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5.1 Elementos geomtricos bsicos
En este curso lo que se pretende es que ustedes tengan una idea de los que son los
elementos geomtricos como punto, recta, segmento, sepan lo que es un tringulo, los tipos
de tringulos, los polgonos, y los mas importante las relaciones trigonomtricas.
Comenzaremos por definir lo que es la geometra.
Definicin de geometra: Es la ciencia que tiene por objeto el estudio de las propiedades, de las formas figuras.
Dentro de la geometra existen conceptos que no tienen una definicin pero que se pueden
comprender de una manera intuitiva, estos son:
Punto: Podemos concebir un punto como la marca que deja un gis en el pizarrn, la
marca que deja un lpiz sobre un papel la punta de un alfiler.
Ejemplo Lo que est dentro del parntesis da la idea de punto ( . )
Recta: Entenderemos por recta la lnea que se prolonga indefinidamente en dos sentidos
opuestos y en la misma direccin.
Ejemplo Esto es
la idea de una recta.
Como nota, dos puntos determinan una recta. Observe que las flechas indican que la recta
se prolonga indefinidamente en ambos sentidos. Para representar una recta utilizaremos la
siguiente notacin
se representa simblicamente como MN
M N
Ahora daremos la definicin de lo que entenderemos por semirrecta rayo, si notan la
definicin de recta es una lnea que se prolongo en ambas direcciones, pero si solo se
prolonga en una sola direccin recibe el nombre de semirrecta rayo.
Semirrecta rayo: Es una porcin limitada de recta en una de sus direcciones. El punto lmite se llama extremo.
La semirrecta o rayo MN se representa MN
M N
2
Ahora como notaran una recta se prolonga en ambas direcciones, un rayo en una solo
direccin pero si no se prolongo en ninguna direccin entonces se define los que es un
segmento.
Segmento: Es una porcin de recta limitada en ambos sentidos.
Ejemplo _________________________ El segmento MN representa M-N
M N
Ahora otro concepto importante es el de plano, lo que entenderemos por plano es
Plano: Superficie llana que se extiende indefinidamente. Para determinar un plano se requieren de al menos tres puntos.
Ejemplo
A
B
ngulo: Es la figura formada por todos los puntos de dos rayos distintos que emanan del mismo origen.
Los rayos son los lados del ngulo y al origen de los rayos se le llama vrtice del ngulo.
Para representar un ngulo se usara el smbolo .
Ejemplo En la figura los rayos ABy AC se cortan en un punto A, llamado vrtice, los lados
del ngulo son AB y AC .
B
A
Medicin de ngulos
Nos encontramos en un punto muy importante pues acabamos de definir los que vamos a
entender por ngulo, lo que nos falta saber es como vamos a medir los ngulos, y en que
sentido los vamos a medir. Veamos como lo vamos hacer.
Consideraremos los ngulos como positivos negativos de acuerdo a la siguiente
convencin:
ngulo Positivo: El rayo gira en el sentido contrario al del movimiento de las manecillas
del reloj.
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Ejemplo
B
A C
En este ngulo podemos ver que se trata de un ngulo positivo pues AB est girando en
sentido contrario a las manecillas de reloj.
C A
ngulo Negativo: El rayo gira siguiendo el movimiento de las manecillas del reloj.
Ejemplo En este ngulo podemos ver que se trata de un ngulo negativo
A C
Pues AC est girando en sentido de las manecillas de reloj.
Obsrvese que:
El tamao de un ngulo no depende de la longitud de sus lados, el tamao de un ngulo solo depende de la abertura.
Ahora ya sabemos cuando es un ngulo positivo negativo, la pregunta a seguir es como se
mide un ngulo. Est pregunta se responde de la siguiente manera, un ngulo se va a medir
de acuerdo a dos sistemas de unidades, el primer sistema se llama sexagesimal y el otro
sistema cclico veamos como se mide un ngulo en cada sistema.
Sistema sexagesimal
Primero vamos a definir la unidad que se va a llamar grado y su smbolo es . Ahora la
pregunta que es un grado. Para entender la idea de grado consideremos una circunferencia y
dividamos esa circunferencia en 360 partes iguales. Cada divisin de la circunferencia se
llama GRADO.
4
11 circunf
360
Adems cada grado se considera dividido en 60 partes iguales llamadas minutos ( ), y
cada minuto en 60 partes iguales llamadas segundos ( ). Los smbolos para estas
unidades son:
1= 60
1= 60
Sistema Cclico
En el sistema cclico la unidad fundamental es el RADIAN, y se define como: el ngulo
cuyos lados comprende un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.
El AOB es un radin (1rad )
Un radin cumple la siguiente relacin: 1
1 radin = rev2
De sus cursos de matemticas de la secundaria deben de recordar que la longitud de una
circunferencia es igual a 2r, pero una circunferencia subtiende un ngulo central de 360, por lo tanto; tenemos la siguiente relacin fundamental y que se deben de aprender.
O2 radianes = 360
O radianes = 180
Por lo tanto un radin es igual 1 radin ==57.2958
Y una revolucin tiene 2 rad=6.2631 rad
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En la siguiente tabla se muestra como realizar las conversiones de grados a radianes o
radianes a grados.
Para cambiar Multiplicar por Ejemplos
Grados a Radianes /180 150= 150 ( /180)=5 / 6 rad
Radianes a Grados 180 / /3=/3( 180/ )=180/3 = 60
Lo siguiente que vamos a ver es como convertir un ngulo dado en grados a grados,
minutos y segundos.
Ejemplo convertir 59.7846 a grados, minutos y segundos. Primero note que 59.7846 esta
compuesto por una parte entera que es 59 y una parte fraccionaria que es 0.7846, entonces
lo que vamos hacer es convertir la parte fraccionara a minutos para ello hay que
multiplicarla por 60`.
59.7846 =59 +0.7846
0.7846(60) = 47.076
Entonces 0.7846 =47.076 En palabras significa que 0.7846 es igual a 47.076 minutos.
Note que 47.076 minutos est compuesto por una parte entera que es 47 minutos y una
parte fraccionaria que es 0.076 minutos, entonces la parte fraccionaria 0.076 la vamos a
multiplicar por 60 para convertirla a segundos, y la parte entera 47 la colocamos al lado
de los 59 con un signo de + como se observa:
59.7846 =59 +0.7846 =59 +47 +0.076
0.076(60) =4.56
El valor de 4.56 lo vamos a redondear utilizando el siguiente criterio, si lo que esta
despus del punto decimal es menor que 5 por ejemplo 3.4 se redondea a 3; y si lo que est
despus del punto decimal es mayor que 5 se sube a la siguiente unidad por ejemplo 6.8 se
redondea a 7. Entonces para nuestro ejemplo 4.56 se redondea a 5 entonces el resultado
lo escribimos como 59.7846 =59 +0.7846 =59 +47 +0.076 =59 +47 +5
59.7846 =59 47 5
Esto es 58.7846 es igual a 59 (grados) 47 (minutos) 5 (segundos).
Ahora el siguiente ejemplo vamos hacer lo contrario nos dan un ngulo dado por 72 32
89 hay que convertirlo a su forma de grados, es decir hay que quitar los minutos y los
segundos.
72 32 89 =72 + 32 + 89 =72 + 32/60 + 89/3600 = 72 + 0.53 + 0.024 =72.554
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Como se hace, observen, primero separamos los grados de los minutos con un signo de +, y
separamos los minutos de los segundos con un signo de +, como siguiente paso los
minutos los dividimos siempre por 60 esto corresponde a 32 /60 es resultado de esta
divisin es 0.53 y la unidad que llevan es la de grado. Hacemos algo muy similar con los
89 a est nmero lo vamos a dividir entre 3600 y lo que de cmo resultado queda en
grados, esto es ( 89 )/3600
=0.024 . Y por ultimo sumamos las cantidades 72 +0.53
+0.024 =72.554 y este es el resultado final que podemos escribir como 72
3289=72.554 .
5.2 El Teorema de Pitgoras
Pitgoras de Samos fue un filsofo griego que vivi alrededor del ao 530 a.C., residiendo
la mayor parte de su vida en la colonia griega de Crotona, en el sur de Italia. De acuerdo
con la tradicin fue el primero en probar la afirmacin (teorema) que hoy lleva su nombre:
Si un tringulo tiene lados de longitud (a,b,c), con los lados (a,b) formando un ngulo
de 90 grados ("ngulo recto"), tenemos que
a2 + b
2 = c
2
Un ngulo recto se puede definir como el ngulo formado cuando dos
lneas rectas se cruzan de tal forma que los cuatro ngulos que
forman son iguales. El teorema tambin se puede definir de otra
forma: si las longitudes de los tres lados (a,b,c) de un tringulo
satisfacen la relacin anterior, el ngulo entre los lados a y b debe ser
de 90 grados.
Por ejemplo, un tringulo con los lados a = 3, b = 4, c = 5 (pulgadas,
pies, metros,... lo que sea) es rectngulo porque
a2 + b
2 = 3
2 + 4
2 = 9 + 16 = 25 = c
2
Los maestros de obras del antiguo Egipto pudieron conocer el tringulo (3,4,5) y usarlo
(mediante caas o cuerdas calibradas) para construir ngulos rectos; an hoy en da los
albailes usan tableros con clavos con esas longitudes que les ayudan a alinear una esquina.
Existen muchas pruebas, y las ms fciles son probablemente las que estn basadas en el
lgebra, usando las igualdades elementales presentadas en la seccin precedente, a saber
(a + b)2 = a
2 + 2ab + b
2
(recuerde que 2ab significa 2 veces a veces b). Por ejemplo
152 = (10 + 5)
2
= 102 + (2)(10)(5) + 5
2
= 100 + 100 + 25 = 225
7
y
(a - b) 2 = a
2 - 2ab + b
2
Por ejemplo:
52 = (10 - 5)
2
= 102 - (2)(10)(5) + 5
2
= 100 - 100 + 25 = 25
Tambin es necesario conocer
algunas reas simples: el rea de un
rectngulo es (longitud) por (altura),
de tal forma que el rea del
presentado arriba es ab. Una diagonal
lo divide en dos tringulos
rectngulos siendo los lados cortos a
y b, y el rea de ese tringulo es, por
consiguiente, (1/2) ab.
Vea el cuadrado de la izquierda construido por cuatro tringulos (a,b,c). la longitud de cada
lado es (a+b) y, por lo tanto, el cuadrado tiene un rea de (a+b)2.
No obstante, el cuadrado se puede a su vez dividir en cuatro tringulos (a,b,c) ms un
cuadrado de lado c en el centro (en rigor, tambin debemos de probar que es un cuadrado,
pero nos saltaremos esto). El rea de cada tringulo, como se mostr anteriormente, es
(1/2)ab, y el rea del cuadrado es c2. Como el cuadrado grande es igual a la suma de todas
sus partes
(a + b) 2 = (4)(1/2)(a)(b) + c
2
Usando la igualdad para (a + b)2 y multiplicando (4)(1/2) = 2
a2 + 2ab + b
2 = 2ab + c
2
Reste 2ab de ambos lados y obtendr
a2 + b
2 = c
2
Se puede mostrar el mismo resultado usando un cuadrado diferente, de rea c2. Como
muestra el dibujo de la derecha, esa rea puede dividirse en cuatro tringulos como los
anteriores, ms un pequeo cuadrado de lado (a-b).
Obtenemos
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c2 = (4)(1/2)(a)(b) + (a-b)
2
= 2ab + (a2 - 2ab + b
2)
= a2 + b
2 Q.E.D.
Q.E.D. simboliza "quod erat demonstrandum," en latn "lo que queda demostrado," que en
los libros de geometra, tradicionalmente, marcaban el final de una demostracin. La
importancia del trabajo de Pitgoras y de los siguientes maestros de geometra griegos,
especialmente Euclides, no fue solo lo que probaron, sino el mtodo que desarrollaron:
comenzar desde algunas afirmaciones bsicas ("axiomas") y deducir mediante la lgica sus
consecuencias ms complicadas ("teoremas"). Los matemticos an siguen ese modelo.
Ejercicios del Teorema de Pitgoras
1. Calcular la altura de un tringulo equiltero de 6 m. de lado.
Sea el triangulo de la figura
De acuerdo al Teorema de Pitagoras:
2 2 2c a b
2 2 26 3h
2 2 26 3 36 9 27h
27 5.19h
2. Calcular la diagonal de un cuadrado de lado a.
De acuerdo al Teorema de Pitagoras:
2 2 2d a a
2 22d a
22 2d a a
h
6m 6m
3m
d
a
a
d
9
3. Una antena est sostenida verticalmente por un tirante que la sujeta del extremo
superior diagonalmente hasta el suelo. El tirante mide 25 m. y la distancia en el
suelo, de la antena al tirante, es de 7 m. Cunto mide la antena?
2 2 2t a b
2 2 2 2 225 7 625 49a t b
576a
24 ma
5.3 Sistema de medicin de ngulos.
Cuando se necesita medir ngulos, se dispone de tres sistemas o conjuntos de unidades
usuales:
Sistema sexagesimal.
Sistema circular o radial.
Sistema centesimal.
Sistema Sexagesimal
Este sistema tiene como unidad el GRADO SEXAGESIMAL, llamado simplemente
GRADO y simbolizado con "".
Definicin: Un GRADO (SEXAGESIMAL) (1), es la nonagsima parte del ngulo recto.
En smbolos: O
11
90
R : ngulo rectoR
Se definen dos submltiplos del grado:
Definicin: Un MINUTO (SEXAGESIMAL) (1'), es la sexagsima parte del grado
sexagesimal.
Es decir: 1 minuto = O1
60
Definicin: Un SEGUNDO (SEXAGESIMAL) (1) es la sexagsima parte del minuto
sexagesimal.
t=25m
a
b=7m
10
Es decir: 1 segundo = '1
60
Sistema Circular O Radial
El sistema circular o radial tiene por unidad el RADIAN.
Definicin: Un RADIAN es el ngulo central de una circunferencia que interseca un arco
de igual longitud que el radio de aqulla.
Consecuencia: la medida x de un ngulo central cualquiera de una circunferencia, en
radianes, est dada por la razn:
Esta frmula mide la cantidad de veces que el radio est contenido en la longitud del arco
abarcado por el ngulo (es decir que el radio es la unidad de medida).
Nota: advirtase que, por tratarse del cociente de dos longitudes, la medida de un ngulo
en radianes es adimensional, es decir, es un nmero real.
Adems, no es necesario que el ngulo a medir en radianes, sea central en una
circunferencia dada; basta con considerar idealmente una circunferencia cualquiera,
centrada en su vrtice.
Medida en radianes del ngulo de un giro
Si se tiene en una circunferencia un ngulo central de un giro, el arco por l intersecado es
igual a la circunferencia.
Por ello, y teniendo en cuenta que la longitud de sta est dada por
Long. circunf. = 2 r
siendo r el radio,
11
Equivalencia entre las medidas del ngulo de un giro en ambos sistemas
Es inmediato que O360 2 rad
Relacin entre las medidas de un ngulo cualquiera en ambos sistemas
Si es la medida en grados sexagesimales y x la medida en radianes del mismo ngulo,
vale la proporcin
O180
x
La frmula anterior permite que, si es conocido el valor , se pueda determinar x y
recprocamente.
Sistema Centesimal
El sistema Centesimal tiene por unidad el GRADO CENTESIMAL.
Definicin: Un GRADO CENTESIMAL es la centsima parte del ngulo recto.
(El sistema no ser tratado en este texto con ms detalles ya que por lo regular son los
anteriores los ms utilizados)