- Ct m2 Unidade 7 Cas (1)

Direccin Xeral de Educacin, Formacin Profesional e Innovacin Educativa

Educacin secundaria para personas adultas

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mbito cientfico tecnolgico Educacin a distancia semipresencial

Mdulo 2

Unidad didctica 7 Cuerpos geomtricos

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ndice

1. Introduccin...............................................................................................................3 1.1 Descripcin de la unidad didctica................................................................................ 3 1.2 Conocimientos previos.................................................................................................. 3 1.3 Objetivos....................................................................................................................... 3

2. Secuencia de actividades y contenidos..................................................................4 2.1 Clasificacin de los cuerpos geomtricos ..................................................................... 4

2.1.1 Poliedros ............................................................................................................................................................4

2.1.2 Prismas ..............................................................................................................................................................5

2.1.3 Pirmides ...........................................................................................................................................................7

2.1.4 Cuerpos de revolucin .......................................................................................................................................9

2.2 Volmenes de cuerpos geomtricos ........................................................................... 13 3. Resumen de contenidos.........................................................................................15 4. Actividades complementarias................................................................................16 5. Ejercicios de autoevaluacin .................................................................................17 6. Solucionarios...........................................................................................................18

6.1 Soluciones de las actividades propuestas................................................................... 18 6.2 Soluciones de los ejercicios de autoevaluacin .......................................................... 22

7. Glosario....................................................................................................................23 8. Bibliografa y recursos............................................................................................24

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1. Introduccin 1.1 Descripcin de la unidad didctica

En esta unidad de geometra se estudian los cuerpos geomtricos ms sencillos y trabaja-

remos con ellos conociendo sus formas y sus propiedades. Aprenderemos a calcular sus

longitudes, las reas y los volmenes, y veremos ciertas aplicaciones prcticas.

1.2 Conocimientos previos En el mdulo 1, en la unidad 3, se explican las operaciones bsicas con nmeros naturales

y enteros, fracciones y decimales, as como el uso de la calculadora para estas operacio-

nes. Dominar estos aspectos es bsico para la resolucin de los problemas de geometra de

la presente unidad.

1.3 Objetivos Identificar y clasificar cuerpos geomtricos sencillos: poliedros, paraleleppedos y cuer-

pos de revolucin.

Calcular longitudes, reas y volmenes de cuerpos sencillos en el contexto de resolu-

cin de problemas geomtricos con objetos del entorno inmediato.

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2. Secuencia de actividades y conteni-dos

2.1 Clasificacin de los cuerpos geomtricos Los cuerpos geomtricos se dividen en poliedros (poliedros regulares, prismas y pirmi-

des) y cuerpos de revolucin (cilindros, esferas y conos).

2.1.1 Poliedros

Son figuras tridimensionales limitadas por varios planos en forma de polgonos. En un

poliedro sus elementos principales son:

Caras: son los polgonos que limitan el poliedro.

Aristas: son los segmentos comunes a dos caras.

Vrtice: es el punto del poliedro donde se juntan tres o ms aristas.

El nmero de caras, vrtices y aristas est relacionado. La frmula de Euler indica que se

cumple que:

Caras + vrtices = aristas + 2

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Poliedros regulares

Un poliedro regular es aquel cuyas caras son polgonos regulares iguales y en cada uno de

sus vrtices converge el mismo nmero de caras.

Poliedro regular Definicin Figura y desarrollo

Tetraedro Formado por cuatro caras que son tringulos equilteros.

Cubo o hexaedro Formado por seis caras que son cuadrados.

Octaedro Formado por ocho caras que son tringulos equilteros. Este po-liedro gira libremente cuando se sujeta por vrtices opuestos.

Dodecaedro Formado por doce caras que son pentgonos regulares.

Icosaedro Formado por veinte caras que son tringulos equilteros.

reas de los poliedros regulares. Teniendo en cuenta el nmero de caras que tenga y el rea del polgono regular del que est formado, se calcula el rea del poliedro regular

multiplicando esos dos datos.

2.1.2 Prismas

Es un poliedro limitado por dos polgonos iguales y paralelos entre s, que forman las ba-

ses, y las caras laterales. La altura del prisma es la distancia entre las bases. El prisma es

recto si las caras laterales son rectngulos y perpendiculares a las bases.

Prismas rectos. Tienen en las bases polgonos regulares (prismas regula-

res).

Prismas oblicuos. Las caras laterales no son perpendiculares a las bases.

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Clasificacin de los prismas

En funcin de que el polgono de las bases del prisma sea un triangulo, un cuadrado, un

pentgono, etc., se denominan prismas triangulares, cuadrangulares, pentagonales, hexa-

gonales, etc.

reas de los prismas A partir del desarrollo de un prisma podemos calcular con claridad su rea:

rea total = rea lateral + 2 rea de la base.

rea lateral: AL es la suma de las reas de sus caras laterales (rea lateral = permetro de la base Altura (h)).

rea de las bases: AB es la suma de las reas de sus dos bases (rea total = rea lateral + 2 rea de las bases).

Paraleleppedos

Son prismas en que todas sus caras son paralelogramos; cada par de caras opuestas son

iguales.

Ortoedros Son paraleleppedos con todas las caras rectangulares.

rea Total = 2.a.b + 2.a.c +a.b.c = 2 ( a.b + a.c + b.c )

Cubos Cubo es un ortoedro en el que las tres dimensiones son

iguales rea Total = 6. a2

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2.1.3 Pirmides Se trata de un poliedro con un polgono cualquiera por base, y tringulos con un vrtice

comn a las caras laterales.

La altura de la pirmide es la distancia del vrtice al plano que contiene la base.

Clasificacin de las pirmides

Una pirmide es regular si es recta y tiene como base un polgono regular. Si no cumple

estas caractersticas, se denomina irregular.

En una pirmide regular, todas las aristas laterales son iguales y las caras laterales son

tringulos issceles. Las alturas de los tringulos se llaman apotemas de la pirmide.

Las pirmides se llaman triangulares, cuadrangulares, pentagonales, hexagonales... se-

gn sea el tipo de polgono de su base.

rea de la pirmide A partir del desarrollo de una pirmide se puede calcular con claridad su rea:

rea total = rea lateral + rea de la base

rea lateral: AL es la suma de las reas de sus caras laterales, n tringulos iguales:

22

. abasedapermetroabnAL

==

rea de la base: AB

2

abasedaPermetroAB

=

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Por tanto, el rea total de una pirmide es:


22

abasedaPermetroabasedaPermetroAAA BLT

+

=+=

Actividad resuelta

Calcule el rea total de un prisma de base pentagonal, de altura 10 cm, lado de la base 4 cm y apotema 2,75 cm.

Solucin

A Lateral = Permetro de la base altura = (4 cm 5) 10 cm = 200 cm2

A Total = A Lateral + 2 . A Base = 200 cm2 + 2 27,5 cm2 = 78 cm2

Actividades propuestas

S1. Complete la tabla y compruebe que se cumpla para los cinco poliedros regulares la frmula de Euler: cara + vrtice = arista + 2

Nombre Caras Vrtices Aristas C + V=A + 2

Tetraedro 4 4 6 4+4=6+2

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S2. Clasifique los siguientes prismas segn sus bases:

S3. Un prisma cuadrangular tiene una altura de 5 cm y la arista de la su base mide 3 cm. Calcule su rea total.

S4. Las dimensiones de un ortoedro son 6 cm, 11 cm y 10 cm. Calcule su rea.

S5. Calcule el rea de un cubo que tiene una arista de 10 cm de longitud.

S6. Calcule el rea total de una pirmide cuadrangular de apotema 6 cm y 4 cm de lado del cuadrado de la base.

S7. Calcule el rea total de una pirmide que tiene de base un cuadrado de 10 cm y una altura de 12 cm. Recuerde que lo primero es calcular la altura de uno de sus tringulos laterales (apotema de la pirmide) aplicando el teorema de Pitgo-ras.

S8. Calcule el rea total de una pirmide de base hexagonal: tiene 6 cm de altura y 3 cm de lado de la base.

2.1.4 Cuerpos de revolucin Cuando giramos una figura plana alrededor de un eje obtenemos un cuerpo de revolucin.

Los tres cuerpos de revolucin ms importantes, y que vamos a estudiar, son el cilindro, el

cono y la esfera.

Cilindro

Es un cuerpo geomtrico generado a partir de un rectngulo que gira alrededor de uno de

sus lados.

La altura de un cilindro es la longitud del eje de giro.

Generatriz del cilindro corresponde a la longitud del lado opuesto al eje, es decir, coincide con la altura.

A partir del desarrollo del cilindro se puede calcular con claridad su rea:

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rea total = rea lateral + 2 rea de la base

rea lateral: AL es el rea de un rectngulo en el que la base es la longitud de la cir-cunferencia de la base, 2 r, y la altura, h, es la altura del cilindro.

AL = 2 r .h

rea de la base: AB, cada base, como es un crculo, tendr un rea de: AB = r2

rea total = rea lateral + 2. rea de la bases

AT = AL+ 2. AB = 2 r .h + 2. r2

Conos

Son cuerpos geomtricos generados a partir de un tringulo rectngulo que gira alrededor

de uno de sus catetos.

La altura de un cono (h) es la longitud del eje de giro.

Generatriz del cono es la longitud de la hipotenusa del tringulo.

A partir del desarrollo de un cono se puede calcular con claridad su rea:


rea lateral: AL es el rea de un sector circular con longitud 2 r y radio x.

xrxrtorraiodoL

AA ArcortorcirculaL =

=

== pipi

2

2

2

secsec

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rea de la base: AB corresponde al rea de un crculo: AB = r2

Por lo tanto, el rea total de un cono es:


ATotal = Al + A B = . r . x + r2

Esfera

Las esferas son cuerpos de revolucin que se generan al hacer girar un semicrculo alrede-

dor del su dimetro.

El eje de la esfera es el dimetro sobre el que gira el semi-crculo.

El centro corresponde al centro del semicrculo.

El radio es el radio del semicrculo.

rea de la esfera. El rea de una esfera de radio r es:

A = 4. . r2

Actividad resuelta

Calcule el rea lateral y total de un cilindro que tiene de radio de la base 3 m y de altura 5 cm. Calcule la superficie de una esfera de 8 cm de dimetro.

Solucin

Cilindro: A Lateral = 2 r .h = 2. 3,14. 3m. 5m = 94,2 =cm2 A Base = r2 = 3,14 . 9 cm2 = 56,5 cm2 A Total = 150,7 cm2

Esfera: A = 4. . r2 = 4. . (4 cm)2 = 200,96 cm2


S9. Indique la cantidad de chapa que se necesita para construir un depsito cilndri-co cerrado de 60 cm de radio de base y 1,8 m de altura.

S10. Calcule la superficie total de un tronco de madera cilndrico recto, de 3 cm de al-tura y dimetro de la base 30 cm.

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S11. Una tienda de campaa cnica tiene una altura de 2 m y un dimetro de 1 m. Calcule los metros cuadrados que se necesitan para forrarla, sin incluir la base.

S12. Determine el rea total de un cono de 5 cm de radio y 20 de generatriz.

S13. Calcule la superficie esfrica de un baln que tiene 20 cm de dimetro.

S14. Una cpula semiesfrica de un edificio tiene 10 m de dimetro y una altura de 5 m. Calcule su superficie.

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2.2 Volmenes de cuerpos geomtricos El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa. Para saber el volumen de un

cuerpo slido hay que conocer sus tres dimensiones.

Volumen de un ortoedro

Se calcula multiplicando sus tres dimensiones o aristas, a, b, c. Por consiguiente, el volu-

men es:

Vortoedro= a. b . c

Un cubo es un ortoedro con las tres dimensiones iguales; en consecuencia, el volumen de

un cubo de arista a es igual al valor de su arista elevado a tres.

Vcubo = a3

Ortoedro de dimensiones a, b, c Cubo de arista a

Volumen de prismas y cilindros

El volumen de un prisma con una altura h y rea de la base AB , es:

Vprisma= AB . h

El volumen de un cilindro de radio r y altura h, es:

Vcilindro= AB . h = r2 .h

Volumen de pirmides, conos y esferas

El volumen de una pirmide con altura h y rea de la base A es:

3

AlturareaVolume basepirmide

=

El volumen de un cono de radio r y altura h es:

3

2 AlturarVolumecono

=

pi

El volumen de una esfera de radio r es:

3.3

4rVolumeesfera pi=

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Actividades resueltas

Calcule el volumen de un ortoedro de dimensiones, 25 cm, 8 cm y 5 cm. Calcule el volu-men de un cubo con una arista de 3 cm.

Solucin Vortoedro = a . b . c = 25 cm . 8 cm . 5 cm = 1000 cm3

Vcubo = a3 = (3cm)3 = 27 cm3

Cul es el volumen de una pirmide cuadrangular de 5 cm de lado en la base y de una altura de 9 cm?

Solucin 32

753

9.)5(

3cm

cmcmAlturareaVolume basepirmide ==

=


S15. Calcule el volumen de un prisma triangular de 6 cm de altura si la base es un tringulo equiltero de 8 cm de lado.

S16. Las latas de refrescos tienen forma cilndrica de 12 cm de altura y 6 cm de di-metro. Calcule el volumen de refresco que cabe en l.

S17. Una piscina tiene 10 m de largo, 6 m de ancho y 2 m de profundidad. Cunto tiempo tardar en llenarse si el grifo arroja 25 litros de agua por minuto?

S18. Calcule el volumen de una pirmide regular hexagonal regular, que tiene base de lado 30 cm y una apotema del hexgono de 26 cm, y la altura de la pirmide es 26 cm.

S19. Calcule el volumen de un cono de 11 cm de altura y 4 cm de radio.

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3. Resumen de contenidos

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4. Actividades complementarias S20. Calcule el rea total de una pirmide pentagonal de 9 cm de altura, cuyo polgo-

no de la base tiene 6 cm de lado y una apotema de 4,13 cm.

S21. Calcule el volumen de los siguientes cuerpos geomtricos:

S22. Calcule el volumen de un prisma de base un pentgono que tiene de apotema 4,13 cm, y cuyo lado mide 6 cm. La altura del prisma es de 8 cm.

S23. Calcule el volumen de un cilindro de 5 cm de radio y 12 cm de altura.

S24. El volumen de un depsito cilndrico de 4 m de radio es de 565,2 m. Halle sus reas laterales y total.

S25. Calcule el volumen de una esfera de 30 cm de dimetro.

S26. El radio de la Tierra es de 6.371 km y el de la Luna es de 1.738 km. Cuntas veces es mayor el volumen de la Tierra que el de la Luna?

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5. Ejercicios de autoevaluacin

1. Indique el cuerpo geomtrico que no es poliedro:

Icosaedro.

Tetraedro.

Cilindro.

Paraleleppedo.

2. El rea total de un prisma cuadrangular de altura 5 cm y de arista de la base 3 cm es:

78 cm2

60 cm2

69 cm2

3. Indique la cantidad de aire que se necesita para inflar 100 balones de 20 cm de dimetro:

418666,6 cm 3

837333,3 cm 3

418666,6 cm 2

4. El volumen de una pirmide con altura 10 cm y rea de la base 3 cm2 es:

10 cm3

20 cm3

15 cm3

5. El volumen de un cono de radio 2 cm y altura 6 cm es:

12 cm3

14 cm3

16 cm3

6. El volumen de una esfera de radio 3 cm es:

36 cm3

20 cm3

17 cm3

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6. Solucionarios

6.1 Soluciones de las actividades propuestas S1.

Tetraedro 4 4 6 4 + 4 = 6 + 2

Cubo o hexaedro 6 8 12 6 + 8 = 12 + 2

Octaedro 8 6 12 8 + 6 = 12 + 2

Dodecaedro 12 20 30 12 + 20 = 30 + 2

Icosaedro 20 12 30 20 + 12 = 30 + 2

S2.

Pentagonales Cuadrangulares Hexagonales Triangulares Cuadrangulares Cuadrangulares

S3.

Permetro = 3 . 4 = 12 cm

rea lateral = Permetro de la base. Altura 12 . 5 = 60 cm2

rea de la base = 3 . 3 = 9 cm2

rea total = rea lateral + 2 rea de la base 60 + 2 . 9 = 78 cm2

S4.

Siendo a, b, c las aristas. rea Total = 2 ( a.b + a.c + b.c ) 2 .( 6 .11 + 6 .10 + 11 .10) = 472 cm2

S5.

rea Total = 6 . a2 6 .102 = 600 cm2

S6.

Permetro = 4 . 4 =16 cm

rea lateral = =

=

4

644

2

abn 48 cm

2

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rea de la base = 4 . 4 = 16 cm2

rea total = rea lateral + rea de la base 48 + 16 = 64 cm2

S7.

Apotema = cm13125 22 =+

AL 226042

1310cm=

=

AB=102=100 cm2 AT= AL + AB = 260 + 100 = 360 cm2

S8.

Apotema hexgono = cm6,25,13 22 =

Apotema pirmide = cm54,666,2 22 =+

AL 286,582

54,636cm=

=

AB 24,232

6,236cm=

=

AT= AL + AB = 58,86 + 23,4 = 82,26 cm2

S9.

AL = 2. pi. r. h = 2. 3,14. 0,6. 1,8 = 6,79 m2

AB = pi. r2 = 3,14. 0,62 = 1,13 m2

AT= 2.AL + AB = 2. 1,13 + 6,79 = 9, 05 m2

S10.

AL = 2. pi. r. h = 2. 3,14. 15. 3 = 282,74 cm2

AB = pi. r2 = 3,14.152 = 706,86 cm2

AT= 2.AL + AB = 2. 706,86 + 282,74 = 1696,46 cm2

S11.

Generatriz m06,25,02 22 =+=

AL = pi. r. x = 3,14. 0,5. 2,06 = 3,24 m2

S12.

AL = pi. r .x = . 5. 20 = 314,16 cm2

AB = . r2 = . 5 . 2= 78,54 cm2

AT = AL+ AB = 314 cm2 + 78,5 cm2 = 392,5 cm2

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S13.

A = 4. pi. r2 = 4. 3,14. 102 = 1256,64 cm2

S14.

A = 4. pi. r2 = 4. 3,14. 52 = 314,16 m2

314,16 / 2 = 157,08 m2

S15.

Altura del tringulo cm93,648 22 ==

332,16662

893,6cmV =

=

S16.

V = pi. r2. h = 3,14. 32.12 = 339,29 cm2

S17.

V = a .b.c = 10.6.2 = 120 m3 = 120000 dm3 (o litros)

120000 : 25 = 4800 minutos = 80 h

S18.

3

AlturareaVolume basepirmide

=

AB 223402

26306cm=

=

3202803

262340cmV =

=

S19.

322

21,1843

114

3cm

AlturarVolumecono =

=

=

pipi

S20.

AT= AL+AB= 135 cm2 + 61,95 cm2 = 196,95 cm2

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S21.

96.000 cm3

Vprisma = 495,6 cm3

S22.

Vcilindro= 942 cm3

S23.

AT= AL+AB= 282,49 + 2. 50,26 = 383,01 m2

S24.

Vesfera= 14130 cm3

S25.

VTierra= 1,08.1012 km

VLuna =2,2.1010 km

Volumen Tierra / Volumen Luna es aproximadamente 49 veces mayor.

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6.2 Soluciones de los ejercicios de autoevaluacin

1. Indique el cuerpo geomtrico que no es poliedro:

Icosaedro.

Tetraedro.

Cilindro.

Paraleleppedo.

2. El rea total de un prisma cuadrangular de altura 5 cm y de arista de la base 3 cm es:

78 cm2

60 cm2

69 cm2

3. Indique la cantidad de aire que se necesita para inflar 100 balones de 20 cm de dimetro:

418666,6 cm 3

837333,3 cm 3

418666,6 cm 2

4. El volumen de una pirmide con altura 10 cm y rea de la base 3 cm2 es:

10 cm3

20 cm3

15 cm3

5. El volumen de un cono de radio 2 cm y altura 6 cm es:

12 cm3

14 cm3

16 cm3

6. El volumen de una esfera de radio 3 cm es:

36 cm3

20 cm3

17 cm3

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7. Glosario

Apotema Perpendicular trazada desde el centro de un polgono regular a uno de sus lados o desde el vrtice de una pirmide regular a uno de los lados del polgono de la base.

A

rea Extensin plana limitada por tres o ms rectas o curvas.

Permetro Lnea que delimita el entorno de una superficie plana y longitud de esta lnea.

P

Polgono Figura delimitada por diversos segmentos de recta, con un mnimo de tres (tringulo).

V Volumen Espacio ocupado por un cuerpo en las tres dimensiones, y medida de ese espacio.

G Geomtrico Relativo a la geometra, o parte de las matemticas que estudia el espacio y las formas y figuras que lo pueden ocupar.

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8. Bibliografa y recursos Bibliografa

Para reforzar o ampliar los contenidos relacionados con la unidad se puede utilizar cual-

quiera de las ediciones de los libros de ciencias de la naturaleza de 2 de ESO y de mate-

mticas de 1 de ESO y de 2 de ESO.

Enlaces de Internet

Recomendamos los siguientes enlaces de matemticas con teora, juegos y actividades:

[http://www.bbo.arrakis.es/geom/]

[http://www.disfrutalasmatematicas.com/]

[http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material098/geometria/index.htm]

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