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GRÁFICA DE FUNCIONES RACIONALES

Bloque III * Tema 129

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• Puntos importantes a tener en cuenta para representar funciones RACIONALES, y = P(x) / Q(x)

• 1.- Dominio y Asíntotas verticales.• 2.- Tendencia y Asíntotas horizontales.• 3.- Asíntotas oblicuas.• 4.- Máximos y mínimos relativos.• 5.- Cortes con los ejes.• 6.- Intervalos de crecimiento y decrecimiento.• 7.- Puntos de inflexión.• 8.- Intervalos de concavidad y convexidad.• 9.- Simetría.

• Y en menor medida:• 10.- Periodicidad (Muy pocas funciones lo presentan).• 11.- Tabla de Valores (En su caso para contener lo calculado).

Ejemplo_1

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• EJEMPLO_1

• Representar la función:• y = x / (3 – x)

• 1.- Asíntota vertical

• En x = 3 la función no existe.• En x = 3 la función presenta una

asíntota vertical.• Calculamos sus límites laterales:• x 3 • Lím ------------ = ------ = + oo• x 3- 3 – 3- +0 • x 3 • Lím ------------ = ------ = – oo• x 3+ 3 – 3+ – 0

0 3 x

y

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• Representar la función:• y = x / (3 – x)

• 2.- Asíntota horizontal

• x oo • y = Lím ------------ = ------ =• xoo 3 – x oo

• Indeterminación• Se divide todo entre x• 1 1 • Lím ------------ = ------ = – 1• x oo 3/x – 1 0 – 1

• y= -1 es una asíntota horizontal.

0 3 x

y

-1

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• Representar la función:• y = x / (3 – x)

• 3.- Asíntota oblicua

• La recta y = m.x + n es una asíntota oblicua de la función:

• f(x) x • m = Lím ------ = lím -------------- = • x oo x x oo x (3 – x)

• 1 1 1• m = Lím -------- = ---------- = ------ = 0 • x oo 3 – x 3 – oo - oo

• Al ser la pendiente m=0, la asíntota es horizontal (ya hallada).

• No hay asíntota oblicua.

0 3 x

y

-1

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• Representar la función y = x / (3 – x)

• 4.- Puntos singulares

• Derivamos la función para hallar los puntos singulares:

• y ‘ = [ 1. (3 – x) – (-1) . x ] / (3 – x)2

• y ‘ = [ 3 – x + x ] / (3 – x)2 = 3 / (3 – x)2

• Igualamos a cero: y ‘ = 0 3 = 0 • Imposible.

• No existen puntos singulares, ni máximo ni mínimo relativo.

• 5- Cortes con los ejes

• Con el eje OY: x=0 y = 0 / 3 = 0 Pc(0,0)• Con el eje OX: y=0 0= x / (3 – x) 0 = x Pc(0,0)

0 3 x

y

-1

Pc(0,0)

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• 6.- Intervalos de crecimiento y decrecimiento:

• Su derivada era y ‘ = 3 / ( 3 – x)2

• Al no haber puntos singulares, x = 3, que es la A.V., nos delimita los intervalos

• Los intervalos a estudiar son: (-oo, 3) y (3, oo)• Tomamos un punto cualquiera de cada intervalo:• f ’ (0) = 3 / (3 – 0)2 = 3 / 9 = 1 / 3 > 0 Creciente en (- oo, 3)• f ’ ( 6) = 3 / (3 – 6)2 = 3 / 9 = 1/ 3 > 0 Creciente en (3, + oo)

• 7.- Puntos de Inflexión:

• Su derivada era y ‘ = 3 / (3 – x)2

• Hallamos la segunda derivada:• y ’’ = [ 0. (3 – x)2 – 3. 2.(3 – x).( - 1)] / (3 – x)4

• y ’’ = [ 6.(3 – x)] / (3 – x)4 = 6 / (3 – x)3

• Igualamos a cero:• 6 / (3 – x)3 = 0 6 = 0 Imposible. No existen puntos de inflexión.• No procede comprobar que y’’’ <> 0

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• Ejemplo 1:

• Representar la función y = x / (3 – x)

• 8.- Intervalos de concavidad y convexidad:

• Su derivada era y ‘ = 3 / (3 – x)2

• Su segunda derivada era: y ’’ = 6 / (3 – x)3

• Como no hay Puntos de Inflexión, los límites de los intervalos vendrán dados por la asíntota vertical x = 3

• Los intervalos a estudiar son: (- oo, 3) y (3, + oo)

• Tomamos un punto cualquiera de cada intervalo:• f ‘’ (0) = 6 / 33 > 0 Es Cóncava en (- oo, 3)• f ‘’ (6) = 6 / (3 – 6)3 = 6 / (- 33) < 0 Es Convexa en (3, + oo)

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Gráfica de la función Ejemplo_1

• Sea la función:• y = x / (3 – x)

• Asíntota vertical: x = 3• Asíntota horizontal: y = - 1• Puntos de corte: • Pc (0, 0), • Máximo: No hay. • Mínimo: No hay.• Creciente en (- oo, 3) y• en (3, +oo)• Punto de Inflexión: No hay.• Es çóncava en (- oo, 3)• Es convexa en (3, + oo)• No presenta simetrías.

0 3 x

y

-1

Pc(0,0)

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• Representar la función:• y = (x2 + 3) / (4.x – x2)

• 1.- Asíntotas verticales

• En x = 0 y x = 4 la función no existe.• x = 0 es una asíntota vertical.• x = 4 es una asíntota vertical.• Calculamos sus límites laterales:• x2 + 3 3 • Lím ------------ = ---------- = - oo• x 0- 4.x – x2 0- – 0- • x2 + 3 3 • Lím ------------ = ---------- = + oo• x 0+ 4.x – x2 0+ – 0+

• Pues en valores muy próximos a 0, 4x es mayor que x2

0 4 x

y

Ejemplo_2

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• Calculamos sus límites laterales:• x2 + 3 19 • Lím ------------ = ---------- = + oo• x 4- 4.x – x2 16- – 16-

• x2 + 3 19 • Lím ------------ = ---------- = - oo• x 4+ 4.x – x2 16+ – 16+

• 2.- Asíntota horizontal

• x2 + 3 oo • y =Lím ------------ = ---------- = Indet• x oo 4.x – x2 – 00

• Se divide todo entre x2

• 1 + 3 / x2 1 + 0 • y = Lím ------------- = -------- = – 1• x oo 4 / x - 1 0 – 1

• y= -1 es una asíntota horizontal. •

0 4 x

y

-1

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• 3.- Asíntota oblicua

• La recta y = m.x + n es una asíntota oblicua de la función:

• f (x) (x2 + 3) • m = Lím ------ = lím -------------- = • x oo x x oo x (4.x – x2)

• x2 + 3 oo • m = Lím ------------- = ------ = Indet. • x oo 4.x2 – x3 - oo• Dividimos todo entre x3 : • m = lím [ 0 + 0 ] / [0 – 1] = 0 / (-1) = 0• x oo• Al ser la pendiente m=0, la asíntota es

horizontal (ya hallada).• No hay asíntota oblicua.

0 4 x

y

-1

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• 4.- Puntos singulares

• y = (x2 + 3) / (4.x – x2)

• Derivamos la función para hallar los puntos singulares:• y ‘ = [ 2x. (4.x – x2) – (x2 + 3 ).(4 – 2.x ] / (4.x – x2)2

• y ‘ = [ 8.x2 – 2.x3 – 4.x2 + 2.x3 – 6.x – 12 ] / (4.x – x2)2

• y ‘ = ( 4.x2 – 6.x – 12 ) / (4.x – x2)2

•

• Igualamos a cero: y ‘ = 0 4.x2 – 6.x – 12 = 0 2.x2 – 3.x – 6 = 0• Resolvemos la ecuación:• x = [ 3 +/- √ (9 + 48) ] / 4 = (3 +/- 7,55) / 4 • x = 2,64 y x = - 1,16 son las abscisas de los puntos singulares.

• Calculamos sus ordenadas:

• f(2,64) = (2,642 + 3) / (4.2,64 – 2,642) = 9,97 / 3,59 = 2,77• f(-1,16) = ((-1,16)2 + 3) / (4.(-1,16) – (-1,16)2) = 4,34 / (-5,98) = -0,72

• Los puntos son: (-1,16, -0,72) y (2,64, 2,77)

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• 5- Cortes con los ejes

• y = (x2 + 3) / (4.x – x2)

• Con el eje OY:• x=0 No puede haber al ser asíntota

vertical.

• Con el eje OX: • y=0 0 = (x2 + 3) / (4.x – x2)• 0 = x2 + 3 x2 = – 3 No hay

• Nota: Si se ha ido confeccionando la gráfica se verá como la curva debe cortar a la asíntota horizontal a la derecha del máximo relativo calculado.

0 4 x

y

-1

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• 6.- Intervalos de crecimiento y decrecimiento:

• y = (x2 + 3) / (4.x – x2)• Su derivada era:• y ‘ = ( 4.x2 – 6.x – 12 ) / (4.x – x2)2

• Los puntos singulares y las asíntotas verticales nos delimita los intervalos• Los intervalos a estudiar son:• (- oo, -1,16) , (-1,16, 0) , (0, 2,64) , (2,64, 4) y (4, + oo)

• Tomamos un punto cualquiera de cada intervalo:• f ’ (-2) = ( 4.(-2)2 – 6.(-2) – 12 ) / (4.(-2) – (-2)2)2 = 16/144 > 0 Creciente en (- oo, -1,16)• f ’ (-1) = ( 4.(-1)2 – 6.(-1) – 12 ) / (4.(-1) – (-1)2)2 = -2 / 25 <0 Decreciente en (-1,16, 0)• f ’ (2) = ( 4.22 – 6.2 – 12 ) / (4.2 – 22)2 = - 8 /16 < 0 Decreciente en (0, 2,64)• f ’ (3) = ( 4.32 – 6.3 – 12 ) / (4.3 – 32)2 = 6 / 9 > 0 Creciente en (2,64, + oo)• f ’ (5) = ( 4.52 – 6.5 – 12 ) / (4.5 – 52)2 = 58 / 25 > 0 Creciente en (2,64, + oo)

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0 4 x

y

-1

Grá

fica

del E

jem

plo_

2

Mín

Máx

Punto de Inflexión