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CAPTULO 5
LA TRANSFORMACIN DE LAPLACE
1.1 INTRODUCCIN
El concepto de transformar una funcin puede emplearse desde el punto de vista de hacer un cambio de
variable para simplificar la solucin de un problema; esto es, si se tiene un problema en la variable x, se
sustituye x por alguna otra expresin en trminos de una nueva variable, por ejemplo, yx sen , anticipando
que el problema tendr una formulacin y una solucin ms sencillas en trminos de la nueva variable y;
luego de obtener la solucin en trminos de la nueva variable, se usa el procedimiento opuesto al cambio
previo y se obtiene entonces la solucin del problema original. El logaritmo es un ejemplo sencillo de una
transformacin a la que ya nos hemos enfrentado; su virtud es que transforma un producto en una suma, que
es una operacin ms sencilla. Efectuando la operacin inversa, el antilogaritmo, obtenemos el resultado del
producto.
Una transformacin que es de gran importancia en el clculo es la de integracin,
)()()(0
xFdttftfI
x
El resultado de esta operacin es una funcin F(x), la imagen de f( t) bajo la transformacin. Obsrvese que
la operacin inversa a la integracin es la derivacin; si se designa por D la operacin de derivar, d/dt,
entonces
)()( xfxFD
Con frecuencia es necesario una transformacin ms complicada. Si se tiene una funcin f(t) de la variable
t, se define una transformada integral de f(t) como
Transformada integral de b
a
dttsKtftfTtf ),()()()( (1.1)
La funcin K(s, t), la cual es una funcin de dos variables, se denomina el ncleo de la transformacin.
Obsrvese que la transformada integral ya no depende de t; es una funcin F(s) de la variable s, de la cual
depende el ncleo. El tipo de transformada que se obtiene y los tipos de problemas para los cuales es de
utilidad dependen de dos cosas: el ncleo y los lmites de integracin. Para ciertos ncleos K(s, t), la
transformacin (1.1) al aplicarse a formas lineales en f( t) dadas, cambia esas formas a expresiones
algebraicas en F(s) que involucran ciertos valores de frontera de la funcin f( t ). Como consecuencia,
ciertos tipos de problemas en ecuaciones diferenciales ordinarias se transforman en problemas algebraicos
cuya incgnita es la imagen F(s) de f ( t). Como ya se mencion, si se conoce una transformacin inversa,
entonces es posible determinar la solucin y(t) del problema original.
En general, una transformacin T{f(t)} es lineal si para todo par de funciones f1(t) y f2(t) y para todo par de
constantes c1 y c2 ella satisface la relacin
)()()()(22112211
tfTctfTctfctfcT (1.2)
Esto es, la transformada de una combinacin lineal de dos funciones es la combinacin lineal de las
transformadas de esas funciones.
2
Para la seleccin particular del ncleo stetsK ),( y los limites de integracin desde cero hasta infinito en
(1.1), la transformacin definida por (1.1) se denomina una transformacin de Laplace y la imagen
resultante una transformada de Laplace. La transformada de Laplace de f( t) es entonces una funcin de la
variable s y se denota por F(s) o L{f( t)}.
1.2 DEFINICIN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Dada una funcin f( t ) definida para todos los valores positivos de la variable t, se forma la integral
0
)(e)( sFdttf st (1.3)
la cual define una nueva funcin F(s) del parmetro s, para todo s para el cual converge la integral. La
funcin F(s) as formada se denomina la transformada de Laplace unilateral de f( t). Normalmente se
omitir el trmino unilateral y la transformada se denotar por F(s) o L{f( t)}. El lmite inferior de (1.3) se escogi como 0 en vez de 0 o 0+ para incluir casos donde la funcin f( t ) pueda tener una discontinuidad de salto en 0t . Esto no debe considerarse una restriccin, ya que en los estudios usuales de transitorios, el
origen del tiempo siempre puede tomarse en el instante t = 0 o en algn tiempo finito t > 0. La funcin en el
lado derecho de (1.3) no depende de t porque la integral tiene lmites fijos. Como veremos, la
transformacin de Laplace es una transformacin que reduce un sistema de ecuaciones integro-diferenciales
simultneas lineales a un sistema de ecuaciones algebraicas simultneas lineales. La transformada de
Laplace asocia una funcin en el dominio del tiempo con otra funcin, la cual se define el plano de frecuencia compleja.
Puesto que est definida como una integral, es fcil demostrar que la transformada de Laplace es una
transformacin lineal. Esto es, si f1 ( t) y f2 ( t ) poseen transformadas F1(s) y F2(s) y c1 y c2 son constantes,
L )()()()(22112211
sFcsFctfctfc (1.4)
La notacin
)( )( sFtf
significar que las funciones f( t) y F(t) forman un par de transformadas de Laplace, esto es, que F(s) es la
transformada de Laplace de f( t).
En general, la variable s es compleja pero, por los momentos, se tomar como real y ms adelante se
discutirn las limitaciones sobre el carcter de la funcin f ( t) y sobre el recorrido de la variable s.
Ahora se obtendrn las transformadas de algunas funciones elementales. La mayora de los ejemplos estn
basados en la integral
0 ,1
0
pp
dte pt (1.5)
cuya demostracin procede de la identidad
p
edte
pTT
pt
1
0
En efecto, si p > 0, entonces epT 0 conforme T y se obtiene (1.5).
3
Ejemplo 1
(a) Se determinar la transformada de Laplace de la funcin f(t) = 1, t > 0. Insertando esta funcin en la Ec. (1.3), se
obtiene
L s
dtedte stst1
)1(1
00
para s > 0. En la notacin indicada,
0 ,1
1 ss
(1.6)
(b) Considrese ahora la funcin f ( t ) = e c t , t > 0, donde c es una constante. En este caso,
L
00
dtedteee tcsstctct
La ltima integral es la misma que la de (1.5) con p = s c; por lo tanto, es igual a 1/(s c), con tal que
.0 cs Se concluye entonces que
cscs
ect
,1
(1.7)
Con la ayuda de mtodos elementales de integracin se pueden obtener las transformadas de otras
funciones. Por ejemplo
2222
3
2
2
cos ,1
sen
2 ,
1
as
sat
asat
st
st
para s > 0; ms adelante se darn procedimientos ms sencillos para obtener estas transformadas.
Ejemplo 2
Usando la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace se obtendr la transformada de la funcin
.senh)( attf
Usando la identidad
tata eeat 2
1
2
1senh
entonces
L }{senh ta = L asas
ee tata
1
2
11
2
1
2
1
2
1
cuando s > a y s > a; esto es,
a>s , senh22 as
aat
Como la ecuacin de definicin de la transformada de Laplace contiene una integral en la cual uno de sus
lmites es infinito, una de las primeras preguntas a responder se refiere a la existencia de la transformada.
4
Un ejemplo sencillo de una funcin que no tiene una transformada de Laplace es )].exp[exp(t Por ello, a
continuacin se darn algunos teoremas concernientes a la convergencia de la integral de Laplace.
1.3 CONDICIONES PARA LA EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
1.3.1 Funciones Seccionalmente Continuas
Se dice que una funcin f(t) es seccionalmente continua en un intervalo acotado a < t < b, si es continua
excepto en un nmero finito de puntos Nttt 21 de (a ,b) y si en cada punto de discontinuidad posee
lmites finitos conforme t tiende a cualquier extremo de los subintervalos desde el interior (si x1 = a, el
lmite por el lado derecho existe en t1, y si tN = b, el lmite por el lado izquierdo debe existir en tN). Se usan
los smbolos
)( ),( ii tftf
para denotar los lmites por el lado izquierdo y por el lado derecho, respectivamente, de f( t) en ti. La
funcin f(t) que se ilustra en la Fig. 1.1 es seccionalmente continua en (a, b). Tiene slo una discontinuidad
en t = t1 y
BtfAtf i )( ,)( 1
La funcin que se ilustra en la Fig. 1.2 no es seccionalmente continua. Posee slo una discontinuidad en t1,
pero el lmite por el lado derecho de g(t) no existe en t1.
Teorema 1. Sean las funciones f( t) y g ( t) seccionalmente continuas en todo intervalo de la forma [c,T],
donde c es fijo y T > c. Si |f ( t) | g(t) para t c y si la integral
c
dttg )(
converge, entonces la integral
c
dttf )(
tambin converge.
a t b t
B
A
i
Figura 1.1
a bt t1
Figura 1.2
)(tf)(tf
Ms adelante se usar el Teorema 1 para establecer un conjunto de condiciones de suficiencia para la
existencia de la transformada de Laplace de una funcin. Sin embargo, primero se introducir la notacin
5
)()( tgOtf
la cual debe leerse f( t) es del orden de g(t). Esta notacin significa que existen constantes M y N tales que
)()( tMgtf
cuando t N. En particular, si f ( t) = O |e t | para alguna constante , se dice que f( t) es de orden exponencial.
Teorema 2. Sea f( t ) una funcin seccionalmente continua en todo intervalo de la forma [0,T], donde T > 0
y sea f( t) = O[e t] para alguna constante . Entonces la transformada de Laplace L )()( sFtf existe, al menos para s > .
Demostracin. De acuerdo con las hiptesis del teorema, existen constantes M y t0 tales que tMetf )(
cuando t > t0. Entonces tsst Mtf ee)( cuando s t0. Puesto que la integral
0
e
t
ts dtM
converge cuando s > , la integral
0t
st dte
tambin converge (Teorema 1). Como
0 0
,)()()(
0
0
sdttfedttfedttfe
t
st
t
stst
la transformada de Laplace L{ f( t)} existe para s > .
Como una aplicacin importante del Teorema 2, se demostrar que si f(t)es de la forma
btetbtet tantan sen ,cos (1.9)
donde n es un entero no negativo, entonces L{ f( t )} existe para s > a. Primero obsrvese que
tn eOt para todo nmero positivo . Como 1seny 1cos btbt para todo t, tenemos que
taeOtf )( Por el teorema 1, L{ f( t )} existe para s > a+ para todo nmero positivo . Por consiguiente, L{ f( t)}
existe para s > a.
El resultado anterior es importante en el estudio de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes
constantes. Considere la ecuacin homognea
0)( xDP
donde D = d/dt y P(D) es un operador polinomial. Toda solucin de esta ecuacin es una combinacin lineal
de funciones de la forma (1.9). Cualquier derivada de una solucin es tambin una combinacin lineal de
6
funciones de este tipo. Por lo tanto, se puede decir que toda solucin de la ecuacin, y toda derivada de una
solucin, es de orden exponencial y posee una transformada de Laplace.
Teorema 3. Sea f(t) una funcin seccionalmente continua en todo intervalo de la forma [0, T] y sea
teOtf )( para alguna constante . Entonces la funcin h(t), donde
t
duufth
0
)()(
es de orden exponencial. Si > 0, h(t) = O[et] y si < 0, h(t) = O[1].
Demostracin. Existen constantes positivas t0 y M1 tales que |f ( t) | M1e t
para t t0. Tambin existe
una constante positiva M2 tal que |f( t ) | M 2 para 0 t t0. Puesto que
t
t
t
duufduufth
0
0
)()()(
0
para t > t0, se tiene que
t
t
t
duufMduMth
0
0
)()(1
0
2
o
0102
)(tt ee
MtMth
Si > 0, entonces
01
02 ,)( tte
MtMth t
y h(t) =O[et].
Ejemplo 3
La funcin escaln unitario
0
0
0 cuando 1
0 cuando 0)(
tt
ttttu
es un ejemplo de una funcin seccionalmente continua en el intervalo 0 < t < T para todo nmero positivo T (Fig. 1.3).
Observe la discontinuidad en t = t0:
1)(lm 0)(lm00
00
ttuttutttt
1
t
)( 0ttu
0t Figura 1.3
7
La transformada de Laplace de esta funcin es
0
0
1e)(
0
0t
st
t
stst es
dtedtttu
As que siempre que s > 0,
L s
ettu
st0
)(0
Aqu debemos sealar un punto importante. La transformada de Laplace est definida solamente entre 0
y +. La conducta de la funcin )(tf para t < 0 nunca entra en la integral y por lo tanto no tiene efecto
sobre su transformada. Por ejemplo, las funciones 1)( tf y u(t) ( 10t en el Ejemplo 3) tienen la misma
transformada 1/s.
Las condiciones mencionadas en los teoremas para la existencia de la transformada de una funcin son
adecuadas para la mayora de nuestras necesidades; pero ellas son condiciones suficientes y no necesarias.
Por ejemplo, la funcin f( t) puede tener una discontinuidad infinita en, por ejemplo, t = 0, esto es |f ( t) |
conforme t 0, provisto que existan nmeros positivos m, N y T, donde m < 1, tales que |f ( t) | < N/t m cuando 0 < t < T. Entonces, si en cualquier otra forma, f( t ) cumple con las condiciones mencionadas, su
transformada todava existe porque la integral
T
sT dttfe
0
)(
existe.
1.4 TEOREMAS DE LA DERIVADA Y DE LA INTEGRAL
Se desea expresar la transformada de Laplace
0
)(' dtetf st
de la derivada f '( t) de una funcin f ( t) en trminos de la transformada de Laplace F(s) de f( t). Integrando
por partes se obtiene
L
0
0
0
)()()(')(' dtetfsetfdtetftf ststst
Sea f( t) del orden de est conforme t tiende a infinito. Entonces, siempre que s > a, el primer trmino en el
lado derecho se convierte en f (0) y por tanto
L )0()()(' fssFtf (1.10)
As que la diferenciacin de la funcin objeto corresponde a la multiplicacin de la funcin resultado por su
variable s y la adicin de la constante f(0). La frmula (1.10) da entonces la propiedad operacional fundamental de la transformacin de Laplace; la propiedad que hace posible reemplazar la operacin de
diferenciacin por una simple operacin algebraica sobre la transformacin.
8
Ejemplo 4
Se desea resolver la ecuacin
0 ,0)(3)( ttyty (1.11)
con la condicin inicial y(0) = 2.
Multiplicando ambos lados de (1.11) por est
e integrando de cero a infinito, se obtiene
0
0)(3)( dtetyty st (1.12)
Del teorema de la derivada, Ec. (1.10), se obtiene que
2)()0()()(
0
ssYyssYdtety st
donde Y(s) = L{y(t)}. Sustituyendo en (1.11) da
0)(2)( sYssY (1.13)
As que la transformada de Laplace Y(s) de la funcin incgnita y(t) satisface la ecuacin (1.13). Resolvindola, se
obtiene
3
2)(
ssY (1.14)
Como se observa en (1.7), la fraccin anterior es la transformada de la funcin te 32 . Por lo tanto, la solucin de
(1.11) es
0 ,2)( 3 tety t
1.4.1 La Transformada de Laplace Bilateral
La transformada de Laplace F(s) de una funcin f( t), como se defini en (1.3), involucra los valores de la
funcin f( t ) para todo t en el intervalo (0, ). Esto es adecuado en la solucin de ecuaciones diferenciales
que son vlidas para t 0. En la teora de circuitos elctricos y otras aplicaciones, algunas veces es deseable considerar los valores de f( t) en todo el eje real y definir a F(s) en consecuencia. Esto conduce a la funcin
dtetfsF st)()( (1.15)
conocida como la transformada de Laplace bilateral de f( t). Si la funcin f ( t) es causal, esto es, si f( t ) = 0
para t < 0, entonces la integral en (1.15) es igual a la integral en (1.3). En este texto no se usar (1.15). La
notacin F(s) se reservar slo para las transformadas unilaterales.
1.4.2 La Funcin Impulso
Un concepto importante de la teora de sistemas lineales es el de la funcin impulso. Esta funcin, tambin
conocida como la funcin delta de Dirac, se denota por )(t y se representa grficamente mediante una
flecha vertical, como en la Fig. 1.4. En un sentido matemtico estricto, la funcin impulso es un concepto
bastante sofisticado. Sin embargo, para las aplicaciones de inters es suficiente comprender sus propiedades
formales y aplicarlas correctamente. En lo que sigue se presentarn estas propiedades, enfatizando no el
rigor sino la facilidad operacional.
9
(t)
0 t Figura 1.4
Propiedades de la Funcin Impulso:
1. La funcin impulso )(t es una seal de rea unitaria con valor cero en todas partes excepto en el
origen:
0 para 0)( ,1)(
ttdtt (1.16)
2. La funcin impulso )(t es la derivada de la funcin escaln:
td
tudt
)()( (1.17)
3. El rea del producto (t)(t) es igual a (0) para cualquier (t) continua en el origen:
)0()()( dttt (1.18)
Esta propiedad se conoce como la propiedad de seleccin de la funcin impulso unitario.
4. La funcin )(t puede escribirse como un lmite:
zt
0lim)( (1.19)
donde z es una familia de funciones de rea unitaria que se anula fuera del intervalo (0,):
0
y 0 para 0 ,1)( ttzdttz
(Fig. 1.5). Un caso especial es el pulso rectangular mostrado en la Fig. 1.5. De all se deduce que )(t
puede ser aproximada por el pulso p(t) si es lo suficientemente pequeo. Posteriormente se explicar el significado de esta aproximacin.
A continuacin se discuten algunas consecuencias de las propiedades anteriores. La funcin )(t es par:
)()( tt (1.20)
La funcin (tt0) es un impulso centrado en t0 y de rea unitaria. De la Ec. (1.20) se obtiene que
)()(00
tttt (1.21)
10
)(t
dt
tdut
)()(
)(tz
)(tZ
1
)(tp
)(tu
1
t t
t
t
t
t
1
0 0
0 0
0 0
)(tu
Figura 1.5
Introduciendo un desplazamiento en el origen del tiempo en (1.17), se concluye que (t t0) es la derivada de la funcin escaln desplazada u(t t0):
dt
ttdutt
)()( 0
0
(1.22)
Este resultado puede usarse para diferenciar funciones que son discontinuas. Por ejemplo, supngase que
f( t) es una funcin escalonada como la que se muestra en la Fig. 1.6. Esta funcin es una suma de tres
funciones en escaln:
)(6)(2)(4)( 321 ttuttuttutf
De sta y (1.22) se concluye que la derivada de f( t) es la suma de tres impulsos:
)(6)(2)(4)( 321 tttttttf
como se muestra en la Fig. 1.6. El rea de cada impulso es igual al salto en la discontinuidad de f( t). As,
por ejemplo, 4(t t1) es un impulso centrado en el primer punto de discontinuidad de f(t) y su rea es igual a 4.
11
4
6
0 t
t
f(t) f(t)4
2
-6
0
t1 t2 t3
t1 t 2 t 3
Figura 1.6
La integral del producto (t)(t) en un intervalo (a, b) es igual a si el intervalo contiene el origen; no est definida si a = 0 o b = 0, y es igual a cero para cualquier otro valor:
0 definida, no
0 ,0
0 ),0(
)()(
ab
ab
ab
dttt
b
a
(1.23)
Por ejemplo,
0sen)( ,1cos)(
a
a
a
a
dtttdttt
Aplicando (1.18) a la funcin (t) = y(t + t0) se obtiene
)()()(00
tydtttty
Ahora se introduce el cambio de variable t + t0 = . Puesto que dt = d y los lmites de integracin permanecen iguales, la representacin anterior cambia a
)()()( 00 tydty
Pero ( t0 ) = t0 ); por lo tanto,
)()(t)(00
tydy
(1.24)
Esta identidad es bsica. De hecho, como se demostrar posteriormente, se puede usar para definir a )(t .
Ambos lados de (1.24) son funciones de t0. Diferenciando con respecto a t0, se obtiene
)(')(')(0
tydy
(1.25)
y se observa que la derivada '( t) de (t) es una funcin tal que el rea del producto )(')(0
ty
considerado como una funcin de es igual a y'(t0). Con t0 = 0, la Ec. (1.25) da
)0(')(')( ydy (1.26)
12
Puesto que (t) es una funcin par, su derivada '(t) es impar:
)(')(' tt (1.27)
Insertando sta en (1.26) y cambiando la variable de integracin de a t, se obtiene
)0(')(')( ydttty
(1.28)
Las derivadas de (t) de orden mayor se pueden definir en una forma similar.
Antes de continuar se deben hacer algunas consideraciones sobre la funcin impulso:
Como lo muestran las propiedades mencionadas, la funcin impulso no puede verse como una funcin
ordinaria porque las funciones ordinarias no poseen esas propiedades.
Una funcin que se anula en todas partes excepto en un solo punto no puede tener un rea unitaria.
La Ec. (1.17) viola la nocin de que una funcin discontinua no es diferenciable.
La familia de pulsos p(t) no posee un lmite ordinario conforme
Por todo esto, la funcin impulso, algunas veces llamada funcin de singularidad o funcin generalizada, debe interpretarse como un concepto nuevo y a sus propiedades se les debe dar una interpretacin especial
basada en la razn para su introduccin. Esta razn es la simplificacin de los efectos de seales ordinarias
cuya duracin es pequea en algn sentido. El significado preciso de esta afirmacin se apreciar
posteriormente. Aqu slo se dar una explicacin breve, usando como ilustracin el significado de las Ecs.
(1.19) y (1.17). Supngase que (t) es una funcin continua y z(t) es una funcin de rea unitaria que se
anula fuera del intervalo (0, ), como en la Fig. 1.5. Si es lo suficientemente pequeo, entonces (t) es casi
constante en el intervalo (0, ). Por lo tanto,
)0()()0()(z)(
00
dttzdttt
De esta relacin se deduce que
)0()()()()(0
00
dttztdttzt
As, aunque z(t) no tiene un lmite ordinario, la integral del producto z(t)(t) tiene un lmite conforme 0 y el lmite es igual a (0). Sin embargo, su integral, u(t), tiende a la funcin escaln u(t). La afirmacin que
0 conforme )()( dt
duttp
significa entonces que la integral de p(t) tiende a u(t). La misma conclusin se mantiene si p(t) se
reemplaza por z(t) y u(t) por la integral Z(t) de z(t).
El Teorema de la Derivada
Al comienzo de esta seccin se demostr que si F(s) = L{f(t)}, entonces
L )0()()(' fssFtf (1.29)
Ahora se revisar el significado de f(0). Si f( t) es continua en el origen, entonces f( t) tiene un significado
claro: es el valor de f(t) para t = 0. Suponga, sin embargo, que f( t) es discontinua y que
13
0 ),(lim)0( ),(lim)0(00
ffff (1.30)
son sus valores en t = 0+ y t = 0, respectivamente (Fig. 1.7a). En este caso, el nmero f(0) en la Ec. (1.29)
depende de la interpretacin de f ' ( t). Si f '( t) incluye el impulso [f (0+) f(0)](t) debido a la discontinuidad de f ( t) en t = 0 (Fig. 1.7b), entonces f (0) = f (0). Si f '( t ) es la derivada de f( t) para 0t
solamente y sin el impulso en el origen (Fig. 1.7c), entonces f(0) = f(0+). La primera interpretacin
requiere aclarar el significado de la integral en (1.3) cuando f( t) contiene un impulso en el origen.
Como se sabe, la integral de (t) en el intervalo (0, ) no est definida porque (t) es un impulso en 0=t .
Para evitar esta dificultad, se interpretar a F(s) como un lmite de la integral f( t )e s t en el intervalo (,
):
0
0)()(lim)( dtetfdtetfsF stst (1.31)
donde > 0. Con esta interpretacin de F(s) se deduce que la transformada de (t) es igual 1:
)(tf
)0( f
)0( f
)(' tf 0t 0t
t0
)(' tf
t t0 0
)0()0( ff
(a) (b) (c)
Figura 1.7
(t) 1 (1.32)
porque
1)(
dtet st
Adems, el trmino f(0) en (1.29) es el lmite f(0) de f () conforme 0. Si F(s) se interpreta como un lmite en el intervalo ( ,) , entonces f(0) = f (0+). En resumen,
)0()()('
0
fssFdtetf st (1.33)
y
)0()()('
0
fssFdtetf st (1.34)
La diferencia f (0+) f(0) entre estas dos integrales es igual a la transformada de Laplace del impulso [f(0+) f(0)](t) en el origen y causada por la discontinuidad de f( t) en ese punto.
14
Si la funcin f( t ) es continua en el origen, entonces debe quedar claro que f(0) = f (0+) = f(0) y las
frmulas (1.29), (1.33) y (1.34) son equivalentes. Si f ( t) es continua para t 0 excepto por un salto finito en t0, es fcil demostrar que la frmula (1.29) debe reemplazarse por la frmula
L 0 )0()0()0()()('00
stetftffssFtf
donde la cantidad entre corchetes es la magnitud del salto en t0.
Derivadas de Orden Mayor. Sean f( t ) y f ' ( t) continuas para t 0 y de orden exponencial y tambin sea f '( t) seccionalmente continua en todo intervalo acotado. Entonces, como f"( t) es la derivada de f '(t), la
transformada de f '( t) menos el valor inicial f ' (0) de f '( t), esto es
)0(')0()(
)0(')0()(
)0()(')("
2 fsfsFs
ffssFs
ftfsLtfL
(1.35)
La aplicacin repetida del argumento anterior produce la relacin
L )0( )0(')0()()( )1(21)( nnnnn ffsfssFstf (1.36) donde se supone que f( t) y sus derivadas de orden hasta n 1 son continuas para t 0 y de orden exponencial.
Aplicando (1.36) al impulso (t), se obtiene
L nn st )()( porque la transformada de (t) es igual a 1 y los valores de sus derivadas en t = 0 son iguales a cero.
Ejemplo 5
Se desea obtener la transformada de f(t) = sen(at) a partir de la transformada de cos(at).
Si f(t) = cos(at), entonces f ( t) = asen(at) y aplicando (1.29), se obtiene
22
2
22
2
1s
=
1cossen
as
a
as
atsata
LL
y por lo tanto
L 22
senas
aat
Ejemplo 6
Determnese la transformada de f ( t ) = tu (t).
La funcin f(t) = t y f ' ( t) son continuas y f ( t ) es de O(et
) para cualquier positiva. Por lo tanto,
L )}({ tf sL 0 )0()( sftf
o
L{1} = sL{ t}
Como L{1} = 1/s, se tiene entonces que
L 0 12
ss
t
15
Ejemplo 7
Determnese la transformada de Laplace de f(t) = tn, donde n es cualquier entero positivo.
La funcin f ( t) = tn cumple con todas las condiciones del Teorema 2 para cualquier positiva. En este caso,
0)(
!)(
0)0( )0(')0(
1
1
tf
ntf
fff
n
n
n
Aplicando la frmula (1.36) se obtiene
L 11 0)( nn stf L !nt n y por tanto,
L 0 !1
ss
nt
n
n
1.4.4 El Teorema de la Integral
Usando el teorema de la derivada (1.29), se obtendr la transformada F(s) de la integral definida por
t
dytf
0
)()( (1.37)
de una funcin y(t) en trminos de la transformada Y(s) de y(t). Se supone que f( t) es seccionalmente
continua y de orden exponencial.
La funcin f( t) en (1.37) es continua y f(0) = 0. Tambin se tiene que y(t) = f '( t ). Por lo tanto, la
transformada Y(s) de y(t) es igual la transformada sY(s) f (0) y, puesto que f(0) = 0, se concluye que Y(s) = sF(s). Entonces,
)(sF L )(1
)(
0
sYs
dy
t
(1.38)
Ahora bien, la formulacin de las leyes de Kirchhoff para una red, con frecuencia incluye una integral con
lmites de a t. Estas integrales pueden dividirse en dos partes,
tt
dydttydy
0
0
)()()(
en donde el primer trmino de la derecha es una constante. Cuanto y(t) es una corriente, esta integral es el
valor inicial de la carga, )0( q , y cuando y(t) es un voltaje, la integral es el enlace de flujo
)0()0( iL , donde L es la inductancia. En cualquier caso, este trmino debe incluirse en la
formulacin de la ecuacin; la transformada de una constante )0( q es
L s
)0()0(
Y se puede escribir una ecuacin similar para ).0(
1.4.5 Traslacin Compleja
Ahora se expresar la transformada
16
00
0 )()( adtetfdtetfe taststa (1.39)
del producto eatf(s) en trminos de la transformada F(s) de f( t). La ltima integral en la ecuacin anterior es
la misma integral de la Ec. (1.3) provisto que s se reemplace por s a. Por lo tanto, es igual a F(s a) y se obtiene el par de transformadas
)( )( asFtfe at
Ejemplo 8
Ahora se usarn las Ecs. (1.38) y (1.39) para evaluar la integral
t
a detg
0
)(
Este es un caso especial de (1.38) con Y(t) = ea t
. Usando (1.39) con f (s) = 1, se tiene que F(s) = 1 / s y entonces
as
e ta
11L
Usando (1.38) con Y(s) = 1 / (s+a) , se obtiene
as
a
s
a
asssG
11
)(
1)(
y por tanto,
0 11
11)(
tea
eaa
tg
ta
ta
Aplicando (1.39) a las transformadas de sen(bt) y cos(bt) se demuestra fcilmente que
22
22
sen
cos
bas
bbte
bas
asbte
ta
ta
1.5 EL PROBLEMA DE INVERSIN
Si F(s) es la transformada de Laplace de una funcin f( t), entonces f( t) se denomina la transformada de
Laplace inversa de F(s). El problema de inversin es la determinacin de la transformada inversa f( t) de
una funcin F(s) dada. Este problema es bsico en las aplicaciones de la transformada de Laplace.
Considere, por ejemplo, la ecuacin diferencial
0)0( ,6)(3)(' ytyty (1.40)
Transformando esta ecuacin, se obtiene
ssYssY
6)(3)(
17
porque y(0) = 0 y la transformada de f( t) = 6 es igual a 6/s. Por lo tanto,
)3(
6)(
sssY (1.41)
As que para determinar y(t) se debe hallar la transformada inversa de esta fraccin.
En general, hay dos mtodos de inversin fundamentales diferentes:
1. El Mtodo de la Frmula de Inversin. En este mtodo, la funcin f ( t) se expresa directamente como una integral que involucra la funcin F(s). Este resultado importante, conocido como el de la frmula de
inversin, se discute usualmente en el contexto de lo que se conoce como transformadas de Fourier
(tpico fuera del alcance de este texto).
2. Tablas. En este mtodo se intenta expresar la funcin F(s) como una suma de transformadas
)( )()()( 21 sFsFsFsF n (1.42)
donde )(, ),(1 sFsF n son funciones con transformadas inversas )( , ),(1 tftf n conocidas y
tabuladas. De la propiedad de linealidad de la transformada se determina que si F(s) puede ser
expandida como en (1.42), entonces su transformada inversa f( t) est dada por
)( )()()( 21 tftftftf n (1.43)
Como una ilustracin se expande la fraccin (1.41) como una suma de dos fracciones con transformadas
conocidas:
3
22
)3(
6)(
sssssY (1.44)
sta muestra que la transformada inversa y(t) de Y(s) es la suma
0 ,2)( 3 tety t
(Esta tcnica tambin se us en el Ejemplo 8).
La identidad en (1.44) proviene de la conocida tcnica de expansin de funciones racionales en fracciones
parciales, la cual se discutir ms adelante.
En el problema de inversin se deben considerar las siguientes preguntas:
1. Existencia. Posee toda funcin F(s) una transformada inversa? Hay funciones que no poseen transformadas inversas. Sin embargo, esas funciones tienen un inters principalmente matemtico.
Todas las funciones consideradas en este texto poseen transformadas inversas.
2. Unicidad. Pueden dos funciones f1(t) y f2(t) tener la misma transformada F(s)? Si dos funciones tienen la misma transformada, entonces ellas deben ser iguales para esencialmente todos los valores de t. Sin
embargo, pueden diferir en un conjunto discreto de puntos. Si las funciones son continuas, entonces
ellas deben ser idnticas.
1.5.1 Inversin de Transformadas Racionales (Fracciones Parciales)
Ahora se determinar la transformada inversa f( t) de la clase de funciones racionales, esto es, de funciones
de la forma
)(
)()(
sD
sNsF (1.45)
donde N(s) y D(s) son polinomios en s y no poseen factores comunes. Aqu se supone que F(s) es una
fraccin propia, esto es, que el grado de N(s) es menor que el de D(s). Las fracciones impropias involucran
funciones de singularidad y se considerarn posteriormente.
18
Primero, supngase que todas las races si, i = 1, 2, , n, del denominador D(s) son distintas. De acuerdo con la teora de fracciones parciales, F(s) puede entonces expandirse como una suma, esto es,
n
n
ss
c
ss
c
ss
csF
)(
2
2
1
1 (1.46)
Para determinar el valor de ci, se multiplican ambos miembros de la Ec. (1.46) por ssi para obtener la ecuacin
n
ini
ii
ss
sscc
ss
sscsFss
)(
1
1
esto es, se remueve del denominador el factor s si; evaluando ahora el resultado en s = si, se obtiene
iss
ii sFssc )( (1.47)
Puesto que la transformada inversa de la fraccin 1/(ss i) es igual a es ti , de (1.46) se concluye que la
transformada inversa f(t) de la funcin racional F(s) es una suma de exponenciales:
ts
ntsts nececectf )( 21 21 (1.48)
Ejemplo 9
Determine la transformada inversa de la funcin
s10s7
30s29)(
23
2
s
ssF
El denominador de F(s) es de mayor grado que el numerador y posee factores reales y distintos; stos son:
.5y 2 ,0 321 sss Por lo tanto, se pueden determinar factores c1, c2, y c3 tales que
52323029
107
3029 3212
23
2
s
c
s
c
s
c
sss
ss
sss
ss
y usando (1.47) se obtiene
6)(5 ,4)(2 ,3)(532201
sss
sFscsFscssFc
Por lo tanto,
0 ,643)( 52 teetf tt
Ahora se considerarn fracciones parciales para el caso en el cual el polinomio D(s) contiene factores
lineales repetidos de la forma (ss i)m. En este caso, la expansin de F(s) en fracciones parciales consiste de
trminos de la forma
mi
im
i
i
i
i
ss
c
ss
c
ss
c
2
21 (1.49)
donde los nmeros c i j , j = 1, 2, , m, son independientes de s y vienen dados por
1 , 1, ,0 ,)(!
1, mrsFss
ds
d
rc
issm
ir
r
rmi (1.50)
As que para evaluar el coeficiente ci,mr se remueve el factor (ss i)m del denominador de F(s) y se evala la
derivada r-sima del resultado en s = si. La componente de f ( t) debida a la raz mltiple si es la
transformada inversa de la suma en (1.49) y viene dada por
19
tsmimtsi
tsi
iii etm
cetcec 121
!1
(1.51)
De lo anterior se concluye que la transformada inversa de una funcin racional F(s) es una suma de
exponenciales cuyos coeficientes son polinomios en t. Los exponentes si se denominan los polos de F(s),
esto es, los polos son las races del denominador D(s).
Ejemplo 10
La funcin
2
22211
2
2
55353
52)(
s
c
s
c
s
c
ss
sssF (1.52)
tiene un polo sencillo en s1 = 3 y un polo mltiple en s2 = 5 con multiplicidad m = 2. En este caso,
1
3
16
3
52
103
52 ,2
5
52
5
2
2
5
2
21
5
2
22
3
2
2
1
ss
ss
s
ss
s
ss
ds
dc
s
ssc
s
ssc
Por lo tanto,
0 ,1012)( 53 tetetf tt
Observe que el coeficiente c21 puede determinarse sin diferenciacin. Puesto que (1.52) es vlida para toda s, tambin
es vlida para s = 0 (o cualquier otro nmero). Haciendo s = 0, se obtiene
255315
1 22211 ccc
Puesto que c1 = 2 y c22 = 10, la igualdad anterior produce c21 = 1.
Races Complejas. En los ejemplos anteriores, las races del denominador de la funcin F(s) eran reales. Se
pueden obtener resultados similares si D(s) tiene races complejas. Sin embargo, en este caso los
coeficientes correspondientes son complejos y f( t) contiene trminos exponenciales complejos. En el
anlisis de sistemas fsicos, la funcin F(s) tiene coeficientes reales. Por ello, las races complejas siempre
ocurren en pares conjugados y, como se demuestra a continuacin, las componentes correspondientes de
f( t) son ondas sinusoidales amortiguadas con coeficientes reales. Se comenzar con un ejemplo:
134135
)(2
sss
ssF
En este caso, D(s) tiene dos polos complejos, s1 = 2 + j3, s2 = 2 j3, y un polo real, s3 = 0. La expansin directa de (1.46) da
sc
js
c
js
c
sss
s 3212 3232134
135
donde c1 = (1+j)/2, c2 = (1j)/2 y c3 = 1 (determinados en la forma ya explicada). Por consiguiente,
0 ,1
2
1
2
1)( 3232
te
je
jtf tjtj (1.53)
20
Esta expresin incluye cantidades complejas. Sin embargo, es una funcin real. Efectivamente, insertando la
identidad tjtee ttj 3sen3cos232 en (1.53), se obtiene
0 ,3sen3cos1)( 2 tttetf t (1.54)
la cual es una expresin real.
Ahora se demostrar que la Ec. (1.54) puede determinarse directamente. El resultado est en el hecho de
que si F(s) es una funcin real con coeficientes reales y s1 y s2 son dos nmeros complejos conjugados,
entonces F(s2) = )(*)( 1*1 sFsF (donde el asterisco indica el conjugado complejo).
Considere una funcin racional F(s) con coeficientes reales. Como se sabe, si s1 = + j es un polo
complejo de F(s), entonces su conjugado, js*1
, tambin es un polo. Por lo tanto, la expansin (1.46)
de F(s) contiene trminos
jsjsss
c
ss
c21
2
2
1
1 , , (1.55)
Los coeficientes c1 y c2 se expresarn en trminos de la funcin
21
)()( ssss
j
sFsG
(1.56)
De la Ec. (1.47) se obtiene que
)(2
1)()(
12
111
1
sGss
sGjsssFc
ss
puesto que s1 s2 = j2. En forma similar,
)(2
122 sGc
La funcin G(s1) es, en general, compleja con parte real Gr y parte imaginaria Gi, esto es,
ir
jGGsG )(1
(1.57)
Como F(s2) = F*(s1), de (1.56) se obtiene que G(s2) = G*(s1) = Gr jGi, y por lo tanto,
irir jGGcjGGc 2
1 ,
2
121
La transformada inversa de la suma en la Ec. (1.55) es entonces igual a
tjir
tjir
tstsejGGejGGecec
2
1
2
121
21 (1.58)
Insertando la identidad tjtee ttj sencos en (1.58), se obtiene finalmente la transformada
inversa f( t ) de F(s) debida a los polos complejos conjugados s1 y s2, la cual es igual a
tGtGeir
t sencos (1.59)
En resumen: Para hallar el trmino en f ( t) resultante de los polos complejos de F(s), se forma la funcin
G(s), como en (1.56), y se calcula su valor G(s1) para s = s1. El trmino correspondiente de f( t) lo da (1.59),
donde Gr y Gi son las partes real e imaginaria de G(s).
El resultado anterior se aplicar a la funcin
21
134135
)(2
sss
ssF
ya considerada. En este caso,
3 ,2 ,32 ,1341
2
21 jsssssss
323
13325)( ,
3
135134
)()(
12
jj
jsG
sj
sss
j
sFsG
Por lo tanto, Gr = 1, Gi = 1 y (1.59) da
tte t 3sen3cos2
Este es el trmino de f( t) proveniente de los polos complejos de F(s) y concuerda con el resultado (1.54).
Ejemplo 11
Obtener la transformada inversa de la funcin
23329)( 321
2
s
c
js
c
js
c
ss
ssF
El coeficiente c3 correspondiente al polo real s3 = 2 se determina directamente a partir de (1.47):
13
2)(2
23
ssFsc
Los otros dos polos s1 = j3 y s2 = j3 de F(s) son imaginarios puros con = 0 y Puesto que
9221 sssss
la funcin G(s) correspondiente en (1.56) est dada por
23
93
)()( 2
sj
ss
j
sFsG
Por lo tanto,
13
3
13
2
233
31 j
jj
jsG
Agregando el trmino c3e2t
debido al polo real s3 = 2, se obtiene
tetttf 2
13
23sen
13
33cos
13
2)(
1.5.2. Inversin de Funciones Impropias
En la Seccin 1.5.1 se determin la transformada inversa de funciones racionales propias. Ahora se
considerarn funciones impropias, limitando la discusin a dos casos especiales.
Se comenzar con un ejemplo. Suponga que
23
141532
2
ss
sssF
Dividiendo se obtiene
2
4
1
23
23
863
23
1415322
2
ssss
s
ss
ss
22
y por tanto,
tt eettf 242)(3)(
Considere otro ejemplo. Sea la funcin
ss
ssssF
4
83)(
2
23
Entonces, procediendo en la misma forma que en el ejemplo previo, se obtiene
4
321
4
832
23
sss
ss
sss
y por lo tanto
tetttf 432)()(')(
En general, para una funcin racional
)(
)()(
sD
sNsF
donde el grado de N(s) es mayor o igual que el de D(s), se procede a la divisin para obtener
)(
)()(
)(
)()(
01 sD
sQsP
sD
sQcscscsF nm
nm
donde P(s)es es el cociente y Q(s) es el residuo; m es el grado del numerador y n el del denominador (m >
n). Ahora el grado de Q(s) es menor que el de D(s). La nueva funcin racional )()( sDsQ es propia y est
preparada para su expansin. Se contina entonces con la expansin en fracciones parciales de Q(s)/D(s) y
luego se obtiene la transformada inversa de F(s). Obsrvese que el polinomio P(s) producir funciones
singulares. stas no aparecen con frecuencia, pero son de mucha utilidad en la solucin de algunos
problemas prcticos que estn fuera del alcance de este texto.
1.6 LOS VALORES INICIAL Y FINAL DE f(t) A PARTIR DE F(s)
A continuacin se demuestra que los valores de una funcin f ( t) y sus derivadas en t = 0 pueden expresarse
en trminos de los valores de su transformada para valores grandes de s. Este resultado permite determinar
en una forma sencilla la conducta de f( t) cerca del origen. Tambin se determinar el comportamiento de
f( t) conforme t tiende a infinito usando su transformada y bajo ciertas condiciones.
1.6.1. El Teorema del Valor Inicial
La funcin est tiende a cero conforme s tiende a infinito para t > 0 (la parte real de s mayor que cero). A
partir de esto se deduce que bajo ciertas condiciones generales
0)(lms
dtetf ts (1.60)
para todo > 0. Si f( t) es continua para t 0 excepto posiblemente por un nmero finito de discontinuidades finitas, y tambin de orden exponencial, entonces la integral en (1.60) tiende a F(s) cuando
0 . Esto da como resultado que
0)(lm
sFs
(1.61)
23
Lo anterior podra no ser cierto si f ( t) contiene impulsos u otras singularidades en el origen. Por ejemplo, si
f( t) = e a t , entonces F(s) = 1/(s a) tiende a cero cuando s . Sin embargo, si )()( ttf , entonces su
transformada F(s) = 1 no tiende a cero.
Aplicando (1.61) a la funcin f ' ( t) y usando (1.29), se obtiene
0)0()()(lm
0
s
fssFdtetf st
Aqu se toma a f '( t) como seccionalmente continua y de orden exponencial.
Entonces se obtiene que
)(lim)0( ssFfs
(1.62)
este resultado se conoce como el teorema del valor inicial. Se verificar con una ilustracin sencilla. Si f(t)
= 3e2t, entonces
32
3lm)(lm ,
2
3)(
s
sssF
ssF
ss
lo cual concuerda con la Ec. (1.62) porque, en este caso, f(0+) = f(0) = 3.
Ejemplo 12
Si
107
32)(
2
ss
ssF
entonces,
2107
32lm)(lm
2
2
ss
ssssF
ss
Por lo tanto, f(0) = 2.
El teorema del valor inicial tambin puede usarse para determinar los valores iniciales de las derivadas de
f( t). En efecto, como se obtiene de (1.36), la funcin )0(')0()(2 fsfsFs es la transformada de Laplace
de f"( t). Por lo tanto [ver (1.60)], debe tender a cero cuando [f" ( t) debe cumplir con las condiciones necesarias]. Esto conduce a la conclusin que
)0()(lm)0(" 2 sfsFsfs
(1.63)
En una forma similar se pueden determinar los valores iniciales de derivadas de orden superior. En todos
estos casos hemos supuesto que f( t) es continua en el origen.
Ejemplo 13
Si
107
32)(
2
ss
ssF
entonces . cuando 1)(y 0)( ,0)(32 ssFssFsssF Por lo tanto,
1)0(" ,0)0(' ,0)0( fff
24
1.6.2. El Teorema del Valor Final
Ahora se demostrar que si f( t ) y su primera derivada son transformables en el sentido de Laplace, entonces
)(lm)(lm0
ssFtfst
(1.66)
Ya se ha demostrado que
)0()()('
0
fssFdtetf st (1.67)
Cuando s tiende a cero, se obtiene
)0()(lim
)('lim)('
00
ftf
dttfdttf
t
t
t
Igualando este resultado con el de la Ec. (1.67), escrita para el lmite s 0, se llega a la conclusin que
)(lm)(lm0
ssFtfst
(1.68)
como se requera. La aplicacin de este resultado requiere que todas las races del denominador de F(s)
tengan partes reales negativas, ya que de otra manera no existe el lmite de f( t) cuando t tiende a infinito.
Ejemplo 14
Para la funcin
tetf 235)(
es evidente que su valor final es 5. La transformada de f(t) es
2102
2
35)(
ss
s
sssF
y, de acuerdo con la Ec. (1.68), el valor final de f ( t) es
52
102lm)(lm)(lm
00
s
sssFtf
sst
1.7. TEOREMAS ADICIONALES
1.7.1. El Teorema de Traslacin Real o de Desplazamiento
Una funcin f ( t) trasladada en el tiempo se representa como f( t t0)u ( t t0), donde
0
00
00 ,0
),()()(
tt
ttttfttuttf (1.69)
(Fig. 1.8). Observe que la funcin f( t t0 )u ( t t0 ) es idntica a f(t)u (t) excepto que est retardada o trasladada en t0 seg. Para encontrar la transformada de esta funcin se aplica (1.3) a (1.69):
25
0
0
0
000
0
)()()()( dtetfdtettfdtettuttftts
t
stst
de donde se concluye que
)()()( 000
tfettuttfst LL (1.70)
Aplicando (1.70) al par (t) 1, se obtiene
0 )(0
stett
)(tf )()( tutf )()( 00 ttuttf
0 t t t0t0 0
Figura 1.8
Ejemplo 15
De los pares 1 1/s y t 1/s2, se obtienen los pares
00
2000
1 )()( ,
1 )(
stste
sttutte
sttu
Aplicando lo anterior al pulso pT = u(t) u(t T). Se obtiene
sTT eTtutup 1s
1 )()( (1.71)
Este ltimo resultado puede verificarse aplicando la definicin (1.3) de la transformada. Puesto que 1)( tpT para
Tt
26
Supngase que F1(s), F2(s), , Fm(s) son funciones con transformadas inversas conocidas
)(, ),( ),( 21 tftftf m . De la Ec. (1.70) y la propiedad de linealidad de la transformada se obtiene que la
transformada inversa de la suma
mst
mstst
esFesFesFsF )( )()()( 21 21 (1.72)
es la suma
)()( )()()()()(222111 mmm
ttuttfttuttfttuttftf (1.73)
Esto se ilustrar mediante un ejemplo.
Ejemplo 17
Se desea determinar la transformada inversa de la funcin
107
633)(
2
2
ss
esesF
sTsT
Esta funcin es una suma igual que en (1.72), donde
107
6)( ,
103
3)( ,
107
3)(
232221
sssF
ss
ssF
sssF
y t1 = 0, t2 = T y t3 = 2T. Usando expansin en fracciones parciales, se obtiene
tttttt eetfeetfeetf 52325
252
1 22)( ,25)( ,)(
y aplicando (1.73), se obtiene
)2()2()()()()()( 321 TtuTtfTtuTtftutftf
1.7.2. El Teorema de Escala
Este teorema relaciona los cambios de escala en el dominio de s con los cambios correspondientes en el
dominio de t. El trmino cambio de escala significa que s o t se multiplican por una constante positiva. Dada
una funcin f( t), se cambia de escala al formar una nueva funcin f ( t / t0 ). Su transformada se encuentra
como sigue: a partir de la ecuacin de definicin se tiene que
0
000
0
00
00= ttdettft
dtettfttf
ttst
stL
si ahora se hace t / t0 = x , entonces la ltima ecuacin se convierte en
0
000 dxexftttfsxtL
Obsrvese que la integral define a F( t0s), de tal modo que se puede escribir
stFtttf000
L (1.74)
La transformada inversa correspondiente es
stFtttf0
1
00
L (1.75)
27
Ejemplo 18
Para la transformada
)1(
1
sssF
el valor correspondiente de f ( t) es
tetf 1)( (1.76)
El teorema de escala indica que la nueva funcin
211 122tesFtf L (1.77)
est relacionada con f ( t ) en la Ec. (1.76) por un simple cambio en la escala del tiempo.
1.7.3 Derivadas de Transformadas
Cuando la integral de Laplace
0
)( dtetfsF st (1.78)
es diferenciada formalmente con respecto al parmetro s, se obtiene la frmula
0
)( dtetftdt
sdF st
lo que implica que
ds
sdFttf (1.79)
esto es, la multiplicacin de una funcin f( t) por t en el dominio del tiempo equivale a diferenciar la
transformada F(s) de f ( t) con respecto a s y luego cambiar de signo en el dominio de la frecuencia
compleja..
Se debe sealar que f(t)e-st y su derivada parcial de cada orden con respecto a s cumplen con las
condiciones necesarias para que la diferenciacin con respecto a s se pueda ejecutar dentro del signo de
integracin; se obtiene as el siguiente teorema:
Teorema 4. La diferenciacin de la transformada de una funcin corresponde a la multiplicacin por :t
2, ,1 ,)( ntftLsF nn (1.80)
Adicionalmente F(n)(s) 0 conforme s . Estas propiedades se cumplen siempre que f( t) sea
seccionalmente continua y del orden de et, si s > en la frmula (1.80).
Ejemplo 19
Ya se sabe que
0 sen22
sas
aatL
y, por (1.80),
28
22222
2sen
as
as
as
a
ds
dattL
de donde se obtiene la frmula
222
2sen
as
satatL
(1.81)
Ejemplo 20
Determinar la transformada de Laplace de .5cose)( tttf ta
Si se hace ttf 5cos1 y ,5cos2 tttf se obtiene
25)(
21
s
ssF
Usando el teorema de la multiplicacin por t, se obtiene
22
2
22 )25(
25
25
s
s
s
s
ds
dsF
y finalmente, usando la propiedad de la traslacin compleja,
222
22
2
294
214
252
252
ss
ss
s
ssF
1.7.4. La Transformada de una Funcin Peridica
Considere la funcin peridica f( t ) con un perodo T que satisface f ( t + nT) = f( t), donde n es un entero
positivo o negativo. La transformada de esta funcin es
+ )()(
)(
2
0
0
T
T
st
T
st
st
dtetfdtetf
dtetfsF
(1.82)
Trasladando sucesivamente cada trmino de la transformada por e-sT, en donde n es el nmero de traslados
necesarios para hacer que los lmites de las expresiones integrales sean todos de 0 a T, se tiene que
T
stsTsT dtetfeesF
0
2 )( 1
y utilizando el teorema del binomio para la identificacin de la serie, se obtiene
T
ts
Tsdtetf
esF
0
)(1
1 (1.83)
La integral en esta ecuacin representa la transformada de la funcin f( t) como si ella estuviese definida
slo de 0 a T. Denotando esta transformada por F1(s), se obtiene
29
sFe
sFTs 11
1
(1.84)
Esta ecuacin relaciona la transformada de una funcin peridica con la transformada de esa funcin sobre
el primer ciclo (o cualquier otro ciclo).
Ejemplo 21
Se desea determinar la transformada de un tren de pulsos con un perodo T, donde cada pulso tiene una amplitud
unitaria y una duracin a < T.
Aplicando la Ec. (1.84), se tiene
saa
ts
T
st
es
dte
dtetfsF
11
=
)(
0
0
1
y por tanto,
sT
sa
e
e
ssF
1
11
1.8. APLICACIN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A ECUACIONES DIFERENCIALES
En esta seccin se usan transformadas de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales lineales con
coeficientes constantes. Se supone siempre que todas las ecuaciones son vlidas para t 0 y las soluciones se determinan para diferentes formas de excitacin.
Una ecuacin diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes es una ecuacin de la forma
)()()('+ )()( 011
1 txtyatyatyatyan
nn
n
(1.85)
donde x(t), la excitacin, es una funcin conocida y a0, a1, , an son constantes dadas.
Una solucin de (1.85) es cualquier funcin y(t) que satisfaga la ecuacin. Como se ver, la Ec. (1.85)
tiene muchas soluciones. Sin embargo, su solucin es nica si se especifican los valores iniciales de y(t) y
sus primeras n 1 derivadas:
1
110
)0( , ,)0(' ,)0(
n
n yyyyyy (1.86)
Estos valores se denominan condiciones iniciales.
Una solucin particular es una solucin y(t) que satisface unas condiciones iniciales especficas. Si no se
especifican los valores iniciales, entonces y(t) es una solucin general. As que una solucin general es una
familia de soluciones que depende de los n parmetros y0, y1, , yn1.
A una ecuacin diferencial se le puede dar una interpretacin de sistema. En esta interpretacin, la Ec.
(1.85) especifica un sistema con entrada (excitacin) x(t) y salida (respuesta) y(t). La salida as especificada,
y(t), es la solucin nica de la Ec. (1.85) bajo las condiciones iniciales especificadas.
El estado inicial del sistema es el conjunto (1.86) de condiciones iniciales. La respuesta de estado cero del
sistema es la solucin, y(t) = y(t), de (1.85) con cero condiciones iniciales:
00 001'
n
yyy (1.87)
30
La respuesta de entrada cero, y(t) = y(t). Es la solucin de (1.85) cuando x(t) = 0. Esto es, la respuesta de
entrada cero y(t) es la solucin de la ecuacin homognea
0)(' )()( 01)1(
1
tyatyatyatyan
nn
n (1.88)
La aplicacin de la transformada de Laplace para resolver la Ec. (1.85) comprende los siguientes pasos:
1. Se multiplican ambos lados de la ecuacin por est y se integra de cero a infinito. Puesto que la ecuacin es vlida para t 0, resulta la ecuacin
00
0)()(a+ )( dtetxdtetytya ststn
n (1.89)
Se supone que todas las funciones son transformables en el sentido de Laplace. Ello implica que el lado
derecho es igual a la transformada X(s) de la funcin conocida x(t), y el lado izquierdo puede expresarse
en trminos de la transformada Y(s) de y(t) y de las condiciones iniciales (1.86).
2. Se resuelve la ecuacin en Y(s) resultante.
3. Se determina la transformada inversa y(t) de Y(s) usando fracciones parciales u otros mtodos de inversin.
A continuacin se ilustra el mtodo con varios ejemplos.
Ejemplo 21
Resolver la ecuacin diferencial
)()()(' 01 txtyatya
sujeta a la condicin inicial y(0) = y0.
Tomando transformadas en ambos lados se obtiene
)()()( 001 sXsYayssYa
Por lo tanto,
01
01
01
)()(
asa
ya
asa
sXsY
As que Y(s) = Y+Y, donde
)(1
)(01
sXasa
sY
es la respuesta de estado cero y
010
1y
aasY
es la respuesta de entrada cero. Su inversa es la exponencial
tseyy 10
donde s1 = a0 /a1 .
Si, por ejemplo, a0 = 1, a1 = 2, x(t) =8t y y(0) = 5, entonces la ecuacin es
,5)0( ,8)(2)(' yttyty
y su ecuacin transformada es
31
2
724
2
5
2
8)(
2
2
sssss
ssY
La solucin es
0 ,724 2 tetty t
Ejemplo 23
Resolver la ecuacin diferencial
)(5542
2
tuydt
dy
dt
yd
sujeta a las condiciones
2 ,100
tdt
dyy
La transformacin de Laplace de esta ecuacin diferencial produce
s
sYyssYyyssYs5
)(5)0()(4)0(')0()(2
y al incluir las condiciones iniciales se obtiene
6554)( 2 ss
sssY
o
54
562
2
sss
sssY
Desarrollando ahora en fracciones parciales,
1212
1)(
js
j
js
j
ssY
y tomando la transformada inversa da la solucin
0 t,sen21)( 2 tety t
Ejemplo 24
Determine la solucin de la ecuacin diferencial
2)(6)()(" tytyty
sujeta a las condiciones
00' ,10 yy
Aplicando la transformacin a ambos lados de la ecuacin diferencial, se obtiene la ecuacin algebraica
ssYssYsssY
2)(61)()(
Por lo tanto,
s
sssYss
2)(6
22
32
o
23)2)(3(
2)(
2
s
C
s
B
s
A
sss
sssY
Evaluando los coeficientes, se encuentra que
2
1
5
4
3
1
15
81
3
1)(
ssssY
y la solucin y(t) es
0 ,5
4
15
8
3
1)( 23 teety tt
Ejemplo 25
Determine la solucin del sistema de ecuaciones diferenciales
01020
)(1001020
122
211
yydt
dy
tuyydt
dy
sujeto a las condiciones iniciales y1(0) = 0 y y2(0) = 0.
Las ecuaciones transformadas son
0)()20()(100
100)(10)()20(
21
21
sYssY
ssYsYs
Resolviendo este sistema, se obtiene
301
3
5
10
51
3
10
30040
1000)(
30
1
3
5
10
51
3
20
30040
20100)(
22
21
sssssssY
ssssss
ssY
y la solucin es
0 ,3
55
3
10)(
0 ,3
55
3
20)(
30102
30101
teety
teety
tt
tt
1.9. LA CONVOLUCIN
La operacin de convolucin encuentra aplicaciones en muchos campos, incluyendo la teora de redes
elctricas y controles automticos. Una aplicacin sobresaliente es la que permite evaluar la respuesta de un
sistema lineal a una excitacin arbitraria cuando se conoce la respuesta al impulso [respuesta cuando la
excitacin es un impulso unitario ( t ) ].
Sean las dos funciones f1(t) y f2(t) transformables en el sentido de Laplace y sean F1(s) y F2(s) sus
transformadas respectivas. El producto de F1(s) y F2(s) es la transformada de Laplace de la convolucin de
f1(t) y f2(t); esto es
)()()()( 21 sFsFsFtf L (1.90)
33
donde
tt
dftfdtfftftftf
0
21
0
2121)()()()()()()( (1.91)
Las integrales en las Ecs. (1.91) se conocen como integrales de convolucin y el asterisco (*) indica la
operacin de convolucin. De acuerdo con la relacin ,21 tftftf se observa que
)()(
)()()()()(
21
1221
sFsF
tftftftfsF
LL (1.93)
As que la transformada inversa del producto de las transformadas F1(s) y F2(s) se determina mediante la
convolucin de las funciones f1(t) y f2(t) usando cualquiera de las frmulas en la Ec. (1.91) (obsrvese que la
convolucin es conmutativa).
Para deducir estas ecuaciones, observe que F(s) = F1(s)F2(s) se puede expresar como un producto de las
integrales que definen sus transformadas de Laplace en la forma
0 0 0
21)()()( dtedftfdtetfsF st
t
st
la cual puede ser expresada como
0 0
21)()()()( dtedftutfsF st
puesto que u(t ) = 0 para > t. Intercambiando el orden de integracin, se obtiene
0 0
12)()()()( ddtetutffsF st
Definiendo ahora
x = t
se tiene que
0
12)()()()( ddxexuxffsF xs
Pero u(x) hace cero el valor de la integral entre corchetes para x < 0, y por tanto
0 0
12)()()( ddxexffsF xs
la cual puede ser expresada como el producto de dos integrales:
)()()()()(12
0
1
0
2sFsFdxexfdefsF sxs
o tambin
34
t
dftfFsF
0
2112)()( (s))( (1.94)
la que demuestra la validez de una de las ecuaciones (1.91). Si se intercambian f1(t) y f2(t), se puede efectuar
la misma derivacin para la otra ecuacin en (1.91).
A continuacin se mostrar mediante un ejemplo, que la convolucin se puede interpretar de acuerdo con
cuatro pasos: (1) reflexin, (2) traslacin, (3) multiplicacin y (4) integracin.
Ejemplo 26
En este ejemplo, sean F1(s) = 1/s y F2(s) = 1/(s+1), de manera que f1(t) = u(t) y tuetf t2 . Se desea determinar la convolucin de f1(t) y f2(t); esto es, se desea hallar
t
detutftftf
0
21 )()()(
Los pasos para aplicar la convolucin a estas dos funciones se ilustran en la Fig. 1.9, en la cual f1(t) y f2(t) se muestran
en la (a) y f1() y f2() en (b). En (c) se han reflejado las funciones respecto de la lnea t = 0 y en (d) se ha trasladado algn valor tpico de t. En (e) se ha efectuado la multiplicacin indicada dentro de la integral de las Ecs. (1.91). La
integracin del rea sombreada da un punto de la curva f ( t) para el valor seleccionado de t. Al efectuar todos los pasos
anteriores para diferentes valores de t, se obtiene la respuesta f ( t), tal como se seala en (f) de la misma figura
Para este ejemplo, la integracin de la Ec. (1.94) es sencilla y da
t
t
edetf 1)(0
que es, por supuesto, la transformada inversa del producto F1(s)F2(s),
te
ssL
ssLtf
1
1
11
1
1)( 11
Ejemplo 27
Como otro ejemplo, considere la transformada
222
1
assF
En este caso se puede tomar
2221
1)()(
as
a
asFsF
de manera que
ata
tftf sen1
)()( 21
35
)(1 tf )(2 tf
)(1 f )(2 f
)(1 f )(2 f
)(1 tf )(2 tf
)()()( 21 tftftf
)()( 21 ftf )()( 21 tff
t t(f)
(e)
(d)
(c)
(b)
t t(a)
Figura 1.9
y por tanto,
36
atatat
dtaa
atataas
L
t
cossen2a
1=
sensena
1=
sensen11
2
0
2
2222
1
1.10 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE CONVOLUCIN
Ahora se derivarn algunas propiedades de la integral de convolucin.
Propiedad 1 La operacin de convolucin es conmutativa, distributiva y asociativa:
)()()()(1221
tftftftf (1.95a)
)()()()()()()()()()(2121
tftftftftftftftftftfkk
(1.95b)
)()()()()()(321321
tftftftftftf (1.95c)
Solamente se verificar la relacin (1.95c), dejando las otras dos como ejercicios. Sean )(1
sG y )(2
sG las
transformadas de Laplace de las funciones )()()(321
tftftg y )()()(212
tftftg , respectivamente.
Por el teorema de convolucin tenemos que
)()()( ),()()(212321
sFsFsGsFsFsG
donde )(sFi
(i = 1, 2, 3) denota la transformada de Laplace de )(tfi
. Esto da
)()()()()()()()()()(
)()()()()()()(
321
3232321
1111321
tftftf
tftgsFsGsFsFsF
sGsFtgtftftftf
L
L
LL
Tomando la transformada de Laplace inversa de ambos lados de (1.106) produce la identidad deseada 14c.
Propiedad 2 Si las funciones )(1
tf y )(2
tf son diferenciables para t > 0 y continuas para t = 0, entonces
su convolucin es diferenciable para t > 0:
)0()()(
)()(
21
0
21
ftfddt
tdff
dt
tdft
(1.98a)
0 )0()0()()(
21
0
0
21
tffdf
dt
tdf (1.98b)
Para demostrar esto, aplicamos la regla de Leibnitz para diferenciar dentro de una integral, la cual dice que
si
)(
)(
),()(
tb
ta
dtgth (1.99)
donde )(ta y )(tb son funciones diferenciables de t y ),( tg y ttg ),( son continuas en t y , entonces
37
dt
tdaatg
dt
tdbbtgd
t
tg
dt
tdhxb
xa
)(),(
)(),(
),()()(
)(
(1.100)
Aplicando (1.100) a la ecuacin de definicin de la integral de convolucin con )()( tfth ,
)()(),(21
tfftg o )()(21 ftf , a = 0 y b = t+, se obtiene la relacin (1.98).
Observe que (1.98) no necesita realmente la hiptesis de quq ambas )(1
tf y )(2
tf sean diferenciables. De
hecho, si cualquiera de las funciones es diferenciable y la otra continua, entonces su convolucin es
diferenciable. Desde el punto de vista de la operacin de convolucin, la Ec. (1.98) puede escribirse tambin
como
)()0()()(
)0()()(
)()(
2121
212
1tfftf
dt
tdfftf
dt
tdftf
dt
tdf (1.101)
Propiedad 3 Sea )()()(21
tftftf y escriba
0 ),()()(11111 TTtuTtftg (1.102a)
0 ),()()(22222 TTtuTtftg (1.102b)
)()()(2121
TTtuTTtftg (1.102c)
donde u(t) denota la funcin escaln unitario. Entonces
)()()(21
tgtgtg (1.103)
Esta propiedad expresa que si las funciones )(1
tf y )(2
tf son retrasadas por 1
T y 2
T segundos,
respectivamente, entonces la convolucin de las dos funciones retrasadas es igual a la convolucin de las
funciones originales, retrasada por 21
TT segundos. La demostracin de esta propiedad se deja para el
lector.
1.11 ECUACIONES DIFERENCIALES E INTEGRALES
Con la ayuda de la propiedad de convolucin se pueden resolver algunos tipos de ecuaciones integro-
diferenciales no homogneas, lineales y con coeficientes constantes. Se darn algunos ejemplos.
Ejemplo 28
Determine la solucin general de la ecuacin diferencial
)()()(" 2 tftykty (1.104)
en trminos de la constante k y la funcin f ( t).
Suponiendo que todas las funciones en (1.104) son transformables, la ecuacin transformada es
)()0(')0()( 22 sFsYkyyssYs
donde y(0) y y(0) son, por supuesto, las condiciones iniciales. De aqu se obtiene
222222
)0(')0()(
1)(
ks
k
k
y
ks
sysF
ks
k
ksY
y por lo tanto,
ktk
yktytfkt
kty sen
)0('cos)0()(sen
1)(
38
Esta solucin general de la Ec. (1.104) puede entonces escribirse en la forma
ktCktCdtkfk
ty
t
sencos)(sen1
21
0
donde C1 y C2 son constantes arbitrarias.
Ejemplo 27
Resuelva la ecuacin integral
t
dtyatty
0
)(sen)()(
Esta ecuacin se puede escribir en la forma
ttyatty sen)()(
y, transformando ambos miembros, se obtiene la ecuacin algebraica
1
1)()(
22
ssY
s
asY
cuya solucin es
42
11)(
ssasY
y por tanto,
3
6
1)( ttaty
La ecuacin integral general del tipo de convolucin tiene la forma
t
dytgtfty
0
(1.105)
donde las funciones f( t) y g(t) son dadas y y(t) debe determinarse. Puesto que la ecuacin transformada es
sYsGsFsY
la transformada de la funcin buscada es
sG
sFsY
1 (1.106)
Si la Ec. (1.105) es modificada reemplazando y(t) por combinaciones lineales de y(t) y sus derivadas, la
transformada de la ecuacin modificada sigue siendo una ecuacin algebraica en s.
39
PROBLEMAS
1. Determinar la transformada de Laplace de las siguientes funciones:
tettftttetf
tetfttf
tt
t
sen)( (d) 5cos5sen4)( (c)
3sen3)( (b) sen2)( (a)
232
2
21
2. Determine la transformada de Laplace de las funciones en las grficas.
5
-5
02 4 6
t
3
-3
02 4 6 t
1
-10
2 4 6
3
3 5t
2
-2
02 4 6
3
5 t1 1
(b)
(d)(c)
(a)
3. Encontrar la transformada de Laplace inversa de las siguientes funciones usando desarrollo en fracciones parciales.
40
8056166s
48+12s= (g)
12148s
42+14s= (g)
2010
10+s8= (f)
12167s
452s= (e)
52s
862)( (d)
485s
1064s= (c)
48243s
4106s= (b)
45
432 a
234234
2
2
23
2
22
2
23
2
2
2
23
2
ssssF
ssssF
ssssF
ss
ssF
s
sssF
ss
ssF
s
ssF
sss
sssF
4. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales mediante la aplicacin directa de la transformacin de Laplace.
.80' ,20 ,4cos610122 (b)
.10' ,20 .6254 (a)
2
2
2
2
xxtxdt
dx
dt
xd
xxtxdt
dx
dt
xd
.20" ,10' ,30 .2127 (d)
.50" ,20' ,10 ,433d
(c)
2
2
3
3
2
2
3
3
xxxdt
dx
dt
xd
dt
xd
xxxxdt
dx
dt
xd
dt
x
5. Halle las transformadas de Laplace inversa de las siguientes funciones:
(a) )3(
1
ss
e s (b)
562
2
ss
ese ss
6. Halle las transformadas de Laplace de las formas de ondas en la figura.
0 2 3
1
2
t0 2 3
1
2
t1
3
(a) (b)
)(tf )(tf
7. Determine la transformada inversa de las siguientes funciones usando la integral de convolucin.
22 4
1 (b)
4
5 (a)
sssF
sssF
136s
2= (d)
842
10 (c)
2323 sssF
sss
ssF
8. Demuestre que la solucin del sistema de ecuaciones diferenciales
0=)(+"-" ,'2' tytytxtftytx
bajo las condiciones ,00'00'0 yyxx tal que f(0) = 0, es
41
t
tt
dtfty
dtfdftx
0
00
cos)(
,cos)(2)(
9. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones y verifique su resultado:
.00 ,10 ,1' ,' yxtxtytftytx
10. Resuelva por y(t) y verifique su solucin:
20 ,')(
0
yttydyt
11. Halle la solucin de la ecuacin integral
t
dtbycbtaty
0
sensen
(a) cuando b2 > bc; (b) cuando b = c.
12. Sea F(s) la transformada de Laplace de f ( t). Demuestre que
s
dssFt
tf)(
)(L
13. Demuestre que para real y positiva
1
2
)(
)(
!
n
nt
n
n
nt
s
se
n
t
dt
deL
14. Usando la propiedad demostrada en el Problema 12, determine las transformadas de Laplace de las siguientes funciones:
a) tt0
1 cos (b) )1(1 tet (c) )cosh(senh1 ttt