Post on 08-Sep-2018
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL
SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
CARRERA DE LICENCIATURA EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE LICENCIADA EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN MENCIÓN MATEMÁTICA
TEMA:
LA METODOLOGÍA APROPIADA EN LA ENSEÑANZA DE MATRICES Y DETERMINANTES
Autora:
Daza Espinoza Alicia Marlene
Directora de Tesis:
Dra. Patricia Campana
QUITO - ECUADOR
MARZO 2015
i
CARTA DE CERTIFICACIÓN DEL DIRECTOR
En mi calidad de Tutora del Trabajo de Grado presentado por la señora
Alicia Marlene Daza Espinoza, para optar el Grado Académico de Licenciada
en Ciencias de la Educación – Mención MATEMÁTICA cuyo título es: La
metodología apropiada en la enseñanza de matrices y determinantes en la
“UNEDI” extensión Pimampiro.
Considero que dicho trabajo reúne los requisitos y méritos suficientes para
ser sometidos a la presentación pública y evaluación por parte del Jurado
examinador que se designe.
En la ciudad de Ibarra a los dos días del mes de marzo del 2015.
Dra. Patricia Campana TUTORA DE LA CARRERA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
ii
DECLARACIÓN DE AUTORÍA
Yo, Alicia Marlene Daza Espinoza declaro bajo juramento que el trabajo aquí
descrito es de mi autoría; que no ha sido previamente presentado para
ningún grado o calificación profesional; que he consultado las referencias
bibliográficas que se incluyen en este documento y que no he plagiado dicha
información.
Alicia Marlene Daza Espinoza
iii
DEDICATORIA
A Dios: por darme la vida, inteligencia y permitirme cumplir mis sueños,
A mi esposo, Compañero Comprensible Mauricio,
A mi hija: Melissa parte importante en mi vida,
A mis hermanas: por su apoyo incondicional
Marlene Daza
iv
AGRADECIMIENTO
En la realización de este trabajo colaboraron varias personas importantes que
sin su contingente no hubiera sido posible llevar a un feliz término y a las que
quiero dar gracias públicamente:
A la generación de maestros quienes con su capacidad, paciencia,
responsabilidad y colaboración, permitieron reforzar los conocimientos,
potenciar la experiencia como docente y llegar a ejecutar esta investigación
con proyección, acorde a diferentes enfoques de los asesores institucionales
y de especialidad que ayudaron y fueron los ejes fundamentales para el
desarrollo exitoso de este proyecto; a los colegas y amigos que dieron su
aporte creativo y critico siendo el soporte que promovió su elaboración
A los estudiantes (adolescentes y adultos) de la institución investigada y en
general a la comunidad educativa por su colaboración en el proceso de
recolección de información.
A los familiares por entenderme resignadamente que con su perseverancia
impulsaron a que siga estudiando y pueda terminar este trabajo,
v
ÍNDICE DE CONTENIDOS Portada ............................................................................................................ i
Carta de certificación del director ..................................................................... i
Declaración de autoría .................................................................................... ii
Dedicatoria ..................................................................................................... iii
Agradecimiento .............................................................................................. iv
Índice de contenidos ....................................................................................... v
Índice de tablas .............................................................................................. xi
Índice de figuras ........................................................................................... xiii
Resumen ejecutivo ....................................................................................... xv
INTRODUCCIÓN ........................................................................................... 1
CAPÍTULO I................................................................................................... 3
EL PROBLEMA ............................................................................................. 3
1.1 Tema de investigación. ......................................................................... 3
1.2 Planteamiento del problema ................................................................. 3
1.3 Formulación del problema .................................................................... 4
1.4 Preguntas directrices ............................................................................ 4
1.5 Objetivos ............................................................................................... 5
1.5.1 Objetivo General: ........................................................................... 5
1.5.2 Objetivos Específicos: .................................................................... 5
1.6 Justificación .......................................................................................... 6
CAPÍTULO II .................................................................................................. 8
MARCO TEÓRICO ........................................................................................ 8
2. Fundamentación Teórica......................................................................... 8
2.1 Metodología de la enseñanza aprendizaje ........................................... 8
2.1.1 Método ........................................................................................... 9
2.1.2 Clasificación de los métodos de enseñanza ................................. 10
2.1.3 Métodos actuales, contemporáneos de la enseñanza de
Matemática ............................................................................................ 10
2.1.3.1 Método heurístico ................................................................... 11
2.1.3.2 Método de solución de problemas ......................................... 11
vi
2.1.3.3 Métodos Modernos Tecnológicos ......................................... 12
2.1.3.4 Métodos básicos que se emplean en Matemática ................. 14
2.1.3.4.1 Método experimental ....................................................... 14
2.1.3.4.2 Método de IBERCIMA ...................................................... 14
2.1.3.4.3 Método científico .............................................................. 15
2.1.4 Técnica ......................................................................................... 15
2.1.4.1 Técnicas del aprendizaje activo ............................................. 15
2.1.4.2 Técnicas del aprendizaje acelerado ....................................... 16
2.1.5 Estrategias metodológicas ........................................................... 16
2.2 Álgebra ............................................................................................... 17
2.2.1 Fundamentos históricos ............................................................... 17
2.2.2 Definición de Álgebra ................................................................... 18
2.2.3 Tipos de Álgebra .......................................................................... 19
2.2.3.1 Álgebra lineal ......................................................................... 19
2.2.3.1.1 Origen de matrices y determinantes ................................ 19
2.2.3.1.2 Definición de matriz ......................................................... 20
2.2.4 Clases de Matrices ....................................................................... 21
2.2.4.1 Operaciones de Matrices ....................................................... 26
2.2.4.1.1 Suma de matrices ............................................................ 26
2.2.4.2 Propiedades de la suma ........................................................ 27
2.2.4.3 Demostración de dos propiedades ......................................... 28
2.2.4.3.1 Resta de matrices ............................................................ 29
2.2.4.3.2 Multiplicación de un escalar por una matriz ..................... 30
2.2.4.3.3 Producto de dos matrices ................................................ 32
2.2.4.3.4 Ecuación lineal o de primer grado .................................... 34
2.2.4.3.4.1 Definición de ecuación ............................................... 34
2.2.4.3.4.2 Ecuación lineal (notación) .......................................... 35
2.2.4.3.4.3 Ecuación lineal con una incógnita.............................. 36
2.2.4.3.4.4 La ecuación lineal o de primer grado con dos
incógnita ...................................................................................... 36
2.2.4.3.5 Sistema de ecuaciones lineales ....................................... 36
vii
2.2.4.3.5.1 Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos
incógnitas .................................................................................... 37
2.2.4.3.5.2 Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas 37
2.2.4.3.5.3 Aplicación de la teoría de matrices en la resolución
de sistemas de ecuaciones lineales ............................................ 38
2.2.4.3.5.3.1 Método de Gauss.- Matriz escalonada ................ 39
2.2.4.3.5.3.................................................................................... 46
2.2.4.3.6 Función Determinante ...................................................... 50
2.2.4.3.6.1 Determinante de una matriz 2x2 ................................ 50
2.2.4.3.6.2 Determinante de una matriz 3x3 ............................... 51
2.2.4.3.6.3 Aplicación de la función determinante en la
resolución de sistemas de ecuaciones ........................................ 53
2.2.4.3.6.3.1 Resolución de sistemas de ecuaciones de primer
grado con dos incógnitas ......................................................... 53
2.2.4.3.6.3.2 Resolución de Sistemas de ecuaciones con tres
ecuaciones y tres incógnitas .................................................... 56
2.2.4.3.6.3.2.1 Método de Sarrus .......................................... 57
2.2.4.3.6.3.2.2 Método de Cofactores ................................... 58
2.2.4.3.6.3.2.3 Aplicación de Determinantes mediante el
proceso de cofactores ........................................................... 59
2.3 MARCO INSTITUCIONAL .................................................................. 63
2.3.1 Naturaleza de la unidad educativa a distancia de Imbabura ........ 64
2.3.2 Visión y Misión de la UNEDI ......................................................... 65
2.4 Fundamentación legal ........................................................................ 67
2.5 Hipótesis ............................................................................................. 70
2.6 Variables de la investigación .............................................................. 71
2.7 Operacionalización de variables ......................................................... 71
CAPÍTULO III ............................................................................................... 72
METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN ................................................. 72
3.1 Diseño de la investigación .................................................................. 72
3.1.1 Según el tipo de estudio ............................................................... 72
viii
3.1.2 Según las fuentes de consulta: investigación de campo-
bibliográfica ........................................................................................... 72
3.1.3 Métodos de la investigación ......................................................... 72
3.1.3.1 Métodos generales ................................................................. 72
3.1.3.2 Métodos específicos .............................................................. 73
3.2 Población ............................................................................................ 74
3.3 Técnicas e instrumentos de recolección de información .................... 74
3.3.1 Observación ................................................................................. 74
3.3.2 La encuesta .................................................................................. 75
CAPÍTULO IV .............................................................................................. 76
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS ................................ 76
4. Presentación de resultados: Encuestas aplicadas a los estudiantes 76
4.1 La mayor parte de clases, el docente de matemáticas utiliza ............. 76
4.2 El docente para resolver dificultades de algebra relaciona con
experiencias vividas.................................................................................. 77
4.3 El docente cuando practica ejercicios de matemática (matrices)
interactúan con los estudiantes ................................................................ 78
4.4 El docente de matemática domina los conocimientos ........................ 79
4.5 El aprendizaje de algebra se desarrolla mejor cuando el profesor utiliza
................................................................................................................. 80
4.6 Si tiene Usted inconvenientes en el aprendizaje el profesor .............. 81
4.7 Cuando Usted realiza las tareas de algebra lo hace: ......................... 82
4.8 Algebra aprende mejor mediante Tabla: ............................................. 83
4.9 Cuál es la estrategia que más frecuentemente utiliza en Matemática 84
4.10 Los ejercicios del algebra le permiten desarrollar la memoria .......... 85
4.11 La matemática se enseñara de manera memorística sin razonar .... 86
4.12 Para mejorar el aprendizaje de matrices se debe crear o aplicar
nuevas metodologías de enseñanza (TIC) ............................................... 87
4.13 Los docentes han abordado el tema de matrices con determinado
grado de dificultad .................................................................................... 88
4.14 Las clases impartidas se caracterizan por ser .................................. 89
4.15 ¿Al resolver un sistema de ecuaciones ha resuelto por’? ................. 90
ix
4.16 Lugar en el que domina conocimientos de algebra en la enseñanza
de matrices ............................................................................................... 91
4.17 ¿Cómo calificaría la recepción de los estudiantes en la aplicación
matrices y determinantes? ........................................................................ 92
4.18 ¿Señale el método que considera más óptimo al abordar el tema de
Resolución de sistemas de ecuaciones? .................................................. 93
4.19 ¿El proceso enseñanza aprendizaje del algebra se desarrolla mejor
utilizando? ................................................................................................ 94
4.20 ¿Para mejorar el aprendizaje de matemática (algebra) se debe crear
o aplicar nuevas metodologías de la enseñanza? .................................... 95
4.21 Si el aprendizaje es insuficiente que alternativas emplea para mejorar
................................................................................................................. 96
4.22 ¿En la enseñanza del algebra utiliza material concreto? .................. 97
4.23 ¿Cómo docente de matemáticas cree indispensable renovar el
proceso de enseñanza aprendizaje mediante las TIC. ............................. 98
4.24 Señale cuál de los métodos de enseñanza contemporánea maneja
más. .......................................................................................................... 99
CAPÍTULO V ............................................................................................. 100
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES............................................. 100
5.1 Conclusiones .................................................................................... 100
5.2 Recomendaciones ............................................................................ 101
CAPÍTULO VI ............................................................................................ 103
PROPUESTA ............................................................................................. 103
6.1 Tema ................................................................................................ 103
6.2 Presentación ..................................................................................... 103
6.3 Objetivos ........................................................................................... 104
6.3.1 Objetivo general ......................................................................... 104
6.3.2 Objetivos Específicos ................................................................. 104
6.4 Población - Objeto ............................................................................ 104
6.5 Localización ...................................................................................... 105
6.6 Desarrollo de la propuesta ................................................................ 106
6.6.1 Taller Nº 1................................................................................... 106
x
6.6.1.1 Tema .................................................................................... 106
6.6.1.2. Objetivo ............................................................................... 106
6.6.1.3 Actividades ........................................................................... 106
6.6.1.4 Cronograma ......................................................................... 114
6.6.2 Taller Nº 2................................................................................... 114
6.6.2.1 Tema .................................................................................... 114
6.6.2.2 Objetivo ................................................................................ 114
6.6.2.3 Actividades ........................................................................... 114
6.6.2.4 Ampliación de contenidos .................................................... 115
6.6.2.5 Cronograma 2 ...................................................................... 124
6.6.3 Taller Nº 3................................................................................... 124
6.6.3.1 Tema .................................................................................... 124
6.6.3.2 Objetivo ................................................................................ 124
6.6.3.3 Actividades ........................................................................... 125
6.6.3.4 Definición de la herramienta tecnológica WIRIS .................. 126
6.6.3.5 Contenidos de la página WIRIS ........................................... 127
6.6.3.6 Ventajas ............................................................................... 127
6.6.3.7 Apéndice de la Lista de iconos ............................................. 128
6.6.3.8 Icono de Matrices ................................................................. 133
6.6.3.9 Cronograma 3 ...................................................................... 136
BIBLIOGRAFÍA ......................................................................................... 137
ANEXOS .................................................................................................... 142
xi
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 2.1 Matriz FODA ..................................................................................... 66
Tabla 2.2 Operacionalización de variables ....................................................... 71
Tabla 3.1 Población .......................................................................................... 74
Tabla 4.1 Pregunta 1 de los estudiantes ........................................................... 76
Tabla 4.2 Pregunta 2 estudiantes ..................................................................... 77
Tabla 4.3 Pregunta 3 de estudiantes ................................................................ 78
Tabla 4.4 Pregunta cuarta de los estudiantes ................................................... 79
Tabla 4.5 Preguntas 5 planteada en la encuesta .............................................. 80
Tabla 4.6 Pregunta 5 de los estudiantes ........................................................... 81
Tabla 4.7 Apoyo en tareas ................................................................................ 82
Tabla 4.8 Pregunta 8 de los estudiantes ........................................................... 83
Tabla 4.9 Estrategias frecuentes pregunta 9 .................................................... 84
Tabla 4.10 Pregunta 10 .................................................................................... 85
Tabla 4.11 La Enseñanza de matemática debe ser repetitiva .......................... 86
Tabla 4.12 Pregunta 12 de los estudiantes ....................................................... 87
Tabla 4.13 Resultados de la Dificultad en abordar temas de matrices ............. 88
Tabla 4.14 Tipo de clase impartida ................................................................... 89
Tabla 4.15 Resultado de Pregunta 3 de docentes ............................................ 90
Tabla 4.16 Respuestas a pregunta 4 de los Docentes ..................................... 91
Tabla 4.17 Respuestas a pregunta 5 de los Docentes ..................................... 92
Tabla 4.18 Respuestas a pregunta 6 de los Docentes ..................................... 93
Tabla 4.19 Instrumentos utilizados en el proceso enseñanza aprendizaje ....... 94
Tabla 4.20 Pregunta 8 ...................................................................................... 95
Tabla 4.21 Alternativas aplicadas para mejorar el aprendizaje ......................... 96
Tabla 4.22 Resultados de la pregunta 10 de los docentes .............................. 97
Tabla 4.23 Resultados de la pregunta 11 ......................................................... 98
Tabla 4.24 Resultados de la pregunta 12 ......................................................... 99
Tabla 6.1 Población- Objeto ........................................................................... 105
Tabla 6.2 Desventajas de las TIC para estudiantes y docentes ..................... 110
Tabla 6.3 APLICACIÓN: datos de materiales y precios .................................. 113
Tabla 6.4 CRONOGRAMA 1........................................................................... 114
xii
Tabla 6.5 CRONOGRAMA 2........................................................................... 124
Tabla 6.6 TALLER 3: CRONOGRAMA 3 ........................................................ 136
xiii
ÍNDICE DE FIGURAS Figura 2.1 Relación: sujeto - objeto de investigación .......................................... 8
Figura 2.2 Conocimiento científico ...................................................................... 9
Figura 2.3 Clasificación de los métodos de enseñanza © Enrique Martínez-
Salanova Sánchez 1999 ................................................................................... 10
Figura 2.4 Proceso metodológico ERCA enseñanza- aprendizaje ................... 13
Figura 4.1 Clases que aplican los docentes ..................................................... 76
Figura 4.2 Relación de dificultades con experiencias vividas ........................... 77
Figura 4.3 Interactúan estudiantes-docente ...................................................... 78
Figura 4.4 Lugar de dominio de conocimientos ................................................ 79
Figura 4.5 Instrumentos en el aula .................................................................... 80
Figura 4.6 Actividades de recuperación ............................................................ 81
Figura 4.7 Tareas de algebra con apoyo .......................................................... 82
Figura 4.8 Medios de aprendizaje de estudiantes ............................................. 83
Figura 4.9 Estrategias utilizadas en matemática............................................... 84
Figura 4.10 Los ejercicio permiten desarrollar la mente ................................... 85
Figura 4.11 La enseñanza de matemática es memorística o repetitiva ............ 86
Figura 4.12 Sondeo de aplicación de metodologías ......................................... 87
Figura 4.13 Dificultad en abordar temas de matrices ........................................ 88
Figura 4.14 Tipo de clase impartida .................................................................. 89
Figura 4.15 Métodos de solución de ecuaciones usados por los docentes ...... 90
Figura 4.16 Lugar de dominio de conocimientos .............................................. 91
Figura 4.17 Aplicación de matrices y determinante .......................................... 92
Figura 4.18 Método más óptimo para resolver sistema de ecuaciones ............ 93
Figura 4.19 Instrumentos utilizados .................................................................. 94
Figura 4.20 Opciones sobre el mejoramiento del proceso de enseñanza ........ 95
Figura 4.21 Actividades de mejoramiento del aprendizaje ................................ 96
Figura 4.22 Utilización material concreto .......................................................... 97
Figura 4.23 Incorporación de TIC ..................................................................... 98
Figura 4.24 Incorporación de TIC ..................................................................... 99
Figura 6.1 Aprender a Aprender ..................................................................... 106
Figura 6.2 Profesionalización .......................................................................... 111
xiv
Figura 6.3 Diapositivas diseñadas en powert point ......................................... 116
Figura 6.4 Presentación de la pagina ............................................................. 127
Figura 6.5 Lista de iconos de la plataforma wiris (GUÍA) ................................ 129
xv
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL
SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
CARRERA: Licenciatura en Ciencias de la Educación
METODOLOGÍA APROPIADA EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATRICES Y DETERMINANTES
Autora: Alicia Marlene Daza Espinoza Directora: Dra. Patricia Campana Fecha: Ibarra, 2013
RESUMEN EJECUTIVO
La sociedad demanda con urgencia de personas indicadas que se preocupen de realizar las funciones de: programar, emprender, dirigir y examinar las actividades, métodos, estrategias con proyección a conseguir cambios en la calidad de la educación de la situación actual del Ecuador, se cita algunos métodos contemporáneos para mejorar el proceso enseñanza aprendizaje que permitan descartar poco a poco el aprendizaje pasivo que atrae muchas dificultades y ayude a renovar las habilidades, destrezas de los estudiantes de la UNEDI; el presente estudio se enfoca en la necesidad prioritaria de aplicar nuevos métodos y si es posible apoyado por la tecnología que colabore en el nivel académico de los estudiantes. Es de suma importancia que los docentes sean conscientes, desarrollen su rol de maestros con responsabilidad generando líderes estudiantiles que aporten en una revolución educativa dotándose de las herramientas indispensables para una formación correcta en el nivel cognitivo, afectivo y psicomotriz de los estudiantes siendo la pauta la constante preparación tanto de docentes como estudiantes y exista un crecimiento personal y grupal con el fin de eliminar los obstáculos en el proceso de enseñanza, es importante que los estudiantes sean activos, participativos, críticos y creativos para lo cual se hace indispensable el aprendizaje de matrices y determinantes para resolver los problemas del entorno en la institución y cumplir con los objetivos, también se da conocer el universo de estudio, las encuestas, tabulación de resultados y algunas recomendaciones para conseguir una educación de calidad. Al final se complementa con la propuesta que consiste en talleres de capacitación sobre Matrices y Determinantes aprovechando las TIC mediante la participación interactiva de los docentes y estudiantes dando la pautas necesarias a la comunidad educativa con el fin de obtener los productos efectivos que logren insertarse en la sociedad y se desenvuelvan en cualquier campo profesional
DESCRIPTORES: Metodología innovadora. Mejorar aprendizaje de matrices y determinantes
1
INTRODUCCIÓN
La enseñanza de matemáticas necesita verdaderos cambios en las
instituciones educativas, este proyecto está orientado en conocer, si es
posible aplicar la metodología adecuada que intervienen en la enseñanza
de matrices y determinantes en los colegios, que permitan construir un
perfil de estudiantes interactivos, creativos, investigativos; dejando a un lado
los métodos tradicionales que forman estudiantes dependientes,
memorísticos, receptores que son los nudos principales de la educación
actual. En lo que se refiere a la selección del tema, planteamiento del
problema, objetivos y justificación (capítulo I), fue un reto tanto en la
elaboración, organización de la tesis como en la argumentación ya que
para emitir juicios acertados, analizar el contexto indispensable se apoyó en
suficientes fuentes de consulta
Las partes involucradas en la investigación deben tener afinidad con el tema
de algebra por lo que va enfocado al bachillerato y direccionado hacia
conocimientos básicos de algebra lineal, se dará a conocer el origen,
historia de algunos términos, definiciones, marco referencial, variables,
hipótesis etc. (capítulo II), clases de métodos aplicados y los recomendados
en el proceso enseñanza aprendizaje, muestra, población. (Capítulo III)
La estructura del marco teórico es muy amplia por lo que se acude a fuentes
de consulta variada (bibliografía, internet, citados en cada bloque o al
finalizar) luego de analizar, sintetizar rápidamente se procede a desarrollar
el trabajo que genere beneficios en el elemento humano, la institución y la
sociedad; los resultados alcanzados después de realizar la investigación
deben ser gratificantes, confiables para satisfacer las necesidades de la
comunidad educativa.
Seguidamente se relaciona la metodología más conveniente con la
terminología aplicada, datos de quien la creo, proceso de resolución de
2
sistema de ecuaciones de primer grado con dos y tres incógnitas mediante
determinantes, identificar las clases de matrices, espacios vectoriales,
encontrar la matriz inversa, simétrica y la transpuesta de una matriz dos por
dos.
Los instrumentos recomendados, (capitulo IV) la interpretación de los
resultados de las preguntas planteadas permiten detectar el nivel en que se
encuentra el grupo y se logra emitir conclusiones y recomendaciones
(capítulo V) Para lograr cambios evolutivos se realiza una propuesta
(capítulo VI) con la finalidad de optimizar la problemática encontrada en la
UNEDI aplicando los medios tecnológicos.
3
CAPÍTULO I
EL PROBLEMA
1.1 Tema de investigación.
La Metodología apropiada en la Enseñanza de matrices y determinantes
(Algebra Lineal) del segundo curso del bachillerato en ciencias sociales en
la (Unidad Educativa a distancia de Imbabura UNEDI) durante el periodo
2012-2013
1.2 Planteamiento del problema
Evitar cualquier obstáculo educativo, eliminando las falencias del
aprendizaje rutinario en el colegio, siendo la problemática principal el no
innovar la metodología en la enseñanza de la matemática en especial de
una rama especifica del algebra lineal, que es matrices y determinantes:
desconocida para algunos; es así como los profesores siguen aplicando la
enseñanza tradicional que se caracteriza por no estimular a los alumnos al
aprendizaje autónomo, democrático; este problema se presenta en los
segundos cursos del bachillerato y en la especialidad de sociales; aplican
conceptos básicos para resolver ejercicios sobre sistemas de ecuaciones
donde el alumno es un mero receptor y el tutor únicamente es el
protagonista además la idea es evolucionar los métodos de enseñanza de la
matemática encaminada en mejorar el aprendizaje del algebra lineal en los
planteles educativos evitando la rutina, mejorando la motivación y
desarrollando sus destrezas y aplicando diferentes estrategias del
aprendizaje.
En el sistema de educación a distancia se presentan deficiencias en las
personas adultas mayores de 15 años, especialmente en las que vuelven a
retomar los estudios después de mucho tiempo. Por lo que es
indispensable mejorar la enseñanza de la matemática, lo ideal será aplicar
las metodologías oportunas, actuales como el Método de Polya, las
4
Tecnologías de la Información relacionadas con su entorno, formando
estudiantes que adquieran fortalezas en los aspectos: cognitivo, afectivo,
reflexivo, crítico entre otros; por consecuencia se fortalecerá el aprendizaje
constructivista en los futuros bachilleres. Relacionar el proceso enseñanza
aprendizaje, las herramientas educativas, los temas de matrices y
determinantes con la solución de problemas económicos, geográficos,
políticos, sociales, que se aplique en la mayoría de establecimientos;
obtener la mejoras primero en las actividades cualitativas comprendiendo la
conducta de los educandos que inciten a: descubrir, explorar, describir la
información que se fundamenta en la realidad y en segundo lugar las
actividades cuantitativas deben ser objetivas están focalizadas a la
comprobación de la información, impulsando la innovación de la metodología
y lograr una enseñanza de calidad.
1.3 Formulación del problema
¿La metodología empleada por los docentes influye en el aprendizaje
Matrices y Determinantes (Algebra Lineal)en la Unidad Educativa a Distancia
de Imbabura (UNEDI) durante el periodo 2012- 2013 de los estudiantes de
segundo de bachillerato de la especialidad ciencias sociales del CAT
(Centro de Apoyo Tutorial ) Pimampiro?
1.4 Preguntas directrices
¿Cómo enseñan los docentes del Área de Matemáticas en el bachillerato?
¿Cómo mejorar la enseñanza de las matemáticas en el tema matrices?
¿Cuáles son los métodos contemporáneos de la enseñanza de la matemática?
¿Cuál es la terminología empleada en los diferentes tipos de matrices del
álgebra lineal
¿Qué metodología emplean los docentes actualmente?
¿Cómo emplear las TIC en el aprendizaje innovador de matrices y
determinantes?
¿Tiene relevancia la información científica en el marco teórico?
5
¿Cómo se originaron los temas básicos: matrices, determinantes, algebra?
¿La investigación será trascendental y positiva?
¿La propuesta planteada facilitará y determinará un aprendizaje comprensible?
1.5 Objetivos
1.5.1 Objetivo General:
Analizar y determinar la metodología apropiada como herramienta para el
aprendizaje innovador de Matrices y Determinantes en el segundo curso de
bachillerato ciencias sociales del Colegio: UNEDI (Unidad Educativa a
Distancia de Imbabura) 1
1.5.2 Objetivos Específicos:
1. Caracterizar la metodología utilizada por el docente en la enseñanza de
Matrices y determinantes
2. Identificar la necesidad de incorporar nuevos métodos de enseñanza
aprendizaje de la matemática.
3. Examinar los principales temas de matrices y determinantes que pueden
ser enseñados en la unidad educativa a distancia de Imbabura:
contenidos, clases de matrices, aplicación.
4. Relacionar puntualmente el análisis de los tópicos de Matrices,
Determinantes y su metodología en la enseñanza secundaria.
1NOTA: Según la nueva LOEI los colegios a distancia pasan a ser de modalidad semi presencial
6
1.6 Justificación
La importancia de realizar este proyecto es con el fin de ampliar la
experiencia como docente cumpliendo el reto de auto educar, retroalimentar
con información novedosa y sobre todo aplicar métodos vigentes y
contemporáneos de la enseñanza de matemática que se investigaron y
constan posteriormente en el marco lógico; siendo Matrices y Determinantes
un tema relevante en Álgebra, para la ejecución efectiva se tendrá que
modificar estrategias metodológicas acostumbrados de enseñanza para
conseguir consecuencias favorables, apoyándose de términos
investigados y confirmar los logros no solo mediante encuestas sino con
otro instrumento que es recolectar información de la experiencia de
docentes especializados y aplicar los conocimientos investigados clases
interactivas de álgebra lineal .
Es imprescindible el desarrollo evolutivo del proceso enseñanza aprendizaje
Matrices y Determinantes relacionando con el empleo de métodos
trascendentales, actuales, y rescatando lo favorable de los métodos
tradicionales en la resolución de ejercicios o problemas y en especial que
tengan intereses comunes del grupo, que permita a otros docentes tener
una fuente de consulta es decir sea una herramienta básica, donde pueda
constar: terminología empleada que motive comprender el lenguaje
matemático y pasos secuenciales de algunos procesos de resolución de
problemas sobre: sistema de ecuaciones, producto matricial, producto
escalar, y estimulando la relación interactiva tutor-estudiante y promoviendo
un aprendizaje integro, democrático, dando como resultado el perfil de un
bachiller capacitado en lo cognitivo, psicomotor y afectivo que pueda
insertarse en la sociedad siendo un ente productivo y sea valorado como un
ser humano donde se experimente la integración de grupos cooperativos
alejando los intereses del aprendizaje individuales.
Es importante realizar este proyecto para que sea una herramienta didáctica
en la enseñanza del área de matemática, donde los protagonistas son los
7
recursos humanos (docentes, estudiantes que son los beneficiarios directos,
y los beneficiarios indirectos los padres de familia y la comunidad educativa -
social).
Como estudiante-docente en esta asignatura lo principal de este proyecto es
que los logros que se obtengan generen modificación en el proceso
enseñanza aprendizaje y sean fiables, permitiendo que los conocimientos
adquiridos por el investigador se fortalezcan e incrementen, sean aplicables
a la realidad, es decir que se adapte a la enseñanza, disponer del tiempo
necesario, de los recursos económicos, humanos; el lugar conveniente
donde se pueda realizar las encuestas para verificar la información
cuantitativa y cualitativa mediante los parámetros medibles para realizar la
evaluación estadística correspondiente, previamente se tendrá que dos
jornadas, utilizando la bibliografía disponible que proyecte a formar mentes
de raciocinio lógico cuyas consecuencias sean positivas. Además se
espera que los conocimientos de Álgebra Lineal sean reforzados para que
desde hoy en adelante las clases sean más dinámicas, interactivas, aplicar
con facilidad el proceso de enseñanza ERCA (experiencia, reflexión,
conceptualización y aplicación) con la metodología investigada, que ayude a
planificar por destrezas. Para cumplir las expectativas planteadas en los
objetivos se cuenta con el lugar (aulas de la UNEDI) el elemento humano
disponible, los recursos bibliográficos, tecnológicos y por último concluir la
investigación, con los resultados verificables que ayuden a modificar y
mejorar la enseñanza de la matemática en la rama de álgebra Lineal en
especial en el desarrollo, clasificación, calculo matricial y aplicación de
determinantes llegando a su comprobación mediante destrezas mentales,
manuales y los algoritmos algebraicos o en la plataforma a través de la
tecnología.
8
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO
2. Fundamentación Teórica
2.1 Metodología de la enseñanza aprendizaje
Metodología se deriva de la palabra método y del sustantivo griego logos
que significa: explicación, tratado, estudio juicio. Representa el modo de
organizar el proceso de investigación, controlarlos resultados, presenta
posibles soluciones que se encamina a la toma de decisiones. La
metodología está encaminada a investigar, diferir, y aplicar el nivel crítico
sobre los métodos actuales y los tradicionales de la enseñanza de
matemática. Zorrilla, S. Torres. Cervo, L(1999) pp15-16
En conclusión se dirá que la metodología estudia al método que ayuda a
eliminar los nudos educativos y también existen otros que encaminan a una
investigación productiva. Se puede agregar diciendo que la metodología
relaciona al sujeto de la investigación (investigador) con el objeto de la
investigación (problema) .Tomando en cuenta la Pedagogía es parte de la
Didáctica, es un proceso sistemático de enseñanza por conseguir los
objetivos, estudia los medios de enseñanza, producción, aplicación,
seguimiento y evaluación de los métodos o medios (Abril, F,M.2004 PP 236-237)
Figura 2.1 Relación: sujeto - objeto de investigación
Fuente: (Torres, M. 1992, p 15)
De esto se deriva el conocimiento científico
Sujeto de la
investigación
Investigador
Objeto de la
investigación
Problema
Metodología
(Métodos)
9
= = +
Figura 2.2 Conocimiento científico
Fuente: (Torres, M. 1992, p 16)
2.1.1 Método
Etimológicamente se forma por dos vocablos griegos meta y odos que
significa el camino para llegar a obtener un objetivo. Es un elemento
indispensable en la ciencia porque facilita la verificación de los que se
afirma, conduce a los logros válidos, precisos no aproximados, tomados de
la realidad y que sean confiables. (Torres, M. 1992, p 16)
Algunos métodos que se usan en la enseñanza actual y contemporánea de
la matemática, de acuerdo a la materia y temas seleccionados; mediante su
utilización se evita que se haga repetitivo o rutinario, porque hostiga a los
estudiantes, cansa este aprendizaje tradicional.
En resumen podemos señalar que los métodos más usados son:
• DEDUCTIVO: parte de lo general a lo particular.
• INDUCTIVO: inicia desde lo particular hacia lo general.
• HEURÍSTICO: se analiza, se reflexiona y tiene un alto nivel critico
• COMPARATIVO: realiza diferenciación, analogías para llegar a resolver problemas
• PASIVO: este método lo aplican aquellas personas que son
espectadores únicamente y no actúan por inseguridad, por no conocer el
tema, miedo a expresarse en público, temor a equivocarse en realizar
ejercicios no es recomendable.
• ACTIVO: se refiere a que todos interactúan cuando existe la oportunidad, en
matemáticas es el más indicado tanto para el tutor como el estudiante que
son los protagonistas
Conocimiento
científico
Metodología
(vía)
Investigación
(Proceso)
10
• DOGMÁTICO: todo lo enseñado se basa en verdades respecto a la ciencia,
es indiscutible. (Achaerandio, L.1998.sp.)
2.1.2 Clasificación de los métodos de enseñanza
Figura 2.3 Clasificación de los métodos de enseñanza © Enrique Martínez-Salanova Sánchez 1999
Fuente: ( http://www.uhu.es) Elaborado por: Marlene Daza (3 de mayo 2012)
2.1.3 Métodos actuales, contemporáneos de la enseñanza de Matemática
En esta parte se nombra los métodos más actuales, de mayor aplicación y
según la necesidad establecida, luego de consultar se observa claramente
que se puede emplear variedad de métodos que ayuden a motivar,
Métodos de
enseñanza
Organización
de la materia
En cuanto a la
forma del
raciocinio
Relación con
ambiente
Aprobación de
lo enseñado
Categorización
del conocimiento
Acciones
externas
*Psicología
del alumno
*lógica de la
tradición
*Comparativo
*Deductivo
*Inductivo
*Simbólico o
Vervalistico
Intuitivo
*Dogmática
*Heurística
*Globalizado
*Especializado
*Pasivo
*Activo
11
investigar, comprender procesos, reflexionar, potenciar las capacidades en
la resolución de problemas y salir de la rutina por el uso permanente de los
métodos tradicionales: de inducción deducción y análisis.
Haciendo referencia a las exigencia actuales
“La formación de maestros/as debe ser una educación en la vida,
sustentada en la actividad docente y en la solución de problemas
sociales, garantizando la integración de la teoría y la práctica.......,
para formar maestros/as comprometidos con la satisfacción de las
crecientes necesidades acorde con el entorno social. Método de
enseñanza de la matemática, 2007(http://www.educando.edu.do) 5 de
mayo/ 2012
2.1.3.1 Método heurístico.- Es desarrollar la imaginación en la solución de
problemas después de un proceso de reflexión a mediano plazo empleando
el pensamiento; en otras palabras hay que identificar claramente el problema
para plantear su posible solución descubrir la verdad, practicar actividades
imaginativas poniendo en práctica su iniciativas y perspectiva en resolver los
problemas.
Sus etapas son:
� Descripción de propósitos
� Exploración experimental
� Socialización de resultados
� Evaluación
� Fijación (Pérez, A. 2006, PP 30)
2.1.3.2 Método de solución de problemas.- Es aplicable en el nivel medio
y superior ya que se pone a disposición las habilidades y destrezas de los
estudiantes, una aplicación de este método es: “los 4 pasos de POLYA”
consiste en:
� Comprender el problema
12
� Fijar un plan
� Ejecutar el plan
� Resolver el problema relacionando con otro” o examinar el problema (Guzmán,
M. 1991 .P.80) )
2.1.3.3 Métodos Modernos Tecnológicos.- Lo que permite
desempeñarse con efectividad creando talleres de capacitación
principalmente de las TIC, son medios interactivos que funcionan en parte
con la participación activa del usuario son los más útiles en el aprendizaje
independiente para docentes y extender a los estudiante , pero en la
actualidad en ocasiones sucede lo contrario (Abril, F,M.2004 PP 232)
Proceso metodológico ERCA
1. Experiencia: observación, estímulos de reacción.
2. Reflexión: relaciones de experiencias, el análisis.
3. Conceptualización: abstracción, estructura cognitiva, generalización del
conocimiento.
4 .Aplicación: Uso y transferencia de conocimientos en una situación nueva,
integración de todas las capacidades intelectivas, que permitan generar
conocimientos. Ciclo del aprendizaje (http://www.slideshare.net) PP 21
13
ENTORNO SOCIAL
CULTURAL
Figura 2.4 Proceso metodológico ERCA enseñanza- aprendizaje Fuente: (Rivera, F. Ciclo del aprendizaje. sp)
Innovación y ejemplos de prácticas idóneas.
Este proceso del inter-aprendizaje activo, no solo es, la experiencia,
reflexionar, conocer nuevos conocimientos y aplicarlos, sino que se vuelve
un espiral abierto del aprendizaje educativo y ampliación de nuevos
conocimientos, esto se aplica en todas las áreas o asignaturas de los
procesos andrológicos, de acuerdo a los intereses y necesidades de sus
propios actores principales y secundarios.
Definición y ámbitos de las buenas prácticas ( www.unesco.org )16-febrero-2012
Este proceso educativo para adultos con la misma metodología en el
Sistema Modular ha dado buenos resultados en años anteriores, ya que se
vuelve secuencial, inicial y terminal, la temática generadora está de acuerdo
a los problemas, necesidades, intereses y situaciones de las personas
participantes como en la alfabetización de individuos: Jóvenes y Adultos de
las comunidades rurales, los que no tienen acceso de transporte, no pueden
estudiar en la educación regular (presencial) ,no cuentan con el tiempo
necesario.
“La buena práctica docente es un conjunto de acciones que
desarrolla el profesorado introduciendo mejoras en las
Aplicación
Experiencia
Reflexión
Conceptualización
14
relaciones, procesos y actividades orientados a producir
resultados positivos” Definición y ámbitos de las buenas practicas
(www.unesco.org ) 16-febrero-2012
2.1.3.4 Métodos básicos que se emplean en Matemática.- estos métodos
se apoyan en:
Aplicación de juegos en el aprendizaje.- La función principal es distraer
a los estudiantes mediante dinámicas recreativas donde juegue la
imaginación y se diviertan aprendiendo. Mediante el juego se descubre las
aptitudes, comportamiento, costumbres que orientan y refuerzan conceptos
(Alpilio, w y Pérez 2006 A. PP 32)
Conocimientos históricos.- Se basa en la historia, acontecimientos o datos
sobresalientes para comprender las dificultades del hombre para resolver
problemas del entorno.
Tendencia a representación con figuras geométricas.- Este método es
muy aplicado en matemática porque si no se entendió el problema en el
contenido se lo transfiere a gráficos para su mejor comprensión
específicamente es el material como láminas, carteles, diapositivas con
diagramas, gráficos, tablas que se utiliza en la enseñanza de la matemática.
(Alpilio, w. y Pérez, A. 2006, PP 32)
2.1.3.4.1 Método experimental.- En nuestra área es fundamental poner en
práctica lo cognitivo y destrezas adquiridas donde se apruebe o se rechacen
algunos procesos según la dificultad llegando a ser comprobados.
.
2.1.3.4.2 Método de IBERCIMA (Programa Iberoamericano de Ciencia y
Matemática a nivel medio) Es el más utilizado en la actualidad debido que es
necesario en alguno campos: programar técnicas de estudio, instruye a
docentes especialmente de matemática, es herramienta de apoyo y permite
15
el aprendizaje demostrativo, transformador y está encaminado al
constructivismo.
2.1.3.4.3 Método científico.- Se acomoda a la realidad apartando los
sentimientos y sensaciones; usa la inteligencia para descubrir verdades
relacionarlas, generalizar, verificarlas y por último predice, explica y escribe
sus pasos: observación, recolección de datos, planteamiento del problema
hipótesis, experimentación y conclusión. (Caballero, S.1961 PP 19)
2.1.4 Técnica.- Proceso en el que se emplea métodos, instrucciones e
instrumentos con determinada habilidad y se lo hace en menor tiempo,
energía y dinero es aplicable en cualquier institución (Abril, F,M. 2004 PP 333)
2.1.4.1 Técnicas del aprendizaje activo
Aprendizaje Basado en Problemas (ABP).- Aquí se parte del problema y el
alumno desarrolla su pensamiento en resolverlo aplicando su imaginación.
Se consigue el aprendizaje significativo por estimular el auto aprendizaje,
incrementar el desarrollo de habilidades cognitivas como el pensamiento
crítico, reflexivo, las acciones son elaboradas en grupo, se anima la
responsabilidad, el entusiasmo por aprender mediante el trabajo
cooperativo.( Morales, P. y Landa, V. (2004). Aprendizaje basado en problemas, en
Theoria, Vol.13. PP. 145) (http://web.archive.org)
13 marzo 2012
Método del Caso (MdC).- Debe el estudiante realizar sus propias
conclusiones y contribuir en solucionar los problemas mediante destrezas
adquiridas, la clase se vuelve dinámica por que coordinan el trabajo,
conocimientos adquiridos y el ambiente o entorno.
Enseñanza por proyectos: los estudiantes deben ser capaces de aprender
de sus investigaciones, aplicar conclusiones y recomendaciones, trabajar en
16
grupos cooperativos tal como lo hacen muchos estudiantes de la UTE que
son los protagonistas enfocando principalmente las habilidades y actitudes
Aprendizaje basado en proyectos. Galeana, L. PP1-17 (http://www.eduteka.org ) 15-
Marzo- 2012
2.1.4.2 Técnicas del aprendizaje acelerado.- Dentro de estas técnicas
están las que se relacionan con el funcionamiento del cerebro tanto del lado
derecho y del izquierdo, entre ellas están:
a) Construcción de mapas mentales
b) Relación maestro-estudiante ( Efecto Pigmalión )
c) Aprendizaje Cuántico
d) Inteligencias múltiples
e) Dibujos y Caricaturas
f) Todos podemos ser genios
g) Haciendo del aprendizaje una experiencia agradable que consta de tres
aspectos: cognitivo, psicomotor y afectivo (Oropeza, Moterrubio, R. 2004 ,
sp.)
2.1.5 Estrategias metodológicas.- Son aquellas acciones que nos ayudan
a conseguir las metas planteadas en los diferentes métodos.
Conjunto de técnicas y procedimientos organizados por el profesor con el
objeto de posibilitar en el alumno el procesamiento de la información, ya sea
a nivel profundo, o superficial. Se definen operacionalmente mediante las
respuestas proporcionadas por los profesores al instrumento elaborado
(Truffello, I. y Pérez 1989,sp)( Abril,M.2004, PP 160)
Es decir son actividades que deben hacer durante la etapa de
procesamiento de conocimiento ejemplo: leer, observar, escribir, crear,
definir, diferenciar, comparar, estudiar, analizar, reflexionar para dar posibles
soluciones a problemáticas, existe infinidad de estrategias metodológicas
que se las adapta o aplica según el entorno.
17
2.2 Álgebra
2.2.1 Fundamentos históricos.- Álgebra surgió con los babilonios (XI) por
la preferencia de remediar las dificultades de: cartografía, trueque de los
productos, mediciones topográficas, también aportaron los islámicos y se
fortaleció su acogida en el siglo (XI- XII)
Matemáticos griegos como Eudoxo de Chidos y Arquímedes hicieron un uso
informal de los conceptos de límite y convergencia cuando usaron el método
para calcular el área y volumen de regiones y sólidos. En la India del siglo
XII el matemático Bhaskara concibió elementos del cálculo diferencial, así
como el concepto de lo que ahora conocemos como el Teorema de Rolle
(Punto medio). como surge el álgebra lineal, 2014(http://es.wikipedia.org) 05-10-
2014
En el siglo XIV, el análisis matemático se origina con Madhava, en el Sur de
Asia, quien desarrolló ideas fundamentales como la expansión de series
infinitas, las series de potencias, series de Taylor, y la aproximación racional
de series infinitas. Además desarrolló las series de Taylor de funciones
trigonométricas —seno, coseno, tangente—, y estimó la magnitud de los
errores de cálculo truncando estas series. También desarrolló fracciones
continuas infinitas, integración término a término, y la serie de potencias de
pi. Sus discípulos de la Escuela de Kerala continuaron su trabajo hasta el
siglo XVII.
(http://es.answers.yahoo.com) 18-04-2012
El análisis en Europa se origina en el siglo XVII, en el que Newton y Leibnitz
inventan el cálculo. Ahora sabemos que Newton desarrolló el cálculo
infinitesimal unos diez años antes que Leibnitz. Este último lo hizo en 1675 y
publicó su obra en 1684, aproximadamente veinte años antes de que
Newton se decidiera a hacer lo propio con sus trabajos. Newton había
comunicado la novedad solamente a algunos pocos colegas suyos y de
nada valieron las instigaciones de Halley para que Newton publicara sus
18
trabajos más tempranamente. Esta actitud sirvió de base para crear una
desagradable controversia por el padrinazgo de la idea; discusión que podría
haber sido evitada si otro gran matemático, Fermat, no hubiera tenido
también la inexplicable costumbre de no hacer públicos sus trabajos. En una
carta de Fermat a Roberval, fechada el 22 de octubre de 1636, se hallan
claramente descritos tanto la geometría analítica como el análisis
matemático. En dicho siglo y en el siglo XVIII, ciertos temas sobre el análisis
como el cálculo de variaciones, las ecuaciones diferenciales y ecuaciones en
derivadas parciales, el análisis de Fourier y las funciones generadoras
fueron desarrollados principalmente para un trabajo de aplicación. Las
técnicas del Cálculo fueron aplicadas con éxito en la aproximación de
problemas discretos mediante los continuos trabajos de investigación.
(http://es.answers.yahoo.com) 18-04-2012
Para solucionar los inconvenientes de ecuaciones lineales, cuadráticas y
determinantes participaron los egipcios y babilonios. En la evolución de dar
la respuesta a la gran problemática por aproximación, participó Fibonacci,
René Descartes que caracterizo la teoría de las ecuaciones con normas
legales de seguimiento en los problemas geométrica analítica.
Conforme pasado el tiempo el álgebra ha ido sufriendo cambios en base al
álgebra clásica que usaba símbolos en vez de números, operaciones
aritméticas, lo mismo sucede con las matrices se dice que es el idioma del
álgebra lineal. (http://es.answers.yahoo.com) 20-04-2012
2.2.2 Definición de Álgebra: es una parte de la Matemática que utiliza un
conjunto de números, letras, y signos para poder relacionar a diferentes
operaciones aritméticas. Se origina del latín algebra, y este, a su vez, se
deriva de un vocablo árabe que en español quiere decir “reducción” o
“cotejo”.
(http://definicion.de ) 15-10-2012
19
2.2.3 Tipos de Álgebra: actualmente comprende estructuras que se
agrupan dando lugar a la formación de: grupos, anillos y campos que se
encarga cada una de las algebras como son: álgebra booleana, álgebra
abstracta, álgebra vectorial, álgebra lineal, álgebra diferencial, álgebra
conmutativa, álgebra matrilineal, álgebra básica.
2.2.3.1 Álgebra lineal.- Desde tiempos remotos se origina “por la necesidad
del hombre para explicar algunas actividades” como la igualdad de recursos
en la comunidad que dio lugar a los términos: variables, incógnitas, ecuación
lineal; y de esta manera obtener una distribución de cosechas de manera
equitativa. (http://es.answers.yahoo.com) 21-04 -12
La evidencia histórica de asuntos relacionados con esta asignatura es el
“libro de cálculo” que existe en documentos en el Museo de British (1600 a.C)
cuyo autor es el párroco Ahmes. Se debe señalar que los aportes que
realizaron los babilonios se aplicaron para resolver ecuaciones de primero,
segundo grado, y son complementos para las ecuaciones cuadráticas,
cubicas y se basan en la sustitución. Existen hechos ancestrales sobre los
matemáticos chinos del siglo III y IV se hicieron conocer durante la dinastía
han dado origen al sistema lineal y la solución, es así como hoy todavía se
encuentra vigente el “método de eliminación gaussiana” en la antigüedad se
conocía como la “regla de fan chen”. Los que mantuvieron el pensamiento
lineal fue Leonardo de Pisa(1180-1250) y Fibonacci con planteamientos
lineales de origen griego pitagórico que aportaron en problemas de esta
índole: lenguaje de vectores, espacios vectoriales. El filósofo y matemático
D´Alembert descubrió la solución del sistema AX=B, luego Euler la solución
general de AX=0.(http://aplicacionestesoem.wikispaces.com)22-04-20013
2.2.3.1.1 Origen de matrices y determinantes
Matrices: quien introdujo por primera vez el término “matriz” fue el
matemático inglés Josep Silvester que definió en el año 1850 a la matriz
como “arreglo cuadrilongo de tierra” y fue reconocido después como “arreglo
20
rectangular de términos” y Cayley desarrolló el álgebra matricial dando lugar a
las operaciones básicas, multiplicación de escalares, y mediante
determinante construyo la matriz inversa y verificó la matriz simétrica y la
anti simétrica. Camilo Jordán crea la “forma canoníca de Jordán” que se aplica
hasta la actualidad en sustituciones y combinaciones
(http://aplicacionestesoem.wikispaces.com) )27-04-2012
Determinante: se puede constatar que estos términos ya existían: (300 aC)
se utilizaba la tableta de arcilla o la forma de galleta para solventar las
dificultades; hace unos 200 años antes de Cristo fueron los chinos los que
han estado más cerca que los babilonios en los temas de matrices y
determinantes que se emplean en los sistemas lineales y simultáneos,
tuvieron más impulso en el siglo XVII.
Cramer fue el mentalizador en resolver sistemas de ecuaciones simultaneas
sin calculadora solo mediante el empleo de los coeficientes y dar pie a
medición de orbitas, calcular el número de semillas en un metro cuadrado
mediante los determinantes de una matriz (Luzardo, D. Peña, A.J.2006, pp. 153-
170)
2.2.3.1.2 Definición de matriz
Matriz es un conjunto ordenado de números reales dispuestos en filas o
renglones y en columnas. La matriz C es un arreglo rectangular de orden
mxn se lee “m por n”
NOTACIÓN Las matrices se denotan con letras mayúsculas y sus elementos
con letras minúsculas y subíndices
La matriz C se escribe como C = ( ��� ) =����� para este proyecto se
aplicara los corchetes
Un término cualquiera es ��� donde i señala el número de fila y j el número
de columna (Grossman, S y Flores, J .2012, pp 46-50)
21
C =
��������… ��⋯ ������� ⋮ ���⋯ ���⋮ ⋮ ⋮����� … ���⋯ ���⋮ ⋮ ⋮�����…. ��� �����
����
Las matrices señaladas seguidamente se les conoce como vectores por
constar de una sola fila o una columna, sus elementos se agrupan en [ ]
corchetes rectangulares o en paréntesis también conocidos como signos de
agrupación circular ( ) y se las nombra con letras mayúsculas
Vector horizontal C= � �����… ��� … ����( renglón i)
Ejemplo U= [2 -3 5]1x3 de orden 1 por 3
Vector columna ����������⋮���⋮�����
����(columna j) Ejemplo: B= � 4−1� de orden 2 por
uno
Con el fin de reducir el tiempo y el espacio, la notación de una matriz es
Amxn donde m=número de filas y n = número de columnas, es así el orden
C1X3 y de B2X1 los subíndices señala el tamaño de una matriz ( Daza, M.
1986, sp. ):
2.2.4 Clases de Matrices
Matriz cuadrática: es aquella que tiene igual número de filas y columnas
se denota con orden nxn. Ejemplo. E2X2 donde n=2 Y D3X3 y D n=3
(Muñoz, S,1994, pp171)
22
Ejemplo 1
E2x2= �� −� ! � = 4(6) – 3(-2) = 24+6 = 30
La matriz E la diagonal principal tiene los elementos {4,6}
D3x3 = " � −#� $ �− � # % = −## n es igual a 3= m
En D los números 2, 5 y 1 pertenecen a la diagonal principal. La matriz D es
de orden tres por tres quiere decir el número de filas es el mismo que el de
columnas entonces es matriz cuadrática o cuadrada.
Las matrices, en los ejemplos anteriores tienen como diagonales principales
los números que se encuentran en la raya de color tomate y se deduce que
una matriz en general es “ cuadrada”, Si C tiene en la diagonal principal los
elementos c11, c 22 c 33,……………c.nm;. a más de estar señaladas por la línea,
son los elementos que tienen igual número de fila y columna conforman la
diagonal principal, como los elementos que se encuentran en la ubicación
fila uno y columna uno1,1 fila dos y columna dos 2,2… 3,3………xnn
donde i= j
Ejemplo 2:
Una matriz C de orden n x m es cuadrada si n= m es decir igual número de
filas y columnas
C11 c12 ………………. c1n filas =i o renglones
c21 c 22. ……………………….c2n
Cnxm = C31 .,……………… . .. .c3n
.. ……………………
cn1 …………………………….. cnn
columnas= j
23
Una matriz es diagonal: cuando los términos que no pertenecen a la
diagonal principal son iguales a cero (Sáenz, R.1883, PP 149)
Ejemplo:
S= �1 00 −4� T="1 0 00 2 00 0 30%
Matriz simétrica: una matriz es simétrica si una matriz C tiene cij =cji es
decir “los términos simétricos a la diagonal son iguales” c21=c12, c13 = c31,
c23 = c32,…
Matriz transpuesta: se simboliza con la misma letra con una t como
exponente y se halla intercambiando filas por columna se simboliza como At
(Sáenz, R.1883, PP 149)
Ejemplos: escribir las matrices transpuestas de las matrices P, O y C
) = � �� $� O= " 1 2 −52 0 4−5 4 3 %
Matriz de productos C =�+,+,- ./012./012 �,3456-�
Las matrices transpuestas son las mismas matrices iniciales
Pt= ) = � �� $�
0t = 0= " 1 2 −52 0 4−5 4 3 %
Ct = �+,+,- ./012./012 �,3456-� = C
Se concluye diciendo que son matrices simétricas P, O, y C
24
Matriz Identidad: se denomina así cuando los elementos de la diagonal
principal son iguales a uno es decir los elementos aij=1 donde i= j, y lo demás
elementos son ceros donde i7 j (Zill, D. y Dewar J. 1996.PP 431)
A =
�����
,,�,8 ………… . . ,�,�,��,� ………… . . ,� ,8,8�,88 ………… . . ,�,�,��,�8 ………… . . ,�� ���
���es una matriz identidad si
,,,��, ,88 y ,�� = 1 y los otros elementos fuera dela diagonal son ceros
Ejemplo
X= �1 00 1� es una matriz identidad de segundo orden 2x2
Y= "1 0 00 1 00 0 1%matriz identidad de tercer orden 3x3
Matriz nula: se le identifica por tener todos los elementos igual a cero
(Sáenz, R.1883, PP 143)
R = "0 0 00 0 00 0 0%
Matriz inversa: se simboliza con la misma letra de la matriz inicial y se le
eleva al exponente menos uno P-1. Una matriz cuadrada tiene inversa del
mismo orden, cuando el producto de la matriz inicial por su inversa es igual a
la identidad del mismo orden. (Daza, Marlene, cuaderno de trabajo UC. 1986 Quito)
P x P-1= I ( I=matriz identidad)
P=�+ +�+� +���
Proceso para encontrar la matriz inversa P-1
1. Hallar el determinante de la matriz inicial en este caso : Determinante de P
es igual a la diferencia de los productos de los elementos de las diagonales
como se muestra a continuación Det (A) = IPI = ++�� − +�+��
25
2. Se invierte los elementos de la diagonal principal (flecha gruesa Azul) los
números que corresponden a la posición p11 y p22 y los de la diagonal
secundaria se cambian los signos de p21 y p12 (flecha delgada color rojo) o
conocida como la matriz adjunta de orden 2x2 que es la transpuesta de la
matriz P pero los elementos que no están en la diagonal principal con signos
cambiados
Adj (P) =�+�� −+�−+� +� 3. La inversa de una matriz: si el determinante IPI ≠ 0 entonces la inversa
de P está definida de la siguiente manera:
P-1 = |;| Adj(P)
P-1 = |;| �+�� −+�−+� +� = <==<>>?<>=<>> �+�� −+�−+� +�
El producto de matrices PxP-1 =( P-1)x P =I( Grossman, S y Flores, J .2012, pp210-
212)
Ejemplo: encontrar la inversa de B: Si B= � �� $� El determinante de B es: IBI= (3)(5) – (2)(4) = 15 -8 = 7
Adj (B)= �5 −4−2 3 � Entonces B-1 =
@ABCAdj(B) = I �5 −4−2 3 � = �5/7 −4/7−2/7 3/7 �
Verificación: BxB-1 = I
Donde I de orden 2x2
FILAS COLUMNAS
BxB-1 = � �� $� �$/L −�/L−�/L /L � = I
Se multiplica cada número de la fila de la primera matriz B por cada uno de
los números de las columnas de la segunda matriz B-1 como indican las
flechas, este procedimiento se comprenderá mejor cuando se trate el
26
producto de matrices, el PARÉNTESIS indica que hay que multiplicar y luego
realizamos las sumas y restas según la jerarquía de operaciones
BxB-1 = M N$LO + � N− �LO N− �LO + � N LO� N$LO + $ N− �LO � N− �LO + $N LO Q
BxB-1 = � (#$ − R)/L (−#� + #�)/L(#S − #S)/L (−R + #$)/L � =�L/L SS L/L�
Simplificando los elementos de la matriz se obtienela matriz identidad
T = �# SS #� (Zill,D. y Dewar J. 1996.PP 462-464)
2.2.4.1 Operaciones de Matrices
2.2.4.1.1 Suma de matrices: para sumar dos o más matrices hay que tomar
en cuenta que el orden (mxn) de las matrices sea el mismo; si son de
orden diferente no se puede realizar la suma
Proceso: al sumar se trabaja con cada uno de sus elementos como muestra
a continuación, se suma los elementos de igual posición o localización en
las matrices. (Zill,D. y Dewar J. 1996.PP 445)
Sumar dos matrices de orden mxn donde C = ����� y A=�,���la suma de C y
A es una matriz mxn, C+ A esta dada por
C=
��������… ��⋯ ������� ⋮ ���⋯ ���⋮ ⋮ ⋮����� … ���⋯ ���⋮ ⋮ ⋮�����…. ��� �����
���� A=
�����,,�… ,�⋯ ,�,�,�� ⋮ ,��⋯ ,��⋮ ⋮ ⋮,�,�� … ,��⋯ ,��⋮ ⋮ ⋮,�,��…. ,�� ,����
����
27
C+A = ���� + ,��� =������ + ,�� + ,�… �� + ,�⋯ �� + ,��� + ,���� + ,�� ⋮ ��� + ,��⋯ ��� + ,��⋮ ⋮ ⋮��� + ,����� + ,�� … ��� + ,��⋯ ��� + ,��⋮ ⋮ ⋮�� + ,���� + ,�� ��� + ,�� ��� + ,����
����
C + A se obtiene al sumar las componentes correspondientes de las dos
matrices.(Grossman, S y Flores, J .2012, pp 48-53)
EJEMPLO
• Sumar las matrices P+S de orden 2x2
) = � �� $� S=�1 00 −4�
P+S =�3 + 1 2 + 02 + 0 5 − 4�= �4 22 1�
• Sumar las matrices T+O cuadradas de orden 3x3
T="11 0 00 2 00 5 30% O= " 1 2 −52 0 4−5 5 −30%
T+O = "1 + 1 0 + 2 0 − 510 + 2 2 + 0 0 + 40 − 5 5 + 5 30 − 30%
T+O =" 2 2 −512 2 4−5 10 0 %
Como una aclaración no puedo sumar LAS MATRICES P+O y S+T porque el
orden es diferente (Zill,D. y Dewar J. 1996.PP 445)
2.2.4.2 Propiedades de la suma 1. Conmutativa A + B = B + A
2. Asociativa A +UB + CW = UA + BW +C
28
3. Clausurativa A + B Son matrices reales entonces el resultado pertenece a
los reales
4. Modulativa A + O = A donde O Es una matriz nula
5. Invertiva B + U−BW = 0 es decir es la matiz inversa aditiva donde B
tiene los mismos elementos que –B pero con signo contrario
2.2.4.3 Demostración de dos propiedades 1. Conmutativa A + B = B + A Demostración
Sea A = �,��� mxn y B = �X��� mxn son matrices reales, entonces A + B = �,�� +X�� � mxn Es una matriz real porque si sumo dos números reales el
resultado es otro número real
De igual forma si se suma las matrices B y A, Se tiene que B + A=�X�� +,��� mxn) X�� +,�� que son números reales
La suma de números reales ,�� +X�� =X�� +,�� orden de los sumandos no
altera la suma total
Entonces se tiene que A + B =�,�� +X��� mxn = B + A= �X�� +,��� mxn
cumple la propiedad conmutativa.
2. Asociativa A +UB + CW = UA + BW +C Sea A = �,��� mxn y B = �X��� mxn
Demostración
A, B y C son matrices reales
A = (aij ) mxn , B = ( bij ) mxn y C ( cij ) mxn
A +UB + CW = aij +�X�� + cij� mxn = aij + bij + cij UA + BW +C = �,�� + bij� + cij = aij + bij + cij
Como se cumple la propiedad asociativa de números reales, se obtiene
resultados iguales aij + bij + cij = aij + bij + cij entonces se cumple la propiedad
asociativa de suma de matrices A +UB + CW =UA + BW +C
29
2.2.4.3.1 Resta de matrices: para restar dos matrices, la matriz minuendo
se mantiene los signos, basta con cambiar los signos a todos los elementos
de la matriz del sustraendo (multiplicar por -1 a la matriz sustraendo) y se
efectúa la suma respectiva. NOTA: las matrices deben tener igual dimensión
es decir de igual orden (Zill, D. y Dewar J. 1996.PP 445)
Si tenemos dos matrices A Y B de orden mxn, se quiere restar B de A
Primeramente se utiliza el inverso aditivo de B (que es igual a multiplicar
(-1) por la matriz B
Inverso aditivo de B = (-1) B = -B que es la matriz sustraendo
Por definición de restas de matrices:
A - B = A+ (-B) = �,�� + (−X��)� mxn =�,�� − bij� mxn
Ejemplo: encontrar la matriz O-T
T = "11 0 00 2 00 5 30% O = " 1 2 −52 0 4−5 4 −30%
Las matrices tienen el mismo orden 3x3, por lo que la matriz resultante
tendrá el mismo orden
Cambio de signo a todos los elementos de la matriz T por ser el sustraendo.
O lo que es lo mismo multiplicar por menos uno, toda la matriz
SUSTRAENDO
-T= (-1) T = (−1) "11 0 00 2 00 5 30% = "−1 0 0−10 −2 00 −5 −30%
Por definición de resta de matrices O – T = O + (-T)
30
O - T = " 1 − 1 2 − 0 −5 − 02 − 10 0 − 2 4 − 0−5 − 0 4 − 5 −30 − 30%
Se realiza la suma algebraica luego de haber cambiado los signos de la
matriz que desea restar y se obtiene el resultado
0-T= " 0 2 −5−8 −2 4−5 −1 −60% Respuesta es una matriz cuadrada de orden 3 por 3
2.2.4.3.2 Multiplicación de un escalar por una matriz: un número real R
cualesquiera representa un escalar, se multiplica el escalar por todos y cada
uno de los elementos de la matriz: Si A = (aij) mxn y k cualquier número real,
Producto escalar kA = (kaij) mxn (Zill, D. y Dewar J. 1996.PP 446):
Ejemplo: O es una matriz cuadrada de orden tres por tres y ` es un escalar
O = " 1 2 −52 0 4−5 4 −30% y el `=4
`x O = 4" 1 2 −52 0 4−5 4 −30%
`xO = M4 4(1) 4(2) 4(−5)(2) 4(0) 4(4)4(−5) 4(4) 4(−30)Q
` x O = " 4 8 −408 4 16−20 16 −120% Respuesta
31
Ejercicios: Con los estudiantes formar grupos y decirles que organicen una
matriz con los integrantes una de dos por tres solo mujeres y otra con
hombres tres por dos pedirles que realicen en la pizarra un producto
matricial; luego utilizar material concreto: como un escalar una mesa y la
matriz de hombres solicitar que ejecuten el producto escalar.
Ejemplo: la matriz H de orden mxn donde m= 3 que es el número de filas
por n= 2 que señala el número de columnas (Daza, M. 1986. U.C sp)
H3X2 ="bcde PEDROjckl mdnjolpnkm qdr % escalar= (mesa) Multiplicando un escalar por la matriz H de orden 3 por 2
Mesa Us8t�W = "bcde upvnojckl mdnjolpnkm qdr %
Se multiplica el escalar por todos y cada uno de los elementos de la matriz
MesaUs8t�W = "wxyz{|}~ wxyz)����wxyz�|T� wxyz�}����wxyz��T� wxyz�}� %
Utilización de material concreto
Los estudiantes tienen la capacidad de asimilar los ejercicios con objetos
concretos por lo que podemos pedirles que traigan frutas, hortalizas, útiles
escolares y que formen matrices: cuadráticas, rectangulares, identidad,
diagonal, la transpuesta de determinada matriz y mediante la creatividad
formaran varias matrices y podrán demostrar cada una de las clases de
matrices e incluso podrá realizar la operaciones, comparando con los
enunciados anteriores se podrán inferir y sacar conclusiones.
32
Producto escalar: el producto escalar de dos vectores de igual tamaño o
dimensión es un escalar (es decir, un número) comúnmente se lo conoce
como producto interno o producto punto
Sean los vectores A y B dos vectores columna con igual número de
componentes
Sea A =
����,,�,8⋮,����
�� y B =
����XX�X8⋮X���
��� El producto escalar se denota A. B = ,X +,�X� +,8X8 +⋯……… .+,�X�
por definición es un número.
Si A= U,,�,8 ……,�W; A es vector renglón B vector columna de
igual dimensión .Se obtiene el mismo resultado �. � = ,X +,�X� +,8X8 +⋯……… .+,�X�
2.2.4.3.3 Producto de dos matrices: se define el producto de las matrices
Cmn por Anp si y solo si el número de columnas de la primera es igual al
número de filas de la segunda matriz, es decir n=n. El producto total se
consigue multiplicando cada uno de los elemento de las filas, por los
elementos de las columnas y el orden es mxp entonces las “matrices son
compatibles·”
Se debe aclarar que el producto de matrices no es conmutativo es decir
CAmp es diferente del producto ACpn siempre y cuando m=p (Zill,D. y Dewar J.
1996.PP 448)
33
(renglones i de C)por (columna j de A)
C=
��������… ��⋯ ������� ⋮ ���⋯ ���⋮ ⋮ ⋮����� … ���⋯ ���⋮ ⋮ ⋮�����…. ��� �����
����
A=
�����,,�… ,�⋯ ,<,�,�� ⋮ ,��⋯ ,�<⋮ ⋮ ⋮,�,�� … ,��⋯ ,�<⋮ ⋮ ⋮,�,��…. ,�� ,�<��
����
Si C =�����es una matriz orden mxn y A =U,ijWde orden nxp se concluye
que el resultado de Cx A es otra matriz X de orden mxp; siempre y cuando
el número de filas o renglones de la primera matriz sea igual al número de
columnas de la segunda matriz.
Entonces una fila de la matriz nueva equivale a la suma de los productos
entre cada termino del renglón i de C por cada término de la columna j de A
X = (renglón i de C) . (Columna de j de A)
Generalizando
X = ����� mp = ��� × ,� + ��� × ,�� + ��8 × ,8��⋯…….���� × ,��� X = producto de las matrices C por A =�����U,ijW Entonces la respuesta: R= [�ij j] mp (Grossman, S y Flores, J .2012, pp 62-70)
Ejemplo 1: Si la matriz C tiene orden 3x2 y D es de orden 2x3 entonces la
matriz CxD es 3x3. Sea C3X2="2 −10 34 3 % y D2X3=�1 2 −32 3 5 � UCxDW3x3 =M 2.1 − 1.2 2.2 − 1.3 (2. −3) − 1.50.1 + 3.2 0.2 + 3.3 (0. −3) + 3.54.1 + 3.2 4.2 + 3.3 (4. −3) + 3.5 Q
34
UCxDW3x3 = " 0 1 −116 9 1510 17 3 %
EL PRODUCTO MATRICIAL no tiene la propiedad conmutativa, nótese que
CXD ≠ DXC (Sáenz, Rolando, 1998 .pp 158-160)
UDxCW2X2=�1 2 −32 3 5 � "2 −10 34 3 % UDxCW2X2 = �1.2 + 2.0 + (−3)42.2 + 3.0 + 5.4 1(−1) + 2.3 + (−3)32(−1) + 3.3 + 5.3 � UDxCW2X2 = �2 + 0 − 12 −1 + 6 − 94 + 0 + 20 −2 + 9 + 5� = �−10 −424 12� 2.2.4.3.4 Ecuación lineal o de primer grado
2.2.4.3.4.1 Definición de ecuación: es una igualdad matemática entre dos
expresiones algebraicas que tienen por lo menos una incógnita o valor
desconocido, y valores conocidos (números, coeficientes o constantes).
Estas expresiones se les conocen como miembros de la ecuación. Las
incógnitas se calculan mediante procesos que emplean las operaciones
básicas
Miembros de una ecuación: son expresiones que se encuentran en cada
lado del signo de la igualdad. Se llama primer miembro de una ecuación o de
una identidad a la expresión que se encuentra a la izquierda del signo de la
igualdad, y la expresión que está a la derecha del signo de la igualdad se
denomina segundo miembro.
Los datos: son valores conocidos que pueden ser números, constantes,
coeficientes o variables que son generalmente las primeras letras del
abecedario: a, b, c, d, e.
35
Las incógnitas: representan valores desconocidos se les simboliza con las
últimas letras del abecedario alfabeto u, w, x, y, z que se intenta hallar su
valor.
Términos: son las cantidades o expresiones algebraicas que están
relacionadas con otras mediante los signos + o – y también puede ser la
cantidad que se encuentran sola en un miembro.
Grado de una ecuación: si tiene una sola incógnita está dado por el mayor
de los exponentes, si es 1 es de primer grado, si es 2 es de segundo grado y
así sucesivamente.
Raices o soluciones: son los valores que verifican o satisfacen una
ecuaciòn. (Galdós, L. 1989. Pp 329-330)
Ejemplo: la ecuación x+8 = 10
Primer miembro x+8
Segundo miembro 10
La incógnita es la letra x
Los valores conocidos son 8 y 10
Los términos son tres x,8 y 10
El grado de la incógnitas es de primer grado por que el exponente de la x es
uno
La raíz o soluciòn es 2 porque sólo para ese valor se cumple la ecuación
inicial
2.2.4.3.4.2 Ecuación lineal (notación) Una ecuación de la forma
,� + ,��� +,8�8�…………..+,��� = b es una
ecuación lineal con n incógnitas �, ��,…………..��
Donde ,, ,�, ,8…………..,� y b son
constantes
Y el grado mayor que tiene x es uno
36
2.2.4.3.4.3 Ecuación lineal con una incógnita
La ecuación de primer grado con una incógnita está representada de la
forma:
ax + b = 0
Donde a 7 0 y a, b son constantes arbitrarias
tiene única solución x= - ��
En consecuencia para resolver una ecuación de primer grado con una
incógnita se transpone todos los términos que tienen la incógnita a un
miembro de la ecuación y al otro miembro los términos conocidos
Ejemplo: Resolver la ecuación 5x +16 = -x+4
• Transposición de términos 5x + x = 4 -16
• Reducir términos semejantes 6x = -12
• Despejar el valor de x x = -12/ 6 dividiendo x = -2
2.2.4.3.4.4 La ecuación lineal o de primer grado con dos incógnita
La función lineal con dos incógnitas se representa por la expresión,� +X� + �, Donde a, b7 0 y su grafica es una línea recta.
La función lineal ,� + X� + � se transforma en ecuación de primer grado o
lineal con dos incógnitas, si la función se iguala a cero ,� + X� + � = 0(1) y además cumple las dos siguientes características:
• a, b7 0
• Si a, b y c son constantes y los literales x, y son las incógnitas
(Lehmann, Ch.1980, pp 84-98)
2.2.4.3.5 Sistema de ecuaciones lineales
En matemática un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o
más ecuaciones de primer grado con varias incógnitas que forman un
problema matemático, donde se debe calcular el valor de las incógnitas.
37
2.2.4.3.5.1 Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
Se llama sistema de ecuaciones lineales al tener dos ecuaciones con dos
incógnitas (cantidades desconocidas) se lo representa de la siguiente
forma∶ ,� + ,�� = X Sistema 1 ,�� + ,��� = X� Donde ,,,�, ,�, ,��,son coeficientes X�X� Son números dados, términos libres, o los segundos miembros de
las ecuaciones
Se tiene tres casos de sistemas:
i) El sistema es consistente y las ecuaciones independientes. La solución
del sistema es única, común, es un par ordenado de números reales (x, y)
que satisfacen las ecuaciones. (Las rectas se intersecan en un punto) ,,��? ,�,� 7 0
ii) El sistema es consistente pero las ecuaciones son dependientes. Tiene
infinitas soluciones (las rectas coinciden),,��? ,�,� = 0
iii) El sistema es inconsistente. No tiene solución. (Las rectas son paralelas)
(Grossman, S y Flores, J .2012, pp. 1-6)
2.2.4.3.5.2 Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas
Se denomina sistema de tres ecuaciones con tres incognitas a toda terna de
ecuaciones de primer grado con tres incógnitas ,� + ,�� + ,8� = � ,�� + ,��� + ,�8� = ��Sistema 2 ,8� + ,8�� + ,88� = �8 En este sistema de tres ecuaciones, las incógnitas son x, y, z, representan
las cantidades desconocidas que se tiene que hallar y las letras,,
38
,�, �,8son cantidades arbitrarias. Las tres ecuaciones determinan tres
planos.
Los términos independientes o libres son los que no están relacionados con
las incógnitas en este caso son los segundos miembros �, ��, ��8La
solución del sistema es una tripla ordenada (x, y, z) o terna de valores que
satisfacen cada una de las ecuaciones del sistema.
2.2.4.3.5.3 Aplicación de la teoría de matrices en la resolución de
sistemas de ecuaciones lineales. Para resolver estos sistemas existe
varias formas pero en este capítulo se aplica matrices, se forma
primeramente la matriz de coeficientes mediante la siguiente notación:
En el sistema (1) de dos ecuaciones con dos incógnitas la matriz de
coeficientes es: � , ,�,� ,��� Para el sistema (2) de tres ecuaciones con tres incógnitas la matriz de
coeficientes es:
",,�,8,�,��,�8,8,8�,88 %
Matriz aumentada: es una notación matricial que consta igual que la matriz
de coeficientes pero se incrementa la columna de los términos
independientes o los segundos miembros como sigue a continuación:
Matriz aumentada del sistema (2)M,,�,8|�,�,��,�8|��,8,8�,88|�8Q
39
2.2.4.3.5.3.1 Método de Gauss.- Matriz escalonada
Para resolver mediante este método se aplica las operaciones
elementales:
1. Intercambiar entre si dos filas de la matriz:
~Fi← Fj
B=�3 45 6� B=�5 63 4�
2. Sustituir una fila por sí misma, multiplicar F por un escalar distinto de cero ~&Fi← Fj ; B=�3 45 6� Donde & es un número real distinto de cero.
~3F2← F2 = 3 �3 45 6� = � 3 415 18�
3. Sumar o restar a una Fila otra Fila multiplicada por un número
real (escalar) , ~&Fj + Fi← Fj
~2F2 + F1← F2 = � 3 413 16�
Con este método se trata de eliminar en base a la primera ecuación la
primera incógnita x de las restantes por + o -; se toma el primer término de la
ecuación uno c11x1 conocido en el álgebra como pivote, porque el primer
término se va eliminando de las siguientes ecuaciones, luego se utiliza el
primer término de segunda ecuación para eliminar de las restantes y así
sucesivamente se aplica este proceso para formar la matriz escalonada.
Sistema de m ecuaciones con n incógnitas
C11x1 + c12 x2 +………………….+ c1n xn = b1 filas
c21 x2 + c 22.x2 ………………………… + c2n xn = b2
40
C31 x3 + .……………………… + c3n xn = b3
…. ……………………… ….. …
C m1 x1 + cm2x2 ……………………..c mn xn = bm
Sea C11 x1 de la ecuación inicial el pivote sistema inicial, para eliminar en la
segunda el primer término ecuación tendremos:
C11 x1 + c12 x2 +………………………+c1n xn = b1filas
C* 22.x2 +………………………. + c*2n xn = b2*
C**33 x3 + …… ….+ c**3n xn = b3**
……………………… ….. …
C**m2x2 + …………+c** mn xn = bm**
Luego se elimina el primer término en la ecuación tres y así sucesivamenteí
se sigue el proceso sucesivamente hasta que el sistema quede en la forma
escalonada.
C11x1 + c12 x2 +……………………….+.c1n xn = b1filas
C* 22.x2 +………………………. + c*2n xn = b2*
C**33 x3 + …………+ c**3n xn = b3**
…………. ….. …
……… +ck pn xn = bkp
(Sáenz Rolando,1983pp151-174)
41
Análisis del método de Gauss
1.- Si al realizar las eliminaciones de las incógnitas en forma escalonada de
los primeros términos del sistema se obtiene un absurdo es decir: 0= t, t es
cualquier número real entonces el sistema no tiene solución el sistema es
incompatible tiene 4 posibilidades:
• Los tres planos son paralelos.
• Dos planos paralelos y otro que los corta.
• Plano paralelo a la línea de corte de los otros dos.
• Dos planos superpuestos y otro paralelo.
2.- Si p = n. Si el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.
El sistema tiene solución única xn =������ si y solo si los tres planos se cortan
en un solo punto, es decir se intersecan las tres ecuaciones en un solo
punto o existe un haz de planos
3.-Si p < n es decir menos ecuaciones que incógnitas en la forma
escalonada, entonces el sistema tiene infinitas soluciones el sistema es
compatible indeterminado quiere decir:
• Son tres planos superpuestos.
• Existe un haz de planos
• Dos planos superpuestos y otro que los corta
Para encontrar una de las incógnitas, lo que se hace es dar valores
particulares a las variables libres (es toda variable que no aparece al inicio
de una ecuación de izquierda a derecha) y se va encontrando el valor de
cada variable dependiente.
Ejemplo x+ y + z =5 2y+6z=10 p < n, z = variable libre
(Daza, M.1986.U.C.sp)
En resumen: El Método de eliminación de Gauss aplicado a una matriz, la
transforma en una matriz equivalente que es escalonada por filas. Consiste
en los siguientes pasos:
42
Paso 1: Si es necesario, intercambiar la primera fila con otra, para que la
primera columna que no sea de ceros tenga un elemento no nulo en la
primera posición, el número 1.
Paso 2: Sumar a cada fila un múltiplo adecuado de la primera, de manera
que la primera columna que no sea de ceros tenga sólo un elemento no
nulo: el de la primera fila.
Paso 3: Ignorando temporalmente la primera fila, repetir todo el proceso con
las restantes filas. (Daza, M.1986.U.C.sp.)
Aplicación del método de Gauss por eliminación: plantear las ecuaciones y
resolver el sistema en el siguiente problema
PROBLEMA
Se concentran en un polideportivo 30 personas entre hombres, mujeres y
niños. Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el
doble de los niños. También se sabe que entre hombres y mujeres se
duplican al número de niños. Encontrar el número de personas: hombre,
mujeres, y niños que ingresaron al polideportivo
DATOS:
Según el problema las incógnitas son
x= número de hombres
y= número de mujeres
z= número de niños
SOLUCIÓN:
Planteo de las ecuaciones
1.- Primera ecuación Se concentran 30 personas en un polideportivo entre hombres, mujeres y niños:
x + y + z = 30
43
2.- Segunda ecuación Se conoce que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los niños:
x + 3y = 2z +20 realizando transposición de términos x + 3y + 2z = 20
3.- Tercera ecuación
También se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número de niños:
x + y = 2z ordenando x + y - 2z = 0
Entonces el sistema planteado es
p�¡,�¢4£6-(1)(2)(3) x + y + z = 30x + 3y − 2z = 20x + y − 2z = 0
Matriz de coeficientes"1 1 11 3 −21 1 −2% matriz aumentada"1 1 11 3 −21 1 −2
⋮ 30⋮ 20⋮ 0 %
Aplicamos Gauss, restando la primera ecuación a las dos siguientes:
~F2 − F1← F2 = "1 1 10 2 −31 1 −2⋮ 30⋮ −10⋮ 0 %
~F3 − F1← F3 = " 1 1 12 −3−3
⋮ 30⋮ −10⋮ −30% El sistema en forma escalonada ~−1/3F3← F3 = " 1 1 12 −31
⋮ 30⋮ −10⋮ 10 % Por lo tanto obtenemos que z = 10 de la tercera ecuación despejando z
44
~3/2F3 + F2← F2 = " 1 1 11 1
⋮ 30⋮ 10⋮ 10% Entonces y = 10 Reemplazando z=10 , y=10 en la ecuación 1 se obtiene que x=10 x + y + z = 30;
Solución única del Sistema COMPATIBLE DETERMINADO es¦� = 10� = 10� = 10
RESPUESTA: el número de mujeres, de hombres y el número de niños es igual a 10 personas EJERCICIOS: 1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones
x + 3y + 4z = 1F1x + y = 2F22x + 4y + 4 = 3F3
La matriz ampliada del sistema es:
"1 +3 41 +12 4 4⋮ 1⋮ 2⋮ 3%
~F2 − F1← F2 = " 1 +3 4−2 −42 4 4⋮ 1⋮ 1⋮ 3%
~F3 − 2F1← F2 = " 1 +3 4−2 −4−2 −4⋮ 1⋮ 1⋮ 1%
~F3 − F2← F3 = " 1 +3 4−2 −4 ⋮ 1⋮ 1⋮ %
Como el número de ecuaciones ( 2) es menor que el número de incógnitas
(3) el sistema es COMPATIBLE INDETERMINADO tendrá infinitas
soluciones
De la ecuación 2 se despeja y: y=�§¨?� =
??§¨?�
45
Reemplazamos el valor de y, en la ecuación F1 x + 3 N−1−4�−2 O + 4z =1 2x − 3y − 124z + 8z = 2
2x - 4z = 5
Despejando x =©�§¨� ; y=
??§¨?�
Como las incógnitas x, y están en función de z, para todo valor z
perteneciente a los números Reales entonces la x, y: serán otros números
reales.
Si z = 0
x = 5/2
y = ½ Una de sus respuesta es: (x, y, z) = (5/2, ½, 0)
2. Encontrar la solución del sistema del sistema de tres ecuaciones con tres
incógnitas −1� +2� −3�−1� +8� −27�2� −2� −2�
= −2 F1= 0 F2= 2 F3
La matriz ampliada del sistema es:
"−1 +2 −3−1 +8 −272 −2 −2⋮ −2⋮ 0⋮ 2 % ~F2 − F1← F2 = "−1 +2 −3+6 −242 −2 −2
⋮ −2⋮ 2⋮ 2 % ~F3 + 2F1← F2 = "−1 +2 −3+6 −24 2 −8
⋮ −2⋮ 2⋮ −2% F2← F3 = "−1 +2 −3+2 −8 6 −24⋮ −2⋮ −2⋮ 2%
~F3 − 3F2← F3 = "−1 +2 −3+6 −24 0⋮ −2⋮ −2⋮ 8%
El sistema es INCOMPATIBLE no tiene solución porque se obtiene un
absurdo 0 = 8
46
2.2.4.3.5.3.2 Método de Gauss Jordán es un algoritmo del álgebra lineal
para determinar las soluciones de ecuaciones lineales trabaja solo con los
coeficientes de las incógnitas y términos independientes, se le conoce como
la matriz aumentada si bien el método de Gauss obtiene soluciones del
sistema mediante la reducción del sistema inicial en otro equivalente en el
que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior; es decir la
matriz de coeficientes la transforma en una matriz triangular superior, el
método de Gauss Jordán continua con el proceso y le transforma en una
matriz diagonal
(Zill,D. y Dewar J. 1996.PP 468-472)
EJEMPLO 1:
Resolver el siguiente sistema lineal ¦� + 2� + � = −64� − 2� − � = −42� − � + 3� = 19
Matriz aumentada = "1 2 1 ⋮ −64 −2 −1 ⋮ −42 −1 3 ⋮ 19%
Primeramente transformar la matriz aumentada del sistema de ecuaciones
lineales en una forma escalonada mediante operaciones elementales
Empezamos usando la primera fila para introducir cero debajo de la primera
fila los términos cuya posición son 2,1; 3,1 y 3,2 para que se convierta en
matriz diagonal superior
"1 2 1 ⋮ −64 −2 −1 ⋮ −42 −1 3 ⋮ 19%
~−4F1 + F2← F2 = "1 2 1 ⋮ −60 −10 −5 ⋮ 202 −1 3 ⋮ 19%
47
~−2F1 + F3← F3 ="1 2 1 ⋮ −60 −10 −5 ⋮ 200 −5 1 ⋮ 31%
~− �ª�+ F3 ← F3 = "1 2 1 ⋮ −60 −10 −5 ⋮ 200 0 7/2 ⋮ 21%
Se convierte el término de posición 2.2 de la diagonal principal en uno
~− «ª� ← F2 ="1 2 1 ⋮ −60 1 1/2 ⋮ −20 0 7/2 ⋮ 21%
Y queda transformada en Forma escalonada o en forma de matriz
triangular superior al multiplicar el termino 7/2 por 2/7. Todos los términos
bajo la diagonal principal son ceros
~2/7F3← F3 = "1 2 1 ⋮ −60 1 1/2 ⋮ −20 0 1 ⋮ 6 %
Por ultimo Hacemos ceros los términos de posición 1,2; 1,3 y 2,3 es decir los
números 2, 1 y 1/2
~−2F2 + F1← F1 = "1 0 0 ⋮ −20 1 1/2 ⋮ −20 0 1 ⋮ 6 % Y llegamos a la reducción de la matriz aumentada, esta transformada en la
matriz diagonal o en forma de matriz escalar reducida donde cada
ecuación tiene como pivote el uno, o cada columna es igual a uno
~− �F3 + F2← F2 = "1 0 0 ⋮ −20 1 0 ⋮ −50 0 1 ⋮ 6 %
Tenemos que la solución es todos los elementos de la derecha según el
orden de las incógnitas (Zill, D. y Dewar J. 1996.PP 468-472)
48
Solución =¦¬ = −2 = −5® = 6
El sistema es COMPATIBLE DETERMINADO, los tres planos se cruzan en
el punto: (-2,-5,6) en tres dimensiones y la solución es única porque cada
uno de sus columnas tiene como pivote el uno
EJEMPLO 2:
Encontrar las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:
¦ � + � + � = 7� − � + � = 32� + 2� + 2� = 10
Matriz ampliada o aumentada: "1 1 1 ⋮ 71 −1 1 ⋮ 32 2 2 ⋮ 10%
~F1 − F2← F2 = "1 1 1 ⋮ 70 2 0 ⋮ 42 2 2 ⋮ 10%
~−ª8� + F1← F3 = "1 1 1 ⋮ 70 2 0 ⋮ 40 0 0 ⋮ 2%
Como ya se tiene un absurdo es decir 0 = 2 ya no hay necesidad de seguir
resolviendo ya se deduce que el sistema no tiene solución es un sistema
INCOMPATIBLE
Pero podemos continuar eliminando o haciendo ceros:
~−ª�� + F1← F13 ="1 0 1 ⋮ 50 1 0 ⋮ 20 0 0 ⋮ 2%
49
No se puede llegar a la matriz identidad de la matriz de los coeficientes o a
la forma de matriz escalonada reducida para ver que cada columna tenga
como pivote el uno especialmente la tercera columna.
EJEMPLO 3:
Identificar la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones:
¦� − � + � = 5¯1� + 3� + � = −9¯2� − 9� + 5� = 33¯3
Matriz ampliada o aumentada: "1 −1 1 ⋮ 51 3 1 ⋮ −91 −9 5 ⋮ 33%
Eliminamos el término de la posición: 2,1
~F2 − F1← F2 = "1 −1 1 ⋮ 50 −4 2 ⋮ 141 −9 5 ⋮ 33% Simplificamos la fila dos
~½F2← F2 = "1 −1 1 ⋮ 50 −2 1 ⋮ 71 −9 5 ⋮ 33%
Haciendo cero el término de posición: 3,1 ~F1 − F3← F3 = "1 −1 1 ⋮ 50 −2 1 ⋮ 70 8 −4 ⋮ −28% Simplificando F3 ~½F3← F3 = "1 −1 1 ⋮ 50 −2 1 ⋮ 70 2 −1 ⋮ −7% ~F2 + F3← F3 = "1 −1 1 ⋮ 50 −2 1 ⋮ 70 0 0 ⋮ 0% ~−½F2← F2 = "1 −1 1 ⋮ 50 1 −1/2 ⋮ −7/20 0 0 ⋮ 0 %
50
~F1 − F2← F1 = "1 0 1/2 ⋮ 3/20 1 −1/2 ⋮ −7/20 0 0 ⋮ 0 %
El sistema es COMPATIBLE INDETERMINADO por que 0 = 0 donde z
puede tomar cualquier valor por lo que el sistema tiene infinitas
soluciones el sistema de ecuaciones quedaría así:
± � +� � = 8�� − � � = − I�-¢� = ²
Entonces Conjunto solución = ± ® = ² = − I�+ � ²¬ = 8�− � ²
2.2.4.3.6 Función Determinante: el determinante puede hallar solo de
“matrices cuadradas” son las matrices de orden mxn con igual número de
filas m y de columnas n. Su notación det(A) es lo mismo que la matriz entre
“dos barras” Que significa determinante de A y donde A es cualquier matriz,
m=n (Daza, M. 1986 U. C, sp )
NOTA: No confundir las barras con valor absoluto ³ ³ es la notación de
determinante
2.2.4.3.6.1 Determinante de una matriz 2x2: el determinante de P es: igual
al producto de la diagonal principal menos el producto de la diagonal
secundaria ) = �+ ´#�´�# ´��� Matriz de orden dos por dos
El determinante de P se denota con la palabra det o la letra en barras como
sigue: det(P) escrito con barras = I P I
Multiplicar multiplicar diferencia
IP I = ³+ ´#�´�# ´��³= ( p 11)(p22 ) - ( p21)(p1 2)
51
(p 11)(p22) producto de los elementos de la diagonal principal
( p21)(p12) producto de los elementos de la diagonal secundaria (Muñoz, S,
1994, pp174)
Ejemplo (con frutas) partir de un determinante
Se les pedirá a los estudiantes que escriban la matriz de dicho determinante
Y el proceso contrario a otro grupo
Det (P) = naranja pera-maíz trigo
El proceso contrario es una matriz de orden dos por dos donde:
Naranja lleva posición + Pera la posición ´��
Maíz la posición ´�# y trigo es de posición ´�� y formamos la matriz P de
las frutas
Matriz inicial=�£,�,£µ, 5�¢¶43,¢� +6�,� = Respuesta
2.2.4.3.6.2 Determinante de una matriz 3x3: se debe tomar en cuenta que
para aplicar determinantes se lo hace solo en matrices cuadradas, entonces
se puede a matrices de orden 4x4 y así sucesivamente podemos
generalizar de orden nxn; para definir este determinante se aplicará lo que
se definió en el determinante de orden 2x2. (Zill,D. y Dewar J. 1996.PP 454-460)
Para evaluar matrices de grado mayor a dos se requiere de algunos
conceptos
Menor y cofactor
Menor: En toda matriz cuadrada A de orden n (n ≥ 2) el menor q¢µ se
define como determinante de la matriz de orden n-1 obtenida después de
eliminar la fila i-esima y la columna j-esima de A.
Cofactor: si se tiene una matriz B de mxn. El cofactor ij de B, se denota por ¸��
52
¸�� = (−1)���│q¢µ│ Se puede concluir lo siguiente: si i+j es par es igual a 1 y si se tiene i+j
impar es -1.
Generalizando se puede decir que los signos van alternados, pero siempre
respetando los signos de los elementos de la matriz (Zill,D. y Dewar J.
1996.PP455)
Sea la matriz P de orden tres por tres P="+ +� +8+� +�� +�8+8 +8� +88%
Determinante de P = IPI = + ³+�� +�8+8� +88³ − +� ³+� +�8+8 +88³ + +8 ³+� +��+8 +8�³
Ejercicio:
Det( U ) =I U I =º+,+á 3,3á ¼¢µ41 2 34 5 6 º La palabra papá tiene posición 11 entonces 1+1 =2 es positivo si es par
La palabra mamá tiene la posición 12 entonces 1+2 = 3 es negativo si es
impar y así se puede analizar el signo de cualquier elemento tomando en
cuenta el cofactor
IUI =+,+á ³2 35 6³ - 3,3á ³1 34 4³+ hijo³1 24 5³ =
Tomamos en cuenta la fila 1 con los signos alternados siempre empieza
positivo porque todos sus elementos son positivos, donde cada elemento se
transforma en un escalar y se relaciona con el Determinante dos por dos de
las filas y columnas que quedan de eliminar la fila y la columna
correspondiente.
Det (U) = papá (2x6 - 5x3) - mamá (1x4 - 4x3) + hijo (1x5 - 4x2)
= papá (12 - 15) - mamá (4 - 12) + hijo (5 - 8)
|c| = -3papá + 8mamá - 3 hijo
53
Solo se toma en cuenta una fila o una columna estimulemos nuevas
estrategias, aplicar el método de cofactores y recordando que solo los
términos que tienen i+ j = numero par son positivos es decir solo u11, u 22,
u13…….. (Muñoz, S, 1994, pp175)
2.2.4.3.6.3 Aplicación de la función determinante en la resolución de sistemas de ecuaciones 2.2.4.3.6.3.1 Resolución de sistemas de ecuaciones de primer grado
con dos incógnitas.- Resolver el sistema quiere decir que se encuentra los
valores de las dos incógnitas que satisfacen las ecuaciones.
Regla de Cramer.- Es un teorema del álgebra lineal que es útil en la
resolución de problemas de sistemas lineales, mediante el uso de la función
determinante, tiene este nombre en honor a Gabriel Cramer
(1704- 1752) durante casi 200 años, fue fundamental en la enseñanza del
álgebra y de la teoría de ecuaciones, se obtuvo resultados exitosos en su
tiempo. (Grossman, S y Flores, J .2012, pp. 219-221)
Condiciones que debe cumplir el sistema lineal:
• El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas
• Si A es una matriz del sistema de coeficientes entonces el
determinante de A es diferente de cero. Det (A) ≠ 0
• Por definición el sistema de Cramer es COMPATIBLE
DETERMINADO
Proceso de la regla de Cramer.- Para la enseñanza aplicamos las
ecuaciones con coeficiente literales en orden alfabético (Muñoz, S, 1994, pp176)
Definición
dx1 + ey1=f1 ecuación (1)
gx1 + hy1=f2 ecuación (2)
Por definición para aplicar la regla de CRAMER debe ser un sistema que
tenga el número de ecuaciones igual al número de incógnitas.
54
El primer paso es hallar el denominador D se halla con los coeficientes
numéricos o literales de los primeros miembros de cada ecuación que son:
d, e, g y h de la siguiente manera:
|v| = ½� 6¶ ¼½Determinante del Denominador = dh - ge
|v| = dh − ge
Para encontrar el valor de las incógnitas: x1, y1 se forma la matriz del
numerador reemplazando la columna de incógnita con los términos libres o
los segundos miembros de las ecuaciones.
Reemplazar los coeficientes de: x1, (d, g) y y1 (e,h ) por f1, f2 que son los
valores independientes o segundos miembros de la ecuaciones 1 y 2 dadas
anteriormente.
La columna de rojo reemplaza la columna de los coeficientes de la incógnita
x1
x = ½Á ÂÁ� ý½Ä Šý =
Á.Ã?Á�ÂÄÃ?Å f1,f2 reemplaza a la columna de los coeficientes de y1
Y =½Ä ÁÅ Á�½½Ä Šý = , ÄÁ�?ÂÁÄÃ?ÅÃ
El denominador es el mismo determinante al buscar las incógnitas.
Ejercicio 1:
Con números se comprenderá mejor el proceso de solución con el siguiente
sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas
55
Æ2x + 8y = 203x + 10y = 11
La matriz de COEFICIENTES de este sistema es M2x2 =�2 83 10� Se halla la función determinante del denominador utilizando la matriz M de
coeficientes de x, y.
I M I= ³2 83 10³ = 2x10 - 3x8 = 20-24 = -4
= -4 es el mismo denominador para calcular el valor de la incógnita x
y la y
x = ³�« Ç «³³� Ç8 «³ =
�ÈÈ?ÇÇ?§ =�?§ = -28
y = ³� �«8 ³?§ =��?É«?§ =
?8Ç?§ =19/2(Lehman, Ch. 1980 PP.337 – 371)
Ejercicio 2
Resuelva el sistema siguiente de DOS ECUACIONES CON DOS
INCÓGNITAS mediante la aplicación de determinantes (Regla de Cramer)
Æ,�XÊ�,��X�Ê�� Æ4� + 3� = 222� + 5� = 18
Se encuentra el determinante del denominador que es igual tanto para x
como para y; luego en el numerador se reemplaza los términos
independientes en el lugar de los coeficientes de la incógnita, en este caso
para hallar x se remplaza por 22 y 18 respectivamente.
414
56
620
54110
52
34
518
322
22
11
22
11
==
−
−===
ba
ba
bc
bc
x
56
Como el denominador es el mismo para encontrar las incógnita ( y); solo hay
que reemplazar en donde está la incógnita por 22 y 18 que son los términos
libres o los segundos miembros de las ecuaciones, en el numerador de
acuerdo al orden en las ecuaciones iniciales.
(Lehman, Ch.1980 PP337- 340 )
De la misma manera se puede resolver ecuaciones simultáneas, sistemas
lineales de 3x3 o de más incógnitas.
2.2.4.3.6.3.2 Resolución de Sistemas de ecuaciones con tres
ecuaciones y tres incógnitas.- De la misma manera se puede resolver
ecuaciones simultáneas, sistemas lineales de 3x3 o de más incógnitas, en
este caso en particular quiere decir que hay que encontrar el valor de las tres
incógnitas que satisfacen las tres ecuaciones.
Ejemplo
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones con coeficientes literales, a, b y
c son los coeficientes de las incógnitas (x, y, z); los términos independientes
son d1, d2, y d3
a1 x+a2y+a3 z =d1
b1 x+b2 y+b3 z =d2 E =", ,� ,8X X� X8�1 �� �8%matriz de coeficientes
c1 x+c2 y+c3x =d3
El determinante del sistema se representa por la notación│p│ y por
definición es igual │p│ = º, ,� ,8X X� X8�1 �� �8º≠ 0 existe única solución
214
28
14
4472
14
182
224
22
11
22
11
==−
===
ba
ba
ca
ca
y
57
x=
º�= �> Ä=�= �> Ä>Ë Ë> Ä̺º�= �> �Ì�= �> �ÌË Ë> ËÌ º , y= º�= Ä= �Ì�= Ä> �ÌË ÄÌ ËÌ ºº�= �> �Ì�= �> �ÌË Ë> ËÌ º
, z=ºÄ= �> �ÌÄ> �> �ÌÄÌ Ë> ËÌ ºº�= �> �Ì�= �> �ÌË Ë> ËÌ º
Los determinantes que se forman al reemplazar la primera, segunda y
tercera columna de │p│ respectivamente, por la columna de los segundos
miembros d1, d2, d3 se denotan como: │pÍ│, │pÎ│, │p¨│
Se pueden escribir aplicando la regla de Cramer, los valores de las
incógnitas son de la siguiente manera: x=│ÏÐ││Ï│ , y =
│ÏÑ││Ï│ , z
=│ÏÒ││Ï│……………
En general la regla de CRAMER se puede abreviar para todo sistema de n
ecuaciones con n incógnitas x1, x2, x3…………. xn. La matriz A es de orden
nxn si el determinante es diferente de cero; entonces se tiene solución
única por deducción se tiene que valor de cualquier incógnita con n
columnas es
xn = │ÓÔ││Ó│ (Grossman, S y Flores, J .2012, pp.221)
2.2.4.3.6.3.2.1 Método de Sarrus.- Se utiliza para resolver el determinante
de dimensión tres por tres
Encontrar el determinante de la matriz E=º, ,� ,8X X� X8�1 �� �8º Forma (1): se procede a repetir las dos filas primeras a continuación de la
planteada de esta forma se halla el determinante del denominador que es el
mismo tanto para x, y, z.(González, J.Mancill,D.1986 lpp384-390)ÕÕ,1 ,2 ,3X1 X2 X3�1 �2 �3,1 ,2 ,3X1 X2 X3Õ
Õ
58
Forma (2): consiste en repetir las dos primeras columnas a la derecha de la
matriz de los coeficientes
Ejemplo:
Los tres productos que se dirigen para abajo color negro son positivos y los
tres que están dirigidos hacia arriba son negativos con flechas rojas
- - -
º, ,� ,8X X� X8�1 �� �8º, ,�X X��1 ��= ,X��8 + ,�X8� + ,8X�� −�X�,8 −��X8, −
�8X,� + + +
Los productos de la flecha roja son negativos y de la flecha negra son
positivos. “Este método no es efectivo para determinantes de orden mayor
de 3x3 ya que son respuestas equivocadas)
(Grossman, S y Flores, J .2012, pp177-178)
2.2.4.3.6.3.2.2 Método de Cofactores.- Otra forma resumida de hallar el
determinante del tercer orden es mediante determinantes de segundo orden
conocidos como método de cofactores, este tema se trató en el subtema
2.2.8.2 (determinante 3x3)p (González, J.Mancill,D.1986 lpp384-390)
Para desarrollar recordamos la importancia de los signos de cada término
por cofactores Æ ¢ + µ6-+,� = 1¢ + µ6-¢3+,� = −1
¸�� = (−1)��� │q¢µ│ de esta fórmula se deduce que los signos van como en
un tablero de damas "+ − +⋯ . .− + −⋯…+ − +⋯…% (Grossman, S y Flores, J .2012, pp.179)
Sea │p│ = º, ,� ,8X X� X8� �� �8 º Aplicando cofactor en la primera columna se tiene:
59
º, ,� ,8X X� X8�1 �� �8 º = , ½X� X8�� �8½ − X ³,� ,8�� �8 ³ + � ³,� ,8X� X8³
2.2.4.3.6.3.2.3 Aplicación de Determinantes mediante el proceso de
cofactores El sistema de ecuaciones lineales al resolver por cofactores se lo
puede hacer mediante determinantes tomando como referencia una fila o
una columna
Sea A=
�����,,�… ,�⋯ ,�,�,�� ⋮ ,��⋯ ,��⋮ ⋮ ⋮,�,�� … ,��⋯ ,��⋮ ⋮ ⋮,�,��…. ,�� ,����
����matriz de orden nxn
Entonces el determinante de A esta dado por: │d│ = ,d�,�d��,8d8�………… . . +,�d� se denomina
expansión de cofactores, donde A11, A22, A33…, son el resultado de eliminar un
renglón, una columna (Grossman, S y Flores, J .2012, pp.180)
Ejercicio 1
Para resolver con este método se toma en cuenta solo una fila o una
columna tomando en cuenta los signos
Ejemplo Ö×Ø×Ù ¬ + L − ® = !−$¬ + � + !® = #SÚ¬ + R + �® = R
Evalué la matriz hallando el determinante de la matriz de coeficientes del
sistema anterior
B = " L −#−$ � !Ú R � %
60
Entonces se extrae el determinante de la siguiente forma:
Tomando en cuenta la 1ra columna, se coloca solo el número que multiplica
al determinante de segundo orden, como si fuera un escalar; y se elimina
tanto la fila como la columna de dicho número
Para resolver la matriz B por cofactores, tomar en cuenta la primera columna
con los signos correspondientes
Det (B) = 3³2 68 4³ – (-5)³7 −18 4 ³ +9³7 −12 6 ³=
IBI = 3(8-48) + 5(28+8) + 9 (42 + 2) aplicamos definición de det 2x2 = 3(-40) + 5(36) +9(44) se realiza los productos y luego las sumas = -120 + 180 + 396 = 456 Si tenemos de referencia la tercera fila de la matriz B se tendrá el mismo resultado.
IBI = 9³7 −12 6 ³ - 8³ 3 −1−5 6 ³ + � ³ 3 7−5 2³ = 9(42+2) -8(18 -5) + 4(6+35)
= 9(44) - 8(13) + 4(41)
= 396 - 104 + 164
= 456 El valor hallado es el determinante del denominador
Se plantea tres matrices diferentes una para cada incógnita con la diferencia
que en vez de la columna de las incógnitas se agrega la columna de los
valores independientes es decir los segundos miembros de las ecuaciones
planteadas que son 6,10, 8. Se coloca en el mismo orden.
61
Para calcular el valor de x la matriz del numerador es " 6 7 −110 2 68 8 4 % y el denominador es el determinante de los coeficientes que es|¸| = 456
¬=º ! I ?#S � ÉR Ç § º|C| =
º É I ?« � ÉÇ Ç § º§©É
Hallamos el determinante del numerador de x que se llamara NX
│ NX │ para calcular el determinante del numerador se aplica el método de
cofactores
│ NX │= 6³2 68 4³ - 10³7 −18 4 ³ + 8³7 −12 6 ³
= 6(8 - 48) - 10(28 +8) + 8( 42 + 2)
= 6 (-40) - 10(36) + 8(44)
= -240 – 360 + 352
│ NX │ = -248 es el numerador del determinante de x
Entonces se tiene que el valor del determinante de x es: ¬ =|ÛÐ||C| =?��R�$!
Para hallar Y, el denominador es el mismo = 456 y la matriz del numerador
se reemplazan los términos independientes en la columna de los
coeficientes de y es decir en la segunda columna
Segunda columna: reemplazar coeficientes de y por los segundos
miembros
= º 3 ! −1−5 #S 69 R 4 º|¸| = º 3 ! −1−5 #S 69 R 4 º
456 │NY │= determinante del numerador de la incógnita y
62
Calculando por cofactores mediante la segunda columna
│NY │= -6³−5 69 4³ + #S ³3 −19 4 ³ − R ³ 3 −1−5 6 ³ = -6 (-20-54) + 10(12 +9) - 8(18 - 5)
= -6(-74) + 10(21) - 8(13)
= 444 + 210 -10
= 550 numerador de Y
De lo que se deduce que el valor del determinante de y es:
= $$S�$!
Para calcular el valor de z reemplazamos los términos libres en la tercera
columna que le correspondiente a la incógnita z y en la columna 1 y 2 los
coeficientes de las incógnitas de x, y
Tercera columna
® = º 3 7 !−5 2 #S9 8 R º|¸| = º 3 7 !−5 2 #S9 8 R º
456
Mediante el método de cofactores se calcula el numerador de z que se
denota como Nz
│ Nz │= 6³−5 29 8³ − #S ³3 79 8³ + R ³ 3 7−5 2³ =6(-40-18) - 10(24 -63) + 8(6+35)
=6(-58) – 10 (- 39) +8 (41)
=-348 + 390 + 328
= 370
® = LS�$!
Se concluye que el conjunto solución son los valores de las incógnitas x, y, z
que se halló aplicando determinantes y el método de cofactores
63
Conjunto soluciónÖ×Ø×Ù� = − �§Ç§©É� = ©©«§©É� = 8I«§©É
simplificando
Ö×Ø×Ù� = − 8©I� = �I©��Ç� = Ç©��Ç
Verificación: se verifica el conjunto de los valores de las incógnitas, en una
de las tres ecuaciones iniciales, en este caso específico se toma en cuenta
en la ecuación número 1, aclarando que se lo puede hacer en cualquiera de
las ecuaciones del sistema dado.
3x + 7y - z = 6 ecuación (1)
3(− �§Ç§©É)+ 7©©«§©É − 8I«§©É = 6 multiplicando se tiene
?I§§§©É + 8Ç©«§©É − ?8I«§©É =Reduciendo fracciones
homogéneas
− §§©É + 8Ç©«§©É =
�I8ɧ©É = 6 restando y dividiendo
Entonces 6 = 6
Como los resultados son iguales en los dos miembros, quiere decir que las
soluciones son correctas, entonces queda comprobado los valores de las
incógnitas en la ecuación uno del sistema de la matriz B
2.3 MARCO INSTITUCIONAL
La UNEDI tiene como su patrono al fundador de la Educación a Distancia
“Monseñor Leónidas Proaño” se lo conocía como el apóstol de los indios y
fue nominado uno de los diez mejores hombres del Ecuador. La visión era
64
que la educación sea equitativa, los principios básicos y los valores que
predicaba eran: el amor, honestidad, fe, dignidad humana y formación
integral de la personalidad.
Sus oficinas centrales se encuentran funcionando en la Parroquia de
Caranqui en la Avenida el Retorno (sin número) Y Zacoto Puento cerca a la
Plaza de toros, cuenta con estructuras propias. (PEI de la UNEDI)
2.3.1 Naturaleza de la unidad educativa a distancia de Imbabura
La Unidad Educativa a Distancia de Imbabura, perteneciente al Sistema
Nacional “Monseñor Leónidas Proaño” SINEDE, viene funcionando
ininterrumpidamente desde 1993 con autorizaciones oficiales y convenios
especiales conferidos por el Ministerio de Educación y Cultura, la
Conferencia Episcopal Ecuatoriana y la CONFEDEC, publicada mediante los
siguientes acuerdos y convenios;
1- Acuerdo Ministerial 1544, del 29 de octubre de 1991, crea y autoriza el
funcionamiento de los Centros Regionales de Comunicación Educativa
con sus correspondientes Unidades Educativas en cada provincia.
2- Convenio de Cooperación Interinstitucional entre el Ministerio de
Educación y Cultura y la Confederación Ecuatoriana de Establecimientos
de Educación Católica – CONFEDEC- en el campo de la Educación a
Distancia, emitido el 29 de octubre de 1991 con el No. 21656
3- Convenio Básico de Cooperación Interinstitucional entre el Ministerio de
Educación y Cultura y la Conferencia Episcopal Ecuatoriana en el
Campo de la Educación a Distancia, emitido el 23 de julio de 1992.
Acuerdo Ministerial No. 6383, del 29 de diciembre de 1997 en donde se
amplía el Acuerdo Ministerial No. 4156 del 2 de septiembre de 1997,
65
exceptuando al Sistema Nacional de Educación a Distancia “Monseñor
Leónidas Proaño”, la dependencia directa de la DINEPP. …. (PEI de la UNEDI)
2.3.2 Visión y Misión de la UNEDI
Visión de la UNEDI
La Unidad Educativa a Distancia de Imbabura se propone ser una institución
educativa con excelencia en los procesos académicos y administrativos;
actualizada tecnológicamente, personal altamente calificado e infraestructura
física propia, destinada a lograr el desarrollo de participantes con alto grado
de valores humanos, cívicos, morales y cristianos. . (PEI de la UNEDI)
Misión de la UNEDI
La UNEDI es una institución de educación alternativa para los sectores
marginados de la educación regular presencial, que tiene como misión
esencial contribuir a la formación integral de bachilleres en ciencias y
técnicos con excelente calidad académica, y valores humanos, éticos,
cristianos y cívicos, capaces de continuar los estudios, insertarse y/o mejorar
su desempeño en el mercado ocupacional y ser ente activo en el desarrollo
de la comunidad. (PEI de la UNEDI)
Síntesis de la Visión y misión de la Institución: es una institución fisco
misional está enfocada en la educación a distancia con el fin de ayudar a los
ecuatorianos que no pueden obtener los beneficios que brinda la modalidad
presencial del sistema educativo nacional, debido a muchas circunstancias:
especialmente de carácter social, cultural, económico, al no tener el tiempo
necesario, por trabajo han tenido que abandonarlo sin lograr finalizar, es
decir está dirigido a las clases aisladas y pobres del país. (PEI de la UNEDI)
La matriz FODA está creada de acuerdo a las dificultades, beneficios que ha
logrado la UNEDI (Colegio Monseñor Leónidas Proaño). Centro de apoyo
66
tutorial Pimampiro, que es el lugar donde el investigador trabaja. Y se la
elaboró según información del PEI, se puede ver las falencias y fortalezas
que posee la institución son numerosas y están sintetizadas en la siguiente
matriz
Tabla 2.1 Matriz FODA INTERNAS
EXTERNAS
FORTALEZAS
• Liderazgo pedagógico
• Autonomía institucional
• Visión y metas compartidas
• Ambiente favorable.
DEBILIDADES
• Carece de facilitadores (institucionales)
• Las relaciones entre educandos y educadores es frágil
• No poseen recursos económicos propios para la adquisición de instrumentos técnicos
OPORTUNIDADES
• Refuerzo positivo y capacitación experimental
• Asesoría técnica para los PEI
• Demanda de clientes(estudiantes)
AMENAZAS
• Posibilidad que se cierre porque no quieren arrendar el local.
• No poseer competitividad
• Quejas de las otras instituciones
Elaborado por: Marlene Daza en base de PEI de la UNEDI
“El Ministerio de Educación y Cultura del Ecuador, en concordancia con las
políticas de democratización del sistema educativo nacional que viene
implementando, el 29 de octubre de 1991, mediante acuerdo No.1544, crea
y autoriza el funcionamiento del Centro Regional de Comunicación
Educativa del Norte del Ecuador (CRECERNORTE), con sus
correspondientes Unidades Educativas a Distancia y Extensiones cuya
influencia cubre las provincias de Carchi, Imbabura, Pichincha, Cotopaxi,
Tungurahua y otras (jornadas, utilizando la bibliografía disponible que
proyecte a formar mentes de raciocinio lógico cuyas consecuencias sean
positivas)(PTI.PEI, UNEDI, informe, reglamento interno)
67
La unidad educativa tiene 11 (C.A.T) centros de apoyo tutorial en la provincia
de IMBABURA
• Ibarra: Central sábado, la central Domingo, Central Martes y Central
miércoles
• C.A.T Carolina: del sábado, el domingo y martes
• C.A.T Pimampiro: sábado (lugar de investigación encuestas)
• C.A.T Atuntaqui: sábado
• C.A.T Selva Alegre, chal guayaco
La investigación no se la aplicará a todas las extensiones, únicamente a
una muestra de unos 40 estudiantes en total. Estos temas son tratados
más en la especialidad de informática y en segundo año de bachillerato
ciencias sociales y a unos 5 o 6 docentes de los CAT, en especial en el
cantón Pimampiro El total de tutores son 32 de todas las áreas, van
rotando de acuerdo a la necesidad. (PTI.PEI, UNEDI, informe, reglamento interno)
2.4 Fundamentación legal
Según la Constitución del 2008 Sección quinta LA EDUCACIÓN artículos 26,
27, 28, 29 se refiere al derecho que tienen las personas para beneficiarse
del estudio, las obligaciones del padre y del presidente de la república es
garantizar una educación pública, de calidad y mejore aprendizajes que se
relacionan con la enseñanza del tema de matrices y determinantes y se
encuentran en los contenidos de la malla curricular de matemática .Este
tema consta en mallas curriculares de segundo año de bachillerato
especialidad sociales y de informática (Breve análisis de Constituyente, A.
(2008).s.pp.) Centro de tesis, documentos, publicaciones y recursos educativos
(http://www.eruditos.net/ )
Se ha tratado los artículos de manera imparcial considerando los aspectos
positivos que traen cada uno de ellos, también los aspectos negativos
y dejando algunas inquietudes para ser puestas a manera de debate o un
foro con el resto de compañeros del curso, acudimos a la constitución
68
anterior la de 1.998 para revisar las mejoras o ciertos cambios, se acudió a
lectura de análisis de algunos artículos, esta información está sustentada en
la bibliografía .
ANTECEDENTES
Por disposición del Ministerio de Educación según Acuerdo Ministerial
Nº 312.
Acuerda:
Art. 1. Disponer, que para la obtención del título de bachiller, se sustituya el
trabajo práctico o de investigación por la participación obligatoria de las
estudiantes de los 2dos años de bachillerato de todas las instituciones
educativas, fiscales, fisco misionales, particulares a distancia, municipales,
en el Programa Nacional de Educación Básica para Jóvenes y Adultos y sus
proyectos.
Art. 2. Responsabilizará, a la División de Especies Valoradas de esta
cartera, la impresión y distribución de los certificados de participación
estudiantil en el Programa Nacional de Educación Básica para Jóvenes y
Adultos, con las Direcciones Provinciales de Educación, de acuerdo a la
normativa vigente.
Art.3. Determinar, que las divisiones provinciales, cantonales e
intercantonales de educación popular permanente, entreguen en la
secretaría de los establecimientos educativos, el certificado debidamente
legalizado de participación estudiantil con la calificación obtenida.
Disposición final.- El presente acuerdo entrará en vigencia a partir
de la fecha de su expedición, sin perjuicio de su publicación en el Registro
Oficial (Ibarra, 2 de Junio 20013.Articulos tomados del PEI de la Unedi)
Análisis del Art. 26
69
Todos los ciudadanos tenemos derecho a la educación durante toda nuestra
existencia y bajo ningún concepto se la puede negar el Estado. El
porcentaje correspondiente a educación se debe de respetar, para que la
educación llegue más y disminuir el grado de analfabetismo, considerando
que todos estamos inmiscuidos dentro del proceso de educación.
El gobierno tiene la obligación de brindarnos educación a todos sin ningún
tipo de restricción, para así llegar a una población de características de
educación de alta calidad.
En el Art. 26 "es deber del Estado", la familia y la sociedad tienen
participación activa y responsable en el proceso educativo. Además en esta
nueva constitución tal como lo destaca el Art. 47 en sus numerales 7 y 8 se
apoya la educación especial y ahora se la considera dentro de la educación
regular esto con el ánimo de "fomentar la inclusión e igualdad", permitiendo
su incorporación en la medida de lo médico, pedagógico y especializado a
diferencia del Art. 66 de la constitución de 1.998 donde se da un ítem aparte.
• Ineludible.- Que no se puede eludir, no se puede escapar.
• Inexcusable.- Que no se puede excusar, no hay pretexto.
• Prioritaria.- Anterioridad o precedencia de algo respecto de otra cosa
que depende o procede de ello.
• Inclusión social.- Que está considerado o dentro de la sociedad.
• Buen vivir.- Se considera como la satisfacción plena de las necesidades,
tanto objetivas como subjetivas de las personas y los pueblos.
• Deber.- Es una obligación, que no se puede negar
• Derecho.- Conjunto de principios y normas, expresivos de una idea de
justicia y de orden, que regulan las relaciones humanas en toda sociedad
y cuya observancia puede ser impuesta de manera coactiva.
• Familia.- Grupo de personas emparentadas entre sí que viven juntas.
Conjunto de ascendientes, descendientes, colaterales y afines de un
linaje. Hijos o descendencia. Conjunto de personas que tienen alguna
70
condición, opinión o tendencia común. (Según la constitución del año 2008 -
2015 )
Análisis del Art. 27
La educación debe estar dirigida a todo lo relacionado con la persona,
respetando todos sus derechos, género, raza, que sea encaminada a la
excelencia y útiles a la sociedad, en este siglo en Latinoamérica y
especialmente en el Ecuador se empezó con una crisis asociada a las
transformaciones planetarias ocasionando por consiguiente un nuevo orden
competitivo basado en el "conocimiento" se debe promover la creatividad en
la resolución de problemas, la finalidad de este artículo busca que los
ecuatorianos tengamos una igualdad de oportunidades, que sepamos
compartir nuestros conocimientos con los demás convivamos en un entorno
feliz proyectados en el buen vivir (Plan decenal de Educación del Ecuador, 2013, PP.
1-20)
En el contexto de la Educación de Adultos nuestro país a través del Plan
Decenal .En su Política IV.- Erradicación del analfabetismo y aprendizaje
continuo, está enfocado a dar servicio educativo al área hispana y bilingüe,
se ha iniciado en diseñar y elaborar materiales educativos modulares para
las 15 etnias que se encuentran en nuestro país comenzando con el quichua
que ya están puestos los materiales en ejecución, para ello se está
invirtiendo una serie de insumos Económicos, hacia la elaboración de
materiales modulares como: módulos para la educación de adultos( Plan
decenal de Educación del Ecuador, 2014, PP. 25-40)
2.5 Hipótesis
Las nuevas metodologías de la enseñanza de matemática basadas en las
TIC, mejoran el aprendizaje de Matrices y Determinantes.
71
2.6 Variables de la investigación
Variable independiente: La nuevas metodologías
Variable dependiente: enseñanza de Matrices y Determinantes
2.7 Operacionalización de variables Tabla 2.2 Operacionalización de variables VARIABLE DIMENSIONES INDICADORES ÍNDICESVI: Metodología Instrumentos
didácticos: sirven para aplicar en los métodos actuales para promover nuevos aprendizajes
Métodos Estrategias , Técnicas: TIC
40% de 35% 25%
VD: Enseñanza de Matrices y determinantes
La experiencia y Capacitación permite Verificar y reforzar los conocimientos estudiantiles. El docente investigador pondrá en práctica las diferentes métodos consultados y si es necesarios se aplicará los nuevos métodos e instrumentos tecnológicos
Matrices • Clases de matrices • Operaciones de
matrices • Solución de sistemas
lineales por métodos matriciales
Determinantes • Solución de sistemas
de ecuaciones Linealescon dos incógnitas
• Solución de sistemas lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas o variables
60% 40%
Fuente: Variables que intervienen en la investigación Elaborado por: Marlene Daza
72
CAPÍTULO III
METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN
3.1 Diseño de la investigación
El sujeto investigador aplicó los siguientes tipos de investigación para que el
diseño se fortalezca cuantitativa y cualitativamente
3.1.1 Según el tipo de estudio: Investigación exploratoria- descriptiva
para averiguar condiciones, características, perfiles, procesos de resolución,
definiciones, mediciones mediante cuestionarios predeterminados, se
emitirán criterios en forma cualitativa y cuantitativa, en la narración se
aplicará análisis, resumen y el parafraseo para que no sea una real copia de
otros textos.
3.1.2 Según las fuentes de consulta: investigación de campo-
bibliográfica.- se recurrió a fuentes de consulta de primera mano para
monitorear el entorno social, cultural del colegio y constatar sobre los temas
que se relacionan, la metodología aplicada en el álgebra lineal de los cursos
donde se hará la investigación, los profesores especializados en dictar esta
cátedra, información de los diseños de otras investigaciones, bibliografía
personal y en el internet e incluso módulos o guías utilizadas.
3.1.3 Métodos de la investigación
3.1.3.1 Métodos generales: están encaminados para alcanzar los objetivos
planteados que pueden ser material o conceptual sobre la metodología de la
enseñanza MATRICIAL
� Método Científico: es quizás el más útil o adecuado de los métodos
generales, capaz de proporcionar respuesta a muchas interrogantes.
Respuestas que no se obtienen de inmediato de forma verdadera, pura y
completa, sin antes haber pasado por el error. Esto significa que el
73
método científico llega como un proceso, no como un acto donde se pasa
de inmediato de la ignorancia a la verdad. Este es quizás el método más
útil o adecuado, ya que es el único que posee las características y la
capacidad para auto corregir y superar, pero no el único. se basa en la
observación, hipótesis, experimentación, teoría y leyes.
� Métodos: inductivo- deductivo se relacionan estos dos métodos porque
se parte de la información previa para llegar a establecer propiedades,
leyes o lo contrario se inicia con leyes y en la experimentación se ocupa
de verificar los procesos indicados.
� Método analítico: se aplicó la reflexión, el razonamiento lógico para
comprender pausadamente los pasos respectivos en los procesos de
resolución de problemas, en el planteamiento de ejercicios con otra
simbología, etc.
� Método Sintético: para el desarrollo y principalmente para la escritura del
proyecto se usó con el fin de resumir se realizó esquemas gráficos y
lectura comprensiva.(Zorrilla, Torres y Cervo,1999,pp15-25)
3.1.3.2 Métodos específicos
� Histórico: para obtener ideas de ¿cuándo?, ¿cómo? ¿Dónde? y el
¿porque? de algunos términos, definiciones, aplicación de la información
narrando de acuerdo a su época y a los creadores relacionado con el
entorno socio cultural.
� Didáctico: para conseguir la información se utilizó instrumentos y
técnicas de lectura, se analizó y ordenó procesos, se resumió señalando
los más útiles que permitan aprender fácilmente que tienden a dirigir el
aprendizaje, desde la presentación y elaboración de los contenidos de la
materia hasta aplicar en la resolución de problemas de la vida,
74
3.2 Población
Universo: la población son los estudiantes de la UNEDI ( Unidad Educativa
a distancia de Imbabura), pertenecientes a la provincia de Imbabura; son el
conjunto de sujetos que tienen características comunes, los estudiantes
adolecentes mayores de 15 años, adultos mayores de 18 años del segundo
curso de Bachillerato de la unidad educativa a distancia, que con la nueva
ley de educación es modificada a educación semi presencial “Monseñor
Leónidas Proaño” la población en los diferentes Centros de Apoyo Tutorial
(CAT), exclusivamente en el CAT de Pimampiro la muestra es de 40
alumnos
Tabla 3.1 Población SUJETOS POBLACIÓN PORCENTAJE
Alumnos 2do. De Bachillerato
Sociales
40 100%
Docentes 5 100%
TOTAL 45 100%
Fuente: Secretaría de la UNEDI Elaborado por: Marlene Daza
Se trabajó con la población que es el número de estudiantes que fue
encuestado, en este caso es el universo, debido al número de sujetos
informantes.
3.3 Técnicas e instrumentos de recolección de información
Las técnicas son procedimientos que necesitan los métodos de investigación
para la recolección de información, son los dispositivos auxiliares y las que
se emplearon fueron dirigidas a estudiantes, que a la vez son padres de
familia porque son adultos y a los docentes
3.3.1 Observación es una ventaja de bajo costo, se consiguió información
veraz y directa en el planteo de: los problemas de investigación, objetivos,
contenido, hipótesis mediante esta técnica se llegó a formular la justificación
75
pero también será empleada en los logros conseguidos próximamente según
avance el trabajo se podrá emitir conclusiones pero evitando comentarios
subjetivos.
Los elementos son:
o Sujeto investigador: Marlene Daza
o Sujeto investigado. Estudiantes, docentes
o Instrumentos: cámara fotográfica, filmadora, cuestionario planificado.
o Marco teórico de estudio: La metodología que aplica contenidos de
algebra lineal
3.3.2 La encuesta Es aplicada para sondear el nivel cognitivo en lo que se
refiere a la metodología empleada en el aprendizaje de matemáticas con
los profesores que interactúan en la especialidad. Con los conocimientos
previos adquiridos ya se podrá aplicar el instrumento básico que es el
cuestionario establecido por el investigador y se podrá analizar los logros
alcanzados y se podrá proponer que nuevas metodologías aplicar
• De preparación: se plantea una prueba manejable aplicada a expertos
en la materia, arreglar un guión donde tome en cuenta lo planteado,
los prerrequisitos, la presentación de los que se ponen en contacto.
• De cuerpo o realización de la entrevista se basa en algunos principios
en el desarrollo de la misma:
- El ambiente debe ser confiable, agradable
- Las preguntas se presentan, con orden, de fácil comprensión, es decir
planificadas para que tengan tiempo a responder
- Naturalidad en la narración de las preguntas
• Cierre de la encuesta: agradecer a los participantes y decirles que la
información será procesada consecutivamente y confidencial
76
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS
4. Presentación de resultados: Encuestas aplicadas a los estudiantes 4.1 La mayor parte de clases, el docente de matemáticas utiliza
Tabla 4.1 Pregunta 1 de los estudiantes Alternativas Frecuencia absoluta Frecuencia relativa
Clase Magistral 11 27.5
Clase participativa 20 50.0
Las dos anteriores 9 22.5
Total 40 100
Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro Elaborado por: MARLENE DAZA
Figura 4.1 Clases que aplican los docentes Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro Elaborado por: MARLENE DAZA
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN De los 40 estudiantes que corresponde al
100%, el 50 % son de tipo participativo, 27.5% manifiesta que las clases de
matemáticas dadas por el docente en su mayoría son de tipo magistral; y el
22,5% los dos métodos anteriores.
Los docentes, en sus clases, realizan actividades para que los estudiantes
participen activamente, fomentando un buen aprendizaje.
,27.5
50%
22.5
TIPOS DE CLASES APLICADAS POR DOCENTES
clase magistral 27.5%
participativa 50%
las dos anteriores 22,5%
77
4.2 El docente para resolver dificultades de algebra relaciona con experiencias vividas
Tabla 4.2 Pregunta 2 estudiantes Alternativas Frecuencia absoluta Frecuencia relativa
Siempre 15 37,5
Rara vez 17 42,5
Nunca 8 20,0
Total 40 100
Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro Elaborado por: MARLENE DAZA
Figura 4.2 Relación de dificultades con experiencias vividas Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro Elaborado por: MARLENE DAZA
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
De los 40 estudiantes que es el total equivalente al 100% ; los 15
estudiantes corresponde al 37,5 % relación con las experiencias vividas, el
42,5% lo hace en forma participativa y el 20% las dos alternativas
anteriores
La mayoría de veces el docente no relaciona con experiencias cercanas a
los estudiantes, esto dificulta el aprendizaje.
37%
43%
20%
RELACIONA LAS DIFICULTADES CON EXPERIENCIAS VIVIDAS
siempre 15
Rara vez 17
Nunca 8
78
4.3 El docente cuando practica ejercicios de matemática (matrices) interactúan con los estudiantes
Tabla 4.3 Pregunta 3 de estudiantes Alternativas Frecuencia absoluta Frecuencia relativa
Siempre 31 87,5
Rara vez 5 12,5
Nunca 4 10,0
Total 40 100
Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro. Elaborado por: MARLENE DAZA
Figura 4.3 Interactúan estudiantes-docente Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro Elaborado por: MARLENE DAZA
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
Podemos observar que la mayoría del curso el 87, 5% interactuar los
estudiantes en las aulas, el 12,5 % lo hacen Rara vez y el 10 % Nunca
Los docentes y estudiantes son participativos en el aula y los pocos son los
que lo hacen en las aulas y apenas 4 estudiantes no lo hacen.
31
54
INTERACTUAN ESTUDIANTE-DOCENTE
Siempre 87.%
Rara vez 12.5%
Nunca 10%
79
4.4 El docente de matemática domina los conocimientos
Tabla 4.4 Pregunta cuarta de los estudiantes Alternativas Frecuencia absoluta Frecuencia relativa
Dentro del aula 17 42,51
Fuera del aula 3 7,5
Dentro y fuera 20 50
Total 40 100
Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro Elaborado por: MARLENE DAZA
Figura 4.4 Lugar de dominio de conocimientos Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro Elaborado por: MARLENE DAZA
ANÁLISIS e INTERPRETACIÓN
Del cien por ciento de estudiantes, el 42,5 por ciento contestaron que
domina dentro del aula, los tres estudiantes corresponde el al 7,5% lo hace
afuera y los 20 estudiante contestaron que dentro y fuera el 5%
Medio curso de los estudiantes opina que los docentes dominan los
contenidos en todo lugar, sea en las aulas o fuera de ellas.
43%
7%
50%
LUGAR DE DOMINIO DE CONOCIMIENTOS
Dentro del aula 17
Fuera del aula 3
Dentro y fuera 20
80
4.5 El aprendizaje de algebra se desarrolla mejor cuando el profesor utiliza
Tabla 4.5 Preguntas 5 planteada en la encuesta Alternativas Frecuencia absoluta Frecuencia
relativa
Pizarrón y marcador 15 37,5
Textos y otros documentos 5 12,5
Programas de computación
y diapositivas
20 50
Total 40 100
Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro Elaborado por: MARLENE DAZA
Figura 4.5 Instrumentos en el aula Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro Elaborado por: MARLENE DAZA
ANÁLISIS e INTERPRETACIÓN Del 100 por ciento de estudiantes, el 50 por
ciento creen que se debe utilizar programas de computadora, diapositivas, el
37.5% dicen que el pizarrón y el marcador, el 12,5% aprenden mejor cuando
el profesor usa textos y otros documentos.
Se deduce que el mayor número de horas del plantel utilizan programas de
computadora y un grupo mínimo de utilizan los textos y documentos
37%
13%
50%
INSTUMENTOS QUE SE USAN EN EL AULA
Pizarron
Textos
Programas comp
81
4.6 Si tiene Usted inconvenientes en el aprendizaje el profesor
Tabla 4.6 Pregunta 5 de los estudiantes Alternativas Frecuencia absoluta Frecuencia relativa
Refuerza 33 82,5
Amplia de forma interactiva 7 17.5
Continua 0 0
Total 40 100
Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro. Elaborado por: MARLENE DAZA
Figura 4.6 Actividades de recuperación Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro Elaborado por: MARLENE DAZA
ANÁLISIS e INTERPRETACIÓN
El 82,5% de del grupo de 40 estudiantes señalan que si el aprendizaje
tienen inconvenientes, el profesor realiza la actividad de refuerzo, y el 17,5
opina que el profesor amplia conocimientos por última alternativa donde dice
que el profesor continua es el cero por ciento.
El docente busca alternativas de recuperación para que los estudiantes no
se estanquen en los inconvenientes del aprendizaje
Rrefuerza 33; 82,5; 83%
Amplia 7; 17; 17%
Continua =0; 0; 0%
ACTIVIDADES DE RECUPERACIÒN
Rrefuerza 33
Amplia 7
Continua =0
82
4.7 Cuando Usted realiza las tareas de algebra lo hace:
Tabla 4.7 Apoyo en tareas Alternativas Frecuencia absoluta Frecuencia relativa
Solo 30 75,5
Con ayuda de padres 2 5
Con ayuda de hermanos 4 10
Amigos 4 10
Total 40 100
Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro Elaborado por: MARLENE DAZA
Figura 4.7 Tareas de algebra con apoyo Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro Elaborado por: MARLENE DAZA
ANÁLISIS e INTERPRETACIÓN
Los estudiantes resuelven los ejercicios solos el 75,5 por ciento y el 10%
en forma equitativa lo hacen con ayuda de hermanos amigos En los
resultados se observa que los estudiantes resuelven los deberes con ayuda
de sus hermanos y amigos, y a la mayoría hacen los deberes solos y solo el
minino 2 estudiantes hacen con sus padre.
75%
5%
10%10%
APOYO EN TAREAS DE ÁLGEBRA
Solo 30
Con ayuda de padres2
Hermanos 4
amigos 4
83
4.8 Algebra aprende mejor mediante Tabla:
Tabla 4.8 Pregunta 8 de los estudiantes Alternativas Frecuencia absoluta Frecuencia relativa
Habilidades
algebraicas
25 62,5
Juegos 6 15
Libros 3 7,5
Ninguno 6 15
Total 40 100
Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro Elaborado por: MARLENE DAZA
Figura 4.8 Medios de aprendizaje de estudiantes Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro Elaborado por: MARLENE DAZA
ANÁLISIS e INTERPRETACIÓN
El 62,5% de los 40 estudiantes aprenden algebra lineal específicamente
matrices mediante habilidades algebraicas, el 15% lo hacen mediante libros
y ninguno, y un 3% de los estudiantes mediante libros.
Pocos son los estudiantes que aprenden con libros, se incrementan las
actividades cuando aplican habilidades algebraicas
62%15%
8%15%
MEDIOS DEL APRENDIZAJE
Habilidades algebraicas62.5%
juegos 15%
Libros 7.5%
84
4.9 Cuál es la estrategia que más frecuentemente utiliza en Matemática
Tabla 4.9 Estrategias frecuentes pregunta 9 Alternativas Frecuencias absoluta Frecuencia relativa
Leer 2 5
Analizar 7 17,5
Ejercitar 4 10
Las tres 27 67,5
Total 40 100
Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales de Pimampiro Elaborado por: MARLENE DAZA
Figura 4.9 Estrategias utilizadas en matemática Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro Elaborado por: MARLENE DAZA
ANÁLISIS e INTERPRETACIÓN
Se observa que en el aprendizaje de la matemática utilizan más las tres
estrategias casi con el porcentaje del 68% de los 40 alumnos que es el 100
por ciento equivalente 40 estudiantes, y que analiza el 17,5%, el 10%
ejercitan y el 5% la estrategia de leer.
Se puede observar que las notas mejoran cuando usan las tres estrategias
de aplicación en el área y no se obtiene logros deseados cuando lee
únicamente.
13%
45%25%
67,5
Estrategias -Matemáticas
Leer
Analizar
Ejercitar
Las tres
85
4.10 Los ejercicios del algebra le permiten desarrollar la memoria
Tabla 4.10 Pregunta 10 Alternativas Frecuencia absoluta Frecuencia relativa
Siempre 36 90
Rara vez 3 7,5
Nunca 1 2,5
Total 40 100
Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro. Elaborado por: MARLENE DAZA
Figura 4.10 Los ejercicio permiten desarrollar la mente Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro Elaborado por: MARLENE DAZA
ANÁLISIS e INTERPRETACIÓN
De 40 estudiantes que le corresponde el 100%, los 36 estudiantes que es el
90% dice que permite el desarrollo de la memoria siempre; la respuesta rara
vez desarrolla la memoria tienen tres estudiantes que es el 7.5% contestaron
el 2.5% que es un solo estudiante señalando que nunca desarrolla la
memoria
Los ejercicios de algebra permiten que desarrollen la capacidad de reflexión
o razonamiento y por ende la memoria.
90%
7%
3%
LOS EJERCICIOS DESARROLLAN LA MEMORIA
Siempre 90%
Rara vez 7.5%
Nunca 2.5%
86
4.11 La matemática se enseñara de manera memorística sin razonar
Tabla 4.11 La Enseñanza de matemática debe ser repetitiva Alternativas Frecuencia absoluta Frecuencia relativa
Siempre 7 17,5
Rara vez 10 25
Nunca 23 57,5
Total 40 100
Fuente: estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro Elaborado por MARLENE DAZA
Figura 4.11 La enseñanza de matemática es memorística o repetitiva Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro Elaborado por MARLENE DAZA
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
El 57.5% de 40ª estudiantes contestaron que nunca el aprendizaje de la
Matemática se la realiza sin razonar; el 17,5 por ciento contestaron que
siempre se realiza las matemáticas de manera memorística sin razonar y el
25% que corresponde a 10 estudiantes dieron la respuesta Rara
Según los sujetos encuestados la matemática no debe ser enseñada de
manera memorística, repetitiva, debe enseñarse con practicidad,
demostración, juegos deje de ser la enseñanza tradicional.
17%
25%58%
LA ENSEÑANZA MATEMÁTICA ES REPETITIVA
Siempre 7
Rara vez 10
Nunca 23
Total
87
4.12 Para mejorar el aprendizaje de matrices se debe crear o aplicar nuevas metodologías de enseñanza (TIC)
Tabla 4.12 Pregunta 12 de los estudiantes Alternativas Frecuencia absoluta Frecuencia relativa
Siempre 33 82.5
Rara vez 5 12.5
Nunca 2 5
Total 40 100
Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro Elaborado por MARLENE DAZA
Figura 4.12 Sondeo de aplicación de metodologías
Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro Elaborado por: MARLENE DAZA
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN Del cien por ciento que son los cuarenta
estudiantes 33 estudiantes respondieron siempre se debe aplicar nuevas
metodologías, en el aprendizaje de matrices cinco estudiantes que es 12.5%
contestaron rara vez, y 2 respondieron que nunca se debe aplicar nuevas
metodologías corresponde al 5 por ciento.
Siempre se debe estar modificando la metodología y actualizando para que
no sea monótona la clase, implementar estrategias para que surjan efectos
de calidad en el aprendizaje.
82%
13%
5%
APRENDIZAJE DE ACTIVIDADES
Siempre 82.5
Rara vez 12,5
Nunca 5
88
Encuesta aplicada a Docentes
4.13 Los docentes han abordado el tema de matrices con determinado grado de dificultad
Tabla 4.13 Resultados de la Dificultad en abordar temas de matrices Alternativas Frecuencia absoluta Frecuencia relativa
Siempre 1 20
Rara vez 2 40
Nunca 2 40
Total 5 100
Fuente: Docentes de matemáticas de la UNEDI Elaborado por: MARLENE DAZA
Figura 4.13 Dificultad en abordar temas de matrices Fuente: Docentes de matemáticas de la UNEDI Elaborado por: MARLENE DAZA
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
De los 5 docentes del área de matemáticas de la UNEDI que representa el
100 por ciento, el porcentaje de 40 % equivale a las frecuencias de dos
docentes que dicen que rara vez y nunca han tenido dificultad y solo un
docente dice que tiene dificultad al abordar tema de matrices.
De los docentes encuestados de la institución en su mayoría no se les ha
presentado dificultades solo a uno de ellos se pronuncia que siempre y
señala diciendo que posee poca experiencia en estos temas
20%
40%
40%
DIFICULTAD EN ABORDAR MATRICES
1 Siempre 20%
2 Rara vez 40%
2 Nunca 40%
0 Ninguna
89
4.14 Las clases impartidas se caracterizan por ser
Tabla 4.14 Tipo de clase impartida
Fuente: Docentes de matemáticas de la UNEDI Elaborado por: MARLENE DAZA
Figura 4.14 Tipo de clase impartida Fuente: Docentes de matemáticas de la UNEDI Elaborado por: MARLENE DAZA
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
El 20 por ciento de los docentes imparten las clase magistral el 60 por ciento
aplican las dos, y el 20 por ciento que equivale a un docente un profesor
responden.
Se determina que las clases impartidas por los docentes encuestados no
son solo tradicionales sino que en la mayoría son de participación activa
entre docentes y estudiantes, uno de ellos aplica las dos formaciones, la
bancaria y la interactuar docente-estudiante
20%
60%
20%
0%
TIPO DE CLASE IMPARTIDA
1 Magistral 20%
3 Participativa 60%
1 las dos 20%
0 Ninguna 0%
Alternativas Frecuencia absoluta Frecuencia relativa
Magistral 1 20
Participativa 3 60
Las dos 1 20
Ninguna 0 0
Total 5 100
90
4.15 ¿Al resolver un sistema de ecuaciones ha resuelto por’?
Tabla 4.15 Resultado de Pregunta 3 de docentes Alternativas Frecuencia absoluta Frecuencia relativa
Matrices y determinante
2 40
Adición y sustracción 2
40
Dentro y fuera 1
20
Total 5 100 Fuente: Docentes de matemáticas de la UNEDI Elaborado por: MARLENE DAZA
Figura 4.15 Métodos de solución de ecuaciones usados por los docentes Fuente: Docentes de matemáticas de la UNEDI Elaborado por: MARLENE DAZA
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
Según los docentes encuestados en la resolución de ecuaciones aplican el
método de determinantes- matrices y el método por adición y sustracción y
el 10 por ciento de los docentes contestó que aplica otros.
Se interpreta que los docentes aplican de forma equitativa el método de:
determinantes- matrices, adición y sustracción, y un docente que no lo hace.
40%
40%
20%
MÈTODOS DE SOLUCIÒN DE ECUACIONES
2 Matrices ydeterminantes 40%
2 Adiciòn y sustracciòn40%
1 Otras 20%
91
4.16 Lugar en el que domina conocimientos de algebra en la enseñanza
de matrices
Tabla 4.16 Respuestas a pregunta 4 de los Docentes Alternativas Frecuencia absoluta Frecuencia relativa
Dentro del aula 1 20
Fuera del aula 0 0
Dentro y fuera 4 80
Total 5 100
Fuente: Docentes de matemáticas de la UNEDI Elaborado por: MARLENE DAZA
Figura 4.16 Lugar de dominio de conocimientos Fuente: Docentes de matemáticas de la UNEDI Elaborado por: MARLENE DAZA
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN Del grupo encuestado el 20 por ciento contesta que domina los
conocimientos dentro del aula y el 80 por ciento señala que lo realiza dentro
y fuera de las aulas, no existe porcentaje sobre la que domina conocimientos
fuera del aula
De acuerdo a la tabulación, tabla y Figura se observa que la mayoría de
docentes de la UNEDI dominan conocimientos no solo en el aula sino en
cualquier lugar y solo un docente domina la ciencia dentro del aula.
20% 0%
80%
LUGAR DE DOMINIO DE CLASES
Dentro del aula 20%
Fuera del aula 0%
Dentro y fuera 80%
92
4.17 ¿Cómo calificaría la recepción de los estudiantes en la aplicación matrices y determinantes?
Tabla 4.17 Respuestas a pregunta 5 de los Docentes Alternativas Frecuencias absoluta Frecuencia relativa
Excelente 1 20
Muy bueno 2 40
Bueno 1 20
regular 1 20
Fuente: Docentes de matemáticas Elaborado por: MARLENE DAZA
Figura 4.17 Aplicación de matrices y determinante Fuente: Docentes de matemáticas de la UNEDI Elaborado por: MARLENE DAZA
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
Del 100 por ciento de los docentes encuestados, el 20 por ciento de ellos
respondieron que existe aceptación de la aplicación de matrices y
determinantes es excelente, bueno y regular; el 40 por ciento manifiesta
que es muy bueno.
Quiere decir que la mayoría de los docentes tienen una aceptación muy
buena aplicando determinantes y matrices, pero a su vez existen tutores
donde se presenta beneplácito extraordinario, bueno y regular en forma
equitativa.
; 20%
40%20%
20%
APLICACIÒN DE MATRICES Y DETERMINANTES
1 : Exelente 20%2: Muy bueno 40% 1: Bueno 20%1 : Regular 20%
93
4.18 ¿Señale el método que considera más óptimo al abordar el tema de Resolución de sistemas de ecuaciones?
Tabla 4.18 Respuestas a pregunta 6 de los Docentes
Fuente: Docentes de matemáticas de la UNEDI Elaborado por: MARLENE DAZA
Figura 4.18 Método más óptimo para resolver sistema de ecuaciones Fuente: Docentes de matemáticas de la UNEDI Elaborado por: MARLENE DAZA
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN De los docentes encuestados, el 20 por
ciento contestaron que el método más óptimo de abordar el tema de
resolución de ecuaciones es por igualación, matrices y determinantes y otros
métodos.
Lo más óptimo para los docentes al resolver sistemas de ecuaciones es
abordar el método de adición y sustracción y en segundo plano esta resolver
por igual por los métodos de la tabla.
20%
40%20%
20%
MÈTODO OPTIMO PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES
1: Igualaciòn 20%
1:Determinantes 20%
2: Adiciòn y Sustracciòn 40%
1;otros 20%
Alternativas Frecuencia absoluta Frecuencia relativa
Igualación 1 20
Determinantes y matrices 1 20
Adición y Sustracción 2 40
Otro(sustitución ) 1 20
Total 5 100
94
4.19 ¿El proceso enseñanza aprendizaje del algebra se desarrolla mejor utilizando? Tabla 4.19 Instrumentos utilizados en el proceso enseñanza aprendizaje
Fuente: Docentes de matemáticas de la UNEDI. Elaborado por: MARLENE DAZA
Figura 4.19 Instrumentos utilizados Fuente: Docentes de matemáticas de la UNEDI Elaborado por: MARLENE DAZA
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN según los encuestados el 40 por ciento es
de igual porcentaje tanto para docentes que utilizan el pizarrón y la taza
liquida como y los programas y diapositivas.
Se concluye diciendo que existen docentes que se actualizan y no solo
utilizan instrumentos tradicionales, sino también las TIC.
40%
20%
40%
INSTRUMENTOS UTILIZADOS
Pizarrón y tiza liquida 40%
Textos y documentos 20%
Programas y diapositivas20%
Alternativas Frecuencias absoluta Frecuencia relativa
Pizarrón y tiza liquida 2 40
Textos y documentos 1 20
Programas y diapositivas 2 40
Total 5 100
95
4.20 ¿Para mejorar el aprendizaje de matemática (algebra) se debe crear o aplicar nuevas metodologías de la enseñanza?
Tabla 4.20 Pregunta 8
Fuente: Docentes de matemáticas de la UNEDI. Elaborado por: MARLENE DAZA
Figura 4.20 Opciones sobre el mejoramiento del proceso de enseñanza
Fuente: Docentes de matemáticas de la UNEDI Elaborado por: MARLENE DAZA
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN El 40% de los docentes se pronuncian que
siempre y Rara vez acerca de mejorar el aprendizaje mediante la aplicación
de nuevas metodología, y el 20 por ciento dicen que nunca.
Lo que da a entender es que existen profesores creativos y permiten mejorar
el aprendizaje. Pero existe un docente negativo que se pronuncia que nunca
se debe ser creativo.
40%
40%
20%
VentasSiempre 40%
Rara vez 40%
Nunca 20%
Alternativas Frecuencias absoluta Frecuencia relativa
Siempre 2 40
Rara vez 2 40
Nunca 1 20
Total 5 100
96
4.21 Si el aprendizaje es insuficiente que alternativas emplea para mejorar
Tabla 4.21 Alternativas aplicadas para mejorar el aprendizaje
Fuente: Docentes de matemáticas de la UNEDI. Elaborado por: MARLENE DAZA
Figura 4.21 Actividades de mejoramiento del aprendizaje Fuente: Docentes de matemáticas de la UNEDI Elaborado por: MARLENE DAZA
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN La encuesta realizada dio como respuestas
tres alternativas del 20%: integra grupos, continúa y amplían conocimientos
en forma interactiva y el cuarenta por ciento refuerza cuando se dificulta el
aprendizaje.
La mayoría de docentes cuando halla inconvenientes en el aprendizaje no
prosigue en sus clases normalmente, aclara y refuerza.
40%
20%
20%
20%
ACTIVIDADES DE MEJORAMIENTO DEL APRENDIZAJE
Refuerza 40%
Integra grupo 20%
Continua 20%
Amplia en formaintertactiva20%
Alternativas Frecuencias absoluta Frecuencia relativa
Refuerza 2 40
Integra grupo 1 20
Continua 1 20
Amplia forma interactiva 1 20
Total 5 100
97
4.22 ¿En la enseñanza del algebra utiliza material concreto?
Tabla 4.22 Resultados de la pregunta 10 de los docentes
Fuente: Docentes de matemática Elaborado por: MARLENE DAZA
Figura 4.22 Utilización material concreto Fuente: Docentes de matemáticas de la UNEDI Elaborado por: MARLENE DAZA
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
El 20% de los docentes utiliza siempre material concreto en sus clases, más
del 50 por ciento lo hace rara vez y por último el 20% no utiliza.
Se puede interpretar que la mayoría de docentes tratan de que el proceso de
enseñanza aprendizaje sea verificable a nivel cognitivo, psicomotriz, y se
fortifique los conocimientos de los estudiantes
20%
60%
20%
UTILIZA MATERIAL CONCRETO
Siempre 20%
Rara vez 60%
Nunca 20%
Alternativas Frecuencia absoluta Frecuencia relativa
Siempre 1 20
Rara vez 3 60
Nunca 1 20
Total 5 100
98
4.23 ¿Cómo docente de matemáticas cree indispensable renovar el proceso de enseñanza aprendizaje mediante las TIC.
Tabla 4.23 Resultados de la pregunta 11
Fuente: Docente de matemáticas de la UNEDI. Elaborado por: MARLENE DAZA
Figura 4.23 Incorporación de TIC Fuente: Docentes de la UNEDI Elaborado por: Marlene Daza
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN Del grupo de docentes encuestados el 60%
que equivale a tres tutores del área respondieron que siempre se debe
innovar los conocimientos mediante las Tics, el 20 % rara vez y en otro
20% nunca
Se puede decir que la mayoría de los docentes tiene conocimiento básicos
de tics y saben hacerlo por lo que están dispuestos a utilizar la tics, existe
uno que dice temporalmente, pero el otro se niega a innovar la enseñanza.
40%
40%
20%
INCORPORACIÒN DE TICS
3: Siempre 60%
1: Rara vez 20%
1: Nunca 20%
Alternativas Frecuencia absoluta Frecuencia relativa
Siempre 3 60
Rara vez 1 20
Nunca 1 20
Total 5 100
99
4.24 Señale cuál de los métodos de enseñanza contemporánea maneja
más.
Tabla 4.24 Resultados de la pregunta 12
Fuente: Docente de matemáticas de la UNEDI. Elaborado por: MARLENE DAZA
Figura 4.24 Incorporación de TIC Fuente: Docentes de la UNEDI Elaborado por: Marlene Daza
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
Del 100 5 de docentes que son cinco, el cuarenta por ciento aplica el
proceso metodológico ERCA y el 20 por ciento señalo cada una de las
alternativas
Se puede Afirmar que los dos docentes siempre utilizan el ERCA, en cambio
un docente de los restantes escogieron cada una de las alternativas,
significa que un docente enseña por el meto heurístico, otro aplica las ti
20%
40%20%
20%
MÈTODOS ACUALES1: Heuristico 20 %
2 ERCA 40%
1:JUEGOS 2O%
1 LA TECNOLOGIA20%
Alternativas Frecuencia absoluta Frecuencia relativa
Heurístico 1 20
Proceso (ERCA) 2 40
Juegos 1 20
La tecnología 1 20
Total 5 100
100
CAPÍTULO V
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
5.1 Conclusiones
En base a los resultados se concluye:
• La metodología utilizada por el docente, se caracteriza por ser activa en la
mayoría de ocasiones, utilizando los principales recursos la pizarra,
marcadores y en algunos casos usan la tecnología desean innovar sus
conocimientos además de la aplicación de los métodos heurístico,
inductivo, deductivo del Centro de Apoyo Tutorial (CAT) en Pimampiro
.
• Los docentes de matemática en la UNEDI, para resolver las dificultades
del algebra rara vez relaciona con las experiencias vividas, se observa
que interactúan docente - educador. También dominan el nivel cognitivo y
afectivo logrando que los estudiantes aprendan mediante videos,
diapositivas y tareas. Los estudiantes se auto educan, pocos son
ayudados a cumplir con sus labores educativas.
• Como medios útiles del aprendizaje del algebra matricial son las
habilidades algebraicas, existen estudiantes que usan los libros para
resolver los ejercicios y lo hacen mediante estrategias de lectura,
análisis y ejercicio; se requiere aplicar métodos modernos, presentan
curiosidad por el uso de tecnología como calculadoras modernas,
consultas en internet, juegos numéricos, procesos de resolución etc.
• Se pudo cumplir con los objetivos planteados, que no consiste solo en
conocer la metodología contemporánea, sino analizar, caracterizar y
observar la utilidad que prestan en la enseñanza aprendizaje del tema de
matrices y determinantes.
101
• Al culminar esta tesis se consigue logros efectivos para la comunidad
educativa UNEDI, se logró incrementar la experiencia tutorial del
encuestador, y el desempeño de los encuestados en aspectos
metodológicos del aprendizaje y aplicación de matrices y determinantes
5.2 Recomendaciones
• Los docentes deben estar en constante capacitación, aplicar nuevos
métodos de enseñanza mediante estrategias de integración, para que las
propuestas de desarrollo estudiantil dejen de ser simplemente reflexiones
teóricas, motivar a los estudiantes el gusto por la matemática enfocadas
siempre en una participación critica, creativa, aprovechando al máximo
los recursos que poseen y si es posible gestionar para adquirir un
laboratorio de computo en cada CAT y aportar al progreso de la
educación.
• Es indispensable relacionar las experiencias, el entorno para dar solución
a los problemas y vivir en un ambiente equilibrado; introducir la tecnología
en los estudiantes adultos de la UNEDI para que se auto eduquen, se
les facilite sus labores educativas y se formen seres humanos que se
inserten fácilmente en la sociedad. Aplicar el método de Polya para
aprender de los errores y que los estudiantes construyan el conocimiento;
como dice el dicho “hay que enseñarle a pescar y no darle pescando”.
• Se necesita que los docentes del área de matemática incrementen las
habilidades algebraicas mediante la aplicación de las TIC y la
comprensión lectora de los módulos realizando un aprendizaje
significativo que permita satisfacer la curiosidad de los estudiantes en el
empleo de las herramientas tecnológicas que por desconocimiento no
logran disfrutar y estar al mismo nivel de otras instituciones educativas
102
• Implementar la metodología actual, resaltando los beneficios del proceso
de matrices y determinantes para resolver situaciones de la vida
cotidiana mediante solución de sistemas de ecuaciones computarizadas
que se informan en una guía y conseguir fines excelentes planteados en
un principio para que el desempeño estudiantil sea de calidad e inducir a
enfrentar la realidad.
• Ampliar y actualizar constantemente conocimientos del investigador a
través del mundo de la informática e interactuando con los estudiantes.
Guiar la formación de entes productivos, al finalizar este trabajo de tesis
fortalecer la experiencia y ser capaz de diseñar diapositivas ilustrativas
de matrices, y una guía informativa sobre su aplicación.
.
103
CAPÍTULO VI
PROPUESTA
6.1 Tema
Las TIC en el aprendizaje innovador de matrices y determinantes.
6.2 Presentación
Primeramente se va a conocer la grandiosa herramienta de las TIC mediante
talleres de capacitación dirigido a estudiantes, que conozcan las ventajas,
funciones, cuales son, programas; la enseñanza de matrices y
determinantes mediante diapositivas y en el último taller se enlaza al
programa Wiris se recibirá refuerzo de parte de los docentes de la UTE y
compañeros de informática de la Unidad que tienen experiencia suficiente
que permitan llegar a conocer y ejercitarse en este programa.
Se puede llegar a solucionar problemas de la vida diaria de una manera
fácil, comprensible y creadora complementando la pedagogía del algebra
en el aula con el empleo de programas informáticos establecidos para
resolver la variedad de algoritmos como hallar el valor de una matriz en
forma rápida que favorece la solución de sistemas de ecuaciones con dos
incógnitas, tres, y más también se puede decir que permite a los docentes
planificar con mayor exactitud , construyendo matriz de recursos por el
docente, tablas evaluativas e incluso hallar el tipo de matriz respectiva como
la matriz diagonal, inversa , cuadrática, transpuesta
104
6.3 Objetivos
6.3.1 Objetivo general
Promover la innovación tecnológica, incluyendo las TIC para propiciar
proceso de desarrollo sostenible de matrices y determinantes en los
docentes y estudiantes aprovechando la creación de diapositivas y las
posibilidades de verificar mediante Wiris.
6.3.2 Objetivos Específicos
1) Fortalecer el nivel académico de los estudiantes mediante el uso de los
ordenadores del centro de cómputo asesorados del tutor
correspondiente que les ayude a construir conocimiento de matrices y
determinantes
2) Apreciar los procesos técnicos como una herramienta indispensable en
la formación de nuevos profesionales de ciencias sociales con igualdad
de oportunidades para que se inserten con facilidad en la sociedad
3) Desarrollar una información clara de las tic entre docentes , estudiantes
y la comunidad para que resuelvan problemas del entorno, mejorando
el avance científico, tecnológico y las relaciones interpersonales
6.4 Población - Objeto
Población: los beneficiarios directos son los 10 docentes y 150 alumnos de
la UNEDI (Unidad Educativa a Distancia de Imbabura) Cantón Pimampiro
son personas que por la falta de recursos económicos, no tienen un colegio
cercano viven en las comunidades lejanas del casco urbano, donde no
existe transporte peor aún medios de comunicación; son aquellas que por
problemas personales no lo han podido hacer; no se toma en cuenta a
padres de familia porque en un 85 % son los mismos estudiantes.
105
Objeto: los beneficiarios directos son los 40 estudiantes mayores de 17
años del Segundo de Curso de Bachillerato en Ciencias Sociales
personas adultas mayores de 18 años que estudian a distancias, hoy por la
nueva ley de educación pasa a ser sistema de educación semi presencial de
Imbabura específicamente en el cantón Pimampiro del Centro de Apoyo
Tutorial (CAT) Pimampiro – del día Sábado periodo 2012-2013 además los
5 docentes del área de Matemáticas.
Tabla de la población
Tabla 6.1 Población- Objeto Población
Beneficiarios directos Beneficiarios indirectos
No de estudiantes
40 150
No de docentes
5 10
Total
45 160
Fuente: Secretaria de la UNEDI Elaborado por: Marlene Daza
6.5 Localización
El CAT de Pimampiro funciona en la escuela “Rosa Zarate” . Coordinador el
Msc. Franklin Miranda .El lugar donde funciona está ubicado en la parte
Urbana en el barrio San Pedro, calle Atahualpa; las tutorías cumplen con la
jornada pedagógica de ocho horas diarias, inicia a las ocho de la mañana
hasta las 16 horas. NOTA: El laboratorio de computación cuenta con 20
computadoras
106
6.6 Desarrollo de la propuesta 6.6.1 Taller Nº 1
Figura 6.1 Aprender a Aprender Fuente: imágenes. Aprender a aprender( https://www.google.com.ec)
6.6.1.1 Tema: Aprovechar las TIC y sus utilidades (técnica exposición) Partes de la exposición: introducción, desarrollo y conclusión
6.6.1.2. Objetivo: informar las características y Comprender la importancia
de aplicar las tic en el proceso enseñanza aprendizaje en especial de
matrices tanto a docentes como estudiantes.
6.6.1.3 Actividades
� Dinámica de Integración: trabajo con los recursos tecnológicos
Cada integrante inicia nombrando un instrumento tecnológico diferente,
luego se mueven los del grupo conforme el dinamizador inicia y nombra
otro instrumento, lo que se repite es ” cuando me voy a la oficina cojo el
computador.. y trabajo así, así, así, así y cuando Salí me encontré con
el celular….…..”. (Realizando movimientos chistosos creativos) Daza M
� Presentación de contenidos
� Introducción de las TIC
� Definición
107
� Estrategias del gobierno sobre el uso de las tic en la educación
� Ventajas y desventajas de las TIC
� La profesionalización
� Funciones y actividades de los docentes frente a las TIC
� Retos de los docentes para innovar conocimientos
� Desarrollo de Contenidos
A) Introducción de las TIC
La transformación profunda del sistema educativo hace que el currículo se
fundamente en inclusión , integración, y promueve los procesos tecnológicos
aplicados en la construcción de la ciencia y la tecnología conforme va
evolucionando la sociedad automáticamente la educación ya que es el motor
del desarrollo nacional tiene la obligación de emplear nuevas metodologías
la educación tiene que sufrir cambios, transformación potencial que es
consecuente con el rol del docente y las técnicas para enseñar a los
educandos. La aplicación de los instrumentos tecnológicos deben estar
enfocados en la formación de estudiantes y docentes que faciliten la
formación adecuada relacionando con las funciones y actividades en el
quehacer profesional.
Belloch,C ( 2011)
Recursos tecnológicos., TIC(http://www.uv.es) .18-08-2013
� Es indispensable capacitar a los docentes del Ecuador en el uso de
las tecnologías para enfocarse en una educación innovadora para
formar personas con responsabilidad social que permitan desarrollar
nuevas y mejores formas de vivir
108
� Los jóvenes adolescentes que son personas de bajos recursos podrán
acceder a la tecnología haciendo de esta, una herramienta
fundamental en diversos ámbitos como liderazgo, derechos humanos,
salud, historia, y que mejor escoger su profesión para consolidar
talento humano mediante el uso de tecnologías
Términos y condiciones: ( http://www.inclusion.gob.ec ) 23-10-2012
B) Definición Las TIC.- son tecnologías que nos ayudan a transferir,
procesar y divulgar información de manera instantánea, son consideradas
como el pilar fundamental de la brecha digital sobre la que se construirá una
sociedad de información que le permita salir del analfabetismo tecnológico
Gonzales, D (SF) la globalización de las TIC (http://es.slideshare.net))28 - 10 - 2012.
C) Estrategias del gobierno sobre el uso de las TIC en la educación
� Promocionar procesos sostenidos de formación académica
� Acrecentar la inversión en ciencia y tecnología
� Fortalecer los conocimiento de los docentes mediante curso de
nivelación
� Incorporar el acceso de internet a instituciones educativas en zonas
abandonadas del sector rural
� Regular a los docentes para que asuman la responsabilidad
educativa
� Promocionar los medios de comunicación alternativos locales.
Se puede agregar diciendo que los fines y objetivos en primer lugar deben
estar orientados a resolver problemas de subdesarrollo, es necesario definir
contenidos del currículo que permitan la comprensión y solución de
109
problemas colectivos, de una comunidad, país a nivel científico y
tecnológico. La educación debe estimular e incrementar las capacidades de
pensar, hacer, sentir y saber de los estudiantes quienes serán los
responsables del éxito o fracaso de la formación humana e integra como un
ente productivo; guiados por docentes capacitados en las nuevas
tecnologías del milenio ( Poso, A. Reyes, l . Reyes y W. Parea, G, 2009, pp. 30- 63)
D) VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LAS TIC
D.1) Ventajas
• Es una herramienta básica de la comunicación,
• Admite un ingreso equitativo a la información y descarta obstáculos
de espacio y tiempo
• Incrementa respuestas innovadoras para enfrentar a los retos que se
presentan en la educación en el presente y futuro
• Benefician la cooperación y colaboración de una variedad de
entidades
• Incentiva el seguimiento de nuevas profesiones de mercado , elevan
la calidad de vida de los individuos
• Incrementan el dialogo y son interactivos, creativos, y analíticos Poso,
A. Reyes, l . Reyes, W. y Parea, G .2009 (pp . 30- 63)
110
D.2) Desventajas para los estudiantes y docentes
Tabla 6.2 Desventajas de las TIC para estudiantes y docentes Desventajas de estudiantes Desventajas de docentes
• Incomunicación.
• Fatiga mental,.
• Pérdida de tiempo.
• Se reprimen o explotan sus
emociones.
• Carácter rebelde.
• Recursos educativos poco
didácticos.
• Gastos económicos
exagerados.
• Se vuelven adictos
• Carecen de conocimientos
• insuficiente mantenimiento de
los equipos, computadoras y
programas
• No estimulan estrategias de
desarrollo del pensamiento.
• Diferencias con relación a las
actividades.
• Problemas de mantenimiento
de los ordenadores.
• Se hace dependiente de los
sistemas informáticos.
• Existe demanda de entrega
total al internet
• No tener conocimientos
informáticos
• Inestabilidad emocional
Fuente: Padilla, J, .(http://jupiparo.blogspot.com) uso de las TIC consultado 13-11-1913
Diseño: Marlene Daza
111
E) La profesionalización mediante las TIC
Figura 6.2 Profesionalización
Fuente: Córdoba,S. Primer congreso de las tic en el proceso enseñanza aprendizaje( http://sadop-cordoba.blogspot.com) 3-08-2013
Diseño: Marlene Daza
F) Funciones de los docentes ante la aparición de las TIC
� Resaltar la función del profesor como mediador, y no como un personaje
autoritario que promueva la creación, construcción de conocimientos
para que sean educandos autónomos.
� Intervendrán los docentes en el trabajo progresivo de los estudiantes en
forma individual y personal
� Los docentes y estudiantes interactuaran para que el proceso de
enseñanza aprendizaje consigan productos de calidad, deberán
comprende la utilidad de aplicar en los tema de aplicación de matrices y
determinantes
� Verificar que los beneficios no son únicamente personales, están
enfocados en aprender a utilizar las TIC
Digitador(Internet ,
la weeb
Dinero electrónico Conocer el entorno
(mapas, croquis, planos)
Computadoras
de propósito fijo
Incrementar su
nivel cognitivo
La robótica Auditores
112
G) Actividades que el docente debe cumplir para integrar las TIC en el aula
Preparar el proceso enseñanza-aprendizaje
Elegir y presentar contenidos de las materias
Ofrecer información y explicación mediante las TIC
H) Los retos de los docentes en la innovación de conocimientos
Enseñar destrezas a los estudiantes para que puedan relacionar los
contenidos con el entorno, desarrollar un análisis crítico, creativo; promover
a los docentes para que utilicen las herramientas tecnológicas de la
información y de la comunicación en los procesos enseñanza-aprendizaje.
MINIMIZAR las limitaciones que puedan presentarse en el entorno social,
siempre habrá una herramienta tecnológica que los educandos y educadores
podrán utilizar.
INTEGRAR personas a la sociedad como entes profesionales, productivos y
en especial como seres innovadores (http:// www.oei.es)/metas2021)
LASTIC2.p (. consultado 15 de octubre 2013
I) Aplicación de formación matrices:
Las matrices se usan en el contexto de las ciencias como elementos que
sirven para clasificar valores numéricos tomando como referencia puntos de
vista o lo que se conoce como variables
• Ejemplo: una matriz de globos de dos colores con sus precios
respectivo y en paquetes de 2,5,10 a un precio de 5,6,7 centavos los
de color rojo y los amarillos 7,8,9 centavos, este enunciado le
colocamos en una tabla matricial acorde con el enunciado
113
Tabla 6.3 APLICACIÓN: datos de materiales y precios
Fuente: planteamiento de un problema. Uso de las tic 10 diciembre 10-12-1912 Diseño Daza, M
Esta tabla la podemos transformar, escribir en notación de una matriz A =" +2 +5 +100.5 0.6 0.70.7 0.8 0.9 %
Todo esto que se lo realizó paso por paso y se puede hacerlo con los
estudiantes es así que nace la necesidad de realizar la propuesta utilizando
las tic en el aprendizaje de matrices y determinantes.
J) Taller y evaluación
Se formará grupos de cinco personas, se entregara los marcadores y que
escriban la profesión que les atrae, dos ventajas y desventajas de los
estudiantes y docentes, de acuerdo a las tics que realicen algunos recortes
y por último que lo peguen en un papelote formando un collage
Color Paquete de 2 Paquete de 5 Paquete de 10
Rojos ( R) 0.5 0.6 0.7
Amarillos (A) 0.7 0.8 0.9
114
6.6.1.4 Cronograma Tabla 6.4 CRONOGRAMA 1 Actividad Responsable Recursos Tiempo
(minutos)
Dinámica de integración Dinamizador. Estudiantes. Docentes.
Humanos, celular,
cámara. juegos
creativos
10
Presentación de contenidos Expositor:
Marlene D.
Proyector,
computadora
5
Desarrollo de contenidos Marlene Daza Proyector ,pizarra
,carteles
computadora
15
Taller y Evaluación Estudiantes Cartulinas, recortes
de instrumentos,
goma, tecnológicos,
marcadores
20
Fuente: Imágenes del. Uso de las TIC 19-02-1913 Diseño: Dra. Campana, P. y Daza, M.
6.6.2 Taller Nº 2:
6.6.2.1 Tema: aplicación de las TIC
6.6.2.2 Objetivo: Introducir las tic en la enseñanza de matrices y
determinantes a los estudiantes para mejorar la comprensión de la
clasificación de matrices mediante la proyección de diapositivas.
6.6.2.3 Actividades
Dinámica: Los submarinos (incrementar la confianza de los integrantes de
un mismo equipo de trabajo
� Proceso. Formar equipos de 3 A 6 integrantes, los que deben tomarse
de la cintura o del hombro. Todos los integrantes del equipo deben estar
"vendados" (sin ver) excepto el último. El juego se trata de que los
115
equipos tomados de la cintura y sin ver deben moverse por el terreno del
juego sólo guiados por las instrucciones del último de la fila (aprisa, a la
derecha, paren, continuar,…., etc..). El objetivo de cada submarino es
chocar a los otros submarinos y tratando de no ser chocado con los
otros integrantes.
pastoraljuvenilcoyuca@yahoo.com.mx ( http://www.pjcweb.org) ( 25-04-2013)
� Presentación de contenidos
� Matrices
� Clasificación de matrices, caracterización de cada una de ellas
� Ejemplificación
� Determinantes de matrices de orden 2x2 y de 3x3
� Aplicación de los determinantes en problemas sistemas
Solución de sistemas de ecuaciones
� Desarrollo de contenidos
Se lo hará simultáneamente con la proyección de las diapositivas y los
contenidos propuestos en la tesis en el fundamento teórico.
6.6.2.4 Ampliación de contenidos (Diseño de diapositivas) de: matrices,
clases y procesos de digitación, creación en la computadora mediante la
proyección de las diapositivas.
123
Formación de equipos de trabajo
Se lo hará en grupos de 3 o 4 estudiantes porque se les ira guiando con la
explicación del tutor mediador
� Trabajos en equipo:
Completar matrices en forma escrita, y luego activar los conocimientos
adquiridos con el uso de la computadora mediante herramientas existentes
(haciendo click en insertar- ecuación y el símbolo de matrices) formulen
matrices pongan el orden, identifique filas columna notación de matrices y
sus elementos, entre otros.
� Evaluación del taller
Verificar la escritura de matrices y citar 4 clases de matrices con sus
características; diferenciar las matrices de los determinantes y que lo hagan
en el laboratorio mediante las computadoras y en las hojas A4 manualmente
124
6.6.2.5 Cronograma 2 Tabla 6.5 CRONOGRAMA 2
Fuente: Imágenes del. Uso de las tic 13-11-1912 Diseño: Dra. Campana, P. y Daza, M
6.6.3 Taller Nº 3 6.6.3.1 Tema Aplicación de las TIC en el aprendizaje MATRICES Y
DETERMINANTES mediante una guía de la plataforma Wiris
Primero se capacitara a docentes del área para que ayuden a transmitir
los conocimientos a los estudiantes en los centros tutoriales de la UNEDI,
exclusivamente en Pimampiro
6.6.3.2 Objetivo: introducir la plataforma en línea wiris (página del Municipio:
Pimampiro. Org/tics) para conocer las características, utilidad, ventajas, de
Actividad Responsable Recursos Tiempo
(minutos)
Dinámica de integración Dinamizador.
Estudiantes.
Docentes.
Humanos,
Ideas para dirigir a su
equipo, creativos
10
Presentación de
contenidos
Expositor:
Marlene D.
Proyector,
computadora
Diapositivas diseñadas
5
Desarrollo de contenidos
Marlene Daza Proyector
Computadora
Diapositivas, material
del aula
40
Taller y Evaluación Estudiantes Papel bond A4
Centro de computo
25
125
este, encaminado a conocer la herramienta básica del sistema educativo de
matemática.
www.wiris.com calculadora
6.6.3.3 Actividades
� Dinámica de Integración(MEDICIÓN DE MEMORIA se llama el teléfono)
Se la realiza con unas 5 personas y se le dice un mensaje a la primera el
resto está afuera y va pasando el mensaje a la siguiente, y se observa y
escucha que cada vez lo van modificando hasta que la quinta persona narra
y el mensaje es dicho con diferentes palabras
� Presentación de contenidos
� Definición de la herramienta tecnológica WIRIS
� Como ingresar a la plataforma
� Contenidos de la página WIRIS
� Ventajas
� Conocer las ventanas, y los hipervínculos que se
relacionan con matrices
� Caracterizar y ver la utilidad de las ventanas e
hipervínculos,
� Ejemplificación
126
� Desarrollo de contenidos GUIA
6.6.3.4 Definición de la herramienta tecnológica WIRIS
WIRIS es una plataforma en línea para cálculos matemáticos creada
especialmente para el sistema educativo. Se puede acceder de forma
gratuita, contiene animaciones brindando variedad de oportunidades, no
necesita ningún tipo de conexión de software, solo la conexión a internet
Es una herramienta tecnológica de gran ayuda para la enseñanza de
matemática, ya que es muy amplia abarca varios niveles desde la primaria
hasta niveles superiores
(http://www.wiris.com) 02-12-2012
Existe varias formas o programas como enseñar las matemáticas entre ellos
tenemos: por Descartes, pizarra electrónica, Geogebra. Webquest, Wiris,
wiki paces y otros
127
Figura 6.4 Presentación de la pagina FUENTE: Página de programación (http://www.wiris.com) 02-12-2012
6.6.3.5 Contenidos de la página WIRIS
� Calculo del determinante de una matriz
� Permite encontrar la matriz transpuesta, inversa, identidad es una
guía para verificar lo que se aprende manualmente
� Análisis de ecuaciones de segundo grado
� Apoyo para Figura en el aula
(http://www.wiris.com) 02-12-2012
6.6.3.6 Ventajas.- Es una herramienta fundamental para el proceso
enseñanza aprendizaje por que presenta de una forma rápida sus respuesta,
con lenguaje explicito, tiene que tener unos requisitos previos: saber manejar
la computadora, conocimientos sobre enlace de, internet y navegación
comprender las pautas, ventanas, los hipervínculos relacionados
(http://www.wiris.com 02-12-2012
Desarrolla actividades en Álgebra, existe libertad de experimentar, y
confirmar de manera inmediata los resultados.
128
Admite compromiso de programación y repetición de ejercicios
Es herramienta de soporte audio visual, beneficioso en la transferencia de
conocimientos para los educadores.
De una forma dinámica comprende y mejora el aprendizaje saliéndose de la
rutina.
La representación gráfica es explicita y economiza tiempo en el diseño de
graficas en la pizarra que no están a escala.
D) Como ingresar a la plataforma
Para saber ¿qué es? ¿ cómo es? y ¿Dónde se aplica ? Se entra en la
página de
(http://www.wiris.com)
6.6.3.7 Apéndice de la Lista de iconos.- En la barra de herramientas se
encuentran imágenes siguientes muestran todos los iconos disponibles en
las pestañas.
129
A. Para extraer raíces o fracciones
1 2 3 4 5
Figura 6.5 Lista de iconos de la plataforma wiris (GUÍA)
A1. El primer bloque es para representar fracciones con la línea de división tanto horizontal como vertical, raíces cuadradas y raíces con cualquier índice
A2. Sirve para la potenciación o características con subíndices
A3. Son herramientas de los signos de agrupación de: paréntesis ( ), corchete [ ] , llaves{ } o barras I I
A4. Signos de las cuatro operaciones básicas: + suma, - resta, x multiplicación, ÷ / división
A5. Simbología empleada en la notación de conjuntos: € pertenencia conjuntos, subconjuntos, U unión, intersección
(http://www.wiris.com)05-01-2013
B. Simbología para conjuntos
1 2 3 4 5
B1. Son algoritmos que se usan en operaciones con los conjuntos
130
B2. En el bloque 2 se encuentra PI, semejanza, diferencia de conjuntos,
diferencia simétrica, conjunto vacío Ø
C. Simbología para lógica matemática
C1
C1 Este bloque de signos son de implicación hacia la derecha o la
izquierda según la dirección de la flecha, equivalencia lógica
http://www.wiris.com),10-01-2013
D Esta pestaña es la que nos conviene porque se aplica en matrices
D
D1 D2 D3
� Para crear una matriz, abre la pestaña Matrices y pulsa el icono D que
define cada signo de agrupación.
�¬. ¬¬ ¬� Ü Ü
131
D1.Si se escoge el icono de los paréntesis ( ) o signos de agrupación
redondos: son para escribir matrices, que se va llenando cada una de las
posiciones en los cuadros indicados, hay opciones para incrementar, filas,
columnas y también se puede borrar en la primera opción del editor, existe
las alternativas para guardar, copiar, eliminar e imprimir
Ý, � X⋮ ⋱ ⋮6 � ß
� Los corchetes U W, o signos de agrupación rectangulares son para
representar los determinantes o realizar el cálculo del determinante de
matrices señaladas
"r ⋯ à⋮ ⋱ ⋮á ⋯ â%
� Las barras verticales o signos de valor absoluto pero que no lo son,
|| =
Representa ningún signo de agrupación determinantes (quizás desees
añadir otros diferentes en ninguno, como llaves o barras dobles). Puedes
empezar a rellenar las posiciones con números o cualquier otra expresión
que necesites.( http://www.wiris.com)12-01-2013
D2 como se puede observar son opciones para representar matrices de
columnas o matrices de filas, en especial para trabajar con vectores, con
determinantes no; porque el orden de los determinantes es cuadrado como
2x2, 3x3,… es decir número de columnas igual al número de filas…
X: Se utiliza para hallar ecuaciones con números fraccionario, mixtos
radicales de diferente índice
132
X
R: Es aplicado para hallar el valor absoluto, hallar la negación,
complemento, equivalencia
R
i
Este icono permite calcular integrales, derivadas, límites, funciones
trigonométricas
(http://www.wiris.com) 2 -03-2013
Al final de esta ventana se encuentra estas opciones
133
‹ Apéndice: Lista de iconos - Versión 3.4 Recursos técnicos ›
Versión para imprimir
Hacer un clic en recursos técnicos y aparece al final la pestaña, como indica
la imagen siguiente es decir en la parte inferior lado izquierdo existe
opciones para: Relacionar expresiones algebraicas y símbolos dentro de
fórmulas pasó a paso y más abajito la opción para imprimir, en el lado
derecho se encuentra la opción para agregar signos de agrupación
(http://www.wiris.com), 25-03 -2013
Operaciones de matrices aplicando WIRIS editor
La creación y manipulación de matrices con WIRIS editores es muy
importante en el desarrollo de matrices, determinantes y específicamente
para resolver las operaciones matriciales, sistema de ecuaciones con esta
guía de fácil manejo que influye en un sencillo aprendizaje.
6.6.3.8 Icono de Matrices
En la pestaña de Matrices hay algunos iconos para crear matrices, vectores
y tablas. http://www.wiris. 6 28 -03-2013
134
En la parte superior derecha de tu editor, aparecerá una nueva pestaña, la Pestaña Contextual
http://www.wiris.com 2 -03-2013
Puedes hacer clic en cualquier icono para tener una tabla inicial. Entonces
aparecerá una nueva pestaña, con iconos para añadir y suprimir filas y
columnas Haz clic en ella y se puede añadir o eliminar filas y columnas de
forma sencilla como la ilustración de la siguiente página.
(http://www.wiris.com) 2 -03-2013
Se les explicará el proceso en la computadora o mediante la aplicación de la
página con un proyector o video.
135
� Integración de equipos de trabajo colaborativo-
Se lo hará trabajar en parejas, para que el proceso enseñanza aprendizaje,
sea personalizado para lograr algunos beneficios; deben ser capacitados por
alguien que ya domina estos conocimiento, aprender los docentes para que
sean un apoyo en la enseñanza de matemática y se generalice en toda la
UNEDI
� Trabajos en equipo:
Motivar el aprendizaje de esta plataforma con nombres objetos y con
números
� Evaluación del taller
Experimentar la utilidad de cada uno de los iconos ventanas y de relacionar
con destrezas de compresión y la técnica de observación pero
específicamente los temas de matrices que constan en la guía.
Dibuje el icono correspondiente de matrices y el de determinantes
Verificación del aprendizaje: uso y beneficios encontrados que en el centro
de cómputo.
136
6.6.3.9 Cronograma 3
Tabla 6.6 TALLER 3: CRONOGRAMA 3 Actividad Responsable Recursos Tiempo
(minutos)
Dinámica de integración
EL TELÉFONO
Dinamizador. Estudiantes. Docentes.
Humanos,
Ideas para dirigir a su
equipo, creativos
10
Presentación de
contenidos de la
Plataforma wiris
Expositor:
Marlene D y los
cuatro docentes
más del área de
matemática.
computadoras
Plataforma wiris o
calculadora wiris
GUIA
15
Desarrollo de contenidos
Marlene Daza Guía diseñada, con
sus gráficos sobre los
iconos, y aplicación
Computadora ,
material del aula
45
Fuente: Imágenes del. uso de las tic 11-04-2013 Diseño: Dra. Campana, P. y Daza, M
137
BIBLIOGRAFÍA
• Abril, M. (2004) Diccionario Enciclopédico. La educación abierta
permanente y a distancia del siglo 21. Primera edición. PP.
impresores. Ecuador
• Achaerandi0, L. (1998) Iniciación a la Práctica de la Investigación
Guatemala Publicaciones.
• Caballero, S. (1961) . Naturaleza y alcance del método científico.
Madrid, Gredos . pp19
• Campana, Patricia(2008) Módulo para la elaboración del Plan de
titulación, Quito, UTE
• Corial, B.(1982) El taller y el cronómetro. Ensayo sobre el taylorismo,
el fordismo y la producción en masa, Madrid: Siglo XXI
• Deivi Luzardo,(sf) Alirio J. Peña P Algebra de matrices150-164
• Dienes, Z.P. (1976) La matemática en la enseñanza moderna en la
enseñanza primaria. Teide. Barcelona,
• Frank Ayres, (2000) “Matrices” Editorial McGraw-Hill, Buenos Aires
• Folleto del PEI de la UNEDI
• González, O. y Mancill,D (1977)Algebra Elemental Moderna .Editorial
Kapeluz, volumen 1.Ediciòn Argentina.
138
• Grossman, S y Flores, J (.2012) Algebra Lineal. Editorial mexicana”
Ediciòn McGraw-Hill, séptima edición. Registro 736.p 1-320
• Guzmán, M. (1989), de, Tendencias actuales de la enseñanza de la
matemática, Estudia Pedagógica. Revista de Ciencias de la
Educación, 21 19-26
• Guzmán, M. (19191) Proceso de resolución de un problema p 80
• Muñoz, S.(1991) Enciclopedia Estudiantil Educar. Matemática y física
volumen 1,séptima edición . Bogotá-Colombia.
• Oropeza, Moterrubio, R.(2004) et. al. Aprendizaje Acelerado, la
revolución educativa del siglo XXI. Edit. Panorama.
• Revelo Rosero, J.(1989) Metodología de la enseñanza de la
matemática, Truffello, I. y Pérez Estrategias Metodológicas. Chile:
Segure y Solar
• Sáenz, Rolando. “Fundamentos de Algebra Lineal” Editorial CMUC
pp139-232
• Torres, M Metodología de la investigación, y el método
• Lara Guerrero, Juan (1997): "Estrategias para un aprendizaje
significativo-constructivista", en: Revista Enseñanza, 15,pp. 29-50.
• Lehman, Ch.(1980) Álgebra .editorial Limusa, México PP.(337 –
371)
• Zill, D y Dewar,J(1996) Algebra y trigonometría. McGraw-
Hill.Segunda edición. Santafé de Bogotá , Colombia pp462-468
139
• Zorrilla, S. Torres,M. Cervo, L. (1999) Metodología de la Investigación.
McGraw-Hill México (Zill,D. y Dewar J.
WEBGRAFÍA
Achaerandio, L. (1998) Iniciación a la Práctica de la Investigación
Guatemala Publicaciones. Métodos de Investigación (3ª. Edición).Salkid, N.
(1998)Editorial Prentice Hall.Introducción al Proceso de
Investigación.Monzón García, Samuel Alfredo (1993). Editorial TUCUR.
Belloch, C.(s.f) (Recursos tecnológicos PP 1-8)
http://www.uv.es/bellochc/logopedia/NRTLogo1.wiki.
Centro de tesis, documentos, publicaciones y recursos educativos
www.monografìas.com
Eduteka. (2007). Estándares de Competencias TIC para estudiantes.
http:/www.eduteka.orgI/modulos/11/335/59/1
Enrique Martínez-Salanova Sánchez (1999) Clasificación de los métodos de enseñanza © http://www.uhu.es/cine.educacion/didactica/0031clasificacionmetodos.htm
Joubert, Joseph. ”Enseñar es aprender dos
veces”educando@educando.edu.do
Teléfono: (809) 688-9700, Ministerio de Educación, Santo Domingo
República Dominicana
Marqués, P.(2000) Impacto de las tic en la educación: funciones y
limitaciones http://peremarques.pangea.org/siyedu.htm © Dr. Pere Marquès
Graells, 2000 (última revisión: 7/08/11 )
Martínez, K.; Ojeda, D; Velásquez, R y Villalva, “2009 años de JOSÉ MARÍA
MORELOS Y RAÚL siervo de la nación
140
http://aplicacionestesoem.wikispaces.com/HISTORIA+DEL+ALGEBRA+LINE
AL
Divulgaciones Matemáticas Vol. 14 No. 2(2006), pp. 153{170
Contributions to http://aplicacionestesoem.wikispaces.com/ are licensed
under a
Creative Commons Attribution Share-Alike 3.0 License.
Portions not contributed by visitors are Copyright 2013 Tangient LL
Maydana, R. y López, T. “Ciclo del aprendizaje” Enero 2000 (pp. 21 - 23)
Edición cuidada : Carrera R. PERÚ.
http://www.slideshare.net/FreddyRiveraMerino/detalle-del-erca
Morales, P. y Landa, V. (2004). Aprendizaje basado en problemas, en
Theoria, Vol.13. Pp. 145-
157.http://web.archive.org/web/http://redalyc.uaemex.mx/redalyc/pdf/299/299
01314
Padilla, J. (s.f) ventajas y Desventajas de las TIC.
http://jupiparo.blogspot.com
Pastoral Juvenil Coyuca. Material del apoyo. Dinámicas de integración
Parroquia de San Miguel Arcángel, Coyuca de Benítez Gro. México
pastoraljuvenilcoyuca@yahoo.com.mx
http://www.pjcweb.org/Biblioteca/Dinamicas/din_integracion.htm#Juguemos
%20a%20los%20espejos.
Pérez y Bermúdez, Didáctica , técnicas y métodos de enseñanza
http://www.foroswebgratis.com/tema-tecnicas_de_ensenanza-60880)
516900.htm
141
Términos y condiciones: ( http://www.inclusion.gob.ec
TIC aplicando a la educaciónUMANE - Urdesa, Ave. Dátiles #215 y la
Tercera
PBX: 2882710 - Email:info@humane.edu.ec.
http://www.educando.edu.do/articulos/docente/los-metodos-en-la-enseanza-
de-la-matemtica-texto-completo.
http://www.efit-emat.dgme.sep.gob.mx/emat/ematactividades.htm
programas de compu y tecnología
http://www.slideshare.net/FreddyRivera
http://www.consumer.es/web/es/educacion/universidad/2010/11/05/196949.p
http://www.oei.es) LASTIC2.Sp
http://www.unesco.org/es/educationsustainabldevelopment/publications/good
-practices/
Chttp://www.slideshare.net/erikacarvajal93/tics-archivoarvajal. Uso de las tics
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_elemental
www.minsalud.gov.co/salud/Paginas/MatrizdeContinuidad.aspx
https://ageic2.hes-
so.ch/.../vtTopicFile.disco_vw_es%7Creference_dialogs0...
www.educatina.com
es.wikipedia.org/wiki/Matri
(http://www.wiris.com/es/editor/docs/resources/embed-
editorhttp://www.vitutor.com/algebra/matrices/matrices_Actividades.html
(Fuente: UNIVERSIDAD DE SEVILLA. Biblioteca. Cómo interpretar citas en una
bibliografía [en línea]. Sevilla: Universidad de Sevilla, Biblioteca. [Consulta: 13
agosto 2003] < http://bib.us.es/guias/menu.asp#ayudas>)
A CUESTIONARIO – ESTUDIANTES
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL
Mención: MATEMÁTICA Asignatura: PEI DE MATEMÁTICA
Sujeto investigador: MARLENE DAZA Especialidad. SOCIALES
Colegio: UNEDI Curso: ……………… Sujeto investigado: ……………
• Objetivo: conocer como es el proceso de aprendizaje de la matemática (algebra) e
Identificar la metodología utilizada por los docentes en la enseñanza.
• Instrucciones la encuesta es anónima para garantizar la veracidad de las respuestas.
• Marque con una x la respuesta correcta en los puntos suspensivos
CUESTIONARIO
1.-El método utilizado por el docente de matemática la mayor parte de clases se
caracteriza por ser:
a) Clase magistral (……) b) Participativa (…..) c) Las dos anteriores (…..)
2.- El docente ¿En la aplicación y solución de dificultades del algebra relaciona con
experiencias vividas?
a) Siempre (…) b) Rara vez (…..). c)) Nunca (…..)
3.-El docente cuando resuelve ejercicios de matemática (algebra)
¿Actúan docentes-estudiante a) Siempre (….) b)Rara vez (….) c) Nunca (….
4 -¿El docente en la enseñanza de matemática domina los conocimientos?
a) Dentro del aula (….) b) Fuera del aula (…..) c) Dentro y fuera (….)
5 –¿El aprendizaje del algebra se desarrolla mejor cuando el profesor utiliza?
a) Pizarrón y marcador …………………….. (……)
b) Textos y otros documentos …………… (……)
c) Programas de computación y diapositivas (……)
6. – Si tiene dificultades en el aprendizaje de matemática el profesor?
a) Refuerza (……) b) Amplia de forma interactiva (……) c) Continua (…. )
7.- ¿Cuando usted realiza las tareas de algebra lo hace?:
a) Solo (…) Con ayuda de: b) Sus padres (…) c) Hermanos (….) d) Amigos
(…).
8.- ¿Mejor aprende Usted la asignatura de matemática (algebra) mediante
a) Habilidad algebraicas (…. ) b) Juegos (….) c) Libros (….) d) Ninguno (….)
9.- En el aprendizaje de matemática utiliza más frecuente la estrategia?
a) Leer (….) b) Analizar (….) c) Ejercitar (….) d) Las tres (….)
10.-.Los ejercicios del algebra le permiten DESARROLLAR LA MEMORIA
a) Siempre (…) b) Rara vez (…..). c)) Nunca (…..)
11)¿Cree que se debe enseñar de manera memorística, repetitiva la matemática (algebra)
sin razonar?
a) Siempre (…) b) Rara vez (…..). c)) Nunca (…..)
12) Para mejorar su aprendizaje de matemática (algebra) se debe crear o aplicar nuevas
metodologías de enseñanza.
a) Siempre (…) b) Rara vez (…..). c)) Nunca (…..)
Los estudiantes de la UTE agradecen su colaboración
CUESTIONARIO A DOCENTES
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL
Mención: MATEMÁTICA Asignatura: PEI DE MATEMÁTICA
Nombre del tutor-estudiante: MARLENE DAZA
Especialidad……………. Docente………………….
• Objetivo: conocer el proceso de enseñanza-aprendizaje del algebra (matrices) e
Identificar la metodología que aplica.
• Marque con una x la respuesta correcta en los puntos suspensivos
CUESTIONARIO
1. ¿Ha tenido problemas en abordar temas del algebra (matrices, determinantes?
a) Siempre……… b) Rara vez……….. c) Nunca………
2. ¿Las clases impartidas se caracterizan por ser?
a)……Clase magistral. b)……Participativa c)…. las dos d)…… Ninguna
3. ¿En la solución de un sistema de ecuaciones ha resuelto por?
a) Determinantes…. b) Adición y sustracción…. c) Matrices… d) Otro….
4. ¿En qué lugar domina conocimientos de algebra en la enseñanza de matrices?
a) Dentro del aula…… b) Fuera del aula…. c) Dentro y fuera del aula….
5. ¿Cómo calificaría la recepción de los estudiantes los temas de determinantes, matrices.
de ecuaciones:?
a) Excelente……. b) Muy bueno……. c) Bueno……. d) Regular……
6. ¿Señale el método que considera más óptimo al abordar el tema de resolución de
ecuaciones
a )Igualación ….. b) Sustitución…. c)Determinantes y matrices….. d)………
7. ¿El proceso enseñanza aprendizaje del algebra se desarrolla mejor
utilizando?
a) Pizarrón y marcador ………….. …. (……)
b) Textos y otros documentos …………… (……)
c) Programas de computación y diapositivas (……)
8. ¿Para mejorar el aprendizaje de matemática (algebra) se debe aplicar nuevas
metodologías de enseñanza?
a) Siempre…… b) Rara vez …….. c)) Nunca ..…..
9. ¿Si el aprendizaje es insuficiente que alternativas emplea para mejorar?
a) Refuerza……. b) integra grupos cooperativos……. c) continúa)…...
d) Amplia en forma interactiva……….
10. ¿ En la enseñanza del algebra utiliza material concreto?
a) Siempre…… b) Rara vez …….. c)) Nunca ..…..
11. ¿Cómo docente de matemáticas cree indispensable renovar los métodos en el proceso
de enseñanza aprendizaje mediante las TICS
a) Siempre…… b) Rara vez …….. c)) Nunca ..…..
12. Señale cuál de los métodos de enseñanza contemporánea maneja más
a) Heurístico……. b) Proceso metodológico ERCA…… c) Tecnológico……
Los estudiantes de la UTE agradecen su colaboración
Realización de la encuesta a Segundo de Bachillerato Ciencias Sociales (2012-2013)
Centro de Apoyo Tutorial PIMAMPIRO)
Dinámica de integración .en PUCAHUAICO donde reposan los restos del patrono de La
UNEDI
Video Conferencia acerca de las metodologías de aprendizaje tradicional y las
actuales(wiris)
Mis compañeras del área de matemáticas en el centro de cómputo
Capacitación de matrices a Docentes para ingresar notas al Sistema
MARLENE DAZA Lcdo. MARCO BUITRON
RECTOR- UNEDI
PERSONAL DOCENTE
LA UNEDI se capacita mediante las tic para integrarse a la sociedad y cumplir los objetivos
del milenio
Objetivos de Desarrollo del Milenio Estado de Situación Cantón. Pimampiro PROVINCIA DE IMBABURA / ECUADOR
Capacitación del PROCESO de las TIC a los estudiantes