccion recordando lo que es el diametro de un subconjunto del espacio metrico

(G, dG).

Definicion 2.3.2. El diametro de G es

diam(G) = maxdG(v, w) | v, w son vertices en G,

lo que quiere decir que el diametro es la mayor distancia entre los vertices del grafo.

Ejemplo 2.3.2. El grafo en la Figura 2.15 tiene diametro 8, que es igual al diametro en la

Figura 2.14.

2.4 Espacios `p(V )

Dado un grafo G = (V,E) y un parametro p > 0, en esta seccion se definen y se estudian las

propiedades del espacio `p(V ). Se asumira que el conjunto de vertices del grafo G es a lo sumo

numerable y que sus elementos se denotan por 1, 2, 3, · · · . Se dice que una funcion f : V → Rpertenece al conjunto `p(V ) si cumple que∑

j∈V|f(j)|p <∞.

Ciertamente cada funcion f : V → R se puede identificar con una sucesion numerica o por

un vector en Rn y por esta razon se puede escribir fj en vez de f(j). Tambien es claro que

el conjunto `p(V ) es un espacio vectorial real con la suma de funciones y el producto de un

escalar por una funcion; de hecho, para f, g ∈ `p(V ) se cumple que

∑j∈V|fj + gj |p ≤ 2p

∑j∈V|fj |p +

∑j∈V|gj |p

<∞.

Adicionalmente las funciones δ1, δ2, · · · , δn, · · · definidas por

δk(j) =

1, j = k,

0, j 6= k,(2.2)

con k = 1, 2, · · · , n, · · · son elementos del espacio `p(V ); de hecho, para cualquier f ∈ `p(V )

y cualquier j ∈ V se cumple

f(j) = fj =∑k∈V

fkδk(j).

En la siguiente grafica se muestra a la funcion δ1 para el conjunto de vertices V = 1, 2, 3, 4:

2.4. ESPACIOS `P (V ) 21

Figura 2.16: δ1(j)

Ahora se va a dotar a `p(V ) de una metrica que lo convertira en un espacio completo. Con

este fin, para p > 0 y f ∈ `p(V ) se define

‖f‖p :=

( ∑j∈V|fj |p

)1/p

, p > 1,∑j∈V|fj |p, 0 < p ≤ 1.

(2.3)

Tambien es conveniente definir

‖f‖∞ := maxj∈V|fj |.

Se observa que para todo k ∈ V se cumple que ‖δk‖p = 1. Tambien se tiene el siguiente

resultado.

Teorema 2.4.1. Para 0 < p <∞, la relacion

dp(f, g) = ‖f − g‖p (2.4)

con f, g ∈ `p(V ), define una metrica para `p(V ).

Demostracion . Claramente la relacion dp definida en (2.4) es no negativa, simetrica y sa-

tisface que dp(f, g) = 0 si y solo si f = g. Ası que resta por mostrar que dp satisface la

desigualdad triangular, la cual trivialmente se cumple en los casos p = 1 y p =∞. Luego, la

demostracion de este resultado se debe hacer en dos casos: 1 < p <∞ y 0 < p < 1.

Caso 1 < p < ∞: Aquı se demostrara que la relacion ‖ · ‖p realmente es una norma. Cier-

tamente, en este caso, para λ ∈ R y f ∈ `p(V ) se cumple que ‖λf‖p = |λ|‖f‖p, ademas se

cumple la celebre desigualdad de Holder la cual establece que

‖ fg ‖1 ≤ ‖ f ‖p ‖ g ‖q (2.5)

siempre que p y q sean exponentes conjugados; es decir, que cumplan con la condicion 1p+1

q = 1,

f ∈ `p(V ) y g ∈ `p(V ) ([10], pag. 14). La relacion (2.5) trae como consecuencia la famosa

desigualdad de Minkowski que establece que para funciones f, g ∈ `p(V ) se cumple

‖f + g‖p ≤ ‖f‖p + ‖g‖p,

la cual da la desigualdad triangular para dp en el caso p > 1. En efecto, si ‖f + g‖p = 0,

entonces no hay nada que mostrar, se prueba para ‖f + g‖p > 0; si f + g = h, la desigualdad

triangular del valor absoluto de numeros reales da que

|hj |p = |fj + gj | |hj |p−1

≤ (|fj |+ |gj |) |hj |p−1.

Sumando sobre j ∈ V , se obtiene∑j∈V|fj + gj | ≤

∑j∈V

(|fj | |hj |p−1) +∑j∈V

(|gj | |hj |p−1)

Para la primera suma de la derecha se aplica la desigualdad de Holder, y se obtiene∑j∈V

(|fj | |hj |p−1) ≤(∑j∈V|fj |p

)1/p(∑j∈V

(|hj |p−1)q)1/q

;

a la derecha se tiene que (p− 1)q = p porque pq = p+ q.

Ahora, de forma similar, en la segunda suma a la derecha se tiene que∑j∈V

(|gj | |hj |p−1) ≤(∑j∈V|gj |p

)1/p(∑j∈V|hj |p

)1/q

.

Ası, con ambas se tiene que

∑j∈V|hj |p ≤

((∑j∈V|fj |p

)1/p

+

(∑j∈V|gj |p

)1/p)(∑

j∈V|hj |p

)1/q

.

Dividiendo por el ultimo factor de la derecha el cual es distinto de cero y notando que 1−1/q =

1/p, se obtiene el resultado deseado.

Caso 0 0 es

ϕ′(x) = pxp−1 − p(1 + x)p−1 > 0.

Por lo que ϕ es creciente y ası para x > 0 se cumple que 0 = ϕ(0) ≤ ϕ(x), esto es,

0 ≤ xp + 1− (1 + x)p,

para todo x ≥ 0. Luego, para j ∈ V tal que |gj | > 0 se considera x =|fj ||gj | ≥ 0 y se obtiene

(|fj ||gj |

+ 1

)p≤(|fj ||gj |

)p+ 1,

y de aquı se obtiene que

(|fj + gj |)p ≤ (|fj |+ |gj |)p ≤ |fj |p + |gj |p

para todo j ∈ V . Ası que sumando sobre j ∈ V se tiene

‖f + g‖p ≤ ‖f‖p + ‖g‖p (2.6)

y dp satisface la desigualdad triangular en todos los casos. Esto demuestra el resultado.

Ahora se muestra la completitud de este espacio, formalmente se tiene el siguiente resultado.

Teorema 2.4.2. Para 0 < p < ∞, el espacio (`p(V ), dp) es completo. En particular, para

1 0 existe un N ∈ N tal que para todo m,n ∈ N, con m,n > N se

tienen dos casos en los que

Caso 1 < p <∞.

dp(fm, fn) =

( ∑vi∈V|fm(vi)− fn(vi)|p

)1/p

< ε/2,

se tiene para cada i que

|fm(vi)− fn(vi)|p <(ε/2)p.

Se toma i fijo y en la desigualdad anterior, (f1(vi), f2(vi), · · · ) es una sucesion de Cauchy de

numeros reales, la cual converge porque R es completo; se tiene que fm(vi) → f(vi) cuando

m→∞, es decir que

lımm→∞

|fm(vi)− f(vi)| = 0 (2.7)

esto sucede para todo i, usando este lımite se define f = (f(v1), f(v2), · · · ), se afirma que

fm → f . En efecto de la primera desigualdad se tiene para todo m,n > N con V = vi∞i=1

que ( k∑i=1

|fm(vi)− fn(vi)|p)1/p

< ε/2,

la sucesion de sumas parciales es creciente y acotada superiormente por ε/2, ası pues cuando

k →∞, se ve que ( ∞∑i=1


≤ ε/2 < ε

por esto siempre que m ≥ N

dp(fm, f) < ε,

lo cual implica que fm → f en `p(V ). Esto muestra que fm − f ∈ `p(V ), ya que fm ∈ `p(V ),

y `p(V ) es un espacio vectorial lo cual lo hace cerrado con respecto a la suma; se tiene que

f = fm + (f − fm) ∈ `p(V ).

Ası f pertenece a `p(V ).

Caso 0 < p ≤ 1.

dp(fm, fn) =∑vi∈V|fm(vi)− fn(vi)|p < ε/2,

se tiene para cada i que

|fm(vi)− fn(vi)|p < ε/2.

De manera similar al caso anterior i fijo y se llega a (2.7), esto sucede para todo i, usando

este lımite se define f = (f(v1), f(v2), · · · ), se afirma que fm → f . En efecto de la primera

desigualdad se ve para todo m,n > N con V = vi∞i=1 que

k∑i=1

|fm(vi)− fn(vi)|p < ε/2,

la sucesion de sumas parciales es creciente y acotada superiormente por ε/2, cuando k →∞,

se tiene que ( ∞∑i=1


≤ ε/2 < ε

por esto siempre que m ≥ N

dp(fm, f) < ε,


lo cual implica que fm → f en `p(V ). De igual manera que en el caso anterior se tiene que

f = fm + (f − fm) ∈ `p(V ).

Por esto f pertenece a `p(V ).

Capıtulo 3

El Operador Maximal sobre Grafos

Finitos

En este capıtulo se definen y se dan algunas propiedades del operador maximal de Hardy-

Littlewood actuando sobre funciones definidas en un grafo simple, conexo y finito G = (V,E),

con conjunto de vertices V = 1, · · · , n. En primer lugar, en la primera seccion de este

capıtulo, se establece la definicion de este operador, tambien que su norma de operador es

invariante por grafos isomorfos y se calcula su valor en el caso de un grafo completo. En la

segunda seccion, se analiza el cambio de este operador con respecto a los grafos, en particular,

se demuestra que el grafo completo es minimal en el sentido que este operador alcanza su

valor mınimo puntualmente con este grafo. En la tercera seccion de este capıtulo se calcula la

norma de este operador cuando actua sobre grafos isomorfos. Finalmente, se observa la norma

de este operador maximal cuando actua sobre funciones de los espacios `p(V ), obteniendose

cotas optimas para su norma,

3.1 Definicion y propiedades basicas

En el caso que se tenga una funcion f : V → R, el operador maximal de Hardy-Littlewood

sobre el grafo G, denotado por MG, es la transformacion que aplica la funcion f en la funcion

MGf : V → R, definida por

MGf(v) = supr>0

1

|BG(v, r)|∑

w∈BG(v,r)

|f(w)|, (3.1)

donde BG(v, k) es la bola, respecto a la metrica que se ha definido sobre el grafo G, con

centro en el vertice v y radio k > 0, y |BG| es la cardinalidad del conjunto BG, la cual es

26

3.1. DEFINICION Y PROPIEDADES BASICAS 27

la cantidad de elementos que se encuentran en dicha bola. Esta funcion queda bien definida

pues el conjunto de vertices del grafo G es finito.

El diametro de un grafo conexo de n vertices es a lo mas n − 1, ya que se trabaja en un

espacio finito (G, dG) con G un grafo conexo. Como el grafo G del que se habla tiene conjunto

de vertices finito, se puede ver que el supremo en la relacion (3.1) realmente es un maximo;

ademas, el radio de las bolas en (3.1) son naturales que no superan el valor n− 1. Por esto es

que la imagen de f por el operador MG sera la funcion definida por

MGf(v) = maxk=0,··· ,n−1

1

|BG(v, k)|∑

w∈BG(v,k)

|f(w)|. (3.2)

Se debe recordar que BG(r, 0) = r, esto se menciona en el capıtulo anterior. Se puede

observar que debido a la presencia del valor absoluto, este operador no es lineal; de hecho, se

establece formalmente que este operador ciertamente es sublineal.

Proposicion 3.1.1. El operador MG, con G un grafo simple, conexo con n vertices es un

operador sublineal.

Demostracion. Por definicion se tiene que para una funcion f : V → R

MGf(j) = maxr>0

1

|BG(j, r)|∑

w∈BG(j,r)

|f(w)|,

y por propiedades del valor absoluto se tiene para una funcion g : V → R que

MG(f + g)(j) = maxr>0

1

|BG(j, r)|∑

w∈BG(j,r)

|(f + g)(w)|

≤ maxr>0

1

|BG(j, r)|∑

w∈BG(j,r)

|f(w)|+ |g(w)|

= maxr>0

1

|BG(j, r)|∑

w∈BG(j,r)

|f(w)|

+ maxr>0

1

|BG(j, r)|∑

w∈BG(j,r)

|g(w)|

= MGf(j) +MGg(j);

lo cual muestra la subaditividad. Ahora, para cualquier α ∈ R, se tiene que

MG(αf)(j) = maxr>0

1

|BG(j, r)|∑

w∈BG(j,r)

|(αf)(w)|

= maxr>0

1

|BG(j, r)|∑

w∈BG(j,r)

|α||f(w)|

= maxr>0

|α|

|BG(j, r)|∑

w∈BG(j,r)

|f(w)|

= |α|MGf(j).

28 CAPITULO 3. EL OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS FINITOS

Por esto el operador MG es un operador sublineal.

A pesar de que el operador maximal de Hardy-Littlewood sobre un grafo G no es lineal, se de-

fine su norma de la misma forma en que se define para operadores lineales. Mas precisamente,

para 0 < p <∞, la norma del operador MG : `p(V )→ `p(V ) se define por

‖MG‖p = sup

‖MG f‖p‖f‖p

: ‖f‖p 6= 0

, (3.3)

donde, ‖ · ‖p denota la norma-p (o distancia-p) definida en el capıtulo anterior (vease (2.3)).

El siguiente resultado muestra una equivalencia de normas que resulta util para posteriores

pruebas.

Proposicion 3.1.2. Sea G un grafo simple, conexo y finito; se tiene para 0 < p < ∞; en

(3.3) que

(i)

‖MG‖p = sup ‖MGf‖p : ‖f‖p = 1 (3.4)

(ii)

‖MG‖p = sup ‖MGf‖p : ‖f‖p ≤ 1 . (3.5)

Demostracion: Para llegar a la igualdad se deben tomar dos casos:

Caso 1. 1 < p <∞, se llega a que

‖MGf‖p‖f‖p

=

wwwwMGf

‖f‖p

wwwwp

=

wwwwMG

(f

‖f‖p

)wwwwp

= ‖MGg‖p,

(3.6)

con ‖g‖p = 1, la primera igualdad se tiene por propiedades de la norma, la segunda se puede

hacer gracias a que el operador MG es sublineal, y la ultima de reescribir g = f‖f‖p .

Caso 2. 0 < p ≤ 1, se ve que

‖MGf‖p‖f‖p

=

wwww MGf

‖f‖1/pp

wwwwp

=

wwwwMG

(f

‖f‖1/pp

)wwwwp

= ‖MGg‖p,

(3.7)

con ‖g‖p = 1, la primera igualdad se obtiene porque para p ∈ (0, 1] se cumple que ‖αh‖p =

|α|p‖h‖p con h ∈ `p(V ) y α ∈ R, la segunda se realiza gracias a que el operador MG es

sublineal, y la ultima de reescribir g = f

‖f‖1/pp

. De (3.6) y (3.7) se llega al resultado en (3.4).

Por lo que

sup

‖MGf‖p‖f‖p

: ‖f‖p 6= 0

= sup

‖MGg‖p : ‖g‖p = 1

≤ sup

‖MGg‖p : ‖g‖p ≤ 1

;

la igualdad se tiene de tomar el supremo a ambos lados de las igualdades en (3.6) y (3.7), la

desigualdad se tiene de que

g : ‖g‖p = 1 ⊆ g : ‖g‖p ≤ 1,

por esto

‖MGg‖p : ‖g‖p = 1 ⊆ ‖MGg‖p : ‖g‖p ≤ 1.

Para mostrar la desigualdad contraria para 0 < p ≤ ∞ se observa que para

0 < ‖f‖p ≤ 1,

se obtiene que‖MGf‖p‖f‖

≥ ‖MGf‖p,

por lo que

sup‖MGf‖p : 0 < ‖f‖p ≤ 1 ≤ sup

‖MGf‖p‖f‖p

: 0 < ‖f‖p ≤ 1

≤ sup

‖MGf‖p‖f‖p

: ‖f‖p 6= 0

.

Ası, se llega al resultado (3.5).

Ahora se ve el comportamiento de este operador maximal sobre grafos isomorfos. Se recuerda

que dos grafos G1 y G2, que tienen el mismo conjunto de vertices V , son isomorfos si hay una

permutacion de vertices π, tal que v, w ∈ V son los extremos de un lado en EG1 si y solo si

π(v) y π(w) son los extremos de un lado en EG2 , y se nota como G1 ∼ G2.

Con esta definicion, se va a ver la siguiente propiedad.

Proposicion 3.1.3. Si dos grafos G1 y G2 con n vertices son isomorfos sobre el mismo

conjunto de vertices, se tiene que para cualquier funcion f : V → R y para cualquier vertice

v ∈ V se cumple que MG1f(v) = MG2f(π(v)), con π la permutacion sobre el conjunto de

vertices V . Y por esto se tiene que ‖MG1‖p = ‖MG2‖p para todo 0 < p ≤ ∞.

Demostracion. Ya que en (3.2) se toma en cuenta en la sumatoria un vertice en V arbitrario

y de igual manera se hace con π(v), que es un vertice arbitrario en V . Esto quiere decir que

MG1f(v) = maxk=0,··· ,n−1

1

|BG1(v, k)|∑

w∈BG1(v,k)

|f(w)|

= maxk=0,··· ,n−1

1

|BG2(π(v), k)|∑

π(w)∈BG2(π(v),k)

|f(π(w))| = MG2f(π(v)).

Mas aun, si para 0 ≤ p <∞ se define la relacion ‖MGf‖p para f : V → R con V = 1, · · · , nel conjunto de vertices de G. Se tiene que para 0 < p ≤ 1

‖MG1f‖p =∑v∈V|MG1f(v)|p

=∑

π(v)∈V

|MG2f(π(v))|p

= ‖MG2f‖p,

ahora para 1 < p <∞

‖MG1f‖p =

(∑v∈V|MG1f(v)|p

)1/p

=

( ∑π(v)∈V

|MG2f(π(v))|p)1/p

= ‖MG2f‖p,

y ademas para p =∞

‖MG1f‖∞ = maxv∈V

|MG1f(v)|

= max

π(v)∈V

|MG2f(π(v))|

= ‖MG2f‖∞.

Lo anterior se tiene ya que el conjunto de los vertices permutados es el mismo conjunto de

vertices V . Entonces para dos grafos G1 y G2 isomorfos sobre el mismo conjunto de vertices

V , se cumple que ‖MG1‖p = ‖MG2‖p.

El recıproco, no es cierto tal como se muestra mas adelante en la aplicacion del Lema 3.4.

Para ilustrar el calculo del operador maximal de Hardy-Littlewood, se considera el grafo

completo Kn (Definicion 2.2.1) en la cual todos los vertices se relacionan entre sı.

Ahora se va a calcular el operador sobre el grafo completo Kn con ayuda de la proposicion

anterior.

Proposicion 3.1.4. Sea f : V = 1, · · · , n → R cualquier funcion definida sobre Kn,

entonces MKnf es la funcion definida en V por

MKnf(j) = max

|f(j)|, 1

n

∑k∈V|f(k)|

. (3.8)

Demostracion: De la definicion del operador maximal de Hardy-Littlewood (3.2) se tiene

que si f : V = 1, · · · , n → R es cualquier funcion definida sobre Kn, entonces su imagen

MKnf es la funcion definida por

MKnf(j) = maxr=0,··· ,n−1

1

|BKn(j, r)|∑

w∈BKn (j,r)

|f(w)|,

usando la Proposicion 2.3.1 para 0 < r ≤ 1, se tiene que∑w∈BKn (j,r)

|f(w)| = |f(j)|,

ya que j es el unico elemento en la bola; ahora

1

|BKn(j, r)|= 1,

por la misma razon.

Usando la Proposicion 2.3.1 para r > 1, se tiene que∑w∈BKn (j,r)

|f(w)| =∑k∈V|f(k)|,

ya que se toman todos los vertices en V ; ahora

1

|BKn(j, r)|=

1

n,

por la misma razon, y por que el conjunto de vertices V tiene n elementos.

Ejemplo 3.1.1. Para la funcion f : 1, 2, 3, 4, 5 → R definida por

f(v) = v + 1, v ∈ 1, 2, 3, 4, 5,

se tiene que MKnf es la funcion

MK5f(j) = maxr=0,1,2,3,4

1

|BK5(j, r)|∑

v∈BK5(j,r)

|f(v)|

= max

|f(j)|, 1

5

∑k∈1,2,3,4,5

|f(k)|


De aquı se tiene que

MK5f(j) =

max2, 20/5, j = 1,

max3, 20/5, j = 2,

max4, 20/5, j = 3,

max5, 20/5, j = 4,

max6, 20/5, j = 5;

de donde

MK5f(j) =

20/5 = 4, j = 1,

20/5 = 4, j = 2,

4, j = 3,

5, j = 4,

6, j = 5;

Para j = 1, 2 se tiene MK5f(j) = 15

∑v∈Bk5

(j,r)

|f(v)|, y para j = 3, 4, 5, se tiene que MK5f(j) =

|f(j)|.

3.2 El caso minimal puntual

En la siguiente seccion se analiza el comportamiento del operador maximal cuando se hacen

variar los grafos. En primer lugar, se establece que el grafo completo Kn es minimal en el

sentido que se establece en el siguiente resultado:

Teorema 3.2.1. Para cada funcion positiva f : V → R, y cada vertice j ∈ V, se cumple que

MKnf(j) ≤MGf(j), (3.9)

para cualquier grafo G simple, conexo y con n vertices.

3.2. EL CASO MINIMAL PUNTUAL 33

Demostracion. En la Proposicion 3.1.4 ya se ha calculado la funcion MKnf . Usando la

definicion del operador maximal de Hardy-Littlewood se llega a que

MKnf(j) = max

|f(j)|, 1

n

∑w∈V|f(w)|

= max

1

|BKn(j, 0)|∑

w∈BKn (j,0)

|f(w)|, 1

|V |∑w∈V|f(w)|

= max

1

|BG(j, 0)|∑

w∈BG(j,0)

|f(w)|, 1

|V |∑w∈V|f(w)|

≤ max

1

|BG(j, 0)|∑

w∈BG(j,0)

|f(w)|, 1

|BG(j, 1)|∑

w∈BG(j,1)

|f(w)|,

1

|BG(j, 2)|∑

w∈BG(j,2)

|f(w)|, · · · , 1

|V |∑w∈V|f(w)|

= maxk=0,··· ,n−1

1

|BG(j, k)|∑

w∈BG(j,r)

|f(w)|

= MGf(j).

Le segunda igualdad ocurre porque BKn(j, 0) = j ası |BKn(j, 0)| = 1 y∑

w∈BKn (j,0)|f(w)| =

|f(j)|, luego se usa el hecho de que |V | = n; la tercera igualdad sucede porque BKn(j, 0) =

j = BG(j, 0). La primera desigualdad se tiene ya que1

|BG(j, 0)|∑

w∈BG(j,0)

|f(w)|, 1

|V |∑w∈V|f(w)|

⊆

1

|BG(j, 0)|∑

w∈BG(j,0)

|f(w)|, 1

|BG(j, 1)|∑

w∈BG(j,1)

|f(w)|,

· · · , 1

|BG(j, r)|∑

w∈BG(j,r)

|f(w)|, · · · , 1

|V |∑w∈V|f(w)|

.

La ultima igualdad es por la definicion del operador maximal de Hardy-Littlewood.

Entonces para toda funcion f y todo vertice j ∈ V

MKnf(j) ≤MGf(j);

esto es lo que se querıa mostrar.

Observacion 3.2.1. Aquı hay que tener cuidado ya que de maneral general, no se cumple

para cualesquiera dos grafos, es decir, si G1 ⊂ G2, entonces MG1f(j) ≤ MG2f(j) para todo

f : V → R y todo v ∈ V , no se cumple siempre. Observe que si G es un grafo simple y conexo,

entonces G ⊆ Kn.

A diferencia del teorema anterior, de manera general, no existe un grafo maximal tal como se

muestra en el siguiente teorema:

Teorema 3.2.2. Si G es un grafo con n ≥ 3 vertices, entonces existe un vertice j ∈ V (G),

una funcion f : V → R+, y otro grafo G, tales que V (G) = V (G), y MGf(j) < MGf(j).

Demostracion. Ya que G tiene al menos 3 vertices, es simple y conexo, por esto existe un

vertice j ∈ V con grado dG(j) ≥ 2. Sean k ∈ V un vecino de j y G = LG(j) un arbol lineal

con n vertices definido de la forma que se indica en el comentario posterior a la demostracion

del Teorema 2.3.2, es decir que es un arbol que se construye a partir del grafo G en el vertice

j. Ya que j tiene grado 1 en G, entonces es una hoja de G y ası el arbol lineal LG(j) incia en

j; luego, k es el unico vecino de j en G.

Ahora se considera la funcion

f(v) =

1/3, v = j,

2/3, v = k,

0, v 6= j, k,

como se sabe que dG(j) ≥ 2 se obtiene (dG(j) + 1) ≥ 3 ası 1/(dG(j) + 1) ≤ 1/3. Tambien se

sabe que dG(j) = 1 luego 1/(dG(j) + 1) = 1/2.

El maximo en la definicion del operador maximal de Hardy-Liilewood MGf , es decir el si-

guiente maximo

MGf(j) = maxk=0,··· ,n−1

1

|BG(j, k)|∑

w∈BG(j,r)

|f(w)|

(3.10)

se alcanza cuando en la bola BG(j, k) se toma el radio igual a 1, ya que j es una hoja y

su vecino es k; y solo en estos dos vertices la funcion es distinta de cero, porque si se toma

cualquier otro radio se toman vertices en los que la funcion se anula y el valor de la funcion

no se altera. Se toma el mismo radio para la bola en G.

Entonces

MGf(j) = maxj∈V

1

|BG(j, 1)|∑

w∈BG(j,1)

|f(w)|

= max

1

3

(1

3+

2

3

),

1

(dG(j) + 1)

(1

3+

2

3

) = max1/3, 1/(dG(j) + 1) = 1/3

y

MGf(j) = maxj∈V

1

|BG(j, 1)|∑

w∈BG(j,1)

|f(w)|

= max

1

3

(1

3+

2

3

),

1

(dG(j) + 1)

(1

3+

2

3

)= max1/3, 1/(dG(j) + 1) = max1/3, 1/2 = 1/2;

3.3. OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS ISOMORFOS 35

Lo anterior se tiene ya que se sabe |BG(j, 1)| = dG(j)+1 y que |BG(j, 1)| = dG(j)+1, ahora ya

que dG(j) ≥ 2, en cambio en G el grado de j es 1. Por lo que se llega a que, MGf(j) < MGf(j),

ası pues existe la funcion f para la cual se cumple lo anterior.

3.3 Operador maximal sobre grafos isomorfos

En la seccion anterior se establece que puntualmente no existe un grafo maximo para el ope-

rador maximal; pero queda pendiente entonces establecer si existe o no un grafo donde este

operador obtenga su norma maxima. Por esta razon, en esta seccion se estudia el comporta-

miento del operador maximal de Hardy-Littlewood cuando actua sobre grafos isomorfos. Se

demuestra en la Proposicion 3.1.3 que la norma-p del operador maximal sobre grafos isomorfos

es la misma, es decir ‖MG1‖p = ‖MG2‖p, siempre que G1 y G2 son grafos isomorfos.

Ciertamente la relacion “grafos isomorfos” es de equivalencia sobre el conjunto de los grafos

con n vertices y por ese motivo, el conjunto de esos grafos queda particionado en clases de

equivalencias, mas precisamente, para un grafo G con n vertices, la clase de equivalencia de

G se define por

[G] = H : H es un grafo y H ∼ G .

En esta seccion se define el operador maximal para la clase [G] del grafo G y posteriormente

se establece que la clase del arbol lineal con n vertices es maximal. Se finaliza la seccion con

un criterio para la igualdad de dos grafos usando el operador maximal.

Definicion 3.3.1. Dado un grafo G, una funcion f : V → R y un vertice j ∈ V , se define

M[G]f(j) = maxH∼G

MHf(j).

Teniendo en cuenta la definicion anterior, se da el siguiente resultado para el arbol lineal Ln.

Teorema 3.3.1. Sea Ln un arbol lineal con n vertices. Entonces, para cada grafo G con n

vertices y cualquier funcion f : V → R+,

M[G]f(j) ≤M[Ln]f(j), ∀j ∈ 1, · · · , n.

Demostracion. Sea Ln un arbol lineal con n vertices. Sean G cualquier grafo con n vertices

y sea j cualquier vertice en V = 1, · · · , n. Se construira un arbol lineal L = LG(j) con hoja

en j tal que

MGf(j) ≤MLf(j).

En efecto, sea L el arbol lineal con n vertices definido de la forma que se indica en el comentario

posterior a la demostracion del Teorema 2.3.2 con una hoja en j. Entonces, por construccion

de este arbol, para cada 0 ≤ r ≤ n− 1, se puede encontrar 0 < s(r) ≤ n− 1 tal que

BG(j, r) = BL(j, s(r)). (3.11)

En efecto, si 0 < r ≤ 1, se toma s(r) = r y en este caso se cumple que BG(j, r) = j =

BL(j, r). Si 1 < r ≤ 2, entonces se ordena NG(j), los vecinos de j en L, para obtener que

BL(j, dG(j)) = j ∪NG(j) = BG(j, r), es decir, en este caso, se toma s(r) = dG(j). Se repite

este proceso tal como se muentra en la Figura 2.15. Ası, para cada f : 1, · · · , n → R+ se

tiene que

MGf(j) = max0<r≤n−1

1

|BG(j, r)|∑

k∈BG(j,r)

f(k)

≤ max0<r≤n−1

1

|BL(j, s)|∑

k∈BL(j,s)

f(k)

= MLf(j) ≤M[Ln]f(j),

donde en la ultima desigualdad se ha usado el hecho que L ∼ Ln pues ambos grafos son arboles

lineales con n vertices. Esto demuestra que M[G]f(j) ≤ M[Ln]f(j) para cada grafo G con n

vertices, cada funcion positiva f definida sobre V y para cada vertice j ∈ V = 1, · · · , n.

Observacion 3.3.1. Es pertinente dar un comentario y un ejemplo que ilustre la manera en

que se selecciona los radios s(r) en la demostracion del resultado anterior. En primer lugar, se

debe destacar el hecho que los radios r y s(r) no son los mismos aunque ambos son elementos

del conjunto 0, · · · , n− 1. Tambien hay que recordar que s(r) son los radios que se toman

en las bolas con centro en el vertice j en el grafo L; estos radios cumplen que al hacer las

respectivas bolas en G con radio r, y en L con radio s(r) con el mismo centro, esas respectivas

bolas sean los mismos conjuntos, lo cual se vislumbra en la relacion (3.11).

Esto se ve mas claramente con un ejemplo, se considera el grafo G con n = 9 vertices cuyo

dibujo es:


Figura 3.1: Grafo G9

Se considera el vertice j = 7. Entonces el arbol lineal LG(7) cuya hoja inicial es este vertice

j = 7 es:

Figura 3.2: Arbol lineal de G9 para j = 7

Se tiene la siguiente relacion

BG(7, 0) = BLG(7)(7, 0),

y de aquı que para r = 0 se selecciona s(r) = 0. Tambien se puede ver que

BG(7, 1) = 7, 5, 6, 8 = BLG(7)(7, 3),

y por esta razon, para r = 1, se toma s(r) = 3. Similarmente, debido a la relacion

BG(7, 2) = 7, 5, 6, 8, 3, 4, 9 = BLG(7)(7, 6)

para r = 2, se debe seleccionar s(r) = 6. En conclusion se obtiene la siguiente tabla que

muestra la relacion entre r y s(r):


r s(r)

0 0

1 3

2 6

3 8

4 8

5 8

6 8

7 8

8 8

Cuadro 3.1: Relacion entre los radios r y s(r).

De aquı se puede ver que el conjunto 0, 1, 2, · · · , 8 de los radios r y el conjunto 0, 3, 6, 8de los radios s(r) no son los mismos.

Ahora se estudia la relacion entre la geometrıa de un grafo y su operador maximal, y se prueba

que un grafo G esta determinado completamente por MG. De hecho se muestra una cierta

inyectividad del operador maximal con respecto a los grafos. Mas precisamente, se tiene el

siguiente resultado:

Teorema 3.3.2. Sean G1 y G2 dos grafos con V (G1) = V (G2) = V = 1, · · · , n. Los

siguientes enunciados son equivalentes:

(i) G1 = G2.

(ii) Para toda funcion f : V → R se cumple que MG1f = MG2f .

(iii) Para todo vertice k ∈ V , se cumple que MG1δk = MG2δk.

Demostracion. Se inicia la prueba con la siguiente equivalencia (i) ⇒ (ii). Se supone que se

tiene dos grafos G1 y G2, con conjunto de vertices V (G1) = V (G2) = V y tales que G1 = G2.

Sea f : V → R cualquier funcion, entonces ciertamente para cualquier v ∈ V se cumple que

MG1f(v) = maxk=0,··· ,n−1

1

|B(v, k)|∑

w∈B(v,k)

|f(w)| = MG2f(v).

Lo cual muestra la primera implicacion ya que f es arbitrario.

Para la segunda implicacion (ii) ⇒ (iii); ya se tiene que MG1f = MG2f para toda funcion

f : V → R. En particular para la funcion δk : V → R, definida en (2.2), y para cualquier

vertice v ∈ V , se tiene que

MG1δk(v) = MG2δk(v),

lo que demuestra la implicacion.

Ahora se muestra que (iii) ⇒ (i). Se supone que para cada k ∈ V , se cumple que MG1δk =

MG2δk de (iii), lo cual significa que MG1δk(j) = MG2δk(j) para todo j ∈ V y de aquı que

MG1δk(j) =1

|BG1(j, dG1(j, k))|= MG2δk(j) =

1

|BG2(j, dG2(j, k))|. (3.12)

Para mostrar que G1 = G2, es suficiente mostrar que NG1(j) = NG2(j), para cada vertice

j ∈ V . Se debe asumir que |NG1(j)| = r, con r = dG1(j) y escoger un orden apropiado de

NG1(j) = v1, v2, · · · , vr de tal manera que dG2(j, v1) ≤ dG2(j, v2) ≤ · · · ≤ dG2(j, vr). De

aquı que BG2(j, dG2(j, v1)) ⊆ BG2(j, dG2(j, vr)) y, usando (3.12), tambien se tiene que, para

todo l ∈ 1, · · · , r,

1 + r = |BG1(j, 1)| = |BG1(j, dG1(j, vl))| = |BG2(j, dG2(j, vl))|; (3.13)

donde la primera desigualdad se debe a la definicion de r, la segunda es porque vl es vecino

de j y por esta razon dG(j, vl) = 1, y la tercera igualdad es por (3.12). Por lo que, para todo

l ∈ 1, · · · , r,BG2(j, dG2(j, v1)) = BG2(j, dG2(j, vl)), (3.14)

esto se tiene gracias a que en (3.13) se considera la misma cardinalidad para cualquiera de los

radios, lo que quiere decir esto es que

|BG2(j, dG1(j, v1))| = 1 + r = |BG2(j, dG2(j, vl))|;

lo cual implica que dG2(j, v1) = dG2(j, vl). De hecho, si dG2(j, v1) < dG2(j, vl), para algun vl,

entonces BG2(j, dG2(j, v1)) ⊂ BG2(j, dG2(j, vl)), lo cual contradice (3.14), ya que no cumple

la igualdad. Finalmente, se debe ver que dG2(j, v1) = 1, como dG2(j, vl) = 1, para todo vl y

ademas dG2(j, v1) = dG2(j, vl), ası se llega a la igualdad deseada.

En efecto, si dG2(j, v1) > 1, entonces BG2(j, dG2(j, v1)) contiene un vertice u ∈ NG2(j), lo cual

necesariamente satisface que u /∈ j ∪ v1, · · · , vr. Por lo tanto,

1 + r = |BG2(j, dG2(j, v1))| ≥ 2 + r,

lo cual es una contradiccion.

De este argumento, se obtiene que NG1(j) ⊆ NG2(j). Invirtiendo los papeles de G1 y G2, o

usando que

|NG1(j)| = |BG1(j, dG1(j, v1))| − 1 = |BG2(j, dG2(j, v1))| − 1 = |NG2(j)|,

se concluye que NG1(j) = NG2(j). Esto culmina la demostracion del teorema.

3.4 Norma del operador maximal sobre `p(V )

En esta seccion se ven las propiedades de la norma del operador maximal de Hardy-Littlewood

cuando actua sobre funciones en `p(V ) con 0 < p ≤ 1, en particular, se obtiene una expresion

para ‖MG‖p, en terminos de las funciones δk definidas en (2.2). Se ilustra este calculo con

ciertos grafos de 4 vertices. En el caso de grafos finitos se tiene:

Lema 3.4.1. Sea G un grafo con n vertices, y T : `p(V )→ `p(V ) un operador sublineal, con

0 < p ≤ 1. Entonces,

‖T‖p = maxk∈V‖Tδk‖p.

En particular, ‖MG‖p = maxk∈V‖MGδk‖p y ‖M[G]‖p = max

k∈V‖M[G]δk‖p.

Demostracion. Ya que para cualquier 0 < p ≤ 1 y k ∈ V , se tiene que ‖δk‖p = 1, entonces

‖T‖p ≥ maxk∈V‖Tδk‖p. Para ver la otra desigualdad, sea f : V → R, con ‖f‖p ≤ 1, se toma

esta norma y se calcula la norma del operador con la norma equivalente que se enuncia en la

Proposicion 3.1.2; existen numeros reales a1, · · · , an tales que,

f =∑k∈V

akδk,

con∑k∈V|ak|p ≤ 1. Usando la desigualdad vista en el Capıtulo 2 (vease (2.6)), las propiedades

de valor absoluto y la definicion de ‖ · ‖p, para 0 < p ≤ 1, la cual se puede tomar por la

Proposicion 3.1.2, se tiene que

‖Tf‖p =∑j∈V|Tf(j)|p =

∑j∈V|T(∑k∈V

akδk

)(j)|p

≤∑j∈V

∑k∈V|ak|Tδk(j)

p ≤∑j∈V

∑k∈V|akTδk(j)|p

=∑k∈V|ak|p

∑j∈V|Tδk(j)|p =

∑k∈V|ak|p‖Tδk‖p

≤ maxk∈V‖Tδk‖p,

3.4. NORMA DEL OPERADOR MAXIMAL SOBRE `P (V ) 41

donde la primera desigualdad se tiene pues T es un operador sublineal, la segunda desigualdad

se obtiene usando la desigualdad (2.6), la tercera igualdad se tiene ya que ak no depende de

j, la cuarta igualdad se tiene de la definicion de norma ‖ · ‖p, y la tercera desigualdad se tiene

ya que cada norma es menor a la maxima norma y que∑k∈V|ak|p ≤ 1.

Observacion 3.4.1. De la demostracion del resultado anterior, se observa que este resultado

no es valido para p > 1, pues para estos valores de p no es posible el paso de este exponente

a los sumandos en la segunda desigualdad.

Como una aplicacion de el Lema 3.4.1, se halla ‖MG‖1 para seis grafos con 4 vertices, se notan

los vertices de la siguiente manera j, para que no hayan confusiones al hacer las cuentas nece-

sarias; las bolas que se usan en los calculos tienen centro j ∈ 1, 2, 3, 4, y radio k ∈ 0, 1, 2, 3(ya que estos de manera general se encuentran entre 0, · · · , n− 1, y aquı n = 4):

Grafo L4 . Especıficamente, sin perdida de generalidad, para mantener un orden, se tomaran

los vertices 1, 4 de grado 1 y los vertices 2, 3 de grado 2; por lo que el grafo es el siguiente:

Figura 3.3: Grafo L4

Para el vertice 1, se tiene que

• B(1, 0) = 1, B(1, 1) = 1, 2, B(1, 2) = 1, 2, 3, y B(1, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(1, 0)| = 1, |B(1, 1)| = 2, |B(1, 2)| = 3 y |B(1, 3)| = 4.

De aquı que

ML4δk(1) =

1, k = 1,

12 , k = 2,

13 , k = 3,

14 , k = 4.



• B(2, 0) = 2, B(2, 1) = 1, 2, 3, B(2, 2) = 1, 2, 3, 4, y B(2, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(2, 0)| = 1, |B(2, 1)| = 3, |B(2, 2)| = 4 y |B(2, 3)| = 4.

De aquı que

ML4δk(2) =

13 , k = 1,

1, k = 2,

13 , k = 3,

14 , k = 4.

Para el vertice 3:

• B(3, 0) = 3, B(3, 1) = 2, 3, 4, B(3, 2) = 1, 2, ˜3, 4, y B(3, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(3, 0)| = 1, |B(3, 1)| = 3, |B(3, 2)| = 4 y |B(3, 3)| = 4.

De aquı que

ML4δk(3) =

14 , k = 1,

13 , k = 2,

1, k = 3,

13 , k = 4.

Y para el vertice 4:

• B(4, 0) = 4, B(4, 1) = 3, 4, B(4, 2) = 2, 3, 4, y B(4, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(4, 0)| = 1, |B(4, 1)| = 2, |B(4, 2)| = 3 y |B(4, 3)| = 4.

De aquı que

ML4δk(4) =

14 , k = 1,

13 , k = 2,

1, k = 3,

13 , k = 4.

Por lo que:

• ‖ML4δ1‖1 = 1 + 13 + 2

4 = 116 ; ‖ML4δ2‖1 = 1

2 + 1 + 23 = 13

6 ; ‖ML4δ3‖1 = 13 + 1 + 1

2 = 136

y ‖ML4δ4‖1 = 24 + 1

3 + 1 = 116 .

Entonces

‖ML4‖1 = max

11

6,13

6

=

13

6.


Grafo C4. Todos los vertices 1, 2, 3, 4 son de grado 2. El grafo que se menciona es el siguiente

Figura 3.4: Grafo C4

Para el vertice 1, se tiene que

• B(1, 0) = 1, B(1, 1) = 1, 2, 4, B(1, 2) = 1, 2, 3, 4, y B(1, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(1, 0)| = 1, |B(1, 1)| = 3, |B(1, 2)| = 4 y |B(1, 3)| = 4.

De aquı que

MC4δk(1) =

1, k = 1,

13 , k = 2,

14 , k = 3,

13 , k = 4.


• B(2, 0) = 2, B(2, 1) = 1, 2, 3, B(2, 2) = 1, 2, 3, 4, y B(2, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(2, 0)| = 1, |B(2, 1)| = 3, |B(2, 2)| = 4 y |B(2, 3)| = 4.

De aquı que

MC4δk(2) =

13 , k = 1,

1, k = 2,

13 , k = 3,

14 , k = 4.

Para el vertice 3:

• B(3, 0) = 3, B(3, 1) = 2, 3, 4, B(3, 2) = 1, 2, ˜3, 4, y B(3, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(3, 0)| = 1, |B(3, 1)| = 3, |B(3, 2)| = 4 y |B(3, 3)| = 4.


De aquı que

MC4δk(3) =

14 , k = 1,

13 , k = 2,

1, k = 3,

13 , k = 4.


• B(4, 0) = 4, B(4, 1) = 1, 3, 4, B(4, 2) = 1, 2, 3, 4, y B(4, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(4, 0)| = 1, |B(4, 1)| = 3, |B(4, 2)| = 4 y |B(4, 3)| = 4.

De aquı que

MC4δk(4) =

13 , k = 1,

14 , k = 2,

13 , k = 3,

1, k = 4.

Por lo que:

• ‖MC4δ1‖1 = 1+ 23 + 1

4 = 2312 ; ‖MC4δ2‖1 = 1

2 +1+ 23 = 13

6 ; ‖MC4δ3‖1 = 14 +1+ 2

3 = 2312 ;

‖MC4δ4‖1 = 23 + 1

4 + 1 = 2312 .

Entonces

‖MC4‖ = max

23

12

=

23

12.

Observe que en los calculos anteriores se ha establecido que

MC4δk(j) =

1, j = k

13 , j = k − 1, k + 1(k mod 4)

14 , j = k + 2(k mod 4)

Grafo S4. Mas claramente, los vertices 2, 3, 4 son de grado 1 y el vertice 1 de grado 3 ;

por lo que el grafo es el siguiente:


Figura 3.5: Grafo S4

Para el vertice 1, se veran cuales son las respectivas bolas con centro 1.

• B(1, 0) = 1, B(1, 1) = 1, 2, 3, 4, B(1, 2) = 1, 2, 3, 4, y B(1, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(1, 0)| = 1, |B(1, 1)| = 4, |B(1, 2)| = 4 y |B(1, 3)| = 4.

De aquı que

MS4δk(1) =

1, k = 1,

14 , k = 2,

14 , k = 3,

14 , k = 4.


• B(2, 0) = 2, B(2, 1) = 1, 2, B(2, 2) = 1, 2, 3, 4, y B(2, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(2, 0)| = 1, |B(2, 1)| = 2, |B(2, 2)| = 4 y |B(2, 3)| = 4.

De aquı que

MS4δk(2) =

12 , k = 1,

1, k = 2,

14 , k = 3,

14 , k = 4.

Para el vertice 3:

• B(3, 0) = 3, B(3, 1) = 1, 3, B(3, 2) = 1, 2, ˜3, 4, y B(3, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(3, 0)| = 1, |B(3, 1)| = 2, |B(3, 2)| = 4 y |B(3, 3)| = 4.


De aquı que

MS4δk(3) =

12 , k = 1,

14 , k = 2,

1, k = 3,

14 , k = 4.


• B(4, 0) = 4, B(4, 1) = 1, 4, B(4, 2) = 1, 2, 3, 4, y B(4, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(4, 0)| = 1, |B(4, 1)| = 2, |B(4, 2)| = 4 y |B(4, 3)| = 4.

De aquı que

MS4δk(2) =

12 , k = 1,

14 , k = 2,

14 , k = 3,

1, k = 4.

Por lo que:

• ‖MS4δ1‖1 = 1 + 32 = 5

2 ; ‖MS4δ2‖1 = 34 + 1 = 7

4 ; ‖MS4δ3‖1 = 34 + 1 = 7

4 ; ‖MS4δ4‖1 =34 + 1 = 7

4 .

Entonces

‖MS4‖1 = max

5

2,7

4

=

5

2.

Grafo K4. Todos los vertices 1, 2, 3, 4 son de grado 3; por lo que el grafo es el siguiente

Figura 3.6: Grafo K4



• B(1, 0) = 1, B(1, 1) = 1, 2, 3, 4, B(1, 2) = 1, 2, 3, 4, y B(1, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(1, 0)| = 1, |B(1, 1)| = 4, |B(1, 2)| = 4 y |B(1, 3)| = 4.

De aquı que

MK4δk(1) =

1, k = 1,

14 , k = 2,

14 , k = 3,

14 , k = 4.


• B(2, 0) = 2, B(2, 1) = 1, 2, 3, 4, B(2, 2) = 1, 2, 3, 4, y B(2, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(2, 0)| = 1, |B(2, 1)| = 4, |B(2, 2)| = 4 y |B(2, 3)| = 4.

De aquı que

MK4δk(2) =

14 , k = 1,

1, k = 2,

14 , k = 3,

14 , k = 4.

Para el vertice 3:

• B(3, 0) = 3, B(3, 1) = 1, 2, 3, 4, B(3, 2) = 1, 2, 3, 4, y B(3, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(3, 0)| = 1, |B(3, 1)| = 4, |B(3, 2)| = 4 y |B(3, 3)| = 4.

De aquı que

MK4δk(3) =

14 , k = 1,

1, k = 2,

14 , k = 3,

14 , k = 4.


• B(4, 0) = 4, B(4, 1) = 1, 2, 3, 4, B(4, 2) = 1, 2, 3, 4, y B(4, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(4, 0)| = 1, |B(4, 1)| = 4, |B(4, 2)| = 4 y |B(4, 3)| = 4.


De aquı que

MK4δk(4) =

14 , k = 1,

14 , k = 2,

14 , k = 3,

1, k = 4.

Por lo que:

• ‖MK4δ1‖1 = 1 + 34 = 7

4 ; ‖MK4δ2‖1 = 34 + 1 = 7

4 ; ‖MK4δ3‖1 = 34 + 1 = 7

4 ; ‖MK4δ4‖1 =34 + 1 = 7

4 .

Entonces

‖MK4‖1 = max

7

4

=

7

4.

Grafo D4. Especıficamente los vertices 2, 4 son de grado 3 y los vertices 1, 3 de grado 2;

por lo que el grafo es el siguiente

Figura 3.7: Grafo D4


• B(1, 0) = 1, B(1, 1) = 1, 2, 4, B(1, 2) = 1, 2, 3, 4, y B(1, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(1, 0)| = 1, |B(1, 1)| = 3, |B(1, 2)| = 4 y |B(1, 3)| = 4.

De aquı que

MD4δk(1) =

1, k = 1,

13 , k = 2,

14 , k = 3,

13 , k = 4.



• B(2, 0) = 2, B(2, 1) = 1, 2, 3, 4, B(2, 2) = 1, 2, 3, 4, y B(2, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(2, 0)| = 1, |B(2, 1)| = 4, |B(2, 2)| = 4 y |B(2, 3)| = 4.

De aquı que

MD4δk(2) =

14 , k = 1,

1, k = 2,

14 , k = 3,

14 , k = 4.

Para el vertice 3:

• B(3, 0) = 3, B(3, 1) = 2, 3, 4, B(3, 2) = 1, 2, ˜3, 4, y B(3, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(3, 0)| = 1, |B(3, 1)| = 3, |B(3, 2)| = 4 y |B(3, 3)| = 4.

De aquı que

MD4δk(3) =

14 , k = 1,

13 , k = 2,

1, k = 3,

13 , k = 4.


• B(4, 0) = 4, B(4, 1) = 1, 2, 3, 4, B(4, 2) = 1, 2, 3, 4, y B(4, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(4, 0)| = 1, |B(4, 1)| = 4, |B(4, 2)| = 4 y |B(4, 3)| = 4.

De aquı que

MD4δk(4) =

14 , k = 1,

14 , k = 2,

14 , k = 3,

1, k = 4.

Por lo que:

• ‖MD4δ1‖1 = 1 + 34 = 7

4 ; ‖MD4δ2‖1 = 23 + 1 + 1

4 = 2312 ; ‖MD4δ3‖1 = 3

4 + 1 = 74 ;

‖MD4δ4‖1 = 23 + 1 + 1

4 = 2312 .

Entonces

‖MD4‖1 = max

23

12,7

4

=

23

12.


Grafo P4. Especıficamente el vertice 1 de grado 1,el vertice 2 de grado 3 y los vertices

3, 4 de grado 2 ; por lo que el grafo es el siguiente

Figura 3.8: Grafo P4


• B(1, 0) = 1, B(1, 1) = 1, 2, B(1, 2) = 1, 2, 3, 4, y B(1, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(1, 0)| = 1, |B(1, 1)| = 2, |B(1, 2)| = 4 y |B(1, 3)| = 4.

De aquı que

MP4δk(1) =

1, k = 1,

12 , k = 2,

14 , k = 3,

14 , k = 4.


• B(2, 0) = 2, B(2, 1) = 1, 2, 3, 4, B(2, 2) = 1, 2, 3, 4, y B(2, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(2, 0)| = 1, |B(2, 1)| = 4, |B(2, 2)| = 4 y |B(2, 3)| = 4.

De aquı que

MP4δk(2) =

14 , k = 1,

1, k = 2,

14 , k = 3,

14 , k = 4.

Para el vertice 3:

• B(3, 0) = 3, B(3, 1) = 2, 3, 4, B(3, 2) = 1, 2, ˜3, 4, y B(3, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(3, 0)| = 1, |B(3, 1)| = 3, |B(3, 2)| = 4 y |B(3, 3)| = 4.


De aquı que

MP4δk(3) =

14 , k = 1,

13 , k = 2,

1, k = 3,

13 , k = 4.


• B(4, 0) = 4, B(4, 1) = 2, 3, 4, B(4, 2) = 1, 2, 3, 4, y B(4, 3) = 1, 2, 3, 4,ası |B(4, 0)| = 1, |B(4, 1)| = 3, |B(4, 2)| = 4 y |B(4, 3)| = 4.

De aquı que

MP4δk(1) =

14 , k = 1,

13 , k = 2,

13 , k = 3,

1, k = 4.

Por lo que:

• ‖MP4δ1‖1 = 1 + 34 = 7

4 ; ‖MP4δ2‖1 = 12 + 1 + 2

3 = 136 ; ‖MP4δ3‖1 = 1

2 + 1 + 13 = 11

6 ;

‖MP4δ4‖1 = 12 + 1

3 + 1 = 116

Entonces

‖MP4‖1 = max

7

4,13

6,11

6

=

13

6.

Observacion 3.4.2. Se finaliza esta seccion con un par de comentarios. En primer lugar,

gracias al ejemplo anterior, se puede dar una relacion de orden entre los grafos y, a su vez

tambien se puede dar una relacion de orden entre las normas correspondientes de sus opera-

dores maximales.

P4// D4

C4oo

S4

OO

K4 L4

OO

Las flechas en el diagrama significan estar contenido propiamente en el otro grafo, lo que

quiere decir que es un subgrafo propio, ası pues P4 es un subgrafo propio de D4, y lo mismo

con los otros grafos. En el diagrama se ve que todos los grafos estan contenidos en K4.

‖MP4‖1

‖MD4‖1oo // ‖MC4‖1

oo

‖MS4‖1 ‖MK4‖1

OO

‖ML4‖1

Las flechas en el diagrama significan ser menor que entre las normas, ası pues ‖MP4‖1 es menor

que ‖MS4‖1, y la flecha doble significa igualdad. En el diagrama se puede ver que ‖MK4‖1 es

la menor norma.

En particular se logra ver, que se pueden tener grafos no isomorfos con normas iguales, como se

ve en el ejemplo ‖MC4‖1 = ‖MD4‖1 y ‖ML4‖1 = ‖MP4‖1. El diagrama anterior, sin embargo

lleva a tener las siguientes dudas: Dados dos grafos G1 ⊆ G2 con n vertices, ¿es siempre

verdad que ‖MG2‖p ≤ ‖MG1‖p? Hay que tener claro que G1 ⊆ G2 no implica, en general la

desigualdad puntual MG2f ≤MG1f .

3.5 Estimaciones y cotas del operador maximal de Hardy-

Littlewood

Ahora se establecen algunos estimados para ‖MKn‖p. En la siguiente seccion se ve que, para

0 < p ≤ 1, hay algunas acotaciones determinadas para la norma de MKn , y gracias a esto se

encuentran algunas acotaciones para la norma del operador maximal sobre otros grafos.

Se usa la siguiente notacion A . B, siempre que exista un C > 0 (independiente de los

parametros involucrados, como la dimension n ∈ N o 0 < p ≤ ∞) tal que A ≤ CB. De

manera similar para A & B. Como es usual, A ≈ B significa que A . B y A & B.

Proposicion 3.5.1. Para el grafo Kn se tienen las siguientes estimaciones:

(i) Si 0 < p ≤ 1, entonces

‖MKn‖p = 1 +n− 1

np.

(ii) Si 1 < p <∞, entonces(1 +

n− 1

np

)1/p

≤ ‖MKn‖p ≤(

1 +n− 1

n

)1/p

. (3.15)

En particular, ‖MKn‖p ≈ 1. De hecho, se tiene que

1 ≤ ‖MKn‖p ≤ 2

3.5. ESTIMACIONES Y COTAS DEL OPERADOR MAXIMAL DE HARDY-LITTLEWOOD53

Demostracion. (i) En efecto, por el Lema 3.4.1, se tiene que

‖MKn‖p = maxk∈V

‖MKn δk‖p

;

pero de (3.8), se sabe que para cualquier j ∈ V se cumple

MKnδk(j) = max

δk(j),

1

n

∑l∈V

δk(l)

= max

δk(j),

1

n

=

1, j = k,

1n , j 6= k.

De aquı que para cualquier k ∈ V se cumple

‖MKn δk‖p =∑j∈V|MKnδk(j)|

p

=n∑j=1

(max

δk(j),

1

n

)p= max

δk(1),

1

n

p+ max

δk(2),

1

n

p+ · · ·+ max

δk(k),

1

n

p+ · · ·+ max

δk(n),

1

n

p=

1

np+ · · ·+ 1

np+ · · ·+ 1p + · · ·+ 1

np+ · · ·+ 1

np

=n− 1

np+ 1.

Ası,

1 +n− 1

np= ‖MKn‖p.

Lo que muestra el resultado en el item (i).

(ii) Se considera el caso 1 < p <∞. Se tiene que

‖MKn‖p = sup‖MKnf‖p : ‖f‖p = 1

.

Cada f ∈ `p(V ), se puede escribir en la forma f =∑

k∈V fkδk, siendo fk numeros reales. Por

esta razon, ‖f‖pp =∑

k∈V |fk|p y

‖MKn‖p = sup

(∑k∈V|MKnf(k)|p

)1/p

:∑k∈V|fk|p = 1

= sup

(∑k∈V

max

|fk|,

1

n

∑j∈V|fj |p)1/p

:∑k∈V|fk|p = 1

.

Ahora bien, para p > 1, la funcion ϕ(t) = tp con t ≥ 0 es creciente y convexa. Por esta razon,

se tiene que

max

|fk|,

1

n

∑j∈V|fj |p

= max

|fk|p ,

(1

n

∑j∈V|fj |)p

≤ max

|fk|p ,

1

n

∑j∈V|fj |p

,

donde la ultima relacion se debe a la desigualdad de Jensen (vease (1.3)). Luego, se puede

escribir,

‖MKn‖p ≤ sup

(∑k∈V

max

|fk|p ,

1

n

∑j∈V|fj |p

)1/p

:∑k∈V|fk|p = 1

= sup

(∑k∈V

max

|fk|p ,

1

n

)1/p

:∑k∈V|fk|p = 1

;

lo cual es equivalente a la expresion

‖MKn‖p ≤ sup

( n∑i=1

max

xpi ,

1

n

)1/p

: xi ≥ 0,

n∑i=1

xpi = 1

.

Ahora, si xpi ≤ 1/n, para todo 1 ≤ i ≤ n, se llega a

‖MKn‖p ≤ sup

( n∑i=1

1

n

)1/p

: xi ≥ 0,

n∑i=1

xpi = 1

= 1.

Por otro lado, si xpi0 > 1/n, para algun ındice i0 ∈ 1, · · · , n, entonces

‖MKn‖p ≤ sup

( ∑xpi>1/n

xpi +∑

xpi≤1/n

1

n

)1/p

: xi ≥ 0,n∑i=1

xpi = 1

≤(

1 +n− 1

n

)1/p

.

(3.16)

La ultima desigualdad se tiene ya que∑

xpi>1/n

xpi ≤ 1 y∑

xpi≤1/n

1n ≤

n−1n , en el caso en el que

solo se tiene un i0 se cumple la igualdad, si hay mas se tiene la desigualdad estricta. Esto

establece la cota superior en (ii).

Para establecer la cota inferior en (ii), se usa el hecho que para cualquier k ∈ V se tiene que

‖δk‖p = 1 y por esta razon,

‖MKn‖p ≥ ‖MKnδk‖p =

(∑j∈V|MKnδk(j)|

p

)1/p

=

(n− 1

np+ 1

)1/p

,

donde los ultimos calculos son los mismos que se realizan en el caso 0 < p < 1. Esto demuestra

el resultado.

Observacion 3.5.1. Es pertinente un comentario sobre la segunda parte del teorema anterior.

En general, el calculo de la norma del operador maximal de Hardy-Littlewood es una tarea

muy difıcil de realizar, incluso para el caso del grafo completo Kn. De la Proposicion 3.5.1,


se sabe que 1 ≤ ‖MKn‖p ≤ 2, para todo n ∈ N y todo p > 1. Todavıa mas, las cotas que se

obtuvieron en (3.15) no son optimos en general. Para ilustrar esto, se va a considerar el caso

n = 2 y el grafo K2. Entonces, de la Proposicion 3.5.1, solo se puede decir que(1

2p+ 1

)1/p

≤ ‖MK2‖p ≤(

3

2

)1/p

.

Ahora, en este caso, el conjunto de vertices es V = 1, 2 y para toda funcion no nula

f : 1, 2 → R, se tiene que

MK2f(j) = max

|f(j)|, 1

2

(|f(1)|+ |f(2)|

),

donde j ∈ V . Luego, si se definen

α = mın

|f(1)|, |f(2)|

,

β = max

|f(1)|, |f(2)|

,

se tiene que ‖f‖pp = αp + βp y ‖MK2f‖pp = 1

2p (α+ β)p + βp pues p > 1 y de aquı que

‖MK2f‖pp

‖f‖pp=

(α+ β)p + 2pβp

2p (αp + βp)=

(αβ + 1

)p+ 2p

2p((

αβ

)p+ 1) . (3.17)

Luego, haciendo t = αβ ∈ [0, 1], se concluye que

‖MK2‖pp = sup

0≤t≤1

(t+ 1)p + 2p

2p (1 + tp).

y hallar ‖MK2‖pp, se reduce a hallar el maximo de la funcion

ϕp(t) =(t+ 1)p + 2p

1 + tp

con t ∈ [0, 1]. Su derivada es:

ϕ′p(t) =p(1 + t)p−1(1 + tp)− ((1 + t)p + 2p)(ptp−1)

(1 + tp)2

=p(1 + t)p−1(1 + tp)− (1 + t)pptp−1 − 2pptp−1

(1 + tp)2

=(p+ ptp − ptp−1 − ptp)(1 + t)p−1–p2ptp−1

(1 + tp)2

=(p− ptp−1)(1 + t)p−1–p2ptp−1

(1 + tp)2,

igualando a cero el resultado anterior se llega a la siguiente ecuacion

(p− ptp−1)(1 + t)p−1–p2ptp−1 = 0

(p− ptp−1)(1 + t)p−1 = p2ptp−1

(1 + t)p−1 =p2ptp−1

(p− ptp−1)

(1 + t)p−1 =2ptp−1

(1− tp−1), (3.18)

Ası pues la raız de ϕp es la constante t que cumple la ecuacion (3.18), pero tambien depende

del p, por esto se nota como tp. Para 1 < p < ∞, este supremo se alcanza en la unica raız

tp ∈ (0, 1) de la ecuacion (3.18) como se ve arriba. Si p = 2 entonces (3.18) es igual a

(1 + t)2 =22t

1− t

(1 + t)2(1− t) = 4t

(1 + 2t+ t2)(1− t)− 4t = 0

1 + 2t+ t2 − t− 2t2 − t3 − 4t = 0

t(3 + t+ t2)–1 = 0

En particular, si p = 2, entonces t2 =√

5 − 2 y ‖MK2‖2 = (3 +√

5)1/2/2. Sin embargo, de

(3.15) solo se obtiene que√

5/2 < ‖MK2‖2 < (3/2))1/2.

Se observa que la cota inferior de la estimacion en el item (ii) se obtiene evaluando el operador

maximal en las funciones δk que en particular, son funciones caracterısticas. Esto motiva a

considerar la norma del operador de Hardy-Littlewood cuando se restringe el conjunto de las

funciones a la clase de las funciones caracterısticas de subconjuntos de V ; mas precisamente,

para el grafo completo Kn, se define la cantidad

‖MKn‖p,rest = max

‖MKnχA‖p‖χA‖p

: A ⊂ V,

la cual se llama la norma-p restringida. Claramente, se puede ver que ‖MKn‖p,rest ≤ ‖MKn‖p.El siguiente resultado muestra que, para algunos valores particulares de n ≥ 2 y p > 1, se

puede obtener un mejor resultado que el obtenido en la Proposicion 3.5.1. Se debe recordar

que p′ denota el conjugado de p, definido como en el Capıtulo 1, y [x] es la parte entera del

numero real x.

Proposicion 3.5.2. Sean n ≥ 2 y p > 1.

(i) Si n ≤ p′, entonces

‖MKn‖p,rest =

(1 +

n− 1

np

)1/p

.

(ii) Si n ≤ p, entonces

‖MKn‖p,rest =

(1 +

(n− 1)p−1

np

)1/p

.

(iii) Si n > maxp, p′, p ∈ Q con p = p1/p2 y p1 divide a n, entonces

‖MKn‖p,rest =

(1 +

(p− 1)p−1

pp

)1/p

.

(iv) Si n > maxp, p′, pero p no es de la forma anterior, y [n]p = [n/p′], con [n/p′] la parte

entera de n/p′, entonces

‖MKn‖p,rest =

(1 +

1

npmax

(n− [n]p

)[n]p−1p ,

(n− 1− [n]p

)([n]p + 1

)p−1)1/p

.

En particular, si n > p′ se tiene que

‖MKn‖p ≥ ‖MKn‖p,rest >(

1 +(n− 1)

np

)1/p

.

Demostracion. Por la Proposicion 3.1.4, para A ⊂ V , con |A| = k < n, se tiene que

MKnχA(j) = max

|χA(j)|, 1

n

∑k∈V|χA(k)|

.

Con lo cual

MKnχA(j) =

1, j ∈ A,

k/n, j /∈ A.

Luego, si se supone, sin perdida de generalidad, que A = 1, · · · , k, entonces se tiene que

n∑j=1

MKnχA(j)p = maxχA(1),

k

n

p+ max

χA(2),

k

n

p+

· · ·+ maxχA(j),

k

n

p+ · · ·+ max

χA(n),

k

n

p= 1p

∑j∈A

1 +(kn

)p∑j /∈A

1

= 1pk + (n− k)(kn

)p=

(n− k)kp

np+ k,

Ası que en este caso, se obtiene

‖MKnχA‖p =

( n∑j=1

MKnχA(j)p)1/p

=

(k + (n− k)

kp

np

)1/p

.

Ahora se ve que ‖χA‖p = k1/p. En efecto, como p > 1, se puede escribir

‖χA‖p =

( n∑j=1

(χA(j))p)1/p

=

( k∑j=1

(χA(j))p +

n∑j=k+1

(χA(j))p)1/p

=

(1p + · · ·+ 1p + 0p + · · · 0p

)1/p

= k1/p.

De aquı se obtiene que

‖MKn‖p‖χA‖p

=1

k1/p

(knp + (n− k)kp

np

)1/p=(knp + (n− k)kp

npk

)1/p=(

1 +(n− k)kp−1

np

)1/p.

y por esta razon

max

‖MKn‖p‖χA‖p

: A ⊂ V

= max1≤k≤n−1

(1 +

(n− k)kp−1

np

)1/p=(

max1≤k≤n−1

1 +

(n− k)kp−1

np

)1/p=(

1 + max1≤k≤n−1

(n− k)kp−1

np

)1/p=(

1 +1

npmax

1≤k≤n−1(n− k)kp−1

)1/p;

Se toma k hasta n− 1 porque A ⊂ V y ası k < n. Esto es,

‖MKn‖p,rest =

(1 +

1

npmax

1≤k≤n−1(n− k)kp−1

)1/p

. (3.19)

Para calcular el maximo en (3.19), se considera la funcion ϕ(x) = (n−x)xp−1, para x > 0. Se

realiza de un analisis de la funcion para ver puntos crıticos y demas; ası se ve que x = n/p′ es

un punto crıtico de ϕ; esto es como ya se muestra que, ϕ′(n/p′) = 0. En efecto, se tiene que

ϕ′(x) = n(p− 1)xp−2 − pxp−1

= npxp−2 − nxp−2 − pxp−1

= xp−2 (n(p− 1)− px) .

(3.20)

Luego, como x > 0, ϕ′(x) = 0 si y solo si x = n(p− 1)/p = n/p′. Adicionalmente, se tiene que

ϕ′(x) > 0 si x < n/p′; ası que ϕ crece en el intervalo (0, n/p′). Tambien ϕ′(x) < 0 si x > n/p′

y ϕ decrece en el intervalo (n/p′,∞). Por tanto, ϕ alcanza su valor maximo en xmax = n/p′.

(i) Ahora bien, si n ≤ p′, entonces xmax ≤ 1 y en este caso, ϕ es una funcion monotona

decreciente en [1, n− 1]. De aquı que

max1≤x≤n−1

ϕ(x) = ϕ(1) = n− 1

y por tanto, reemplazando en (3.19) se obtiene

‖MKn‖p,rest =

(1 +

1

np(n− 1)

)1/p

=

(1 +

n− 1

np

)1/p

.

(ii) Si n ≤ p, entonces p′ = pp−1 por lo que n–n/p = n/p′, y tambien que n/p ≤ 1, de

donde −1 ≤ –n/p , sumando a ambos lados n se tiene que n–1 ≤ n–n/p por lo tanto

n–1 ≤ n/p′, ası xmax = n/p′ ≥ n−1 y la funcion ϕ es monotona creciente en el intervalo

[1, n− 1]; ası que en este caso,

max1≤x≤n−1

ϕ(x) = ϕ(n− 1) = (n− 1)p ,

de donde se obtiene que

‖MKn‖p,rest =

(1 +

1

np(n− 1)p−1

)1/p

=

(1 +

(n− 1)p−1

np

)1/p

.

(iii) Si n > maxp, p′, p ∈ Q, con p = p1/p2 y p1 divide a n, entonces el punto crıtico

xmax = n/p′ es un entero entre 1 y n− 1, por lo que el maximo en (3.19) se alcanza en

ese punto. En este caso, se tiene

max1≤x≤n−1

ϕ(x) = ϕ

(n

p′

)=

(n− n

p′

)(n

p′

)p−1= n

(1− 1

p′

)np−1

p′p−1

= np1

p

1

p′p−1

=np

p

(p− 1)p−1

pp−1

=np

pp(p− 1)p−1.

Por esto, se obtiene

‖MKn‖p,rest =

(1 +

1

npnp

pp(p− 1)p−1

)1/p

=

(1 +

(p− 1)p−1

pp

)1/p

.

(iv) Si n > maxp, p′, pero p no es de la forma anterior, entonces el punto crıtico xmax =

n/p′ ∈ [1, n − 1], pero no es un entero, por lo que el maximo en (3.19) se alcanza en

[n]p = [n/p′] o bien en [n]p + 1. En este caso,

ϕ ([n]p) = (n− [n]p) [n]p−1p ,

y

ϕ ([n]p + 1) = (n− [n]p − 1) ([n]p + 1)p−1 .

Reemplazando en (3.19)

‖MKn‖pp,rest = 1 +

1

npmax

(n− [n]p

)[n]p−1p ,

(n− 1− [n]p

)([n]p + 1

)p−1,

lo cual corresponde a la evaluacion del entero mas cercano. De lo anterior se tiene que

si n > p′, entonces

‖MKn‖p,rest > (1 +n− 1

np)1/p

por que

max

(n− [n]p

)[n]p−1p ,

(n− 1− [n]p

)([n]p + 1

)p−1> n− 1.

Ya que, si p′ < n ≤ p, entonces p > 2, lo cual es equivalente a la desigualdad(1 +

(n− 1)p−1

np

)1/p

>

(1 +

(n− 1)

np

)1/p

;

esto se tiene ya que (n− 1)p−1 > (n− 1) con p > 1. Esto demuestra el resultado.

3.6 Constantes optimas para la norma del operador maximal

sobre grafos

En esta seccion se muestran los resultados importantes de esta investigacion los cuales son

partes del artıculo de Soria y Tradacete [13]. En primer lugar, para 0 < p ≤ 1, se establecen

cotas optimas para ‖MG‖p, la norma de MG, para G un grafo simple, conexo con n vertices. Se

3.6. CONSTANTES OPTIMAS PARA LA NORMA DEL OPERADOR MAXIMAL SOBRE GRAFOS61

veran que estas cotas caracterizan los grafos donde se obtienen estos valores. Como aplicacion

de lo anterior, se demuestra que la norma-1 de la clase del grafo lineal Ln coincide con la

norma de la clase del grafo estrella Sn. El capıtulo culmina con una estimacion de la norma-p

de MSn para 1 < p <∞.

Se enuncia y demuestra el resultado principal de esta seccion.

Teorema 3.6.1. Para todo grafo simple y conexo G con n vertices y 0 < p ≤ 1 se tiene que

1 +n− 1

np≤ ‖MG‖p ≤ 1 +

n− 1

2p.

Demostracion. Primero se establece la cota inferior. Por el Teorema 3.2.1 se tiene que

MKnf(j) ≤ MGf(j) para todo j ∈ V . Por lo tanto, la Proposicion 3.5.1 da la cota inferior

estimada

1 +n− 1

np= ‖MKn‖p ≤ ‖MG‖p.

Ahora se va a establecer la cota superior de ‖MG‖p. Se sabe del Lema 3.4.1 que

‖MG‖p = maxi∈V

‖MG δi‖p

.

Ademas, para cualquier i ∈ V se tiene que

‖MGδi‖p = MGδi(i)p +

∑k∈V \i

MGδi(k)p = 1 +∑

k∈V \i

(1

|Bk|∑j∈Bk

δi(j)

)p, (3.21)

donde Bk = BG(k, r) con r ≥ 1. Hay que notar que para k ∈ V \i necesariamente |Bk| ≥ 2,

ya que para que la funcion δi sea distinta de cero la bola debe contener al vertice i, y claramente

contiene al vertice k 6= i, por lo que la bola tiene como mınimo 2 vertices.

Por esto, se tiene que (1

|Bk|

)p≤(

1

|2|

)p,

1

|Bk|p≤ 1

|2|p.

Como δi(j) = 1 con j = i, pero si i 6= j, entonces δi(j) = 0 con j ∈ Bk, por lo que( ∑j∈Bk

δi(j)

)p≤ max

k∈V

( ∑j∈Bk

δi(j)

)p,

= max0p, 1p

= max0, 1 = 1.

Ahora reemplazando en (3.21) se tiene que∑k∈V \i

(1

|Bk|∑j∈Bk

δi(j)

)p≤ max

k∈V

∑k∈V \i

(1

|Bk|∑j∈Bk

δi(j)

)p=

1

2p

∑k∈V \i

1

=1

2p(n− 1)

=(n− 1)

2p.

Ası, se llega a que

‖MGδi‖p ≤ 1 +n− 1

2p.

Ya que esto se tiene para cada i ∈ V , por el Lema 3.4.1 se obtiene el estimado de la cota

supeior

‖MG‖p ≤ 1 +n− 1

2p.

Esto culmina la demostracion.

En la demostracion de la cota inferior del resultado anterior, se pudo ver que cuando el grafo G

es el grafo completo Kn, se obtiene la igualdad. En este sentido, esa cota se considera optima.

Adicionalmente, esa cota inferior caracteriza al grafo completo Kn tal como se muestra en el

siguiente resultado.

Teorema 3.6.2. Sea 0 < p ≤ 1. Se tiene que G = Kn si y solo si

‖MG‖p = 1 +n− 1

np.

Demostracion. Por la Poposicion 3.5.1, se tiene que

‖MKn‖p = 1 +n− 1

np.

Se va a demostrar que si G es cualquier grafo simple y conexo con n vertices, distinto de Kn,

entonces G debe necesariamente satisfacer

‖MG‖p > ‖MKn‖p = 1 +n− 1

np.

Para ver esto se supone que G 6= Kn. Entonces, como el grafo G es conexo, existen vertices

i, j ∈ V tales que i 6= j y dG(i, j) > 1 ya que en Kn se cumple dKn(n,m) = 1 para todo

n,m ∈ V . Se consideran los conjuntos

A = B(i, 1) = k ∈ V : dG(i, k) ≤ 1 y B = B(j, 1) = k ∈ V : dG(j, k) ≤ 1.

Se observa que A = NG(i) ∪ i y B = NG(j) ∪ j. Como el grafo G es conexo entonces

tanto el vertice i como el vertice j tienen algun vertice vecino en G, por esto las respectivas

bolas anteriormente mencionadas como mınimo tienen dos elementos, ası pues se puede decir

que |A|, |B| ≥ 2. Se van a analizar dos casos:

(a) mın|A|, |B| ≤ n/2.

(b) mın|A|, |B| > n/2.

En el caso (a), se debe suponer sin perdida de generalidad que |A| ≤ n/2. Se escoge cualquier

k ∈ A tal que k 6= i (es decir, dG(i, k) = 1) y definir δk como ya se definio en el Capıtulo 1 en

(1.1). Entonces, ya que MGδk(l) ≥ 1/n, para todo l ∈ V ,

‖MGδk‖p =

n∑l=1

MGδk(l)p

= MGδk(k)p +MGδk(i)p +

∑l 6=i,k

MGδk(l)p

≥ 1 +

(1

|A|∑m∈A

δk(m)

)p+n− 2

np.

Usando la hipotesis (k ∈ A y |A| ≤ n/2), ahora se obtiene

‖MG‖p ≥ ‖MGδk‖p ≥ 1 +

(2

n

)p+n− 2

np> 1 +

n− 1

np.

Esto termina la prueba en el caso (a).

Ahora se considera el caso (b), en el cual ambos A y B tiene cardinalidad estrictamente mayor

que n/2. En particular, se tiene que A ∩ B 6= ∅. Si se escoge un k ∈ A ∩ B y se considera la

funcion δk como arriba, entonces

‖MGδk‖p = MGδk(j)p +MGδk(k)p +

∑l 6=i,j,k

MGδk(l)p

(1

|A|∑m∈A

δk(m)

)p+

(1

|B|∑m∈B

δk(m)

)p+ 1 +

n− 3

np.

Por lo tanto, usando el hecho de que k ∈ A ∩B y |A|, |B| ≤ n− 1, se tiene que

‖MG‖p ≥ ‖MGδk‖ ≥2

(n− 1)p+ 1 +

n− 3

np> 1 +

n− 1

np.

Esto prueba la proposicion en el caso (b).

Ahora se analiza la cota superior de ‖MG‖p cuando 0 < p ≤ 1. Se va a demostrar que esta

cota tambien es optima y que se obtiene esta cota para un grafo G si y solo si es isomorfo al

grafo estrella Sn.

Teorema 3.6.3. Sea 0 < p ≤ 1. Se tiene que G ∼ Sn si y solo si

‖MG‖p = 1 +n− 1

2p.

Demostracion.

⇒) Primero se calcula ‖MSn‖p, pero para esto hay que conocer primero como es el operador

MSn , ya que se usa el Lema 3.4.1, se tiene que

‖MSn‖p = maxl∈V

‖MSnδl‖p

por esto se analiza el valor del operador MSnδl(j). δl cumple ciertas propiedades las cuales

van a ser de ayuda a la hora de encontrar los valores de MSnδl(j).

Sea k ∈ V el vertice de grado n − 1 en Sn, se tiene que, ‖δl‖p = 1 con cualquier p ∈ (0,∞).

Se afirma que

MSnδl(j) =

maxδl(j),

1n

, j = k,

maxδl(j),

δl(j)+δl(k)2 , 1n

, j 6= k.

(3.22)

En efecto, se tienen varios casos segun los valores de j y del radio r:

Caso 1 Si j = k y r ≥ 1, entonces el grado de j es n−1 ya que el grado del vertice k es n−1,

por esto |BSn(j, r)| = n con r ≥ 1.

Caso 2 Si j = k y r = 0, entonces como ya se dijo el grado de j es n − 1 pero el radio es

igual a 0, se concluye que |BSn(j, 0)| = 1.

De estos dos casos se tiene que si j = k, entonces

MSnδl(j) = max

1

|BSn(j, 0)|∑

w∈BSn (j,0)

|δl(w)|, 1

|BSn(j, 1)|∑

w∈BSn (j,1)

|δl(w)|

= max

1 · |δl(j)|,

1

n·∑w∈V|δl(w)|

= max

δl(j),

1

n

,

la segunda igualdad se tiene ya que BSn(j, 1) = V por que el grado de j es n − 1, la tercera

igualdad se obtiene porque f es positiva y ‖δl‖1 =∑

w∈V |δl(w)| = 1, porque∑

w∈V |δl(w)| =δl(l) = 1.

Ahora se toman en cuenta otros dos casos:

Caso 3 Si j 6= k y el radio de la bola es 0, se ve que |BSn(j, r)| = 1.

‖MSn‖p = max‖MSnδl‖p

= max

1

2+n− 1

3p, 1 +

n− 2

2p, 1 +

n− 1

2p

= 1 +

n− 1

2p.

por esto

‖MSn‖p = 1 +n− 1

2p. (3.23)

⇐) Ahora, se supone que G no es isomorfo a Sn, y por eso n ≥ 3. Entonces existen 2 vertices

diferentes i, j ∈ V cuyos grados satisfacen que dG(i), dG(j) > 1. Para encontrar la norma p

del operador en este caso se usa el Lema 3.4.1 el cual establece que ‖MG‖p = maxl∈V , se

considera el conjunto

A = k ∈ V : MGδl(k) = δl(k);

se puede ver que l ∈ A pues

MGδl(l) = maxk=0,··· ,n−1

1

|BG(l, k)|∑

v∈BG(l,k)

|δl(v)|

= max

k=0,··· ,n−1

1

|BG(l, k)|

=

1

|BG(l, 0)|

= 1 = δl(l).

Ahora para k /∈ A, se tiene en particular que k 6= l; por esta razon, δl(k) = 0 con lo cual

MGδl(k) 6= 0.

Por lo tanto, se tiene que

‖MGδl‖p =∑k∈A

MGδl(k)p +∑

k∈V \A

MGδl(k)p ≤∑k∈A

δl(k)p +∑

k∈V \A

1

(dG(k) + 1)p.

Ahora, si ambos i, j ∈ A, entonces |V \A| ≤ n− 2 y con esto

‖MGδl‖p ≤ 1 +n− 2

2p< 1 +

n− 1

2p.

En otro caso, si i /∈ A, entonces ya que A 6= ∅, se obtiene que

‖MGδl‖p ≤ 1 +1

(dG(i) + 1)p+n− 2

2p≤ 1 +

1

3p+n− 2

2p< 1 +

n− 1

2p.

Similarmente, lo mismo pasa si j /∈ A. Por lo tanto,

‖MG‖p ≤ max

1 +

n− 2

2p, 1 +

1

3p+n− 2

2p

< 1 +

n− 1

2p.

Lo cual es una contradiccion. Esto prueba el resultado.

Se ilustran los resultados anteriores con los siguientes ejemplos.

Ejemplo 3.6.1. Del Teorema 3.6.1, se puede ver con ayuda del Ejemplo 3.4, que para todo

grafo G simple, conexo y con 4 vertice se cumple que su norma ‖MG‖1 esta acotada de la

siguiente manera7

4≤ ‖MG‖1 ≤

5

2

Reescribiendo las fracciones de forma conveniente se ve que las acotaciones dadas son preci-

samente las que se muestran en el teorema para n = 4

1 +3

4≤ ‖MG‖1 ≤ 1 +

3

2

1 +4− 1

4≤ ‖MG‖1 ≤ 1 +

4− 1

2;

Ejemplo 3.6.2. Para ilustrar el Teorema 3.6.2, se considera el Ejemplo 3.4.

⇐) Tomando G = K4 se sabe del Ejemplo 3.4 que

‖MK4‖1 =7

4,

reescribiendo la fraccion

‖MK4‖1 =(

1 +4− 1

4

),

ası se comprueba una implicacion del teorema.

⇒) Si se tiene que

‖MG‖1 =(

1 +5− 1

5

),

Se puede reescribir

‖MG‖1 =9

5;

ahora se debe comprobar que el resultado anterior es igual a ‖MK5‖1, lo cual por el Lema

3.4.1 es igual a maxk∈V‖MK5δk‖1 , con V = 1, 2, 3, 4, 5; haciendo los calculos de manera similar

al Ejemplo 3.4 se obtiene que

‖MK5‖1 =9

5.

De aquı se tiene entonces que G = K5.


Ejemplo 3.6.3. Para ilustrar el Teorema 3.6.3 se usa el Ejemplo 3.4, teniendo claro que todo

grafo es isomorfo a sı mismo.

⇒) Si G = S4 entonces se cumple la primera igualdad

‖MS4‖1 =5

2,

y la segunda reescribiendo la fraccion

‖MS4‖1 =(

1 +4− 1

2

).

⇐) Si se tiene que

‖MG‖1 =(

1 +7− 1

2

)= 4,

la primera igualdad se tiene del teorema y la segunda de solucionar la resta y la suma; hay

que llegar a que el resultado anterior sea igual a ‖MS7‖1, lo cual por el Lema 3.4.1 es igual a

maxk∈V‖MS7δk‖1 , con V = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; haciendo los calculos de manera similar al Ejemplo

3.4, por esto

‖MS7‖1 = 1 +6

2= 4.

Por lo que G = S7.

Ahora se usan los resultados anteriores y el calculo de ‖MSn‖1 para obtener la norma-1 de la

clase [Ln]. Esto se hace formalmente en la siguiente proposicion.

Proposicion 3.6.4. Para n ≥ 3, se tiene que

‖M[Ln]‖1 = ‖M[Sn]‖1 = ‖MSn‖1 =n+ 1

2.

Demostracion. Se usa el Lema 3.4.1 para estimar ‖M[Ln]‖1. Con este fin, sea L cualquier

arbol y j, k ∈ V , con j 6= k, se toma cualquier arbol lineal L para el cual k es una hoja y j es

un vecino de k, con esto

MLδj(k) = maxr

1

|BL(k, r)|∑

w∈BL(k,r)

|δj(w)|

=1

|BL(k, 1)|∑

w∈BL(k,1)

|δj(j)| =1

2;

el maximo se alcanza con el radio igual a 1 porque la bola BL(k, r) mas pequena que contiene

a j es la bola BL(k, 1), por esto

MLδj(k) =1

2.


Para calcular el operador en [Ln], se ve que el maximo se alcanza cuando al igual que en L,

k es una hoja y j es su vecino, de no ser ası se ven algunos casos:

Caso 1 k una hoja y j su vecino ası tiene que

MLnδj(k) =1

2.

Caso 2 k una hoja y j no es vecino de k en este caso

MLnδj(k) = 0

Caso 3 k no es una hoja y j no es su vecino, ya que no se conoce el grado de k o j, entonces

MLnδj(k) ≤ 1

2.

Caso 4 k no es una hoja y j es su vecino, en este caso ya que no se conoce el grado de k se

ve que

MLnδj(k) ≤ 1

2;

de esto1

2≥M[Ln]δj(k).

Luego se debe tomar el maximo y con el Lema 3.4.1 se tiene MLnδj(k) = 12 .

Ya que M[Ln]δj(j) = 1 y M[Ln]δj(k) = 12 , ası

‖M[Ln]δj‖1 = M[Ln]δj(j) +∑k 6=j

M[Ln]δj(k),

entonces ‖M[Ln]δj‖1 = 1 + n−12 , lo cual prueba que

‖M[Ln]‖1 =n+ 1

2.

Ahora se calcula ‖M[Sn]‖1; usando el Lema 3.4.1.

Sea S un grafo isomorfo a Sn y sea k ∈ V el vertice de grado n − 1 en S. Se debe calcular

MSδj(k) para todo l ∈ V , se toman en cuenta algunos casos

Caso 1 Si j = k el grado de j es n − 1 ya que el grado del vertice k es n − 1, por esto

|BSn(j, r)| = n con r ≥ 1.

Caso 2 Si j = k como ya se dijo el grado de j es n− 1 pero el radio es igual a 0, se concluye

que |BSn(j, 0)| = 1.


De estos dos casos se tiene que si j = k, entonces

MSδj(k) = max

1

|BS(j, 0)|∑

w∈BS(j,0)

|δj(w)|, 1

|BS(j, 1)|∑

w∈BS(j,1)

|δj(w)|

= max

1 · |δj(k)|, 1

n·∑w∈V|δj(w)|

= max

1,

1

n

=

1

n

la segunda igualdad se tiene ya que BSn(j, 1) = V por que el grado de j es n − 1, la tercera

igualdad se obtiene porque δ es positiva y∑

w∈V |δj(w)| = 1.

Ahora se toman en cuenta otros dos casos para ver mas claramente por que se define ası MSnf .

Caso 3 Si j 6= k y el radio de la bola es 0, se ve que |BSn | = 1.

Caso 4 Si j 6= k se tiene que el grado de j no es n− 1 por lo que el grado de j es 1 (ya que

todo esto es sobre el grafo estrella Sn), luego |BSn(j, 1)| = 2 y si el radio se toma mayor a 1

lo que quiere decir que r 6= 1 y r 6= 0, se llega a que |BSn(j, r)| = n.

Por lo que de estos dos casos se llega al siguiente resultado

MSnδk(j) = max

1

|BSn(j, 0)|∑

w∈BSn (j,0)

|f(w)|,maxj∈V

1

|BSn(j, 1)|∑

w∈BSn (j,1)

|δk(w)|,

· · · , 1

|BSn(j, r)|∑

w∈BSn (j,r)

|δk(w)|

= max

1 · |δk(j)|,

1

2(δj(j) + δj(k)),

1

n

∑w∈V|, δj(w)|

= max

0,

1

2,

1

n

=

1

2.

De lo anterior se concluye que

‖MSn‖1 =1

2(3.24)

Para el operador M[Sn]f se realiza un analisis similar. Usando (3.24) y el hecho de que ‖δj‖1 =

1 se tiene que

‖M[Sn]δj‖1 =∑k∈V|M[Sn]δj(k)| = M[Sn]δj(j) +

∑k∈V \j

|M[Sn]δj(k)|

= 1 +∑

k∈V \j

1

2

= 1 +n− 1

2

=n+ 1

2.

Con esto se termina la prueba.

Para el siguiente resultado se debe tener claro que en ≈ se hace referencia a una equivalencia

asintotica, y que log n se define como el logaritmo natural.

Teorema 3.6.5. Para n ≥ 2 se tiene

‖MLn‖p ≈

(n1−p−11−p

)1/p, 0 < p < 1,

log n, p = 1.(3.25)

Demostracion. Se define Ln = LG(1), para un grafo G con n vertices, donde 1 y n son hojas.

Lo siguiente se conoce gracias el orden de4d los vertices, para que el vertice 1 ∈ BLn(j, k)

entonces dLn(j, 1) ≤ k por esto el mınimo valor de k para el cual se cumple que 1 ∈ BLn(j, k)

es j − 1, lo cual se ve mas claramente al pensar en la geometrıa del grafo. El mınimo vertice

j ∈ V tal que BLn(j, j − 1) = V es [n/2], y como el objetivo es trabajar la cardinalidad mas

pequena de la bola BLn(j, k), entonces j ≤ [n/2]; y la cardinalidad de la bola BLn(j, j − 1) =

2(j − 1) + 1 = 2j − 1

MLnδ1(j) =1

2j − 1, 1 ≤ j ≤ [n/2].

Por lo tanto,

‖MLn‖1 ≥ ‖MLnδ1‖1 ≥[n/2]∑j=1

1

2j − 1& log n;

la segunda desigualdad se tiene de la definicion que se dio para MLnδ1(j), y la tercera se tiene

la serie de logaritmo natural:

log(n) =

∞∑j=1

1

2j − 1

(n2 − 1

n2 + 1

)2j−1, (3.26)

por esto

[n/2]∑j=1

1

2j − 1≥ C

∞∑j=1

1

2j − 1

(n2 − 1

n2 + 1

)2j−1

[n/2]∑j=1

1

2j − 1& log(n)

y

1 + log n ≤ C1 log n

1 + log n . log n,

Tomando en cuenta lo anterior, para la desigualdad contraria, se tiene porque los vertices k

y n − k + 1 en el grafo Ln tienen los mismos grados, ya que la forma del grafo es una lınea,

gracias a esto se observa que ‖MLnδk‖1 = ‖MLnδn−k+1‖1; entonces teniendo en cuenta que el

mınimo radio de la bola con centro vertice que se encuentra en la mitad del grafo Ln para el

cual la bola es igual a V , es n/2 en este caso; usando el Lema 3.4.1;

se obtiene

‖MLn‖1 = max1≤k≤[n/2]

‖MLnδk‖1

≤ max1≤k≤[n/2]

[k/2]∑j=1

1

k+

[(k+n)/2]∑j=[k/2]+1

1

2|k − j|+ 1+

n∑j=[(k+n)/2]+1

1

n− k + 1

. max

1≤k≤[n/2]1 + log n

= 1 + log n . log n.

Similarmente, para 0 < p < 1 se tiene

‖MLn‖p ≥ ‖MLnδ1‖p ≥[n/2]∑j=1

1

(2j − 1)p&n1−p − 1

1− p.

Como antes,

‖MLn‖p = max1≤k≤[n/2]

‖MLnδk‖p

≤ max1≤k≤[n/2]

[k/2]∑j=1

1

kp+

[(k+n)/2]∑j=[k/2]+1

1

(2|k − j|+ 1)p+

∑j=[(k+n)/2]+1

1

(n− k + 1)p

. max1≤k≤[n/2]

k1−p

2+

2((k − 1)1−p–(k–n− 1)1–p)

1–p+

(n–k + 1)1−p

2

.n1–p–1

1–p;

la primera equivalencia asintotica se obtiene de expandir la segunda sumatoria, y de reescribir

las otras dos ya que ninguno de los sumandos de esas dos sumatorias depende del ındice; y la

segunda equivalencia asintotica se obtiene al hacer la respectiva suma.

Hay que notar que si n ≤ 4, entonces ‖M[Ln]‖1 > ‖MLn‖1. Efectivamente, por el Teorema

3.6.3 y el hecho de que Ln Sn, entonces se tiene

‖MLn‖1 < ‖MSn‖1 = ‖M[Ln]‖1.

Calculos similares dan la misma estimacion para el grafo cıclico Cn.

Para terminar esta seccion, se completa la informacion acerca del estimado tipo fuerte (ver

Definicion 1.4.4), en el rango 1 ≤ p <∞, para el grafo estrella.

Proposicion 3.6.6. Si 1 ≤ p <∞, entonces

(1 +

n− 1

2p

)1/p

≤ ‖MSn‖p ≤(n+ 5

2

)1/p

,

es decir, ‖MSn‖p ≈ n1/p.

Demostracion. Primero se calcula ‖MSn‖p. Sea k ∈ V el vertice de grado n − 1 en Sn. Se

tiene que, para cualquier f : V → R+, con ‖f‖1 = 1,

MSnf(j) =

maxf(j), 1n

, j = k,

maxf(j), f(j)+f(k)2 , 1n

, j 6= k.

(3.27)

Con esto se ve que

MSn =

maxf(j). 1n∑

jnV |f(j)| j = k,

maxf(j).f(j)+f(k)21n

∑jnV |f(j)| j = k,

(3.28)

f es una funcion convexa, en la demostracion el Lema 3.4.1; se sigue de (3.28). y de que si

f ≥ 0

‖MSn‖pp = maxj 6=k

f(j)p,

1

np

∑jnV

|f(j)|p

+ maxj 6=k

f(j),

(f(j) + f(k)

2

)p,

1

n

∑jnV

|f(j)|p

≤∑j∈V|f(j)|p +

1

np

∑jnV

|f(j)|p +∑j∈V

(f(j) + f(k)

2

)p= ‖f‖pp +

1

np‖f‖pp +

∑j∈V

(f(j) + f(k)

2

)p= ‖f‖p +

n

np‖f‖+

∑j∈V

(f(j) + f(k)

2

)p.

La segunda desigualdad se da para 1 ≤ p <∞ ya que 1/2 ≤ 1/2p; la primera igualdad sale de

reescribir el producto de las n, la segunda igualdad es por el resultado de estos productos; y

la tercera desigualdad se justifica porque f(1)p ≤ ‖f‖pp, ya que f(1)p es uno de los sumandos


de la norma ‖f‖pp. Por lo tanto

‖MSnf‖pp ≤ ‖f‖pp +n

np‖f‖pp +

n∑j=1

(f(j) + f(1)

2

)p≤ ‖f‖pp + n1–pnp−1‖f‖pp +

1

2

n∑j=1

(fp(j) + fp(1)

)= ‖f‖pp + n1–p+p−1‖f‖pp +

1

2

( n∑j=1

fp(j) +n∑j=1

fp(1)

)

= ‖f‖pp + ‖f‖pp +1

2

(‖f‖pp + nfp(1)

)≤ 2‖f‖pp +

1

2

(‖f‖pp + n‖f‖pp

)=n+ 5

2‖f‖pp.

Para la otra desigualdad, de (3.23) se tiene que ‖MSn‖p ≥ (1 + n−12p )1/p.

Conclusiones

Un grafo simple, conexo y con un conjunto de vertices V a lo sumo numerable se puede dotar

de una metrica (la metrica geodesica) que lo convierte en espacio metrico completo, por tal

motivo se puede analizar la teorıa de operadores sobre estos espacios.

Para un grafo G con un conjunto de vertices V a lo sumo numerable, y un parametro p > 0,

se definen los espacios `p(V ) que son espacios metricos completos; de hecho, para p ≥ 1 son

espacios de Banach.

El operador maximal de Hardy-Littlewood caracteriza los grafos finitos de tal manera que dos

grafos G1 y G2 son iguales si y solo si MG1δk = MG2δk para todo k ∈ V . Puntualmente, el

grafo Kn es minimal para el operador maximal de Hardy-Liittlewood.

Para p ∈ (0, 1], el operador maximal de Hardy-Littlewood actuando en `p(V ) alcanza su

norma optima en el grafo Ln y de hecho tambien se hacen estimaciones para esta norma en

el grafo Sn y en el grafo Kn; el valor de esta norma para todo grafo simple, conexo y con un

conjunto de vertices numerable se encuentra entre 1 + n−1np y 1 + n−1

2p .

Para 1 < p < ∞, la norma p del operador maximal de Hardy-Littlewood sobre cualquier

grafo simple, conexo y con un conjunto de vertices numerable es un valor mayor o igual a(1 + n−1

np

)1/p

.

75

Bibliografıa

[1] D. Aalto y J. Kinnunen. The discrete maximal operator in metric spaces. J. Anal. Math.

111 (2010), 369–390.

[2] T. Apostol. Analisis matematico Editora Reverte, S.A. 2, Barcelona. (2006).

[3] G. de Barra. Measure theory and integration. Woodhead Publishing limited, Oxford, Cam-

bridge, Philadelphia, New Delhi. (2003).

[4] R. Bartle. Introduccion al Analisis Matematico Editora Limusa. 2, Mexico. (1980).

[5] H. Busemann y W. Feller. Zur differentiation der Lebesgueschen integrale. Fund. Math.

22 (1934), 226–256.

[6] M. Cowling, S. Meda y A.G. Setti. Estimates for functions of the Laplace operator on

homogeneous trees. Trans. Amer. Math. Soc. 352 (2000), no. 9, 4271–4293.

[7] G. H. Hardy y J. E. Littlewood. A maximal theorem with function-theoretic applications.

Acta Math. 54 (1930), 81–116.

[8] R. Johnsonbaugh. Matematicas Discretas. Pearson Educacion. Mexico. (2015)

[9] A. Koranyi y M.A. Picardello. Boundary behaviour of eigenfunctions of the Laplace

operator on trees. Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. 13 (1986), no. 4, 389–399.

[10] E. Kreyszig. Introductory Functional Analysis with Applications. John Wiley and sons.

Nueva York, Santa Barbara, Londres, Sydney, Toronto. (1978).

[11] C.C. Lin, K. Stempak y Y.S. Wang. Local maximal operators on measure metric spaces.

Publ. Mat. 57 (2013), no. 1, 239–264.

[12] A. Naor y T. Tao. Random martingales and localization of maximal inequalities. J. Funct.

Anal. 259 (2010), no. 3, 731–779.

76

BIBLIOGRAFIA 77

[13] J. Soria y P. Tradacete. Best constants for the Hardy-Littlewood maximal operator on

finite graphs. J. Math. Anal. Appl. 436 (2016), no. 2, 661–682.

[14] E. Stein. The development of square functions in the work of A. Zygmund. Bull. Amer.

Math. Soc. (N.S.) 7 (1982), no. 2, 359–376.

[15] A. Venero, Analisis Matematico. Ediciones Gemar . no. 2, Lima. (2012).

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