ÀLGEBRAaquellos que se lo puedan permitir, y solo de una manera encapsulada, fragmentada,...
145
ÀLGEBRA Llibre de text (4t ESO - 1r Batx.) Gerard Romo Garrido
Transcript of ÀLGEBRAaquellos que se lo puedan permitir, y solo de una manera encapsulada, fragmentada,...
ÀLGEBRA
Llibre de text (4t ESO - 1r Batx.)
Gerard Romo Garrido
Toomates Cool·lección Los documentos de Toomates son materiales digitales y gratuitos. Son digitales porque están pensados para ser consultados mediante un ordenador, tablet o móvil. Son gratuitos porque se ofrecen a la comunidad educativa sin coste alguno. Los libros de
texto pueden ser digitales o en papel, gratuitos o en venta, y ninguna de estas opciones es necesariamente mejor o peor que las otras.
Es más: Suele suceder que los mejores docentes son los que piden a sus alumnos la compra de un libro de texto en papel, esto es un hecho.
Lo que no es aceptable, por inmoral y mezquino, es el modelo de las llamadas "licencias digitales" con las que las editoriales
pretenden cobrar a los estudiantes, una y otra vez, por acceder a los mismos contenidos (unos contenidos que, además, son de una bajísima calidad). Este modelo de negocio es miserable, pues impide el compartir un mismo libro, incluso entre dos hermanos,
pretende convertir a los estudiantes en un mercado cautivo, exige a los estudiantes y a las escuelas costosísimas líneas de Internet, pretende pervertir el conocimiento, que es algo social, público, convirtiéndolo en un producto de propiedad privada, accesible solo a
aquellos que se lo puedan permitir, y solo de una manera encapsulada, fragmentada, impidiendo el derecho del alumno de poseer
todo el libro, de acceder a todo el libro, de moverse libremente por todo el libro. Nadie puede pretender ser neutral ante esto: Mirar para otro lado y aceptar el modelo de licencias digitales es admitir un mundo más
injusto, es participar en la denegación del acceso al conocimiento a aquellos que no disponen de medios económicos, en un mundo
en el que las modernas tecnologías actuales permiten, por primera vez en la historia de la Humanidad, poder compartir el conocimiento sin coste alguno, con algo tan simple como es un archivo "pdf".
El conocimiento no es una mercancía.
El proyecto Toomates tiene como objetivo la promoción y difusión entre el profesorado y el colectivo de estudiantes de unos
materiales didácticos libres, gratuitos y de calidad, que fuerce a las editoriales a competir ofreciendo alternativas de pago atractivas
aumentando la calidad de unos libros de texto que actualmente son muy mediocres, y no mediante retorcidas técnicas comerciales.
Este documento se comparte bajo una licencia “Creative Commons”: Se permite, se promueve y se fomenta cualquier uso,
reproducción y edición de todos estos materiales siempre que sea sin ánimo de lucro y se cite su procedencia. Todos los documentos se ofrecen en dos versiones: En formato “pdf” para una cómoda lectura y en el formato “doc” de MSWord para permitir y facilitar
su edición y generar versiones parcial o totalmente modificadas. Se agradecerá cualquier observación, comentario o colaboración a
Actualmente, Toomates Cool·lección consta de los siguientes libros:
Geometría axiomática:
GA Geometría Axiomática pdf 1 2 ... 23 portada
PG Problemas de Geometría pdf 1 2 3 4 5 6 7
Problem-solving:
AR Teoría de números pdf doc
PT Trigonometría pdf doc
DE Desigualdades pdf doc
PC Números complejos pdf doc
PA Álgebra (en preparación)
pdf doc
PC Combinatoria (en preparación)
pdf doc
Libros de texto (En catalán)
AG Àlgebra pdf doc
GN Geometria analítica pdf doc
TR Trigonometria
pdf doc
CO Nombres complexos pdf doc
AL Àlgebra Lineal 2n batxillerat
pdf doc
GL Geometria Lineal 2n batxillerat
pdf doc
CI Càlcul Infinitesimal 2n batxillerat
pdf doc
PL Programació Lineal 2n batxillerat
pdf doc
Recopilaciones de problemas
PT Compendium PAU TEC 1998-2019
PS Compendium PAU CCSS 1998-2019
PM Problemas de Matemáticas pdf doc
Versión de este documento: 13/02/2020
www.toomates.net
Índex
Bloc A: Nombres reals
1 Els conjunts numèrics.
2 Aproximació. Errors d’aproximació.
3 Intervals.
1.1 El llenguatge dels intervals.
1.2 Operacions amb intervals.
4 Potències d'exponent enter.
5 Radicals.
5.1 Concepte de radical.
5.2 Radicals escrits mitjançant exponents fraccionaris.
5.3 Simplificació de radicals.
5.4 Reducció a índex comú.
5.5 Suma i resta de radicals.
5.6 Simplificació de producte i divisió de radicals.
5.7 Operacions combinades amb radicals.
5.8 Racionalització.
6 Exponencials i logaritmes.
6.1 Concepte d'exponencial i logaritme.
7 Notació científica.
Bloc B: Àlgebra i equacions
8 Equacions de primer grau.
9 Polinomis i operacions amb polinomis.
9.1 Expressions algèbriques.
9.2 Polinomis. Avaluació de polinomis.
9.3 Suma, resta i multiplicació de polinomis.
9.4 Potència de polinomis. Igualtats notables.
9.5 Divisió sintètica de polinomis.
9.6 Divisió amb el mètode de Ruffini.
9.7 Divisibilitat de polinomis. El Teorema del Residu.
10 Factorització de polinomis i equacions polinòmiques.
10.1 Representació de polinomis com producte de factors.
10.2 Treure factor comú de polinomis.
10.3 Factorització per identitats notables (1): Diferència de quadrats.
10.4 Factorització per identitats notables (2): Quadrat d'un binomi.
10.5 Factorització de polinomis amb el mètode de Ruffini.
10.6 Resolució d'equacions polinòmiques amb el mètode de Ruffini.
11 Equacions de segon grau.
11.1 Equacions de segon grau factoritzades.
11.2 Equacions de segon grau incompletes ax2 +c = 0
11.3 Equacions de segon grau incompletes ax2+bx=0
11.4 Equacions de segon grau amb la fórmula.
11.5 Equacions de segon grau per factorització.
11.6 Equacions biquadrades per canvi de variable.
11.7 Factorització de polinomis biquadràtics.
12 Fraccions algebraiques i equacions racionals.
12.1 El domini de definició d'una fracció algebraica.
12.2 Simplificació de fraccions algebraiques.
12.3 Suma i resta de fraccions algebraiques.
12.4 Multiplicació i divisió de fraccions algebraiques.
12.5 Equacions amb fraccions algebraiques sense sumes.
12.6 Equacions amb sumes o restes de fraccions algebraiques.
13 Expressions i equacions amb radicals.
13.1 El domini de definició de les expressions amb radicals.
13.2 Equacions amb radicals senzilles.
13.3 Equacions amb sumes de radicals.
14 Equacions exponencials i logarítmiques.
14.1 El domini de definició d'expressions exponencials i logarítmiques.
14.2 Equacions exponencials igualant bases.
14.3 Equacions exponencials resoltes amb logaritmes.
14.4 Equacions exponencials mitjançant canvi de variable.
14.5 Equacions logarítmiques senzilles.
14.6 Equacions amb sumes de logaritmes.
14.7 Equacions amb restes de logaritmes.
14.8 Equacions logarítmiques amb productes.
14.9 Problemes amb equacions exponencials i logarítmiques.
15 Inequacions amb una incògnita.
15.1 Inequacions de primer grau amb una incògnita.
15.2 Inequacions de segon grau amb una incògnita.
15.3 Inequacions de tercer grau i superior amb una incògnita.
Bloc C: Sistemes d'equacions i d'inequacions
16 Sistemes d'equacions lineals amb dues incògnites.
16.1 Els tres mètodes: Substitució, igualació i reducció
16.2 Interpretació geomètrica. Mètode gràfic.
17 Sistemes d'equacions lineals amb tres incògnites.
17.1 Concepte de sistema d'equacions lineal amb tres incògnites.
17.2 El mètode de Gauss.
18 Sistemes d'equacions de segon grau.
18.1 Resolució de sistemes d'equacions de segon grau.
19 Sistemes d'equacions racionals.
20 Sistemes d'inequacions amb una incògnita.
20.1 Sistemes d'inequacions de primer grau amb una incògnita.
20.2 Sistemes d'inequacions de segon grau amb una incògnita.
Solucions.
1 Els conjunts numèrics.
1.1 Classificació dels nombres.
Els nombres enters són aquells que no tenen part decimal. Poden ser positius o negatius.
Els nombres enters positius s'anomenen nombres naturals.
Un nombre racional s’ha de poder expressar en forma de fracció de nombres enters o, el
que és el mateix, en forma de nombre decimal exacte o periòdic. Hi ha nombres que no
es poden expressar d’aquesta manera, és a dir, que per molts decimals que es calculin,
no apareixen repeticions constants de xifres. Per exemple:
0969808...801688724223730950481,414213562
0587237...527446341575688772931,732050803
Aquest tipus de nombres que no es poden expressar en forma d’un nombre decimal,
exacte o periòdic, es denominen nombres irracionals. Dit d’una altra manera: els
nombres irracionals són aquells que no es poden expressar en forma d’una fracció de
nombres enters, és a dir, són aquells que no són racionals (de fet, el nom irracional ja fa
referència a aquesta característica de no ser racionals).
Al conjunt de tots els nombres, racionals i irracionals, se l’anomena conjunt dels
nombres reals, i qualsevol nombre, sigui del tipus que sigui, es troba dintre d’aquest
conjunt.
El conjunt de tots els nombres reals se simbolitza amb . A més, cadascun dels
conjunts numèrics estudiats també es designa amb un símbol: designa el conjunt de
nombres naturals; designa el conjunt de nombres enters i designa el conjunt de
nombres racionals. Els nombres reals formen part del conjunt de nombres complexos,
designat per .
No resulta fàcil demostrar que un nombre, com els anteriors, és irracional, ja que ningú
no pot assegurar que en xifres decimals més avançades no es pugui trobar la part
periòdica del nombre; tampoc no és senzill demostrar que un nombre no es pot
expressar com una fracció de nombres enters.
En general, la major part de les arrels (de qualsevol índex) de qualsevol nombre racional
és irracional. Però no s’acaben aquí els nombres irracionals perquè hi ha multitud de
nombres irracionals que tampoc no es poden expressar com una arrel d’un nombre
racional. Entre aquests nombres es troba el nombre denominat pi, a partir de la lletra de
l’alfabet grec que el representa, π. El nombre π indica quantes vegades més gran és la
longitud de la circumferència en relació amb el seu diàmetre, i la seva forma decimal és:
72...7950288419462643383235897932383,14159265
Un altre nombre irracional molt important és el denominat nombre e, el valor del qual
és:
526624...360287471384590452352,71828182e
Es pot observar que els nombres irracionals coneguts, a part de les arrels, es designen
amb una lletra (o fins i tot amb una expressió alfabètica, o amb el nom del seu
descobridor, o amb el nom que la comunitat científica decideixi); això és fàcilment
comprensible, ja que aquests nombres no es poden expressar de cap altra forma
coneguda: ni mitjançant una expressió decimal (ni fraccionària), ni com a arrel.
Un altre nombre irracional molt conegut és la secció àuria o divina proporció, φ, és un
nombre conegut des de molt antic per a expressar diferents relacions entre elements de
certes figures geomètriques. Per exemple, la relació entre la diagonal d’un pentàgon
regular i un dels seus costats és igual a la secció àuria.
La relació costat
diagonal d’un pentàgon regular és igual a φ:
L’arquitectura grega és plena de temples que semblen tenir relació amb la secció àuria:
el quocient entre el costat més llarg i el més curt de la seva base se sol acostar moltíssim
a aquest nombre. Numèricament, la raó àuria es pot calcular de manera senzilla:
.03091798..6563811772204586834387498948481.618033982
51
1.1.1 Classifica els següents nombres reals en Irracionals, Racionals, Enters i Naturals.
a) 2.23 b) 2/8 c) 9 d) 3692.0 e) 1
f) 3/4 g) 52 h) 9 i) 123 j) 6
k) 512 l) 1 m) 0 n) 000001.0
1.1.2 Completa la taula següent amb el símbols i :
N Z Q R - 15
4
3
5
8
π
- π
3,52
- 3,52
3,52222222...
0,1020304050...
3
3
3 2
9
9
1.1.3 Digues quin és el conjunt de nombres més petit al que pertanyen els següents
nombres:
a) -8 b) 7 c) 2 7 d) 2,345123123123...
e) 10 -7
f) 10 5 g)
5
3 h) -1,333...
2 Aproximació. Errors d’aproximació.
2.1 Aproximació per truncament i per arrodoniment.
Aproximar un nombre decimal consisteix a substituir-lo per un altre nombre de menys
xifres decimals. Es diu que una aproximació es fa per excés si l'aproximació és més
gran que el nombre original, i que es fa per defecte si l'aproximació és més petita que el
primer.
El truncament és una aproximació que consisteix a eliminar totes les xifres a partir
d'un cert ordre establert.
L'arrodoniment és una aproximació que consisteix a eliminar les xifres a partir d'un
cert ordre, i si la primera xifra per eliminar és 0, 1, 2, 3 o 4, la xifra decimal que es
manté no varia. Per contra, si la primera xifra eliminada és 5, 6, 7, 8 o 9, l'última
xifra decimal de la nostra aproximació s'incrementa en una unitat.
2.1.1 Trunca el nombre = 3, 14159265391...
Al dècim : Al centèsim : Al centmil•lèsim:
Al mil•lèsim : Al milionèsim :
2.1.2 Arrodoneix el nombre d’or = 1, 6180339887...
Al dècim : Al centèsim : Al mil•lèsim :
A la unitat : Al milionèsim :
2.1.3 Aproxima a les centèsimes per defecte, excés i arrodoniment els següents nombres
decimals:
a) 2,2578 b) 0,772 c) 3,298 d) 5,9974
e) 3,141592653 f) 2,7182818 g) 1,41421356
h) 1,732050808 i) 2,236067977
2.1.4 Opera i arrodoneix a la dècima:
a) 3,253+8,4568 b) 18,93-52,3255 c) 13,5 • 2,73 d) 40,92:5,3
2.1.5 Completa la següent taula.
Arrodoneix a les
dècimes
Arrodoneix a la
centèsima
Trunca a la
mil·lèsima
52
51058331.2
86.5
5811111.33 1125
3
2.2 Errors d'aproximació.
L'error absolut d'una aproximació és el valor absolut de la diferència entre el valor
real i el valor de l'aproximació:
óAproximaciala VVE Re
L'error relatiu d'una aproximació és el quocient entre l'error absolut i el valor real:
al
óAproximacial
al
ar
V
VV
V
EE
Re
Re
Re
2.2.1 Calcula l’error absolut i l’error relatiu si en comptes del valor exacte 3,470239
agafem el valor:
Agafem el valor Error absolut Error relatiu
3,47
3,47023
4
2.2.2 Si aproximem el nombre 11,367 per 11 o per 11,3, quin és l’error absolut i relatiu
que cometem? I si l’aproximació és de 11,4? Quina és la millor aproximació?
2.2.3 Aproxima els nombres 8,2365 i 88,2365, de manera que l’error absolut que
cometem sigui més petit que 0,01. Quin és l’error relatiu en cada cas? Per què un és
menor que l’altre?
3 Intervals.
3.1 El llenguatge dels intervals.
Un interval és un conjunt de nombres reals que correspon amb els punts d'un segment o
d'una semirecta de la recta real.
Un interval està determinat pels seus dos extrems corresponents, en el cas dels
segments, i un extrem, en el cas de les semirectes.
Segons si inclouen o no els punts extrems, els intervals poden ser oberts, semioberts o
tancats.
Interval obert ),( ba bxa
Interval tancat ba, bxa
Interval semiobert ba, bxa
Interval semiobert ba, bxa
Semirecta oberta ,a xa
Semirecta tancada ,a xa
Semirecta oberta b, bx
Semirecta tancada b, bx
3.1.1 Determina els següents intervals:
3.1.2 Determina els següents intervals:
3.1.3 Representa els següents intervals sobre la recta real:
a) (-2, 5) b) [3, 7] c) (-5, 0] d) [-7, -3) e) (-∞, 4)
f) [-2, +∞) g) (-∞, 0]
3.1.4 Representa els següents intervals sobre la recta real:
a) 5n b) 5n c) 1x d) 2r e) 5n
f) 2r g) 2k h) 5m i) 2x j) v5
k) v 2 l) 5x m) 2 x n) a5 o) 2x
p) 5x q) b5 r) b 2
3.1.5 Representa els següents intervals sobre la recta real:
a) 42, xIRx b) 5, xIRx c) xIRx 3,
d) 5, xIRx e) 42, xIRx f) xIRx 5,
g) 106, xIRx h) 70, xIRx i) xIRx 0,
3.1.6 Expressa mitjançant intervals els següents conjunts de nombres reals:
a) Més petits o iguals que -5.
b) Més grans que 0 i més petits que 7.
c) Més grans 25.
d) Més petits o iguals que 10 i més grans que -3.
e) Més petits que -2 i més grans o iguals que -8.
f) Més petits o iguals que 2/5.
g) Més grans o iguals que -1 o més petits o iguals que 1.
3.2 Operacions amb intervals.
El conjunt format per tots els elements d'uns altres dos conjunt A i B es designa BA .
Es llegeix "A unió B".
El conjunt format pels elements que pertanyen a A i a B (a ambdós) es designa BA .
Es llegeix "A intersecció B".
El conjunt format per tots els elements de A que no estan en B es designa per BA . Es
llegeix "A menys B".
Si en un cert context hi ha un conjunt U , anomenat conjunt universal, en el qual estan
continguts tots els altres conjunts que es manegen, el conjunt AU s'anomena
complementari de A, i es designa cA .
3.2.1 Calcula les unions d'intervals següents:
a) 11,25,7 b) 15,17,3 c) 4,22,4
d) 1,57,10
3.2.2 Siguin els intervals 12,4A , 4,2B , ,3C i 7,2D , fes les
següents operacions en la recta real i expressa la solució en forma d’interval i de
desigualtat:
a) BA , BA b) CA , CA c) DA , DA
d) BC , BC e) BD , BD f) DC , DC
4 Potències d'exponent enter.
4.1 El llenguatge dels exponents positius i negatius.
Si a és un nombre real diferent de 0, i n és un nombre natural, definim:
n vegades
0
n vegades
...
11
1
...
aaaa
a
aaa
n
n
n
En particular, tenim:
aa 1 a
a11
a
b
b
a
1
4.1.1 Escriu en forma de fracció simplificada:
a) 25 b) 32 c) 2)3( d) 2)5(
4.1.2 Escriu en forma de fracció simplificada totes les possibles combinacions següents:
a) 23 b) 2)3( c) 23 d) 2)3(
4.1.3 Expressa aquestes fraccions com a potència d'exponent negatiu:
a)
4
3
1
b)
3
8
1
c)
3
5
1
d)
2
7
2
4.1.4 Escriu com a producte de potències de base entera:
a) 7
3 b)
16
9
Atenció als parèntesis! nn aa )( si n és senar.
4.1.5 Calcula i comprova que no són iguals:
a) 33 i 33 b) 52 i 52 c) 51 i 51
Però que passa si l'exponent és parell?
Calcula i comprova que sí son iguals:
a) 23 i 23 b) 42 i 42 c) 61 i 61
4.2 Propietats de les potències.
a) Producte i quocient de potències de la mateixa base.
mnmn aaa mn
m
n
aa
a
b) Potència d'un producte i potència d'un quocient.
nnnbaba
n
nn
b
a
b
a
(suposant que 0b )
c) Potència d'una potència.
mnmn aa
4.2.1 Expressa el resultat com una potència.
a) 374 222 b) )3()3(:)3( 24 c) 273 5:55
d) 2
5
3
3 e) 347
4.2.2 Expressa en forma d'una única potència.
a) 7
4
3
1:3:
3
1 b)
2
5
4
7
17
7
1
c) 1
5
3 44
1:)4(
4.2.3 en forma d'una única potència.
a)
5
842
3
33:3
b)
27
423
5:5
5:55
4.2.4 Calcula aplicant les propietats de les potències:
a) 2
3
7
14 b)
5
2
3
9 c)
2
5
8
4
4.2.5 Simplifica les següents expressions. Les respostes només poden tenir exponents
positius.
a) 32 22 mm b) 34 2 mm c) 23 24 xx d) 34 24 nn
e) kk 42 4 f) 3133 22 yxyx g) xy 32 2 h) 234 vuv
i) 3423 34 baba j) 2342 yxyx
4.2.6 Simplifica les següents expressions. Les respostes només poden tenir exponents
positius.
a) 02x b) 422
x c) 404h d) 234a e) 443k
f) 14
xy g) 142
b h) 212 yx i) 1342
yx j) 23
m
k) 3
2
2x
x l)
4
1
4x
x
m) 3
4
3
3
n
n n)
4
4
2m
m o)
3
43
m
m
p) 432
344
3
2
zyx
zyx
q) x
zyx
4
4 320
r) jk
kjh
3
2 433
s) 422
334
3
4
pnm
pnm t)
004
1133
zyx
zyx
4.2.7 Simplifica 6
73
43
)2()2(
5 Radicals.
5.1 Concepte de radical. Per a qualsevol nombre natural 0n i per a qualsevol nombre real 0a , es pot
demostrar l'existència i unicitat de la solució no negativa de l'equació axn .
A aquest nombre li direm arrel n-èsima de a, i el denotarem com n a .
Al nombre n li direm índex de l'arrel, i al nombre a, radicand.
Si n és parell i a és negatiu l'equació axn no té cap solució real. Per tant, no
existeixen radicals d'índex parell de nombres negatius.
L'única solució de l'equació axn és 0x , per tant 00 n per a qualsevol n.
Existeixen dues definicions diferents del que és una arrel:
Arrel aritmètica: n a és el nombre no negatiu tal que axn
Exemple: 24
Arrel algebraica: n a és el conjunt de solucions de l'equació axn
Exemple: 2,24
Nosaltres sempre utilitzarem la definició aritmètica, és a dir, una arrel, si
existeix, sempre serà un nombre, mai un conjunt.
Per exemple, 9 és el nombre 3, i no és 3 ni 3,3 .
Recorda que no existeixen arrels de base negativa i exponent parell.
Per exemple, no existeixen 2 , ni 4 3 , ni 6 1 .
5.1.1 Determina, sense fer servir la calculadora, les següents arrels:
a) 4 16 b) 3 8 c) 3 8 d) 8 256 e) 8 256
f) 5 10000 g) 5 10000
5.2 Radicals escrits mitjançant exponents fraccionaris.
Tot radical es pot escriure com a potència d'exponent fraccionari:
nn aa /1
i amb aquesta notació es mantenen totes les propietats de les potències.
El nombre n s'anomena índex de l'arrel, i el nombre a s'anomena radicand.
Propietats de les potències i dels radicals.
Potències Radicals
m nmn aa /
nnn baba nnn baba
n
n
n
b
a
b
a
)0( b n
n
n
b
a
b
a )0( b
mnmn aa mnm n aa
n mm
n aa mnmn aaa
mn
m
n
aa
a
n
n
aa
1 )0( a
5.2.1 Escriu les següents expressions en forma de radicals:
a) 2/17 b) 3/44 c) 3/52 d) 6/12
5.2.2 Escriu les següents expressions en forma exponencial:
a) 310 b) 54 5 c) 3 2
5.2.3 Simplifica:
a) 2/19 b) 6/11000000 c) 2/336
5.3 Simplificació de radicals.
Per simplificar un radical, l'expressem en forma de potència d'exponent fraccionari i
simplifiquem la fracció de l'exponent.
m pmn pn aa
Per exemple, volem simplificar 3 64 :
42226464 23/63/163/13
5.3.1 Simplifica els següents radicals:
a) 3 8 b) 1016 c) 6 125 d) 4 4 e) 6 216
f) 15 27 g) 10 32 h) 4 9 i) 6 25 j) 20 625
k) 3 27 l) 10 49
5.3.2 Simplifica els següents radicals.
a) 4 81 b) 5 32 c) 4 256 d) 3 1000
Simplificació de radicals amb extracció de factors.
Observa els següents exemples:
a) 222222288 22 22 22 32
b) 333 33 33 43 333333381
5.3.3 Extreu factors fora dels radicals:
a) 78 32 b) 3 610 53 c)
15 45 73
5.3.4 Simplifica els següents radicals:
a) 48 b) 75 c) 12 d) 125 e) 648
f) 72 g) 288
5.3.5 Simplifica els següents radicals:
a) 252 b) 24 c) 3848 d) 1757
5.4 Reducció a índex comú.
Podem passar radicals d'índex diferent a un mateix índex calculant el mcm dels índexs
respectius.
Redueix a índex comú 5 i 3 7
El mínim comú múltiple de 2 i 3 és 6, per tant:
6 26 3
6 26/23/13
6 36/32/1
7 i 5
77776
2
3
1
55556
3
2
1
5.4.1 Redueix a índex comú els següents radicals:
a) 3 2 , 3 , 6 5 b) 12 52 , 4 6 , 3 7 c) 5 , 3 6 , 6 30
d) 5 10 , 5 , 10 60
5.4.2 Redueix a índex comú les següents parelles de radicals:
a) 3 11 i 4 3 b) 3 5 i 5 7
5.5 Suma i resta de radicals.
La suma de radicals no és el radical de la suma: baba
Només es poden sumar radicals si tenen el mateix índex. Per exemple:
555 21821127
Exemples:
a) 323754373534
b) 33333 4941131411434
Si no podem operar, es deixa l'operació indicada:
37233723
3333 7351173511
5.5.1 Calcula les següents sumes algebraiques de radicals.
a) 235826511 b) 3374327335
c) 50212218375 d) 85027221283
5.5.2 Calcula:
a) aaa b) bb c) aa 2
d) aaaaa 225 23 e) abba4
1
4
3
2
12
f) abaabaab 92736 g) xyxx3
7
3
23
h) babaa 22
132
3
1
5.5.3 Fes aquestes sumes i restes de radicals:
a) 31136 b) 102104 c) 33 51257
d) 3
91292
5.5.4 Fes les següents operacions i simplifica el resultat:
a) 87838 b) 333 c) 2323
d) 22333 e) 536252 f) 246
g) 242543 h) 18626 i) 54122123
5.5.5 Fes les següents operacions i simplifica el resultat:
a) 20048 b) 452802 c) 1123282
d) 32518325 e) 18550364
f) 5465964 g) 7422503
5.6 Simplificació de producte i divisió de radicals.
Per multiplicar o dividir radicals, primer es redueixen a índex comú i després es
multipliquen o es divideixen els radicands.
Exemples:
a) 7 57 327 37 2 55555
b) 6 236 26 33 252525
5.6.1 Fes les següents operacions:
a) 3 54 b) 4 37
5.6.2 Simplifica:
a) 6123 b) 105 c) 545 d) 3154
5.6.3 Simplifica:
a) 205
15 b)
100
8 c)
27
6 d)
42
203
5.7 Operacions combinades amb radicals.
5.7.1 Calcula:
a) 353 b) 2652 c) 6233
d) 61053
5.7.2 Calcula:
a) 35153 b) 3553 c) 25354
d) 35353
5.7.3 Suma per diferència amb arrels. Calcula:
a) 1515 b) 5252 c) 3232
d) 4545 e) 5353 f) 7272
5.7.4 Calcula:
a) 53232 b) 52545
c) 3535 d) 33345
5.8 Racionalització.
Racionalització amb un sol radical al denominador.
Per racionalitzar una fracció del tipus n kb
a multipliquem el numerador i el
denominador per n knb
En efecte:
b
ba
b
ba
b
ba
bb
ba
bb
ba
b
b
b
a
b
an kn
n n
n kn
n knk
n kn
n knk
n kn
n knn k
n kn
n kn
n kn
n kn k
i ens queda una fracció equivalent sense cap radical al denominador.
Racionalitza 5
3
Hem de multiplicar numerador i denominador per 55 12
5
53
55
53
5
5
5
3
5
3
5.8.1 Simplifica:
a) 5
4 b)
35
4 c)
3
5 d)
32
2
5.8.2 Simplifica:
a) 55
34 b)
34
22
Conjugació d'expressions amb radicals.
El conjugat de ba és ba . El conjugat de ba és ba .
Quan multipliquem pel conjugat sempre se'n van les arrels quadrades.
5.8.3 Aprofitant la identitat notable "suma per diferència": 22 bababa
calcula les següents expressions:
a) 3232 b) 2525
c) 323323 d) 53725372
Racionalització amb un binomi al denominador.
Per racionalitzar una fracció amb un binomi al denominador multiplicarem numerador i
denominador pel conjugat del denominador; és a dir, si el denominador és una suma
BA , multiplicarem per la resta BA , i viceversa.
Racionalitza la següent expressió: 37
8
Multipliquem i dividim pel conjugat del denominador:
3737
378
37
37
37
8
Calculem el denominador, com hem fet a l'exercici anterior:
43737373722
Substituïm i simplifiquem:
372
1
372
4
378
3737
378
Racionalitza la fracció 42
3
El conjugat de 42 és 42 . Per tant:
14
423
162
423
42
423
4242
423
42
42
42
3
42
3
22
5.8.4 Racionalitza les fraccions següents:
a) 544
3
b)
335
5
c)
54
35
d) 424
352
e)
54
225
5.8.5 Racionalitza les fraccions següents:
a) 52
2
b)
352
4
c)
35
2
d)
252
2
5.8.6 Racionalitza les fraccions següents:
a) 9
324 b)
93
34 c)
45
324 d)
162
232 e)
134
552
f) 174
45 g)
3
332 h)
63
25 i)
253
5
j)
543
5
k) 25
2
l)
232
5
m)
334
3
n)
22
4
o)
53
4
p) 3252
2
q)
244
4
r)
534
4
s)
21
1
t) 13
33
u)
27
214
v)
52
102
5.8.7 Racionalització d'expressions algèbriques.
a) ab
aab
b)
ba
aba
c)
abba
ab
d) abba
ba
5.8.8 Simplifica:
a) y
x
8
24 3
b) y2
3 c) 272 x
5.8.9 Racionalitza les següents expressions:
a) 12
1
b)
17
3
c)
16
5
d)
15
4
e)
25
3
f) 13
10
g)
35
2
h)
23
6
i)
152
19
j)
227
1
k) 323
5
Racionalitza la següent expressió: x
x
53
2
Multipliquem i dividim pel conjugat del denominador:
xx
xx
x
x
x
x
x
x
5353
532
53
53
53
2
53
2
Calculem el denominador, aplicant la identitat notable "suma per diferència":
xxxx 5353535322
Calculem el numerador:
xx
xxxxxxxxxx
106
10652325232532 2
Per tant, ens queda x
xx
x
x
53
106
53
2
Observem que el numerador es pot simplificar més traient factor comú 2 :
xxxxxxxx 53252325232106
5.8.10 Racionalitza les següents expressions:
a) x31
2
b)
xx 23
8
c)
mm
m
3
2
6 Exponencials i logaritmes.
6.1 Concepte d'exponencial i logaritme.
Donat qualsevol nombre real positiu a , suposem l'existència de la funció xaxf )(
i de la seva funció inversa )(log)(1 xxf a .
Una exponencial sempre es positiva: 0xa , per tant els logaritmes mai estan
definits per als nombres negatius.
Exponencials i logaritmes notables:
Base Exponencial Logaritme
2.7182e xe )ln()(log xxe "logaritme neperià o natural"
10 x10 )log()(log10 xx "logaritme decimal"
(s'escriu sense indicar la base)
6.1.1 Determina, sense fer servir la calculadora, els següents logaritmes:
a) 8log2 b) 9log3 c) 10000log d) 125log5 e) 16log4
f) 25.0log4 g) 0001.0log
6.1.2 Determina aquests logaritmes sense fer servir la calculadora:
a) 81log9 b) 2ln e c)
4
1ln
e
6.1.3 Resol les següents equacions:
a) 5log3 x b) 3log5 x c) 1log2 x
d) 33log x e) 14log x f) 07log x g) 01log x
Propietats de les exponencials i els logaritmes.
Exponencials Logaritmes
bcca a
b )(log
10 a , aa 1 0)1(log a , 1)(log aa
cbcb aaa )(log)(log)(log cbcb aaa
cb
c
b
aa
a
c
bcb aaa log)(log)(log
cbcb aa
)(log)(log n
aa bbn
)(log
)(log)(log
a
bb
c
ca
(Fórmula del canvi de base)
6.1.4 Demostreu que
1loglogloglog adcb dcba Solució: PA/1.3
7 Notació científica.
7.1 El llenguatge de la notació científica.
La notació científica és la forma habitual d’escriure els nombres, racionals o irracionals,
en les disciplines científiques, especialment aquelles que fan servir nombres molt grans,
o que usen nombres molt petits. Bàsicament, la notació científica permet evitar el gran
nombre de zeros que requereixen alguns nombres.
Moltes ciències requereixen nombres molt grans o inusualment petits: l’astronomia, per
exemple, necessita treballar amb nombres grans perquè també són immenses les
distàncies amb què treballa; en canvi, la física de partícules, com que investiga ens
diminuts, utilitza nombres molt petits. Per a evitar nombres d’aquest tipus:
1403400000000000000000000000000000000000000
o bé
0,000000000000000000000000000000000874
es requereix una notació més compacta i eficient: la notació científica. Els nombres
anteriors s’escriurien amb notació científica de la manera següent:
1, 4034·1042
8,74·10–34
Es pot observar que l’expressió es descompon en dues parts:
1. Un nombre decimal el valor absolut del qual és més gran o igual a 1, i menor que 10,
denominat mantissa.
2. Una potència de deu (de vegades anomenada, simplement, exponent).
El producte d’ambdós nombres ha de coincidir amb el nombre en qüestió. Es pot
observar que aquesta forma d’escriure un nombre evita els zeros innecessaris; la
informació de quants 0 s’han de posar es troba en l’exponent. Així, doncs:
Per a expressar un nombre en notació decimal, s’ha de trobar la primera xifra diferent de
zero, per l’esquerra del nombre.
7.1.1 Completa la següent taula amb les potències de 10. Què observes?
k k10
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
Direm que un nombre real està escrit en forma científica quan estigui expressat de
la forma ka 10 , on:
a és un nombre de l'interval 10,1 , que s'anomena mantissa,
k és un nombre enter que s'anomena ordre de magnitud.
7.1.2 Escriu en notació científica:
a) 000000786.0 b) 3940 c) 7.4 d) 1260000 e) 06.0
f) 175
7.1.3 Escriu en notació convencional:
a) 31017.6 b) 4107 c) 61031.7 d) 8104.5 e) 3107.6
f) 21059.9
7.1.4 Escriu en notació científica:
a) 6102.0 b) 81030 c) 3104.88 d) 9108.28
7.1.5 Escriu en notació científica:
a) 000006.0 b) 5400000 c) 60 d) 0000002.0 e) 2000000 f) 31071
g) 0000009.0 h) 11063.0 i) 000216.0 j) 0042.0
7.1.6 Escriu en notació convencional:
a) 1109.0 b) 1102 c) 5102 d) 210804 e) 41066.2
f) 2105.1 g) 11075.7 h) 7103.8 i) 0104 j) 5104
8 Equacions de primer grau.
Resol l'equació 553 xx
553 xx és una equació de primer grau amb una incògnita:
És una equació perquè és una igualtat entre expressions algebraiques.
Té una incògnita, que és la x.
És de primer grau perquè la incògnita x no es multiplica mai per cap altra
incògnita, inclosa ella mateixa.
1. Agrupar termes numèrics:
553 xx
2. Agrupar termes amb incògnita:
103 xx
3. Eliminar el coeficient de la incògnita:
52/10 x
8.1.1 Resol les següents equacions:
a) xx 71376 b) xx 1413
c) 88237 xxx d) xxx 48
e) bbb 5127614 f) nn 142
g) nnn 4143 h) aa 6337
i) 6225 xx j) 575410 xx
k) 146)51(48 nnn l) )31(42206 nnn
m) )22(7404 nn n) aa 8141)45(7
o) )51(55431 xx p) )4(8738 kk
q) 4)46(4)34(48 xxx r) )74(2)31(3 xx
s) 2632)58(4 xx t) xxxx 576)3(8)1(3
8.1.2 Resol les següents equacions:
a) 52 x b) 1572 x
c) 4252 xx d) 956 x
e) 25372 xxx f) 3)7(25 x
g) 16)35(2 xx
h) )53(2)1(7)42(6)1(3 xxxx
i) 42
3
x j)
4
1
3
2
xx
k) 45
6
3
2
xx l) 1
5
2
2
1
xx
m) 313)12(5)2(345 xxx n) 64
32
12
3
x
x
8.1.3 Resol les següents equacions:
a) 57 x b) 1423 x
c) 234 xx d) 385 x
e) xxx 41425 f) 351861173 xxxxx
g) 40)2(5 x h) )42(3)13(2)3(4)2(3 xxxx
i) 3)13(2 x j) 3534)3(325 xxx
k) 112
53
x l)
5
32
3
4
xx
m) 112
1
3
2
xx n)
5
61
10
73
6
15
8
9 xxxx
8.1.4 Equacions de primer grau amb arrels quadrades. Resol les següents equacions:
a) 3231233 x b) 05522 xx
c) 22
43313 xxxx
d) 362363 xxxx
e) 0515101025 xx f) 3737272
xxxx
9 Polinomis i operacions amb polinomis.
9.1 Expressions algèbriques.
Una expressió algebraica conté nombres, lletres i signes d'operació. Les lletres d'una
expressió algebraica s’han de tractar com si fossin nombres, i per això es poden sumar,
restar, multiplicar i dividir, seguint les mateixes regles que els nombres. Les expressions
algebraiques permeten expressar operacions entre quantitats desconegudes, substituint
el valor desconegut per una lletra.
Un exemple d'expressió algebraica és: 13
23
y
ax
Avaluació d'expressions algèbriques.
Les lletres d'una expressió algebraica també es poden substituir per nombres. Per
exemple, en l'expressió algebraica 624 yx es pot substituir la lletra x pel valor 3, i
la lletra y, pel valor 4. En aquest cas, l'expressió algebraica es transforma en:
10681264234
En definitiva, un valor numèric d'una expressió algebraica es troba substituint les seves
lletres per nombres i trobant el seu resultat. És evident que el valor numèric d'una
expressió algebraica depèn dels valors concrets que rebin les lletres. Així, per exemple,
l'expressió algebraica anterior, 624 yx
quan x = 5 i y = 2 , el seu valor numèric és igual a 2262254
quan x = –3 i y = –1 , el seu valor numèric és igual a 46)1(2)3(4
quan x = –2 i y = 5 , el seu valor numèric és igual a 12652)2(4
Simplificació d'expressions algèbriques.
La simplificació d'una expressió algebraica consisteix en la seva reducció al mínim
nombre de termes possible, utilitzant les propietats de les operacions en expressions
algebraiques. Encara que les propietats es poden aplicar en ordre diferent, el resultat
final sol ser molt semblant.
Amb la finalitat de simplificar una expressió algebraica de certa longitud, s'han d'aplicar
les propietats de la suma, resta, multiplicació i divisió. La simplificació consisteix en la
conversió de l'expressió original en una altra que hi sigui equivalent, però amb el mínim
nombre de termes possible. Vegem-ho amb un exemple; s'ha de simplificar:
baaba 534
Encara que la manera de simplificar no és única (les propietats es poden aplicar en un
altre ordre), generalment, el resultat final és molt semblant:
ba 53
Equacions.
Una igualtat entre expressions algebraiques també es pot denominar equació. En aquest
cas, les lletres es denominen incògnites. Així, per exemple, són equacions:
7634 bacba , 4
72822
xyx
En el primer cas, les incògnites són a , b i c; en el segon cas, x i y.
La resolució d'una equació consisteix en la recerca de totes les solucions d'una equació.
La dificultat en la resolució depèn de molts factors, entre ells: el nombre d'incògnites i
el grau de l'equació. De vegades, només és possible trobar una aproximació d'alguna de
les solucions; en aquest cas es diu que s'ha trobat una solució numèrica de l'equació.
9.1.2 Calcula el valor numèric de les expressions següents en els valors que s’indica:
a) x3 , si x = –4 b) ba 42 , si a = 6 i b = 0
c) 35 2 x , quan x = 3 d) 23 49 aa , en el cas que a = –1
e) 32 43 xx , si x = –2 f) 13 2 x , quan 2
1x
g) 3
ba si a = 3 i b = –10 h)
9
252 x , quan 3
5x
9.1.3 Calcula el valor numèric de les expressions següents en els valors que s’indica:
a) 25 x , x = – 6 , x = 0 , 2
1x
b) 232 aa a = 4 , a = - 2 , 2
3a
c) 2
2x
x x = – 3 ,
2
1x
d) 32
2
1
3
1xx x = – 6 ,
2
1x , x = 0
e) 2
yx x = - 4 i y = – 10 , x = 2 i y = 0
f) 3
2 2 xx
2
3x , x = - 1 ,
3
4x
9.1.4 Calcula el valor numèric de les expressions següents en els valors que s’indica:
a) b
a 2
3
3
2a i b = 2 b) 1023 2 xx x = -2
c) yx3
23 x = 3 i y = 6 d) 223 aa
2
3a
e) 35 a a = –7/5
9.2 Polinomis. Avaluació de polinomis.
Un monomi en una indeterminada x és una expressió de la forma nxa , on a és un
nombre real anomenat coeficient, i n és un nombre natural anomenat grau del monomi.
Un polinomi en una indeterminada x és qualsevol suma de monomis, és a dir, és una
expressió de la forma:
01
2
2
2
2
1
1 ... axaxaxaxaxa n
n
n
n
n
n
El grau d’un polinomi és l’exponent més gran de la indeterminada x. El coeficient
principal d’un polinomi és el coeficient del terme amb l’exponent més gran. El terme
independent és el que no duu indeterminada.
Els polinomis són una subclasse de les expressions algebraiques.
Avaluar un polinomi és determinar el valor que s’obté en substituir la indeterminada x
per un nombre donat.
Per exemple: Donat el polinomi 353)( 2 xxxp
Si 4x , llavors 3134543)4( 2 p
Si 5x , llavors 1033)5(5)5(3)5( 2 p
9.1.1 Avalua el següent polinomi per als valors indicats:
a) 2( ) 2 3f x x x
3x
1x
b) 3 2( ) 5 4 2 1f x x x x
0x
1x
Avaluació de polinomis amb el mètode de Ruffini.
Avalua el polinomi 95273)( 234 xxxxxf per a 2x
Avaluació amb el mètode convencional:
131925222723)2(234
f
El "mètode de Ruffini" és un mètode mecànic per a avaluar polinomis sense haver de
calcular les potències de la variable x.
Avaluació amb el mètode de Ruffini:
3 -7 2 -5 9
-2 -6 26 -56 122
3 -13 28 -61 131
9.2.1 Avalua els següents polinomis amb el mètode de Ruffini:
a) 14232 234 xxxx per a 2x , per a 3x
b) 3725 23 xxx per a 2x , per a 1x
c) 14 27 xx per a 1x , per a 1x
Paolo Ruffini (Roma 1765-Mòdena 1822)
Va estudiar medicina i matemàtiques a la Universitat de Mòdena, on
va arribar a ser professor i finalment rector, càrrec que va ocupar fins
a la seva mort.
9.3 Suma, resta i multiplicació de polinomis.
Suma i resta de polinomis.
Sumem o restem els monomis semblants i ordenem. Exemples :
6115)()(542)(
1173)(2
2
2
xxxqxp
xxxq
xxxp
434)()(23)(
647)(2
2
2
xxxqxp
xxxq
xxxp
9.3.1 Donats els polinomis 267)( 23 xxxxp i 4593)( 234 xxxxxq ,
calcula )()( xqxp i )()( xqxp .
Multiplicació d'un monomi per un polinomi.
Per multiplicar un monomi per un polinomi apliquem la propietat distributiva: Hem de
multiplicar el monomi de fora per tots els elements de l'interior del parèntesi.
9.3.2 Calcula:
a) 3 · (a – 5) b) – 2 · (6 + 12a) c) 11 · (2a – 3)
d) – 7 · (3 + 20b) e) 4x · (– 12x + 6) f) a2 · (a – 12)
g) – 3a · (a2 – 6a – 7) h) 2x
2 · (–13x – 14) i) (15x + 4) · (– 3)
j) (60x + 40) · (– 300) k) – 11a · (a2 – 2a – 5) l) (8x + 300) · (– 30)
m) (– 50x2 – 5) · (– 6x
2)
Multiplicació de polinomis.
La multiplicació de dos polinomis és un altre polinomi de grau igual a la suma de graus
dels factors. El polinomi s’obté en multiplicar cada terme d’un factor per cadascun dels
termes de l’altre. És a dir, s’ha d’aplicar successivament la propietat distributiva de la
multiplicació respecte de la suma.
Calcula el producte de 1173)( 2 xxxp i 1173)( 2 xxxp
20935266
55354428221514126
55442235281415126
5421154275423
5421173)()(542)(
1173)(
234
222334
223234
2222
22
2
2
xxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxqxpxxxq
xxxp
Si els polinomis que volem multiplicar són grans, és aconsellable fer-ho de la següent
manera, col·locant en columna els termes semblants que obtenim en efectuar els
productes parcials a fi i efecte de facilitar-ne la suma posterior:
Calcula: 34253 2 xxx
23x x5 2 x4 3 29x x15 6
312x 220x x8
312x 229x x23 6
9.3.3 Realitza les següents multiplicacions de polinomis:
a) 3216 xx b) 4524 xx c) 12322 xxx
d) 2435 2 xxx e) 6292 2 xxx
9.3.4 Realitza les següents multiplicacions de polinomis:
a) 1326 2 xxx b) 8262 xxx
c) 53342 2 xxx d) 2793 2 xxx
e) 63935 2 xxx
9.3.5 Realitza les següents multiplicacions de polinomis:
a) 132 22 xxxx b) 35742 22 xxxx
c) 53228 22 xxxx d) 432653 22 xxxx
9.3.6 Realitza les següents operacions:
a) 1323 xxx b) 37522 235 xxxx
c) 4644 23 xxxx d) 41138312 234 xxxxx
e) 13527 23453 xxxxxx f) 43752 232 xxxxx
g) 17342 22 xxxx h) 54216 22 xxxx
9.4 Potència de polinomis. Igualtats notables.
Potència de polinomis.
La potència d'un polinomi és el producte repetit del polinomi per si mateix. Recorda que
la potència d'una suma no és la suma de potències.
9.4.1 Calcula:
a) 213 x b) 22 32 x c) 223 2yy d)
2
2
2
1
a
9.4.2 Calcula:
a) 3)2( x b) 32 1x
Identitats notables.
Les identitats notables són algunes igualtats que apareixen sovint, i que val la pena
memoritzar-les.
Quadrat de la suma: 222 2)( bababa
Quadrat de la diferència: 222 2)( bababa
Suma per diferència: 22))(( bababa
9.4.3 Realitza les següents potències sense fer la multiplicació:
a) 2)1( x b) 2)2( x c) 2)12( x d) 2)23( x e) 23 )1( x
f) 22 )4( x
9.4.4 Escriu com a quadrat d’un binomi:
a) 962 xx b) 25102 xx c) 1682 xx
d) 49142 xx e) 9124 2 xx f) 11025 2 xx
g) 22 2 yxyx h) 16164 4 xx i) 22 4129 yxyx
9.4.5 Completa les expressions següents sabent que són desenvolupaments d’un binomi
al quadrat:
a) 16...2 x b) 1...2 a c) 912... x
d) 8136... x e) ...1025 2 xx f) 22 ...4 ba
g) 25...4 6 a h) ...416 2 xx
9.4.6 Realitza les següents potències sense fer la multiplicació:
a) 2)1( x b) 2)2( x c) 213 x d) 232 x
e) 22 )1( x f) 23 )3( x
9.4.7 Realitza les següents potències sense fer la multiplicació:
a) 962 xx b) 25204 2 xx c) 4
12 xx
d) 16164 2 xx e) 25204 2 xx f) 49429 2 xx
g) 2257049 xx h) 216249 xx i) 242520 xx
9.4.8 Completa les expressions següents sabent que són desenvolupaments d’un binomi
al quadrat:
a) ...42 xx b) 4...2 a c) 930... x
d) 2560... x e) ...4025 2 xx f) ...124 2 xyx
g) ...4025 54 xx h) 23 924... yyx
9.4.9 Calcula sense fer la multiplicació:
a) 1414 33 xx b) 2323 22 baba
9.4.10 Expressa com a suma per diferència les expressions següents:
a) 254 2 x b) 24 169 ba c) 22516 x d) 22 259 yx
9.4.11 Calcula:
a) 22 2)1( xx b) 222)1( xx
9.5 Divisió sintètica de polinomis.
Donats dos polinomis a(x) i b(x), de manera que el grau de a(x) sigui més gran o
igual que el grau de b(x), efectuar la divisió a(x) b(x) es trobar dos polinomis q(x)
i r(x) que verifiquin la igualtat
b(x)grau r(x)grau amb)()()()( xrxqxbxa
a(x) és el dividend, b(x) és el divisor, q(x) és el quocient i r(x) és el residu.
Divisió sintètica de polinomis ("amb capsa").
Divideix 77106)( 23 xxxxa entre 23)( xxb
6x3 -10x
2 7x -7 3x -2
6x3 -4x
2 2x
2 -2x +1
------ -6x2 7x -7
-6x2 4x
------ 3x -7
3x -2
------ -5
El resultat és: Quocient: 122)( 2 xxxq i residu: 5)( xr
Podem comprovar que, efectivament, )()()()( xrxqxbxa :
51222377106 223 xxxxxx
9.5.1 Realitza les següents divisions:
a) )23(:)12( 23 xxxx b) 152:3019 23 xxxx
c) 32:33 223 xxxxx d) 2:8292 2234 xxxxxx
9.5.2 Realitza les següents divisions:
a) )1(:)12( 2 xxx
b) 3:32432 22345 xxxxxxx
c) 1:18 xx
9.5.3 Realitza les següents divisions:
a) 24267 :3 xxxxx b) 1:122 23 xxxx
c) 1:2 3615 xxx
9.5.4 * Realitza les següents divisions:
a) 1:1 2246810 xxxxxx
b) 1:123456789 xxxxxxxxxx
c) 1: 2081 xx
9.5.5 * Realitza la següent divisió:
a) 12:4 2 nnn xxx b) 331515 : axax
9.6 Divisió amb el mètode de Ruffini.
El mètode de Ruffini només serveix quan el divisor és de la forma ax .
Divideix el polinomi 542)( 23 xxxp entre 3)( xxq
9.6.1 Divideix pel mètode convencional i per Ruffini, i escriu el quocient i el residu:
a) 2:4383 234 xxxxx
b) 3:813188165 2345 xxxxxx
c) 1:4367 xxxx
9.6.2 Divideix pel mètode de Ruffini:
a) 5:413112 23 xxxx
b) 2:3524229146 23456 xxxxxxx
c)
3
1:253 23 xxxx
9.6.3 Divideix pel mètode convencional i Per Ruffini:
a) 2:534 23 xxxx
b) 3:71192 23 xxxx
c) 4:529782 23456 xxxxxxx
d) 1:64344 23456 xxxxxxx
9.6.4 Divideix pel mètode de Ruffini:
a) 3:5116 23 xxxx b) 4:17137 234 xxxxx
9.6.5 Divideix pel mètode de Ruffini:
a) 2:352 23 xxx b) 2:13 34 xxx
c) 1:14 xx d) 1:13 xxx
e) 1:1234 xxxxx f) 3:61753 234 xxxxx
9.7 Divisibilitat de polinomis. El Teorema del Residu.
Direm que )(xp és divisible entre )(xq quan la divisió doni residu zero.
Equivalentment, direm que el polinomi )(xp és múltiple del polinomi )(xq , o que el
polinomi )(xq és divisor del polinomi )(xp .
Comprova que 3745)( 234 xxxxxp és divisible entre 32)( 2 xxxq
Efectivament, )(xp és divisible entre )(xq perquè la divisió )(:)( xqxp dóna residu 0
9.7.1 Demostra que el polinomi 5 4 3 2( ) 5 18 38 12 1p x x x x x x és divisible pel
polinomi 2( ) 7 1q x x x .
9.7.2 Comprova que el polinomi 162812)( 234 xxxxxp
a) És divisible pel polinomi 43)( 2 xxxq
b) No és divisible pel polinomi 4)( xxr
c) És divisible pel polinomi 44)( 2 xxxs
d) No és divisible pel polinomi 3)( xxt .
9.7.3 Comprova que el polinomi 253511)( 23 xxxxp
a) És un múltiple del polinomi 5)( xxq
b) És un múltiple del polinomi 56)( 2 xxxr
c) No és un múltiple del polinomi 2410)( 2 xxxs
Teorema del Residu:
El valor numèric d’un polinomi per a x a coincideix amb la resta de la divisió
d’aquest polinomi entre x a .
9.7.4 Calcula el residu de les divisions següents, sense fer l'operació:
a) 1:3254 xxx b) 1:52175 xxx
9.7.5 Donat 12)( 2 xxxp , calcula )2(p de dues maneres diferents: Mitjançant
l'avaluació del polinomi i amb una divisió. Comprova que s'arriba al mateix resultat.
Direm que un nombre a és una arrel del polinomi )(xp quan 0)( ap .
Aplicant el Teorema del Residu, arribem al següent resultat:
Un polinomi )(xp és divisible entre ax si i només si a és una arrel de )(xp .
Demostra que el polinomi 123123122)( 234 xxxxxp és divisible entre
4)( xxq , amb els dos mètodes: Fent la divisió i amb el Teorema del residu.
Fent la divisió:
2x4 -12x
3 23x
2 -31x 12 x -4
2x4 -8x
3 2x
3-4x
2+7x-3
-4x3 23x
2 -31x 12
-4x3 16x
2
7x2 -31x 12
7x2 -28x
-3x 12
-3x 12
0
Avaluant amb el mètode convencional:
0121243687685121243142341242)4( 234 p
Amb el mètode de Ruffini:
2 -12 23 -31 12
4 8 -16 28 -12
2 -4 7 -3 0
9.7.6 Demostra, mitjançant el mètode de Ruffini, que el polinomi
4812123)( 23 xxxxp
a) És divisible per 4)( xxq
b) És divisible per 2)( xxr
c) És divisible per 2)( xxs
d) No és divisible per 1)( xxt
e) No és divisible per 4)( xxt
9.7.7* Calcula a per a que el polinomi 1)( 23 axxxxp , dividit entre el polinomi
1)( xxq , doni residu 0.
9.7.8 Mitjançant el teorema del residu, comprova si és veritat o no que:
a) 1x és divisor de 155 x
b) 1x és divisor de 155 x
9.7.10 Problemes de divisibilitat.
a) Donat 233)( 24 xmxxxp , sabem que 10)2( p . Calcula el valor de m.
b) Dividint el polinomi cbxx 2 per 3x obtenim 2 de resta. Quant valen b i c si
aquest polinomi és divisible per 2x ?
c) Quin valor cal donar a k perquè el residu de la divisió de 628 23 kxxx per
12 x sigui 3?
d) Calcula a i b de manera que el residu de la divisió baxxx 23 23 per 12 xx
sigui 0.
e) Calcula el valor de k perquè el residu de la divisió de kxx 62 per 2x sigui 2.
f) El polinomi cbxxxp 2)( és divisible per 1x . Sabem també que, dividint-lo
per 1x i per 3x , dóna la mateixa resta. Troba c i b.
g) Calcula el valor de k perquè el residu de la divisió de kxx 3
42 per 3
1x sigui
3
2.
h) Calcula el valor de c perquè el polinomi cxx 75 2 sigui divisible per 2x .
i) Calcula el valor de n perquè el polinomi 73 23 xnx sigui divisible per 1x .
j) Considerem el polinomi mxxxp 6)( 2 .
Per a quin valor de m és p(x) divisible per 2x ?
Per a quin valor de m s’obté 3 de residu, en dividir-lo per 1x ?
Per a quins valors de m l’equació 062 mxx no té arrels reals?
10 Factorització de polinomis i equacions polinòmiques.
Factoritzar un polinomi és escriure'l com a producte de polinomis del grau més petit
possible.
10.1 Representació de polinomis com producte de factors.
10.1.1 Completa:
a) 630 b) 945 c) 510a
d) 416a e) bb 721 f) aa 520
g) 420 3x h) xx 48 4 i) yy 216 5
j) xyx 36 2 k) 454 99 aba
l) 62742 515 bcxcbx
10.1.2 Completa:
a) 521086 11121 cbcba b) 334
2
1
8
1xyyx
c) 22 )1(3)5()1(6 aaa
d) )2(2)2()(8 3 yxyxyx
e) )4()3(2)4()3(14 226 aaaa
f) 771210 )3()5(2)3()5(26 yxyxyxyx
10.2 Treure factor comú de polinomis.
Factorització de polinomis traient factor comú.
Anomenem "treure factor comú" a aplicar la propietat distributiva per generar un
parèntesis.
...... dcbadacaba
Treure factor comú és el mètode més elemental per a factoritzar polinomis.
Observa el següents exemples:
34233423 2344567 xxxxxxxx
132551510 242424363 xxyyxyxyxyx
3539153 322222352 abbabababa
10.2.1 Factoritza:
a) 2104 x b) 6186 x c) 5255 x
d) aaa 393 2 e) bbb 21614 2
f) xxx 72821 2 g) yyy 55045 2
h) aaa 2418 2 i) yyy 82440 3
j) 223 41216 xxx
Factoritza: bxax )7()7(
))(7()7()7( baxbxax
Factoritza: )1(5)1(3 2 xxxx
)53)(1()1(5)1(3 2 xxxxxxx
10.2.2 Factoritza les següents expressions:
a) byay )4()4( b) )4(6)4(8 23 nmnm c) bxax )9()9(
Factoritza: 71448 2442 abba
Observem que, tot i no tenir cap element en comú, el primer i el segon terme tenen 24b
com a factor comú.
Observem que el tercer i el quart terme tenen 7 com a factor comú.
)12(7)12(471448 2222442 aababba
Ara veiem que podem treure factor comú 12 2 a :
)12)(74()12(7)12(4 22222 abaab
Per tant, )12)(74(71448 222442 ababba
10.2.3 Factoritza mitjançant agrupació de termes.
a) 271832 baab b) 2847 yxxy c) 33 yxxy
d) bsbrasar 2054 e) byaybxax 921614
f) bymybxmx 36612 g) 632 2222 baba
10.2.4 Factoritza mitjançant agrupació de termes.
a) 33225544 623 babababa b) wxyzzyywxzyx 61035 23332
c) ycxbxyadxabccdba 22223
10.2.5 Factoritza mitjançant agrupació de termes.
a) yx 63 b) yaxa 223 c) abac 142
d) 234 248 aaa e) 22 963 yxxy f) 2232 12273 zyzyz
g) 232
9
1
3
1yxyx h) 423 20155 xyxx i) 2332 2530 baba
10.2.6 Factoritza mitjançant agrupació de termes.
a) )()( yxbyxa b) 2)3()3( yxyx c) )()( babax
d) )2(2)2(4 yxyxa e) )()( 2 baba
f) 2232 )32()32( yxyx g) )3)(1()2)(1( aaaa
h) )(2
1))((2 yxbayx i) )()(2 zyxazyxa
j) 3)3(6
1)3(
3
2baba k) yxyx
2
13
2
13
2
10.2.7 Treu factor comú:
a) 155 x b) 34 46 xx c) 345 61215 xxx
d) 3433528 1062 cbacbaba
10.2.8 Treu factor comú:
a) 8a2 – 48 b) 3 – 9x – 18x
2 c) 50x
5 – 25x
3
d) 9y – 27x – 81x
3 e) 20x
4 – 80x
8 f) 84a + 42
g) 24a – 36ab h) 30b + 5a2 – 15a i) –7x
3 – 28x
6
j) 44a
2 – 5b
10.2.9 Treu factor comú :
a) 6a2 – 9a + 3a b) 18 – 14x – 12x
2 c) 42x
5 – 35x
3
d) 9 – 18x – 36x
3 e) 55x
4 – 15x
7 f) 48a + 12
g) 2a – 3b h) 70ab + 49a2 – 28a i) –8x
3 – 64x
6
j) 50a
2 – 80a k) 4a – 2a
2 + 1 l) –30x
2 + 20x
4 + 50x
2
10.2.10 Treu factor comú:
a) 222 25 xxx b) 33 3311 yy c) 22 945 bab
d) 232 186 xyx e) )(3)(2 baaba c) )1(10)1(8 2 baba
d) 3222 12)8(14 cabccab e) 22 3015 xyx f) aab 03.006.0 2
g) )(32
9)(
16
9 2222 abba
10.3 Factorització per identitats notables (1): Diferència de quadrats.
Factoritza 162 x
Veiem que tenim la resta de dos quadrats, per tant, podem aplicar la identitat notable:
))((22 bababa
)4)(4(416 222 xxxx
Factoritza 12149 42 ba
Estem davant d'una diferència de quadrats, per tant, apliquem la identitat notable:
)117)(117(11712149 2222242 abababba
Factoritza 273 2 x
En principi no és cap diferència de quadrats, però apareix un cop traiem factor comú:
3333393273 2222 xxxxx
10.3.1 Factoritza els següents binomis:
a) 252 m b) 22 8136 qp c) 22449 cba
d) 1248 100wyx e) 753 2 x f) 2343 nmamba
Factoritza: 816 yx
Escrivim aquesta expressió com a diferència de dos quadrats:
48482428816 yxyxyxyx
Però ara observem que podem continuar: El primer factor és a la seva vegada diferència
de quadrats:
2424222448 yxyxyxyx
I, de nou, el primer factor és una diferència de quadrats:
yxyxyxyx 2222224
Per tant, yxyxyxyxyx 222848816
10.3.2 Factoritza:
a) 44 nm b) 116 8 y
10.4 Factorització per identitats notables (2): Quadrat d'un binomi.
Es tracta d'intentar adaptar al nostre trinomi les dues identitats notables següents:
Quadrat de la suma: 222 )(2 bababa
Quadrat de la diferència: 222 )(2 bababa
Factoritza: 962 xx
Veiem que el primer terme és el quadrat de x.
El tercer terme és el quadrat de 3.
Només cal comprovar que el terme del mig és el doble dels dos elements anteriors.
Efectivament, xx 326
Per tant, podem aplicar la identitat del quadrat de la suma:
22 )3(96 xxx
10.4.1 Factoritza identificant l'expressió com a quadrat d'un binomi, sempre que sigui
possible:
a) 169 2 xx b) 22 44 baba c) bb 1294 2
d) 263 96 abab e) xaxa3
2
9
1 22 f) 144 2 aa
g) yy 34
19 2 h) xyyx 354925 22 i) 224 12123 aaxx
j) 22
4
1baba
10.4.2 Factoritza identificant l'expressió com a quadrat d'un binomi, sempre que sigui
possible:
a) 4
252
25
4 2 yy b) 6416 24 xx c) 291525 bb
d) 223 1449 abbaa e) 4222 9)4(6)4( yxyxxyyx
f) )3(4
13 22
baxxba g) abab 24
9
9
4 22
h) 2)2()2(21 xx i) 22
8
12 yyxx
10.5 Factorització de polinomis amb el mètode de Ruffini.
El mètode de Ruffini permet anar trobant, per tempteig, totes les arrels d'un polinomi, i
ens dóna, si existeix, el polinomi factoritzat com a producte de factors lineals.
El mètode de Ruffini només permet buscar factors lineals, és a dir, aquells que són de
la forma ax .
Factoritza el polinomi 484102)( 23 xxxxp
2 -10 -4 48
3 6 -12 -48
2 -4 -16
16
0
4 8
2 4 0
-2 -4
2 0
Per tant )3)(4)(2(2484102)( 23 xxxxxxxp
Factoritza el polinomi 93)( 23 xxxxp
1 -1 -3 -9
3 3 6 9
1 2 3 0
Però veiem que no podem continuar. I és que el polinomi resultant 332 xx no es pot
descomposar en factors més petits.
Per tant: )33)(3(93)( 223 xxxxxxxp
Treballant amb nombres reals ens trobarem que no tot polinomi factoritza amb
polinomis de primer grau. Però treballant amb nombres complexos sempre
podrem descomposar qualsevol polinomi en polinomis de primer grau. Per
exemple, el polinomi anterior es factoritza com:
2
33
2
33)3(93)( 23 i
xi
xxxxxxp
Aquest resultat és tan important que s'anomena "Teorema Fonamental de
l'Àlgebra", i va ser demostrat per primera vegada per Carl Gauss en la seva tesi
doctoral, al 1799.
Factoritza el polinomi 7039)( 3 xxxp
Recorda que al fer Ruffini hem d'afegir les columnes "zero": Les que corresponen
als coeficients invisibles!
703907039)( 233 xxxxxxp
La factorització és: )7)(5)(2(7039)( 3 xxxxxxp
10.5.1 Factoritza els següents polinomis:
a) 252 23 aaa b) 4543 23 bbb c) 810 25 xx
d) 48163 45 aaa e) 3452 23 bbb f) xxxx 234 256
10.5.2 Factoritza els polinomis següents:
a) 863 23 xxx b) 65 234 xxxx c) xxx 54 23
d) 181822 23 xxx e) 6116 23 xxx f) 573 23 xxx
10.5.3 Factoritza els polinomis següents:
a) 26 81xx b) 83 x c) xx 253
10.5.4 Factoritza els polinomis següents:
a) 3042 2 xx b) 144 2 xx c) 123 2 xx
d) 132 2 xx e) 156 2 xx
10.5.5 Factoritza els polinomis següents:
a) 863 23 xxx b) 6116 23 xxx
c) 181822 23 xxx d) 573 23 xxx
10.5.6 Factoritza els polinomis següents:
a) 303157 234 xxxx b) 35 9xx c) 234 32 xxx
d) 91224 234 xxxx e) xxxxx 32241662 2345
10.5.7 Resol les següents equacions:
a) xx 62 b) 32 64 xxx
10.5.8 Resol les següents equacions:
a) 5)1()2( 22 xx
b) 3)1)(5()2)(4()2)(3( xxxxxxx
c) 216)7)(3)(1(436 xxxxx
10.6 Resolució d'equacions polinòmiques amb el mètode de Ruffini.
El mètode de Ruffini permet anar trobant, per tempteig, totes les arrels d'un polinomi.
Només funciona amb arrels senzilles.
Resol l'equació 010132 23 xxx
1 -2 -13 -10
-2 -2 8 10
1 -4 -5
5
0
-1 -1
1 -5 0
5 5
1 0
Les solucions són 5,1,2 xxx
Efectivament:
!010268810)2(13)2(2)2( 23 ok
!010132110)1(13)1(2)1( 23 ok
!010655012510513525 23 ok
Resol l'equació 03452 23 xxx
Les possibles arrels racionals d'aquest polinomi són de la forma D
N on N és un divisor
de 3 i D és divisor de 2. Per tant, el conjunt de possibles solucions serà
2
3,3,
2
1,1
Anem provant fins a trobar alguna vàlida:
2 -5 -4 3
-1 -2 7 -3
2 -7 3 0
Per tant, )372)(1(3452 223 xxxxxx
Ara podem continuar amb Ruffini, o podem aplicar la fórmula de l'equació de segon
grau, que ens donarà, si existeixen, les dues solucions que falten:
2
1
4
2
34
12
4
57
4
257
22
324)7(70372
22 xxx
Les solucions són 2/1,3,1 xxx
10.6.1 Resol les següents equacions.
a) 0673 xx b) 0)3(683 xxx
c) 09157 23 xxx d) 0652 23 xxx
e) 022 23 xxx
10.6.2 Resol les següents equacions:
a) 0276 23 xxx b) 0314710 23 xxx
c) 0716 23 xx d) 02332 23 xxx
e) 08365427 23 xxx f) 03872 23 xxx
g) 0166334 23 xxx
Resolent problemes més difícils, com els de les Olimpíades Matemàtiques, solen
aparèixer polinomis que no es poden factoritzar amb aquests mètodes
convencionals, i amb els què es necessita molta imaginació i paciència. Observa
el següent exemple.
Factoritza el polinomi 12 234 xxxx
Ja pots buscar, que per Ruffini no trobaràs cap arrel. Què podem fer?
Veiem que els coeficients de grau 4, 2 i 0 formen el polinomi 22 )1( x :
xxxxxxxxxxx 322324234 )1(1212
i que podem factoritzar la part final: )1( 23 xxxx
Per tant, podem treure factor comú:
)1)(1()1)(1()1()1()1( 2222222322 xxxxxxxxxxxx
I no podem continuar perquè cap d'aquests dos polinomis factoritza en els reals.
Resol l’equació )()( xgxf on 462)( 2 xxxf i 8822)( 23 xxxxg
067012142
088224628822462
33
232232
xxxx
xxxxxxxxxx
Ara apliquem el mètode de Ruffini:
01
22
021
633
611
6111
6701
Per tant les solucions són -1, 3 i –2
10.6.3 Resol les següents equacions cúbiques:
a) 0321 xxx b) 020121 2 xxx
c) 0432
xx d) 01062 2 xxx
e) 01072 2 xxx f) 025105 2 xxx
10.6.4 Resol les següents equacions cúbiques:
a) 0863 23 xxx sabent que una arrel és 2x
b) 018212 23 xxx sabent que una arrel és 3x
c) 0674 23 xxx sabent que una arrel és 2x
d) 04392 23 xxx sabent que una arrel és 4x
10.6.5 Resol les següents equacions:
a) 0342 xx b) 04423 xxx
c) 01644 23 xxx d) 061133 234 xxxx
e) 012496 234 xxxx
10.6.6 Resol les següents equacions:
a) 043 xx b) 03613 24 xx
c) 2)1( xx d) )3(4)3( 2 xxxx
e) xxx 5)4(2
10.6.7 Resol les següents equacions:
a) 013 x b) 1)2( xx c) 12410
34 234
x
x
xxx
d) xx
xxx
2
1262 23
e) x
xxx60
771352
10.6.8 Resol les següents equacions:
a) 0232 xx b) 0846 234 xxxx
c) 0753 3 xx d) 2)1( xx
e) 2
2746
233
x
xxxx
11 Equacions de segon grau.
11.1 Equacions de segon grau factoritzades.
Apliquem el Principi del Producte nul:
000 BoABA
Resol l'equació 0)3( xx
No "passem la x dividint" : 300
30)3( xx
xxx
El procediment correcte és Aplicar el Principi del Producte nul:
0
3030)3(
x
xxxx , les solucions són 3x i 0x
Resol l'equació: 072118 xx
Apliquem el Principi del Producte nul:
2
7072
8
110118
072118
xx
xx
xx
Comprovem les dues solucions:
02
2507
2
1111117
8
11211
8
118
8
11
x
0039773972
7211
2
78
2
7
x
Les dues solucions són 8
11x i
2
7x
11.1.1 Resol les següents equacions:
a) 0)8)(4( yy b) 0)6)(1( kk c) 0)4)(5( xx
d) 0)12)(6( yy e) 0)65)(3( xx f) 0)32)(15( aa
g) 0)611)(56( mm h) 0)27( 2 a i) 0)65( 2 m
11.2 Equacions de segon grau incompletes ax2 +c = 0
Aquestes equacions són les úniques en les què podem aïllar la x:
a
cxcxacxa
222 0
Recorda:
0k sisolució Cap
0k si00x:solució única Una
0k six :solucions Dues
2
k
kx
Resoldre l'equació 0205 2 x
Aïllem la incògnita, passant la resta d'elements a la dreta:
2445
202050205 222 xxxx
Comprovem que les dues solucions obtingudes són vàlides:
020202045202522
x
020202045202522
x
Per tant les solucions de l'equació són 2x i 2x .
Resoldre l'equació 0273 2 x
Aïllem la incògnita:
93
272730273 222
xxx
Aquesta equació no té cap solució vàlida, perquè no hi ha cap quadrat negatiu.
11.3.3 Resol les següents equacions:
a) 0805 2 x b) 0123 2 x c) 0164 2 x
d) 01473 2 x e) 01692 x f) 3437 2 x
g) 2433 2 x h) 120242 x
11.3.4 Resol les equacions incompletes següents:
a) 0246 2 x b) 0364 2 x c) 077 2 x
d) 0455 2 x e) 01473 2 x f) 0728 2 x
g) 0252 x h) 0205 2 x i) 0124 2 x
j) 120242 x l) 0123 2 x
11.2.1 Resol les següents equacions:
a) 01 2 x b) 02 2 x c) 034 2 x
d) 023 2 x e) 02166 2 x f) 01255 2 x
g) 0532 2 x
11.2.2 Resol les següents equacions:
a) 033 2 x b) 22 115 xx c) 22 2113 xx
d) 0224 2 x d) 02583 2 x
e) 11422 xxxx
11.3 Equacions de segon grau incompletes ax2+bx=0
Traiem factor comú i apliquem la regla del producte nul :
000 BoABA
Resoldre l'equació 056 2 xx
6
556056
0
0)56(056 2
xxx
x
xxxx
Comprovem les dues solucions obtingudes:
!00005060 2 okx
06
25
6
25
6
25
36
256
6
55
6
566/5
2
x
Les solucions són 0x i 6
5x
Resol la següent equació: xxxx 711414 2
8
7078
0
0)78(
0787874444
71444711414
2222
222
xx
x
xx
xxxxxxx
xxxxxxx
Comprovem les solucions:
0440)1)(1(4407101041040 2 x
8
15
8
141
64
4941
8
71
8
741
8
74
8
72
x
8
77
8
49
16
15
16
113
Per tant, les solucions són 0x i 8
7x
11.3.5 Resol les següents equacions:
a) 0112 xx b) 02410 2 xx c) 0123 2 xx d) 2618 xx
e) 0162 xx f) 093 2 xx g) 035 2 xx
11.3.6 Resol les següents equacions:
a) 24 2 0x x b) 23 6 0x x c) 20 16 4x x d) 23 0x x
e) xx 34 2 f) 58714 22 xxx g) x
x
x
4
11.3.1 Resol les següents equacions:
a) 510)1)(32(3
5 xxx b) 22 )3()32( xx
c)
xxxxx
2
112)1(1)3( 2 d) )97)(1(
3
1)3)(13( xxxx
e) 22
1)1(3)1(
2
12
xxxx
11.3.2 Resol les següents equacions:
a) 0332 22 xxx b) 0232 xxx c) 03 2 xx
d) 62 xx e) 0322 2 xxx f) 22 32 xxx
g) xxx 222
11.3.7 Resol les equacions següents:
a) 026 2 xx b) 02 xx c) 03)1)(3( xx
d) 222 )1()1( xxx
11.4 Equacions de segon grau amb la fórmula.
Demostració de la fórmula de l'equació de segon grau.
Sigui una equació 02 cbxax , on suposem 0a .
Separem lletres i nombres: cbxax 2
Dividim entre a (estem suposant que no és zero) a
cx
a
bx
2
Multipliquem i dividim el segon terme per 2: a
cx
a
bx
222
Completem el quadrat:
22
2
2222
a
b
a
c
a
bx
a
bx
Apliquem la identitat notable quadrat de la suma a la part esquerra: 22
22
a
b
a
c
a
bx
Desenvolupem la part de la dreta: 2
2
2
2
22
22
4
4
44
4
42 a
acb
a
b
a
ac
a
b
a
c
a
b
a
c
Arribem a l'equació: 2
22
4
4
2 a
acb
a
bx
La part de l'esquerra és un quadrat, i per tant no serà negatiu. Això vol dir que la part de
la dreta tampoc pot ser negativa. A la dreta tenim una divisió, amb un denominador que
és un quadrat, per tant, la condició per a poder continuar és que 042 acb .
a
acb
a
acb
a
acb
a
bx
a
acb
a
bx
2
4
2
4
4
4
24
4
2
2
2
2
2
2
2
22
Però observem que a
acb
a
acb
2
4
2
4 22
Aquest pas necessita una mica de justificació, no fem trampes!. Si a és positiu està clar
que aa , però si a és negatiu aa , i canviarà el signe de tota l'expressió. Com
que nosaltres agafem positiu i negatiu, els resultats seran els mateixos.
Finalment: a
acbb
a
b
a
acbx
a
acb
a
bx
2
4
22
4
2
4
2
222
Que és la fórmula de l'equació de segon grau completa, la de tota la vida.
Fórmula per a la resolució d'una equació de segon grau.
De manera general, una equació de segon grau en forma normal es pot escriure així:
02 cbxax
essent x la incògnita, a el coeficient de grau 2 (sempre diferent de 0), b el coeficient de
grau 1 i c, el terme numèric. Les solucions d’aquesta equació es poden trobar d’aquesta
manera:
a
acbbx
2
42 ,
a
acbbx
2
42
Normalment s’utilitza aquesta fórmula general per a donar les solucions d’una equació
de segon grau conjuntament:
a
acbbx
2
42
en la qual el símbol ± significa que s’han de distingir dos casos: un en el qual s’utilitza
el + i un altre en el qual s’utilitza el −.
Resol la següent equació: 07136 2 xx
6
7
12
14
12
113
112
12
12
113
12
113
62
113
62
764)13(13
2
407136
222
a
acbbxxx
Les solucions són: 6
7,1
xx
11.4.1 Resol les següents equacions:
a) 0322 xx b) 01032 xx c) 02032 2 xx
d) 03242 xx e) 04129 2 xx
Nombre de solucions d'una equació de segon grau. El discriminant.
El nombre que hi ha a l'interior de l'arrel s'anomena discriminat, i s’indica amb la
lletra grega delta majúscula:
cab 42 .
El signe del discriminant indica quantes solucions té l'equació:
Si 0 dues solucions diferents.
Si 0 Una única solució (i parlem de "solució doble")
Si 0 Sense cap solució.
Determina el nombre de solucions de l'equació 0632 xx
Discriminant: 15249614)3(4 22 cab
El discriminant és negatiu, i per tant l'equació no té cap solució.
Determina el nombre de solucions de l'equació 018122 2 xx
Discriminant: 01441441824)12(4 22 cab
El discriminant és zero, i per tant l'equació només té una solució.
11.4.2 Resol les següents solucions:
a) 0452 xx b) 062 xx c) 0232 2 xx
d) 02092 xx e) 0353 2 xx f) 0962 xx
g) 062 2 xx h) 036122 xx i) 0522 xx
j) 04563 2 xx k) 024186 2 xx
11.4.3 Resol les següents equacions:
a) xx 652 b) 10582 xx c) 62 xx
d) 0)2)(3( xx e) 3412 xx
f) 311)1( xxx g) 92)3)(1( 2 xxx
11.4.4 Resol les equacions següents:
a) 8)1(5 xxx b) 8)13)(13( xx
d) 20)2()4( 22 xx e) 15)12( 2 xx
f) 7)3)(3( xx g) 752
32
xxx
h) )1)(1()72)(72( xxxx i) 31
2 x
x
j) 243
5 22
xx
k) 01
56 x
x l) x
x
x
x
3
84
2
11.5 Equacions de segon grau per factorització.
Primera plantilla "Completar quadrats".
222 )(2)( BAxBABxAx
Resol l'equació completant quadrats: 0942 xx
61.5213132
61.121313213)2(
29)2(
29222
922
094
2
22
222
2
2
xx
xxx
x
xx
xx
xx
11.5.1 Resol les següents equacions:
a) 0822 xx b) 06042 xx c) 40142 xx
d) 05052 xx e) 8)7( xx f) 0152 2 nn
g) 0673 2 nn h) 144 2 xx i) 0982 xx
j) 039363 2 aa k) 042 2 xx
11.5.2 Resol les següents equacions:
a) 01682 nn b) 04822 xx c) 0122 xx
d) 0542 xx e) 9)12( nn f) 154 2 mm
g) 0482 xx h) 0622 nn i) 1684 2 bb
j) 1062 yy k) 0242 nn
Segona plantilla.
BAxBAxBxAx )())(( 2
Resol l'equació 01582 xx
Veiem que 5315 i que 538 , per tant podem aplicar la igualtat anterior:
505
3030)5)(3(01582
xx
xxxxxx
11.5.3 Resol les següents equacions:
a) 0652 xx b) 0862 xx c) 01452 xx
d) 01032 xx e) 0322 xx
Tercera plantilla:
BCxBACAxBCBxACxAxCxBAx )(22
Resol l'equació 0672 2 xx
Observem que )3()2(6 i que )3()2(27 . Per tant, podem aplicar aquesta
plantilla:
202
2
3032
)2)(32(6720 2
xx
xxxxxx
11.5.4 Resol les següents equacions:
a) 06112 2 xx
Resol l'equació 0132 2 xx
Factoritzem:
101
2
1012
)1)(12(1320 2
xx
xxxxxx
Quarta plantilla:
BDxBCADACxBDBCxADxACxDCxBAx )(22
Resol l'equació 0456 2 xx
2
1012
3
4043
)12)(43(4560 2
xx
xx
xxxx
Resol l'equació xx 26 2
02626 22 xxxx
Factoritzem:
2
1012
3
2023
)12)(23(260 2
xx
xx
xxxx
11.5.5 Resol les següents equacions factoritzant els polinomis:
a) 62 2 xx
11.6 Equacions biquadrades per canvi de variable.
Una equació biquadrada és una equació que es pot expressar de la forma
024 cbxax
Per resoldre equacions d’aquesta mena fem el canvi de variable 2xz
Resol l’equació 0365 24 xx
Fem el canvi de variable 2xz :
92
18
2
135
42
8
2
135
2
135
2
1695
12
144255
12
)36(1455
2
4
036503650365
22
222224
a
acbbz
zzxxxx
Ara desfem el canvi de variable:
2
2244 2 xxz
99 2 xz . Aquesta equació no té cap solució perquè un quadrat no pot ser
negatiu.
Per tant, les solucions possibles són: 2,2 xx
11.6.1 Resol les següents equacions:
a) 03613 24 xx b) 0134 24 xx c) 056 24 xx
d) 065 24 xx e) 094 x f) 8)2( 22 xx
g) 10)3( 22 xx h) 015)8( 22 xx i) 1316
2
4
x
x
j) 222 2)2( xxx
11.6.2 Resol les següents equacions:
a) 0624 xx b) 01811 24 xx c) 09123 24 xx
d) 0162 24 xx e) 0454 24 xx
11.7 Factorització de polinomis biquadràtics.
Hem d'aplicar les tècniques estudiades al Tema 10.
11.7.1 Factoritza els següents polinomis.
a) 24 2uu b) 1224 xx c) 56 24 aa
d) 158 24 xx e) 54 24 uu f) 209 24 mm
g) 34 24 xx h) 107 24 xx i) 16547 24 mm
j) 30417 24 uu k) 495 24 xx l) xxx 823 35
m) 246 6132 xxx n) 962 24 aa o) 12447 24 mm
p) 143 24 uu q) 89 36 xx
r) xnnxnx 30306 59 s) 604 36 xx t) nnunu 40155 48
u) 32 36 xx v) 816 m w) 152 36 xx
x) xmmxmx 152 47
12 Fraccions algebraiques i equacions racionals.
Una fracció algebraica és una divisió de dos polinomis: )(
)(
xq
xp
12.1 El domini de definició d'una fracció algebraica.
Una fracció algebraica )(
)(
xq
xp està definida sempre que 0)( xq
o, dit d'una altra manera, no estarà definida quan 0)( xq
Determina el domini de definició de 2
12 xx
Aquesta expressió no estarà definida quan 022 xx , és a dir, quan 2x o
1x
12.1.1 Determina el domini de definició de les següents expressions:
a) 2
12 x
b) 1
12 xx
c) 32
12 xx
12.2 Simplificació de fraccions algebraiques.
Simplifica a) 86
42
2
xx
x b)
ba
b
126
26
a)Factoritzem numerador i denominador:
)4)(2(
)2)(2(
86
42
2
xx
xx
xx
x
"Tatxem" el factor repetit a dalt i a baix, afegint la condició 2x al domini de
definició de l'expressió:
4
2
)4)(2(
)2)(2(
x
x
xx
xx si 2x
b) 6
1
)2(6
2
126
2
ba
ba
ba
ba si baba 202
Simplifica xxx
xax
12102
)36(1023
23
1
)6(5
)1)(6(2
)6)(6(25
12102
)36(10 23
23
23
x
xax
xxx
xxax
xxx
xax si 1,0 x
12.2.1 Simplifica les següents fraccions algebraiques:
a) y
y
35
30 b)
65
92
2
xx
x c)
bx
bx
84
2
d) 53
753
3
18
cba
cba e)
3212
452
2
xx
xx f)
xy
yx
2
2
g) )9)(1(2
)5)(1(33
4
aaa
aaa h)
10
)10( 3
x
x
12.2.2 Simplifica les següents fraccions algebraiques:
a) 34
122
2
xx
xx b)
152
1032
2
xx
xx c)
76
21102
2
xx
xx
d) xx
xx
6
24102
2
e)
352
142
2
bb
b f)
22
22
44
92820
yxyx
yxyx
12.2.3 Simplifica les següents fraccions algebraiques:
a) 2
253 2
x
xx b)
1
32 2
x
xx c)
3
34 22
x
xx
d) 13
51682
23
xx
xxx e)
3
12345
56
x
xxx f)
54
10362
23
xx
xxx
12.2.4 Simplifica les següents fraccions algebraiques:
a) 32
32
bb
b b)
a
a
14
7 3
c) 54
232
2
xx
xx d)
x
yx
30
6 2
e) yx
zyx6
249 f)
32
3
60
20
yzx
xyz g)
aa
a
3
82
h) 63
12
x
x
i) 2
2
2
510
x
xx j)
5
252
x
x i)
84
42
b
b l)
1
332
x
x
m) 149
72
aa
a n)
246
862
x
xx o)
65
672
2
yy
yy
12.3 Suma i resta de fraccions algebraiques.
Si les fraccions tenen comú denominador: Sumem o restem els numeradors i deixem el
denominador comú.
Realitza la següent suma de fraccions algebraiques: 7
14
7
23 22
x
xx
x
xx
7
334
7
1423
7
14
7
23 22222
x
xx
x
xxxx
x
xx
x
xx
Molta atenció quan restem polinomis! Recorda que generem un parèntesi, i que
hem de canviar de signe tot el que hi ha a dins.
Per exemple: 332153332153 2222 xxxxxxxx
Realitza la següent resta de fraccions algebraiques: 52
42
52
35
y
y
y
y
52
13
52
4235
52
4235
52
42
52
35
y
y
y
yy
y
yy
y
y
y
y
12.3.1 Calcula:
a) 22 2
3
2
5
y
x
y
x b)
yx
yx
yx
yx
32
c) 103
52
103
44 22
x
xx
x
xx d)
xx
xx
xx
xx
32
73
)32(
)1(2
2
e) )3)(2(
48
6
342
xx
x
xx
x f)
aa
a
aa
aa
aa
aa
122
2
122
432
)6(2
452
2
2
22
g) )2)(4(
435
86
32
86
18 2
2
2
2
2
xx
xx
xx
xx
xx
xx
Calcula la següent suma de fraccions algebraiques: 3
5
2
3
b
b
b
b
Si els denominadors són diferents hem de passar primer a comú denominador, calculant
el mínim comú múltiple (mcm) dels denominadors.
)3)(2()3,2( bbbbmcm
)2)(3(
)2(5
)3)(2(
)3(3
2
2
3
5
3
3
2
3
3
5
2
3
bb
bb
bb
bb
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Un cop les hem passat a comú denominador, només cal sumar els numeradors i deixar
el denominador comú:
)3)(2(
8
)3)(2(
10593
)3)(2(
10593
)3)(2(
)2(5)3(3
)2)(3(
)2(5
)3)(2(
)3(3
222
22
bb
bb
bb
bbbb
bb
bbbb
bb
bbbb
bb
bb
bb
bb
Calcula la següent suma de fraccions algebraiques: 32
13
127
522
xx
x
xx
x
)1)(3)(4()1)(3(32
)3)(4(127
2
2
xxxmcm
xxxx
xxxx
Passem a comú denominador:
)4)(1)(3(
)4)(13(
)1)(3)(4(
)1)(5(
4
4
)1)(3(
13
1
1
)3)(4(
5
)1)(3(
13
)3)(4(
5
32
13
127
522
xxx
xx
xxx
xx
x
x
xx
x
x
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
Un cop passades a comú denominador, sumem els numeradors i deixem el denominador
comú:
)1)(3)(4(
974
)1)(3)(4(
)4)(13()1)(5(
)4)(1)(3(
)4)(13(
)1)(3)(4(
)1)(5(
2
xxx
xx
xxx
xxxx
xxx
xx
xxx
xx
Calcula: 7
5
7
3
x
x
x
x
De vegades els denominadors semblen diferents, però són pràcticament iguals. Per
exemple, x7 i 7x són el mateix polinomi canviat de signe.
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
7
2
7
53
7
5
7
3
)7(
5
7
3
7
5
7
3
12.3.2 Realitza les següents operacions:
a) 2
3
1
5
b
b
b
b b)
3
2
2
7
a
a
a
a c)
3
5
3
14
x
x
x
x
d) 4
1332
y
y
y
y e)
6
2
)6)(1(
2
y
y
yy
y f)
3
2
)3)(3(
12
a
a
aa
a
g) 86
2
23
722
aa
a
aa
a h)
44
2
96
622
bbbb
i) 33
2
4
x
x
x
x j)
4
7
4
5
x
x
x
x
12.3.3 Calcula:
a) 2
3
23
22
xxx
x b)
12
4
209
322
bb
b
bb
b
c) 1
3
32
42
aaa
a d)
166
3
124
122
yy
y
yy
y
e) 3127
3 2
2
y
y
yy
y f)
4
5
149
322
x
x
xx
x
12.3.3 Calcula:
a) 23
2
65
3
34
1222
xx
x
xx
x
xx
x
b) 12
1
82
3
86
4222
xx
x
xxxx
x
c) 45
3
43
3
1
2222
yy
y
yy
y
y
y d)
2345 248
2
42
3
xxxx
e) 6
2
124
2
189
2222
aa
a
aa
a
aa
a f)
65
4
6
222
yy
y
yy
y
g) xx
x
x
x
124
1
9
222
Calcula: 1
73
x
1
7
1
3
1
73
xx
1)1,1( xxmcm
1
43
1
733
1
7)1(3
1
7
1
)1(3
1
1
1
7
1
1
1
3
1
7
1
3
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
x
x
12.3.4 Calcula:
a) 6
343
2
y
yyy b)
6
38
x c)
2
46
y
y
d) 7
41
x e)
6
53
x f)
1
42
2
x
xx
g) 3
5243
2
y
yyy h)
1
42
2
x
xx i)
2
526
b
bb
Si les fraccions són senzilles, podem "tirar de fórmula" per sumar fraccions sense
haver de determinar el mínim comú múltiple dels denominadors:
db
cbda
d
c
b
a
12.3.5 Calcula les següents sumes i restes, simplificant els resultats obtinguts:
a) mm 3
12
3
9 b)
21
12
21
5 xx
c)
xx
93
d) 44
2 tt
e)
2
64
2
3
yy f)
8
14
8
2 xx
g) 14
1
14
3
c
c
c
c h)
2
6
2
7
k
k
k
k i)
5
3
5
2
x
x
x
j) n
n
n
n
23
6
32
3
k)
2
4
2
23
dd l)
4
8
4
a
a
a
a
m) 55
1
55
2
n
n
n
n n)
1
52
1
4
x
x
x
x o)
2
122
2
9
x
x
x
x
Calcula 23
4
2
5
yy
22 6)3,2( yyymcm
22222 6
815
6
8
6
15
)2(3
)2(4
)3(2
)3(5
3
4
2
5
y
y
yy
y
yyy
y
yy
Calcula 2
5
1
xx
x
)2(1
57
)2(1
552
)2(1
55
)2(1
2
)2(1
15
)2(1
)2(
2
5
1
)2)(1()2,1(
22
2
xx
xx
xx
xxx
xx
x
xx
xx
xx
x
xx
xx
xx
x
xxxxmcm
12.3.6 Calcula les següents sumes i restes, simplificant els resultats obtinguts:
a) xx 10
2
2
1 b)
xx
2
7
1 c)
22
510
yxy d)
aa
793
e) 2
5
63
2
xx f)
4
2
82
7
xx g)
441
2
x
x
x
x
12.3.7 Calcula les següents sumes i restes, simplificant els resultats obtinguts:
a) 3
3
6
5
xx b)
3
5
3
4
x
x
x c)
4
2
16
72
xx
x
d) 100
3
10 2
xx
x e)
651
42
xx
x
x
x
12.4 Multiplicació i divisió de fraccions algebraiques.
La multiplicació de fraccions algebraiques es fa directament: "Numerador per
numerador i denominador per denominador".
La divisió de fraccions algebraiques es fa directament, "multiplicant en creu".
Exemple resolt:
22)1(24
1
1
2
4
1
)1)(23(
)23(2
4
1
23
)23(2
2
2
2
2
x
x
x
x
xx
x
xxx
xx
xxx
xx
12.4.1 Realitza les següents divisions:
a) 5
:1
2 2
x
xx
x
x b)
1:
1
12
2
x
x
x
xx
12.5 Equacions amb fraccions algebraiques sense sumes.
Resol l'equació: 5
2
1
3
xx
Aquesta equació té com a condició implícita que 1x i 5x perquè amb aquests
dos valors s'anul·laria algun denominador.
I sempre amb aquesta condició puc multiplicar en creu:
131522322153)1(2)5(35
2
1
3
xxxxxxx
xx
Comprovem la solució obtinguda: 4
1
4
1
8
2
12
3
513
2
113
3
La solució és 13x .
Resol l'equació 3
104
3
73
a
a
a
a
Si no som prou disciplinats: "tatxem" els denominadors perquè són iguals.
3371043104733
104
3
73
aaaaaa
a
a
a
a
i la solució és 3a . Però hem de tenir en compte que aquest valor fa anul·lar els
denominadors, i per tant no és vàlid!
0
2
0
2
33
1034
33
733
Aquesta equació no té cap solució.
12.5.1 Resol les següents equacions:
a) 1
1
2
3
a
a
a
a b)
2
3
2
1
y
y
y
y c)
2
1
6
2
x
x
x
x d)
3
4
2
13
m
m
e) 12
4
x
12.5.2 Resol les següents equacions:
a) 2
3
2
422
aaaa
b) 86
3
)2(
22
bbbb
12.6 Equacions amb sumes o restes de fraccions algebraiques.
Hem de passar a comú denominador.
Resol l'equació 212
3
x
x
x
En aquesta equació estem suposant que 0x i 1x , perquè per a aquests dos valors
s'anul·larien els denominadors.
)1(2)1,2( xxxxmcm
)1(2
)1(22
)1(2
2)1(3
)1(2
)1(22
)1(2
2
)1(2
)1(3
)1(2
)1(22
2
2
11
1
2
32
11
1
2
3
22
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
x
xx
x
xx
xx
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
Ara podem aprofitar que 0x i 1x per a simplificar els denominadors:
)1(42)1(3)1(2
)1(22
)1(2
2)1(3 22
xxxx
xx
xx
xx
xx
i resoldre l'equació resultant, ara sense denominadors:
2/1
30372044233
44233)1(42)1(3
222
222
x
xxxxxxx
xxxxxxxx
Comprovem les solucions:
22
4
2
3
2
1
2
3
6
3
1)3(
3
)3(2
3
2132/1
2/1
1
3
1)2/1(
2/1
)2/1(2
3
Les solucions són 2/1,3 xx
Resol l'equació 31
43
1
a
a
a
a
Passem a comú denominador:
143333343
)1(34331
433
1
43
1
aaaaaaa
aaaa
aa
a
a
a
a
Tanmateix, la solució 1a no és una solució vàlida per a la nostra equació perquè fa
anul·lar els denominadors. Per tant, aquesta equació no té cap solució.
12.6.1 Exercici.
a) 6
10
23 2
xxx
x
x
x b)
2
48
1
3
2
42
2
aa
aa
a
a
a
a
c) 45
194
1
2
4
12
xx
x
xx d)
23
443
12
42
2
xx
xx
x
x
x
x
12.6.2 Exercici.
a) kkk
1
3
1
6
122 b)
22 2
111
nnn c)
22
1
6
1
6
1
bbb
d) 222 2
4
2
3
4
6
b
b
bb
b
e) 1
5
61
xx f)
vv
v
vv
v
v 5
567
5
123122
g) mmmmm
22
511 h)
8
71
8
1
nn
i) 2
6
107
1
2
12
xxxx
j) 4
427
4
21
v
v
v
v
k) 15
1
5
4
ss
s l)
x
x
x
xx
3
6
3
2451
2
m) x
x
xx
1
2
11
2
n)
1
61
8
5
nn
n o)
ssss
s
2
11
2
522
p) 17
5
12
x
x
xx q)
2
31
3
3
aa
a r)
1
61522
p
p
pppp
p
s) 223
1
5
4
5
5
nnnn
12.6.3 Resol les següents equacions:
a) 3
14
3
2
yy b)
nn
54 c) x
x27
3
d) 6
31
tt e)
xx
x
x 9)7(
2
f)
2
42
x
xx
g) 348
k
k
k
k h)
4
11
a
a
a
a i) 2
1
2
1
3
n
n
n
n
j) 4
1
46
5
w
w
w k)
xx
x 1
2
l)
3
11
n
n
n
n
m) 4
2
8
x
x
x n)
2
11
2
3
y
y
y
y o)
43
2
4 c
c
c
12.6.4 Resol les següents equacions:
a) 11
5
1
aa
a b)
222
1266
vvv
v
c)
22
341
nnn
d) 22 5
114
xxx e)
222 3
5
3
11
k
k
kk
f)
xxx
x 6152
g) kkkk
1
6
162
h) 6
1
65
1
1
42
nnnn
i) xxxxx 5
4
5
1
5
122
j) ppppp 6
2
6
1
6
522
12.6.5 Resol les següents equacions:
a) vv
v
vv
v
v 122
6
6
155
2
122
b)
3
1
32
6
1
52
xxxx
c) 22
2
6
1
6
167
nn
nn
d)
k
kk
k
k
4
431
1 2
e) yy
121
2 f)
n
n
n
nn
5
61
5
1082 2
g) 2223
2 2143
x
x
xxx
xx
h)
43
3
1
21
2
nnn
n
i) 2
1
22422
62
v
v
vv
v j)
102
183122
102
3 2
x
xxx
x
x
13 Expressions i equacions amb radicals.
13.1 El domini de definició de les expressions amb radicals.
Una expressió )(xp no està definida si 0)( xp
Una expressió 3 )(xp sempre està definida.
La presencia d'una arrel quadrada porta implícita la condició de què el seu interior no és
negatiu. Per exemple, l'expressió 3x només té sentit si 3x .
13.1.1 Indica el domini de definició de les següents expressions:
a) 5x b) 8y c) 33 a d) 65 m e) 82 x
13.2 Equacions amb radicals senzilles.
Les equacions BA i 22 BA no són equivalents: La segona té dues solucions: BA
i BA , una més que la primera. Per tant, quan elevem al quadrat una equació poden
aparèixer solucions no vàlides.
No és cert que AA 2 . Estrictament parlant, la igualtat és la següent: AA 2 .
Per exemple: 3)3( 2 , en realitat: 3)3( 2 .
És cert que AA 2
, i aquesta expressió només té sentit si 0A , perquè si 0A no
té sentit A , i per tant tampoc té sentit 2A .
Les equacions BA i 33 BA sí son equivalents.
En general, les equacions amb arrels d'índex parell poden generar solucions no vàlides, i
les equacions amb arrels d'índex senar, no.
Tota aquesta problemàtica es redueix a seguir una única norma:
És obligatori comprovar totes les solucions quan resolem equacions amb
radicals, perquè no totes les solucions que obtinguem seran sempre vàlides.
Resol l'equació 75 x
44549497575 2 xxx
Comprovació: 749544
13.2.3 Resol les següents equacions:
a) 10x b) 2
1x c) 4x d) 0x e) 53 x
f) 12 x g) 3 x h) 3 x
13.2.4 Resol les següents equacions:
a) 0532 x b) 0532 x c) 7253 x
d) 2562
x
e) 3132 x f) 0532 x
g) 15543 x h) 53
24 x
Resoldre l'equació: xx 313191
Aïllem l'arrel quadrada:
131319 xx
Elevem al quadrat i resolem l'equació resultant:
9/7
20142591691319131319 2222
x
xxxxxxxx
Comprovem les solucions:
651625161338123132191
3
7
3
7
3
7
3
41
3
79/161
9
7313
9
7191
Les dues solucions són acceptables. Les solucions són 2x i 9
7x
13.2.1 Resol les següents equacions:
a) 62632 xxx b) 510 x c) 67 a
d) 284 xx e) 11832 x f) aa 552
g) 2545 b
Resol l'equació 05283 aa
385235283
528352830528322
aaaaa
aaaaaa
Comprovació:
1156895)3(28)3(3
No té sentit, perquè no existeixen arrels de nombres negatius. Per tant, aquesta equació
no té solució.
13.2.2 Resol:
a) 1546 mm b) 7365 xx
c) 18367 aa d) 092710 aa
e) 0109512 kk f) 0836 xx
g) 020754 aa h) 0492 aa
Resol l’equació: )1(352 xx
Elevem al quadrat tots dos costats:
222
)1(952)1(352)1(352 xxxxxx
Resolem l'equació que en resulta, que ja no té arrels quadrades:
9/2
2042090918952
91895212952)1(952
22
222
x
xxxxxx
xxxxxxxx
Comprovem aquests dos possibles resultats:
Per a 2x 39)12(3522 2 x és vàlida.
Per a 9/2x3
7
3
71
9
235
9
22
9
2 x no és vàlida.
L'única solució és 2x .
Resol l’equació: 2315 xx
224
484824252325
232525231252315
xxxx
xxxxxx
Tanmateix, 2x no és una solució vàlida, perquè si substituïm a l'equació original
apareixen arrels de valors negatius, que no existeixen:
2515232125
Per tant aquesta equació no té solució.
13.2.5 Resol les següents equacions:
a) xx 12 b) xx 43 c) xx 45
d) xx 225
13.2.6 Resol les següents equacions:
a) 2162 xx b) 142 xx c) 112 xx
d) 1254 2 xx e) 0125.02 2 xxx
13.2.7 Resol les següents equacions:
a) 21 x b) 21 x c) xx 21341
d) xx 1352 e) xx 192 f) xx 31152
13.3 Equacions amb sumes de radicals.
Resoldre l'equació 32716457128 xx
Aïllem la primera arrel:
7164325712832716457128 xxxx
Elevem al quadrat:
222
7164325712871643257128 xxxx
Desenvolupem el quadrat de la dreta:
xxxx
xxx
6471646495371647164641024
71647164322327164322
22
L'equació queda: xxx 6471646495357128
I tornem a començar! Aïllem l'arrel quadrada:
xx
xxx
64896716464
5712864953716464
La simplifiquem dividint entre 64:
xxxx 14716464896716464
Elevem al quadrat:
222
147164147164147164 xxxxxx
Desenvolupem el quadrat de la dreta:
2222281961421414 xxxxx
L'equació queda:
89
3
)1(2
8692
)1(2
)267()1(49292026792
0281967164
281967164
22
2
2
xxx
xxx
xxx
Comprovem les solucions obtingudes:
321121121441713645731283 xSi
7510756251144971896457891283xSi
32187
Per tant, l'única solució d'aquesta equació és 3x .
Resoldre l'equació 4117 xx
)1(181617
11424171417
14174117
22
22
xxx
xxxxx
xxxx
Ara ja només hi queda una arrel quadrada. Tornem a començar! L'aïllem i elevem al
quadrat:
9/13
5065589
16164942911649429
116731473
181461811617
2
22
22
x
xxx
xxxxxx
xxxx
xxxxx
El primer resultat és vàlid: 42643615157
Però el segon no ho és: 43
8
3
2
3
10
9
4
9
1001
9
131
9
137
Resol l'equació 43132 xxx
Elevem al quadrat:
4313243132222
xxxxxx
Desenvolupem el quadrat de l'esquerra:
)1)(32(2431)1)(32(232
1132232132222
xxxxxxx
xxxxxx
Recuperem l'equació i simplifiquem:
02
0)1)(32(0)1)(32(243)1)(32(243 xxxxxxxx
Una arrel quadrada només pot ser zero si el seu interior és zero:
0)1)(32(0)1)(32( xxxx
Un producte només pot ser zero si algun dels seus factors és zero:
101
2
3032
0)1)(32(
xx
xxxx
Verifiquem aquests resultats amb l'equació original:
2
1
2
1
2
1
2
104
2
331
2
33
2
32
2
3xSi
101413113121 xSi
Aquest resultat queda fora del domini de definició de l'equació, per tant no és vàlid.
L'única solució de l'equació és 2
3x .
13.3.1 Resol les següents equacions:
a) 553)1(323)1(3 xxxx b) 33234 xx
c) xxx 35656 d) 48283 22 xx
e) 252512 22 xxx f) 382238 xx
g) xxxx 3316)13( 2
h) xxxxx 5122)22)(22( 2
13.3.2 Resol les següents equacions:
a) xx 33 b) xx 2554 c) 12 xx
d) 1125 xx e) 2265 xx
13.3.3 Resol les següents equacions:
a) xxx 547 b) 3322 xx
c) 141 xxx d) 12352 xx
e) 1924125 xxx f) 49145 xxx
13.3.4 Resol les següents equacions:
a) 453 22 xx b) xxx 253 22
c) 7352 xxx
13.3.5 Resol les següents equacions:
a) 62632 xxx b) xxxx 2
1123
c) 332262 2 xxx d) xxxx 23255252
e) xxx 317
213
5
1 f) 4
2
162214
2
1 xxx
g) 5
3
5
11
5
316
4
5
2
15 2
xxxx
h) 273654322 2 xxxxx
13.3.6 Resol aquesta equació racional-irracional: 33
52
x
x
xx
13.6.7 Resol les següents equacions:
a) 192534 xxx
b) 4213267 xxxx
c) xxxx2
9
2
34
2
1
2
128
d) 4
3
4
32122 xxx
e) 3
1032
3
1036
3
7
3
1 xxxx
f)
12
151
3
54
4
1xxx
g) )1(423178 xxxx
14 Equacions exponencials i logarítmiques.
14.1 El domini de definició d'expressions exponencials i logarítmiques.
Una expressió exponencial )(xpa sempre està definida.
Una expressió logarítmica )(log xpn no està definida si 0)( xp
Els logaritmes es comporten com les arrels quadrades: No estan definits per a
valors negatius, però amb una diferència: Existeix 0 però no existeix
)0(logn .
14.2 Equacions exponencials igualant bases.
Si les bases són iguals sempre les podem "tatxar":
cbaa cb
Resol l'equació 644 2 x
13244644 322 xxxx
Resol l'equació 13 84 xx
1)3(36
22
22
84
)3(36
1332
13
xxx
xx
xx
xx
14.2.1 Resol les següents equacions:
a) 14 32 x b) xx 55 23 c) 2433 21 x d) aa a23
e) 14 23 x f) 122 44 pp g) aa 322 66 h) xx 322 22
14.2.2 Resol les següents equacions igualant les bases i aplicant les propietats dels
exponents:
a) mmm 23 666 b) x
x
x22
2
2 c) 10
11010 3 xx
d) xxx 333 3212 e) 6444 2 xx f) 216
166 2 xx
g) 3232
12 x h) ppp 223 222 i) 233 161664 xx
j) 423
3243
81
n
n
k) 27981 22 b l) 2799 3 xx
m) 216
1216
6
1 3
23
x
x
n) 99243 122 kk o) 646416 33 xx
p) 4232 2416 pp
14.3 Equacions exponencials resoltes amb logaritmes.
Si les bases són diferents, aïllem l'exponent amb un logaritme:
cbca a
b log
Resol l'equació 72 x
807.27log72 2 xx
Resol l'equació 205 1 xe
465.1115log15log115352032035 33
111 xxxxx
Resol l'equació 21410 32 x
115.23
3)17(log
3)17(log2
)17(log32
1742110
21410
10
10
10
32
32
x
x
x
x
x
14.4 Equacions exponencials mitjançant canvi de variable.
Resol l'equació 115113532 xx
Fem el canvi de variable xz 3 , i resolem l'equació de segon grau que ens queda:
9
141151152
z
zzz
Desfem el canvi de variable: xz 314 no té solució perquè una exponencial mai és negativa.
239 xz x
Comprovem que aquesta possible solució sigui vàlida:
1151151151145811151145311511353 4222
Per tant, la única solució és 2x
14.4.1 Resol:
a) 01222 24 xx b) 081369 1 xx c) 3033 2 xx
d) 5
31555 11 xxx
14.4.2 Resol:
a) 03252 1 xx b) 0232 xx ee
c) 07293909 xx d) 0542 xx ee
e) 021664236 xx f) 4822 2 qq
g) 7222 21 xxx h) 9602222 321 xxxx
i) 032042 2 xx j) 093183 )1(2 xx
k) 081329 31 xx l) 081329 31 xx
m)
x
x
2
14 3 n) 21633 11 22
xx
o) 2
384
x
x p) 124
1
525
2
xx
14.5 Equacions logarítmiques senzilles.
"Passem a l'altra banda" el logaritme amb una exponencial
c
a abcb log
Atenció! Tenim molt en compte que ara hi ha domini de definició: 0b i poden
aparèixer solucions no vàlides. Les solucions s'han de comprovar!
Resol la següent equació: 5)75(log2 x
532752755)75(log 5
2 xxxx
Comprovem el resultat: 555)32(log5)755(log 22
14.5.1 Resol les següents equacions:
a) 5log3 x b) 3log4 x c) 100log2log 22 x
d) 7ln)4ln( x e) 212log3 x f) 210log5 x
g) 2115log x
14.5.2 Resol les següents equacions:
a) 95log37log 33 xx b) 14log)3)(2(log 77 xx
14.6 Equacions amb sumes de logaritmes.
Hem d'aplicar la propietat:
)(log)(log)(log baba nnn
Resol l'equació: 3)2(log)(log 22 xx
4
208282)2(
3)2(log3)2(log)(log
23
222
x
xxxxx
xxxx
Comprovem les possibles solucions:
3)22(log)2(log 22 no té sentit perquè no existeixen logaritmes de nombres
negatius.
3123)24(log)4(log 22 aquesta solució sí és vàlida.
Per tant, l'única solució és 4x .
14.6.1 Resol les següents equacions:
a) 1)1(loglog 66 xx b) 1)2(log)3(log 22 xx
c) 1)3(log)2(log 66 xx d) 3)12(loglog 44 xx
e) )4(log)2(log)4(log 666 xxx
14.7 Equacions amb restes de logaritmes.
Hem d'aplicar la propietat:
b
aba nnn log)(log)(log
Resol l'equació: )3ln()3ln()45ln( xx
439)3(345
33
45)3ln(
3
45ln)3ln()3ln()45ln(
xxxx
x
x
x
xxx
Comprovem la solució: )3ln()7ln()21ln()3ln()43ln()445ln(
)3ln(3ln)3ln(7
21ln
14.7.1 Resol les següents equacions:
a) 4log)5(log)8(log 777 xx b) 11log)9(log)7(log 222 xx
c) 0)11(log)53(log 55 xx d) 0)5(log)12(log 66 xx
e) )10(log3)3(log 22 xx f) )1(log2)815(log 33 xx
g) 3log)2(log)12(log 444 xx h) 3)4(log)1(log 22 xx
14.7.2 Resol les següents equacions:
a) )3log(5log)4log(3log xx b) )3ln(9ln)8ln(6ln xx
14.7.3 Resol les següents equacions:
a) )12log(2loglog2 xx b) )8log(4loglog2 xx
14.7.4 Repàs d’equacions logarítmiques:
a) 2)35log( x b) 3)2(loglog 22 xx
c) 2)2(log)(log2 44 xx d) 0)9ln()2ln(4 2 xx
e) 1)6log()3log( xx f) 1log)53log( xx
Resol l'equació: )log()log( xx
10101)log(01)log(
1100)log(01)log()log(
0)log()(log)log()(log)log()log(
1
0
22
xxx
xxxx
xxxxxx
Les dues solucions són vàlides:
00)1log()1log( 11)10log()10log(
14.8 Equacions logarítmiques amb productes.
Hem d'aplicar la propietat:
n
aa bbn loglog
En particular: na
n
aaa bbb
nn
blogloglog
1log /1
14.8.1 Resol les següents equacions:
a) 1)6log(log2 2 xx b) )4log(2
12log)45log( xx
c) xx
log24
625log
5log4
d) 0)4log(325log 3 xx
e)
35log
35log 3
x
x f) xx 5log211log2log 2
g) 9.0log1log2 xx h)
2log32loglog3
xx
i) )12log()2log()log(2 xx j) )8log()4log()log(2 xx
k) 2)43log(
)16log( 2
x
x
14.8.2 Repàs d’equacions exponencials.
a) 3 93 x b) 24339 1 x c) 822 1 xx
d) 012552 xx e) 322 1 xx f) 16
1728 131 xx
g) 042522 xx h) 0639 xx i) 077507 21 xx
14.8.3 Repàs d’equacions logarítmiques.
a) 5
4)35log( x b) 3)2(loglog 22 xx
c) 2)2(log)(log2 44 xx d) 0)9ln()2ln(4 2 xx
e) 1)6log()3log( xx f) 1log)53log( xx
14.8.4 Repàs d'equacions exponencials i logarítmiques.
a) 34 x b) 2)(log3 x
c) 4254 x d) 4324 53 x
e) 3)14(log)2(log 55 xx f) 2)34(log53 2 x
g) )5log()42log()23log( xx h) )4log()32log()24log( xx
i) )45log()14log()34log(2 xxx j) 09437 2 xx
14.9 Problemes amb equacions exponencials i logarítmiques.
14.9.1 Els valors de a en l'equació 215log 2
10 aa són:
(A) 2
23315 (B) 5,10 (C)
2
30515 (D) 20
(E) Cap dels anteriors.
AHSME 1951, #22
Solució: PA/#1.7
15 Inequacions amb una incògnita.
Una inequació és una desigualtat (el signe de la qual pot ser <, >, ≤ i ≥) entre
expressions algebraiques. Per exemple 1273 xx és una inequació.
Com en el cas de les equacions, las incògnites de cada membre d’una inequació es
poden substituir, també, per valors numèrics. Per exemple, en la inequació anterior es
poden substituir la x per 1:
1273
112713
34
D’aquesta manera, la inequació es transforma en una desigualtat entre expressions
numèriques. En cas que sigui certa, es diu que s’ha trobat una solució de la inequació.
Així, una solució de la inequació 1273 xx és 1x perquè acabem de veure que
satisfà la inequació.
Una inequació pot tenir més d’una solució. Per exemple, en el cas de la inequació
anterior, altra solució podria ser x = 2:
1476
122723
51
En general, les inequacions donen com a solució tot un interval, que pot ser obert o
tancat, finit o infinit. Per exemple, la solució de la inequació anterior és l'interval 8x .
15.1 Inequacions de primer grau amb una incògnita.
Resolució d'inequacions de primer grau per transformacions equivalents.
Dues inequacions que tenen les mateixes solucions es denominen equivalents. Es pot
trobar una inequació equivalent a una altra utilitzant procediments similars als coneguts
per a les equacions:
- Sumant o restant a ambdós membres el mateix nombre.
- Multiplicant o dividint ambdós membres pel mateix nombre (diferent de 0). En aquest
cas, cal destacar que si el factor pel qual es multipliquen (o es divideixen) ambdós
membres és negatiu, llavors el signe de la desigualtat canvia d’orientació (és a dir, <
es transforma en >, i > es transforma en <).
Per exemple, una inequació equivalent a l’equació xx 243 es pot obtenir
multiplicant ambdós membres per –2, i és:
xxxx 2)2(43)2(243
és a dir:
xx 2486
Això és així perquè és sabut que en multiplicar (o dividir) ambdós membres d’una
desigualtat per un nombre negatiu, la desigualtat ha de canviar la seva orientació.
Resolució d'inequacions de primer grau representant la gràfica de la recta.
Resol la inequació: 053 x
Trobem els punts de tall de la funció 53)( xxf amb l'eix X:
66.13
5053)( xxxf
La funció és creixent perquè el seu coeficient principal és positiu. Dibuixem la seva
gràfica:
Està clar que la funció serà negativa, és a dir, 053 x a l'esquerra del punt de tall:
3
5053 xx
I per tant l'interval solució de la inequació serà
3
5,
Resolució d'inequacions de primer grau amb punts frontera i punts de prova.
Per a resoldre una inequació de primer grau s’han de seguir aquests passos:
1) Es resol l’equació associada a la inequació lineal. L’equació associada a una
inequació és aquella que s’obté canviant el signe de desigualtat pel signe igual. Aquesta
solució, diguem a, s'anomena punt frontera, i divideix la recta real en dos intervals:
a, i ,a
2) Es tria un nombre, qualsevol, que no sigui el punt frontera a, al que direm punt de
prova.
3) Se substitueix aquest nombre a la inequació, i es comprova si és solució.
4) Si és solució, la solució de la inequació serà l'interval al què pertany el punt de prova.
Si no, serà l'altre. Llegeix detingudament l'exemple següent:
Resol la inequació: 135 x
Resolem l'equació associada: 33.13
4315135 xxx
Aquest valor s'anomena punt frontera perquè separa la recta en dos intervals:
3
4, i
,
3
4
Un d'ells, i només un d'ells, és el bo. Per saber quin dels dos és el correcte prenem un
punt de prova, qualsevol valor que no sigui el punt frontera, per exemple 0x , i
comprovem si la inequació original es verifica amb aquest valor:
1510350 x
Com que la inequació es verifica amb el punt de prova 0x , també es verificarà amb
tots els valors de l'interval on està el punt frontera:
0x pertany a l’interval 3/4,
Que és el conjunt solució de la inequació: 3/4,
Resol la inequació xx 3732
Trobem el valor frontera resolent l'equació corresponent:
25
1010537323732 xxxxxx
Agafem qualsevol valor que no sigui 2, per exemple el 0, i mirem si satisfà la inequació
inicial:
73037302
Per tant, l'interval solució serà aquell que agafa el 0, és a dir, 2,
15.1.1 Resol les següents inequacions:
a) 712 x b) xx 5863 c) xx 231
d) xx 374 e) 135 xx
15.1.2 Resol les següents inequacions.
a) 713 x b) 4010 x c) 156 x
d) 32)1(4 xx e) )4(372 xx f) 764
3 xx
g) 27
23 xx h) 13)2(31 x i) 5
4
32
x
j) 3
1
2
3
xx
15.1.3 Resol les següents inequacions:
a) 3417 xx b) 1253 x
c) 735 yy d) )35(2)13(2 xxx
e) xx 13
2 f) 2)23(5 a
g) 14)1(325 xxx h) 52)2(3 xx
i) 12)1(23 xxx j) 1213 ww
k) 3
12
2
1352
xxx l) 83)1(3)1(5 xxx
m) )1(2)8(5)4(3 xxx n) 3
7
5
1362
xxx
o) xxx10
3)4(
2
1)1(
5
2 p) x
xx
3
3
48
4
13
q) 1625
2
x
xx r)
2
32
3
12 xx
x
15.1.4 Resol les següents inequacions (que semblen de segon grau però són de primer):
a) )3(2)32)(32()2(3)12( 2 xxxxx
b) 32)56(3)13(2)15(4 2 xxxxx
c) )43(2)2(4 xxxxx
d) )1(12)2(4)12()12(4 22 xxxxx
e) )21)(12()21(5)2()2( 32 xxxxxx
f) 2233 )2(2)1)(1(2622)1()1( xxxxxxx
15.1.5 Resol les següents inequacions:
a) 23)1(3 x b) xxx 37)2(35
c) )32(3)5(24 xx d) 1372 22 xxx
15.1.6 Resol les següents inequacions:
a) 8)2(23 xx b) )63(3)2(5 xx
c) )3(25)23(6 xx d) 4)35(367)53(2 xxx
15.2 Inequacions de segon grau amb una incògnita.
Resolució d'inequacions de segon grau representant la gràfica de la paràbola.
Resol la inequació: 0432 xx
Trobem els punts de tall de la funció 43)( 2 xxxf amb l'eix X:
1
4
12
253
12
)4(14)3(3043
22
x
xxxx
La paràbola té les branques cap a dalt perquè el coeficient principal és positiu. Per tant,
la seva gràfica és:
Veient la gràfica deduïm clarament que 410432 xoxxx
És a dir, el conjunt solució és ,41,
Resol la inequació: 0442 xx
Trobem els punts de tall de la funció 44)( 2 xxxf amb l'eix X:
2
2
12
04
12
414)4(4044
22
x
xxxx
Aquesta paràbola només té un punt de tall amb l'eix X, i té les branques cap a dalt
perquè el coeficient principal és positiu. Per tant, la seva gràfica és:
Observem que tota la funció està per sobre de l'eix X, per tant 0442 xx sempre
que 2x
El conjunt solució és ,22,2IR
15.2.1 Resol les següents inequacions:
a) 062 xx b) 0322 xx
15.2.2 Només observant la gràfica de la funció 34)( 2 xxxf , sense fer cap càlcul,
resol
a) 0342 xx b) 0342 xx c) 0342 xx d) 0342 xx
15.2.3 Només observant la gràfica de la funció 44)( 2 xxxf , sense fer cap
càlcul, resol
a) 0442 xx b) 0442 xx c) 0442 xx d) 0442 xx
Resolució d'inequacions de segon grau amb punts frontera i punts de prova.
Seguirem el mateix procediment que amb les inequacions de primer grau. Ara treballem
amb paràboles, i per tant, en principi, tindrem dos punts frontera: a i b , que
obtindrem resolent l'equació corresponent.
Resol la inequació 01072 xx
Resolem l'equació associada: 01072 xx :
5
2
2
97
)1(2
)10()1(4770107
22
x
xxxx
Dibuixem una recta i marquem els punts obtinguts, anomenats "punts frontera".
Prenem punts de prova entre els punts frontera. Per exemple: 0x , 3x i 7x
Provem la inequació inicial amb els punts de prova:
0100100700 2 x
020102190103733 2 x
01001049490107777 2 x
Els intervals solució seran aquells on els punts de prova han donat cert:
,52,
Tot plegat és més fàcil si t'imagines la gràfica de la funció:
15.2.4 Resol les següents inequacions:
a) 016102 xx b) 0122 xx c) 01032 xx
15.2.5 Resol les següents inequacions:
a) 972 2 xx b) 1042 xx c) xxx 101232
d) 13211122 22 xxxx e) 64535 22 xxxx
15.2.6 Resol les següents inequacions:
a) 0232 xx b) 062 xx c) 016 2 xx
d) 0822 xx e) 0232 xx f) 0342 xx
g) 0862 xx h) 08
15
4
72 xx i) 016
132 xx
15.2.7 Resol les següents inequacions:
a) )1(2
12 xx b) 06)1(25 xx c) )1(94 xx
d)
2
3
2
1
2
12
xx e) 2)2(8
1352
xx
f) )74(2)1(2 xxx
Inequacions de segon grau amb discriminat nul.
Si l'equació de segon grau associada a la inequació té discriminant nul, el conjunt
solució pot ser el conjunt buit, tota la recta real o un únic punt. És molt important
dibuixar la gràfica de la paràbola corresponent i tenir molt en compte si és una
desigualtat estricta (amb o ) o no estricta (amb o ).
Resol la inequació 025102 xx
L'equació associada té discriminant nul: 01001002514)10( 2 .
La seva única solució és 52
10
2
010
x
Es tracta d'una paràbola amb les branques cap a dalt que passa pel punt )0,5(
Mirant la gràfica veiem que només per a 5x podem satisfer 025102 xx , per
tant, la solució és 5x .
15.2.8 Resol les següents inequacions:
a) 01022 xx b) 03
443 2 xx c) 011881 2 xx
d) 0145484 2 xx e) 092416 2 xx f) 0542 xx
g) 08
8192 2 xx h) 034102 xx i) 02082 xx
j) 025309 2 xx
15.3 Inequacions de tercer grau i superior amb una incògnita.
El mètode de "Punts frontera+Punts de prova" que hem estudiat per resoldre les
inequacions de primer i segon grau es pot aplicar a la resolució de inequacions de graus
superiors a dos.
Resol la inequació 483232 23 xxx
Determinem els punts frontera resolent l'equació polinòmica associada:
0483232483232 2323 xxxxxx
La resolem amb el mètode de Ruffini:
2 -3 -32 48
-4 -8 44 -48
2 -11 12
-12
0
4 8
2 -3 0
3/2 3
2 0
Els punts frontera són 4x , 5.12
3x , 4x .
Dividim la recta en tres intervals amb aquests punts frontera i prenem valors de prova
dintre de cada interval:
A l'interval 4, prenem, per exemple, 5x :
4816548160253)125(248)5(32)5(3)5(2 23
A l'interval
2
3,4 prenem, per exemple, 0x :
480480320302 23
A l'interval
4,
2
3 prenem, per exemple, 2x :
4860482324382482322322 23
A l'interval ,4 prenem, per exemple, 5x :
4815485322531252485325352 23
El conjunt solució de la inequació serà la unió dels intervals on s'ha verificat el punt de
prova:
,4
2
3,4
15.3.1 Resol les següents inequacions de tercer grau:
a) 03272 23 xxx b) 02323 23 xxx
c) 04488 23 xxx d) 0122 23 xxx
e) 015133 23 xxx f) 0573 23 xxx
15.3.2 Resol les següents inequacions:
a) 0)1)(1()1(2 2 xxxx b) 0)15(6)111(3 3 xxx
15.3.3 Inequacions biquadrades. Resol les següents inequacions:
a) 0161459 24 xx b) 025376 42 xx
15.3.4 Resol les següents inequacions.
a) 03612112 234 xxxx b) 012 234 xxxx
c) 0184116 24 xx
16 Sistemes d'equacions lineals amb dues incògnites.
16.1 Els tres mètodes: Substitució, igualació i reducció.
Mètode de substitució.
El mètode de substitució consisteix a aïllar una de les incògnites d’una de les dues
equacions i substituir el seu valor en l’altra equació. Una vegada resolta aquesta última
(que només tindrà una única solució), es resol l’altra equació introduint aquest valor.
Resol el sistema
42
824
yx
yx
1. Es tria una de les dues equacions.
42 yx
2. S’aïlla una de les incògnites de l’equació.
xy 24
3. Se substitueix el valor de la incògnita en l’altra equació.
8)24(24 xx
4. Es resol l’equació resultant.
2
8/16
168
888
8484
x
x
x
x
xx
5. Se substitueix aquesta incògnita en l’equació del pas 2, pel valor trobat.
0224 y
La solució és: x = 2 i y = 0
S’ha de comprovar la solució:
4022
80224
Mètode d'igualació.
El mètode d’igualació consisteix a aïllar la mateixa incògnita d’ambdues equacions i
igualar els resultats obtinguts. Una vegada resolta aquesta equació, se’n pot substituir el
valor en una de les equacions inicials i resoldre-la per a trobar l’altre valor.
Resol el sistema
42
824
yx
yx
1. S’aïlla la mateixa incògnita en totes dues equacions.
xy
xy
24
2
84
2. S’igualen les dues expressions resultants.
xx
242
84
3. Es resol l’equació resultant.
28
161688844
4884)24(284242
84
xxxx
xxxxxx
4. Es substitueix la incògnita de qualsevol de les equacions del sistema del pas 1 pel
valor trobat.
0224 y
La solució és: x = 2 i y = 0
5. S’ha de comprovar la solució.
4022
80224
Resol el següent sistema
245
523
yx
yx amb el mètode d'igualació.
Aïllem la variable x a les dues equacions:
5
42425245
3
25253523
yxyxyx
yxyxyx
Igualem les expressions obtingues:
5
42
3
25
5
42
3
25
yy
yx
yx
Resolem l’equació obtinguda :
2
19
2
1919225612101261025
)42(3)25(55
42
3
25
yyyyyy
yyyy
Substituïm el valor de la incògnita obtinguda:
83
24
3
195
3
2/1925
3
25
yx
Per tant, la solució al sistema és 2
19,8 yx .
Efectivament, comprovem que les solucions proposades satisfan les equacions
519242
19283 23840
2
19485
Mètode de reducció.
El mètode de reducció consisteix a multiplicar convenientment ambdues equacions de
manera que una vegada restades, desaparegui una de les incògnites. Una vegada resolta
l’equació resultant, es pot substituir aquest valor en una de les equacions inicials i
resoldre-la per a obtenir la solució general.
Resol el sistema
42
824
yx
yx
1. Es tria una de les dues incògnites.
es tria la y
2. Es multipliquen els dos membres de la primera equació pel coeficient de la incògnita
escollida en la segona equació, i els dos membres de la segona equació pel coeficient de
la incògnita escollida en la primera equació.
422
8241
yx
yx
824
824
yx
yx
3. Es resten les dues equacions resultants.
168
824
824
x
yx
yx
4. Es resol l’equació resultant.
2x
5. Se substitueix el valor de la incògnita trobada en qualsevol de les equacions del
sistema.
se substitueix x = 2 en l’equació 42 yx :
422 y
6. Es resol l’equació resultant.
044 yy
La solució és: x = 2 i y = 0
S’ha de comprovar la solució:
4022
80224
Resol el sistema
1232
143
yx
yx
Els coeficients de la x són un 3 i un 2. Per tant, multiplicarem la primera per 2 i la
segona per 3, de forma que tots dos coeficients siguin 6:
3696
286
123323
12432
1232
143
yx
yx
yx
yx
yx
yx
Ara resten les dues equacions. Les x desapareixeran, i quedarà una equació en y:
217
3434170
362)98()66(
3696
286
yyx
yx
yx
yx
Trobem el valor de la x substituint el valor de y obtingut a qualsevol de les dues
equacions:
36
18186216621662286 xxxxx
La solució és 2,3 yx
Efectivament:
12662332
1892433
16.1.1 Resol els següents sistemes:
a)
1352
113
yx
yx b)
732
354
yx
yx c)
5835
1372
xy
yx
d)
723
1945
yx
yx e)
1327
2735
yx
yx
16.3.1 Resol els següents sistemes d’equacions, mitjançant el mètode de substitució,
aïllant la incògnita remarcada:
a)
976
153
yx
yx b)
2826
43
yx
yx c)
104
1652
yx
yx
d)
63
52
yx
yx
16.3.2 Resol els següents sistemes d’equacions, mitjançant el mètode de substitució:
a)
12)1(2)2(3
103
yx
xy b)
112
43
yx
yx
c)
213
425
yx
yx
d)
4)1(42
24)1(3
yx
yx e)
1132
102)5(4
xy
yx
16.3.3 Resol amb el mètode de substitució:
a)
2xy
xy b)
042
53
yx
yx
c)
xyx
xyx
334
65)(3
16.3.4 Sistemes d'equacions per a pensar una mica.
a)
01
4
1
5
04
1
1
3
yx
yx b)
037
8
52
1
023
7
2
5
yx
yx
c)
0132
7
32
5
01
4
1
3
yx
yx d)
31
2
21
4
y
x
y
x
e)
2
2134
115
2
yx
yx
f)
138
234
yx
yx
g)
13
1
4
91
1
3
yx
yx
16.3.5 Repàs de sistemes:
a) Resol per substitució:
112
8
yx
yx b) Resol per igualació:
225
102
yx
yx
c) Resol:
3845
2532
yx
yx d) Resol:
13)1(2
7)1(5)2(3
yx
yx
16.3.6 Repàs de sistemes:
a) Resol per substitució:
2332
73
yx
yx
b) Resol per igualació:
145
1832
yx
yx
c) Resol per reducció:
532
1223
yx
yx d) Resol:
13)1(2
7)1(5)2(3
yx
yx
e) Resol:
73
1
53
4
2
3
xy
yx
16.3.7 Repàs de sistemes:
a) Resol per substitució:
42
1055
yx
yx
b) Resol per igualació:
1143
1874
yx
yx
c) Resol per reducció:
222
1042
xy
yx d) Resol:
yx
yx
335
73
26
5
72
16.2 Interpretació geomètrica. Mètode gràfic.
Interpretació gràfica d'una equació lineal amb dues incògnites. Una equació lineal amb dues incògnites representa una recta en el pla.
Representa gràficament l'equació 532 yx
3
52352532
xyyxyx
(Naturalment, no calia fer una taula de valors tan gran per representar una recta. Amb dos punts n'hi havia
prou!)
16.2.1 Representa gràficament les següents equacions:
a) 123 yx b) 745 yx
c) 132 yx d) 467 yx
Interpretació gràfica d'un sistema lineal amb dues incògnites.
Un sistema lineal amb dues incògnites representa la intersecció de dues rectes en el pla.
Interpreta gràficament el sistema
1125
1232
yx
yx
Primera recta: 3
21221231232
xyxyyx
Segona recta: 2
11521151125
xyyxyx
Dibuixem les dues rectes al mateix pla. La solució del sistema serà el punt d'intersecció
de les dues rectes:
La solució és 2,3 yx (Comprova-ho resolent el sistema amb un mètode algebraic!)
Estudi i interpretació gràfica del nombre de solucions d'un sistema 2x2.
Sistema Compatible Determinat (SCD): Una única solució. Les dues rectes
s’intercepten en un únic punt.
Sistema Compatible Indeterminat (SCI): Infinites solucions. Les dues rectes
coincideixen, és a dir, són la mateixa.
Sistema incompatible (SI): No hi ha cap solució. Les dues rectes són paral·leles.
Classificació dels sistemes d'equacions.
Segons la quantitat de solucions, un sistema pot ser:
Compatible determinat (SCD): Si té una única solució.
Compatible indeterminat (SCI): Si té més d'una solució.
Sistema incompatible (SI): Si el sistema no té solució.
Resolució de sistemes 2x2 pel mètode gràfic.
Per "resolució pel mètode gràfic" entenem el dibuixar les gràfiques associades a les
dues equacions i interpretar el seu punt de tall com solució del sistema.
16.2.1 Resol pel mètode gràfic els següents sistemes i observa com queden les rectes de
cadascun.
a)
124
823
yx
yx b)
1
4
xy
yx c)
1462
73
xy
xy
Què observes? El primer sistema és Compatible Determinat (amb solució
2,4 yx ) , el segon sistema és Incompatible i el tercer és un Sistema Compatible
Indeterminat.
Com són les rectes de cada sistema?
17 Sistemes d'equacions lineals amb tres incògnites.
17.1 Concepte de sistema d'equacions lineal amb tres incògnites.
Un sistema d'equacions lineals amb tres incògnites té aquesta forma:
3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
La resolució d’un sistema de tres equacions lineals amb tres incògnites es basa en la
resolució pel mètode de reducció o mètode de Gauss. Consisteix a eliminar
adequadament i progressivament incògnites de cadascuna de les equacions per a obtenir
una equació amb una sola incògnita. A partir del valor d’aquesta incògnita, s’aniran
trobant els valors de la resta d’incògnites.
17.2 El mètode de Gauss.
El mètode de Gauss és un mètode molt eficaç per resoldre sistemes lineals de tres o
més equacions. Consisteix a anar eliminant les incògnites de cada una de les equacions
proposades, de manera que al final s'obtingui una equació amb totes les incògnites, una
altra amb una incògnita menys, una altra amb dues incògnites menys, i així
successivament, fins a l'equació amb una sola incògnita. El sistema resultant s'anomena
sistema triangular. Finalment, es resol el sistema triangular de manera esglaonada.
Aquest mètode també s'anomena mètode de triangulació.
Resol el següent sistema:
53
4223
934
zyx
zyx
zyx
1. Intercanviem, per comoditat, les files 3 i 1.
934
4223
53
53
4223
934
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
2. A la fila 2 li restem 3 vegades la fila 1. A la fila 3 li restem 4 vegades la fila 1:
111110
111150
53
934
4223
53
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
3. Intercanviem, per comoditat, les files 2 i 3.
111150
111110
53
111110
111150
53
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
4. A la fila 3 li restem 5 vegades la fila 2:
444400
111110
53
111150
111110
53
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
El sistema ja està triangulat. Ara anem aïllant incògnites, de baix a dalt:
Tercera equació: 144
444444444400 zzzyx
Segona equació: 01111111111111110 yyyzyx
Primera equació: 235513053 xxzyx
La solució del sistema és: 1,0,2 zyx
17.2.1 Resol els següents sistemes, amb el mètode de Gauss:
a)
34
1223
323
zyx
zyx
zyx
b)
93
1
92
zyx
zyx
zyx
c)
11296
5534
662
zyx
zyx
zyx
d)
28312
18494
2638
zyx
zyx
zyx
18 Sistemes d'equacions de segon grau.
18.1 Resolució de sistemes d'equacions de segon grau.
Els sistemes d'equacions no lineals es resolen, en general, amb el mètode de substitució.
Resol el sistema
096
02
22 yx
yx
Aïllem la y de la primera equació: xyyx 202
La substituïm a la segona equació: 09260962222 xxyx
Resolem l'equació en x resultant:
5
3
25
9
25
9
925092509240946
2
222222
xx
xxxxxx
Substituïm els valors obtinguts per obtenir
5
6
5
32
5
3
5
6
5
32
5
3
2
yx
yx
xy
Les solucions són: 5/6,5/3 yx i 5/6,5/3 yx
18.1.1 Resol els següents sistemes de segon grau:
a)
193
3
2x
y b)
8
2
2 xy
x c)
72
82
yx
yx
d)
43
632
yyx
yx e)
2
23 2
yx
yx f)
03
163)2(4
2
22 xyx
yx
18.1.2 Resol els següents sistemes quadràtics:
a)
172
10
22
22
yx
yx b)
29
7
22 yx
yx c)
6
1
xy
xy
d)
574
102
2 xyx
yx e)
6
14
2
2
xyx
xyx f)
5
20
y
x
xy
18.1.3 Resol els següents sistemes:
a)
1076
1635
2 yx
yx b)
954
12
22 yx
yx c)
8
2034
xy
yx
18.1.4 Resol els següents sistemes:
a)
255
2
22 xyyx
yx b)
2632
223
2yxyx
yx
c)
52
1432
yx
yyxxyx d)
1832
2
2yx
yx
e)
42
1322
yx
yx f)
13
2
111
yx
yx
g)
3
21323122
yx
yxx h)
90
18922
yx
yx
i)
84
8
yx
yx
19 Sistemes d'equacions racionals.
Resol el sistema
022
12
2
2
yx
yy
x
Simplifiquem la primera equació:
yxxyyyxyy
x242)2(2)12(
12
2
2
El sistema que obtenim és:
022
242
yx
yxxy
Apliquem el mètode de substitució: Aïllem la y de la segona equació:
xyyx 22022
i la substituïm a la primera:
4
141041
0
0)41(04
044344344444
44444)22(24)22(2
2
222
2
xxx
x
xxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxx
Amb els valors de x trobats trobem els valors de y:
20220 yx
2
5
4
122
4
1
yx
Comprovem les solucions obtingudes al sistema inicial:
02202
122
2
22
0
2,0 yx
Veiem que aquesta solució està fora del domini de definició de la primera equació, i per
tant no és vàlida.
00
4
2
2
1
02)2/5()4/1(2
1)2/5(2
2
2/52
4/1
2
5,
4
1yx
Aquesta solució és vàlida, per tant la única solució del sistema és 2
5,
4
1
yx .
19.1.1 Resol els següents sistemes d'equacions racionals:
a)
5
3
10
2
5
2
5
2
464
yx
yx b)
yx
yy
x
y
x
3
162
c)
1
4
1
2
1
)1()2(23 222
xx
x
x
y
yyxyxx
d)
52123
)3(2
13
6
)1(11
)3(
12
yxx
x
x
y
x
xy
x
e)
x
y
xxx
x
xy
26
6
3
2
3
2
f)
12
422
1
1
)2(423
y
y
x
x
yxy
20 Sistemes d'inequacions amb una incògnita.
Un sistema d’inequacions amb una única incògnita està format per diverses inequacions
i limitat per una clau que indica precisament que es tracta d’un sistema, i no d’equacions
independents. Per exemple, un sistema d’inequacions podria ser:
12
283
2 xx
x
Un nombre és solució d’un sistema d’inequacions d’aquest tipus si és solució de totes
les inequacions que formen el sistema. Per exemple, x = 1 és una solució del sistema
d’inequacions:
11121
211813
2
Per trobar les solucions d'un sistema d'inequacions resoldrem cada inequació per
separat i determinem la intersecció dels intervals obtinguts.
20.1 Sistemes d'inequacions de primer grau amb una incògnita.
Resol el següent sistema d'inequacions de primer grau:
042
093
x
x
Resolem la primera inequació: 093 x
Punt frontera: 33/9093 xx
Punt de prova: 0909030 x
Interval solució: 3,
Resolem la segona inequació: 042 x
Punt frontera: 22/4042 xx
Punt de prova: 0404020 x
Interval solució: ,2
Trobem la intersecció dels dos intervals solució: 3,2,23,
La solució del sistema és l'interval 3,2
Resol el sistema d'inequacions:
2562
12)1(3
xx
xx
Resolem la primera inequació: ,5/212)1(3 xx
Resolem la primera inequació: 3/4,2562 xx
La intersecció dels dos intervals és el conjunt buit: ,5/23/4,
Per tant el sistema no té cap solució, o dit d'una altra manera, el conjunt solució és el
conjunt buit.
20.1.1 Resol els següents sistemes d'inequacions:
a)
3)2(32
7)2(3)1(2
2
2
xxxxx
xxxxxx
b)
732
23)1(37 2
x
xxxxxx
c)
2874
176)3(17 2
xx
xxxxx d)
236
3)1(2 22
xx
xxxx
e)
xxxxx
xxx
9)2(717
172)1(
2
22
f)
162
1)2(216 22
xx
xxxxx
g)
312
2)1(6 2
x
xxxx h)
22
22
1233)2(
)2(236
xxxx
xxxxx
i)
313
72)2)(12( 2
xx
xxxx j)
2
22
4)1(2
27)3(
xxxx
xxx
20.2 Sistemes d'inequacions de segon grau amb una incògnita.
Resol el següent sistema d'inequacions de segon grau:
0152
045
2
2
xx
xx
Resolem la primera inequació: 0452 xx
Punts frontera: 4,10452 xxxx
Punt de prova: 04040500 2 x
Interval solució: 4,1
Resolem la segona inequació: 01522 xx
Punts frontera: 3,501522 xxxx
Punt de prova: 0150150200 2 x
Interval solució: 3,5
Trobem la intersecció dels dos intervals solució: 3,13,54,1
La solució del sistema és l'interval 3,1
20.2.1 Sistemes "Primer Grau & Segon Grau":
a)
01
022
x
x b)
03
022
x
xx c)
027308
023
2 xx
x
d)
02
013
2x
x
e)
032
037
012
2
x
xx
x
f)
0169
01
074
2x
x
x
g)
016
013
032
2 xx
x
x
20.2.2 Resol els següents sistemes d'inequacions:
a)
02
032
045
2
2
x
xx
xx
b)
072
082
0352
2
2
2
xx
xx
xx
c)
027394
07132
01892
2
2
2
xx
xx
xx
d)
02
0427
0576
2
2
2
xx
xx
xx
e)
012112
03116
09124
2
2
2
xx
xx
xx
Solucions
1.1.1 a) racional b) racional c) enter d) racional e) natural
f) racional g) irracional h) natural i) enter j) irracional
k) natural l) enter m) natural n) racional
1.1.2
1.1.3
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.1.4
2.1.5
2.2.1
2.2.2 a) 2/310 b) 4/55 c) 3/12
2.2.3 a) 3 b) 10 c) 216
3.1.1 a) ,5 b) 5.4,0 c) 5.2,1 d) 4,3 e) 5.2,1
3.1.2 a) 3,3 b) 3,5 c) ,33, d) ,104,
3.1.3
3.1.4
3.1.5
3.1.6
3.2.1 a) 11,7 b) 15,1 c) 2,2 d) 1,5
3.2.2
4.1.1
4.1.2
4.1.3
4.1.4
4.1.5
4.2.5 a) 54m b) m2 c)x
8 d) n8 e) 58k f) 24x g) xy26 h) 244 uv
i) ab
12 j)
2
5
y
x
4.2.6 a) 1 b) 816
1
x c) 256 d) 616a e) 1681k f)
xy4
1
g) 42
1
b h)
2
4
y
x i)
4
3
2x
y j)
29
1
m k)
x2
1 l)
54
1
x
m) n n) 2
1 o)
7
3
m p)
7
2
3
2
yz
x q)
xy
z2
3
r) 4
33
3
2
j
kh
s) p
nm
3
4 2
t) yz
x73
4.2.7 12
1
5.1.1
5.2.1 a) 7
5.2.2 a) 2/310
5.2.3 a) 3
5.3.1 a) 2 b) 5 4 c) 5 d) 2 e) 6 f) 5 3
g) 2 h) 3 i) 3 5 j) 5 5 k) 3 l) 5 7
5.3.2 a) 3
5.3.3
5.3.4 a) 34
5.3.5
5.4.1 a) 666 5,27,4 b) 121212 2401,216,52 c) 666 30,36,125
d) 101010 60,3125,100
5.4.2 a)
5.5.1 a) 253 b) 77 c) 23 d) 0
5.5.2 a) a3 b) 0 c) a d) 0 e) ba4
1
4
7
f) bab 9 g) y h) ba )6/7(
5.5.3 a) 317
5.5.4 a) 85 b) 32 c) 26 d) 2232 e) 6255
f) 63 g) 613 h) 236 i) 6332
5.5.5 a) 242 b) 52 c) 37 d) 224 e) 23064
f) 54621 g) 74217
5.6.1
5.6.2 a) 218 b) 25 c) 40 d) 512
5.6.3 a) 10
3 b)
5
2 c)
3
2 d)
2
53
5.7.1 a) 335 b) 54302 c) 2936 d) 23305
5.7.2 a) 591515 b) 5915 c) 51126 d) 15418
5.7.3 a) 4 b) -23 c) -7 d) -11 e) -2 f) -5
5.7.4 a) 16312 b) 30513 c) 2 d) 31727
5.8.1 a) 5
54 b)
15
32 c)
3
15 d)
6
6
5.8.2 a)25
154 b)
6
6
5.8.3 a) -7 b) 3 c) 15 d) -17
5.8.5 a) 16
353 b)
2
25315 c)
11
1757 d)
4
6535222
e) 11
10228554
5.8.6 a) 3
324 b)
12
34 c)
5
32 d)
4
13
e) 52
655132 f)
68
17485 g)
3
96 h)
18
3230
i) 43
25515 j)
77
52035 k)
23
2210 l)
2
232
m) 11
3912 n) 422 o) 53 p)
2
35 q) 21
r) 43
54316 s) 12 t) 323 u) 2 v) 2
5.8.7 a) a b) a c) ba
abba
d)
ab
abba
5.8.8 a) y
xyx 3 b)
y
y
2
6 c) 492142 xx
5.8.9 a) 12 b) 2
17 c) 16 d) 15 e) 25
f) 135 g) 35 h) 236 i) 152 j) 41
227
k) 3
323
5.8.10 a) x
x
31
322
b)
x
xx 462 c)
3
62
m
m
x.x.x a)
3
522 b)
73
32024 c)
11
53 d)
23
252
7.1.1
7.1.2 a) 71086.7 b) 31094.3 c) 0107.4 d) 61026.1 e) 2106
f) 21075.1
7.1.3 a) 6170 b) 70000 c) 7310000 d) 0.000000054
e) 0.0067 f) 959
7.1.4 a) 5102 b) 7103 c) 41084.8 d) 81088.2
7.1.5 a) 6106 b) 6104.5 c) 1106 d) 7102
e) 6102 f) 4101.7 g) 7109 h) 0103.6 i) 41016.2
j) 3102.4
7.1.6 a) 0.09 b) 0.2 c) 20000 d) 80400 e) 26600
f) 0.015 g) 0.775 h) 83000000 i) 4 j) 0.00004
8.1.1 a) -6 b) 4 c) 5 d) 4 e) -8 f) -8 g) 7 h) 6 i) j) -1 k) -1
l) 3 m) 3 n) 1 o) 1 p) 6 q) IR r) -11 s) t) 7
8.1.2 a) 7 b) 4 c) 6 d) 3 e) 1 f) 6 g) 2 h) 1 i) 11 j) 11 k) 4
l) 3 m) 1 n) 5
8.1.3 a) 12 b) 4 c) -2 d) 1 e) 3 f) 5 g) 6 h) 8 i) 2 j) -1 k) 9
l) -29 m) 13 n) 1
8.1.4 a) -1/3 b) 52
3
c)
3
1 d) 3 e) 0 f)
71
7
9.1.1 a) 18, 0 b) -1 , 12
9.1.2 a) -12 b) 0 c) 42 d) 5 e) -20 f) -1/4 g) -7/3 h) 0
9.1.3 a) 32 , 2 , -1/2 b) 112 , -20 , -9 c) -21/2 , 0 d) -96 , 7/48 , 0
e) -7 , 1 f) -4 , -5/2 , -4
9.1.4 a) -7/9 b) 26 c) 5 d) 9 e) 10
9.2.1 a) 57, 52 b) 59, -13 c) -2, -4
9.3.1 24363 234 xxxx , 661583 234 xxxx
9.3.2 a) 153 a b) 1224 a c) 3322 a d) 21140 b e) x24
f) 23 12aa g) aaa 21183 23 h) 23 2826 xx i) 1245 x
j) 1200018000 x k) aaa 552211 23 l) 9000240 x
9.3.3 a) 32012 2 xx b) 82620 2 xx c) 3852 23 xxx
d) 810135 23 xxx e) 5424144 23 xxx
9.3.4 a) 3586 23 xxx b) 482062 23 xxx
c) 1529226 23 xxx d) 142533 23 xxx
e) 5492115 23 xxx
9.3.5 a) 3563 234 xxxx b) 214733142 234 xxxx
c) 104633192 234 xxxx d) 24215196 234 xxxx
9.3.6 a) 345 3 xxx b) 5678 4614104 xxxx c) 1623224 234 xxx
d) 43192196 2345 xxxxx
e) 72173617852 2345678 xxxxxxxx
f) xxxxx 20729192 2345 g) 32529102 234 xxxx
h) 5342782 234 xxxx
9.4.1 a) 169 2 xx b) 9124 24 xx c) 456 446 yyy
d) 4/124 aa
9.4.2 a) 8126 23 xxx b) 133 246 xxx
9.4.3 a) 122 xx b) 442 xx c) 144 2 xx
d) 4129 2 xx e) 12 36 xx f) 168 24 xx
9.4.4 a) 23x b) 25x c) 24x d) 27x e) 232 x
f) 215 x g) 2yx h) 224 x i) 223 yx
9.4.5
9.4.6 a) 122 xx b) 442 xx c) 169 2 xx
d) 9124 2 xx e) 12 24 xx f) 96 36 xx
9.4.7 a) 23x b) 252 x c) 212)4/1( x d) 224 x
e) 252 x f) 273 x g) 275 x h) 234 x i) 252 x
9.4.9 a) 116 6 x b) 464 ba
9.4.10 a) )52)(52( xx b) baba 4343 22 c) 4545 xx
d) yxyx 5353
9.4.11 a) 12 24 xx b) 144 2 xx
9.5.1 a) Q: 3x , R: 513 x b) Q: 2x , R: 0 c) Q: 1x , R: 0
d) Q: 432 xx , R: 0
9.5.2 a) Q: 1x , R: -2 b) Q: 231252 23 xxx , R: 7261 x
c) Q: 1234567 xxxxxxx , R: 0
9.5.3 a) Q: 123 xxx , R: 33 x b) Q: 22 x , R: 12 x
c) Q: 33 36912 xxxx , R: -3
9.5.4 a) Q: 5432 3468 xxxx , R: 6 b) Q: 12468 xxxx , R:0
c) Q: xxxx 214161 , R: x
9.5.5
9.6.1 a) Q: 125 23 xxx , R: -2 b) Q: 4355 234 xxxx , R: 4
c) Q: 126 xxx , R: -5
9.6.2 a) Q: 82 2 xx , R: -1 b) Q: 52148526 2345 xxxxx , R: 69
c) Q: 9
37
3
82 xx , R: 27
17
9.6.3 a) Q: 122 xx , R: 3 b) Q: 232 2 xx , R:1
c) Q: 372 245 xxxx , R: 7 d) Q: 134 235 xxx , R: 7
9.6.4
9.6.5
10.1.1 a) 5 b) 5 c) a2 d) a4 e) 3 f) 4 g) 35x h) 32x i) 48y j) xy2 k) 5b
l) cb33
10.1.2 a) 56611 cba b) 65)16/1( yx c) )5(2 a d) 3)(4 yx e) )4()3(7 4 aa
f) 53 )3()5(13 yxyx
10.2.1 a) )52(2 x b) )3(6 x c) )5(5 x d) )3(3 aa e) )87(2 bb
f) )43(7 xx g) )109(5 yy h) )29(2 aa i) )35(8 2 yy
j) )34(4 2 xx
10.2.2 a) ))(4( bay b) )4)(34(2 2 nmm c) ))(9( bax
10.2.3 a) )32)(9( ba b) )7)(4( yx c) )3)(1( xy
d) )4)(5( rsab e) )37)(32( bayx f) )2)(2(3 yxmb
g) )2)(3( 22 ba
10.2.4 a) )2)(13( 2222 baabba b) )53)(2( 22 zywxzxy
c) ))(( 2 xyabcdcxba
10.2.5 a) )2(3 yx b) )( 22 yaxa c) )7(2 cba d) )124(2 22 aaa
e) )32)((3 yxyx f) )49(3 23 zyzyz g) )3(9
1 2
xyyx
h) )34(5 22 yxxx i) )65(5 22 baba
10.2.6 a) ))(( bayx b) )31)(3( yxyx c) )1)(( xba
d) )2)(1(2 yxa e) )1)(( baba f) )321()32( 222 yxyx
g) 1 a h) )144)((2
1 abyx i) )1)(( azyxa
j)
2)3(
2
12)3(
3
1baba k) )26)(6(
4
1 yxyx
10.3.1 a) )5)(5( mm b) )32)(32(9 qpqp c) )7)(7( 22 bcabca
d) )10)(10( 246246 yxwyxw e) )5)(5(3 xx
f) ))(( 22 mnabmnabam
10.3.2 a) ))()(( 22 nmnmnm b) )221)(221)(12)(12( 2222 yyyyyy
10.4.1 a) 2)13( x b) 2)2( ba c) 2)32( b d) 233 ba e)
2
3
1
xa
f) 212 a g)
2
2
13
y h) i) 22 )2(3 ax j)
2
2
1
ba
10.4.2 a)
2
2
5
5
2
y b) 22 8 x c) d) 2)7( baa
e) 2234 xyyx f)
2
2
13
xba g)
2
2
3
3
2
ab h) 21x
i)
2
4
12
yx
10.5.1 a) )12)(2)(1( aaa b) )43)(1( 2 bbb
c) )4242)(2( 234 xxxxx d) )4)(3)(2)(2( 2 aaaa
e) )12)(3)(1( bbb f) )13)(12)(1( xxxx
10.5.4 a) )3)(5(2 xx b) 2)12( x c) )13)(1( xx d) )1)(12( xx
e) )13)(12( xx
10.5.5 a) )2)(1)(4( xxx b) )1)(2)(3( xxx
c) )3)(1)(3(2 xxx d) )53()1( 2 xx
10.5.6 a) )5)(3)(1)(2( xxxx b) )3)(3(3 xxx c) )1)(3(2 xxx
d) 22 )3()1( xx e) )2)(1)(2)(4(2 xxxxx
10.5.7 a) -3, 2 b) -1, 2, 3
10.5.8 a) -1, 0 b) 0, 8 c) -1, 3 , 5
10.6.1 a) -3 , 1 , 2 b) -2 c) 1 , 3 d) -3, -1 , 2 e) -1 , 1 , 2
10.6.2 a) -1/2 , 2/3 , 1 b) -1 , 1/5 , 3/2 c) -1/3 , 1/2 , 1 d) -1 , 2, 1/2
e) 2/3 f) -3/2 , -1 g)1/4
11.1.1 a) 4, 8 b) 1, 6 c) -5, -4 d) -6, -1/2 e) 3, 6/5
f) -1/5, 3/2 g) -5/6, 6/11 h) 2/7 i) 6/5
11.2.1 a) 1 b) 2 c) d) 3/6 e) 6 f) g) 1
11.2.2 a) 4 3 b) 1 c) 63 d) 4 2/1 d) e) 3/2
11.3.1 a) 0 , 7/2 b) 0 , -6 c) 0 , -3 d) 0 , -2 e) 0 , -5
11.3.2 a) 0 , 323 b) 0 , 23 c) 0 , 3/3 d) 0 , 6
e) 0 , 2/32 f) 0 , 32 g) 0 , 12
11.3.3
11.3.4
11.3.5 a) -11, 0
11.4.6
11.3.6 a) 3/4 , 0
11.3.7
11.4.1 a) -1 , 3 b) -5 , 2 c) d) -4 , 8 e) 2/3
11.4.3 a) 1 , 5
11.4.4 a) -4/5 , 2
11.5.1 a) -2 , 4 b) -6 , 10 c) 4 , 10 d) -5 , 10 e) -8 , 1
f) -5/2 , 3 g) -3 , 2/3 h) 1/2 i) 1 , -9 j) 13 , -1
k)
11.5.2 a) 4 b) -6 , 8 c) 21 d) 1 , -5 e) 336
f) -1 , -1/4 g) 524 h) i) 51 j) k) 22
11.5.3 a) -3 , -2 b) -4 , -2 c) 7 , -2 d) 5 , -2 e) 3 , -1
11.5.4 a) -1/2 , 6
11.5.5 a) -3/2 , 2
11.7.1 a) )2( 22 uu b) )4)(3( 22 xx c) )5)(1( 22 aa
d) )5)(3( 22 xx e) )1)(5( 22 uu f) )5)(4( 22 mm
g) )1)(3( 22 xx h) )5)(2( 22 xx i) )8)(27( 22 mm
j) )5)(67( 22 uu k) )1)(1)(45( 2 xxx l) )2)(43( 22 xxx
m) )6)(12( 222 xxx n) no factoritzable
o) )6)(27( 22 mm p) )2)(73( 22 uu
q) )1)(1)(42)(2( 22 xxxxxx r) )5)(10(6 44 xxxn
s) )10)(6( 33 xx t) )83(5 48 uun u) )3)(1)(1( 32 xxxx
v) )9)(9( 33 mm w) )3)(5( 33 xx x) )5)(3( 33 xxxm
12.1.1 a) No està definida si 2x b) No està definida si 2
51x
c) Sempre està definida.
12.2.1 a) 7
6 b)
3
3
x
x c)
4
1 d) 2226 cba e)
8
1
x
x f) 1 g)
)9(2
)5(3
a
aa
h) 2)10( x
12.2.2 a) 1
4
x
x b)
3
2
x
x c)
1
3
x
x d)
x
x 4 e)
3
12
b
b
f) yx
yx
2
910
12.2.3 a) 13 x b) 32 x c) 22 x d) 5x e) 4x
f) 2x
12.2.4 a) 3,1,1
1
bb
b b) 0,
2
2
aa
c) 5,1,5
2
xx
x
x
d) 0,5
xxy
e) 0,0,9
2 yx
x
yz
f) 0,0,0,3
zyxx
g) 3,0,3
8
aa
a h) 2,
2
4
x
x
x
i) 0,2
510
x
x
x j) 5,5 xx k) 2,
4
2
b
b
l) 1,1,1
3
xx
x m) 2,7,
2
1
aa
a n) 4,
6
2
x
x
o) 1,6,1
1
yy
y
y
12.3.1 a) 2y
x b)
yx
yx
43 c)
103
133 2
x
xx d)
)23(
74 2
xx
x
e) )2)(3(
47
xx
x f)
)6(
124 2
aa
aa g)
)4)(2(
35 2
xx
xx
12.3.2 a) )1)(2(
)78(
bb
bb b)
)3)(2(
2542 2
aa
aa c)
)3)(3(
18193 2
xx
xx
d) yy
yy
)4(
1265 2
e)
)6)(1(
2
yy
y f)
)3)(3(
37 2
aa
aa
g) )4)(2)(1(
)52(6
aaa
a h)
22
2
)3()2(
)362(2
bb
bb i)
)4)(1(3
852 2
xx
xx
j) 4
12
x
x
12.3.3 a) )2)(1(
35
xx
x b)
)3)(4)(5(
2932 2
bbb
bb c)
)3)(1(
97
aa
a
d) )8)(6)(2(
)13(2
yyy
y e)
)4)(3(
)34( 2
yy
yyy f)
)7)(2)(2(
29
xxx
x
12.3.3 a) )1)(2)(3(
15
xxx
x b)
)4)(2)(2)(3(
1431223 23
xxxx
xxx
c) )1)(1)(4(
8102
yyy
yy d)
)3)(2(4
18624
23
xxx
xxx e)
)2)(3)(6(
)2)(5(
aaa
aa
f) )1)(6(
22 2
yyy
yy g)
)3)(3(4
)37)(1(
xxx
xx
12.3.4 a) 6
27132 2
y
yy b)
6
458
x
x c)
2
)6(2
y
y d)
7
3
x
x
e) 6
133
x
x f)
1
423 2
x
xx g)
3
572
y
yy h)
1
22 2
x
xx
i) 2
)1)(7(
b
bb
12.3.5 a) m
1 b)
3
x c)
x
6 d)
2
1 e)
2
35 y f) x2
g) 1 h) 2k
k i) 1 j)
32
62
n
n k) 12 d
l) 4
8
a m)
5
1 n) 1 o)
2
3
x
x
12.3.6 a) x10
3 b)
x7
15 c)
2
)2(5
xy
yx d)
3
279
a
a e)
63
17
x
f) )4(2
3
x g)
x
x
44
9
12.3.7 a) )6)(3(
338
xx
x b)
)3)(3(
12115 2
xx
xx c)
)4)(4(
89
xx
x
d) )10)(10(
3102
xx
xx e)
)6)(1(
)423(
xx
xx
12.5.1 a) 1/3 b) -1/2 c) 2/11 d) -3 e) 2
12.5.2 a) 4 b) 8
12.6.1 a) -2 b) 2 c) -10 d) 1
12.6.2 a) 1/6 b) -1/2 c) 5 d) 4 e) -1/5 f) 21
g) 5 h) 2 i) 26/5 j) 36/7 k) -5/4 l) -3 , 6
m) 1 n) -17/3 o) 4 , -1 p) 36/7 q) -19/8 r) 4 , 1
s) -1/4
12.6.3 a) 14
12.6.4 a) -1
13.1.1 a) 5x b) 8y c) 3/2a d) 5/6m e) 4x
13.2.1 a) 7 b) 15 c) 43 d) 2 , 6 e) 3 f) -2 g) 1
13.2.2 a) 3 b) 1/2 c) 3 d) 2 e) 5 f) 7 g) 5
h) 5
13.2.3
13.2.4 a) 14
13.2.5 a) 1
13.2.6 a) 5
13.2.7 a) 5
13.3.1 a) 11/30 b) 69434 c) 10/3 d) 32/323 e) 1 f)
g) 0 , 1/4 h) 0 , -2/5 , 2/5
13.3.2 a) 4
13.3.4 a) -2 , 2
x.x.x a) 3/4 b) c) d) -1/2 e) -3/8, 1/9
f)1/4 g) -3/4 , -5/7
14.2.1 a) -3/2 b) 3 c) -2 d) 0 e) 2/3
f) -1/4 g) 2 h) 2
14.2.2 a) 0 b) 0 c) 1/2 d) -2/3 e) -3 e) 1
f) 10 g) 0 h) 7/12 i) -4/17 j) -3/4 k) -3/4 l) -1/6
m) -2/3 n) 6/7 o) 4
14.4.1 a) 1 b) 2 c) 1 d) 0
14.4.2 a) 0 b) 0, 0.6931 c) 4 , 2 d) 1.60944 e) 1 , 2 f) 2, 1
g) 0 h) 6.41504 i) 4 j) 0 k) 1 l) 1 m) -2
n) 2, -2 o) 6 p) 0.5
14.5.1 a) 243 b) 64 c) 50 d) 3 e) 4 f) 35 g) 102/5
14.5.2 a) 3 b) 5
14.6.1 a) 2 b) -1 c) 0 d) 16 e) 4
14.7.1 a) 28/3 b) 53/5 c) 3 d) e) 11
f) 1/6 g) h) 33/7
14.7.2 a) 27/2 b) 25
14.7.3 a) 6 b) 8
14.7.4 a) 103/5 b) 4 c) 2 d) 3/4 e) 7 f) 5
14.7.1 a) 3
52 b) 0 c) 2 d)
2
32 e) 2 , 3 f) 3, 1/3
g) 1, 9 h) 4 i) 6 j) 8 k) 12/5
14.8.2 a) 2/3 b) 4 c) 1 d) 0.861353 e) 0 i 1 f) –1 g) 0 i 2 h) 1
i) –1 i 1
14.8.3 a) 1.86191 b) 4 c) 2 d) 3/4 e) 7 f) 5
x.x.x a) 0.792 b) 9 c) 0.252 d) 2.087
e) -0.251 , -1.999 f) -0.25 g) 1.096 , -1.596 h) 0.375
i) -0.35 j) 0.957
15.1.1 a) 3x b) 4/7x c) 3/2x d) 4/3x e) 2x
15.1.2 a) 2x b) 4x c) 2/5x d) 2/1x e) 19x
f) 4x g) 7x h) 2x i) 14x j) 11x
15.1.3 a) 4x b) 3/7x c) 2/5y d) 9x e) 3x
f) 3a g) 0x h) 1x i) 1x j) 4w
k) 5x l) 0x m) 5x n) 8x o) 12x
p) 13x q) 12x r) 5x
15.1.4 a) ,9/2 b) ,19/1 c) , d) ,1
e) 2, f) 1,
15.1.5 a) 3
4x b)
5
13x c)
4
15x d)
7
10x
15.1.6 a) 5
12x b) 7x c)
10
19x d)
3
2x
15.2.1 a) 32 x b) ,31,
15.2.4 a) 8,2 b) ,43, c) 5,2
15.2.5 a) ,2/91, b) 142,142 c) 12,1
d) ,221, e) ,2424,
15.2.6 a) ,12, b) ,23, c) 3/1,2/1
d) ,42, e) 2,1 f) ,31,
g) 2,4 h) ,2/54/3, i) 2/3,3/2
15.2.7 a) ,12/1, b) ,5/35/2, c) 3/1,3/4
d) ,2/11, e) 4/3,8
f) ,34,
15.2.8 a) , b) ,3/23/2, c) 9/1
d) , e) f) g) ,4/94/9,
h) i) , j) ,3/53/5,
15.3.1 a) 3,12
1,
b)
,1
3
2,1 c) ,1
d)
,1
2
1,1 e) 5,13, f) ,3/5
15.3.2 a) 1,2/11, b) ,5/22/1,1
15.3.3 a) ,43/1,3/14, b) 5,3/33/3,5
15.3.4 a) 3,2IR b) ,12/1, c) 2,4/34/3,2
![Energia De Vida Encapsulada[1]](https://static.fdocuments.ec/doc/165x107/55a03ae01a28ab68218b45ad/energia-de-vida-encapsulada1.jpg)
