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5.1 Elementos geomtricos bsicos

En este curso lo que se pretende es que ustedes tengan una idea de los que son los

elementos geomtricos como punto, recta, segmento, sepan lo que es un tringulo, los tipos

de tringulos, los polgonos, y los mas importante las relaciones trigonomtricas.

Comenzaremos por definir lo que es la geometra.

Definicin de geometra: Es la ciencia que tiene por objeto el estudio de las propiedades, de las formas figuras.

Dentro de la geometra existen conceptos que no tienen una definicin pero que se pueden

comprender de una manera intuitiva, estos son:

Punto: Podemos concebir un punto como la marca que deja un gis en el pizarrn, la

marca que deja un lpiz sobre un papel la punta de un alfiler.

Ejemplo Lo que est dentro del parntesis da la idea de punto ( . )

Recta: Entenderemos por recta la lnea que se prolonga indefinidamente en dos sentidos

opuestos y en la misma direccin.

Ejemplo Esto es

la idea de una recta.

Como nota, dos puntos determinan una recta. Observe que las flechas indican que la recta

se prolonga indefinidamente en ambos sentidos. Para representar una recta utilizaremos la

siguiente notacin

se representa simblicamente como MN

M N

Ahora daremos la definicin de lo que entenderemos por semirrecta rayo, si notan la

definicin de recta es una lnea que se prolongo en ambas direcciones, pero si solo se

prolonga en una sola direccin recibe el nombre de semirrecta rayo.

Semirrecta rayo: Es una porcin limitada de recta en una de sus direcciones. El punto lmite se llama extremo.

La semirrecta o rayo MN se representa MN

M N

2

Ahora como notaran una recta se prolonga en ambas direcciones, un rayo en una solo

direccin pero si no se prolongo en ninguna direccin entonces se define los que es un

segmento.

Segmento: Es una porcin de recta limitada en ambos sentidos.

Ejemplo _________________________ El segmento MN representa M-N

M N

Ahora otro concepto importante es el de plano, lo que entenderemos por plano es

Plano: Superficie llana que se extiende indefinidamente. Para determinar un plano se requieren de al menos tres puntos.

Ejemplo

A

B

ngulo: Es la figura formada por todos los puntos de dos rayos distintos que emanan del mismo origen.

Los rayos son los lados del ngulo y al origen de los rayos se le llama vrtice del ngulo.

Para representar un ngulo se usara el smbolo .

Ejemplo En la figura los rayos ABy AC se cortan en un punto A, llamado vrtice, los lados

del ngulo son AB y AC .

B

A

Medicin de ngulos

Nos encontramos en un punto muy importante pues acabamos de definir los que vamos a

entender por ngulo, lo que nos falta saber es como vamos a medir los ngulos, y en que

sentido los vamos a medir. Veamos como lo vamos hacer.

Consideraremos los ngulos como positivos negativos de acuerdo a la siguiente

convencin:

ngulo Positivo: El rayo gira en el sentido contrario al del movimiento de las manecillas

del reloj.

3

Ejemplo

B

A C

En este ngulo podemos ver que se trata de un ngulo positivo pues AB est girando en

sentido contrario a las manecillas de reloj.

C A

ngulo Negativo: El rayo gira siguiendo el movimiento de las manecillas del reloj.

Ejemplo En este ngulo podemos ver que se trata de un ngulo negativo

A C

Pues AC est girando en sentido de las manecillas de reloj.

Obsrvese que:

El tamao de un ngulo no depende de la longitud de sus lados, el tamao de un ngulo solo depende de la abertura.

Ahora ya sabemos cuando es un ngulo positivo negativo, la pregunta a seguir es como se

mide un ngulo. Est pregunta se responde de la siguiente manera, un ngulo se va a medir

de acuerdo a dos sistemas de unidades, el primer sistema se llama sexagesimal y el otro

sistema cclico veamos como se mide un ngulo en cada sistema.

Sistema sexagesimal

Primero vamos a definir la unidad que se va a llamar grado y su smbolo es . Ahora la

pregunta que es un grado. Para entender la idea de grado consideremos una circunferencia y

dividamos esa circunferencia en 360 partes iguales. Cada divisin de la circunferencia se

llama GRADO.

4

11 circunf

360

Adems cada grado se considera dividido en 60 partes iguales llamadas minutos ( ), y

cada minuto en 60 partes iguales llamadas segundos ( ). Los smbolos para estas

unidades son:

1= 60

1= 60

Sistema Cclico

En el sistema cclico la unidad fundamental es el RADIAN, y se define como: el ngulo

cuyos lados comprende un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.

El AOB es un radin (1rad )

Un radin cumple la siguiente relacin: 1

1 radin = rev2

De sus cursos de matemticas de la secundaria deben de recordar que la longitud de una

circunferencia es igual a 2r, pero una circunferencia subtiende un ngulo central de 360, por lo tanto; tenemos la siguiente relacin fundamental y que se deben de aprender.

O2 radianes = 360

O radianes = 180

Por lo tanto un radin es igual 1 radin ==57.2958

Y una revolucin tiene 2 rad=6.2631 rad

5

En la siguiente tabla se muestra como realizar las conversiones de grados a radianes o

radianes a grados.

Para cambiar Multiplicar por Ejemplos

Grados a Radianes /180 150= 150 ( /180)=5 / 6 rad

Radianes a Grados 180 / /3=/3( 180/ )=180/3 = 60

Lo siguiente que vamos a ver es como convertir un ngulo dado en grados a grados,

minutos y segundos.

Ejemplo convertir 59.7846 a grados, minutos y segundos. Primero note que 59.7846 esta

compuesto por una parte entera que es 59 y una parte fraccionaria que es 0.7846, entonces

lo que vamos hacer es convertir la parte fraccionara a minutos para ello hay que

multiplicarla por 60`.

59.7846 =59 +0.7846

0.7846(60) = 47.076

Entonces 0.7846 =47.076 En palabras significa que 0.7846 es igual a 47.076 minutos.

Note que 47.076 minutos est compuesto por una parte entera que es 47 minutos y una

parte fraccionaria que es 0.076 minutos, entonces la parte fraccionaria 0.076 la vamos a

multiplicar por 60 para convertirla a segundos, y la parte entera 47 la colocamos al lado

de los 59 con un signo de + como se observa:

59.7846 =59 +0.7846 =59 +47 +0.076

0.076(60) =4.56

El valor de 4.56 lo vamos a redondear utilizando el siguiente criterio, si lo que esta

despus del punto decimal es menor que 5 por ejemplo 3.4 se redondea a 3; y si lo que est

despus del punto decimal es mayor que 5 se sube a la siguiente unidad por ejemplo 6.8 se

redondea a 7. Entonces para nuestro ejemplo 4.56 se redondea a 5 entonces el resultado

lo escribimos como 59.7846 =59 +0.7846 =59 +47 +0.076 =59 +47 +5

59.7846 =59 47 5

Esto es 58.7846 es igual a 59 (grados) 47 (minutos) 5 (segundos).

Ahora el siguiente ejemplo vamos hacer lo contrario nos dan un ngulo dado por 72 32

89 hay que convertirlo a su forma de grados, es decir hay que quitar los minutos y los

segundos.

72 32 89 =72 + 32 + 89 =72 + 32/60 + 89/3600 = 72 + 0.53 + 0.024 =72.554

6

Como se hace, observen, primero separamos los grados de los minutos con un signo de +, y

separamos los minutos de los segundos con un signo de +, como siguiente paso los

minutos los dividimos siempre por 60 esto corresponde a 32 /60 es resultado de esta

divisin es 0.53 y la unidad que llevan es la de grado. Hacemos algo muy similar con los

89 a est nmero lo vamos a dividir entre 3600 y lo que de cmo resultado queda en

grados, esto es ( 89 )/3600

=0.024 . Y por ultimo sumamos las cantidades 72 +0.53

+0.024 =72.554 y este es el resultado final que podemos escribir como 72

3289=72.554 .

5.2 El Teorema de Pitgoras

Pitgoras de Samos fue un filsofo griego que vivi alrededor del ao 530 a.C., residiendo

la mayor parte de su vida en la colonia griega de Crotona, en el sur de Italia. De acuerdo

con la tradicin fue el primero en probar la afirmacin (teorema) que hoy lleva su nombre:

Si un tringulo tiene lados de longitud (a,b,c), con los lados (a,b) formando un ngulo

de 90 grados ("ngulo recto"), tenemos que

a2 + b

2 = c

2

Un ngulo recto se puede definir como el ngulo formado cuando dos

lneas rectas se cruzan de tal forma que los cuatro ngulos que

forman son iguales. El teorema tambin se puede definir de otra

forma: si las longitudes de los tres lados (a,b,c) de un tringulo

satisfacen la relacin anterior, el ngulo entre los lados a y b debe ser

de 90 grados.

Por ejemplo, un tringulo con los lados a = 3, b = 4, c = 5 (pulgadas,

pies, metros,... lo que sea) es rectngulo porque

a2 + b

2 = 3

2 + 4

2 = 9 + 16 = 25 = c

2

Los maestros de obras del antiguo Egipto pudieron conocer el tringulo (3,4,5) y usarlo

(mediante caas o cuerdas calibradas) para construir ngulos rectos; an hoy en da los

albailes usan tableros con clavos con esas longitudes que les ayudan a alinear una esquina.

Existen muchas pruebas, y las ms fciles son probablemente las que estn basadas en el

lgebra, usando las igualdades elementales presentadas en la seccin precedente, a saber

(a + b)2 = a

2 + 2ab + b

2

(recuerde que 2ab significa 2 veces a veces b). Por ejemplo

152 = (10 + 5)

2

= 102 + (2)(10)(5) + 5

2

= 100 + 100 + 25 = 225

7

y

(a - b) 2 = a

2 - 2ab + b

2

Por ejemplo:

52 = (10 - 5)

2

= 102 - (2)(10)(5) + 5

2

= 100 - 100 + 25 = 25

Tambin es necesario conocer

algunas reas simples: el rea de un

rectngulo es (longitud) por (altura),

de tal forma que el rea del

presentado arriba es ab. Una diagonal

lo divide en dos tringulos

rectngulos siendo los lados cortos a

y b, y el rea de ese tringulo es, por

consiguiente, (1/2) ab.

Vea el cuadrado de la izquierda construido por cuatro tringulos (a,b,c). la longitud de cada

lado es (a+b) y, por lo tanto, el cuadrado tiene un rea de (a+b)2.

No obstante, el cuadrado se puede a su vez dividir en cuatro tringulos (a,b,c) ms un

cuadrado de lado c en el centro (en rigor, tambin debemos de probar que es un cuadrado,

pero nos saltaremos esto). El rea de cada tringulo, como se mostr anteriormente, es

(1/2)ab, y el rea del cuadrado es c2. Como el cuadrado grande es igual a la suma de todas

sus partes

(a + b) 2 = (4)(1/2)(a)(b) + c

2

Usando la igualdad para (a + b)2 y multiplicando (4)(1/2) = 2

a2 + 2ab + b

2 = 2ab + c

2

Reste 2ab de ambos lados y obtendr

a2 + b

2 = c

2

Se puede mostrar el mismo resultado usando un cuadrado diferente, de rea c2. Como

muestra el dibujo de la derecha, esa rea puede dividirse en cuatro tringulos como los

anteriores, ms un pequeo cuadrado de lado (a-b).

Obtenemos

8

c2 = (4)(1/2)(a)(b) + (a-b)

2

= 2ab + (a2 - 2ab + b

2)

= a2 + b

2 Q.E.D.

Q.E.D. simboliza "quod erat demonstrandum," en latn "lo que queda demostrado," que en

los libros de geometra, tradicionalmente, marcaban el final de una demostracin. La

importancia del trabajo de Pitgoras y de los siguientes maestros de geometra griegos,

especialmente Euclides, no fue solo lo que probaron, sino el mtodo que desarrollaron:

comenzar desde algunas afirmaciones bsicas ("axiomas") y deducir mediante la lgica sus

consecuencias ms complicadas ("teoremas"). Los matemticos an siguen ese modelo.

Ejercicios del Teorema de Pitgoras

1. Calcular la altura de un tringulo equiltero de 6 m. de lado.

Sea el triangulo de la figura

De acuerdo al Teorema de Pitagoras:

2 2 2c a b

2 2 26 3h

2 2 26 3 36 9 27h

27 5.19h

2. Calcular la diagonal de un cuadrado de lado a.

De acuerdo al Teorema de Pitagoras:

2 2 2d a a

2 22d a

22 2d a a

h

6m 6m

3m

d

a

a

d

9

3. Una antena est sostenida verticalmente por un tirante que la sujeta del extremo

superior diagonalmente hasta el suelo. El tirante mide 25 m. y la distancia en el

suelo, de la antena al tirante, es de 7 m. Cunto mide la antena?

2 2 2t a b

2 2 2 2 225 7 625 49a t b

576a

24 ma

5.3 Sistema de medicin de ngulos.

Cuando se necesita medir ngulos, se dispone de tres sistemas o conjuntos de unidades

usuales:

Sistema sexagesimal.

Sistema circular o radial.

Sistema centesimal.

Sistema Sexagesimal

Este sistema tiene como unidad el GRADO SEXAGESIMAL, llamado simplemente

GRADO y simbolizado con "".

Definicin: Un GRADO (SEXAGESIMAL) (1), es la nonagsima parte del ngulo recto.

En smbolos: O

11

90

R : ngulo rectoR

Se definen dos submltiplos del grado:

Definicin: Un MINUTO (SEXAGESIMAL) (1'), es la sexagsima parte del grado

sexagesimal.

Es decir: 1 minuto = O1

60

Definicin: Un SEGUNDO (SEXAGESIMAL) (1) es la sexagsima parte del minuto

sexagesimal.

t=25m

a

b=7m

10

Es decir: 1 segundo = '1

60

Sistema Circular O Radial

El sistema circular o radial tiene por unidad el RADIAN.

Definicin: Un RADIAN es el ngulo central de una circunferencia que interseca un arco

de igual longitud que el radio de aqulla.

Consecuencia: la medida x de un ngulo central cualquiera de una circunferencia, en

radianes, est dada por la razn:

Esta frmula mide la cantidad de veces que el radio est contenido en la longitud del arco

abarcado por el ngulo (es decir que el radio es la unidad de medida).

Nota: advirtase que, por tratarse del cociente de dos longitudes, la medida de un ngulo

en radianes es adimensional, es decir, es un nmero real.

Adems, no es necesario que el ngulo a medir en radianes, sea central en una

circunferencia dada; basta con considerar idealmente una circunferencia cualquiera,

centrada en su vrtice.

Medida en radianes del ngulo de un giro

Si se tiene en una circunferencia un ngulo central de un giro, el arco por l intersecado es

igual a la circunferencia.

Por ello, y teniendo en cuenta que la longitud de sta est dada por

Long. circunf. = 2 r

siendo r el radio,

11

Equivalencia entre las medidas del ngulo de un giro en ambos sistemas

Es inmediato que O360 2 rad

Relacin entre las medidas de un ngulo cualquiera en ambos sistemas

Si es la medida en grados sexagesimales y x la medida en radianes del mismo ngulo,

vale la proporcin

O180

x

La frmula anterior permite que, si es conocido el valor , se pueda determinar x y

recprocamente.

Sistema Centesimal

El sistema Centesimal tiene por unidad el GRADO CENTESIMAL.

Definicin: Un GRADO CENTESIMAL es la centsima parte del ngulo recto.

(El sistema no ser tratado en este texto con ms detalles ya que por lo regular son los

anteriores los ms utilizados)