GEOMETRÍA 1º BACHILLERATO

1) Determina en cada caso las coordenadas pedidas: a) A(3,1) y AB =(5,4), halla B B(x,y) x- 3=5 x=8 y- 1=4 y=5 b) B(1,4) y AB =(-1,-4), halla A A(x,y) 1- x=-1 x=2 4- y=-4 y=8 c) B(4,-6) y BA=(1,1), halla A A(x,y) x- 4=1 x=5 y+ 6=1 y=-5

2) Sean los vectores libres )2,4( −=u

�, )1,2(−=v�

, )1,1(=w�

, haz la representación gráfica que estimes apropiada y calcula y representa el vector wvua

����42 −−=

( ) ( ) ( ) ( )8,45,541,222,442 −=−⋅−−⋅−−=−−= wvua

����

3) Sean los puntos A(3,2), B(-2, 2

7), C(4,-

3

5) calcula en cada caso las coordenadas del punto D

para que: a) ABCD sea paralelogramo.

D (a, b) DCAB = (-5, 3/2)=(4-a, -5/3-b) a=9; b=-19/6

b) ABDC sea paralelogramo

D (a, b) CDAB = (-5, 3/2)=(a-4, b+5/3) a=-1; b=-1/6

c) ACBD sea paralelogramo

D (a, b) DBAC = (1, -11/3)=(-2-a, 7/2-b) a=-3; b=43/6

4) Halla el extremo y el origen de tres vectores equipolentes al vector ( )5,2−=u

�

Origen Extremo Vector (0, 0) (-2, 5) (-2, 5) (1, 0) (-1, 5) (-2, 5) (0, 1) (-2, 6) (-2, 5)

B(8, 5)

A(2, 8)

A(5, -5)

B

C

A

D

D (9, -19/6)

D (-1, -1/6) B

D

A

C

D (-3, 43/6)

C

B

A

D

5) Halla la medida del ángulo determinado por las siguientes parejas de vectores: a) (4,3) y (-1,5)

( ) ( )( ) ( )

´´13,24´26º64º90

265

11

265

154

251916

5,13,4cos5,13,4

=→<

=+−

=+⋅+

−⋅=−==

αα

αvu��

b) (0,5) y (0,-4)

( ) ( )( ) ( )

º180

º180145

20

160250

4,05,0cos4,05,0

=

=→−=⋅

−=

+⋅+

−⋅=−==

α

αα

tegráficamendeduceseTambién

vu��

c)

5

4,

5

3 y ( )0,2−

( )( )

´´11´52º126´´48´7º53º180º180º180º90

´´48´7º535

3cos

5

3

21

5

23

0225

16

25

9

0,25

4,

5

3

cos0,25

4,

5

3

=−=−=→→<<

=→=

−=⋅

−=

+⋅+

−⋅

=−=

=

βααα

βββ

α

cuadrantesegundodeles

cumplequeánguloelacalculadorlaconCalculamos

vu��

d) (3,2) y (0,-3)

( ) ( ) ( ) ( )

´´76,37´18º236´´76,35´18º56º180º180º270º180

´´76,35´18º5613

2cos

13

2

133

6

9049

3,02,3cos3,02,3

=+=+=→→<<

=→=

−=⋅

−=

+⋅+

−⋅=−==

βααα

βββ

α

cuadrantetercerdeles

cumplequeánguloelCalculamos

vu��

e) ( )1,2 y ( )2,3 −

( ) ( )( ) ( )

´´44´37º275´´15´22º84º360º360

º3600º270

´´15´22º84098,0cos

098,021

26

4312

2,31,2cos

2,31,2

=−=−=

→→<<

=→=

=−

=+⋅+

−⋅=

−==

βα

αα

βββ

α

cuadrantecuartodeles

cumplequeánguloelCalculamos

vu��

6) Se dan los puntos A(1,2), B(0,3), C(5,x). Determinar x para que AB y AC sean

perpendiculares y determinar x para que 2

1ˆcos =CAB

a) ACAB ⊥ ( ) ( ) ( ) ( ) 602402,41,12,41,1 =→=−+−→=−⋅−→−⊥− xxxx b)

( )( ) ( )

( ) ( )

( )válidaSoluciónx

válidaNox

xx

xxxx

xxxx

xxx

xCAB

92,16

2

1

07,1162

07,3607,3

0104402

88232144484

4416236124

2162622

1

2162

24

2

1ˆcos

2

21

2

22

22

2

2

=

≠−+⋅

+−=

→=+−

+−+=+−

+−+⋅=+−⋅

−+⋅=−⋅→=−+⋅

−+−→=

7) Dados los vectores ( )0,1−=u

� y ( )2,mv =�

calcula m para que u� y v� determinen un ángulo de

45º

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) válidaSolucióndeángulounanervyuvectoreslosm

válidanoSolución

quemayorángulounformanvyuvectoreslosm

mmmmm

m

m

m

→−=−=−=•

→=−

=−==•

±=→=→+=→+

=→+⋅

⋅−==

º45mindet2,20,12

)º135º45º180(

º902,20,12

244244

2

41

2,0,1

2

2º45cos 222

2

2

2

��

��

8) Se consideran los puntos A(1,2), B(5,0), C(-1.-2)

a) Calcula las longitudes de los lados del triángulo ABC

b) Calcula las medidas de los ángulos de dicho triángulo y clasifícalo ( ) ( ) ( ) ( ) º90,0

2020

4224,cos =→=

⋅

−⋅−+−⋅=

CDABACAB

( ) ( ) ( ) ( )

( ) º45,

º45,2

2

2

1

220

20

220

424

4020

2264,cos

=→

=→===−

=⋅

−⋅+−⋅−=

CBCA

BCBABCBA

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) uuBCCBd

uuACCAd

uuABBAd

1024026,

522042,

522024,

22

22

22

==−+−==

==−+−==

==+==( )

( )

( )2,6

4,2

2,4

−−=

→−−=

−=

BC

AC

AB

Se trata de un triángulo que tiene dos lados (y dos ángulos) iguales y un ángulo recto Es un triángulo rectángulo e isósceles. También se puede comprobar que los lados cumplen el teorema de

Pitágoras)

9) Halla el perímetro y los ángulos del triángulo de vértices A(2,0), B(0,2), C(3,1)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1023102221028

10,1,3

2,1,1

8,2,2

+=++=++=

=→−=

=→=

=→−=

Perímetro

CBdBC

CAdAC

BAdAB

( )

´´82,5´26º6320

2

102

13cos

´´18,54´33º2680

8

108

26cos

º90028

1212cos

=→=⋅

−=

=→=⋅

−−=

=→=⋅

⋅+⋅−=

γγ

ββ

αα

10) Halla las coordenadas de los vectores ortogonales a ( )1,2=u�

y unitarios.

( ) ( ) ( )

( )

−

−

=→±=±=→=→=−+→

=+

−=→

=+

=+

=+→=

=+→=⋅→⊥

5

52,

5

5

5

52,

5

5:

5

52

5

5

5

11512

1

2

1

02

11

0201,2,:,

222

2222

22

Soluciones

yxxxxyx

xy

yx

yx

yxw

yxyxuwcumplequeyxwBuscamos

∓

�

���

( ) ( ) 5412,12,1: 2121 =+==−=−=⊥ wwwwuwmétodoOtro������

−=

−=

5

2,

5

1

5

2,

5

1Pr

2

2

1

121 w

w

w

wunitariosywwaesoporcional �

�

�

���

11) Halla en cada caso las coordenadas del punto que falta sabiendo que M es el punto medio del segmento AB

a) M(2,-4) y A(1,-2)

( ) ( )

( )6,3642

2

322

1

2

2,

2

142,

−=−=→−=+−

→

=→=+

→

+−+=−→

OBbb

aaba

baB

b) M

−5

2,

2

3 y B(2,5) Estos apartados están hechos de otra forma

−=−⋅=→+=⋅5

29,122 OBOMOAOBOAOM

c) M(0,3) y A(1,-1)

( )7,122 −=−⋅=→+=⋅ OAOMOBOBOAOM

d) M

−

3

5,4 y B(1,3)

−=−⋅=→+=⋅

3

1,922 OBOMOAOBOAOM OBOAOM

OBOAOAOBOAOM

ABOAOM

AMOAOM

+=⋅

+=

−+=

+=

+=

2

2

1

2

1

2

1

12) Siendo ( )1,3=a�

, ( )0,2−=b�

y ( )4,1=c�

, halla:

a) ( ) ( ) ( ) ( )4,88,20,24,1224 −=−−+−+=−+ cba���

b) ( ) ( )

=

++=+− 3,

2

192,

2

10,61,3

2

13 cba

���

c) ( ) ( ) ( ) ( )3,44,10,21,3 −=−−++=−− cba���

d) ( )

=+

=+−

4

3,

4

130,1

4

3,

4

90

2

1

4

3cba���

13) Calcula el punto medio de los segmentos AB y CD siendo A(1,1), B(-2,3), C(4,1) y D(0,6)

Punto medio de AB M

−→

+−→ 2,

2

1

2

31,

2

21MM

Punto medio de CD N

→

++→

2

7,2

2

61,

2

04NN

14) Sitúa en el plano cartesiano los puntos A(-1,-2), B(3,2) y C(5,0). Calculas las coordenadas del

punto medio M del segmento AC. Calcula las coordenadas del punto N simétrico de B con respecto a M. ¿Cómo es el cuadrilátero ABCN?

( )

( )

( ) ( )rectángulounesrectossonángulosLos

CDABBCAB

diagonaleslasdemediopuntoel

esMporqueramoparaleunesABCNrocuadriláteEl

Nbb

aa

MderespectobdesimétricoN

MACdemediopuntoM

→

→=⋅→−==

−−=→−=+

→

=→=+

→

−→

02,24,4

log

4,1412

2

122

3

1,2

15) Dados los puntos A(-3,1) y B(2,2), halla las coordenadas de los puntos C y D para que ABCD

sea un paralelogramo tal que sus diagonales se corten en O(0,0) ABCD es un paralelogramo y las diagonales se cortan en O O es el punto medio de AC y BD

( ) ( )

( ) ( )2,22202

20

2

2,

1,31302

10

2

3,

−−→−=−=→=+

=+

→

−→−==→=+

=+−

→

Dfefe

feD

Cbaba

baC

16) Las medianas de un triángulo son los segmentos que unen cada vértice con el punto medio

del lado opuesto. Halla las longitudes de las medianas del triángulo de vértices A

− 4,2

3,

B(2,-1) y C

2,

2

7

−

+−

−

+

+

+−

2

14,

2

22

3

2

12,

2

22

7

2

24,

2

2

7

2

3

QPM

( )

2

3,

4

1

2

1,

4

113,1 QPM

( ) ( )

uCQm

uAPm

uBMm

4

173

16

4

16

169

4

1

16

169

2

1

4

132

2

3

2

7

4

1

2

338

4

49289

4

7

4

174

2

1

2

3

4

11

173112

2222

3

2222

2

22

1

=+=+=

+

=

−+

−==

=+

=

−+

=

−+

+=≡

=−−+−=≡

17) Justifica que el triángulo de vértices A(3,-1), B(5,3) y C(-1,1) es rectángulo isósceles

Tiene dos lados iguales es ISÓSCELES

Además: →⊥→=⋅ ABACABAC 0 es RECTÁNGULO También se puede comprobar que es rectángulo por el teorema de Pitágoras:

( ) ( ) ( )222

202040 += 18) Analiza si tienen la misma dirección las siguientes parejas de vectores:

a) (12,4) y (3,1) direcciónmismalatienenparalelossonalesproporcionson →→→=→3

4

3

12

b)

0,

2

5 y (-8,0)

c) (16,-4) y (-8,2)

d)

3,

3

3 y

−3

3,3

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) uBCCBd

uACCAd

uABBAd

4026,

2024,

2042,

22

22

22

=−+−==

=+−==

=+==

( ) ( )0,816

50,8

2

5

8

10,

2

5: −⋅

−=−⋅⋅

−=

→→

obarpuedecomprseTambién

alesproporcionsonparalelosson

OXejeelsobreestánvectoresambosperocomprobarpuedeseno→=−

→0

0

8

2

5

direcciónmismalatienenparalelossonalesproporcionson →→→−

=−

→2

4

8

16

direcciónmismalatienennoalesproporcionsonno →→

−

≠→

3

3

3

3

3

3

19) Sea el vector ),2( xu =�

. Determina en cada caso el valor de x para que u� y v� sean paralelos

(proporcionales)

a) )4,1( −=v�

841

2−=→

−=→ x

x

b)

−=3

5,2v

�

3

5

3

52

2−=→

−

=→ xx

c) ( )21,21 +−=v�

20) Halla las componentes de un vector de módulo 15 y paralelo al vector ( )3,4 −=a

�

( )

( ) ( )( )

( )9,123515

9,123515525341515

3,4

222

−=→−=→−=

−=→=→=→±==−+=→=

−=→→

btt

bttttttb

ttbaaalproporcionesbaaparalelob

�

��

�����

21) Sean u� y v� dos vectores ortogonales de módulos respectivamente 2 y 32 . Calcular el

valor de x en los siguientes casos:

9

4

3

2

42

0

2

2

==⋅=

==⋅→=

=⋅=⋅⊥

vvvv

uuuu

uvvuvuDatos

����

����

������

a) ( )( ) 21−=−+ vuvxu

����

( )( )8

81

2

9

9

4

9

44

2

1

9

44

2

1=→=→−=−→⋅−=⋅⋅−⋅⋅+⋅−⋅=−+=− x

xxxvvxuvxvuuuvuvxu

������������

b) ( ) 98

2=− vux

��

( )3

1

9

1

9

44

9

44

9

8

9

442

9

8 222222±=→=→=→+=→+=⋅+⋅⋅−⋅=−= xxxxxvvvuxuuxvux

��������

c) ( )( ) 0232 =−+ vuvux

����

( )( )

3

1

9

3

9

2480

9

468

63422320

=→=→=→=⋅−

→⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=−+=

xxxx

vvuvvuxuuxvuvux������������

d) ( )( ) 1693 =+−− vuxvxu

����

( )( )

11616412169

494316

92739316 2

−=→−=→−−=→⋅⋅−⋅⋅−=

→⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅−=+−−=

xxxxxx

vvxvuxvuuuxvuxvxu������������

( )( )

( ) ( ) ( )22321

22212

21

212

21

212

2121

22

2

2

+⋅−=−

++⋅=

−

+⋅=

−

+⋅=→

+=

−→ x

x

22) Halla Las ecuaciones explícitas de las rectas siguientes: a) Corta al eje horizontal en el mismo punto que la recta 2x-3y+8=0 y tiene pendiente 5

( )( )

205:exp

450:

50,4

400832

+=

+⋅=−

=−

−=→=→=+−

xylícitaenrectala

xyespendientepuntoformaenrectaLa

mpendientetieneyporpasapedidarectaLa

xyyxdehorizontalejeconCorte

b) Tiene la misma pendiente que la recta 3x+y-7=0 y pasa por el punto (2 ,3)

( )( )

93363:exp

233:

33,2

373073

+−=→++−=

−⋅−=−

−=

−=→+−=→=−+

xyxylícitaenrectala

xyespendientepuntoformaenrectaLa

mpendientetieneyporpasapedidarectaLa

mxyyxdePendiente

c) Es paralela a la bisectriz del primer cuadrante y pasa por el punto (4, -3) ( ) ( )

( )( )

734:exp

413:

13,4

1sec

:1,10,0sec

−=→−−=

−⋅=+

=−

=

=

xyxylícitaenrectala

xyespendientepuntoformaenrectaLa

mpendientetieneyporpasapedidarectaLa

mestrizbiladependienteLa

xyesecuaciónsuyporpasacuadranteprimerdeltrizbiLa

23) Halla las ecuaciones explícitas de las rectas siguientes: a) Tiene la misma ordenada en el origen que la recta 3x+2y+4=0 y pasa por el punto (-2,-3)

( )

( )

22

1:exp

2

121223:3,2

22

2,0200423

−=

=→−=−→−−=−→−−

−=→−=

−→−=→=→=++

xylícitaenrectaLa

mmmporpasarectaLa

mxyntienepedidarectaLa

yxyxdeorigenelenOrdenada

b) Corta a la bisectriz del primer cuadrante en el mismo punto que la recta 3x-2y=2 y tiene pendiente -3

( )( )

83263:exp

232:

32,2

22223223

:sec

:sec

+−=→++−=

−⋅−=−

−=

=→=→=−→

=−

=

=

xyxylícitaenrectala

xyespendientepuntoformaenrectaLa

mpendientetieneyporpasapedidarectaLa

yxxxyx

xyrectalaytrizbiladecortedePunto

xyescuadranteprimerdeltrizbiLa

c) Su pendiente es 2 y pasa por el punto medio del segmento de extremos (0, 0) y (6, -2)

( ) ( ) ( )

( )( )

72162:exp

321:

21,3

1,32

20,

2

602,60,0

−=→−−=

−⋅=+

=−

−→

−+→−

xyxylícitaenrectala

xyespendientepuntoformaenrectaLa

mpendientetieneyporpasapedidarectaLa

MMydemedioPunto

24) Halla la pendiente (m), el ángulo de inclinación y la ordenada en el origen de las rectas: r:x-2y+3=0; s:4x+5y=0

2

3´´18,54´33º26

2

1

2

1

2

3

2

1

:032:

====→+=→

=+−

narctgmxy

origenelenordenadalaypendientelaobtieneseydespejandoyxr

α

0´´6,24´20º1415

4

5

4

5

4

:054:

==

−=−=→−=→

=+

narctgmxy

origenelenordenadalaypendientelaobtieneseydespejandoyxs

α

25) De cada una de las rectas r:2x-7y+14=0 y s:3x+4y+12=0 calcula la ecuación explícita, la

pendiente y los puntos de corte con los ejes. Representa también dichas rectas.

( )( )2,020

0,770

7

14´´43,43´56º15

7

2

7

2

7

14

7

2

:

01472:

→=→=→

−→−=→=→

====→

+=→

=+−

yxOYeje

xyOXejeejeslosconCorte

narctgm

xy

origenelenordenadalaypendientela

obtieneseydespejandoyxr

α

( )( )3,030

0,440

3´´37,48´7º1434

3

4

33

4

3

4

12

4

3

:01243:

−→−=→=→

−→−=→=→

−==−=−=→−−=→−−=→

=++

yxOYeje

xyOXejeejeslosconCorte

narctgmxyxy

origenelenordenadalaypendientelaobtieneseydespejandoyxs

α

26) De un paralelogramo ABDC, se conocen los vértices contiguos A(1, 3) y B(2, -1) y el punto

M(2, 4) de intersección de sus diagonales. Halla la ecuación del lado CD.

( ) ( ) ( )5,3532

3,

2

14,2,0

2

Ddcdc

dcD

ODOAOM

→==→

++=→=

+=

( ) ( ) ( )9,2922

1,

2

24,2,0

2

Cfefe

feC

OCOBOM

→==→

+−+=→=

+=

( ) ( )

( )

4

9

1

2

:

4,1

5,39,2

−=

−

−

→

−==→

yx

continuaformaenladoalcontienequerectala

CDuesldireccionavectorun

DyCporpasaladoCDdelrectaLa�

27) Estudia la posición relativa de las rectas r y s y halla su punto de intersección, cuando lo haya, en los casos siguientes:

a)

( )3,1314412

22

:secint

1

1

2

2

12

22

012:

52:

PcortedePuntoyxxecuacioneslassumandoyx

yx

sistemaeloresolviendcalculaseciónerdepuntoEl

SECANTESSonyx

yx

yxs

xyr

→=→=→=→

−=−

=+

→−

≠→

−=−

=+

=+−

+−=

b)

PARALELASSonyx

yx

yxs

xyr→

−≠

−=

−→

−=−

=+−

=+−

+=

5

2

3

1

9

3

539

23

0539:

23:

c)

( )2,112272149

52249

7

:secint

3

22

7

49

137:

52249:

Pxyyecuacionesdoslassumandoyx

yx

porecuaciónsegundalamosmultiplica

sistemaeloresolviendcalculaseciónerdepuntoEl

SECANTESSonyxs

yxr

→=→=→−=−→→

−=+−

=−

−

→−

−≠→

=−

=−

d)

ESCOINCIDENTsonyxs

yxr→

−

−==→

=+

=+

399

357

209

187

247

221

399209247:

357187221:

28) Dadas las rectas r:x+2y+3=0 s:ax+y+2=0.

a) Halla a para que r y s sean paralelas

2

112

1

21

2

3

1

21

02

032=→=→=→≠=→

=++

=++aa

aasiparalelasSon

yax

yx

b) Si r y s no son paralelas halla su intersección

( )

−

+−

−

−

+−=

−

−+−=

−

−+−=−−=

−=

=−−→+

=++

=−−−→−

=++

=++

=++

≠

a

a

aPcortedePunto

a

a

a

aa

a

aaxy

ax

xaee

yx

yaxe

yx

yax

yx

antessonrectaslasa

21

32,

21

1

21

32

21

42

2122

21

1

0121)(

032

0622)2(

032

02

032

sec2

1

212

29) Si r y s son las rectas r:x+y+1=0 s:ax+2y+b=0. a) Halla a y b para que r y s coincidan

21

2

1

22

11

1

2

11

02

01

=→=

=→=

→==→

=++

=++

bb

aa

basiescoincidentSon

byax

yx

b) Halla a y b para que r y s sean paralelas

21

2

1

22

11

1

2

11

02

01

≠→≠

=→=

→≠=→

=++

=++

bb

aa

basiparalelasSon

byax

yx

c) Si r y s se cortan en un punto, hállalo

ℜ∈

≠→≠→≠→

=++

=++

b

aa

asiantesSon

byax

yx 22

11

2

11sec

02

01

( )( )

−

−

−

−

−

−=

−

+−+−=

−

−−−=−−=

−

−=

=−+−→+

=−−−

=++

=−−−→−

=++

=++

2,

2

2

22

22

2

211

2

2

022)(

0222

022

02222

02

01

21

1

a

ab

a

bPcortedePunto

a

ab

a

ba

a

bxy

a

bx

bxaee

yx

byax

yxe

byax

yx

30) Se considera el triángulo ABC, que tiene por vértices los puntos A(2, 5), B(0, -3) y C(4, 7). Halla las ecuaciones de las tres medianas del triángulo y comprueba que las tres pasan por un mismo punto (recuerda que una mediana es la recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto; el punto de intersección de las medianas es el baricentro)

( ) ( ) ( )1,12

35,

2

022,2

2

73,

2

406,3

2

75,

2

42=

−+=

+−+=

++PNM

ladoslosdemediosPuntos

( )

( ) ( ) ( )

( ) 0939903309039

3,99,36,3

3,0

=++−≡→=→=+−⋅+⋅−→=++−≡

−=→==→

−≡

yxrCCCyxr

nBMuM

BrMediana

r

��

( )

( ) ( ) ( )

063602303

0,33,02,2

5,2

=−≡→−=→=+⋅→=+≡

=→−==→≡

xsCCCxs

nANuN

AsMediana

s

��

( )

( ) ( ) ( )

0336301316036

3,66,37,4

1,1

=++−≡→=→=+⋅+⋅−→=++−≡

−=→==→≡

yxtCCCyxt

nPCuC

PtMediana

t

��

( )3,2

033326

309318

2

0336

0939

063

:

G

SÍ

yy

x

yx

yx

x

medianaslasdecortedepuntoGBaricentro

=+⋅+⋅−

=→=++−

=

=++−

=++−

=−

( ) ( ) ( )3,23,23

375,

3

042

3

1

:,,

GOCOBOAOG

fórmulalacontriángulodelvérticeslosconocensesicalcularpuedesetambiénGbaricentroEl

=

−+++=++=

31) Sea r la recta de ecuación r:4x+3y=6. Halla: Los puntos del eje horizontal que distan dos unidades de r. Las rectas paralelas a r que distan dos unidades de ella.

( )

( )( )

( )0,1125

64

0,4425

64

25

642

5

642

34

60342,

,

22

−′→−=→−=−

→=→=−

→±=−

→=−

→=+

−⋅+→=

Paa

Paa

aaarPd

oaPformaladesonhorizontalejedelpuntosLos

( )

( ) ( )

016340434

1625

6

425

6

25

62

5

62

34

2304,,2

2,020.

tantan

034

22

=−+≡′=++≡

−=→−=+

=→=+

→±=+

→=+

→=+

+⋅+⋅→==

=→=

=++≡

yxsyxssonsoluciónrectasLas

CC

CC

CCCsAdsrd

AyxdercualquieraApuntounElegimosotralaaellasdeunade

cualquierapuntoundeciadislaessyrparalelasrectasdosentreciadisLa

CyxsformaladesonraparalelasrectasLas

32) Halla las ecuaciones de las tres mediatrices del triángulo ABC, siendo A(5, 0), B(8, 5) y

C(0,6). Comprueba que se cortan en un mismo punto (circuncentro) hallándolo.

=

++

=

++

=

++3,

2

5

2

06,

2

05

2

11,4

2

56,

2

80

2

5,

2

13

2

50,

2

85PNM

ladoslosdemediosPuntos

( ) ( )

032533202

53

2

133053

2

5,

2

13

5,35,3

=−+≡→−=→=+⋅+⋅→=++≡

==

≡

yxrCCCyxr

M

nnormalvectoresABrMediatriz

r

�

( ) ( )

05321602

538

2

530

2

1114808

2

11,4

1,81,8

=++−→=++−≡→=→=+⋅+⋅−→=++−≡

−=−=

≡

yxyxsCCCyxs

N

nnormalvectoresBCsMediatriz

s

�

( ) ( )

011121002

1165

2

11036

2

55065

3,2

5

6,56,5

=−+−→=−+−≡→−=→=+⋅+⋅−→=++−≡

−=−=

≡

yxyxtCCCyxt

P

nnormalvectoresACtMediatriz

t

�

( )( )

=→=⋅−=→=→

=→+

=→+

=+

=−+−

=++−

=−+

86

353,

86

329

86

329

86

987

86

3535323

86

353

35386103

35386163

3253

0111210

053216

03253

:

13

12

CroCircuncent

xxy

yee

yee

yx

yx

yx

yx

smediatricelasdecortedepuntoCroCircuncent

33) Halla los puntos de la bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes que están a doble distancia del punto A(-1, 3) que del punto B(2, 1)

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )1,116

6

3

5,

3

5

3

5

6

10

6

28

6

606480583

01016620881082

214446921

12431

12231,2,

,sec

2

222

2222

2222

2222

−′→=

−→=

=±

=−±

=→=+−→

=+−→+−=++→

+++−+⋅=+++++→

++−⋅=++−−→

++−⋅=++−−→⋅=

−

P

Paaa

aaaaaa

aaaaaaaa

aaaa

aaaaBPdAPd

aaPformaladesoncuadrantecuartoysegundodeltrizbiladepuntosLos

34) Halla las dos bisectrices del par de rectas 3x+4y+2=0 y 8x+6y+1=0. Halla el ángulo que

forma una de las bisectrices (la que tenga pendiente positiva) con las rectas dadas, comprobando que son iguales.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1051414168486

)(10322168486

26824321685

24310

10

168

5

243

3664

168

169

243,2,

,,sec,

22

11

−=→=++≡→−−−=++≡

=→=++−≡→++=++≡

++±=++⋅→++±=++⋅

→

++±=

++→

+

++=

+

++→⋅=

=

myxbyxyxb

positivapendientemyxbyxyxb

yxyxyxyx

yxyxyxyxsPdrPd

sPdrPdcumplensyrrectasdosdetricesbilasdeyxPpuntosLos

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

igualessonánguloslossb

rb

uuu

directoresvectoressusformanqueagudosángulosloscalculanse

syrconformaqueángulosloscalcularParapositivapendientetienequetrizbilaesb

srb

→==⋅

=⋅

−=

+⋅+

−⋅=

=⋅

==⋅

−=

+⋅+

−⋅=

−=−==

25

1

220

4

1022

4

108

1612

643644

8,62,2,cos

25

1

225

2

85

2

58

68

91644

3,42,2,cos

8,63,42,2

.sec

1

1

2

1

��

35) Sean los puntos A(1, 4) y B(4, 2) y la recta r:x+2y=1. Halla un punto C de r tal que desde

A se vea el segmento BC bajo un ángulo de 90º.

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1,110286

02,34,22,34,2,21

0

,2121

;2112

−→=→=+−

→=−⋅−→−=−=→−

=⋅→

−→

=

−=→

=

−==+≡

Cttt

ttABttCAttC

ABCAlaresperpendicusonAByCA

ttformaladeesrdecualquierapuntounty

tx

typarámetroelrepresentaye

yxdespejaseasparamétricapasarparayxr

36) Dado el triángulo de vértices A(8, 3), B(2, 1) y C(6, 7) halla la altura correspondiente al vértice A, el pie de dicha altura y el área del triángulo.

( ) ( )( )

0253205064

5003684064

3,8

6,46,4

=−+→=−+≡

→−=→=+⋅+⋅→=++≡

==

≡

yxyxh

CCCyxh

A

nnormalvectoresBChalturarecta h

�

( ) ( )( )

04230846

801426046

1,2

4,66,4

=−−≡→=−−≡

→−=→=+⋅−⋅→=+−≡

−=→=

≡

yxBCladoyxBClado

CCCyxBClado

B

nldireccionavectoresBCBClado BC

�

( )

=→=−=→=→

−=−→−

=+→

=−−

=−+≡

13

67,

13

62

13

62

13

124

13

67.3252

13

67

671332

2532

0423

02532

secint

12

PlarperpendiculadePie

xxyyee

yx

yx

yxP

BCladoyhrectaslasdeciónerlaesPlarperpendiculadepieEl

( )

( ) ( )

( )

( ) 2142

28

2

52

2852

52

28

3616

81248,

523216,

,,

,2

uABCladoAdh

CBdb

BCladoAdPAdhhalturasegmentodellongitudlaeshy

CBdbBCladodellongitudlaesbdondehb

AÁrea

==

⋅

=→=+

−−==

=+==

==→

=→⋅

=→

37) Halla el punto de la recta r:x+3y=5 que está más cerca del punto P(4, 7)

( ) ( )( )

( )( )1,221

10103

53

53

53

05350714303

7,4

1,31,3

)(

12

Qxyyee

yx

yx

yx

tyrrectaslasdecortedepuntoelesQ

yxtCCCyxt

P

ntdenormalvectoresut

trectarapdesdetrazadalarperpendicu

ladepieQesPacercanomásrrectaladepuntoEl

tr

→=→=→

−=−→−

=+

=−

=+

→

=−−≡→−=→=+⋅−⋅→=+−≡

−=→−=

≡

��

38) Halla a para que las rectas 3x+4y+1=0 y ax+8y+7=0 sean paralelas y en tal caso halla su

distancia.

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )usAdsrd

Ayyxyxr

valoresdandocalculamosloyrdecualquierapuntounAsiendosAdsrd

aaayaxs

yxrParalelas

2

1

10

5

6436

71816,,

1,111431143

,,,

62447

1

8

43

078

0143

==+

+−⋅+⋅==

−→−=→−=+→=→=+≡

→=

=→=→≠=→

=++≡

=++≡→

39) Halla las ecuaciones de las tres mediatrices del triángulo cuyos vértices son A(5, 7), B(-1, 5) y C(1, 3).

( ) ( ) ( )6,22

75,

2

515,3

2

37,

2

154,0

2

35,

2

11=

++−=

++=

++−PNM

ladoslosdemediosPuntos

( ) ( )( )

04

0822804202022

4,0

2,22,2

=+−≡→

=+−≡→=→=+⋅−⋅→=+−≡

−=−=

≡

yxr

yxrCCCyxr

M

nnormalvectoresBCrMediatriz r

�

( ) ( )( )

08

032443205434044

5,3

4,44,4

=−+≡→

=+−−≡→=→=+⋅−⋅⋅−→=+−−≡

−−=−−=

≡

yxs

yxsCCCyxs

N

nnormalvectoresACsMediatriz s

�

( ) ( )( )

0123024262406226026

6,2

2,62,6

=−+≡→=+−−≡→=→=+⋅−⋅−→=+−−≡

−−=−−=

≡

yxtyxtCCCyxt

P

nnormalvectoresABtMediatriz t

�

( )( )

( )

( )triánguloaltacircunscrinciacircunfereladediámetroelesAByrectánguloestriánguloEl

ABladodelmediopuntoPconcoincideroCircuncentEl

roCircuncentxy

yee

yee

yx

yx

yx

yx

smediatricelasdecortedepuntoroCircuncent

→

→=+−=→==→

=→−

=→−

−=−

=+

=+

−=−

6,2

6,2:26462

12

2443

122

4

123

8

4

:

13

12

40) Halla las ecuaciones de las tres alturas del triángulo cuyos vértices son los puntos A(3, -1), B(7, -5) y C(5, 1). Halla el área del triángulo por la fórmula de Heron.

( ) ( )( )

( )02

0422405272022

5,7

2,22,2

=−+≡→

=−+≡→−=→=+−⋅+⋅→=++≡

−

==≡

yxh

yxhCCCyxh

B

nnormalvectoresAChACladoalientecorrespondAltura h

�

( ) ( )( )

( )063

012621201632062

1,3

6,26,2

=−−≡→

=++−≡→=→=+−⋅+⋅−→=++−≡

−

−=−=≡

yxr

yxrCCCyxr

A

nnormalvectoresBCrBCladoalientecorrespondAltura r

�

( ) ( )( )

04016441601454044

1,5

4,44,4

=−−≡→=−−≡→−=→=+⋅−⋅→=+−≡

−=−=

≡

yxsyxsCCCyxs

C

nnormalvectoresABsABladoalientecorrespondAltura s

�

( )( )

( )

( )

( ) ( )( )ACABACABcumpleSe

AenrectánguloestriánguloElAvérticeelconcoincideOrtocentroEl

Ortocentroxy

yee

yee

yx

yx

yx

yx

alturaslasdecortedepuntoOrtocentro

⊥→=⋅−=⋅

→−

−→=+=→−=−

=→

=−→−

=−→−

=+

=−

=−

=+

02,24,4

1,3

1,3:31214

4

22

44

2

4

63

2

:

13

12

41) Halla los valores que hay que dar a los parámetros a y b para que las rectas x+ay=5 y bx+2y=9 sean perpendiculares y además corten al eje horizontal en puntos que disten dos unidades.

( )( )

( ) ( ) 0202,,10

2,92

,15

=+→=⋅→=⋅→→

=→=+≡

=→=+≡

abbannnormalesvectoressussonlo

laresperpendicusonrectaslasbnybxs

anayxr

sr

s

r

��

�

�

( )

( )

14

9

7

9

295

02:2

2

33

295

02:1

295

02

29

5

02

29

5

02

209

52,0,99

092

0,5505

:

2

2

−==→

−=−

=+

−==→

=−

=+→

±=−

=+→

±=−

=+

→

=

−

=+

=+

−→=→

→=→=→=+≡

→=→=→=+≡

abbb

abSolución

abbb

abSolución

bb

ab

b

ab

b

ab

bQPd

bQ

bxyybxs

Pxyayxr

horizontalejeelconCortes

42) Halla un punto P de la recta r:x+2y=6 que equidiste de los puntos A(1, 3) y B(2, -2)

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )1,41141412203426

44416166942025

224325

22623261

,,

,2626

2662

:1

2222

2222

2222

Ptttt

tttttttt

tttt

tttt

PBdPAdByAdeequidistaquePpuntoelBuscamos

ttPformaladeesrdecualquierapuntounty

txr

parámetroelrepresentayyxxdespejandoasparamétricasepasayxr

Método

→=→−=−→−=+−

++++−=+−++−

−−++−=−++−

−−++−=−++−

=→

−→

=

−=≡

→−=→=+≡

( ) ( )

( )( )1,44261

77

62

15

62

015102

15

2

305

2

1,

2

3

2

23,

2

21

5,15,1

secint

:2

12

Pxyyee

yx

yxm

yxrP

yxmCCCyxm

MABmedioPunto

nmdenormalvectoresABmABsegmentodelMediatriz

myrrectaslasdeciónerlaenestáPrdepuntounesP

ABsegmentodelmediatrizmrectalaenestáPByAdeequidistaP

Método

m

→=−=→=→

−=−→−

=+→

−=−≡

=+≡≡

=+−≡=→=+⋅−→=+−≡

=

−+

−=→−=

≡

→

→

43) Calcula m y n en las rectas r:mx-2y+5=0 s:nx+6y-8=0 sabiendo que son perpendiculares y r pasa por P(1, 4)

( )( )

( ) ( )40123305421

01206,2,0

6,86

2,52

=→=−⋅→=→=+⋅−⋅→

=−⋅→=⋅−→=⋅→→

=→=+≡

−=→−=−≡

nnmmPporpasar

nmnmnnnormalesvectoressussonlo

laresperpendicusonrectaslasnnynxs

mnymxr

sr

s

r

��

�

�

44) Dada la recta

+=

+−=≡

kty

txr

2

31 halla k para que r sea paralela a la bisectriz del segundo

cuadrante.

( )

( )

311

3

1,10sec

,32

31

−=→=−

→→

→

−=→=+→−=≡

=→

+=

+−=≡

kk

alesproporcionsonuyu

sonlostambiénlesdireccionavectoressusparalelassonrectaslasSi

uldireccionavectorsuyxyxscuadrantesegundodeltrizBi

kurdeldireccionavectorElkty

txr

sr

s

r

��

�

�

45) En el triángulo de vértices A(-2, 3), B(5, 1) y C(3, -4) halla las ecuaciones de: la altura que

parte de B; la mediana que parte de B; la mediatriz del lado CA

( ) ( )( )

018751801755075

1,5

7,57,5

=−−≡→−=→=+⋅−⋅→=+−≡

−=−=

≡

yxhCCCyxh

B

nnormalvectoresAChBdepartequeAltura h

�

( ) ( )

0675602

17

2

15075

2

1,

2

1

2

43,

2

32

7,57,5

=++−≡→=→=+

−⋅+⋅−→=++−≡

−=

−+−

−=→−=

≡

yxtCCCyxt

M

nnormalvectoresCAtCAladodelMediatriz

t

�

( ) ( )

02320135103

1,32

3,

2

91,5

2

1,

2

1

2

43,

2

32

=−−≡→−=→=+⋅−⋅→=+−≡

=→

=→

−=

−+−→

≡

yxmCCCyxm

uMBldireccionavectorB

MACdemedioPunto

mBdepartequeMediana�

46) Halla el pie de la perpendicular trazada desde P(1,2) a la recta r:x-2y+4=0

( )( ) ( )

( )

( ) 0200211202

2,1

1,22,1

2,1

=+≡→=→=+−⋅+⋅→=++≡

−

=→−=

→−=

≡

yxsCCCyxs

P

nsdenormalvectorelu

sdeldireccionavectoresnrdenormalvectorEl

s

PporpasandoralarperpendicusrectalaCalculamos

ss

r��

( )

−

→−=⋅+−=→=→

=→−

−=−

=+

−=−

5

8,

5

4:

5

4

5

824

5

8

852

42

02

42

12

QlarperpendiculadePie

xyyee

yx

yx

yx

syrrectasdoslasdecortedepuntoelesQ

47) Calcula el área del triángulo cuyos lados están sobre las rectas r:x=3, s:2x+3y-6=0, t:x-y-7=0

( )

( )

( )4,3073

3

07

3

5

27,

5

8

5

27

5

87

5

8

852

7

0632

07

0,30636

3

0632

3

secint

12

−→

=−−

=→

=−−≡

=≡≡

−→=−=→−=

→

−=→−

=−→

=−+≡

=−−≡≡

→

=−+

=→

=−+≡

=≡≡

Cy

x

yxt

xrC

Bxy

yee

yx

yxs

yxtB

Ay

x

yxs

xrA

dosadosectasrlasdeciónercomotriángulodelvérticeslosCalculamos

( )

( )

( )

( )( ) 2

2

42222

5

24

2

13

12

5

134

13

12

94

64332,

5

134

5

132

25

208

5

8

5

120

5

83

5

27,

,tan

,2

uArBdh

Cadb

rBdhACladoalBvérticedelciadislaeshy

CAdbACladodellongitudlaesbdondehb

AÁrea

=

⋅

=→=+

−−⋅+⋅==

=⋅

==

+

=

−−+

−==

=→

=→⋅

=→

48) Halla los puntos de la recta y=-x+2 que equidistan de las rectas x+2y-5=0 y 4x-2y+1=0

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

=

−′→=→=→+−=−−→−−=−−⋅

=

−→=→−=−→−=−−→−=−−⋅

→−

±=−−

→−⋅

±=−−→−

±=−−

→−

=−−

→−

=−−

→+

+−⋅−=

+

−−⋅+

=→

−→

−=

=≡→

→→+−=≡

4

3,

4

5

4

52,

4

5

4

55436223612

8

15,

8

1

8

12,

8

1

8

11836223612

2

361

52

3651

52

36

5

1

52

36

5

1

20

36

5

1

416

1224

41

522

,,tan

2,2

2

Ptttttt

Pttttttt

t

tt

tttttt

tttt

sPdrPdsyrdeequidisquePpuntoslosBuscamos

ttPformaladeesrdecualquierapuntounty

txr

parámetroelrepresentaxSiasparamétricapasasexyr

49) Calcula c para que la distancia entre las rectas 4x+3y-6=0 y 4x+3y+c=0 sea igual a 3.

( )

( ) ( )211563

5

6

915635

6

35

63

5

63

916

2304,,

2,020)(

tan

)(0340634

−=→−=+→−=+

=→=+→=+

→±=+

→=+

→=+

+⋅+⋅==

→=→=→

→

→=++≡=−+≡

ccc

ccc

cccsAdsrd

Ayxvaloresdando

rdecualquieraApuntounelegimosciadissucalcularpara

normalvectormismoeltienenparalelassoncyxsyyxrrectasLas

50) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de r:3x-y-9=0 s:x-3=0 y forma un ángulo de 45º con la recta x+5y-6=0

( )

( )

( )

( )

−=

−⋅−→

−⋅−=≡′→−=−=→=−→−−=−→−

+−=

−⋅=≡→==→=→+=−→−

+=

→

→−

+±=→

−

+

±=→

−

+±=→

−⋅+

+=→

′⋅+

′−=

→

−=′→+−=≡→=−+≡

−=≡

→

=−−

=→

=−≡

=−−≡≡

12

3

3

21

32

3

2

3

4

664155

5

151

33

2

3

2

6

446155

5

151

5

151

5

55

15

1

51

5

1

1

5

11

5

1

11

º45

:º45

5

1

5

6

5

1065

3.

0,3099

3

03

093

secint

espendientessusdeproductoelaresperpendiclsonsoluciónrectasdosLas

xypmmmmm

m

xypmmmmm

m

m

mm

m

m

m

m

m

mm

mmtg

cumplenpendientssusdeángulounformanrectasdosLas

mxytpendientepuntoformaenescritaeyxtrectaLa

xmyppendientepuntoformenescribimoslappedidarectaLa

Py

x

xs

yxrP

ectasrlasdeciónerPpuntoelCalculamos

51) Dadas las rectas r:2x-5y-17=0 s:3x-ky-8=0 calcula k para que r y s se corten formando un ángulo de 60º

( )

( )352

361536153521523635

65

1523

352

153615363521523635

65

1523

65

1523

5

655

152

3

5

61

3

5

2

33

5

21

3

5

2

31

º60

:º60

383

5

2

5

17

5

2

083

01752

,,exp

+

−=→−=⋅+→−=−−→

+

−−=

−

+=→+=⋅−→−=+→

+

−=

→

→+

−±=→

+

−

±=→

+

−±=→

⋅+

−=→

′⋅+

′−=

→→

=′→−=≡

=→−=≡

→

=−−≡

=−−≡

kkkkk

k

kkkkk

k

k

k

k

kk

k

k

k

k

kmm

mmtg

cumplenpendientessusdeángulounformanrectasdosLas

km

kx

kys

mxyr

kyxs

yxr

pendientessuscalcularparaydespejandolícitaformaenrectasdoslasExpresamos

52) Dos de los lados de un paralelogramo están sobre las rectas x+y-2=0 y x-2y+4=0 y uno de sus vértices es el punto (6, 0). Halla los otros vértices.

( ) ( )

( )( )

( )

( )

−→=+=→−=→

=−−

=−→

=−−

=−+≡

→=−=→=→

=−

−=−→

=−+

=+−≡

=−−≡′→−=→=+−→=+−≡′

=−+≡′→−=→=++→=++≡′

′∈′′∈′

→=→=→

−=−−

=−+→

=+−≡

=−+≡≡

→∉∉

→

→

3

4,

3

10

3

10

3

42

3

4

43

22

062

02

3

10,

3

8

3

8

3

106

3

10

103

42

06

042

secint

062600602

0660060

////

2,00263

02

042

02

0,60,6

tan

log

12

12

12

Dxyyee

yx

yx

yxD

Bxyyee

yx

yx

yxB

dosadosrectaslasdeciónercomcalculansevérticesotrosLos

yxsKKKyxs

yxrCCCyxr

sAyssrectalayrAyrrrectalaCalculalos

Cxyyee

yx

yxs

yxrC

ladosotroslosdecortedevérticeelesAsAyrAAdemás

corsequeladosdosaencorrespondparalelassonnosyr

doslasdosadosparalelossonladoslosramoparaleunEn