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7/17/2019 Unidad 3. Analisis de Error y Solucion de Ecuaciones
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Unidad
3
Análisis del error y solución deecuaciones
Competencia específica a desarrollar: Resolver numéricamente ecuaciones no lineales de
una variable. Resolver numéricamente sistemas de ecuaciones no lineales simultáneas.
Contenido
3.1. Análisis del error.
3.1.1. Cifras significativas
3.1.2. Exactitud y precisión3.1.3. Definición de error y tipos de error.
3.1.4. Propagación del error
3.1.5. Error de truncamiento y serie de Taylor
3.2. Raíces de ecuaciones
3.2.1. Método gráfico
3.2.2. Métodos cerrados. Bisección. Regla Falsa. Otros métodos
3.2.3. Métodos abiertos. Iteración de punto fijo. Método de la secante. Newton- Raphson
3.2.4. Raíces múltiples3.2.5. Raíces de polinomios. Método de Müller. Método de Bairstow
3.3. Solución de sistemas de ecuaciones lineales y no lineales.
3.3.1. Métodos para solución de ecuaciones lineales. Jacobi. Gauss- Seidel. Gauss-Jordan .
Otros métodos
3.3.2. Métodos de solución de sistemas de ecuaciones no lineales. Iterativo secuencial.
Newton.
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3.1 Análisis del error
3.1.1. Cifras significativas
La noción intuitiva de cifras significativas de un número está directamente relacionada con la
precisión de los instrumentos o procesos que lo generan.
El número de cifras significativas de un número x corresponde al número de cifras en la
mantisa de su representación en notación científica.
Ya que 0.00123 = 31.23 10 x , decimos que 0.00123 tiene tres Cifras significativas.
El número 3210 = 33.210 10 x posee cuatro cifras significativas.
Note que en el ejemplo anterior, hemos mantenido el 0 de las unidades. Si el origen delnúmero no garantizara el valor de sus unidades, entonces deberíamos escribir directamente
33.210 10 x lo que indicaría que contamos con sólo tres cifras significativas.
Sean v x y c x los valores verdadero y calculado de una cierta cantidad, con v c x x . Decimos
que c x aproxima a v x con t cifras significativas si t es el mayor entero no negativo para el cual
5 10 t v c
v
x x x
x
Para el caso v x = c x , c x aproxima v x con las cifras significativas propias.
Ejemplo
El número 3.1416 aproxima a 3.1415926 en 6 cifras significativas, ya que:
6 6
3.1415926 3.1416
3.1415926
2.3554932 10 5 10 x x
Como se observa, no es necesario que coincidan los dígitos de las cifras significativas.
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Ejercicio 1
Calcular el número de cifras significativas con que 9.99 aproxima a 10.
Ejercicio 2
Calcular el número de cifras significativas con que 1005 aproxima a 1000
El concepto de cifras o dígitos significativos se han desarrollado para designar formalmente la
confiabilidad de un valor numérico. El número de cifras significativas es el número de dígitos
más un digito estimado que se pueda usar con confianza.
Estas cifras proporcionan información real relativa a la magnitud y precisión de las
mediciones de una cantidad. El aumento de la cantidad de cifras significativas incrementa la
precisión de una medición. Los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden
usarse solo para ubicar el punto decimal. Los números:
0.000 018 45
0.000 184 5
0.001 845
Tienen cuatro cifras significativas. La incertidumbre (duda) se puede desechar usando la
notación científica en donde:4.53 x 104
4.530 x 104
4.5300 x 104
Muestran que el número tiene tres, cuatro y cinco cifras significativas.
3.1.2. Exactitud y precisión
Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su
precisión y exactitud.
La precisión es el grado de concordancia dentro de un grupo de mediciones o instrumentos.
Ya que el número de cifras significativas que representa una cantidad o la extensión en las
lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad física. La precisión se
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compone de dos características: conformidad y el número de cifras significativas con las
cuales se puede realizar la medición.
La exactitud se refiere al grado de aproximación o conformidad al valor real de la cantidad
medida.
Estos conceptos se pueden ilustrar gráficamente usando una analogía con un buen tirador al
blanco. Los agujeros en el centro del tiro al blanco de cada esquema de la figura siguiente se
pueden imaginar como las predicciones en una técnica numérica, mientras que el centro del
blanco de cada esquema representa la verdad.
La inexactitud (conocida también como sesgo) se define como un alejamiento sistemático de
la verdad. Por lo tanto, aunque las balas en la figura c están más juntas que las de la figura a,
los dos casos son igualmente inexactos ya que ambos se centran en la esquina superior
izquierda del blanco.
La precisión, por el otro lado se refiere a la magnitud del esparcimiento de las balas. Por lo
tanto, aunque las figuras b y d son igualmente exactas (esto es, igualmente centradas respecto
al blanco), la última es más precisa ya que las balas están en un grupo más compacto.
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Figura: Un ejemplo de un buen tirador ilustra el concepto de exactitud y precisión. a) Inexacto
e impreciso; b) exacto e impreciso; e) inexacto y preciso; d) exacto y preciso.
Llamamos incertidumbre o imprecisión a la falta de precisión, y sesgo o inexactitud, a la falta
sistemática de exactitud, ya sea por debajo o bien por arriba de la cantidad exacta. El manejo
de la incertidumbre o imprecisión puede realizarse mediante distribuciones de probabilidad,
en tanto que el manejo de la inexactitud, mediante rangos o intervalos.
Ejemplo.
Si especificamos que el valor de una resistencia eléctrica es de 100 ± 5% Ω, estamos indicando
que su valor real debe estar en el intervalo [95, 105].
Ejemplo
Supongamos que un profesor debe iniciar siempre sus clases a las 7:00 am. Si existe
incertidumbre, podría iniciar con una distribución normal con media de 7:05 y desviación
estándar de 1 minuto, lo cual indica que el 99.7% de las veces iniciaría en el intervalo [7:02,
7:08]. Por otro lado, si existe (solamente) sesgo, entonces empezaría sistemáticamente (por
ejemplo) a las 7:07.
3.1.3. Definición de error y tipos de error.
Error.
Es la discrepancia que existe entre la magnitud verdadera y la magnitud obtenida. Si * p es
una aproximación a p , el error se define como
* p p E
Sin embargo, para facilitar el manejo y el análisis se emplea el error absoluto definido como
* p p EA
y el error relativo como ,*
p
p p ER
si 0 p
y cómo por ciento de error a
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100)( ER ERP
Error aproximado
100 xonaproximaci
onaproximacionaproximaci
actual
anterior actual
a
Problema:
Suponga que el valor para un cálculo debería ser
21010.0 x p Pero se obtuvo el resultado2* 1008.0 x p , entonces
2 20.10 10 0.08 10 2 EA x x
2 2
2
0.10 10 0.08 100.2
0.10 10
x x ER
x
100 20% ERP ERx
Error por redondeo.
Este error es el resultado de representar aproximadamente números exactos. Es decir, se
debe a la omisión de algunas de las cifras significativas de algún valor específico. Un ejemplo
de donde sucede se da en las computadoras o calculadoras, que solo guardan un número finito
de cifras significativas, cuyo máximo de dígitos o de cifras significativas son de 8 a 14 lo cual
obliga a redondear el valor real.
Los errores de redondeo se deben a que las computadoras solo guardan un número finito de
cifras significativas durante un cálculo. Las computadoras realizan esta función de maneras
diferentes. Por ejemplo, si solo se guardan siete cifras significativas, la computadora puede
almacenar y usar como = 3.141592, omitiendo los términos restantes y generando un
error de redondeo.
Ya que la mayor parte de las computadoras tienen entre 7 y 14 cifras significativas, loserrores de redondeo parecerían no ser muy importantes. Sin embargo, hay dos razones del
porque pueden resultar críticos en algunos métodos numéricos:
Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener una respuesta.
Además, estos cálculos a menudo dependen entre sí. Estos es, los cálculos posteriores son
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dependientes de los anteriores. En consecuencia, aunque un error de redondeo individual
puede ser muy pequeño, el efecto de acumulación en el transcurso de la gran cantidad de
cálculos puede ser significativo.
El efecto del redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo operaciones algebraicas
que emplean números muy pequeños y muy grandes al mismo tiempo. Ya que este caso se
presenta en muchos métodos numéricos, el error de redondeo puede resultar de mucha
importancia.
En el redondeo se conservan las cifras significativas y el resto se descarta.
El último dígito retenido se aumenta en uno si el primer dígito descartado es 5 , si no fuera
así, el dígito conserva su valor.
La importancia de las cifras significativas de los cálculos algebraicos.
Determínese la diferencia de dos números grandes: 32981108.1234 y 32981107.9989.
Enseguida, repítase los cálculos pero incrementándose el minuendo en in 0.001%.
Solución:
La diferencia de los números es:
32981108.1234
32981107.9989 0.1245
Ahora incrementando el minuendo en un 0.001 % se obtiene el número 32 981 437.934 5 y la
diferencia es:
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32981437.9345
32981107.9989
329.3356
Que es considerable diferente de la primera. De aquí que una modificación en el minuendo,aparentemente insignificante, provoca una gran diferencia en el resultado.
Problema: Ilustraciones de las reglas de redondeo
Los siguientes ejemplos tienen por objeto ilustrar las reglas de redondeo analizados.
1. Errores de redondeo
5.6723 5.67 3 cifras significativas
10.406 10.41 4 cifras significativas
7.3500 7.4 2 cifras significativas
88.21650 88.217 5 cifras significativas
1.25001 1.3 2 cifras significativas
2. suma y resta
2.2 – 1.768 = 0.432 = 0.4
0.00468 x 10 -7 + 8.3 x 10 -4 –228 x 10-6 =6.02468 x 10 –4 = 6.0 x 10 -4 se redondea hasta el 3
porque nos indica que es el valor para redondeo
3. multiplicación y división
Evalúese
0.0642 x 4.8 = 0.30816 = 0.31
945/0.3185 = 2967.032967= 2967
Las siguientes reglas pueden aplicarse al redondear números, cuando se realizan
cálculos a mano.
Primera: En el redondeo, se conservan las cifras significativas y el resto se descarta.
El último dígito que se conserva se aumenta en uno, si el primer dígito descartado es
mayor de “5”; de otra manera se deja igual, pero si el primer dígito descartado es “5” ó
“5” seguido de ceros, entonces el último dígito retenido se incrementa en uno, sólo si
es par.
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Segunda: En la suma y la resta, el redondeo se lleva a cabo de forma tal que, el último
dígito retenido en la respuesta corresponda al último dígito más significativo de los
números que están sumando o restando. Nótese que un dígito en la columna de las
centésimas es más significativo que uno de la columna de las milésimas.
Tercera: Para la multiplicación y para la división, el redondeo es tal que, la cantidad
de cifras significativas del resultado es igual al número más pequeño de cifras
significativas que contiene la cantidad en la operación.
Cuarta: Para combinaciones de las operaciones aritméticas, existen dos casos
generales. Se puede sumar o restar el resultado de las multiplicaciones o de las
divisiones.
Error numérico total.
El error numérico total es la suma de los errores de truncamiento y de redondeo. Éste es el
medio para poder lograr minimizar los errores debido a redondeo y esto se logra
incrementando el número de cifras significativas.
Los errores por truncamiento pueden ser disminuidos cuando los errores por redondeo se
incrementan. Para poder disminuir un componente del error numérico total, se debe
incrementar otro valor.
Errores humanos
Errores por equivocación. Las equivocaciones ocurren a cualquier nivel del proceso de
modelación matemática y puede contribuir con todas las otras componentes del error.
Se puede evitar únicamente con el conocimiento de los principios fundamentales y con
el cuidado sobre la aproximación y diseño de la solución a un problema.
Errores de formulación. Los errores de formulación o de modelamiento degeneran en
lo que se podrían considerar como un modelo matemático incompleto. Un ejemplo de
un error de formulación imperceptible es el hecho de que la segunda ley de newton no
explica los efectos relativistas.
Incertidumbre en los datos. Algunas veces se introducen errores en un análisis debido a
la incertidumbre de los datos físicos sobre los que se basa el modelo.
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3.1.4. Propagación del error
Causas de errores graves en computación
Existen muchas causas de errores en la ejecución de un programa de cómputo. Para esto,
vamos a pensar en una computadora imaginaria que trabaja con números en el sistema
decimal, en forma tal que tiene una mantisa de cuatro dígitos decimales, y una característica
de dos dígitos decimales, el primero de los cuales es usado para el signo. Sumados estos seis al
bit empleado para el signo del número, se tendrá una palabra de siete bits. Los números que
se van a guardar deben normalizarse primero en la siguiente forma
1
7
5
3.0 0.3000 10
7956000 0.7956 10
0.0000025211 0.2521 10
x
x
x
Empleando esta computadora imaginaria, podemos estudiar algunos de los errores más serios
que se cometen en su empleo.
Suma de números muy distintos en magnitud.
Vamos a suponer que se trata de sumar 0.002 a 600 en la computadora decimal imaginaria.
2
3
0.002 0.2000 10
600 0.6000 10
x
x
Estos números normalizados no pueden sumarse directamente y, por tanto, la computadoradebe normalizarlos antes de efectuar la suma
3
3
3
0.000002 10
0.600000 10
0.600002 10
x
x
x
Como sólo puede manejar solo cuatro dígitos, los últimos dos son eliminados y la respuesta es:
30.6000 10
600
x
o bien
Por el resultado, la suma nunca se realizó.
Resta de números casi iguales
Supóngase que la computadora decimal va a restar 0.2144 de 0.2145
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0
0
0
0.2145 10
- 0.2144 10
0.0001 10
x
x
x
Como la mantisa de la respuesta esta desnormalizada, la computadora automáticamente la
normaliza y el resultado se almacena como 30.1000 10 x . Por lo tanto hasta aquí no hay error
pero en la respuesta solo hay un solo digito significativo, por el cual se sugiere no confiar en
su exactitud.
La propagación de errores.
Una vez que se sabe cómo se produce los errores en un programa de cómputo, podría
pensarse en tratar de determinar el error cometido en cada paso, y conocer de esa manera el
error total en la respuesta final. Sin embargo, esto no es práctico. Resulta más adecuado
analizar las operaciones individuales realizadas por la computadora para ver cómo se
propagan los errores de dichas operaciones.
Suma
Se espera que al sumar a y b, se obtenga el valor correcto de c = a + b ; no obstante, se tiene en
general un valor de c incorrecto debido a la longitud finita de palabra que se emplea. Puede
considerarse que este error fue causado por una operación incorrecta de la computadora.Entonces el error es:
( ) ( ) Error a b a b
La magnitud de este error depende de las magnitudes relativas, de los signos de a y b, y de la
forma binaria en que a y b son almacenados en la computadora. Esto último varía
dependiendo de la computadora, y por tanto es un error muy difícil de analizar.
Si por otro lado a y b de entrada son inexactos, hay un segundo error posible. Por ejemplo,considérese que en lugar del valor verdadero de a, la computadora tiene el valor *a , el cual
presenta un error a
*
*
a
b
a a
b b
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Como consecuencia se tendría, aun si no se cometiera error en la adición, un error en el
resultado:
( * *) ( )
( ) ( )
*
:
( * *) ( )
a b a b
a b c
c
a b a b
c a b
Error a b a b
Error a b a b a b a b
Error
o sea c c
El error absoluto es
a b a b
o bien
Se dice que los errores ya b se han extendido a c, y c se conoce como error de
propagación, lo cual causa un error en el resultado final.
Resta
El error de propagación ocasionado por valores inexactos iniciales a* y b* pueden darse de
manera similar que en la adición, con un simple cambio de signo.
Multiplicación
Si se multiplica los números a* y b* se obtiene
( * *) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b b a a ba x b a x b a x b a x b x x
Si a y b son suficientemente pequeños, puede considerarse que su producto es muy
pequeño en comparación con otros términos, y por tanto, eliminar el ultimo termino. Se
obtiene entonces el error del resultado final
( * *) ( ) ( ) ( )b aa x b a x b a x b x
Esto hace posible encontrar el valor absoluto del error relativo del resultado dividiendo
ambos lados entre a x b.
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( * *) ( )
b a b aa x b a x b
a x b b a b a
El error de propagación relativo en valor absoluto en la multiplicación es aproximadamente
igual o menor a la suma de los errores relativos de a y b en valor absoluto.
División
Puede considerarse la división de a* y b* como sigue
1*/ * ( ) / ( ) ( )
( )a b a
b
a b a b ab
Multiplicando numerador y denominador por
)( bb
22))((
))((*/*
b
baab
bb
ba
b
baab
bb
baba
Si, como en la multiplicación, se considera el producto ba muy pequeño y por las mismas
razones, a2
by se desprecian, se tiene:
2222*/*
b
a
bb
a
b
a
b
b
b
abba baba
El error es entonces:
2*/*
b
a
bb
aba ba
Dividiendo entre a/b se obtiene el error relativo. Al tomar el valor absoluto del error relativo,
se tiene
bababa
b
a
b
ba
b
aba
baba
ba
//
*/*2
Se concluye que el error de propagación relativo del cociente en valor absoluto es
aproximadamente igual o menor a la suma de los errores relativos en valor absoluto de a y b.
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3.1.5. Error de truncamiento y serie de Taylor
Errores de truncamiento.
Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una sucesión finita o infinita de
pasos en el cual se realizan cálculos para producir un resultado exacto, se trunca
prematuramente después de un cierto número de pasos.
Truncar la siguiente cifra hasta centésimos, o hasta que sean dos las cifras significativas:
645751311.2 7 2.64 7
Como podemos ver, en este tipo de error, lo que se hace es omitir algunas de las cifras de una
cantidad, debido a que esta contiene muchos decimales, entonces se trunca o corta el número,
por lo que también cae en un error.
Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de
un procedimiento matemático exacto. Estos errores se regresan a la formulación matemática
usada ampliamente en los métodos numéricos para expresar funciones en forma polinomial.
La serie de Taylor
La serie de Taylor da una formulación para predecir el valor de la función en 1i x en términos
de la función y de sus derivadas en una vecindad al punto .i x
Por ejemplo: el primer término de la serie es conocida como aproximación de orden cero.
)()( 1 ii x f x f
Aproximación de primer orden.
h x f x f x f iii )()()( 1 Donde )( 1 ii x xh
Aproximación de segundo orden.
2
1!2
)()()()( h
x f h x f x f x f i
iii
Donde )( 1 ii x xh
De esta manera se puede agregar términos adicionales para desarrollar la expansión completa
de la serie de Taylor.
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n
ni
n
i
iii Rh
n
x f h
x f h x f x f x f
!
)(
!2
)()()()(
)(
2
1
Se incluye un término residual para considerar todos los términos desde n + 1 hasta el
infinito:
1)1(
)!1(
)(
n
n
n hn
f R
Donde el subíndice n indica que el residuo es de la aproximación a n-ésimo orden y es un
valor cualquiera de x que se encuentra en i x y 1i x
Ejemplo: Aproximaciones de un polinomio mediante la serie de Taylor.
Enunciado del problema: úsense términos en la serie de Taylor de cero a cuarto orden para
aproximar la función:
2.125.05.015.01.0)( 234 x x x x x f Desde el punto 0i x y con h = 1. Esto es,
predecir el valor de la función en .11 i x
Solución:
Ya que se trata de una función conocida se puede calcular valores f(x) 0 y 1
Los resultados indican que la función empieza en f(0)=1.2 y continua hacia abajo hasta
f(1)=0.2. Por lo tanto el valor que se trata de predecir es 0.2.
Orden Derivada Aproximaciones
0 - 1.2
1 -0.25 0.95
2 -1 0.45
3 -0.9 0.3
4 -2.4 0.2
Ejemplo:
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Uso de la serie de Taylor para aproximar una función que tiene un número infinito de
derivadas. Úsense los términos de la serie de Taylor con n = 0 hasta 6 para aproximar:
x x f cos)(
En 3/ x )60( con base al valor de f(x) y de sus derivadas alrededor del punto 4/ x
)45( .Nótese que esto significa que 1243
h
Solución:
El valor exacto
f x( ) cos x( ) x
3
f x( ) 0.5
Orden Derivada Aproximaciones
0 - 0.707106781
1 -Sen(x) 0.521986659
2 -cos(x) 0.497754491
3 Sen(x) 0.499869147
4 Cos(x) 0.500007551
5 -Sen(x) 0.500000304
6 -Cos(x) 0.499999988
Serie de Maclaurin
Los métodos iterativos obtienen la solución como resultado de una serie de aproximaciones
generadas sucesivamente a partir de una “aproximación inicial a la solución”.
Problema
La función exponencial se puede calcular usando:
...!4!3!2
1432
x x x xe x
Mientras más términos se le agreguen a la serie, la aproximación se acercara más y más al
valor dex . La ecuación anterior se le llama serie de Maclaurin.
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Empezando con el primer término, e x = 1, y agregando un término a la vez, estímese el valor
de e 0.5 .
Después que se agregue cada terminó, calcúlense los ERP y a . Nótese que el valor real de
648721271.15.0e , agréguense términos hasta que sa contempla tres cifras
significativas.
Solución
s = (0.5 x 10 2 – 3 ) % = 0.05 %
Por lo tanto, se agregaran términos a la serie hasta que a se menos que este nivel.
,*
p
p p ER
si 0 p 100)( ER ERP
100 xonaproximaci
onaproximacionaproximaci
actual
anterior actual a
Ejemplo:
La expansión en serie de Maclaurin para el cos x es:
!8!6!4!2
8642 x x x xCosx
Iniciando con el primer término Cos x = 1 , agréguense los términos uno a uno para
Estimar 3cos
. Después que se agregue cada uno de los términos, calcúlense los errores
porcentuales relativos, exactos y aproximados .Úsense una calculadora para determinar el
valor exacto. Agréguense términos hasta el valor absoluto del error aproximado falle bajo
cierto criterio de error, considerando dos cifras significativas.
Solución:
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s = (0.5 x 10 2 – 2 ) % = 0.5 %cos
3
0.5
3.2 Raíces de ecuaciones
3.2.1. Método gráfico
Es método simple para obtener una aproximación a la raíz de la ecuación f(x) = 0, consiste engraficar y observar en donde cruza el eje x. Este punto, que representa el valor de x para elcual f(x) = 0, proporciona una aproximación inicial de la raíz.
Ejemplo:Empléese gráficas para obtener una raíz aproximada de la siguiente función:
( ) 0.2 a 1.1 x f x e x x
Solución.Usando matlab>> x=-0.2:0.1:1.1;
>> y=(exp(-x))-x;>> plot(x,y)>> grid on
Ejemplo: Grafíquese el siguiente vector
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
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Ejemplo: Grafíquese el siguiente vector
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Títulos, etiquetas.
plot(x,y)
title(‘Experimento de laboratorio 1’)
xlabel(‘Tiempo, seg’)
ylabel(‘Distancia, pies’)
grid on
ejemplo: Grafiquese la siguiente función 2( ) f x x con x = -5 hasta x = 5
Ejemplo: Grafíquese los vectores
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Ejemplo: Grafiquese las siguientes funciones sobre los mismos ejes.2 3( ) ; ( ) f x x g x x con
x = -10 hasta x = 10, con h = 0.1
Usando MatLab:
>> clear
>> x=-10:0.1:10;
>> y=x.^2;
>> z=x.^3;
>> plot(x,y,x,z)
>> xlabel('Eje x')
>> ylabel('Eje y')
>> title('Grafica de dos funciones')
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
Eje x
E j e y
Grafica de dos funciones
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Ejemplo: Graficar las dos funciones trigonometricas. sin( ); cos( ) y t y t con valor de x =0
hasta x = 2*pi, con h = pi/100
Usando MatLab:
>> t=0:pi/100:2*pi; %intervalo
>> y1=sin(t); %primera funcion
>> plot(t,y1,'g') % Grafica de la primera funcion, color verde
>> y2=cos(t); %segunda funcion
>> hold on %mantiene fija la grafica
>> plot(t,y2,'r') %grafica de la segunda funcion, color rojo
>> xlabel('Tiempo') % Etiqueta del eje x
>> ylabel('Magnitud') %etiqueta eje Y
>> title('Grafica de dos funciones trigonometricas')
Ejemplo:
Empléese gráficas para obtener una raíz aproximada de la siguiente función:( ) (10 ) (3 )
5, 4.9..5
f x Sin x Cos x
x
0 1 2 3 4 5 6 7-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tiempo
M a g n i t u d
Grafica de dos funciones trigonometricas
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Ejemplo.Para determinar el coeficiente de arrastre c necesario para que un paracaidista de masa m =68.1 kg. Tenga una velocidad de 40 m/s después de una caída libre de t = 10 s. Nota laaceleración de la gravedad es 9.8 m/s 2 . Determine su gráfica.
t
mc
ec
gmt v 1
Solución:Este problema se resuelve determinando la raíz de la ecuación usando los parámetros:t = 10, g = 9.8, v = 40 y m = 68.1
vec
gmc f
t m
c
1 401)1.68(8.9
)(10
1.68
c
ec
c f
3.2.2. Métodos cerrados. Bisección. Regla Falsa. Otros métodos
Método del intervalo
Cuando para encontrar la solución a una ecuación, digamos f(x) = 0 partimos de un intervalo
,a b dentro del cual sabemos que se encuentra la solución, y paso a paso reducimos dicho
intervalo hasta obtener ,n na b tal que n nb a para 0 como la tolerancia, decimos que
hemos utilizado un método de intervalo o método cerrado.
A estas técnicas se les llama métodos que usan intervalos porque se necesitan de dos valores
iníciales para la raíz. Como su nombre lo indica, estos valores deben encerrar o estar uno de
cada lado de la raíz. Los métodos particulares descritos sobre este punto emplean diferentes
estrategias para reducir sistemáticamente el tamaño del intervalo y así converger a la
respuesta correcta. Además de la utilidad de los métodos gráficos para determinar valores
iníciales, también son útiles para visualizar las propiedades de las funciones y el
comportamiento de los métodos numéricos.
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Bisección
Es un método de búsqueda incremental se aprovechan de esta característica para localizar un
intervalo donde la función cambie de signo. Por lo tanto, la localización del cambio de signo, se
logra más exactamente dividiendo el intervalo en una cantidad definida de subintervalos.
El método de bisección conocido también como de corte binario, de partición en dos
intervalos iguales o método Bolzano, es un método de búsqueda incremental en el que el
intervalo se divide siempre en dos. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa
el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el
punto medio del subintervalos dentro del cual ocurre un cambio de signo. El proceso se repite
hasta obtener una mejor aproximación.
Criterio de convergencia.
Si el intervalo original es de tamaño a y el criterio de convergencia aplicado al valor absoluto
de la diferencia de dos r x consecutivas es , entonces se requerirán n iteraciones, donde n se
calcula con la igualdad de la expresión
2n
a
Despejando el valor de n
1
ln ln2
ln ln 2 ln
ln ln ln 2
ln lnln ln
ln 2 ln 2
n
n
u
a
a
a n
x xan
Nos resulta:
2ln
lnln
a
n
Por esto se dice que se puede saber de antemano cuantas iteraciones se requieren. O bien se
puede utilizar el siguiente criterio de convergencia a E
actual anterior EA aprox aprox
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Algoritmo
Paso 1: Elija los valores iníciales inferior 1 x y u x de forma tal que la función cambie de signo
sobre el intervalo. Esto se puede verificar asegurándose de que:
01 u x f x f Entonces hay al menos una raíz entre 1 x y u x , ir al paso 2.
1 0u f x f x Entonces, no tiene raíz entre 1 x y u x , cambiar el intervalo o pase al paso 4.
Paso 2: La primera aproximación a la raíz X, se determinan como:
2
1 ur
x x x
Paso 3: Realice las siguientes evaluaciones para determinar en que subintervalos cae la raíz
)a 01 r x f x f ; Entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalos inferior o
izquierdo. Por lo tanto, tomer u
x x y continué en el paso 2.
)b 01 r x f x f ; Entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalos superior o
derecho. Por lo tanto, tome r x x 1 y continué en el paso 2.
)c 01 r x f x f ; La raíz es igual a r x ; termina el cálculo. Pase al paso 4
Paso 4: Fin del calculo
Problema
Utilice el método de bisección para encontrar la raíz real de la siguiente función:f x( ) e
xx error 0.001 x1 0 xu 1
Solución:
Usando excel
Problema:
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Utilice el método de bisección para encontrar la raíz real de la siguiente función:
f x( ) cos x( ) ln x( ) error 0.001 x1 1 xu 2
Solución:
Usando matlab
%Metodo de Biseccion %Elaboro: MTI. Ulises Girón Jiménez %Fecha: Marzo 18, 2014 clc; %Borrar fprintf('\nCalculo de la raiz de una ecuacion por el metodo de
Biseccion\n\n'); Fx=input('Ingrese la funcion: ','s'); %función inicial f(x) x1=input('Ingrese x1: '); %valor inicial X1 xu=input('Ingrese xu: '); %valor final Xu e=input('Ingrese el error: '); %el valor del error
x=x1; Fx1=eval(Fx); %funcion f(x1)
x=xu; Fxu=eval(Fx); %funcion f(xu)
while abs(xu-x1)>e %criterio de paro xr=(x1+xu)/2; %formula de bisección x=xr; %raiz aproximada Fxr=eval(Fx); %función f(xr)
if Fx1*Fxr<0 xu=xr; %subintervalo izquierdo Fxu=Fxr;
else x1=xr;
Fx1=Fxr; end
end fprintf('\n La raiz real por el metodo de biseccion sera %.8f\n',xr); ezplot(Fx);%graficamos la funcion grid on;
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Regla Falsa
Aunque el método de bisección es una técnica perfectamente válida para determinar raíces, su
enfoque es relativamente ineficiente. Una alternativa mejorada es la de del método de la regla
falsa (falsa posición) está basada en una idea para aproximarse en forma más eficiente a la
raíz. Un defecto del método de bisección es que al dividir el intervalo x1 a xu en mitades
iguales, no se toma en consideración la magnitud de )( 1 x f y de )( u x f .
Por ejemplo, si )( 1 x f está mucho más cerca de cero que )( u x f , es lógico que la raíz se
encuentra más cerca de 1 x que de u x . Este método alternativo aprovecha la idea de unir los
puntos con una línea recta. La intersección de la línea con el eje de las x proporciona una
mejor estimación de la raíz. El reemplazamiento de la curva por una línea recta da una “
posición falsa ” de la raíz , de aquí el nombre de método de la regla falsa o en latín , regula
falsi. También se le conoce como método de interpolación lineal. Con el uso de triángulos
semejantes, la intersección de la línea recta y el eje de las x se puede calcular de la siguiente
manera:
ur
u
r x x
x f
x x
x f
1
1
Figura: esquema grafico del método de la regla falsa. La fórmula se deriva de los triángulos
semejantes (áreas sombreadas)
Multiplicando en cruz la ecuación se obtiene
11)( x x x f x x x f r uur
Agrupando término y reordenando
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uuur x f x x f x x f x f x 111
Dividiendo entre 1 u f x f x
u
uur
x f x f x f x x f x x
1
11
Se puede ordenar de una manera alternativa:
u
u
u
ur
x f x f
x x f
x f x f
x x f x
1
1
1
1
Sumando y restando u x del lado derecho
u
uu
u
uur
x f x f
x x f x x f x f
x x f x x
1
1
1
1
Agrupando términos se obtiene
u
u
u
uuur
x f x f
x x f
x f x f
x x f x x
1
1
1
u
uuur
x f x f
x x x f x x
1
1
Esta es la fórmula de la regla falsa. El algoritmo es idéntico al de la bisección con la excepción
de que la ecuación se usa en los pasos 2. Además se usan los mismos criterios de paro para
detener los cálculos.
Algoritmo
Paso 1: Elija los valores iníciales inferior 1 x y u x de forma tal que la función cambie de signo
sobre el intervalo. Esto se puede verificar asegurándose de que:
01 u x f x f Entonces hay al menos una raíz entre 1 x y u x , ir al paso 2.
1 0u f x f x Entonces, no tiene raíz entre 1 x y u x , cambiar el intervalo o pase al paso 4.
Paso 2: La primera aproximación a la raíz X, se determinan como:
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u
uuur
x f x f
x x x f x x
1
1
Paso 3: Realice las siguientes evaluaciones para determinar en que subintervalos cae la raíz
)a 01 r x f x f ; Entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalos inferior o
izquierdo. Por lo tanto, tome r u x x y continué en el paso 2.
)b 01 r x f x f ; Entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalos superior o
derecho. Por lo tanto, tome r x x 1 y continué en el paso 2.
)c 01 r x f x f ; La raíz es igual a r x ; termina el cálculo. Pase al paso 4
Paso 4: Fin del calculo
Ejemplo:
Utilice el método de falsa posición para encontrar la raíz real de la siguiente función:
f x( ) e x
x error 0.01 x1 0 xu 1
Solución:
Ejemplo:
Utilice el método de falsa posición para encontrar la raíz real de la siguiente función:
f x( ) cos x( ) ln x( ) error 0.001 x1 1 xu 2
Solución:
Usando matlab
%Metodo de Falsa posición %Elaboro: MTI. Ulises Girón Jiménez clc; fprintf('\nCalculo de la raiz de una ecuacion por el metodo de falsa
posición\n\n'); Fx=input('Ingrese la funcion: ','s'); %Función f(x) x1=input('Ingrese x1 : '); %valor inicial x1 xu=input('Ingrese xu : '); %valor final xu e=input('Ingrese el error : ');%Error
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x=x1; Fx1=eval(Fx); x=xu; Fxu=eval(Fx);
while abs(xu-x1)>e %Criterio de paro xr=xu-((Fxu*x1-Fxu*xu)/(Fx1-Fxu)); %formula de falsa posicion x=xr; %raiz aproximada Fxr=eval(Fx);
if Fx1*Fxr<0 xu=xr; %subintervalo izquierdo Fxu=Fxr;
else
x1=xr; Fx1=Fxr;
end end fprintf('\nEl resultado del metodo de falsa posicion sera %.8f\n',xr);
ezplot(Fx);%graficamos la funcion grid on;
Otros métodos
Condición de Lipschitz
Definición. Condición de Lipschitz. Una función f(x) definida en el intervalo [a,b] se dice que
satisface una condición de Lipschitz, si existe una constante L > 0 tal que
1 2 1 2 f x f x L x x
Para cualquier par de números 1 2, , x x a b .
Observamos que cualquier función f(x) donde la expresión
1 2
1 2
f x f x
x x
Se puede simplificar a
1 2,
k
g x x
Donde K es una constante y el valor de 1 2, g x x se pueda hacer arbitrariamente pequeño
para 1 2, , x x a b , no puede satisfacer una condición de Lipschitz.
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Si 1( ) , f x C a b (es decir, si ( ) f x existe y es continua) entonces f(x) satisface también una
condición de Lipschitz. Esto se cumple ya que, por el teorema de valor medio para derivadas
una c entre1 x y 2 x tal que:
1 2
1 2
( ) ( )( ) f x f x f c x x
Y entonces
1 2 1 2 1 2( )( ) f x f x f c x x L x x
Para cualesquiera
1 2, , x x a b
3.2.3. Métodos abiertos. Iteración de punto fijo. Método de la secante. Newton-Raphson
Iteración de punto fijo
El método de aproximaciones sucesivas, método iterativo y también conocido como método
de punto fijo, es uno de los métodos más sencillos e ilustra (a diferencia del método de
bisección) el caso cuando no se tiene garantía de obtener la solución. Por tal motivo, el tema
central aquí es el concepto de convergencia de una sucesión de aproximaciones.
Definición. (Velocidad de convergencia). Sea 1n n x
una sucesión de aproximaciones que
convergen a s, de forma que lim nn
x s
. Si la sucesión de errores 1n n
(donde n n x s )
satisface.
1lim , 0n
nn
k k
Para alguno números fijos, K, entonces es el orden de convergencia para n x , y K es la
constante asintótica o factor de convergencia.
En base a la definición anterior, destacamos los casos para cuándo 1 y 2 que
corresponden a convergencia lineal, y convergencia cuadrática respectivamente.
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Método de la Secante
Un problema fuerte en la implementación del método de newton Raphson es la evaluación de
la derivada. Aunque esto no es un inconveniente para los polinomios y para muchas otras
funciones, existen algunas cuyas derivadas pueden ser extremadamente difíciles de evaluar.
En estos casos la derivada se puede aproximar mediante una diferencia dividida, como la
figura
Esquema gráfico del método de la secante. Esta técnica es similar a la del método de Newton -
Raphson en el sentido de que una aproximación a la raíz se calcula extrapolando una tangente
de la función hasta el eje x. Sin embargo, el método de la secante usa una diferencia en vez de
la derivada para aproximar la pendiente.
Por lo tanto el método de la secante
1
11
ii
iiiii
x f x f
x f x x x x ii x x 1
Ejemplo.
Utilice el método de la secante para obtener la raíz real de la función
20102)( 23 x x x x f
31
1
10
0
1
i i
i
i
x x
x
x
Solución:
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Usando matlab
%Método de la secante %MTI. Ulises Girón Jiménez
clear all; clc; fprintf('\nCalculo de la raiz de una ecuacion por el metodo de la
Secante\n\n'); f=input('Dame la funcion f(x) : ','s');
x0=input('Dame el valor del intervalo inferior de x : ');
x1=input('Dame el valor del intervalo superior de x : '); e=input('Dame el porciento del error : '); ea=1000; c=1;
while ea>e x=x0; g=eval(f);
x=x1; gg=eval(f);
xi=x1-((gg*(x0-x1))/(g-gg)); ea=abs((xi-x1)/xi)*100;
x0=x1; x1=xi;
c=c+1; end
fprintf('\n\n\n\nLa raiz exacta es: %d',xi) fprintf('\n\nNumero de iteraciones: %d\n',c);
Newton Raphson
Es una de las fórmulas más ampliamente usadas para localizar raíces, si el valor inicial de la
raíz es Xi, entonces se puede extender una tangente desde el punto [X i, f (Xi) ]. El punto donde
esta tangente cruza el eje X, representa una aproximación mejorada de la raíz. El método de
Newton-Raphson se puede obtener sobre la base de una interpretación geométrica, la primera
derivada en X es equivalente a la pendiente
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1
0
ii
ii
x x
x f x f
Que se puede ordenar para obtener
i
iii
x f
x f x x
1
La cual es conocida como fórmula de Newton - Raphson.
Ejemplo.
Utilice el método de Newton Raphson para obtener la raíz real de la función
20102)( 23 x x x x f 3
1 10 0 0i i i x x x i
Solución:
Ejemplo.
Use el método de Newton Raphson para encontrar la raíz de la ecuación
5
15183)(
2
x x x f , con un punto inicial de 8, con un error de aproximación 01.0 Ea .
Solución:
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3.2.4. Raíces múltiples
Una raíz múltiple corresponde a un punto donde una función es tangencial al eje x. Por ejemplo,
una raíz doble resulta de ( ) ( 3)( 1)( 1) f x x x x
O, multiplicando términos,
3 2( ) 5 7 3 f x x x x
La ecuación tiene una raíz doble porque un valor de x hace que dos términos de la ecuación
Sean igual a cero. Gráficamente, esto significa que la curva toca en forma tangencial al eje x en la
raíz doble.
Figura: Ejemplos de raíces múltiples que son tangentes al eje x. obsérvese que la función no cruza
el eje en casos de raíces múltiples pares a) y c), mientras que para multiplicidad impar si lo hace b)
Véase la figura a en x = 1. Observe que la función toca al eje pero no la cruza en la raíz.
Una raíz triple corresponde al caso en que un valor x hace que tres términos en una ecuación sea
igual a cero, como en ( ) ( 3)( 1)( 1)( 1) f x x x x x
O, multiplicando los términos
4 3 2( ) 6 12 10 3 f x x x x x
Advierta que el esquema grafico ( véase la figura b) indica otra vez que la función es tangente al
eje la raíz, pero que en este caso si cruza el eje. En general la multiplicidad impar de raíces cruza el
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eje, mientras que la multiplicidad par no la cruza. Por ejemplo, la raíz cuádruple en la figura c no
cruza el eje.
Las raíces múltiples ofrecen ciertas dificultades a los métodos numéricos expuestos en la parte
dos:
1. El hecho de que la función no cambia de signo en raíces múltiples pares impide el uso de
los Metodos confiables que usan intervalos. De esta manera, de los métodos incluidos en
este texto, los abiertos tiene la limitación de que pueden ser divergentes.
2. Otro posible se relaciona con el hecho de que no solo f(x), sino también f ´(x) se aproxima
a cero. Estos problemas afectan a los métodos de Newton – Raphson y al de la secante,
los cuales contienen derivadas en el denominador de sus respectivas formulas. Esto
provocaría una división entre cero cuando la solución converge muy cercana a la raíz.3. Se puede demostrar que el método de Newton – Raphson y el método de la secante
convergen en forma lineal en vez de cuadrática, cuando hay raíces múltiples:.
El Método de Newton-Raphson es ampliamente utilizado para encontrar las raíces de la
ecuación f(x) = 0, ya que converge rápidamente, la contra es que uno debe conocer la derivada
de f(x) y se necesita una aproximación inicial a la raíz.
Permite aproximar las primeras N iteraciones en el método de Newton-Raphson modificado
aplicado a la función f tomando como aproximación inicial x0. Observe que no requiere construir
la función M definida en el método de Newton-Raphson modificado
1 2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
i ii i
i i i
f x f x x x
f x f x f x
Algoritmo
Para calcular el punto xi+1, calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos que
tiene pendiente
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( )im f x
Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:
( ) ( )( )i i i y f x f x x x
Hacemos y=0:
( ) ( )( )i i i f x f x x x
Y despejamos x:
( )
( )i
i
i
f x x x
f x
Que es la fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximación:
1
( )
( )i
i i
i
f x x x
f x
si ( ) 0i f x
Se puede derivar la ecuación.
1 2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
i ii i
i i i
f x f x x x
f x f x f x
Ejemplo:
Método de Newton Raphson modificado para el cálculo de raíces múltiples.
Enunciado del problema. Use los dos métodos, el estándar y el modificado, de Newton Raphson
para evaluar la raíz múltiple de la ecuación con valor inicial de0 0 x
.con
E = 0.001, la función es
3 2
( ) 5 7 3 f x x x x
Solución
La derivada es:2( ) 3 10 7i f x x x
Y por lo tanto, el método de Newton Raphson para este problema es
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MTI. Ulises Girón Jiménez Página | 145
3 2
1 2
5 7 3
3 10 7
i i ii i
i i
x x x x x
x x
Que se puede resolver iterativamente para obtener:
Como ya se había anticipado, el método converge en forma lineal hasta el valor verdadero de 1.0.
Para el caso del método modificado, la segunda derivada es ( ) 6 10i f x x y la relación
iterativa es:
3 2 2
1 2 2 3 2
( 5 7 3)(3 10 7)
(3 10 7) ( 5 7 3)(6 10)i i i i i
i i
i i i i i i
x x x x x x x
x x x x x x
Que se puede resolver para obtener :
3.2.5. Raíces de polinomios. Método de Müller. Método de Bairstow
Método de Müller.
Un método deducido por Müller, se ha puesto en práctica en las computadoras con éxito
sorprendente. Se puede usar para encontrar cualquier tipo de raíz, real o compleja, de una función
arbitraria. Converge casi cuadráticamente en un intervalo cercano a la raíz y a diferencia del
método de Newton – Raphson, no requiere la evaluación de la primera derivada de la función y
obtiene raíces reales y complejas aun cuando estas raíces sean repetidas.
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La aplicación del método requiere valores iniciales y es una extensión del método de la secante, el
cual aproxima la gráfica de la función f(x) por una línea recta que pasa por los puntos
1 1( , ( )) ( , ( )).i i i i x f x y x f x
El método de la secante obtiene raíces de una función estimando una proyección de una línea
recta en el eje de las x, a través de los valores de la función. El método de Müller, trabaja de
manera similar, pero en lugar de hacer la proyección de una recta utilizando dos puntos, requiere
de tres puntos para calcular una parábola.
Para esto necesitaremos de tres puntos [X0, f(X0)], [X1, f(X1)] y [X2, f(X2)]. La aproximación la
podemos escribir como:
f 2(x) = A(x – x2)2 + B(x – x2) + C
Los coeficientes de la parábola los calculamos resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones.
f 2(x 0 ) = A(x 0 – x 2 )2 + B(x 0 – x 2 ) + C
f 2(x 1 ) = A(x 1 – x 2 )2 + B(x 1 – x 2 ) + C
f 2(x 2 ) = A(x 2 – x 2 )2 + B(x 2 – x 2 ) + C
De la última ecuación podemos ver que el calor de C = f 2(x 2 ). Sustituyendo los valores de C en las
otras dos ecuaciones tenemos:
f 2(x0)- f 2(x2) = A(x0 – x2)2 + B(x0 – x2)
f 2(x1) - f 2(x2) = A(x1 – x2)2 + B(x1 – x2)
Si definimos
h0 = x1 - x0
h1 = x2 – x1
d0 = [f(x1) – f(x0)]/[x1 – x0]
d1 = [f(x2) – f(x1)]/[x2 –x1]
Sustituyendo en las ecuaciones tenemos
-(d 0* h0 + d 1* h1 )= A(h1 + h0 )2 - B(h1 + h0 )
-d 1* h1 = A(h1 )2 - Bh1
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La solución de este sistema de ecuaciones es:
A = (d 1 – d 0 )/(h1 + h0 )
B = Ah1 + d 1
C = f(x 2 )
Ahora para calcular la raíz del polinomio de segundo grado, podemos aplicar la formula
general. Sin embargo, debido al error potencial de redondeo, usaremos una formulación
alternativa.
Ejemplo.
Use el método de Müller con los valores iniciales de 4.5, 5.5 y 5 para determinar la raíz de la
ecuación f(x) = x 3 – 13x – 12.
x0 x1 x2 f(x0) f(x1) f(x2) x3
4.50000 5.50000 5.00000 20.62500 82.87500 48.00000 3.97649
5.50000 5.00000 3.97649 82.87500 48.00000 -0.81633 4.00105
5.00000 3.97649 4.00105 48.00000 -0.81633 0.03678 4.00000
3.97649 4.00105 4.00000 -0.81633 0.03678 0.00002 4.00000
Método de Bairstow
El método de Bairstow es un método iterativo, basado en el método de Müller y de Newton
Raphson. Dado un polinonio f n(x) se encuentran dos factores, un polinomio cuadrático f 2(x) = x 2 –
rx – s y f n-2(x). El procedimiento general para el método de Bairstow es:
Dado f n(x) y r0 y s0
Utilizando el método de NR calculamos f 2(x) = x 2
– r 0 x – s0 y f n-2(x), tal que, el residuo
de f n(x)/ f 2(x) sea igual a cero.
Se determinan la raíces f 2(x), utilizando la formula general.
Se calcula f n-2(x)= f n(x)/ f 2(x).
Hacemos f n(x)= f n-2(x)
Si el grado del polinomio es mayor que tres regresamos al paso 2
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Si no terminamos
La principal diferencia de este método, respecto a otros, es que permite calcular todas las raíces
de un polinomio (reales e imaginarias).
Para calcular la división de polinomios, hacemos uso de la división sintética. Así dado
f n(x) = an x n + an-1 x
n-1 + … + a2 x
2 + a1 x + a0
Al dividir entre f 2(x) = x 2 – rx – s, tenemos como resultado el siguiente polinomio
f n-2
(x) = bn x
n-2 + b
n-1 x
n-3 + … + b
3 x + b
2
con un residuo R = b1(x-r) + b0, el residuo será cero solo si b1 y b0 lo son.
Los términos b, los calculamos utilizamos división sintética, la cual puede resolverse utilizando la
siguiente relación de recurrencia
bn = an
bn-1 = an-1 + rbn
bi = ai + rbi+1 + sbi+2
Una manera de determinar los valores de r y s que hacen cero el residuo es utilizar el Método de
Newton-Raphson. Para ello necesitamos una aproximación lineal de b1 y b0 respecto a r y s la cual
calculamos utilizando la serie de Taylor
donde los valores de r y s están dados y calculamos los incrementos dr y ds que hacen a b1(r+dr,
s+ds) y b0(r+dr, s+dr) igual a cero. El sistema de ecuaciones que tenemos que resolver es:
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Bairtow muestra que las derivadas parciales pueden obtener haciendo un procedimiento similar ala división sintética, así
cn = bn
cn-1 = bn-1 + rcn
ci = bi + rci+1 + sci+2
donde
Sustituyendo término
Ejemplo 1
Dado el polinomio f 5(x) = x 5
- 3.5x 4
+ 2.75x 3
+ 2.125x 2
- 3.875x + 1.25, determinar los valores de r
y s que hacen el resido igual a cero. Considere r 0 = -1 ys0 = 2.
Solución.
Iteración 1.
La división sintética con el polinomio f 2(x) = x 2 -x + 2.0 da como resultado
f3(x) = x 3 - 4.5x
2 + 9.25x - 16.125 Residuo = 30.75, -61.75
Aplicando el método de Newton tenemos
-43.875 16.75 dr -30.75
108.125 -43.875 ds 61.75
de donde
r1 = -1.0 + 2.7636812508572213 =1.7636812508572213
s1 = 2.0 + 5.403374022767796 =7.403374022767796
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Iteración 2.
La división sintética con el polinomio f 2(x) = x 2 -1.7636812508572213x - 7.403374022767796 da
como resultado
f3(x) = x 3 - 1.7363187491427787x
2 + 7.091061199392814x - 1.776754563401905
Residuo = 51.75640698828836, 105.68578319650365
Aplicando el método de Newton tenemos
27.628006 14.542693 dr -51.75640
208.148405 27.62800 ds -105.68578
de donde
r2 = 1.7636812508572213 - 0.04728019113442016 = 1.7164010597228012
s2 = 7.403374022767796 - 3.469106187802152 = 3.934267834965644
Iteración 3.
La división sintética con el polinomio f 2(x)= x 2 - 1.7164010597228012x - 3.934267834965644 da
como resultado
f3(x) = x 3 - 1.7835989402771988x
2 + 3.622896723753395x + 1.3261878347051992
Residuo = 12.654716254544885, 28.1881465309956
Aplicando el método de Newton tenemos
13.83497 7.44182 dr -12.65471
65.679212 13.83497 ds -28.18814
de donde
r3 = 1.7164010597228012 - 0.11666951305731528 = 1.599731546665486
s3 = 3.934267834965644 - 1.4835870659929915 = 2.4506807689726524
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En resumen
k r s Residuo
0 -1 2 30.75 -61.75
1 1.76368 7.403374 51.756406 105.68578
2 1.71640 3.93426 12.65471 28.18814
3 1.599731 2.450680 2.89958 8.15467
4 1.33354 2.18666 0.760122 2.522228
5 1.11826 2.11302 0.271940 0.607688
6 1.02705 2.02317 0.04313 0.11185
7 1.00165 2.00153 0.00277 0.00634
8 1.00000 2.00000 1.13930E-5 2.67534E-5
La solución es:
f 3(x) = x3 - 2.53x2 + 2.25x - 0.625 y f 2(x) = x2 - x - 2
Las raíces de f 2(x) = x 2 - x - 2, son
x1 = 2
x2 = -1
Si repetimos el ejemplo pero ahora considerando el polinomio f 3(x) = x 3 - 2.53x 2 + 2.25x - 0.625 ,
podemos calcular el total de las raíces del polinomio original.
3.3 Solución de sistemas de ecuaciones lineales y no lineales.
3.3.1. Métodos para solución de ecuaciones lineales. Jacobi. Gauss- Seidel. Gauss-
Jordán. Otros métodos
Jacobi
El método de Jacobi es un proceso simple de iteraciones de punto fijo en la solución de raíces de
una ecuación. La iteración de punto fijo tiene dos problemas fundamentales:
Algunas veces no converge
Cuando lo hace, es a menudo, muy lento.
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El método Jacobi también puede tener esas fallas.
Esquema grafico que muestra el método de iteración de Jacobi, en la solución de ecuaciones
algebraicas lineales simultaneas.
sk
i
k
i
k
iia
x
x x
100*1
,
Ejemplo: resuelva el siguiente sistema por el método de Jacobi
1414
14
14
43
432
321
21
x x x x x
x x x
x x
Con01.0 s sk
i
k
i
k
iia
x
x x
100*1
,
Despejando las ecuaciones
4
121
x x
4
1312
x x x
4
1423
x x x
4
134
x x
1
1 d x x k k
212
21
2
2
11
11 ... k n
k n
k k k k x x x x x xd
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Problema: Un ingeniero necesita 4800 m3 de NaCl, 5810 m3 de KCl y 5960 m3 de NaOH, existen
tres depósitos donde el ingeniero puede conseguir estos materiales. La composición de estos
depósitos viene dada en la siguiente tabla. ¿ Cuantas m3 debe tomar de cada depósito para
cumplir con las necesidades requeridas?. Use el método de Jacobi con E = 0.01
Solución:
Solo se muestran una parte de la tabla de donde se realizaron los cálculos, el motivo es porque es
muy extensa la tabla, por lo tanto, los datos que necesitábamos, son los siguientes:
Depósito 1: 3744.764893m
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Depósito 2: 7071.741373m
Depósito 3: 5753.48.4857723m
Problemas
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de Jacobi con210
32
2
15489
10253
4321
42
4321
4321
x x x x
x x
x x x x
x x x x
auss Seidel
Los métodos iterativos o aproximados proveen una alternativa en los métodos de eliminación. El
método de Gauss-Seidel es el método iterativo más comúnmente usado. Suponga que se da un
conjunto de n ecuaciones:
A x B
sk
i
k i
k i
ia x
x x
100*1
,
Para toda la i, donde j y j-1 son las iteraciones actuales y previas.
Como cada nuevo valor de x se calcula con el método de Gauss-Seidel, este se usa
inmediatamente en la siguiente ecuación para determinar otro valor de x. De esta manera, si la
solución es convergente, se empleara la mejor estimación posible.
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Ejemplo: resuelva el siguiente sistema por el método de Gauss Seidel
14
14
14
14
43
432
321
21
x x
x x x
x x x
x x
Con01.0 s sk
i
k
i
k
iia
x
x x
100*1
,
Despejando las ecuaciones
4
121
x x
4
1312
x x x
4
1423
x x x
4
134
x x
1
1 d x x k k
212
21
2
2
11
11 ... k n
k n
k k k k x x x x x xd
Problema: Un ingeniero necesita 4800 m3 de NaCl, 5810 m3 de KCl y 5960 m3 de NaOH, existen
tres depósitos donde el ingeniero puede conseguir estos materiales. La composición de estos
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depósitos viene dada en la siguiente tabla. ¿ Cuantas m3 debe tomar de cada depósito para
cumplir con las necesidades requeridas ? . Use el método de gauss Seidel con E = 0.01
Solución:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0.52 0.20 0.25 4800
0.30 0.50 0.20 5810
0.18 0.30 0.55 5960
x x x
x x x
x x x
auss Jordán
Problema: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de Gauss Jordán.
1 2 3
2 3
1 3
2 3 0
2 1
0
x x x
x x
x x
Solución.
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Donde los valores de 1 2 3, , x x x son:
1 2 3
3 1 3
5 5 5 x x x
En mathcad
A
2
0
1
3
2
0
1
1
1
0
1
0
rref A( )
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0.6
0.2
0.6
En matlab
Problema: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de Gauss Jordán.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4 9 2 52 4 6 3
3 4
x x x x x x
x x x
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3.3.2. Métodos de solución de sistemas de ecuaciones no lineales. Iterativo
secuencial. Newton.
Método iterativo secuencial
A continuación se dan ejemplos:
a)
0),(
04,
2
12212
2
2
2
1211
x x x x f
x x x x f
b)01),(
0)(10)(
1212
2
122,11
x x x f
x x x x f
c)
0335),(
015)(2),(010),(
3
331
2
23,21
23213,21
2
3
13213,21
x x x x x x x f
x sen x x x x x x f x x x x x x x x f
Ejemplo:
Encuentre una solución del sistema de ecuaciones no lineales
0810
08102
2
221
y x xy y x f
y x x y x f
),(
),(
Solución:
Despejar x Despejar y
10
822
y x
x 10
82
x xy
y
Con la notación de la ecuación:
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10
8221
)()( k k k y x
x 10
8221
)()( k k k k y y x
y
con los valores iniciales ,, 00 00 y x se inicia el proceso iterativo
Primera iteración
8010
800 221 .
x 80
10
8000 21 .
)(
y
Segunda iteración
928.010
8)8.0()8.0( 222
x 93120
10
8808080 22 .
.).(.
y
Al continuar el proceso iterativo, se muestra la siguiente sucesión de vectores:
k k x k y
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0.00000
0.80000
0.92800
0.97283
0.98937
0.99578
0.99832
0.99933
0.99973
0.99989
0.99996
0.99998
0.00000
0.80000
0.93120
0.97327
0.98944
0.99579
0.99832
0.99933
0.99973
0.99989
0.99996
0.99998
7/17/2019 Unidad 3. Analisis de Error y Solucion de Ecuaciones
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MTI. Ulises Girón Jiménez Página | 160
12
13
0.99999
1.00000
0.99999
1.00000
Para observar la convergencia del proceso iterativo, se pudieron usar los criterios, como distancia
entre dos vectores consecutivos, o bien las distancias componente a componente de dos vectores
consecutivos.
Una condición suficiente aunque no necesaria, para asegurar la convergencia es que
;121
M
x
g
x
g 121
M
y
g
y
g
Por otro lado, si M es muy pequeña en una región de interés, la iteración converge rápidamente; si
M es cercana a 1 en magnitud, entonces la iteración puede converger lentamente.
k k k
k k k
y x g y
y x g x
,
,
1
2
1
11
Sistemas de ecuaciones de Newton
El método iterativo para sistemas de ecuaciones converge linealmente. Como en el método de
una incógnita, puede crearse un método de convergencia cuadrática, es decir, el método de
Newton – Raphson multivariable, a continuación se obtendrá este procedimiento para dos
variables; la extensión a tres o más variables es viable generalizando los resultados. Supóngase
que se está resolviendo el sistema.
0,
0,
2
1
y x f
y x f
7/17/2019 Unidad 3. Analisis de Error y Solucion de Ecuaciones
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MTI. Ulises Girón Jiménez Página | 161
Donde ambas funciones son continuas y diferenciables, de modo que puedan expandirse en serie
de Taylor. Esto es:
2 2 2
2 21( , ) ( , ) ( ) ( ) [ ( ) 2 ( )( ) ( ) ...
2!
f f f f f f x y f a b x a y b x a x a y b y b
x x x x x y x y
Donde f(x, y) se ha expandido alrededor del punto (a, b) y todas las derivadas parciales están
evaluadas en (a, b).
Para simplificar aún más se cambia la notación con
j y y
h x xk k
k k
1
1
y así queda la ( k + 1) – ésima iteración en términos de la k – ésima , como se ve a continuación:
j y y
h x x
k k
k k
1
1
la sustitución de la ecuación :
),(
),(
222
111
k k
k k
y x f j y
f h
x
f
y x f j y
f h
x
f
El cual es un sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas h y j.
Este sistema de ecuaciones lineales resultante tiene solución única, siempre que el determinante
de la matriz de coeficiente o matriz j no sea cero; es decir, si
7/17/2019 Unidad 3. Analisis de Error y Solucion de Ecuaciones
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022
11
y
f
x
f y
f
x
f
J
Interpretación geométrica del método de Newton – Raphson.
Desarrollemos en etapas esta interpretación para un sistema de dos ecuaciones. Sea el sistema
1),(
1),(
22
2
22
1
y x y x f
y x y x f
La grafica de 1),( 22
1 y x y x f se muestra en la figura 4.4.
Use el método de Newton – Raphson para encontrar una solución aproximada del sistema:
0810
0810
2
2
22
1
y x xy y x f
y x x y x f
),(
),(
1021
2102
222
11
xy y
f y
x
f
y y
f x
x
f
que aumentada en el vector de funciones resulta en:
7/17/2019 Unidad 3. Analisis de Error y Solucion de Ecuaciones
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810
810
1021
2102
2
22
222
11
y x xy
y x x
xy y
f y
x
f
y y
f x
x
f
Primera iteración
al evaluar la matriz en T y x 00 , se obtiene :
8101
8010
que al resolverse por eliminación de Gauss da
h = 0.8, j = 0.88
al sustituir en la ecuación se obtiene
88.088.00
8.08.00
01
01
j y y
h x x
Calculo de la distancia entre0 x y
1 x
18929.1)088.0()08.0( 22)0()1( x x
Segunda iteración
al evaluar la matriz en T y x 11, se obtiene :
61952.0592.87744.1
41440.17600.1400.8
Que al resolverse por eliminación de Gauss da
h = 0.19179, j = 0.11171
al sustituir en la ecuación se obtiene
99171.011171.088.0
99179.019179.08.0
22
12
j y y
h x x
Calculo de la distancia entre1 x y
2 x
22190.0)88.099171.0()8.099179.0( 22)0()1( x x
7/17/2019 Unidad 3. Analisis de Error y Solucion de Ecuaciones
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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020
MTI. Ulises Girón Jiménez Página | 164
Con la continuación de este proceso iterativo se obtienen los resultados siguientes:
k k x
k y
k k x x 1
0
1
2
3
4
0.00000
0.80000
0.99179
0.99998
1.00000
0.00000
0.88000
0.99171
0.99997
1.00000
------
1.18929
0.22195
0.01163
0.00004
Problemas propuestos
Problema:
En una columna de cinco platos, se requiere absorber benceno contenido en una corriente de gas
V, con un aceite L que circula a contracorriente del gas. Considérese que el benceno transferido no
altera sustancialmente el número de moles de V y L, fluyendo a contracorriente, que la relación de
equilibrio está dada por la ley de henry (y = mx) y que la columna opera a régimen permanente.
Calcule la composición del benceno en cada plato.
Datos: V = 100 moles / min;
L = 500 moles / min,
09.00 y Fracción molar de benceno en V.
0.00 x Fracción molar del benceno en L (el aceite entra por el domo sin benceno).
m = 0.12.
7/17/2019 Unidad 3. Analisis de Error y Solucion de Ecuaciones
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Solución: los balances de materia para el benceno en cada plato son
Plato Balance de benceno
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
1012
2123
3234
4345
5450
y yV x x L
y yV x x L
y yV x x L
y yV x x L
y yV x x L
Al sustituir la información que se tiene, las consideraciones hechas y rearreglando las ecuaciones,
se llega a:
512 x1 - 500 x2 = 9
12 x1 - 512 x2 + 500 x3 = 0
12 x2 - 512 x3 + 500 x4 = 0
12 x3 - 512 x4 + 500 x5 = 0
- 12 x4 + 512 x5 = 0
Un sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas, que se resuelve con mathcad como sigue:
A
512
12
0
0
0
500
512
12
0
0
0
500
512
12
0
0
0
500
512
12
0
0
0
500
512
9
0
0
0
0
rref A( )
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0.018
4 .3 2 1 0 4
1.037 10 5
2.487 10 7
5.829 10 9
Problema:
Con los datos del diagrama siguiente 8 donde los porcentajes están dados en peso) , encuentre
posibles valores de la corriente 321 ,, M M M , si
Solución: Mediante balance de materia por componentes y global, se tiene:
kg M 1004
7/17/2019 Unidad 3. Analisis de Error y Solucion de Ecuaciones
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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020
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Componente Balance de materia
Etanol
Metanol
Agua
Global 0
021.021.039.017.0
021.024.061.00
058.055.0083.0
4321
4321
4321
4321
M M M M
M M M M
M M M M
M M M M
0
2121.039.017.0
2124.061.00
5855.0083.0
4321
321
321
321
M M M M
M M M
M M M
M M M
A0.83
0
0.17
00.61
0.39
0.550.24
0.21
5821
21
rref A( )10
0
01
0
00
1
19.0144.225
76.761
Por lo tanto kg M kg M kg M 761.76,225.4,014.19 321
Problema:
Un granjero desea preparar una formula alimenticia para engordar ganado, dispone maíz,
desperdicios, alfalfa y cebada, cada uno con ciertas unidades de ingredientes nutritivos, de
acuerdo con la tabla siguiente:
Alimento
Maíz Desperdicios Alfalfa Cebada Requerimientos
unidades / Kg.
Carbohidratos 80 15 35 60 230
Proteínas 28 72 57 25 180 Vitaminas 20 20 12 20 80
Celulosa 50 10 20 60 160
Costo $ 18 5 7 20
7/17/2019 Unidad 3. Analisis de Error y Solucion de Ecuaciones
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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020
MTI. Ulises Girón Jiménez Página | 167
a) Determine los kilogramos necesarios de cada material para satisfacer el requerimiento
diario ( Presentado en la última columna)
b) Determine el costo de la mezcla.
a( )
A
80
28
20
50
15
72
20
10
35
57
12
20
60
25
20
60
230
180
80
160
rref A( )
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1.852
1.032
0.618
0.745
b( )
Costo 18 5 7 20( ) kilogramos
1.852
1.032
0.618
0.745
Total Costo kilogramos Total 57.722( )
Problema.
(Manufactura). R. S. C. L. S y Asociados fabrica tres tipos de computadora personal: Ciclón, Cíclope
y Cicloide. Para armar una Ciclón se necesitan 10 horas, otras 2 para probar sus componentes y 2
horas más para instalar sus programas. El tiempo requerido para la Cíclope es 12 horas en su
ensamblado, 2.5 para probarla y 2 horas para instalarla. La Cicloide, la más sencilla de la línea,
necesita 6 horas de armado, 1.5 horas de prueba y 1.5 horas de instalación. Si la fábrica de esta
empresa dispone de 1560 horas de trabajo por mes para armar, 340 horas para probar y 320 horas
para instalar, ¿ cuántas PC de cada tipo puede producir en un mes ?
Solución:
Marcas Ensamblado Pruebas Instalación
Ciclón
Cíclope
Cicloide
10
12
6
2
2.5
1.5
2
2
1.5
1560 340 320
3205.122
3405.15.22
156061210
z y x
z y x
z y x
7/17/2019 Unidad 3. Analisis de Error y Solucion de Ecuaciones
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MTI. Ulises Girón Jiménez Página | 168
Resuelta por el método de Gauss Jordán
A
10
2
2
12
2.5
2
6
1.5
1.5
1560
340
320
rref A( )
1
0
0
0
1
0
0
0
1
60
40
80
Por consiguiente cada mes se pueden fabricar 60 Ciclones, 40 Cíclopes y 80 Cicloides.
Problema.
(Cambio de moneda extranjera).Una empresaria internacional necesita, en promedio, cantidades
fijas de yenes japoneses, libras inglesas y marcos alemanes durante cada viaje de negocios. Este
año viajo 3 veces. La primera vez cambio un total de $ 2550 dólar con las siguientes tasas: 100
yenes por dólar, 0.6 libras por dólar y 1.6 marcos por dólar. La segunda vez cambio $ 2840 dólar en
total con las tasas de 125 yenes, 0.5 libras y 1.2 marcos por dólar. La tercera vez, cambio un total
de $ 2800 dólar a 100 yenes, 0.6 libras y 1.2 marcos por dólar. ¿Cuantos yenes, libras y marcos
compro cada vez?
Solución:
28002.1
1
6.0
1
100
1
28402.1
1
5.0
1
125
1
2550
6.1
1
6.0
1
100
1
z y x
z y x
z y x
Resuelta por el método de Gauss Jordán
A
1
100
1
125
1
100
1
0.6
1
0.5
1
0.6
1
1.6
1
1.2
1
1.2
2550
2840
2800
rref A( )
1
0
0
0
1
0
0
0
1
80000
600
1200
En consecuencia, cada vez compro 80 000 yenes, 600 libras y 1200 marcos para viajar.
7/17/2019 Unidad 3. Analisis de Error y Solucion de Ecuaciones
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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020
MTI. Ulises Girón Jiménez Página | 169
Problema:
(Cálculo de una función demanda). Bikey, Inc., quiere fabricar un nuevo tipo de zapato deportivo,
poco costoso, e investiga el mercado de la demanda. Encuentra que si un par de zapatos nuevo
cuesta $ 20 en un área de ingreso familiar promedio de $ 20000, y que si un competidor Tríceps,
Inc., vende cada par de zapatos a $ 20, vendería 660 pares. Por otro lado, si el precio fuera igual y
Tríceps bajara su precio a $10 el par, entonces, vendería 1130 pares en un área de $ 30000 de
ingreso. Por último, si el precio de los zapatos fuera $ 15 el par, y la competencia se queda en $ 20
el par, se vendería 1010 pares en un área de $25000 de ingreso. Determine la función demanda,
suponiendo que depende linealmente de sus variables.
Solución:
Sea D = a P + b I + c C . Deseamos conocer a, b y c.
1010202500015
1130103000020660202000020
cba
cbacba
Resuelta por el método de Gauss Jordán
A
20
20
15
20000
30000
25000
20
10
20
660
1130
1010
rref A( )
1
0
0
0
1
0
0
0
1
20
0.05
3
Por consiguiente, la función demanda esta expresada por C I P D 305.020
Problema:
(Soluciones químicas). Se necesitan tres ingredientes distintos, A, B y C, para producir determinada
sustancia. pero deben disolverse primero en agua, antes de ponerlos a reaccionar para producir la
sustancia. La solución que contiene A con 1.5 gramos por centímetros cúbicos ( g / cm 3 ),
combinada con la solución B cuya concentración es de 3.6 g / cm3 y con la solución C con 5.3 g /
cm3 forma 25.07 g de la sustancia. si las proporciones de A, B y C en esas soluciones se cambian a
2.5, 4.3 y 2.4 g / cm3 , respectivamente ( permaneciendo iguales los volúmenes ), se obtienen
22.36 g de la sustancia. Por último, si las proporciones se cambian a 2.7, 5.5 y 3.2 g / cm 3 ,
respectivamente, se producen 28.14 g de la sustancia. ¿Cuáles son los volúmenes, en centímetros
cúbicos, de las soluciones que contienen A, B y C?
Solución:
7/17/2019 Unidad 3. Analisis de Error y Solucion de Ecuaciones
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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020
MTI. Ulises Girón Jiménez Página | 170
14.282.35.57.2
36.224.23.45.2
07.253.56.35.1
z y x
z y x
z y x
Resuelta por el método de Gauss Jordán
A
1.5
2.5
2.7
3.6
4.3
5.5
5.3
2.4
3.2
25.07
22.36
28.14
rref A( )
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1.5
3.1
2.2
Por consiguiente, los volúmenes correspondientes de las soluciones que contienen A, B y C son 1.5
cm3 , 3.1 cm3 y 2.2 cm3.
Problema.
Un ingeniero industrial supervisa la producción de cuatro tipos de computadoras. Se requiere
cuatro clases de recursos – horas-hombre, metales, plásticos y componentes electrónicos – en la
producción. En el cuadro siguiente se resumen las cantidades necesarias para cada uno de estos
recursos en la producción de cada tipo de computadora. Si se dispone diariamente de 504 horas-
hombre, 1970 Kg. de metal , 970 Kg. de plástico y 601 componentes electrónicos, ¿Cuántas
computadoras de cada tipo se puede construir por día?
Solución:
A
3
2010
10
4
2515
8
7
4020
10
20
5022
15
504
1970970
601
rref A( )
1
00
0
0
10
0
0
01
0
0
00
1
10
1218
15
7/17/2019 Unidad 3. Analisis de Error y Solucion de Ecuaciones
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Programación y Métodos Numéricos / BQH - 1020
M
3
20
10
10
4
25
15
8
7
40
20
10
20
50
22
15
v
504
1970
970
601
soln lsolve M v( )
soln
10
12
18
15
Problema:
Determine las concentraciones molares de una mezcla de cinco componentes en solución a partir
de los siguientes datos espectrofotométricos
Asúmase que la longitud de la trayectoria óptica es unitaria y que el solvente no absorbe a estas
longitudes de onda. Utilice el método de Gauss – Seidel. Utilizando como criterio de paro
002.0 ; jC es la concentración molar del componente j en la mezcla.