Post on 21-Feb-2015
Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas
2
2
2 2
22
df xkf x x
dx
d xm F
dt
it m x
Una ecuación diferencial es ordinaria si la función desconocida depende de solo una variable
2
2
2 2
22
df xkf x x
dx
d xm F
dt
it m x
Una ecuación diferencial es ordinaria si la función desconocida depende de solo una variable
0
32 2
3
sin cosdf x
x xf x xdx
dvav x
dt
d y dyx xy y x ydx dx
Una ecuación diferencial es parcial si la función desconocida depende de varias variables
2 2
2
2
2
22
2 2 2 2 2
2
2
, ,, 0
1 1 1sin 4 , ,
sin sin
ˆ
it m x
q x y q x yq x y
x y
r rr r r r r
r
r
El orden de una ecuación diferencial es el orden de la mayor derivada que aparezca en ella
22
2
3
3
5
0
Segundo orden
Tercer orden
Primer orden
Orden 5i
i ii
d f x dfkf x x
dx dx
b at x
d za b
dz
d g p
dp
Una solución de una ecuación diferencial en la función desconocida f(x) y en la variable independiente x en el intervalo I, es una función f(x) que satisface la ecuación diferencial idénticamente para toda x en I
3 22 3 3 2
3 2
3sin
4 2 12 cos 3 cos 6 sin 0
,
La función es solución de la
ecuación diferencial ordinaria de tercer orden
en el intervalo
y x
d y d y dyx x x x x x x x xdx dx dx
Ya veremos más adelante más ejemplos
Una solución de una ecuación diferencial en la función desconocida f(x) y en la variable independiente x en el intervalo I, es una función f(x) que satisface la ecuación diferencial idénticamente para toda x en I
•Una solución particular es cualquier solución.
•La solución general es el conjunto de todas las soluciones.
•Una solución particular es cualquier solución.
•La solución general es el conjunto de todas las soluciones.
0
La ecuación diferencial más sencilla que existe:
dy
dx
2
con es la solución general
es una solución particular
y a a R
y
•Una solución particular es cualquier solución.
•La solución general es el conjunto de todas las soluciones.
3
33 8
dy dydt dy dt dt
dt dt
y t a
y t
y t i
dy
dt
es la solución general
es una solución particular
es
donde es una constan
otra solución partic
te
ular
•Una solución particular es cualquier solución.
•La solución general es el conjunto de todas las soluciones.
2
2
1
1
2
1
2
es una solución particular
con es la solución general
da tt
dt
a t t t
a t t t C
•Una solución particular es cualquier solución.
•La solución general es el conjunto de todas las soluciones.
2 0
0
1/
es una solución particular
es una solución particular
y y
y
y x
2
2
2
2
11
0
0dy
ydxdy
y y
ydx
dy
y dx
2
2
2
11
1
1
1
dy
y dx
dydx dx
y dx
dydx
y
cy
yx c
x
•Una solución particular es cualquier solución.
•La solución general es el conjunto de todas las soluciones.
2 0
1
dyy
dx
y xx c
2
2
22
2
10
1
1 10
Veamos que sí es solución:
dyy y
dx x c
dy
dx x c
dyy
dx x cx c
•Condiciones iniciales y condiciones de frontera
•Primer orden
•Ecuaciones separables
•Ecuaciones que se reducen a separables
•Ecuaciones exactas
•Ecuaciones lineales
Una ecuación diferencial con condiciones
subsidiarias en la función desconocida y sus
derivadas, todas ellas dadas para el mismo
valor de la variable independiente, constituye
un problema de condiciones iniciales (initial-
value problem).
Las condiciones subsidiarias son las
condiciones iniciales.
Una ecuación diferencial con condiciones subsidiarias en la función desconocida y sus derivadas, todas ellas dadas para el mismo valor de la variable independiente, constituye un problema de condiciones iniciales (initial-value problem).Las condiciones subsidiarias son las condiciones iniciales.
0 con la condición inicial i
dva v v
dt
dv dva dt adt dv adt
dt dt
0 iiv t at c v c vc v
iv t v at
Una ecuación diferencial con condiciones subsidiarias en la función desconocida y sus derivadas, todas ellas dadas para el mismo valor de la variable independiente, constituye un problema de condiciones iniciales (initial-value problem).Las condiciones subsidiarias son las condiciones iniciales.
2 1 2 con la condición inicial dg
z gdz
2 2 2dg dgz dz z dz dg z dz
dz dz
3 1 23 3
23
g z c g cc
3 1 23
g z z
2
2
0 0 0Condiciones iniciales i i
d xa
dtdx
x x v t vdt
2
2
d x dx dv dva v a dt a dt dv a dt
dt dt dt dtv at
dx dx dxv at dt at dt dx at dt
dt dt dt
21
2dx at dt x t at t
00x x
20
1
2
dx tx t at t x at
dt
00dx
vdt
20 0
1
2x t at v t x
lim
es un simbolo, no una fracción
y "no existen" independientemente
x x
y x y xdyx
dx x x
dy
dx
dx dy
Una ecuación diferencial con condiciones subsidiarias en la función
desconocida y sus derivadas, todas ellas dadas para el mismo valor de
la variable independiente, constituye un problema de condiciones
iniciales (initial-value problem).
Las condiciones subsidiarias son las condiciones iniciales.
Si las condiciones subsidiarias se dan para más de
un valor de la variable independiente, el problema
se llama de valores a la frontera (boundary-value
problem) y las condiciones se llaman de frontera
(boundary conditions).
2
2
( ) 0 0Condiciones de frontera:
dkx
dxa b
30 1
30 1
06
06
ka a c a c
kb b c b c
22
02
2 30 0 1
1
21
2 6
d ddx k xdx kx c
dx dxd k
dx k x dx c dx x c x cdx
3 30 1 0 10 0
6 6
k ka c a c b c b c
3 30 0
6
ka b c a b
2 20 6
kc a ab b
3 30 1 0 10 0
6 6
k ka c a c b c b c
2 21 10 00 0
6 6
k c k ca c b c
a b
2 21
1 10
6
ka b c
a b
1 6
kc ab a b
2
2
30 1
2 20 1
3 2 2
( ) 0 0
6
6 6
6 6 6
Condiciones de frontera:
dkx
dxa b
kx x c x c
k kc a ab b c ab a b
k k kx x a ab b x ab a b
2
2
( )Condiciones de frontera:
dkx
dxa A b B
30 1
30 1
6
6
ka a c a c A
kb b c b c B
22
02
2 30 0 1
1
21
2 6
d ddx k xdx kx c
dx dxd k
dx k x dx c dx x c x cdx
3 30 1 0 16 6
k ka c a c A b c b c B
3 306
ka b c a b A B
2 2
0 6
A B kc a ab b
a b
3 30 1 0 16 6
k ka c a c A b c b c B
2 21 10 06 6
k c A k c Ba c b c
a a b b
2 21
1 1
6
k A Ba b c
a b a b
1 6
Ab Ba kc ab a b
b a
2
2
30 1
2 20 1
3 2 2
( )
6
6 6
6 6 6
Condiciones de frontera: d
kx a A b Bdx
kx x c x c
A B k Ab Ba kc a ab b c ab a b
a b b a
A Bk k Ab Ba kx x a ab b x ab a b
a b b a
,dy
y f x ydx
,,
,
, , 0
M x ydy dyy f x y
dx dx N x y
N x y dy M x y dx
, , 0
, ,
0
Si y
N x y dy M x y dx
M x y A x N x y B y
B y dy A x dx
0
Solución general:
donde es una constante arbitraria
B y dy A x dx
B y dy A x dx c
c
sin 0
sin
n
0
c s 0
si
o
cos
dy xdx
dy xdx
y x c
dyx
dx
y x c x
2
2
3
2
1
3
dydx x d dy x dx
dx
x
y
x
c
dyx
d
x
2
2
2
2
2
1/
2
2
exp
exp 0
exp 0
1exp 0
02 2
2
1
erf
erf
xdf
dx f
dff xdxdf
f dx x dxdx
d fdx x dx
dx
x
x
f c
f x c
0
0
0
0
ln ln
exp exp exp
0 ex
e
p
0
xp
dN dNkdt k dt c
N NN kt c N c kt
N t c
dN tkN t
kt c
N t N k
N Ndt
kt
N c N
t
0
0
exp
100 1/ 4
N t N kt
N k
ln
;
exp ex
0
exp exp
p
m
m
m
m
m m
dT
dT dTdt dt c
T T T T
T T t c T T c t
tT T
d
T t T c t
t
lim exp exp
.
0
0 exp exp 0 exp
e
e
x
xp; p0 e
x
x
p
e p
Condiciones "finales":
independientemente de
Condiciones iniciales:
m m
i
m
m
m i
i m
m i
m
m
tT T c t T
c
T T
T T c T c T
c T T
T t T T T t
dT tT T
tT t T t
dc
exp
40 60 1/ 4m i m
m i
T t T T T t
T T
22
2
3 2
3 2
sin 2 0
sin 2
1cos
31
arcc
2
o3
sin
s
y dy x x dx
y dy x x dx c
y x x c
y x x x c
dy x x
dx y
3
3
3
3
3
1 0
1 0
ln 1
1
0
exp 1
dsx dx
sds
x dxs
s x dx
dss x
c
s x c
d
x
t
dx
2
2
2
2
2 2
01
1
sin cos1
cos cosarcsin
cos1 1 sin
arcsin ln arcsin ln
s l
1
in n
dy dx
xy
dy dxc
xy
dyy dy d
y
dy d
ydy
d
dd y
y
y x c y c x
y x x
x
c
x
0
2
0
20
20
exp exp
1exp
2
2 exp
0 2 exp 0 2 1
11
2
2
e
e
p0
x
x
p 1
d t dt d t dt c
t c
t c t
c c
c
t t
d t t
dt
2
2 22 1
12
1ln
1 1ln ln1 ln
2
11
ln2
1 2
g z
gz
dg dz dg dz
g z g z
zg
z zg
g z
dg z gg
d
z
z z
0
Solución general:
donde es una constante arbitraria
B y dy A x dx
B y dy A x dx c
c
Miércoles 29 de marzo del 2006
1 2
1 2
1 2
1 2
, ,..., , ,
, , ,..., , , 0
n n n
n n n
n n n
n n n
d y d y d y dyf y x
dx dx dx dx
d y d y d y dyF y x
dx dx dx dx
1 2
1 2
1
, , ,..., , 0
La ecuación no contiene la función buscada , y sus
derivadas hasta el orden inclusive:
Se hace el cambio de variable
y entonces queda
n n n k
n n n k
k
k
n k
y
k
d y d y d y d yF x
dx dx dx dx
d yp
dx
d pF
1 2
1 2, , ,..., , , 0
que es de orden
n k n k
n k n k n k
d p d p dpp x
dx dx dx dx
n k
2
20
d x
dx
La ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas
en una dimensión
es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden
lineal y homogenea.
Paso 1. Con un cambio de variable le bajamos en uno
el
0
d
dx
d
dx
orden. Haciendo
la ecuación queda
2
20 0
0
0
0
d d d
dx dx dx
d
dx
d
d
a
a
Paso 1.
y
Paso 2. La ecuación se separa y se
integra facilmente
donde es una constante de integración
2
20 0
0 0 0
d d d
dx dx dx
dd d a
dx
da
dxd
adx
Paso 1. y
Paso 2.
Paso 3. Regresamos el cambio de variable.
Si (paso 1) y (paso 2) entonces
da
dx
d adx
d adx a dx
ax b
Es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden
de variables separables. Ponemos de un lado la variable
dependiente y del otro lado la independiente
Integramos
y da
don bde es una variable de integración
2
20
d x
dx
x ax b
La ecuación de Laplace en coordenadas
cartesianas en una dimensión
tiene como solución general
22
10
d rdr
r dr dr
d
dr
La ecuación de Laplace para problemas con
simetría esféricas es
Para resolverla:
Paso 1. Bajarle el orden con el cambio de variable
22
2
2 2 2
10
0
0 0
d rd dr
r dr dr dr
dr
dr
d r d r r a
a
Paso 1.
Paso 2. Queda
que es de variable separables y se pone
donde es una constante de integración.
2 22
2
2
2
10
d rd dr r a
r dr dr dr
d a
dr ra
d drr
ad dr
ra
r br
Paso 1. Paso 2.
Paso 3.
22
10
d rdr
r dr dr
ar b
r
La ecuación de Laplace para problemas con
simetría esféricas es
La solución general es
Ejemplo
Ejemplo
( ) ( 1)1 1 0
1 1
1 1 01 1
1
...
...
Una ecuación diferencial ordinaria de orden es lineal
si es de la forma
n nn n
n n
n nn n
in
i ii
n
b x y b x y b x y b x y g x
d y x d y x d y xb x b x b x b x y x g x
dx dx dx
d y xb x g x
dx
0
10 0 0 1 0 2 0 1
0,1,2,...,
0
, , ....,
Si y , , son continuas en un
intervalo que contiene a y si en ,
entonces el problema de valores iniciales
de la ecuación diferencia
j
n
nn
g x b x j n
I x b x I
y x c y x c y x c y x c
( ) ( 1)1 1 0...
.
l ordinaria de orden lineal
tiene una única solución en
n nn n
n
b x y b x y b x y b x y g x
I
( ) ( 1)1 1 0...
0
Ecuación diferencial ordinaria de orden lineal
1) Si entonces la ecuación es homogenea,
si no es inhomogenea
2) Si TODOS los son constantes se dice que
tien
n nn n
j
n
b x y b x y b x y b x y g x
g x
b x
e coeficientes constantes, sino se dice que los
coeficientes son variables
( ) ( 1)1 1 0
( ) ( 1)1 1 0
...
0 ,
0,1,2,..., 1
...
Ecuación diferencial ordinaria de orden lineal
Si en un intervalo podemos escribir
donde
y
n nn n
n
jj
n
n nn
n
b x y b x y b x y b x y g x
b x I
b x ga x j n x
b x
y a x y a x y a x y x
n
x
b x
1 1
1 1 01 1
( ) ( 1)1 1 0
ˆ ...
ˆ ...
ˆ
Definimos ahora el operador
de tal manera que
La ecuación diferencial ordinaria de orden lineal
la escribimos entonces como
n n
nn n
n nn
d d dL a x a x a x
dx dx dx
L y y a x y a x y a x y
n
L y
x
1 2
ˆ 0
, ,...,
La ecuación diferencial ordinaria de orden lineal
homogenea
siempre tiene soluciones linealmente
independientes.
Si representan dichas soluciones,
entonces la solución general de
n
n
L y
n
y x y x y x
1 1 2 2
1 2
ˆ 0
...
, ,...,
es
donde representan constantes arbitrariasn n
n
L y
y x c y x c y x c y x
c c c
ˆ
La solución general de la ecuación diferencial ordinaria
de orden lineal inhomogenea
es
donde
es la solución general a la ecuación homogenea
asociada, y
es cualquier solución par
h
p
n
L y x
y x
y x
phy x y x y x
ticular de la ecuación.
( ) ( 1)1 1 0... 0n n
ny a y a y a y
( ) ( 1)1 1 0
11 1 0
11 1 0
... 0
exp
exp exp ... exp exp 0
... 0
exp
Si se propone una solucion
se tiene
Eliminando la exponencial
Si es raiz de esta ecuación,
n nn
n nn
n nn
y a y a y a y
y x x
x a x a x a x
a a a
es solución de la
ecuación diferencial
x
( ) ( 1)1 1 0
11 1 0
... 0
... 0
A la ecuación
se le llama Ecuación característica.
n nn
n nn
y a y a y a y
a a a
( ) ( 1)1 1 0
11 1 0
1 2 3
1 1
... 0
... 0
, , ,...,
exp
Ecuación característica:
Sean las raices de la ecuación
característica
Si todas son distintas, la solución general es
n nn
n nn
n
y a y a y a y
a a a
n
y x c x
1 2
2 2
, ,...,
exp ... exp
siendo constantes arbitrariasn
n n
c c c
c x c x
( ) ( 1)1 1 0
11 1 0
1 2 3
... 0
... 0
, , ,...,
Ecuación característica:
Sean las raices de la ecuación característica
Si la raiz tiene multiplicidad habrá asociada con el
n nn
n nn
n
k
y a y a y a y
a a a
n
p
2 1exp , exp , exp ,..., exp
la
soluciones linealmente independientes dadas como
La combinación lineal de las soluciones
linealmente independientes es la solución general.
pk k k k
p
x x x x x x x
n
22
2
22
2
2 2
2 2
1 2
1
Forma estandar: 0
Ecuación característica: 0
Raices de la ecuación característica:
d f x
f x dx
d f xf x
dx
i i
22
2
1 2
1 2
1 2 1 1
1
Raices de la ecuación característica:
exp exp
Formula de Euler: exp cos sin
cos cos sin sin
cos sin
i
d f x
f x dx
i i
f x c i x c i x
i e i
f x c x c x i c x c x
f x A x B x
22
2
22
2
2 2
2 2
1 2
1
Forma estandar: 0
Ecuación característica: 0
Raices de la ecuación característica:
d f x
f x dx
d f xf x
dx
22
2
1 2
1 2
1
Raices de la ecuación característica:
exp exp
d f x
f x dx
f x c x c x