= f (x s P - Física y Química · Derivadas Página 1 / 36 DERIVADAS Definición de derivada. Se...

Derivadas

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DERIVADAS

Definición de derivada.

Se dice que una función es derivable en x = a y se denota por )(' af si existe el siguiente límite:

hafhaflímaf

h

)()()(0

−+=′

→ ó

axafxflímaf

ax −−

=′→

)()()(

A la derivada de una función en un punto se le llama también tasa de variación instantánea. Interpretación geométrica de la derivada.

La recta secante s corta a la curva y = f(x) en los puntos A y P.

Su pendiente es: h

afhafABPBtg )()( −+

==α

Si el punto P se va acercando al punto A , hasta confundirse con él, la recta secante s , se transforma en la recta tangente t y el ángulo α se transforma en el ángulo β, es decir, Cuando P → A, que es equivalente a decir que h→0, el límite de la recta secante s, es la recta tangente t Pero cuando α → β : βα tgtg → que es equivalente a βα tgtglím

h=

→0

Por tanto: )()()(lim00

afh

afhaflímtgtghh

′=−+

===→→

αβ t de pendiente

Queda probado que el significado geométrico la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente en dicho punto:

)(xfy = s

t

A

P

β

α

a a + h

f(a)

f(a+h)

B

h

)()( afhaf −+

Derivadas

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Ecuación de la r.t. para x = a : ))((')( axafafy −=− Derivadas laterales. Las definimos por las siguientes fórmulas:

Derivada por la derecha: h

afhaflímafh

)()()(0

−+=′

+→+ (también se denota )(' +af )

Derivada por la izquierda: h

afhaflímafh

)()()(0

−+=′

−→− (también se denota )(' −af )

Para que una función sea derivable en un punto tienen que existir las derivadas laterales y estas ser iguales. Ejemplo 1

Halla la derivada de la función 1

2)(+

=x

xf en el punto 3=x

Podemos seguir los siguientes pasos:

1º. 21

42

132)3( ==+

=f ;

2º. hh

hf+

=++

=+4

213

2)3(

3º. )4(2)4(2

)4.(1421

42)3()3(

hh

hh

hfhf

+−

=++−

=−+

=−+

4º. 81

)4(21

)4(2)4(2

000

−=

+−

=+

−=

+−

→→→ hlím

hhhlím

hh

h

límhhh

Ejemplo 2

Dada la función 2)( xxf = , halla la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x = 2

La pendiente de la recta tangente es el valor de la derivada: f’(2)

Para calcular f’(2) :

+=−++=−+

++=+=+

==

hhhhfhf

hhhhf

f

4444)2()2(

44)2()2(

42)2(

22

22

2

4)4()4(4)2()2()2(00

00

2

00=+=

+=

+=

−+=′=

→→→→hlím

hhhlím

hhhlím

hfhflímfm

hhhh

Las coordenadas del punto son: x = 2 f(2) = 4 ⇒ P(2, 4)

Aplicando la fórmula de la ecuación punto-pendiente:

)2()2(')2( −⋅=− xffy ⇒ )2(44 −=− xy

Derivadas

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Ejemplo 3

Sea

≥+−

<−=

21

925

)(x

x

xxxf . Calcula f’(2)

Como es una función a trozos (en x = 2 se cambia de función) se calculan las derivadas laterales:

:)2('−f

1º.- Calculo f(2)= 312

9−=

+−

2º.- Calculo f(2+h) con −→ 0h ⇒ f(2+h) < 2 ⇒ 35)2()2( −=−+=+ hhhf 3º.- hhfhf =−−−=−+ )3(3)2()2(

4º.- 11limlim)2()2(lim)2('000

===−+

=−−− →→→

−hhh h

hh

fhff

:)2('+f

1º.- f(2)= 312

9−=

+−

2º.- f(2+h) con +→ 0h ⇒ f(2+h) > 2 ⇒ 3

91)2(

9)2(+−

=++

−=+

hhhf

3º.- 3

33

)3(39)3(3

9)2()2(+

=+

++−=−−

+−

=−+h

hh

hh

fhf

4º.- 13

3lim)3(

3lim33

lim)2()2(lim)2('0

00

000=

+=

+⋅=+=

−+=

++++ →→→→+ hhh

hh

hh

hfhff

hhhh

Resumiendo como 1)2(')2(' == +− ff ⇒ 1)2(' =f

Ejemplo 4

Sea

−≥+−<−=

1111)(

2

xxxxxf . Calcula f’(-1)

Como es una función a trozos (en x = -1 se cambia de función) se calculan las derivadas laterales: :)1(' −−f

1º.- f(-1) = 0 2º.- f(-1 + h) con −→ 0h ⇒f(-1 + h) < -1 ⇒ hhhhhhhf 21211)1(1)1()1( 2222 −=−−+=−−=−+−=+−

3º.- hhhhfhf 202)1()1( 22 −=−−=−−+−

4º.- 22lim)2(lim2lim)1()1(lim)1('00

00

2

00−=−=

−=

−=

−−+−=−

−−−− →→→→− h

hhh

hhh

hfhff

hhhh

:)1(' −+f

1º.- f(-1) = 0 2º.- f(-1 + h) con +→ 0h ⇒f(-1 + h) > -1 ⇒ hhhf =++−=+− 1)1()1( 3º.- hhfhf =−=−−+− 0)1()1(

4º.- 11limlim)1()1(lim)1('000

===−−+−

=−−++ →→→

+hhh h

hh

fhff

Resumiendo como )1(')1(' −≠− +− ff ⇒ )1(' −∃ fno

Derivadas

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Ejemplo 5

Sea

>+≤−=

01203)(

2

xxxxxf . Calcula f’(0)

Como es una función a trozos (en x = 0 se cambia de función) se calculan las derivadas laterales: :)0('−f

1º.- f(0) = 3 - 0 = 3 2º.- f(0+h) = f(h) con −→ 0h ⇒ f(h) < 0 ⇒ 23)( hhf −=

3º.- 22 33)0()( hhfhf −=−−=−

4º.- 0)(limlim)0()(lim)0('0

2

00=−=

−=

−=

−−− →→→− h

hh

hfhff

hhh

:)0('+f 1º.- f(0) = 3 - 0 = 3 2º.- f(0+h) = f(h) con +→ 0h ⇒ f(h) > 0 ⇒ 12)( += hhf 3º.- 22312)0()( −=−+=− hhfhf

4º.- +∞=−

=−

=−

=−++ →→→

+ 02lim22lim)0()(lim)0('

000 hhh hh

hfhff

Resumiendo como )0('+∃ fno ⇒ )0('fno ∃

Función derivada. La derivada de una función en un punto de abscisa x = a le asigna un número real, que es el valor de la derivada en dicho punto. También podemos considerar una función que asocie a cada x, el valor de la derivada en ese punto. Recibe el nombre de función derivada o simplemente derivada.

hxfhxflímxf

h

)()()(0

−+=′

→

Derivación y continuidad. Si una función es derivable en un punto ⇒ es continua en dicho punto.

El recíproco no es cierto: si la función es continua no tiene por qué ser derivable.

Veámoslo con un ejemplo:

Ejemplo 6 Veamos que esta función es continua en x = 2:

<+−≥−

=−=

2222

2)(xxxx

xxf

1.- 022)2( =−=f 2.- 0)2(lim)(lim

22=+−=

−− →→xxf

xx 0)2(lim)(lim

22=−=

++ →→xxf

xx ⇒ 0)(lim

2=

→xf

x

3.- =)2(f 0)(lim2

=→

xfx

2

2)( −= xxf

Derivadas

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Sin embargo no es derivable en dicho punto como vamos a ver:

102)2(lim)2()2(lim)2(00

−=−++−

=−+

=′−− →→

− hh

hfhff

hh

102)2(lim)2()2(lim)2(00

=−−+

=−+

=′++ →→

+ hh

hfhff

hh

∃ las derivadas laterales pero como no son iguales ⇒ la función no es derivable en x = 2 Derivadas de operaciones con funciones. Aplicando la definición de derivada se obtienen las siguientes fórmulas: Derivada de una suma o diferencia: gfgf ′±′=′± )( Derivada de un producto: fggfgf ⋅′+⋅′=′⋅ )(

Derivada de un cociente: 2gfggf

gf ⋅′−⋅′

=′

Ejemplo 7 Sean las funciones 2)( xxf = xxg 4)( =

hxhxhx

hxhx

hxfhxfxf

hhh

222

0

22

00

2lim)(lim)()(lim)( −++=

−+=

−+=′

→→→= xhx

hhxh

hh2)2(lim2lim

0

2

0=+=

+→→

44lim4)(4lim)()(lim)(

000==

−+=

−+=′

→→→ hh

hxhx

hxghxgxg

hhh

42)()( +=′+ xxgf

Derivada de una función compuesta: Regla de la cadena. Sea la función compuesta ( ))())(( xgfxgf =o

( ) )(')(')()( xgxgfxgf ⋅=′o es decir, la derivada de la composición de f y g es el producto de la derivada de f en

)(xg multiplicada por la derivada de g en x.

Cálculo de derivadas. Aplicando la definición, a través del límite, y teniendo en cuenta la regla de la cadena, se obtienen las derivadas de las siguientes funciones:

( ) )(')(')()( xgxgfxgf ⋅=′o

Derivadas

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TIPO FUNCIÓN DERIVADA

axy = 1−=′ aaxy Tipo potencial

[ ] axfy )(= [ ] )()( 1 xfxfay a ′⋅=′ − Ejemplos:

• 4xy = ⇒ 34xy =′

• 2xxy = = 2

3221

2

21

. −− == xxxxx ⇒

⇒ xxxxx

xxy2552

5251

23

23

2

31.231.

23

23.

23

−=−=−=−=−=−

=′−−

−

• 52 )23( −= xy ⇒ )23(30)23.()23(5 2242 −=′−−=′ xxxxy

• 3 2 3−= xy = 312 )3( −x ⇒

3 22

131

2

)3(.3

22)3(31

−=⋅−=′

−

x

xxxy

• 2)52(1+

=x

y = 2)52( −+x ⇒ 333

)52(42.)52(2)52.()52(2+−

=+−=′++−=′ −−

xxxxy

TIPO FUNCIÓN DERIVADA xy =

xy

21

=′

Tipo raíz cuadrada )(xfy = )(2

)(xf

xfy′

=′

Ejemplo:

• xxy 32 −= ⇒ xx

xy32

322 −

−=′

TIPO FUNCIÓN DERIVADA xey =

xey =′

)(xfey = )()( xfey xf ′⋅= xay = aay x ln⋅=

Tipo exponencial

)(xfay = axfay xf ln)()( ⋅′⋅=

Derivadas

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Ejemplos: • xey −= ⇒ xx eey −− −=−=′ )1.( • 23 += xey ⇒ 232323 33)23( +++ =⋅=′+⋅=′ xxx eexey • xy 2= ⇒ 2ln22 ⋅=′ xy

• 125 += xy ⇒ 5ln525ln)1(5 121 22

⋅=⋅′+⋅=′ ++ xx xxy

TIPO FUNCIÓN DERIVADA xy ln=

xy 1=′

( ))(ln xfy =

)()(

xfxfy

′=′

xy alog=

axy

ln11

⋅=′

Tipo logarítmico

)(log xfy a=

axfxfy

ln1

)()(⋅

′=′

Ejemplos:

• )52ln( 3 xxy += ⇒ xx

xxxxxy

5256

52)52(

3

2

3

3

++

=+

′+=′

• xy 2log= ⇒ 2ln

12ln

11xx

y =⋅=′

• )14(log3 += xy ⇒ 3ln)14(

43ln

114

43ln

114)14(

⋅+=⋅

+=⋅

+′+

=′xxx

xy


senxy =

xy cos=′

Tipo seno ( ))(xfseny =

( ) )()(cos xfxfy ′⋅=′

Ejemplos: • )14( −= xseny ⇒ )14cos(4)14()14cos( −=′−⋅−=′ xxxy • xseny 3= = 3)( xsen ⇒ xxsenxsenxseny cos3)()(3 22 ⋅=′⋅=′ • )2xseny ( = ⇒ 222 cos2)(cos xxxxy =′⋅=′ • )22( 32 xxseny += 2])22([ 3 xxsen += ⇒

⇒ )26()22cos()2)22([)22(2 2333 +⋅+⋅+=′+⋅+=′ xxxxxxsenxxseny 32sen(2x]

Derivadas

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xy cos=

senxy −=′

Tipo coseno ( ))(cos xfy =

( ) )()( xfxfseny ′⋅−=′

Ejemplos: • xy 5cos= ⇒ xsenxxseny 55)5(5 −=′⋅=′

• xy cos= ⇒xxsenxsen

xxxseny

221)( −=−=′⋅−=′


tgxy =

xtgx

y 22 1

cos1

+==′ Tipo tangente

( ))(xftgy =

( ) )(')((1)()(cos

1 22

xfxftgxfxf

y ⋅+=′⋅=′

Ejemplos:

• xtgy 5= ⇒ x

xx

y5cos

5)5(5cos

122 =′⋅=′

• xtgy 2= 2)( xtg = ⇒ xxtg

xxtgxtgtgxy 22 cos

2cos

12)(2 =⋅=′⋅=′


ctgxy = xctgxsen

y 22

11−−=

−=′

Tipo cotangente ( ))(xfctgy =

( ) )(')(1)()(

1 22

xfxfctgxfxfsen

y ⋅−−=′⋅−

=′

Ejemplos:

• 2xctgy = ⇒ 222

222)(1

xsenxx

xseny −

=′⋅−

=′

• xectgy = ⇒ x

xx

x esenee

eseny 22 )(1 −

=′⋅−

=′

Derivadas

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arcsenxy = 21

1

xy

−=′

( ))(xfarcseny =

( ))(

)(1

12

xfxf

y ′⋅−

=′

xy arccos=

21

1

xy

−

−=′

( ))(arccos xfy = ( )

)()(1

12

xfxf

y ′⋅−

−=′

arctgxy = 21

1x

y+

=′

Funciones arco

( ))(xfarctgy =

( )

)()(1

12

xfxf

y ′⋅+

=′

Ejemplos:

• 2xarcseny = ⇒ 4

222 1

2)()(1

1

x

xxx

y−

=′⋅−

=′

• )( xearctgy = ⇒ x

xx

x eee

ey 22 1

)()(1

1+

=′⋅+

=′

• xarcy 5cos = ; 22 251

5)5()5(1

1

xx

xy

+

−=′⋅

+

−=′

Ecuación de la recta tangente y normal a una curva en uno de sus puntos.

Para hallar la ecuación de la recta tangente (r.t.) a la curva en el punto de abscisa x = a, procedemos de la forma siguiente:

• Hallamos el valor de la función en dicho punto: f(a) con lo que obtenemos el punto por donde pasa la r.t.: ))(,( afa

• Calculamos la pendiente de la recta que es el valor de la derivada en el punto considerado: )(afm ′=

• Aplicamos la fórmula de la ecuación punto – pendiente )( 00 xxmyy −=− , es decir, ))(()( axafafy −′=−

La recta normal (r.n.) a una curva en un punto ))(,( afa es la recta perpendicular a la r.t. en ))(,( afa .Por tanto como ambas rectas son perpendiculares y la relación que hay entre sus pendientes es: la recta “r” y la recta “s” son perpendiculares ⇒ mr . ms = -1 ⇒ mr = -1 / ms Siendo mr la pendiente de la recta “r” y ms la pendiente de la recta “s”

Se deduce que la pendiente de la r.n. es: )('

1af

−

a

)(af

)(xfy =

r.t.

r.n.

Derivadas

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Para hallar la ecuación de la r.n. a la curva en el punto de abscisa x = a, procedemos de la forma siguiente:

• Hallamos el valor de la función en dicho punto: f(a) con lo que obtenemos el punto por donde pasa la r.t.: ))(,( afa

• Calculamos )(af ′ ⇒ la pendiente de la recta normal es )('

1af

−

• Aplicamos la fórmula de la ecuación punto – pendiente: )()(

1)( axaf

afy −′−

=−

Ejemplo 8

Ecuación de recta tangente y normal a la curva 13)( 2 +−= xxxf , en el punto de abscisa x = 4

r.t. : • x = 4 ⇒ 514.34)4( 2 =+−=f ⇒ La recta pasa por el punto )5,4( • 13)( 2 +−= xxxf ⇒ 32)( −=′ xxf : 534.2)4( =−=′= fm • La recta tangente es: )4)(4(')4( −=− xffy ⇒ )4(55 −=− xy

r.n. : • La recta pasa por el punto )5,4( calculado anteriormente

• 51

)4(1 −

=′−

=f

m

• La recta normal es: )4(515 −−

=− xy

Manera práctica de calcular la derivabilidad de una función a trozos en x = a

Sea la función y =

>≤

axxgaxxf

)()(

Lo primero que se estudia es la continuidad. Caben dos opciones:

f no continua en x = a ⇒ f no derivable en x = a

f continua en x = a :

f’-(a) = f’+(a) ⇒ f derivable en x = a y f’(a) = f’-(a) = f’+(a)

f’-(a) ≠ f’+(a) ⇒ se estudia la derivabilidad en x = a aplicando la definición

Ejemplo 9

(a) Estudia la derivabilidad de la siguiente función

>−

≤−=

35

312)( 2 xx

xxxf

Antes y después de x = 3 la función es polinómica, luego derivable

Para estudiar la derivabilidad en x = 3 se estudia previamente la continuidad:

=−=

=−=

∃−

=−⋅=∃−

++

−−

→→

→→

→ 4)5(lim)(lim

5)12(lim)(lim:)(lim.2

5132)3(.1

233

33

3 xxf

xxfxfno

f

xx

xx

x

⇒ f no continua en x = 3 ⇒ f no derivable en x = 3

Resumiendo: f es derivable en ℜ - {3} y

><

=3232

)('xxx

xf

Derivadas

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(b) Estudia la derivabilidad de la siguiente función en x = 1 :

≥+−

<−=

12

112)(

xx

xxx

xf

Continuidad en x = 1:

=+−=

=−

==∃−

=+−=∃−

++

−−

→→

→→→ 1)2(lim)(lim

112

lim)(lim:1)(lim.2

121)1(.1

11

111 xxf

xxxf

porquexf

f

xx

xxx

⇒ f continua en x = 3

Derivadas laterales en x = 1:

=>−

<−

−

=1?11

1)12(

1

)('

2

xx

xx

xf ⇒

−=

−=−

=

+

−

1)1('

111)1('

f

f

Resumiendo:

1111

1 -) f'( y e en x f derivabl

iguales en x laterales derivadas en x f continua

==⇒

==

≥−

<−

−

=

11

1)12(

1)(' 2

x

xxxf

(c) Estudia la derivabilidad de la siguiente función en x = -1

−≥+

−<+=

12

312

)(2

xx

xxxf

Continuidad en x = -1:

=+

=

=+=

=∃−

=−∃−

++

−−

→−→

→−→

−→ 32

3lim)(lim

3)2(lim)(lim:3)(lim.2

3)1(.1

11

211

1x

xf

xxfporquexf

f

xx

xx

x

⇒ f continua en x = 3

Derivadas laterales en x = -1:

−=

−>+

−−<

=

1?

1)2(

312

)('2

x

xx

xx

xf ⇒

−=−−=−

+

−3)1('2)1('

ff

Como las derivadas laterales en x = -1 no son iguales aplicamos la definición de derivada:

h

fhffh

)1()1(lim)1(0

−−+−=−′

−→:

−=+⋅

−=

+⋅+−

=−

++−=−−+−

=−′

−=−=−

=−++−

=−−+−

=−′

−−−+

−−−−

→→→→+

→→→→−

3)1(

3lim)1()1(33lim

321

3

lim)1()1(lim)1(

2)2(lim2lim32)1(lim)1()1(lim)1(

0000

0

2

0

2

00

hhh

hhh

hh

hfhff

hh

hhh

hh

fhff

hhhh

hhhh

Derivadas

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Así pues f no es derivable en x = -1

Ejercicios resueltos 1.- Deriva las siguientes funciones:

a) 53 )12( −= xxy ; b) 1212

−+

=xxy ; c)

xxy

+= 3

2

Solución:

a) 53 )12( −= xxy ⇒

( ) )316()12(10)12(3)12(.2.)12(5)12(3 42423452 −−=+−−=−+−=′ xxxxxxxxxxxy

b) 1212

−+

=xxy ⇒ 222 )12(

4)12(

2424)12(

)12(2)12(2−−

=−

−−−=

−+−−

=′xx

xxx

xxy

c) 133 )(22 −+=+

= xxxx

y ⇒ 23

2223

)()13(2)13()(2

xxxxxxy+

+−=++−=′ −

2.- Halla las derivadas de las funciones siguientes: )14ln()( += xxf , 2)13cos()( += xxg , xsenxxh 2cos)( =

Solución:

)14ln()( += xxf ⇒ 14

4)(+

=′x

xf

2)13cos()( += xxg ⇒ 2222 )13()13(63)13(2)13()13[()13()( ++−=⋅+⋅+−=′+⋅+−=′ xsenxxxsenxxsenxg ]

xsenxxh 2cos)( ⋅= ⇒ senxxsenxxsenxxsenxxxh ⋅−⋅=⋅⋅−+⋅=′ 222coscos)22(2coscos)( 3.- Demuestra, aplicando la definición, que la derivada de una constante es 0. Solución: Sea la función constante kxf =)( Como la función es constante: khxf =+ )(

Entonces: 00limlim)()(lim)(00

==−

=−+

=′→→→ ohhh h

kkh

xfhxfxf

4.- Aplicando logaritmos, halla la derivada de la función xxy = Solución: Sería un error derivar como si fuese una función potencial. Estamos en el caso de derivadas del tipo gfy = que se resuelven aplicando logaritmos neperianos y derivando los dos miembros de la expresión resultante, es decir,

xxy = ⇒ aplicando logaritmos: xxy lnln = ⇒ aplicando propiedades: xxy lnln ⋅=

Derivamos los dos miembros: xx

xyy

⋅+⋅=′ 1ln1 ⇒ x

yy ln1+=′

Derivadas

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Despejamos la derivada: )1(ln +⋅=′ xyy Como xxy = se obtiene finalmente: )ln1( xxy x +⋅=′

5.- Halla la derivada de la función 11ln 2

2

+

−=

xxy

Solución: Antes de derivar es conveniente desarrollar la expresión logarítmica:

11ln 2

2

+

−=

xxy

Derivando:

1

4

)1)(1(

4

)1)(1(

2222

)1(

)1(2)1(2

1

142222

33

22

22

2

2

−=

+−=

+−

+−+=

+

−−+⋅

−

+=′

x

x

xx

x

xx

xxxx

x

xxxx

x

xy

6.- Deriva y simplifica: 2)1(2+

=x

xy

Solución:

Aplicando la fórmula de la derivada de un cociente:

3344

2

)1(22

)1(4)1(2

)1(4)1(2)[1(

)1(2)1(2)1.(2

+

−=

+

−+=

+

−++=

+

⋅+−+=′

xx

xxx

xxxx

xxxxy ]

7.- Deriva y simplifica: xx

xx

eeeey−

−

−

+=

Solución:

2

22

2 )(

)()(

)(

)()()()(xx

xxxx

xx

xxxxxxxx

ee

eeee

ee

eeeeeeeey−

−−

−

−−−−

−

+−−=

−

+⋅′−−−⋅′+=′

Realizando las operaciones del numerador:

22

2222

)(

4

)(

)2()2(xxxx

xxxx

eeee

eeeey−−

−−

−

−=

−

++−−+=′ ( 202)(22 =⋅=−+⋅=−⋅⋅ exxexexe )

8.- Deriva y simplifica la función xxy

cos1cos1ln

−+

=

Solución: Antes de derivar desarrollamos el logaritmo:

xx

xx

xxy

cos1cos1ln

21

cos1cos1ln

cos1cos1ln

21

−+

⋅=

−+

=−+

=

Derivamos:

)cos1)(cos1(coscos

21

)cos1(

)cos1()cos1(cos1cos1

21

2 xxxsenxsenxxsenxsenx

x

xsenxxsenxxxy

−+⋅−−⋅+−

⋅=−

+⋅−−⋅−⋅

+−

⋅=′

Derivadas

Página 14 / 36

Simplificando: senxxsen

senxx

senxy 1cos12

21

22 −=−

=−−

⋅=′

9.- Halla la pendiente de la recta tangente a la curva 1)( 2 ++= xxxf en el punto de

abscisa x = 2. Escribe la ecuación de dicha recta y de la recta normal.

Solución:

La pendiente es el valor de la derivada en x = 2:

12)( +=′ xxf ⇒ Pendiente: 512.2)2( =+=′= fm

Ecuación de la recta tangente: )2)(2(')2( −=− xffy

Ecuación de la recta normal: )2()2('

1)2( −−

=− xf

fy

Necesitamos las coordenadas del punto: si x =2 : 7122)2( 2 =++=f ⇒ P(2, 7)

r.t.: )2(57 −=− xy r.n.: )2(517 −−

=− xy

10.- Se considera la función

>−≤<+

≤=

212201

01)(

xsixxsi x

xsixf

Estudia si es derivable en los puntos x = 0 y x = 2

Solución:

=∃>

<<<

=′

2,022

20100

)(

xnox

xx

xf

Punto x = 0 :

=−+

=−+

=′

==−

=−+

=′

−+

−−−

→→+

→→→−

111lim)0()0(lim)0(

00lim00lim)0()0(lim)0(

00

000

hh

hfhff

hhfhff

hh

hhh

Las derivadas laterales existen pero no son iguales ⇒ la función no es derivable en x = 0

Punto x = 2:

===−−+⋅

=−+

=′

===−++

=−+

=′

++++

−−−−

→→→→+

→→→→−

22lim2lim31)2(2lim)2()2(lim)2(

11limlim312lim)2()2(lim)2(

0000

0000

hhhh

hhhh

hh

hh

hfhff

hh

hh

hfhff

Existen las derivadas laterales pero no son iguales ⇒ la función no es derivable en x = 2

Derivadas

Página 15 / 36

11.- Estudia la derivabilidad de la siguiente función a trozos y calcula su función derivada:

>−−

≤<+−

≤−

−

=

2132

203

01

3

)(2

2

xxx

xx

xx

x

xf

Solución:

==>−

<<−

<−

−+−

=

20?232

201

0)1(

16

)('

22

2

xóxxx

x

xx

xx

xf

x < 0 f1 es una función derivable en ℜ - {-1 , 1 } ⇒ f es derivable en x < 0 y x ≠ -1 0 < x < 2 f2 es una función derivable en ℜ ⇒ f es derivable en 0 < x < 2 x > 2 f3 es una función derivable en ℜ ⇒ f es derivable en x > 2 x = 0 Se estudia previamente su continuidad:

− ⇒

==

=+−=

=−

−=

=∃

=−−

=∃

→

→→

→→→

++

−−

3)(lim)0(

3)3(lim)(lim

31

3lim)(lim:3)(lim

313)0(

0

00

2000

xff

xxfx

xxfporquexf

f

x

xx

xxx

f continua en x = 0

− Partiendo de que f es continua en x = 0 se estudia la continuidad de la función derivada en x = 0:

⇒

−=

−=−

−+−=

+

−

1)0('

1)10(

100)0('2

f

ff es derivable en x = 0 y 1)0(' −=f

Nos basamos en el siguiente resultado: Si una función y = f(x) es continua en x = a y sus derivadas laterales son iguales entonces la función es derivable en x = a y su derivada es igual al valor de las derivadas laterales.

x = 2 Se estudia previamente su continuidad:

− ⇒

==

=−−=

=+−=

=∃

=+−=∃

→

→→

→→

→++

−−

1)(lim)2(

1)132(lim)(lim

1)3(lim)(lim:1)(lim

132)2(

2

222

02

2

xff

xxxf

xxfporquexf

f

x

xx

xx

x f continua en x = 2

1

3)(21−

−=

x

xxf 3)(2 +−= xxf 132)( 23 −−= xxxf

0 2

Derivadas

Página 16 / 36

− Partiendo de que f es continua en x = 2 se estudia la continuidad de la función derivada en x = 2:

⇒

=−⋅=−=

+

−1322)2('

1)2('ff

Como las derivadas laterales no son iguales se aplica la definición

no existe =)2('fh

fhfh

)2()2(lim0

−+

→ puesto que:

=+=+

=−−+−+⋅

=−+

=′

−=−=−

=−++−

=−+

=′

+++++

−−−−

→→→→→+

→→→→−

1)12(limlim2lim11)2(3)2(2lim)2()2(lim)2(

11limlim13)2(lim)2()2(lim)2(

00

2

0

2

00

0000

hh

hhh

hhh

fhff

hh

hh

hfhff

hhhhh

hhhh

12.- Estudia la derivabilidad de la siguiente función a trozos según los valores de “m” y “n”

y calcula su función derivada:

>++

≤−+

=

0

011

)(2

2

xnmxx

xx

xxf

x < 0: la función es derivable en su dominio: ℜ-{1}⇒ f derivable en x < 0

x > 0: la función es polinómica luego derivable

x = 0: Se calcula m y n imponiendo la derivabilidad en x = 0:

f continua en x = 0: f(0) = )(lim)(lim00

xfxfxx +− →→

= ⇒ 1

1−

= n ⇒ n = -1

f’- (0) = f’+ (0): 11− = m ⇒ m = -1

>+

≤−

−−=

02

0)1(

12)(' 2

2

xmx

xx

xxxf

Ejercicios propuestos

1.- Deriva y simplifica las siguientes funciones:

a) 13)( 2 −

+=

xxxf b) 2)5(

3)(−

=x

xg c) 123 25)( −+= xxxh d) 2)5(

32++

=x

xy

2.- Deriva y simplifica las siguientes funciones logarítmicas:

(a) )132ln( 2 +−= xxy (c) )65(log 22 +−= xxy

(b) 32ln −= xy (d) senxsenxy

−+

=11ln

3.- Calcula:

(a) Derivada de 14)( 4 −+= xxxf en el punto de abscisa x = 1 (b) Derivada de )3ln()( += xxf en x = 2 (c) Derivada de )45cos()( += xxf en x = π

Derivadas

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4.- Sea la función 3 1)( −= xxf

(a) Calcula la función derivada de f

(b) ¿Es derivable en x = 1?

(c) Ecuación de la recta tangente y normal a la función en x = 1

5.- ¿Qué valores han de tener a y b para que la función

>+

≤+−=

2

232)(

2

2

xbax

xxxxf

sea derivable en x = 2? 6.- Halla la ecuación de la recta tangente y normal a la curva xseny 23 ⋅= en el punto de abscisa x = 0

7.- Sea la función:

≥+

<−+

=0

12

01

)1(

)(x

axx

xx

xa

xf Sol : a=1

Calcular " a " para que ésta función sea derivable. 8.- El espacio recorrido por un móvil viene dado por la función 13)( 2 +−= ttts donde s se

mide en metros y t en segundos. Calcula la velocidad en el instante t = 2 segundos. 9.- Utilizando la definición de derivada, demuestra que la derivada de axy = es a.

10.- Di si la función

>≤−=

1221)(

2

xsix-sixxf

1x es derivable en x = 1.

11.- Deriva y simplifica:

xxy

−+

=11ln ;

xaxay

−+

= ln ; x

senxycos1+

= ; mxsenarcy = ; 2

2

11cos

xxarcy

+−

= ; 3 2)35( −= xy

(Sol. 211x−

; 222

xaa−

; xcos1

1+

; 221 xm

m

−; 21

2x+

; 3 353

10

−⋅ x)

12.- De la función f : (0, +∞) → ℜ definida por f (x) = x

bax +2se sabe que la recta tangente a

su gráfica en el punto de abscisa x = 1 viene dada por y = − 2. Calcula a y b. (Sol: a = b = -1) 13.- Se sabe que la función f : (− 1, 1) → ℜ es derivable en su dominio y viene definida por

<≤−

<<−+−=

101

01212

)(2

xsix

xsicxxxf

(a) Determina el valor de la constante c.

(b) Calcula la función derivada f ‘ .

(c) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de f que son paralelas a la recta de ecuación y = x.

14.- Calcular “b” para que en la función 93)( 232 +++= xbxxbxf las rectas tangentes en x = 1 y x=2 sean paralelas. (Sol: b=-2/9 )

Aplicaciones de la derivada

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APLICACIONES DE LA DERIVADA Crecimiento y decrecimiento Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decrecien-te en dicho punto:

Una función f(x) es creciente en un punto a, si su derivada es positiva Una función f(x) es decreciente en un punto a, si su derivada es negativa.

Es decir,

Si axfaf =⇒>′ en creciente es 0)( Si axfaf =⇒<′ en edecrecient es 0)(

Observamos:

La función derivada es la función de las pendientes de las rectas tangentes, se observa que si la función es creciente las pendientes son positivas y negativas si la función es decre-ciente

Resumiendo podemos decir:

f es creciente en x = a ⇒ f’(a) ≥ 0 f es decreciente en x = a ⇒ f’(a) ≤ 0

a a+h

f(a)

f(a+h) t

creciente

a

f(a+h)

f(a)

a+h

decreciente

0)()()(0

≥−+

=′→ h

afhaflímafh

0)()()(0

≤−+

=′→ h

afhaflímafh


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En sentido contrario (que es lo que vamos a utilizar para los problemas):

f’(a) > 0 ⇒ f es creciente en x = a f’(a) < 0 ⇒ f es decreciente en x = a f’(a) = 0 ⇒ no se sabe como vemos a continuación gráficamente: Estudiar la monotonía de una función es hallar los intervalos en los que es creciente y de-creciente:

Se procede de la siguiente forma:

• Se halla la derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante • Con los puntos en los que se anula la derivada y las discontinuidades de la función

derivada dividimos el dominio en intervalos. • Se estudia el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada uno de los interva-

los resultantes. Ejemplo 1 Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 296)( 23 ++−= xxxxf

Hallamos la derivada: 9123)( 2 +−=′ xxxf Igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante:

09123 2 =+− xx ⇒ 0342 =+− xx ⇒

=±

=−±

=13

224

212164x

Discontinuidades de f’ : no tiene por ser polinómica Dividimos el dominio ℜ por los puntos 3 y 1 y obtenemos los intervalos

)1,(−∞ , )3,1( y ),3( +∞ Estudiamos el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada intervalo:

Para x = 0: 9)0( =′f ⇒ f’ es positiva en )1,(−∞ Para x = 2: 3)2( −=′f ⇒ f’ es negativa )3,1( Para x = 4: 9)4( =′f ⇒ f’ es positiva en ),3( +∞

La monotonía de la función queda reflejada en la siguiente tabla:

Intervalos (- ∞, 1) (1, 3) (3, +∞) Signo de la derivada + - + Función

f es decreciente en x = a f’(a) = 0

f es creciente en x = a f’(a) = 0

f tiene mínimo en x = a f’(a) = 0

f tiene máximo en x = a f’(a) = 0


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Ejemplo 2

Estudia la monotonía de la función 1

)(2

−=

xxxf

Hallamos la derivada: 2

2

)1(

2)('−

−=

x

xxxf

Igualamos a cero f’ y resolvemos la ecuación resultante:

0)1(

22

2=

−

−

x

xx ⇒ 022 =− xx ⇒ 0)2( =−⋅ xx ⇒ x = 0 y x = 2

Discontinuidades de f’ : (x – 1)2 = 0 ⇒ x – 1 = 0 ⇒ x = 1 Dividimos la recta real por los puntos 0 , 1 y 2 obteniendo los intervalos

)0,(−∞ , )1,0( , )2,1( , ),2( +∞ Estudiamos el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada intervalo:

Para x = -1: +

=−′3)1(f ⇒ f’ es positiva en )0,(−∞

Para x = 0’5: +

−=′ 75'0)5'0(f ⇒ f’ es negativa )1,0(

Para x = 1’5: +

−=′ 75'0)5'1(f ⇒ f’ es negativa )2,1(

Para x = 3: +

=′ 3)3(f ⇒ f’ es positiva en ),2( +∞

La monotonía de la función queda reflejada en la siguiente tabla:

Intervalos (- ∞, 0) (0, 1) (1,2) (2, +∞) Signo de la derivada + - - + Función

Máximos y mínimos

Son los puntos en los que la función cambia de monotonía, luego la derivada en estos puntos cambia de signo por lo que estos puntos se encuentran entre las soluciones de la ecuación f’(x) = 0

Si una función derivable presenta un máximo o un mínimo en un punto ),( bac∈ ⇒ 0)( =′ cf

En el punto de abscisa x = c la función pasa de creciente a decreciente Geométricamente significa que la tangente en el punto x = c es horizontal

Cálculo de máximos y mínimos

Existen dos formas de determinar los extremos (máximos y mínimos) de una función:


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1ª forma: criterio de la 1ª derivada: con el signo de la función derivada, determinando simultáneamente la monotonía y los extremos de la función:

• Se determinan los intervalos de crecimiento y decrecimiento. • Existe máximo relativo en los puntos en los que la función pasa de creciente a

decreciente (y no son discontinuidades de la función). • Existe mínimo relativo en los puntos en que pasa de decreciente a creciente (y

no son discontinuidades de la función).

Ejemplo 3

f(x) =x

x 12 + ⇒ f’(x) = 2

2

2

2 1)1.(1.2x

xx

xxx −=

+−

Monotonía de f ≡ Signo de f’ ≡

=±=⇒=−⇒=

0:)('1010)(' 2

xxfdeidadesDiscontinuxxxf extremosposibles

Signo de f’ Monotonía de f Resumiendo:

2ª forma: Criterio de la segunda derivada:

Si 0)( =′ cf y ∃ la segunda derivada ⇒

⇒==⇒<=⇒>

?

00)(''0)(''

f''(c) c en x hay máximocf c en x hay mínimocf

• Calculamos la primera derivada, la igualamos a cero y resolvemos la ecuación resul-tante.

• Hallamos la segunda derivada. • Las raíces de la ecuación obtenida se sustituyen en la segunda derivada. • Si el resultado obtenido es positivo existe mínimo y si es negativo máximo.

Ejemplo 4 Halla los máximos y mínimos de la función 33)( xxxf −=

Hallamos la 1ª derivada y resolvemos la ecuación 0)( =′ xf :

033)( 2 =−=′ xxf ⇒ 12 =x ⇒ 1±=x Hallamos la 2ª derivada: xxf 6)( −=′′

Valores de la segunda derivada en los puntos obtenidos:

06)1(6)1( >=−−=−′′f ⇒ ∃ mínimo para x = - 1 061.6)1( <−=−=′′f ⇒ ∃ máximo para x = 1

Si se pidiera también tendríamos calculado la monotonía (puesto que la función es polinómica luego continua, la monotonía cambia cuando hay un extremo):

f’(-2) =43

= + = f’(2)

f’(-0’5) = 25'075'0−

= - = f’(0’5)

-1 1 0 + + - -

-1 1 0

f creciente: (-∞ , -1) ∪ (1 , + ∞) f decreciente: -1 , 0) ∪ (0 , 1) Máximo relativo: (-1 , f(-1)) = (-1 , -2) Mínimo relativo: (1 , f(1)) = (1 , 2)

min x = -1

máx x = 1


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Boceto de la gráfica:

Resumiendo: Monotonía de f ≡ signo de f’ ≡ =

')(0)('

fdeidadesdiscontinuextremosposiblesxf

Concavidad y convexidad Los conceptos de convexidad y concavidad son relativos y depende del criterio que se adopte, el nuestro será el de mirar la gráfica desde abajo: Función cóncava ≡ ∩ Función convexa ≡ ∪ Se observa:

» La función es convexa en un intervalo si la gráfica de la función queda encima de la recta tangente en un punto cualquiera del intervalo.

» La función es cóncava cuando la gráfica queda por debajo.

Puntos de inflexión son aquellos en los que la función cambia de convexa a cóncava o de cóncava a convexa. Tenemos el siguiente criterio para funciones derivables: 0)( >′′ af ⇒ f es convexa en x = a 0)( <′′ af ⇒ f es cóncava en x = a 0)( =′′ af ⇒ ?

Estudiar la curvatura de una función consiste en hallar los intervalos en los que es cóncava y convexa. Se procede de la siguiente forma:

• Se halla la segunda derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante. • Con los puntos en los que se anula la derivada y las discontinuidades de f’’ dividimos

la recta real en intervalos. • Se estudia el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada uno de los interva-

los resultantes.

Resumiendo: Curvatura de f ≡ Monotonía de f’ ≡ signo de f’’ ≡ =

'f'deidadesdiscontinuinflexión de puntos(posibles0(x)'f' )

Mínimo(-1,-2)

Máximo(1, 2)

convexa

cóncava


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Ejemplo 5

Halla los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de la función 46)( 24 +−= xxxf

» Primera derivada: xxxf 124)( 3 −=′

» Segunda derivada: 1212)( 2 −=′′ xxf

» Se iguala a 0 la segunda derivada: 01212 2 =−x ⇒ 012 =−x ⇒ 1±=x

» Discontinuidades: no tiene

» Dividiendo la recta real por los puntos –1 y 1 se obtienen los siguientes interva-los: ),1()1,1(),1,( +∞−−−∞ y

» Estudiamos el signo de la segunda derivada en un punto cualquiera de cada intervalo: • Para x = -2: 03612)2.(12)2( 2 >=−−=−′′f ⇒ función convexa • Para x = 0: 012)0( <−=′′f ⇒ función cóncava • Para x = 2: 036)2( >=′′f ⇒ función convexa

La curvatura queda reflejada en la siguiente tabla:

Intervalos (- ∞, -1) (-1, 1) (1, +∞) Signo de la 2ª derivada + - + Función ∪ ∩ ∪

Existen puntos de inflexión para x = -1 y para x = 1

Ejemplo 6

Halla los intervalos monotonía y curvatura, los extremos y puntos de inflexión de la función

f(x) = 2

342

−+−

xxx

f’(x) = 2

2

)2()34(1)2()42(

−

+−⋅−−⋅−

xxxxx = 2

2

)2()54(

−

+−

xxx f’’(x) =

3)2(

2

−

−

x

Monotonía de f ≡ Signo de f’

=⇒=−⇒∃⇒∃⇒=+−⇒=

202'0540)(' 2

xxfdeidadesDiscontinuextremosnosolnoxxxf

Signo f’ f’(0) = 5/4 > 0 f’(3)= 2 > 0

Monotonía f ⇒ la función f(x) siempre es creciente

Curvatura de f ≡ Monotonía de f’ ≡ Signo de f’’

=⇒=−⇒∃⇒∃⇒=

202''inf0)(''

xxfdeidadesDiscontinulexiónpuntosnosolnoxf

Signo f’’ f’’(0) = -2/-8 > 0 f’’(3)= -2 < 0

Curvatura f

∪ ∩ 2

+ - 2

2

+ + 2


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Resolución de problemas de optimización. Son problemas en los que se trata de optimizar una función. Por ejemplo, en una producción obtener los mayores beneficios con los mínimos gastos. Con los datos del problema hay que construir una función que se ha de maximizar o minimi-zar dentro de las condiciones exigidas (generalmente esa función depende de varias varia-bles de las que existen relaciones entre ellas).

Ejemplo 7

De una lámina cuadrada de lado 10 cm. se cortan cuadrados en cada uno de los vértices con el objeto de hacer una caja abierta por arriba. Calcula el lado del cuadrado que se debe cortar para que el volumen de la caja sea máximo.

Volumen de la caja = xxx )210)(210( −− : xxxV )440100( 2+−= (Función a maximizar)

xxxV 100404 23 +−= ⇒ 1008012 2 +−=′ xxV y 8024 −=′′ xV

01008012 2 =+− xx ⇒ 025203 2 =+− xx ;

=±

=±

=3

55

61020

610020x

040805.24)5( >=−=′′V (mínimo, no se forma caja)

408035.24)3

5( −=−=′′V (máximo). La solución es 35=x

Ejemplo 8

Un pastor dispone de 1000 metros de tela metálica para construir un cerco rectangular aprovechando una pared ya existente. Halla las dimensiones del cerco a fin de que el área encerrada sea máxima. Perímetro = x + 2y = 1000 ⇒ x = 1000 – 2y

Área = x . y ⇒ )21000( yyA −= ⇒ 221000 yyA −= (Función a maximizar )

yA 41000 −=′ 4−=′′A A’ = 0 ⇒ 041000 =− y ⇒ y = 250

Como la segunda derivada es negativa se trata de un máximo.

5000250.2100021000 =−=−= yx Las dimensiones serán: 500 metros de largo y 250 de ancho.

10

x

y


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Ejercicios resueltos. 1.- Estudia el crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones en los puntos que se

indican: a) x

xf 2)( = en x = - 1; b) 1245)(

+−

=xxxf en x = 1

Solución:

a) 122)( −== xx

xf ; 2

2 22)(x

xxf −=−=′ −

0212

)1(

2)1( 2 <−=−

=−

−=−′f ⇒ La función es decreciente en x = -1

b) 1245)(

+−

=xxxf

222 )12(13

)12(810510

)12()45(2)12(5)(

+=

+

+−+=

+

−−+=′

xxxx

xxxxf

09

13

)11.2(

13)1( 2 >=+

=′f ⇒ La función es creciente en x = 1

Obsérvese que en la derivada obtenida el numerador es positivo y el denominador es siem-pre positivo por estar elevado al cuadrado por lo que la función es creciente no solo en x = 1 sino en todos los puntos de su dominio.

2.- Estudia la monotonía de la función xxey = Solución:

xxey = ⇒ )1(..1 xexeey xxx +=+=′

Monotonía de f ≡ signo de f’

−=⇒=+⇒=+⇒=∗

tienenofidadesDiscontinutremoposible exxxxexf x

:'1010)1(0)('

(∗: xe es siempre mayor que cero, luego la única solución posible se obtiene de la ecuación 1+x = 0) Dividiendo la recta real por el punto – 1 se obtienen dos intervalos )1,( −−∞ y ),1( +∞− Estudiamos el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada intervalo:

Para x = -2: 01)1.(1)21()2( 222 <−=−=−=−′ −

eeey (negativa)

Para x = 0: 01)01()0( 0 >=+=′ ey (positiva)

Signo de f’ Monotonía de f Se obtienen así los siguientes intervalos de crecimiento y decrecimiento:

Intervalos (-∞, -1) (-1, +∞)

Signo de la derivada - + Función

-1 - +

-1


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3.- Halla los valores de a y b en la función baxxxf ++= 2)( sabiendo que pasa por el punto P(-2, 1) y tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = -3

Solución:

baxxxf ++= 2)( ⇒ 02)( =+=′ axxf

Pasa por el punto (-2, 1) ⇒ 1)2()2( 2 =+−+− ba ⇒ 32 −=+− ba

Tiene un extremo para x = -3 ⇒ su derivada se anula en -3: f’(-3)= 0 ⇒ 0)3(2 =+− a ⇒ a = 6

Sustituyendo en la ecuación 32 −=+− ba se obtiene el valor de b : -12 + b = -3 ⇒ b = 9

4.- Halla a, b y c en la función dcxbxaxxf +++= 23)( sabiendo que el punto P(0,4) es un máximo y el punto Q(2,0) un mínimo.

Solución:

dcxbxaxxf +++= 23)( ⇒ cbxaxxf ++=′ 23)( 2

La función pasa por (0,4) ⇒ 40.0.0. 23 =+++ dcba ⇒ d = 4

La función pasa por (2,0) ⇒ 02.2.2. 23 =+++ dcba ⇒ 0248 =+++ dcba

El punto P(0, 4) es un máximo ⇒ su derivada se anula para x = 0 ⇒ 00.20.3)0( 2 =++=′ cbaf c = 0

El punto Q(2,0) es un mínimo ⇒ su derivada se anula para x = 2: ⇒ 02.22.3 2 =++ cba ⇒ 0412 =++ cba

Formando un sistema con las 4 ecuaciones obtenidas resulta:

=++=

=+++=

04120

02484

cbac

dcbad

⇒

=+−=+0412448

baba

⇒

=+−=+03

12baba

⇒

=+=−−03

12ba

ba

5.- Entre todos los rectángulos de perímetro 12 cm. ¿cuál es el que tiene la diagonal menor?.

Solución:

Perímetro: 1222 =+ yx ⇒ 6=+ yx Función a minimizar es la diagonal del rectángulo que por el Tª Pitágoras:

222 dyx =+ ⇒ 2222 )6( xxyxd −+=+=

36122)( 2 +−= xxxd que es la función a estudiar

36122

62361222

124)(22 +−

−=

+−−

=′xx

xxx

xxd ⇒ )(xd ′ = 0 ⇒ 2x – 6 = 0 ⇒ x = 3

y d x

a = 1 ⇒ b = -3


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1862

)62.(18622

6418622

)( 2

22

+−

−+−

−−+−

=′′xx

xxx

xxx

xd

Valor de la segunda derivada para x = 3: 032

3.2

3.22

18183.2

018183.22)3( 2

2

2

2>==

+−

−+−=′′d

Resumiendo: el rectángulo de perímetro 12 que tiene diagonal menor es el cuadrado de lado 3

Otra forma más práctica

Minimizar o maximizar una raíz cuadrada equivale a maximizar o minimizar lo que hay dentro de la raíz cuadrada, luego la función hay que estudiar: 36122 2 +−= xxy que es más manejable.

36122 2 +−= xxy ⇒ y’ = 4x – 12 y’’ = 4

y’ = 0 ⇒ 4x – 12 = 0 ⇒ x = 3 y como f’’(3) = 4 ⇒ 2n x = 3 hay mínimo 6.- Una hoja de papel debe contener 18 cm2 de texto impreso. Los márgenes superior e

inferior deben tener 2 cm. cada uno, y los laterales 1 cm. Halla las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo.

Solución:

Condición que se tiene que dar: 18 cm2 de texto impreso:

18)2)(4( =−− yx ⇒ 4

182−

=−x

y ⇒ 42102

418

−+

=+−

=x

xx

y

Función a minimizar: Superficie = 4210

4210.

2

−+

=−+

⋅=x

xxx

xxyx

4210 2

−+

=x

xxS ⇒ Derivando: 2

2

)4(

40162

−

−−=′

xxxS

Si hacemos 0=′S ⇒ 040162 2 =−− xx ⇒ 02082 =−− xx ⇒ −

=±

=±

=2

102128

21448x

La solución negativa no tiene sentido

4

22

)4(

)40162)(4(2)4)(164(

−

−−−−−−=′′

xxxxxxS ⇒ 0

6

036.24)10( 4 >−

=′′S

Para x = 10, la 2ª derivada es positiva ⇒ luego en x = 10 hay mínimo

Las dimensiones de la hoja son: x = 10 cm. y = 5 cm.

x

y


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7.- Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en una circunferencia de 10 cm. de radio.

Solución:

Condición que se tiene que dar: 40022 =+ yx ⇒ 2400 xy −=

Función a maximizar: Área = 2400. xxyx −= ⇒ 2400 xxA −=

2400 xxA −= 42400 xx −=

Por tanto maximizamos la función 42400 xxy −=

04800 3 =−=′ xxA ⇒ 0)200(44800 23 =−⋅=− xxxx ⇒

=±=⇒=

=

210210200

02 es x solución la posiblexx

tido tiene sengitud y noes una lonx

Comprobaremos que es máximo calculando la segunda derivada: 212800 xA −=′′ Para 210=x , 020012800)210( <⋅−=′′A ⇒ para 210=x hay máximo

Si ,210=x 210)210(400 2 =−=y ⇒ Se trata de un cuadrado de lado 210 8.- Un depósito abierto de latón con base cuadrada y capacidad para 4.000 litros, ¿qué

dimensiones debe tener para que su fabricación sea lo más económica posible? Solución:

La función que tenemos que minimizar es la función superficie del depósito: xyxA 42 +=

Con la condición de que el volumen yxV 2= sea de 4000 litros:

40002 =yx ⇒ 24000

xy = ⇒ por tanto:

xx

xxxA 160004000.4 2

22 +=+= (función a minimizar)

12 1600 −+= xxA ⇒ 2

3

22 16000216000216000.12

xx

xxxxA −

=−=−=′ −

Si hacemos 0=′A : 0160002 3 =−x ⇒ 80003 =x ⇒ 20=x

Segunda derivada: 3

3

4

322 320002)160002(2.6

xx

xxxxxA +

=−−

=′′

Para x = 20, 020

3200020.2)20( 3

3>

+=′′A ⇒ para x = 20 la superficie es mínima

Si x = 20 1020

40002 ==y ⇒ la caja tiene 20 dm. de lado y 10 dm. de altura


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9.- En una carretera a través del desierto un automóvil debe ir desde la ciudad A hasta el oasis P situado a 500 Km. de distancia de A. Puede aprovechar para ello una carretera recta que une las ciudades A y B que le permite ir a una velocidad de 100 Km/h, mientras que por el desierto la velocidad es de 60 Km/h. Sabiendo que la distancia más corta de P a la carretera que une las ciudades “A y B” es de 300 Km., determina la ruta que deberá usar para ir de A a P en el menor tiempo posible.

Solución:

La idea es encontrar un punto M en la carretera, de forma que teniendo en cuenta la velocidad de cada trayecto el camino recorrido AMP se haga en el menor tiempo posible:

Aplicando Pitágoras en el triángulo ACP se obtiene: 400300500 22 =−=AC

En el triángulo MCP se obtiene que 22 300+= xMP

El tiempo que tarda el automóvil en recorrer la distancia AM + MP es:

60

300100

400 22 ++

−=

xxt (vet

tev =⇒= )

Derivando: 2222 30060100

1

3002

2601

1001

++

−=

+⋅+

−=′

x

x

x

xt

Si hacemos 0=′t : 030060100

122=

++

−

x

x ⇒ 100

1

30060 22=

+x

x ⇒ 22 300610 += xx ⇒

222 300.3636100 += xx ⇒ 22 300.3664 =x ⇒ 64300.36 2

2 =x ⇒ 225±=x La solución negativa no tiene sentido puesto que se trata de distancias: 225=x 175225400 =−=AM

El automóvil deja la carretera a 175 Km. de la ciudad A

Queda comprobar que es mínimo hallando la segunda derivada:

)300(60300

60)300(60

)300(603002

260300601

222

22

22

222

2222

+

+

−+

=+

+⋅−+⋅

=′′x

x

xx

xx

xx

t ⇒ 22222

22

300)300(60

60)300(60

++

−+=′′

xx

xxt

Para x = 225: 0)225( >′′t ⇒ es mínimo


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lado =longitud de la circunferencia

y

x

10.-Se desea construir una lata de conserva en forma de cilindro circular recto de área total 150 cm2 y volumen máximo. Determina su generatriz y su radio.

Solución:

El área total de un cilindro es: Área = área base + área tapa + área del rectángulo Área = π . x2 + π . x2 + 2 π x y = 150

2 π x2 + 2 π x y = 150 ⇒ π x2 + π x y = 75 ⇒ x

xyππ 275 −

=

El volumen del cilindro es igual al área de la base por la altura:

32

22 7575 xxx

xxyxV πππππ −=

−== (función a maximizar)

Derivando: 2.375 xV π−=′

Si hacemos 0=′V ⇒ 0.375 2 =− xπ ⇒ ππ25

3752 ==x ⇒

π5

±=x ( no tiene sentido la solución -)

Segunda derivada: xV .6π−=′′ 030.305.65<−=

−=−=

′′ π

πππ

ππ

πV

Para π5

=x el volumen es máximo , ππ

ππ

ππ

ππ

ππ 10

550

550

5.

2575===

−=y

Ejercicios propuestos

1. Estudia la monotonía de la función xexxf )1()( −=

2. Estudia la monotonía de la función )33()( 2 +−= xxexf x y determina los máximos y

mínimos relativos.

3. Dada la función 1

)(2

−=

xxxf , halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los

extremos relativos.

4. Halla los máximos y mínimos de la función x

xyln

= (Solución: mínimo para x = e )

5. Estudia la curvatura de la función 24 2)( xxxf −= y determina los puntos de inflexión.


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6. Halla la ecuación de la tangente a la gráfica de 462)( 23 +−= xxxf en su punto de

inflexión. (Solución: y = - 6x + 6 )

7. Con un alambre de 4 metros se quiere construir el borde de un rectángulo de área

máxima. ¿Qué dimensiones hay que dar al rectángulo?

8. Halla los valores de b y c para que la curva 123 +++= cxbxxy tenga en el punto (0, 1)

una inflexión y la pendiente de la recta tangente en dicho punto valga 1. (Sol.: b = 0; c = 1 )

9. Se desea construir un marco rectangular para una ventana de 6 m2 de superficie. El

metro lineal de tramo horizontal cuesta 20 € y el tramo vertical es a 30 € el metro.

Calcula las dimensiones de la ventana para que el coste de marco sea mínimo.

10. Considérese un prisma recto de base rectangular, con dos de los lados

de ese rectángulo de longitud doble que los otros dos, tal como se

indica en la figura. Halla las dimensiones que ha de tener este prisma

para que el área total sea de 12 metros cuadrados y que con estas

condiciones tenga volumen máximo.

(Solución: las dimensiones son 1, 2 y 4/3 )

Representación de curvas

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Se calcula: • Dominio de la función • Asíntotas • Puntos de corte con los ejes de coordenadas. • Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos • Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.

Ejemplo 1: funciones polinómicas

x9−= 3xf(x) f’(x) = 3x2 -9 f’’(x) = 6x

Dominio: Dom(f) = ℜ

Puntos de corte con los ejes de coordenadas: (0, 0) (3, 0) (-3, 0) eje x: x = 0 ⇒ y = 0

eje y: y = 0 ⇒ 093 =− xx ⇒ 0)9( 2 =−xx ⇒

±=⇒=−

=

309

02 xx

x

Monotonía de f ≡ signo de f’ ≡

∃±=⇒=⇒=−=′

noidadesDiscontinuextremosposiblesxxxxf

:33093)( 22

f’(-2)= + f’(0) = -9 = - f’(2) = +

Intervalos )3,( −−∞ )3,3(− ),3( +∞

Signo de la derivada + - +

Función

Para 3−=x hay máximo: )36, 3(- Para 3=x hay mínimo: )36, − 3(

Curvatura de f ≡ Monotonía de f’ ≡signo de f’’

∃=⇒==′

noidadesDiscontinuIPposiblexxxf

:..006)('

f’’(-1) = - f’’(1) = +

Intervalos )0,(−∞ ),0( +∞

Signo de la segunda derivada - +

Función ∩ ∪

Para x = 0 existe punto de inflexión (0, 0)

No existen asíntotas puesto que es una función polinómica

Para representar funciones polinómicas basta con calcular los extremos y las ramas infinitas ( )(lim xf

x +∞→ y )(lim xf

x −∞→)

)36,3( −

)36,3(−

xxy 93 −=


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Ejemplo 2: funciones racionales

Representa gráficamente la función: 1

222

−+−

=x

xxy

Previamente calculamos: 2

2

)1(2

−−

=′x

xxy 3)1(2−

=′′x

y

Dominio: x – 1 = 0 ⇒ x = 1 ⇒ Dom (f) = ℜ - {1}

Asíntotas:

Verticales 1=x posible A.V.: ∞=−

+−→

?1

22lim2

1 xxx

x ⇒ x = 1 es A.V.

Horizontales: No hay Oblicuas: nmxy +=

1

112

122))((

122)1(

22)(

2

2

22

−=⇒

−=−+−

=

−

−+−

=−=

=−

+−=

−+−

==

∞→∞→∞→

∞→∞→∞→xy

xxlímx

xxxlímmxxflímn

xx

xxlímxx

xxlímxxflímm

xxx

xxx

Puntos de corte: (0,2) Eje x: Para y =0 ⇒ 0222 =+− xx (que no tiene solución real) Eje y: Para x = 0 ⇒ y = -2 : (0,2)

Crecimiento y decrecimiento: 2

2

)1(2

−−

=′x

xxy


===⇒=−=′

1:2,002)( 2

xidadesDiscontinuextremosposiblesxxxxxf

f’(-1) = +=+3 f’(0’5) = −=

+− f’(1’5) = −=

+− f’(3) = +=

+3

(-∞, 0) (0, 1) (1, 2) (2, +∞)

Signo f’ + - - + Monotonía f

Concavidad y convexidad: 3)1(2−

=′′x

y


=∃⇒∃⇒=′

1:..0)('

xidadesDiscontinuIPnosoluciónnoxf

f’’(0) = −=−12 f’’(2) = +=

12

(-∞, 1) (1, +∞) Signo de f - + Curvatura de f ∩ ∪

Para x = 0, ∃ máximo: (0,-2) Para x = 2, ∃ mínimo: (2,2)


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Ejemplo 3: funciones racionales

Representa gráficamente la función: 12

2

+=

x

xy

Calculamos 1ª y 2ª derivada:

2222

22

)1(2

)1(.2)1(2

+=

+−+

=′x

xx

xxxxy

32

2

32

22

42

222

)1(62

)1(8)1(2

)1(22).1(2)1(2

+−

=+−+

=+

+−+=′′

xx

xxx

xxxxxy

Dominio: 012 =+x ⇒ No tiene soluciones reales ⇒ Dom(f) = ℜ

Asíntotas: Verticales: No hay porque el denominador no se anula

Horizontales: 112

2=

+∞→ x

xlímx

⇒ y = 1 es A.H.

Oblicuas: No hay puesto que hay horizontales

Puntos de corte: Único punto de corte (0, 0) Eje x: Para y =0 ⇒ x2 = 0 ⇒ x = 0: (0,0) Eje y: Para x = 0 ⇒ y = 0 : (0,0)

Crecimiento y decrecimiento: 22 )1(

2

+=′

xxy


∃⇒≠+

=⇒==′

noxidadesDiscontinu

extremoposiblexxxf

01:

002)(2

Estudiando la derivada en los intervalos (-∞, 0) y (0, +∞) se obtiene:

f’(-1) = −=+−2 f’(1) = +=

+2

Signo de f’ Monotonía de f

Concavidad y convexidad:32

2

)1(

62

+

−=′′

x

xy


∃

±=⇒=−=′

noidadesDiscontinu

IPposiblesxxxf

:

..3

1062)(' 2

f’’(-1) = −=+−4 f’’(0) = +=

+2 f’’(1) = −=

+−4

Signo de f’’

Curvatura de f

12

2

+=

xxy

0 - +

0

(0,0) mínimo

31

31−

+ - -

31

31−

∩∩ ∪

Puntos inflexión x= 31− x=

31


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Ejemplo 4: funciones exponenciales Representa gráficamente la función: xxe y =

Derivamos: )1( +=′ xey x )2( +=′′ xey x

Dominio: La función dada es el producto de una polinómica (de dominio ℜ) y de la exponencial (de dominio ℜ) ⇒ Dom(f) = ℜ

Asíntotas: → Verticales: No hay puesto que el dominio de la función es ℜ

→ Horizontales: +∞=+∞→

xx

xelím ; 01)( =−

=−

=−=+∞→

∞∞

+∞→−

+∞→−∞→ xxxxx

xx

x elím

e

xlímxelímxelím

luego 0=y es una asíntota horizontal en - ∞

→ Oblicuas en + ∞ : nmxy += : +∞===+∞→+∞→

xxx

elímxxflímm )( ⇒ No hay

Puntos de corte: Único punto de corte (0, 0) Eje x: y = 0 ⇒ x . ex = 0 ⇒ x = 0: (0,0) Eje y: x = 0 ⇒ y = 0 : (0,0)

Crecimiento y decrecimiento: )1( +=′ xey x


∃−=⇒=⋅+=′

noidadesDiscontinuextremoposiblexexxf x

:10)1()(

Signo de f’ Monotonía de f

Concavidad y convexidad: )2( +=′′ xey x


∃−=⇒=⋅+=′

noidadesDiscontinuIPposiblexexxf x

:..20)2()('

Signo de f’’ Curvatura de f

1=y

Para x = -2 existe punto de inflexión )2,2( 2e

−−

xxey =

)1,1( e−−

-1 - +

-1

(-1,e1− ) mínimo

-2

- +

-2

∪∩


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Ejemplo 5: funciones logarítmicas

Representa gráficamente la función: xxy ln

=

Derivamos 2ln1

x

xy −=′

3ln23

x

xy +−=′′

Dominio: Globalmente es una función racional, luego el punto donde se anula el denominador, 0=x , no es de su dominio. Además, como en lnx ha de ser x > 0 ⇒ Dom(f) = (0,+ ∞)

Asíntotas:

Verticales: x = 0 posible A.V. en 0+: −∞=+→ x

xlímx

ln0

⇒ x = 0 es A.V.

Horizontales: 011

1ln===

+∞→+∞→

∞∞

+∞→ xlímxlím

xxlím

xxx ⇒ 0=y es una A.H. en + ∞

en - ∞ no tioene sentido calcularlas Oblicuas: no hay puesto que hay horizontales

Puntos de corte: El único punto de corte es (1,0)

Eje x: y = 0 ⇒ xxln = 0 ⇒ lnx = 0 ⇒ x = 1

Eje y: x = 0 ⇒ la función no está definida

Crecimiento y decrecimiento: 2ln1

x

xy −=′ ; Si hacemos 0=′y entonces 0ln1 =− x


+∞=∃

=⇒=⇒=−

=′

),0(min:

1ln0ln1)(2

ioDoquepuestonoidadesDiscontinu

extremoposibleexxx

xxf

Signo de f’ f’(1) = 1 = + f’(e2) = −=+− 21

Monotonía de f

Concavidad y convexidad: 3

ln23

x

xy +−=′′ ; Si hacemos 0=′′y , -3 + 2Lx = 0 ⇒


+∞=∃=⇒=+−⇒=′

),0(min:..0ln230)(' 23

ioDoquepuestonoidadesDiscontinuIPposibleexxxf

Signo de f’’ f’’(1) = -3 = - f’’(e2) = +=61

e

Curvatura de f

Para x = e3/2 existe punto de inflexión

xLxy =

e 0 + -

e 0 x = e máximo: (e,

e1 )

e3/2 0 - +

e3/2 0 ∩ ∪

)1,( ee

= f (x s P - Física y Química · Derivadas Página 1 / 36 DERIVADAS Definición de derivada. Se...

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