TESE DE DOUTORADO ANALISE S ISMICA USANDO TRANSFORMADA … · (Transformada de Fourier) ou para o...

’

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Centro de Ciencias Exatas e da Terra

Departamento de Fısica Teorica e Experimental

Programa de Pos-Graduacao em Fısica

TESE DE DOUTORADO

ANALISE SISMICA USANDO TRANSFORMADA

CURVELET

Michelli Silva de Oliveira

Orientador: Prof. Dr. Liacir dos Santos Lucena

Natal, julho de 2011.

Dedico este trabalho

a meu esposo e a minha filha.

i

Agradecimentos

A Deus acima de tudo.

Ao meu orientador, Professor Doutor Liacir dos Santos Lucena, por permitir trabalhar

ao seu lado, pelo apoio e incentivo no desenvolvimento deste trabalho.

Ao Professor Doutor Gilberto Corso e ao Professor Doutor Edcarlos Alves pelas con-

tribuicoes dadas a esta tese.

Ao Professor e amigo Marcos Vinıcius por estar sempre disposto a ajudar.

Ao Conselho nacional de desenvolvimento Cientıfico e Tecnologico CNPq pelo suporte

financeiro concedido.

Ao meu marido Vladimi, companheiro e melhor amigo, por fazer parte de mais uma

etapa da minha vida, sempre me confortando com seu carinho, amor e paciencia.

A minha filha Ana Beatriz, agradeco por voce ter existido durante o desenvolvimento

deste trabalho, voce foi minha fonte de inspiracao. Obrigada por estar sempre animada e

sorrindo para mim mesmo com toda a minha ausencia.

A minha mae Neuza, irma Marcia e minha madrinha Maria Diamantina pelo incen-

tivo, mesmo a distancia nunca deixaram de estar presentes, sempre me confortando com

palavras encorajadoras fortalecendo meus momentos mais difıceis.

A todos meus amigos, em especial minhas amigas Claudia Cruz e Nivania que muito

me fortaleceram.

A todos os professores, colegas e funcionarios do departamento de pos Graduacao em

Fısica da materia Condensada que de forma direta e indireta muito ajudaram na conclusao

deste trabalho.

ii

Aos membros da banca pelas correcoes e sugestoes apresentadas quando da defesa da

tese.

iii

Resumo

A exploracao petrolıfera e uma das atividades mais complexas e de difıcil execucao na

industria do petroleo e tambem e umas de suas tarefas mais importantes. Devido aos

elevados custos dos metodos diretos usados para localizacao e avaliacao das jazidas de

petroleo, tais como a perfuracao de pocos exploratorios para a medicao de propriedades

in situ, metodos indiretos sao utilizados com esta finalidade. O principal destes metodos

e o da sondagem sısmica. Neste processo de exploracao, ondas sısmicas geradas por

explosoes ou por vibradores, propagam-se no subsolo e apos serem espalhadas pelas het-

erogeneidades das estruturas geologicas retornam a superfıcie onde sao coletadas para

construcao dos sismogramas ou imagens sısmicas. No entanto, os sismogramas contem,

alem das informacoes sobre as estruturas do subsolo, uma grande quantidade de ruıdo,

sendo o principal deles o chamado ruıdo de rolamento superficial (”ground roll”ou on-

das de Rayleigh). A atenuacao desses ruıdos e essencial para uma boa interpretacao dos

dados e sinais sısmicos. A analise dos sismogramas pode ser feita utilizando-se diversos

tipos de transformadas espectrais que levam o sinal sısmico para o espaco das frequencias

(Transformada de Fourier) ou para o espaco tempo-frequencia (Transformada Wavelet),

onde costuma ser mais simples atenuar ou remover os ruıdos de uma forma cirurgica. Isto

permite que, ao levar o sinal sısmico de volta ao espaco original, o sinal represente apenas

as informacoes sobre as estruturas geologicas de interesse. Por outro lado, a transformada

curvelet e uma nova e efetiva transformada espectral que tem sido largamente usada no

estudo e representacao de dados complexos. Nessa analise, as funcoes ou sinais estudados

sao expressados em termos de funcoes de base com carater direcional que permitem rep-

resentar, mais efetivamente que outras analises, imagens e sinais com descontinuidades

iv

superficiais ou ao longo de curvas. A analise curvelet mapeia o espaco das frequencias em

diferentes escalas e em setores angulares, de modo que se pode identificar as regioes deste

espaco dominadas pelo ruıdo presente no sinal. Remover os coeficientes referentes a essas

regioes e remover o ruıdo do sinal. Assim, nesta tese implementamos e aplicamos a analise

curvelet para remover o ruıdo de rolamento superficial dos sinais sısmicos. Testamos este

metodo tanto para um sismograma sintetico quanto para um sismograma real e obtivemos

uma otima atenuacao do ruıdo em ambos os casos.

Comparamos este metodo com os metodos empregados anteriormente e discutimos

possıveis aplicacoes desta tecnica a outros problemas.

v

Abstract

Oil prospecting is one of most complex and important features of oil industry Direct

prospecting methods like drilling well logs are very expensive, in consequence indirect

methods are preferred. Among the indirect prospecting techniques the seismic imaging is

a relevant method. Seismic method is based on artificial seismic waves that are generated,

go through the geologic medium suffering diffraction and reflexion and return to the

surface where they are recorded and analyzed to construct seismograms. However, the

seismogram contains not only actual geologic information, but also noise, and one of the

main components of the noise is the ground roll. Noise attenuation is essential for a good

geologic interpretation of the seismogram. It is common to study seismograms by using

time-frequency transformations that map the seismic signal into a frequency space where

it is easier to remove or attenuate noise. After that, data is reconstructed in the original

space in such a way that geologic structures are shown in more detail. In addition, the

curvelet transform is a new and effective spectral transformation that have been used in

the analysis of complex data. In this work, we employ the curvelet transform to represent

geologic data using basis functions that are directional in space. This particular basis can

represent more effectively two dimensional objects with contours and lines. The curvelet

analysis maps real space into frequencies scales and angular sectors in such way that we

can distinguish in detail the sub-spaces where is the noise and remove the coefficients

corresponding to the undesired data. In this work we develop and apply the denoising

analysis to remove the ground roll of seismograms. We apply this technique to a artificial

seismogram and to a real one. In both cases we obtain a good noise attenuation.

vi

Sumario

Agradecimentos ii

Resumo iv

Abstract vi

Introducao 1

1 A Prospeccao de Petroleo e a Exploracao Sısmica 5

1.1 A Sondagem Sısmica e as Ondas Sısmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Ondas de Corpo ou Ondas de Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.2 Ondas de Superfıcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.3 Velocidade de Propagacao das Ondas Sısmicas . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Metodos Sısmicos e a Sondagem Sısmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Aquisicao de Dados Sısmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 O Ruido de Rolamento Superficial ou Ruido Ground Roll . . . . . . . . . . 17

1.5 Tecnicas de Filtragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Sinais Temporais e Transformadas 20

2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 A Analise de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 A Transformada de Fourier-Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 A Transformada em Ondaletas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.1 Transformada Contınua em Ondaletas . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.2 Transformada Discreta em Ondaletas . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

vii

3 A Analise Curvelet 34

3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2 Definicao da Transformada Curvelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Propriedades da Transformada Curvelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.1 Tight frame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.2 Parametro de escala parabolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.3 Comportamento oscilatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3.4 Momentos nulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4 Transformada Curvelet Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4.2 Coronizacao discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.5 As funcoes curvelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4 Remocao de Ruıdo Sısmico usando Analise Curvelet 47

4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2 Analise Curvelet e a decomposicao do sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3 Identificacao e remocao do ruıdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4 Reconstrucao do sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.5 Procedimento para remocao de ruıdo de rolamento superficial . . . . . . . 53

5 Analise de dados reais usando transformada curvelet 67

5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2 O dado sısmico real versus dado sintetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.3 A extracao do ruıdo de rolamento superficial do dado sısmico real . . . . . 70

5.4 Supressao do ruıdo de rolamento superficial: analise em ondaletas versus

analise curvelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6 Conclusoes e Perspectivas 86

Bibliografia 89

viii

Lista de Figuras

1.1 Esquema descritivo da propagacao de uma onda primaria ou lon-

gitudinal. Figura reproduzida/adaptada da pagina de internet

http://www.tjhsst.edu/∼jlafever/wanimate/Wave Properties2.html [2]. . . 9

1.2 Esquema descritivo da propagacao de uma onda secundaria ou de

cisalhamento. Figura reproduzida/adaptada da pagina de internet

http://www.tjhsst.edu/∼jlafever/wanimate/Wave Properties2.html[2]. . . 10

1.3 Esquema descritivo da propagacao de uma onda de

Rayleigh ou onda R. Figura reproduzida/adaptada da pagina de internet


1.4 Esquema descritivo da propagacao de uma onda

de Love ou onda L. Figura reproduzida/adaptada da pagina de internet


1.5 Distribuicao de velocidades comumente encontradas na prospeccao de

petroleo. Figura reproduzida de THOMAS[1]. . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6 Esquema da aquisicao de dados sısmicos terrestres e marıtimos. Figura

reproduzida de OLIVEIRA[3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7 Representacao da formacao de um traco sısmico pelas reflexoes de um

pulso pelas camadas sedimentares do subsolo. Figura reproduzida de

OLIVEIRA[3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.8 Exemplo de sismograma captado por um conjunto de geofones durante uma

sondagem sısmica. Figura reproduzida de OLIVEIRA[3]. . . . . . . . . . . 17

ix

2.1 a) Exemplo de (a) um sinal temporal estacionario e sua representacao no

espaco das frequencias obtida pela analise de Fourier do sinal; (b) um sinal

temporal nao estacionario e sua representacao no espaco das frequencias

obtida pela analise de Fourier. Figura adaptada da pagina de internet

http://astro.if.ufrgs.br/med/imagens/fourier.htm [9]. . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Representacao simbolica da caixa de Heisemberg no plano tempo-

frequencia. A energia do “atomo” de Gabor esta distribuıda nesta caixa

centrada em (u, ξ) e com larguras σt no tempo e σω na frequencia. Figura

reproduzida de LEITE[15]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3 Representacao de uma famılia de ondaletas contınuas (figura (a)) e de seu

espectro de Fourier (figura (b)). Figura reproduzida de MALLAT[16]. . . . 29

2.4 Esquema ilustrativo da divisao do espaco tempo-frequencia (a) para a

transformada de Fourier-Gabor; e (b) para a transformada em ondaletas. . 31

3.1 Decomposicao diadica do espaco de frequencia. Na figura (a) temos

esta decomposicao em termos da janela radial; na figura (b) temos esta

decomposicao em termo das janelas radial e angular; ja na figura (c)

temos que a area sombreada e a fatia do espaco de Fourier onde as

curvelets tem seu suporte definido. Figura adaptada da pagina de internet

http://www.math.washington.edu/ hart/uwss.pdf [29]. . . . . . . . . . . . 38

3.2 Decomposicao diadica do espaco de frequencia da transformada curvelet

discreta. A regiao sombreada representa uma fatia tıpica deste espaco

localizada pela janela Uj,l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.1 Nesta imagem podemos verificar na figura (a) o dado sintetico com re-

flexoes horizontais representando as camadas litologicas e um traco com

maior inclinacao que pode ser melhor visualizado na figura (c) simulando

o comportamento do ruıdo de rolamento superficial. Na figura (b) temos o

dado sintetico limpo em que a reflexao destacada ja foi removida. . . . . . 55

x

4.2 Distribuicao de padroes para conjuntos de zonas angulares selecionados na

escala 2. Na parte superior da figura temos os angulos selecionados nessa

escala e na parte inferior temos a reconstrucao parcial do sinal para esses

angulos nessa escala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3 Distribuicao de energia para os diferentes angulos da escala 2. . . . . . . . 57

4.4 Conjunto de angulos da escala 2 cujos coeficientes foram selecionados para

a reconstrucao de parte do sinal indicado na figura 4.1.b. . . . . . . . . . . 58


escala 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59





escala 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61





escala 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64




5.1 Figura comparativa entre sismogramas. Na figura (a) temos um exemplo

de sismograma sintetico; e na figura (b) temos um exemplo de sismograma

real. Nos dois sinais, o ruıdo de rolamento superficial aparece com uma

estrutura triangular macroscopica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2 Figura contendo: (a) o dado original real a ser analisado; (b) o dado fil-

trado (sinal de interesse); e (c) o padrao referente ao ruıdo de rolamento

superficial que foi excluıdo do dado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

xi






5.5 Conjunto de angulos da escala 2 (marcados em vermelho) cujos coeficientes

foram selecionados para a reconstrucao do sinal sısmico real. . . . . . . . . 74









escala 4. Na parte superior da figura temos os angulos selecionados (mar-

cados em vermelho) nessa escala e na parte inferior temos a reconstrucao

parcial do sinal para os angulos correspondentes nessa escala. . . . . . . . . 78





escala 5. Na parte superior da figura temos os angulos selecionados (mar-

cados em vermelho) nessa escala e na parte inferior temos a reconstrucao

parcial do sinal para os angulos correspondentes nessa escala. . . . . . . . . 81




xii

5.15 Componentes do ruıdo de rolamento superficial para as escalas de j = 2 a

j = 5. Na parte superior da figura temos os angulos correspondentes em

cada escala (cırculos cheios) e na parte superior da figura temos a estrutura

correspondente ao ruıdo de rolamento superficial em cada escala. . . . . . . 84

xiii

Lista de Tabelas

5.1 Balanco de energia (em porcentagem) para as escalas 2 ≤ j ≤ 5. O GR

representa a energia do ruıdo de rolamento superficial; e RW a energia das

ondas refletidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.2 Distribuicao de energia (em porcentagem) para as escalas 1 ≤ j ≤ 5. O

GR representa a energia do ruıdo de rolamento superficial; e RW, a energia

das ondas refletidas. Na ultima coluna e representada a energia total destes

dois padroes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

xiv

Introducao

A exploracao petrolıfera e uma das tarefas mais complicadas e de difıcil execucao na

industria do petroleo e tambem e umas das tarefas mais importantes desta industria.

A tarefa de localizar jazidas de petroleo e de avaliar o seu potencial de producao re-

presenta um intrigante e complicado problema na area de Ciencia e Tecnologia, pois as

jazidas e reservatorios naturais de petroleo e gas natural sao encontrados em estruturas

geologicas que constituem sistemas de alta complexidade, com heterogeneidades em to-

das as escalas e com uma enorme variedade em suas caracterısticas basicas, tais como

permeabilidade e porosidade.

As dificuldades na localizacao das jazidas sao aumentadas tambem pelo elevado nıvel

de incerteza advindo da quantidade reduzida de informacoes sobre o subsolo e suas estru-

turas geologicas.

A maneira mais precisa de superar estas dificuldades na localizacao das jazidas e

comprovar a existencia ou nao de petroleo e a perfuracao de pocos exploratorios que

possibilitem a coleta de amostras e a introducao de sensores a grandes profundidades para

a medicao in situ das propriedades fısicas da rochas e do ambiente proximo. Entretanto,

a perfuracao de um poco exige grande soma de dinheiro, principalmente em se tratando

de exploracao off shore e, portanto, o numero de pocos exploratorios usados na busca por

jazidas de petroleo e bem pequeno e o volume de subsolo do qual se tem dados coletados

diretamente, comparado ao volume total do campo petrolıfero, corresponde a uma fracao

praticamente desprezıvel ( 10−12).

1

A alternativa para a busca por jazidas de petroleo, diante da impossibilidade de per-

furacao de um grande numero de pocos exploratorios, e o uso de metodos indiretos.

O principal metodo indireto e o da exploracao sısmica. Este metodo consiste em gerar

ondas sısmica que se propaguem no subsolo. Essas ondas sao geradas por explosoes para

o caso de pesquisa continental e por canhoes de ar comprimido para a exploracao no mar

e, em se propagando no subsolo, experimentam os fenomenos de espalhamento, refracao,

difracao, reflexao e outros, pelas diversas camadas e estruturas geologicas do subsolo.

Uma parte destas ondas retorna a superfıcie trazendo informacoes sobre as camadas e

estruturas geologicas do interior da Terra.

Na verdade, o problema de descobrir as propriedades fısicas e as estruturas geologicas

do subsolo atraves dos sinais sısmicos captados na superfıcie por geofones ou hidrofones

e chamado de espalhamento inverso. Este problema e de difıcil solucao e pertence a

uma classe de problemas denominada problemas mal postos. Estes problemas aparecem

em diversas areas da ciencia, mas e ainda mais complicado de se resolver no caso da

prospeccao sısmica, pois o volume da regiao espalhadora das ondas sısmicas, no caso o

subsolo, e muito grande, ha falta de conhecimento sobre as velocidades de propagacao das

ondas sısmicas nas diferentes estruturas e regioes do subolo e tambem devido ao acentuado

grau de desordem do subsolo.

Apesar da enorme dificuldade em se interpretar adequadamente as imagens obtidas

para o subsolo a partir de dados sısmicos, essas sao as mais importantes fontes de in-

formacao sobre grandes volumes de subsuperfıcie e permitem, se bem interpretadas, a

delimitacao apropriada dos reservatorios e jazidas de petroleo. Na verdade, as imagens

sısmicas sao o meio mais difundido e preciso para guiar a interpolacao e a extrapolacao

de dados colhidos em pocos exploratorios. Essas imagens, se bem interpretadas, fornecem

as informacoes mais confiaveis sobre grandes quantidades de subestruturas da crosta ter-

restre.

A analise e interpretacao dos dados sısmicos representam uma etapa fundamental do

processo de obtencao de imagens sısmicas do subsolo. E nesta etapa que sao estimados

os coeficientes das ondas sısmicas, dados pelos contrastes de impedancia acustica que

2

geralmente existem nas transicoes entre camadas geologicas e, a partir destes dados, sao

construıdas as imagens das camadas e estruturas geologicas. No entanto, os dados sısmicos

ou sismogramas contem, alem das informacoes sobre as estruturas do subsolo, uma grande

quantidade de ruıdo e a atenuacao desses ruıdos e essencial para uma boa interpretacao

desses dados. A analise dos sismogramas pode ser feita utilizando-se diversos tipos de

transformadas espectrais. Nesta tese de doutorado vamos descrever e/ou estudar os prin-

cipais tipos de analise que podem ser utilizados no estudo de sinais sısmicos para remover

os ruıdos e recuperar as informacoes sobre as estruturas do subsolo, bem como entender

as limitacoes desses metodos de analise e implementar o metodo de analise curvelet para

a remocao de ruıdos em sismogramas de exploracao sısmica.

Assim, para descrevermos os trabalhos realizados no decorrer de nosso doutoramento,

esta tese de doutorado foi estruturada em cinco capıtulos principais e um capıtulo de

conclusao.

No primeiro capıtulo vamos falar um pouco sobre a prospeccao de petroleo e en-

tender como funciona o metodo de sondagem sısmica, como sao geradas e captadas as

ondas sısmicas que permitem a formacao dos sismogramas e entender como o metodo de

sondagem sısmica e utilizado para o estudo das propriedades geologicas do subsolo e para

a busca de jazidas de petroleo.

No capıtulo 2 desta tese, vamos estudar e descrever as principais transformadas es-

pectrais utilizadas para se estudar sinais temporais e/ou atenuar ruıdos presentes nesses

sinais, desde a transformada de Fourier ate a transformada wavelet (transformada em

ondaletas). Tambem vamos perceber as limitacoes dessas transformadas e a necessidade

de um outro tipo de transformada para se estudar/analisar sinais sısmicos.

No capıtulo 3 vamos definir e estudar a transformada curvelet e entender esta analise

e suas propriedades.

No capıtulo 4, o primeiro capıtulo baseado no trabalho original desta tese de doutorado,

vamos descrever como a transformada curvelet foi implementada para ser utilizada na

analise de sinais sısmicos e na remocao do ruıdo de rolamento superficial desses sinais,

bem como descreveremos o teste realizado em dados sinteticos.

3

Ja no capıtulo 5, descrevemos o procedimento e os resultados da analise curvelet

aplicada a sinais sısmicos e discutiremos os resultados obtidos em comparacao com os

resultados de outros metodos de analise.

Por fim, no capıtulo das conclusoes, faremos uma breve analise dos resultados obtidos

em nosso trabalho de tese e discutiremos algumas aplicacoes e perspectivas para o metodo

desenvolvido e implementado nesse doutoramento.

4

Capıtulo 1

A Prospeccao de Petroleo e a

Exploracao Sısmica

A atual sociedade humana e extremamente dependente dos combustıveis fosseıs, como

o petroleo e o gas natural, com isto a industria do petroleo e uma das mais importantes e

significativas do mercado mundial. Das tarefas realizadas, a exploracao petrolıfera e uma

das mais complicadas e de difıcil execucao e tambem e umas das mais importantes desta

industria.

Localizar jazidas de petroleo sob a crosta terrestre, quer seja em terras continentais

ou em terreno submarino, e avaliar seu potencial de producao, representa um intrigante

e complicado problema na area de Ciencia e Tecnologia, pois esses reservatorios naturais

sao encontrados em estruturas geologicas que constituem sistemas de alta complexidade.

As dificuldades na localizacao das jazidas de petroleo sao enormes e sao aumentadas,

ainda mais, pelo elevado nıvel de incerteza advindo da quantidade reduzida de informacoes

sobre o subsolo e suas estruturas geologicas.

A maneira mais precisa de superar estas dificuldades para localizar jazidas e comprovar

a existencia ou nao de petroleo e a perfuracao de pocos exploratorios que possibilitem a

coleta de amostras e a introducao de sensores a grandes profundidades para a medicao in

situ das propriedades fısicas das rochas e do ambiente proximo. Entretanto, a perfuracao

de um poco exploratorio exige grande soma de dinheiro, principalmente em se tratando

de exploracao off shore e, portanto, o numero de pocos exploratorios usados na busca por

5

jazidas de petroleo e bem pequeno e o volume de subsolo do qual se tem dados coletados

diretamente, comparado ao volume total do campo petrolıfero, corresponde a uma fracao

praticamente desprezıvel ( 10−12).

A perfuracao de pocos exploratorios e utilizada para confirmar a existencia de uma

jazida de petroleo em uma regiao, onde os metodos indiretos indicaram uma grande

probabilidade de existencia de oleo. Assim, a pesquisa com poco exploratorio ira confirmar

a existencia dessa jazida e avaliar seu potencial de producao de petroleo.

Os metodos indiretos sao, diante da impossibilidade de perfuracao de um grande

numero de pocos exploratorios, a melhor alternativa para a busca por jazidas de petroleo.

Estes metodos indiretos tem custos bastante moderados e, mesmo sujeitos a inter-

pretacoes e visualizacoes, fornecem informacoes detalhadas do subsolo e de suas estruturas

geologicas.

O principal metodo indireto usado no estudo das estruturas geologicas do subsolo ter-

restre e na prospeccao de petroleo e a exploracao sısmica ou sondagem sısmica. Este

metodo consiste em gerar ondas sısmicas que se propaguem no subsolo. Estas ondas sao

geradas por explosoes para o caso de pesquisa continental e por canhoes de ar comprimido

para a exploracao no mar e, em se propagando no subsolo, experimentam os fenomenos

de espalhamento, refracao, difracao, reflexao e outros, pelas diversas camadas e estruturas

geologicas do subsolo. Uma parte dessas ondas retorna a superfıcie trazendo informacoes

sobre as camadas e estruturas geologicas do interior da Terra.

As ondas refletidas e/ou refratadas nas varias camadas e estruturas do subsolo que

voltam a superfıcie trazem uma informacao que precisa ser interpretada e analisada e,

apesar da enorme dificuldade em se interpretar adequadamente as informacoes e imagens

obtidas para o subsolo a partir de dados sısmicos, essas imagens sao as mais importantes

fontes de informacao sobre grandes volumes de subsuperfıcie e permitem, se bem inter-

pretadas, a delimitacao apropriada dos reservatorios e jazidas de petroleo. Na verdade,

as imagens sısmicas sao o meio mais difundido e preciso para guiar a interpolacao e

a extrapolacao de dados colhidos em pocos exploratorios, por isto precisamos entender

claramente como elas sao obtidas para poder melhor estudar, interpretar e analisar esses

dados sısmicos.

6

Vale ressaltar que o metodo de sondagem sısmica tambem e bastante utilizado no

estudo das estruturas geologicas das placas tectonicas para estudar regioes onde ocorreram

abalos sısmicos e, por exemplo, calcular a probabilidade de novos abalos. Embora, o foco

do estudo da sondagem sısmica, nesta tese, seja a prospeccao de petroleo, os metodos

e ferramentas aqui estudados e desenvolvidos tambem podem ser aplicados em estudos

sismologicos.

Nas secoes deste primeiro capıtulo vamos estudar e entender como funciona o metodo

de sondagem sısmica e como este metodo e utilizado para o estudo das propriedades

geologicas do subsolo e para a busca de jazidas de petroleo. Com este entendimento

inicial sobre sondagem sısmica, estaremos aptos a, nos proximos capıtulos, estudar as

principais ferramentas matematicas utilizadas na analise e interpretacao dos dados obtidos

nas sondagens sısmicas.

Devemos ainda ressaltar que este e um capıtulo basico que trata da descricao geral da

prospeccao de petroleo e da sondagem sısmica usada para localizar e delimitar jazidas de

petroleo e gas natural, portanto as descricoes apresentadas aqui sao de conhecimento geral

da engenharia de petroleo. A principal referencia utilizada na construcao deste capıtulo

foi o livro do THOMAS[1]. Outras referencias que se fizerem necessarias serao citadas no

decorrer do capıtulo.

1.1 A Sondagem Sısmica e as Ondas Sısmicas

A sondagem sısmica ou exploracao sısmica e um metodo indireto de exploracao

do subsolo terrestre que faz uso de aparelhos e tecnicas especiais para estudar e carac-

terizar o subsolo. Este metodo tem sido comumente utilizado pelo fato de ser capaz de

cobrir grandes areas e, ao mesmo tempo, ser economicamente viavel, permitindo assim,

uma observacao cautelosa e barata do subsolo terrestre, sendo largamente empregado na

localizacao de jazidas de petroleo e gas natural e tambem no estudo e deteccao de falhas

geologicas.

A sondagem sısmica do subsolo faz uso de ondas sısmicas, que sao ondas de natureza

7

mecanica que transportam energia de deformacao elastica no meio em que foram geradas.

A velocidade de propagacao destas ondas depende das propriedades elasticas e da densi-

dade do meio em que elas se propagam. E a sua reflexao e refracao entre as camadas do

subsolo que nos permite inferir as propriedades do subsolo e de suas camadas e estuda-las.

Para entendermos as ondas sısmicas e seu efeito sobre o solo e subsolo devemos lem-

brar que quando se aplica uma forca sobre a superfıcie de um corpo, pode-se modificar

sua forma e/ou seu volume. A elasticidade e a propriedade de um corpo resistir a essa

deformacao e de retornar a sua forma e/ou volume iniciais depois que a forca causadora

da deformacao cessa.

A teoria da elasticidade estuda as relacoes entre as forcas e as mudancas na forma

e volume dos corpos, com base nos conceitos de tensao (stress) e deformacao (strain).

Segundo a lei de Hooke, para pequenas deformacoes, as que ocorrem em rochas podem ser

consideradas como perfeitamente elasticas e como as ondas sısmicas geradas na exploracao

sısmica e prospeccao de petroleo sao causadoras de pequenas deformacoes (da ordem de

10−6% a 10−3%), as estudadas na sondagem sısmica podem ser consideradas deformacoes

elasticas.

A tensao sobre uma superfıcie e definida como a forca por unidade de area na superfıcie.

Quando esta tensao e perpendicular a area em que atua, esta tensao e denominada tensao

normal. E quando ela e tangencial a area em que atua, e denominada tensao cisalhante

ou tensao de cisalhamento. As tensoes que atuam em um corpo ou superfıcie podem

causar sua deformacao.

A deformacao (ou strain) de um corpo e a mudanca na forma e/ou volume de um

corpo quando este esta sujeito a acao de uma tensao. A deformacao normal, ou seja, a

deformacao de um corpo devido a uma tensao normal modifica o volume do corpo, mas

nao modifica a forma do corpo. Ja a deformacao cisalhante modifica a forma mas nao

modifica o volume do corpo.

Quando um corpo esta sujeito a uma tensao e o equilıbrio estatico deste corpo e

rompido, da-se inıcio a propagacao da tensao e da deformacao sob a forma de ondas

elasticas. Assim, as ondas sısmicas sao ondas elasticas que se propagam na Terra e que

podem ser classificadas como ondas de corpo ou como ondas de superfıcie.

8

1.1.1 Ondas de Corpo ou Ondas de Volume

As ondas de corpo ou ondas de volume sao as que se propagam atraves do interior

da Terra. Elas apresentam direcoes radiais a partir do ponto onde foram geradas com

desvios devidos as variacoes de densidade do meio.

As ondas de volume sao responsaveis pelos primeiros tremores sentidos durante um

terremoto e podem ser classificadas em dois tipos: as ondas primarias (ondas P); e as

ondas secundarias (ondas S).

As ondas primarias ou ondas P ou ondas compressionais sao ondas longitudinais,

ou seja, sao ondas nas quais o deslocamento e a vibracao das partıculas do meio ocorre

na mesma direcao da propagacao da energia da onda. As ondas longitudinais sao mais

velozes que as ondas S e, por isto, sao os primeiros eventos a serem detectados apos um

abalo sısmico. Na figura 1.1 e mostrado um esquema descritivo da propagacao de uma

onda longitudinal ou primaria, onde podemos ver que o deslocamento das partıculas do

meio ocorre na direcao de propagacao da onda.

Figura 1.1: Esquema descritivo da propagacao de uma onda primaria

ou longitudinal. Figura reproduzida/adaptada da pagina de internet

http://www.tjhsst.edu/∼jlafever/wanimate/Wave Properties2.html [2].

9

As ondas secundarias ou ondas S ou ondas de cisalhamento sao ondas transver-

sais, ou seja, sao ondas de volume nas quais o movimento das partıculas do meio ocorre

na direcao transversal a direcao de propagacao da onda. As ondas S se propagam apenas

em corpos solidos, pois os fluidos nao suportam forcas de cisalhamento. Sua velocidade

e, em um dado meio, menor que a velocidade das ondas P, mas sua amplitude e varias

vezes maior. Na figura 1.2 e mostrado um esquema descritivo da propagacao de uma onda

de cisalhamento ou secundaria, onde podemos ver que o deslocamento das partıculas do

meio ocorre na direcao perpendicular a propagacao da onda.

Figura 1.2: Esquema descritivo da propagacao de uma onda secundaria

ou de cisalhamento. Figura reproduzida/adaptada da pagina de internet


1.1.2 Ondas de Superfıcie

As ondas de superfıcie sao ondas que se propagam logo abaixo da superfıcie terrestre

e deslocam-se mais lentamente que as ondas de volume. Devido a sua baixa frequencia,

longa duracao e grande amplitude, possuem elevado poder destrutivo. Elas propagam-se

pela superfıcie a partir do epicentro de um evento sısmico.

10

Existem dois tipos de ondas de superfıcie: as ondas de Rayleigh e as ondas de

Love.

As ondas de Rayleigh ou ondas R sao o resultado da superposicao de ondas P e

S. A existencia destas ondas foi prevista por Lord Rayleigh em 1985 e sao ondas que

provocam vibracoes no sentido contrario a propagacao da onda, causando um movimento

de rolamento (como uma orbita elıptica) em sentido contrario ao movimento da onda.

Esta onda tambem e denominada onda de rolamento superficial e sua amplitude diminui

rapidamente com a profundidade.

A figura 1.3 mostra um esquema descritivo para uma onda R. Observe que a onda se

propaga em uma direcao e o movimento dos elementos de volume do meio descrevem um

rolamento cuja intensidade diminui rapidamente com a profundidade.

Figura 1.3: Esquema descritivo da propagacao de uma onda de

Rayleigh ou onda R. Figura reproduzida/adaptada da pagina de internet


Como veremos, ainda nesse capıtulo, o principal tipo de ruıdo presente nos sinais

sısmicos obtidos em sondagens sısmicas e chamado de ruıdo de rolamento superficial, e

devido a ondas do tipo Rayleigh.

As ondas de Love ou onda L sao ondas que produzem cisalhamento horizontal do solo

11

e sua energia e obrigada a permanecer nas camadas superiores da Terra devido ao fato de

ocorrer por reflexao interna total. Essas ondas sao o resultado da superposicao de duas

ondas S, sao ligeiramente mais rapidas que as ondas de Rayleigh e sao muito destrutivas.

Na figura 1.4 e mostrado um esquema descritivo da propagacao de uma onda Love.

Observe que os elementos de volume do meio de propagacao sofrem um cisalhamento no

plano horizontal cuja intensidade diminui com a profundidade.

Figura 1.4: Esquema descritivo da propagacao de uma onda de

Love ou onda L. Figura reproduzida/adaptada da pagina de internet


1.1.3 Velocidade de Propagacao das Ondas Sısmicas

A velocidade de propagacao das ondas sısmicas e funcao da densidade e das constantes

elasticas do meio. Consequentemente, depende da constituicao mineralogica da rocha,

do grau de cimentacao, dos estagios de compactacao, da porosidade, do conteudo e da

saturacao de fluidos, alem de depender da temperatura e da presenca de microfraturas na

rocha.

As velocidades das ondas P e S em uma rocha ou a razao entre estas velocidades e,

12

no geral, usada para caracterizar uma determinada rocha, ou seja, as velocidades calcu-

ladas ou estimadas para as ondas sısmicas numa regiao do subsolo podem determinar a

composicao das rochas daquela subsuperfıcie.

Na figura 1.5 ilustramos a distribuicao de velocidades comumente encontradas na

prospeccao de petroleo. Como o metodo da sondagem sısmica permite o calculo destas

velocidades, pode-se estimar os parametros das rochas a partir do conhecimento das ve-

locidades.

Figura 1.5: Distribuicao de velocidades comumente encontradas na prospeccao de

petroleo. Figura reproduzida de THOMAS[1].

1.2 Metodos Sısmicos e a Sondagem Sısmica

Os metodos sısmicos usados na sondagem sısmica se baseiam na emissao de ondas

sısmicas geradas artificialmente na superfıcie terrestre ou no mar e posterior captacao

das ondas que sao refletidas e/ou refratadas pelas descontinuidades do interior da crosta

13

terrestre e retornam a superfıcie.

Ha dois principais metodos sısmicos: o metodo sısmico de refracao, que registra so-

mente as ondas refratadas com angulo crıtico e que tem grande aplicacao na area de

sismologia e, no entanto, tem aplicacao restrita na area de prospeccao de petroleo; e

o metodo sısmico de reflexao que registra as ondas refletidas pelas descontinuidades do

interior do subsolo e e largamente utilizado na area de prospeccao de petroleo.

Destes metodos vamos estudar apenas o segundo, discutindo o estritamente necessario

para um melhor entendimento dos capıtulos seguintes e do trabalho original desta tese.

Para o levantamento sısmico de uma area do subsolo comeca-se com a geracao de ondas

sısmicas artificiais na superfıcie terrestre, onde se faz uso de dinamite ou de vibradores

com queda de peso, ou no mar, onde se faz uso de canhoes de ar comprimido. As ondas

sısmicas assim geradas tem um pulso caracterıstico conhecido como assinatura da fonte

e sao captadas apos se refletirem e/ou refratarem em cada uma das descontinuidades e

camadas do interior do subsolo por onde viajam.

Os receptores utilizados para captar e registrar as reflexoes sao, basicamente, de dois

tipos: os eletromagneticos (geofones) que sao utilizados para registros em terra; e os de

pressao (hidrofones) usados para levantamentos em aguas oceanicas.

Os geofones sao compostos por uma bobina suspensa dentro de um campo magnetico

gerado por um potente ima acondicionado por um involucro impermeavel. O geofone

e firmemente cravado na superfıcie da Terra e quando uma onda sısmica o atinge, o

movimento relativo entre a bobina e o ima gera uma corrente eletrica induzida que e

proporcional a varios fatores, inclusive a amplitude da onda incidente.

Os hidrofones utilizam-se de cristais piezoeletricos que geram uma corrente eletrica

proporcional a variacao da pressao produzida pelas ondas sısmicas na agua.

Os hidrofones e geofones devem reproduzir, o mais fielmente possıvel, as vibracoes

mecanicas na forma de oscilacoes eletricas. Estas oscilacoes eletricas irao permitir a

construcao do sismograma e/ou imagens do interior da Terra que serao analisadas e tra-

balhadas para o completo levantamento das estruturas internas da subsuperfıcie.

14

1.3 Aquisicao de Dados Sısmicos

Utilizando-se uma fonte artificial de ondas sısmicas, como dinamite para os casos em

terra e ar comprimido para os casos em mar, sao produzidas ondas que irao se propagar

no interior da crosta terrestre.

Para todos os fins praticos, a propagacao das ondas sısmicas e regida pelas mesmas

leis da otica geometrica. Assim, quando uma frente de onda incide sobre uma interface

separando duas rochas com velocidades e densidades diferentes, parte da energia da onda

e refletida e retorna a superfıcie e parte e refratada para o meio inferior e continua sua

propagacao.

A quantidade de energia que e refletida depende do contraste de impedancia das rochas.

E possıvel simular a resposta sısmica de um pacote sedimentar ou traco sısmico (tambem

chamado de sismograma sintetico) a partir do conhecimento de velocidades e densidades

das rochas que o compoe e da assinatura da fonte.

Usando um conjunto de geofones (ou hidrofones) convenientemente distribuıdos e orde-

nados, como esquematizados na figura 1.6, pode-se captar as ondas refletidas nas diversas

camadas e descontinuidades do subsolo.

Figura 1.6: Esquema da aquisicao de dados sısmicos terrestres e marıtimos. Figura re-

produzida de OLIVEIRA[3].

Em geral, e considerado que o pulso refletido em uma descontinuidade tenha a mesma

15

forma do pulso incidente. Os geofones ou hidrofones registram as superposicoes das am-

plitudes sısmicas ou reflexoes individuais que variam de valores negativos a positivos e

sao armazenados em um traco sısmico. Cada traco sısmico e apresentado como uma serie

temporal de amplitudes que tem sua area positiva preenchida.

Na figura 1.7[1] esta ilustrada a formacao de um sismograma atraves das reflexoes de

um pulso pelas camadas sedimentares do subsolo.

Figura 1.7: Representacao da formacao de um traco sısmico pelas reflexoes de um pulso

pelas camadas sedimentares do subsolo. Figura reproduzida de OLIVEIRA[3].

Na figura 1.7.A tem-se a representacao das camadas sedimentares do subsolo. Em

1.7.B ve-se as inomogeneidades ou impedancias acusticas dessas camadas sedimentares.

Em 1.7.C temos o pulso incidente e a reflectividade das diversas camadas. Na figura 1.7.D

temos as reflexoes individuais de cada uma das camadas sedimentares, e finalmente, em

1.7.E tem-se o traco sısmico final registrado em apenas um geofone.

Devido ao arranjo dos geofones (hidrofones) e dos registros de uma mesma reflexao em

varios desses sensores, pode-se calcular as distancias das varias camadas e heterogenei-

dades e as velocidades das ondas sısmicas nestas camadas de subsuperfıcies.

16

1.4 O Ruido de Rolamento Superficial ou Ruido

Ground Roll

Os registros obtidos por um conjunto de geofones ou hidrofones das reflexoes da onda

nas camadas de subsuperfıcies formam um sismograma. Na figura 1.8[3] e mostrado

um sismograma construıdo a partir dos dados de um conjunto de geofones durante uma

sondagem sısmica.

Figura 1.8: Exemplo de sismograma captado por um conjunto de geofones durante uma

sondagem sısmica. Figura reproduzida de OLIVEIRA[3].

No sismograma da figura 1.8 sao observadas algumas estruturas, no entanto, a maioria

das estruturas visualmente presentes no sismograma nao sao devidas as reflexoes das ondas

nas heterogeneidades do subsolo. A maioria dos sinais presentes em um sismograma

de sondagem sısmica sao sinais expurios que dificultam a leitura do sismograma e sua

interpretacao e, consequentemente, o estudo das estruturas do subsolo terrestre.

17

Estes sinais indesejados que aparecem nos sismogramas sao chamados de ruıdos. O

principal sinal indesejado nos sismogramas de sondagem sısmica sao sinais coerentes de-

vidos a ondas de superfıcie, do tipo das ondas de Rayleigh, que contribuem com cerca

de dois tercos de toda a energia sısmica captada pelo geofone durante essas sondagens[5].

Esses sinais indesejados sao chamados de ruıdo de rolamento superficial ou ruıdo

ground roll.

O ruıdo de rolamento superficial esta sempre presente nos sismogramas de sondagem

sısmica e, no exemplo da figura 1.8, ele aparece geometricamente com a forma de um cone

central marcado por A. A forma de cone para o registro do ruıdo de rolamento superficial

vem do posicionamento dos geofones em relacao ao ponto de tiro (ponto de energia onde

sao geradas as ondas sısmicas para o levantamento sısmico).

As principais caracterısticas do ruıdo de rolamento superficial sao: grandes amplitudes,

maiores que as do sinal refletido nas camadas do subsolo; baixa velocidade; e concentracao

de energia em frequencias baixas[5].

Por serem ondas do tipo Rayleigh, as ondas do ruıdo de rolamento superficial se

limitam a uma propagacao proxima a superfıcie da Terra sem transmitir energia para o

seu interior. E, entao, as amplitudes que constituem o ground roll nao contem informacoes

relacionadas com as interfaces de reflexoes e irao se sobrepor as amplitudes (menores) que

foram refletidas pelas estruturas geologicas do interior da terra.

1.5 Tecnicas de Filtragem

O ruıdo de rolamento superficial e outros sinais indesejados precisam ser removidos

do sismograma para que se possa estudar as estruturas presentes e, com isto, estudar as

estruturas do interior da terra.

Convencionalmente, para a remocao de ruıdos sao usados filtros tais como: filtros

passa-baixa, passa banda, balanco espectral, multicanal, f − k, entre outros. Os varios

metodos desenvolvidos baseados nessas tecnicas, podem ser utilizados para a remocao do

ruıdo de rolamento superficial[6]. No entanto, esses metodos tem limitacoes, pois so podem

18

ser aplicados ou no domınio da frequencia ou no domınio do tempo. Os filtros passa-alta

e passa banda, por exemplo, sao aplicados no domınio da frequencia e sao incapazes

de separar as grandes amplitudes do ruıdo de rolamento superficial das amplitudes das

reflexoes. Isto ocorre porque, para uma mesma banda de frequencia, as amplitudes do

ruıdo e do sinal de interesse se sobrepoe fortemente[5]. Por isto, usando-se este tipo de

filtragem, frequencias baixas presentes nas reflexoes sao perdidas.

Por outro lado, os filtros baseados na transformada f − k sao bastante utilizados

para remover os ruıdos de rolamento superficial[7], porem estas transformadas tem a

desvantagem de gerar distorcoes nos sinais das reflexoes devido ao fato das amplitudes do

ground roll serem bem maiores que as amplitudes das reflexoes.

Ha varios metodos e transformadas que sao utilizadas para tratar e estudar os sismo-

gramas e, desta forma, estudar as estruturas do interior da terra. Nos proximos capıtulos

faremos um breve estudo das principais transformadas temporais usadas para remover

ruıdos dos sinais sısmicos, bem como suas limitacoes, para podermos comparar com a

transformada curvelet, que e o objeto principal de estudo desta tese.

19

Capıtulo 2

Sinais Temporais e Transformadas

2.1 Introducao

Toda grandeza fısica pode ser representada por uma funcao f(t) que da o seu compor-

tamento com o tempo. A princıpio, conhecendo-se a funcao que representa uma grandeza

fısica, conhecemos o comportamento desta grandeza em qualquer tempo e nos referimos a

esta funcao como sendo o sinal temporal da grandeza fısica. Entretanto, o sinal tempo-

ral nao fornece toda a informacao que precisamos para estudar e analisar a grandeza fısica.

Em muitos casos e necessario realizar uma transformacao matematica sobre a funcao para

que esta possa ser analisada em um domınio diferente do domınio temporal e, desta forma,

possamos obter outras informacoes relevantes e importantes sobre a grandeza fısica.

As transformacoes mais utilizadas para se analisar sinais temporais sao as chamadas

transformadas espectrais, que levam o sinal temporal para o espaco das frequencias e

permitem recuperar as frequencias presentes no sinal temporal.

Por outro lado, os sinais temporais obtidos no mundo real a partir do estudo de alguma

grandeza fısica de interesse estao sempre contaminados. Por exemplo, em um sismograma

coletado para se estudar a estrutura interna de uma area da crosta terrestre ha varios

outros sinais misturados que atrapalham o estudo do sismograma por nao pertencerem

ao fenomeno de interesse. Chamamos estes sinais espurios ou indesejados de ruıdos.

A presenca de ruıdos e inevitavel no estudo de qualquer grandeza ou fenomeno fısico.

Ha alguns procedimentos utilizados para atenuar o ruıdo presente no sinal e, desta forma,

20

recuperar o sinal desejado. Estes procedimentos de atenuacao de ruıdos sao conhecidos

como filtragem [8].

Assim, procedimentos matematicos tem sido propostos para atenuar estes sinais que

nao pertencem ao fenomeno observado e que nao sao de interesse do pesquisador.

As transformadas espectrais estao entre os filtros mais utilizados para remocao de

ruıdos na exploracao do petroleo. Nestes casos, e feita uma transformada sobre o sinal

levando-o para o espaco das frequencias e as frequencias dos sinais indesejados sao aten-

uadas ou removidas e, ao se realizar a transformada inversa para levar o sinal de volta ao

espaco temporal, o sinal desejado deve, em teoria, estar livre dos ruıdos.

Neste capıtulo vamos estudar brevemente as principais transformadas espectrais uti-

lizadas para se estudar sinais temporais e/ou atenuar ruıdos presentes nesses sinais, bem

como perceber as limitacoes destas transformadas.

2.2 A Analise de Fourier

Em 1807, o fısico e matematico frances Jean-Baptiste Joseph Fourier desenvolveu um

metodo de analise de funcoes periodicas em series trigonometricas convergentes que pas-

saram a se chamar Series de Fourier.

Levando-se em consideracao que senos e cossenos sao funcoes periodicas, ele propos

que qualquer funcao periodica pode ser decomposta em termos destas funcoes base num

somatorio infinito. Assim, uma funcao f(t) periodica pode ser escrita em termos de

funcoes senoidais (senos e cossenos) como:

f(t) = a0 +∞∑n=1

[an cos

(nπt

L

)+ bnsen

(nπt

L

)](2.1)

onde os coeficientes da expansao, an e bn, sao determinado a partir da relacao de ortogo-

nalidade das funcoes base da expansao (senos e cossenos) e sao dados por:

an =1

L

∫ L

−Lf(t) cos

(nπt

L

)dt, n = 0, 1, 2, 3, . . . (2.2)

e

21

bn =1

L

∫ L

−Lf(t)sen

(nπt

L

)dt, n = 1, 2, 3, . . . (2.3)

Com o sinal, f(t), escrito como uma serie de Fourier na forma da equacao (2.1),

podemos analisa-lo mais facilmente no domınio temporal e, tambem, transforma-lo para

outros domınios para obter e estudar informacoes que nao estao disponıveis neste domınio.

Usando a Transformada de Fourier (TF), que e uma transformada integral que leva

uma funcao periodica em suas componentes no domınio das frequencias, podemos trans-

formar o sinal temporal em uma funcao que esta representada no domınio das frequencias

a partir da integral:

f(ω) = F[f ](ω) =

∫ ∞

−∞f(t)e−iωtdt (2.4)

Por outro lado, conhecendo-se o espectro f(ω) de um sinal temporal, e possıvel obter

este sinal utilizando a transformada inversa de Fourier, dada por:

f(t) = f [F](t) =1

2π

∫ ∞

−∞f(ω)eiωtdt (2.5)

Diz-se entao que f(t) e f(ω) formam um par de transformadas, indicando isto por

f(t) ↔ f(ω). Ou seja, de um sinal temporal podemos obter o sinal no espaco das

frequencias e vice-versa.

O fato das funcoes de base da serie de Fourier ou, equivalentemente, da integral da

transformada de Fourier (equacao (2.4)), se estender de menos a mais infinito, torna esta

transformada adequada para se estudar um sinal estacionario. Assim, no estudo de sinais

estacionarios, utilizar um filtro do tipo Fourier e uma boa escolha para decompor o sinal

do domınio do tempo em sinais harmonicos simples para o domınio das frequencias. Neste

novo domınio pode-se analisar o sinal e atenuar as frequencias dos sinais indesejados e,

em tese, ao voltar ao domınio temporal pela transformada de Fourier inversa, recupera-se

o sinal sem a presenca de ruıdos e sinais indesejados.

Na figura 2.1.a temos um exemplo de um sinal estacionario simples, f(t) = cos(ν0)

representado em seu domınio temporal e sua analise de Fourier, representada no domınio

das frequencias, onde vemos que sua frequencia e representada por uma delta sobre ν0

22

no espaco das frequencias. Ja na figura 2.1.b temos a funcao f(t) = cos(ν0) dentro de

uma caixa limitada no intervalo [−b/2, b/2] e sua respectiva representacao no espaco das

frequencias, o que ja nos mostra a limitacao da analise de Fourier para analisar sinais

nao-estacionarios.

Figura 2.1: a) Exemplo de (a) um sinal temporal estacionario e sua representacao no

espaco das frequencias obtida pela analise de Fourier do sinal; (b) um sinal temporal nao

estacionario e sua representacao no espaco das frequencias obtida pela analise de Fourier.

Figura adaptada da pagina de internet http://astro.if.ufrgs.br/med/imagens/fourier.htm

[9].

Apesar de ser extremamente util e importante no estudo de sinais estacionarios, a

transformada de Fourier nao pode “visualizar” ou recuperar uma informacao localizada

em um tempo especıfico. Ou seja, a transformada de Fourier e ineficaz para fornecer a

localizacao de um evento no sinal, tal como mudanca de frequencia, descontinuidades,

singularidades e fenomenos transientes em geral.

A limitacao na analise de Fourier advem do fato da transformada de Fourier nao per-

mitir analisar, em separado, trechos diferentes dos sinais [10]. Assim, caso o sinal contenha

23

algum trecho extremamente ruıdoso ou que contenha pontos anomalos, o processamento

de todo o sinal ficara comprometido. E, no caso dos sinais sısmicos da prospeccao de

petroleo, as partes mais importante dos sinais costumam ser os eventos pontuais ou sin-

gularidades presentes no sinal temporal.

Como ferramentas de analise alternativas a Tranformada de Fourier no estudo de sinais

nao-estacionarios ou que contenham descontinuidades pontuais, surgiram outras transfor-

madas espectrais que visam incorporar a analise de um sinal a possibilidade de localizar

um evento no sinal ao mesmo tempo que leva o sinal temporal do espaco dos tempos para

o espaco das frequencias. Vamos estudar brevemente algumas destas transformadas nas

secoes seguintes deste capıtulo.

2.3 A Transformada de Fourier-Gabor

Para cobrir a deficiencia da Transformada de Fourier em estudar sinais nao esta-

cionarios e interessado em representar sinais nao-estacionarios em problemas de comu-

nicacao usando funcoes de base oscilatorias no plano tempo-frequencia, o fısico Dennis

Gabor[11] desenvolveu um metodo que divide o sinal temporal original em partes e realiza

uma analise de Fourier em cada parte em separado.

Este metodo e denominado Transformada Fourier-Gabor ou Transformada de

Fourier Janelada (em ingles Short Time Fourier Transform).

A transformada de Fourier Janelada usa uma funcao auxiliar no integrando da trans-

formada de Fourier que divide o sinal temporal em partes, atraves de janelas de formato

gaussiano, e faz a transformada de Fourier em cada parte do sinal, permitindo obter

informacoes sobre quais frequencias ocorrem em cada parte do sinal.

Matematicamente temos que a transformada de Fourier-Gabor relaciona o sinal tem-

poral f(t) com a funcao de analise gu,ξ(t), conhecida como atomo de Gabor, pela equacao:

f(u, ξ) =

∫ ∞

−∞f(t)g∗u,ξ(t)dt (2.6)

A funcao atomo de Gabor e construıda por uma translacao temporal:

24

gu,ξ(t) = g(t− u)eiξt . (2.7)

Desta forma, a transfomada de Fourier-Gabor e dada por:

f(u, ξ) =

∫ ∞

−∞f(t)g(t− u)e−iξtdt (2.8)

Sendo assim, a transformada de Fourier janelada esta definida no domınio tempo

frequencia (ω, t). E a energia de gu,ξ e concentrada na vizinhanca de u em um intervalo

de tamanho σt e sua transfomada de Fourier e uma translacao por ξ:

gu,ξ(ω) = g(ω − ξ)e−iu(ω−ξ) . (2.9)

A transformada inversa de Fourier Gabor e dada por:

f(t) =1

2π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞f(u, ξ)g(ξ − t)eiξududξ . (2.10)

A funcao gu,ξ(t), da transformada de Fourier-Gabor, e delimitada por uma regiao

e, tambem por isto, conhecida como uma funcao janelada. A energia de gu,ξ(t) esta

concentrada na vizinhanca de u em um intervalo de tamanho σt. E a energia de gu,ξ(t) e

localizada na frequencia ξ em um intervalo de tamanho σω.

No plano tempo-frequencia (t, ω), o espalhamento da energia do “atomo” gu,ξ e repre-

sentado simbolicamente pela “caixa de Heisemberg”, como ilustrado na figura 2.2. Esta

“caixa” esta centrada em (u, ξ) e tem largura σt no tempo e σω na frequencia.

A janela usada na transformada de Fourier janelada e de tamanho fixo. Isto torna

inviavel a analise simultanea das componentes de altas frequencias e de baixas frequencias

do sinal, pois ha um limite, advindo do Princıpio da Incerteza de Heisemberg, para a

localizacao tempo-frequencia do sinal. A variancia temporal σt e a variancia na frequencia

σω do sinal temporal f(t) satisfazem a equacao:

σtσω ≥ 1

4π(2.11)

Sendo assim, uma “boa” localizacao na frequencia (σω pequeno) implica em nao se

ter uma “boa” localizacao no tempo (σt ≥ 1/4πσω ). A localizacao da funcao no domınio

25

Figura 2.2: Representacao simbolica da caixa de Heisemberg no plano tempo-frequencia.

A energia do “atomo” de Gabor esta distribuıda nesta caixa centrada em (u, ξ) e com

larguras σt no tempo e σω na frequencia. Figura reproduzida de LEITE[15].

tempo-frequencia esta representada geometricamente pela dimensao do retangulo σt×σω.

Do princıpio da incerteza temos que a area desse retangulo mostrado na figura 2.2, e

≥ 1/4π.

Na transformada de Fourier janelada, uma vez escolhida uma janela do domınio do

tempo, esta mesma janela tem de ser usada em todas as frequencias. Assim, e possıvel se

analisar sinais que apresentam componentes de frequencias altas ou sinais que apresentam

componentes de frequencias baixa, mas nao sinais que apresentam ambas componentes,

como os sinais geofısicos.

A limitacao na transformada de Fourier janelada fez surgir uma modificacao nessa

transformada, que veio a ser chamada de Transformada Wavelet ou transformada em

ondaleta.

26

2.4 A Transformada em Ondaletas

A Transformada Wavelet ou Transformada em Ondaletas tambem surgiu da

limitacao da analise de Fourier em localizar um evento em um sinal temporal e da limitacao

da transformada de Fourier-Gabor em estudar sinais compostos, simultaneamente, por

bandas de altas e de baixas frequencias.

Devido a esta limitacao da transformada de Fourier janelada em analisar sinais nao

estacionarios e compostos, simultaneamente, por bandas de altas e de baixas frequencias,

Grossmann e Morlet [10] usaram funcoes de analise na base com parametros variaveis σ

e τ relacionados com frequencia e tempo, respectivamente, e que ajustavam as janelas

de analise do sinal, contornando a limitacao da analise de Fourier-Gabor. Assim, as

funcoes de analise sao ajustadas pelos parametros σ e τ dependendo da frequencia que se

deseja analisar, ou seja, para estudar as estruturas de sinais f(t) em tamanhos diferentes,

e necessario usar uma decomposicao em tempo-frequencia com suportes diferentes no

tempo.

A transformada em ondaletas e uma tecnica recente com enorme aplicabilidade no

estudo de funcoes nao-estacionarias e de sinais com transientes ou singularidades, como

e o caso de sinais geofısicos[16]. A enorme utilidade das ondaletas esta na possibilidade

de atuarem como funcoes de base na decomposicao de sinais temporais (funcoes f(t) ∈

L2(IR)) de forma mais eficiente que as bases senoidais do metodo de Fourier e que as

janelas do metodo Fourier-Gabor.

Muitas vezes a transformada em ondaletas e comparada a um microscopio matematico,

pelo fato de proporcionar um efeito tipo lente de aumento que permite localizar, no tempo

e na escala, transientes e singularidades em um sinal temporal. Tornando esta analise

extremamente conveniente para a analise de sinais nao-estacionarios e com sigularidades.

Nesta secao, vamos apresentar e discutir brevemente a transformada contınua em

ondaletas e a transformada discreta em ondaletas e perceber, tambem, suas limitacoes.

27

2.4.1 Transformada Contınua em Ondaletas

A Transformada Contınua em Ondaletas e uma transformacao matematica que

decompoe um sinal temporal f(t) ∈ L2(IR) em funcoes de base denominadas ondaletas

ou wavelets. Esta transformada gera um novo sinal fψ(σ, τ) ∈ L2(IR) que e dependente

dos parametros σ e τ que sao, respectivamente, o parametro de dilatacao/contracao e

o parametro de translacao. Comparando a transformada contınua em ondaletas com a

transformada de Fourier janelada, como veremos a seguir, percebe-se que o parametro τ e

similar ao parametro de localizacao da transformada de Fourier janelada. Ja o parametro

σ nao existe na transformada de Fourier janelada.

A decomposicao da funcao f(t) em termos das ondaletas, pode ser representada pela

equacao:

fψ(σ, τ) =

∫ +∞

−∞f(t)ψ∗

σ,τ (t)dt (2.12)

onde a funcao ψ∗σ,τ (t) e conseguida por dilatacoes (parametro σ) e translacoes (parametro

τ) de uma funcao principal ou funcao prototipo, conhecida por ondaleta mae (ou

wavelet mae), e dada por:

ψ∗σ,τ (t) =

1√|σ|ψ

(t− τ

σ

)(2.13)

onde σ, τ ∈ IR, σ = 0; e o termo1√|σ|

corresponde a um fator de normalizacao da energia

para cada ondaleta, que faz com que cada ondaleta tenha a mesma energia da ondaleta

principal.

A dependencia da ondaleta com os dois parametros, σ e τ , e o que torna esta trans-

formada uma ferramenta eficiente para analisar sinais nao-estacionarios e localizar sin-

gularidades e transientes, pois e possıvel analisar a funcao em um amplo conjunto de

localizacoes temporais e com relacao a um grande conjunto de frequencias.

Na figura 2.3.a ilustramos uma famılia de ondaletas contınuas para diferentes valores

dos parametros σ e τ . Ja na figura 2.3.b ilustramos o espectro de Fourier destas ondaletas.

A ondaleta escolhida e a segunda derivada da gaussiana, tambem conhecida como

Chapeu Mexicano devido a seu formato peculiar. A ondaleta principal ou prototipo usada

28

Figura 2.3: Representacao de uma famılia de ondaletas contınuas (figura (a)) e de seu

espectro de Fourier (figura (b)). Figura reproduzida de MALLAT[16].

para gerar a famılia de ondaletas e ψ1, que esta localizada em τ0 = 0 para uma determinada

escala σ0, ou seja, ψ1 = ψσ0,τ0=0. Observa-se na figura 2.3.a que quando a ψ1 e contraıda

em σ0 →σ02

e transladada para a direita, τ0 → +τ , e gerada a ondaleta ψ2, caracterizada

por ψ2 = ψσ0/2,τ . Ja a ondaleta ψ3 e gerada pela contracao σ0 → σ04

e pela translacao

τ0 → −τ , assim ψ3 = ψσ0/4,−τ .

No espectro de Fourier desta famılia de ondaletas, mostrado na figura 2.3.b, observa-

se que quando e diminuıda a analise do domınio da temporal (tanto em ψ2 quanto em

ψ3 que sao menos espalhadas que ψ1), a analise no domınio das frequencias e deslocada

para frequencias maiores. E, consequentemente, a ondaleta que possui maior suporte no

tempo, ψ1, tem seu espectro de frequencia concentrado em frequencias menores.

29

A transformada em ondaletas, assim como a transformada de Fourier, e inversıvel.

A recuperacao do sinal original e possıvel pela transformada em ondaletas inversa, cuja

expressao matematica e:

f(t) = f−1ψ (σ, τ) =

1

cψ

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞fψ(σ, τ)

1√|σ|ψ

(t− τ

σ

)dτdσ

σ2(2.14)

onde o termo Cψ depende da ondaleta dada e, matematicamente, e escrito na forma:

Cψ =

∫ +∞

−∞

|ψ(ω)|2

|ω|dω <∞ (2.15)

onde o termo |ψ(ω)| e a transformada de Fourier da funcao ψ(t).

A equacao 2.15 e definida como a condicao de admissibilidade da funcao ψ(t), que tem

de satisfaze-la para que a funcao f(t) possa ser reconstruıda sem perda de informacao.

A equacao 2.15 exige, ainda, que ψ(0) = 0 ou∫ +∞−∞ ψ(t)dt = 0, de forma que ψ(t)

muda seu sinal, ao menos, uma vez ao longo de seu domınio e que se anula para t → ∞.

Esta propriedade garante que ψ(t) tem carater ondulatorio.

Por outro lado, levando-se em consideracao a localizacao da energia da funcao ψ,

temos que essa esta localizada numa regiao do plano (τ, ω) e, portanto, no plano (τ, σ),

uma vez que σ ∼ 1/ω. Isto significa que as amplitudes de ψ sao apreciaveis apenas nesta

regiao. Desta forma, a equacao 2.12 mede as flutuacoes do sinal f na vizinhanca de τ , cujo

tamanho e proporcional a escala σ. Se a ondaleta e mais localizada, ou seja, sua energia

esta concentrada em uma pequena regiao do espaco, ela fornece uma melhor representacao

da funcao no plano tempo-frequencia, mas a forma da ondaleta permanece inalterada sob

dilatacao e translacao (como pode ser visto na figura 2.3).

Para compararmos melhor a analise de Fourier-Gabor com a analise em ondaletas,

podemos analisar um esquema ilustrativo da divisao que a transformada em ondaletas

faz do espaco tempo-frequencia (figura 2.4.b) com a divisao do espaco tempo-frequencia

feito pela analise de Fourier-Gabor (figura 2.4.a). As diferentes larguras das janelas (tanto

em tempo quanto em frequencia) permitem a melhor representacao das singularidadese e

30

eventos localizados do sinal temporal quando estudado no domınio tempo-frequencia. Na

figura 2.4.b podemos observar, tambem, o esquema da discretizacao do domınio tempo-

escala para as ondaletas.

Figura 2.4: Esquema ilustrativo da divisao do espaco tempo-frequencia (a) para a trans-

formada de Fourier-Gabor; e (b) para a transformada em ondaletas.

Figura reproduzida de MALLAT[16].

2.4.2 Transformada Discreta em Ondaletas

Vimos, ate agora, que a transformada contınua em ondaletas analisa sinais temporais

a partir de sua representacao em termos de funcoes de base dadas pela equacao 2.13, onde

os parametros σ e τ controlam a largura e a localizacao das funcoes de analise que formam

a base.

Com os parametros σ e τ , a transformada contınua em ondaletas e uma representacao

redundante dos sinais temporais. A diminuicao da redundancia aumenta a eficiencia dos

algoritmos de analise e uma discretizacao dos parametros σ e τ e suficiente para passar

de uma representacao redundante a uma representacao em uma base ortonormal.

Uma escolha adequada para o parametro de escala e σ = σj0, com j ∈ Z e σ0 > 1.

E para o parametro de translacao e τ = kτ0 com k ∈ Z e τ0 > 0. O valor de τ0 deve

31

ser escolhido de modo que as ondaletas ψ(t − kτ0) cubram todo o eixo temporal. Deve-

se perceber tambem, que a discretizacao de τ deve estar relacionada a discretizacao de

σ = σj0, portanto, uma escolha conveniente para τ e da forma τ = kσj0τ0.

Uma classe particular de ondaletas discretas sao as ondaletas com os seguintes valores

numericos para os parametros de translacao e contracao da ondaleta τ0 = 1 e σ0 = 2, de

forma que, temos σ → 2j e τ → 2jk, com (j, k) ∈ Z × Z. Esta notacao conduz a uma

estrutura em escalas (ındice j) e translacoes (ındice k) chamada diadica, que assemelha-

se a uma notacao musical, em que as potencias de 2 estao relacionadas com intervalos

(oitavas) e duracao das notas.

Entao, uma ondaleta discreta e uma funcao ψ(t), tal que a famılia de funcoes

ψj,k(t) =1√2jψ

(t− k2j

2j

)(2.16)

seja uma base ortonormal para o L2(IR) com j e k inteiros.

Da definicao acima, se ψ e uma ondaleta, entao, ψj,k tambem sera para qualquer

j, k ∈ Z.

Os parametros j e k sao quem controlam, respectivamente, as dilatacoes e as

translacoes das ondaletas. Entao, a transformada discreta em ondaletas sera da forma

dj,k =

∫ +∞

−∞f(t)

1√2jψ

(t− k2j

2j

)dt (2.17)

onde os coeficientes gerados dj,k0 sao chamados de coeficientes de detalhe ou coeficientes

ondaletas.

Algoritmos baseados nesta transformada sao usados para analisar sinais temporais que

sao formados por bandas de alta e baixa frequencias e que possuem eventos localizados

no tempo ou singularidades. Estas singularidades sao bem localizadas no espaco tempo-

frequencia, permitindo verificar quais coeficientes da transformada discreta em ondaletas

sao mais importantes na representacao do sinal.

A transformada em ondaletas aplicada a sinais geofısicos, por exemplo, faz com que

os sinais sejam representados em termos de um numero muito grande de coeficientes de

detalhe. Sem contar que, usando a transformada em curvelets, como estudaremos no

capıtulo 3, a imagem/sinal pode ser representada com bem menos coeficientes que na

32

sıntese em ondaletas. Alem disso, o carater direcional da transformada curvelet permite

que a representacao do sinal seja feita atraves de uma operacao que inclui um parametro

angular na funcao de base e permite atenuar melhor os ruıdos e partes indesejadas do

sinal quando comparada a transformada em ondaletas.

33

Capıtulo 3

A Analise Curvelet

3.1 Introducao

No capıtulo anterior comecamos a estudar sinais temporais e as transformadas uti-

lizadas em suas analises. Neste capıtulo vamos dar continuidade ao estudo de trans-

formadas tempo-frequencia estudando um tipo recente de transformada e com inumeras

aplicacoes em diversas areas da ciencia e da tecnologia, a transformada curvelet.

Em todo o corpo desta tese manteremos o termo em ingles, curvelet, para esta trans-

formada pois, por ser uma analise recente, ainda nao ha na literatura uma traducao

adequada para este termo.

Voltando ao estudado no capıtulo anterior, vimos que a analise de Fourier pode ser uti-

lizada para decompor um sinal periodico em termos de senos e cossenos, ou seja, podemos

escrever um sinal periodico como uma combinacao linear de senos e cossenos e descobrir

as frequencias presentes no sinal temporal. A analise de Fourier e extremamente util

no estudo de sinais estacionarios, mas apresenta serias limitacoes ao analisar sinais que

apresentam descontinuidades ou eventos localizados no tempo.

Devido a essa limitacao da analise de Fourier, surgiu a analise de Fourier-Gabor ou

analise de Fourier janelada. Esta analise divide o sinal temporal original em partes e

realiza uma analise de Fourier em cada parte em separado. Nesse tipo de analise, a janela

utilizada tem tamanho fixo, o que torna uma analise simultanea das componentes de altas

e de baixas frequencias inviavel, sendo possıvel realizar apenas um desses tipos de analise

34

e nao os dois simultaneamente.

Da limitacao da analise de Fourier em localizar um evento em um sinal temporal e

da limitacao da transformada de Fourier-Gabor em estudar sinais compostos, simultane-

amente, por bandas de altas e de baixas frequencias, surgiu a analise em ondaletas. Neste

tipo de analise, o sinal temporal ou funcao a ser estudada e representada em termos

de pequenas ondas que sejam localizadas no tempo e que permitem ajustar o tamanho

das janelas de analise do sinal, contornando a limitacao da analise de Fourier-Gabor. A

transformada em ondaletas e uma tecnica recente com enorme aplicabilidade no estudo

de funcoes nao-estacionarias e de sinais com transientes ou singularidades, como e o caso

de sinais geofısicos[16]. No entanto, esta tecnica de analise tambem tem suas limitacoes.

Por exemplo, apesar de representar surpreendentemente bem descontinuidades pontuais

em uma dimensao, a analise em ondaletas apresenta severas restricoes para representar

regioes com descontinuidades superficiais em duas dimensoes, ou seja, descontinuidades

ao longo de curvas, precisando-se de um numero muito grande de coeficientes para tais

representacoes[22] ou mesmo recuperando representacoes imprecisas.

Partindo-se desta limitacao na analise em ondaletas, Candes e Donoho[22] propuseram,

em 1999, uma nova classe de funcoes de base, as curvelets que podem ser utilizadas

na remocao de ruıdos de sinais e imagens, na compressao de sinais, no reconhecimento

de padroes, entre outras aplicacoes. A analise curvelets consiste em representar um

sinal/imagem em termos de funcoes de base que tenham em seus parametros, alem dos

parametros relacionados a frequencia e ao tempo, um parametro angular, dando um

carater direcional a analise e permitindo-se identificar e representar singularidades di-

recionais.

Neste capıtulo vamos definir a transformada curvelet e entender esta analise e suas

propriedades para, no proximo capıtulo, podermos descrever a remocao do ruıdo de rola-

mento superficial usando esse tipo de analise.

35

3.2 Definicao da Transformada Curvelet

A transformada curvelet e uma nova transformada multiescala com um forte carater

direcional que vem sendo largamente utilizada na representacao de objetos, imagens e

sinais que tem descontinuidades ao longo de curvas[22, 23, 24, 25, 26, 27, 28]. Este

carater direcional das curvelets vem do fato delas estarem localizadas, alem do domınio

espacial e de frequencias, em orientacao angular, o que consiste num passo alem da analise

em ondaletas[16]. Nesta secao vamos definir a transformada curvelet contınua e estudar

suas propriedades.

Vamos considerar que as funcoes de base curvelets estao definidas em duas dimensoes,

com variavel espacial x, ω e com r e θ as coordenadas polares no domınio das frequencias.

Assim, considerando o par de janelas W (r) e V (t) que sao, respectivamente, a “janela

radial” e a “janela angular” e que sao, ambas, suaves, nao-negativas e reais, com W

tomando argumentos reais e positivos com suporte r no intervalo (1/2, 2) e V tomando

argumentos reais com suporte em t ∈ [−1, 1].

Estas janelas obedecerao as condicoes de admissibilidade:

+∞∑j=−∞

W 2(2jr) = 1, r ∈(34, 32

)(3.1)

+∞∑l=−∞

V 2(t− l) = 1, t ∈(−1

2, 12

)(3.2)

Para cada j ≥ j0, o que significa dizer que estamos trabalhando com as escalas “finas”

das curvelets, introduziremos as janelas de frequencia Uj definida no domınio de Fourier

por:

Uj(r, θ) = 2−3j/4W (2−jr)V

(2⌊j/2⌋θ

2π

)(3.3)

onde ⌊j/2⌋ e a parte inteira de j/2. Desta forma, o suporte de Uj e uma “fatia” polar

definida pelo suporte de W e V , ou seja, e uma janela com largura dependente da escala

em cada direcao.

O sinal ou imagem a ser analisado deve ser decomposto em termos destas janelas agular

e radial, de modo que em cada janela seja aplicada a analise curvelet. Para visualizarmos

36

essas janelas em um sinal/imagem a ser estudado, vamos considerar que o espaco de

frequencia, a partir de sua origem, em camada de frequencia definidas por 2j < W < 2j+1,

de modo que o espaco de frequencia fica decomposto em camadas como na figura 3.1.a. Ja

a decomposicao do espaco de frequencia para a construcao da janela angular e a segunda

decomposicao diadica e, por isto, feita no espaco ja decomposto na escala radial de modo

que temos (W,V ) ≤ 2−j/2. Esta decomposicao e mostrada na figura 3.1.b. Assim, o

suporte das curvelets e como uma fatia parabolica neste espaco de frequencia sob as

decomposicoes em escala radial e angular. Na figura 3.1.c a area sombreada representa

esta fatia parabolica do espaco que e dependente de escala em cada direcao, onde as

curvelets tem seu suporte definido e onde cada analise sera feita sobre a imagem/sinal.

Para obtermos as curvelets reais que atuam sobre este espaco de frequencia decom-

posto, iremos trabalhar com a versao simetrica da equacao (3.3), ou seja, trabalharemos

com:

Uj(r, θ) = Uj(r, θ + π) (3.4)

Para definirmos as funcoes curvelets, vamos considerar que temos a funcao φ(x), a

“curvelet mae”, pois todas as curvelets na escala 2−j sao obtidas por rotacoes e translacoes

de φj. Assim, as curvelets:

i) apresentam uma sequencia igualmente espacada de angulos de rotacao θl = 2π ·

2−⌊j/2⌋ · l, com l = 0, 1, . . . , tal que 0 ≤ θl < 2π. Devemos ressaltar que o

espacamento entre angulos consecutivos sao dependentes de escala.

ii) e a sequencia dos parametros de translacao k = (k1, k2) ∈ Z2.

Com o estabelecimento dessas notacoes, vamos definir as curvelet como funcoes de

x = (x1, x2) na escala 2−j, com orientacao θl e posicao x(j,l)k = R−1

θl, por:

φj,l,k(x) = φj

[Rθl

(x− xj,lk

)](3.5)

onde Rθ e a matriz de rotacao de θ em radianos e R−1θ sua inversa, que tambem e igual a

sua transposta:

37

Figura 3.1: Decomposicao diadica do espaco de frequencia. Na figura (a) temos esta

decomposicao em termos da janela radial; na figura (b) temos esta decomposicao em

termo das janelas radial e angular; ja na figura (c) temos que a area sombreada e a fatia

do espaco de Fourier onde as curvelets tem seu suporte definido. Figura adaptada da

pagina de internet http://www.math.washington.edu/ hart/uwss.pdf [29].

Rθ =

cos θ senθ

−senθ cos θ

, (3.6)

38

o que nos da:

R−1θ = RT

θ = R−θ (3.7)

Entao, um coeficiente curvelet e definido como sendo o produto interno entre a funcao

f que representa o sinal e a curvelet φj,l,k. Ou seja:

c(j, l, k) = ⟨f |φj,l,k⟩ =∫R2

f(x)φj,l,k(x)dx (3.8)

Como a transformada curvelet opera no domınio da frequencia, podemos usar o teo-

rema de Plancherel e expressar o produto interno da equacao (3.8) como uma integral

sobre o plano frequencia:

c(j, l, k) =1

(2π)2

∫f(x)φj,l,k(ω)dω =

1

(2π)2

∫f(x)Uj(Rθlω)e

⟨x(j,l),ωk ⟩dω . (3.9)

Para o caso de escalas mais “grosseiras” (0 ≤ j ≤ j0), podemos introduzir um filtro

do tipo passa-baixa, W0, que obedece a equacao:

|W0(r)|2 +∑j≥jo

|W (2−jr)|2 = 1 (3.10)

E para k1, k2 ∈ Z, definimos a curvelet de escala “grossa” como:

φj0,k(x) = φj0(x− 2−j0k) (3.11)

φj0(ω) = 2−j0 |ω| (3.12)

Destas equacoes percebemos que as curvelets na escala “grossa” sao nao direcionais,

ou seja, no maior fator de escala as curvelets sao simetricas.

A Transformada curvelet, portanto, consiste dos elementos direcionais de escala fina,

(φj,l,k)j≥j0,l,k, e dos elementos nao-direcionais de escala grossa, (φj0,k)k. Os elementos

aos quais deve-se dar maior atencao nas analises sao os elementos direcionais, pois deles

pode-se obter informacoes que nao sao possıveis de se obter de outras transformadas

tempo-frequencia.

39

3.3 Propriedades da Transformada Curvelet

A transformada curvelet tem algumas propriedades importantes que devemos ressaltar

nesta secao para entendermos melhor a analise de sinais utilizando este tipo de transfor-

mada.

3.3.1 Tight frame

Um conjunto de funcoes e chamado de tight frame se, mesmo nao sendo um conjunto

ortonormal de funcoes, funciona da mesma forma que uma base ortonormal e e possıvel

expandir uma funcao ou sinal em termos deste conjunto de funcoes. Ou seja, esse conjunto

de funcoes chamado de tight frame funciona como um prototipo ou arcabouco do espaco

de funcoes.

As funcoes curvelet funcionam como se fossem uma base ortonormal, na qual e possıvel

expandir um sinal ou funcao arbitraria f(x1, x2) ∈ L2R2 como uma serie de curvelets dada

por:

f =∑j,k,l

⟨f |φj,l,k⟩φj,l,k (3.13)

Esta igualdade vale no espaco de todas as funcoes de quadrado integraveis L2 e, por-

tanto, tambem e valida a relacao de Parseval:

∑j,k,l

|⟨f, φj,l,k⟩|2 = ||f ||2L2(R)2 (3.14)

onde as somas nas equacoes (3.13) e (3.14) sao feitas em todas as escalas.

3.3.2 Parametro de escala parabolico

Dada uma funcao curvelet, φi, bem localizada no espaco de frequencia, isto significa

que a funcao espacial φj(x) tem um decaimento rapido dentro do retangulo de 2−j por

2−j/2 com o eixo maior apontando na direcao vertical.

O comprimento e a largura efetiva do retangulo obedecem a uma relacao de escala

onde:

40

comprimento ≈ 2−j/2, largura ≈ 2−j (3.15)

ou seja, temos que:

largura ≈ (comprimento)2 (3.16)

3.3.3 Comportamento oscilatorio

Como podemos perceber pela definicao da transformada curvelet, φj, esta funcao e

suportada a partir do eixo vertical (ω1 = 0), exceto no eixo horizontal (ω2 = 0). Em

outras palavras, a funcao φj(x) e oscilatoria na direcao x1 e um passa-baixa na direcao

x2.

Assim, na escala 2−j, uma curvelet e uma estrutura cujo envelope e uma determinado

cume de comprimento efetivo 2−j/2 e largura 2−j e que exibe comportamento oscilatorio

ao longo do cume principal.

3.3.4 Momentos nulos

O molde das funcoes curvelet φj e dito ter q momentos nulos quando:

∫ +∞

−∞φj(x1, x2)x

n1dx1 = 0 (3.17)

para todo 0 ≤ n < q, para todo x2.

Esta mesma propriedade e valida para curvelets giradas, ou seja, quando tomamos x1

e x2 como coordenadas giradas correspondentes.

Observe que a integral da equacao (3.17) e calculada na direcao perpendicular ao cume,

de modo que a contagem de momentos nulos e uma forma de quantificar o comportamento

oscilatorio das curvelets.

No domınio de Fourier, a equacao (3.17) torna-se uma linha de zeros com algumas

multiplicidades. Ou seja:

∂nφj∂ωnj

(0, ω2) = 0 (3.18)

41

para todo0 ≤ n < q, para todo ω2.

As curvelets tem um numero infinito de momentos nulos, pois possuem suporte com-

pacto fora da origem no plano da frequencia, como ilustrado na figura 3.1.

3.4 Transformada Curvelet Discreta

3.4.1 Definicao

Ao trabalharmos e analisarmos sinais em geral nao estamos estudando funcoes

contınuas. Na verdade, estaremos estudando e analisando sinais discretos. Mesmo as-

sim, como toda transformada podemos, a partir do caso contınuo, definir a forma discreta

da transformada curvelet e trabalhar com ela para analisar nossos sinais ou funcoes. As

definicoes e conceitos aqui expressos foram construıdos a partir do trabalho de Candes e

Donoho, 2005[26].

A transformada curvelet discreta, assim como a transformada contınua, e linear. Ela

utiliza como dados de entrada vetores cartesianos da forma f [t1, t2], com 0 ≤ t1, t2 <

n. Isto nos permite pensar nos dados de saıda da transformada como uma colecao de

coeficientes cD(j, k, l) obtida pelo analogo discreto da equacao (3.8), ou seja, obtidos por:

cD(j, k, l) =∑

0≤t1,t2<n

f [t1, t2]φDj,l,k[t1, t2] (3.19)

onde φDj,l,k e um pequeno pacote de onda digital.

3.4.2 Coronizacao discreta

Dada a definicao da transformada curvelet discreta, falta-nos entender (visualizar) a

representacao diadica discreta do espaco de frequencia onde essa transformada atua, que

tambem e chamada de coronizacao discreta do espaco de frequencia.

Na definicao contınua da transformada curvelet (equacao (3.3)), a janela Uj extrai

suavemente frequencias proximas da coroa diadica (2j ≤ r ≤ 2j+1) e proximo do angulo

42

(−π·2−j/2 ≤ θ ≤ π·2−j/2). Porem, coroa e rotacoes nao sao conceitos facilmente adaptados

para representar linhas e colunas cartesianas.

Na transposicao do contınuo para o discreto e conveniente substituir esses conceitos

por equivalentes discretos/cartesianos. Assim, a coroa cartesiana e baseada em quadrados

concentricos e cisalhados. Por exemplo, o analogo cartesiano da famılia (Wj)j≥0,Wj(ω) =

W (2−jω) e uma janela da forma:

Wj(ω)√Φ2j+1(ω)− Φ2

j(ω) (3.20)

para j ≥ 0 e onde Φ e definido como o produto de uma janela unidimensional passa-baixa:

Φj(ω1, ω2) = ϕ(2−jω1)ϕ(2−jω2) (3.21)

A funcao ϕ, que vale 0 ≤ ϕ ≤ 1, obedece a condicao de ser igual a 1 no intervalo

[−1/2, 1/2] e nula fora do intervalo [−2, 2]. Deste modo, temos que:

Φ0(ω)2 +

∑j≥0

W 2j (ω) = 1 (3.22)

As equacoes acima nos mostram como separar as escalas. Para termos a representacao

diadica discreta precisamos construir a localizacao angular.

Suponha que a janela angular V seja definida como no caso contınuo, isto e, seja dada

pela equacao (3.2). Estabelecendo que:

Vj(ω) = V (2⌊j/2⌋ω2/ω1) (3.23)

Assim, podemos usar Wj e Vj para definirmos a janela do espaco de frequencia da

transformada curvelet discreta:

Uj(ω) = Wj(ω)Vj(ω) (3.24)

Desta equacao, vemos facilmente que Uj isola frequencias proximas da fatia {(ω1, ω2) :

2j ≤ ω1 ≤ 2j+1, −2−j/2 ≤ ω2/ω1 ≤ 2−j/2} e e uma janela cartesiana equivalente a janela

do caso contınuo.

Introduzindo, agora, o conjunto de inclinacoes igualmente espacadas

43

tan θl = l · 2⌊j/2⌋ (3.25)

onde l = −2⌊j/2⌋, . . . , 2⌊j/2⌋ − 1. Assim, podemos definir:

Uj,l(ω) = Wj(ω)Vj(Sθlω) (3.26)

onde Sθ e a matriz cisalhamento

Sθ =

1 0

− tan θ 1

(3.27)

Os angulos θl nao sao igualmente espacados, mas as inclinacoes sao. Assim, as janelas

Uj,l preenchem o espaco de frequencia do caso discreto como um ladrilhamento concentrico

cuja geometria e mostrada na figura 3.2.

Figura 3.2: Decomposicao diadica do espaco de frequencia da transformada curvelet dis-

creta. A regiao sombreada representa uma fatia tıpica deste espaco localizada pela janela

Uj,l.

44

3.5 As funcoes curvelets

Ate o momento, neste capıtulo, definimos a transformada curvelet na forma contınua

e tambem na discreta e vimos que podemos representar sinais ou funcoes em geral em

termos de funcoes bases chamadas de funcoes curvelets. Falta-nos, agora, conhecer a cara

destas funcoes.

De ummodo pratico, podemos pensar nas curvelets como sendo funcoes obtidas atraves

de dilatacoes, rotacoes e translacoes parabolicas de uma funcao de forma especıfica φ.

As curvelets sao indexadas pelos parametros de escala (j), de orientacao (l) e de

localizacao (k), de modo que podemos pensar numa funcao curvelet como:

φa,b,θ(x) =1

4√a3

ΨDaRθ(x−b) , (3.28)

onde Da e uma matriz de escala parabolica; Rθ e a rotacao em radianos e, para (x1, x2) ∈

R2, Ψ(x1, x2) e algum tipo de perfil admissıvel.

E possıvel decompor e reconstruir uma funcao arbitraria f(x1, x2) como uma super-

posicao de curvelets em varias escalas, posicoes e orientacoes. E exatamente isto que

faremos no proximo capıtulo, onde iremos decompor um sinal sismologico em termos de

funcoes curvelet e, apos suprimirmos a parte indesejada do sinal (o ruıdo de rolamento su-

perficial), iremos reconstruir o sinal de forma que este representara as estruturas internas

do subsolo.

De um modo geral, as funcoes curvelets podem ser discretizadas fazendo-se:

aj = 2−j, j = 0, 1, 2, . . . (3.29)

θj,l = 2πl · 2−j/2, l = 0, 1, . . . , 2j/2 − 1 (3.30)

b(j,l)k = Rθj,l(k12

−j, k22−j/2), k1, k2 ∈ Z (3.31)

desta forma, temos que

45

φj,l,k = φaj ,b

(j,l)k θj,l

(3.32)

A colecao de funcoes curvelets φj,k,l obedece a:

f =∑j,k,l

⟨f |φj,l,k⟩φj,l,k (3.33)

e

||f ||2L2=

∑j,k,l

|⟨f |φj,l,k⟩|2 (3.34)

Assim, como pudemos perceber no decorrer deste capıtulo, a analise curvelet permite

levar qualquer sinal ou funcao estudada do espaco dos tempos para o espaco curvelet, que

e um espaco de frequencias que esta dividido em escalas e setores angulares dentro de cada

escala. A divisao desse espaco curvelet, quer na forma contınua ou na forma discretizada,

permite uma melhor decomposicao e analise de funcoes e sinais que tenham um forte

carater direcional ou que apresentem singularidades superficiais. Como os sinais sısmicos

tem estruturas com um forte carater direcional e apresentam inumeras singularidades

superficiais, pareceu-nos natural que a analise curvelet pudesse ser aplicada para o estudo

de sinais sısmicos, como o fizemos e descrevemos no proximo capıtulo desta tese.

46

Capıtulo 4

Remocao de Ruıdo Sısmico usando

Analise Curvelet

4.1 Introducao

A prospeccao de petroleo, como vimos no primeiro capıtulo desta tese, e uma das

tarefas mais importantes e mais complicadas na industria de petroleo, devido ao pouco

conhecimento que ainda se tem sobre as estruturas do interior da crosta terrestre e ao

grande grau de incerteza que advem das sondagens.

O principal metodo indireto usado no estudo das estruturas geologicas do subsolo

terrestre e na prospeccao de petroleo e a exploracao sısmica. Esta exploracao consiste

em gerar ondas sısmicas que se propaguem no subsolo e capta-las apos suas reflexoes e

refracoes e, em seguida, analisa-las e interpreta-las para determinar a estrutura do subsolo.

A analise e interpretacao desses dados e uma tarefa de extrema complexidade, devido

a grande quantidade de ruıdo presente nos sinais sısmicos obtidos por tal procedimento.

A principal fonte de ruıdo presente nos sinais sısmicos e o ruıdo de rolamento superficial

que, como descrito no capıtulo 1 desta tese, e responsavel por um percentual consideravel

da energia que chega ao geofones (ou hidrofones) e, desta forma, esta presente com grande

intensidade nos sinais sısmicos sem trazer qualquer informacao sobre a estrutura interna

do subsolo terrestre.

As tecnicas e transformadas usadas para analisar dados sısmicos tem como objetivo

47

separar o ruıdo do sinal de interesse, eliminar o primeiro e reconstruir o segundo com

informacoes mais precisas acerca da estrutura geologica estudada.

Neste quarto capıtulo de nossa tese vamos descrever, com um bom nıvel de detalhes,

como a transformada curvelet, definida e estudada no capıtulo anterior, pode ser utilizada

para analisar os dados sısmicos para remover o ruıdo de rolamento superficial e recons-

truir o sinal de interesse. Ou seja, vamos descrever como a transformada curvelet foi

implementada para ser utilizada na analise de sinais sısmicos e na remocao do ruıdo de

rolamento superficial desses sinais. E perceberemos, tambem, as principais vantagens da

analise curvelet em relacao, por exemplo, a analise em ondaletas.

A analise de sinais ou funcoes utilizando a transformada curvelet esta estruturada com

tres principais passos que podem ser explicitados como:

(1) decomposicao do sinal no espaco curvelet;

(2) deteccao e remocao dos coeficientes que representam o ruıdo de rolamento superficial

em seus respectivos setores angulares no espaco curvelet;

(3) reconstrucao do sinal apos a extracao do ruıdo.

Em cada uma das tres secoes a seguir, descrevemos esses passos do processo de analise

curvelet de um sinal e na ultima secao do capıtulo explicamos esse procedimento aplicado

a um dado sintetico e mostramos o resultado obtido.

Este capıtulo e o proximo sao baseados no artigo original fruto do trabalho desen-

volvido ao longo desse doutoramento e que serve de referencia para esta tese[30]. Nesse e

no proximo capıtulo explicamos, com mais detalhes, a estrutura da analise curvelet apli-

cada a dados sısmicos e os resultados dessa analise, tanto para um dado sintetico (este

capıtulo) quanto para um dado sısmico real (proximo capıtulo).

48

4.2 Analise Curvelet e a decomposicao do sinal

O primeiro passo executado pela analise curvelet e a decomposicao do sinal ou funcao

a ser estudada no espaco curvelet.

Neste passo devemos escrever o sinal ou funcao como uma combinacao linear de funcoes

curvelets, ou seja, devemos escrever o sinal na forma da equacao (3.13), aqui reproduzida:

f =∑j,k,l

⟨f |φj,l,k⟩φj,l,k (4.1)

e determinar os coeficientes ⟨f |φj,l,k⟩ que correspondem a esta decomposicao.

A decomposicao desses dados sısmicos e feita aplicando-se a transformada rapida dis-

creta em curvelet[28], que consiste em obter o produto interno no domınio de Fourier, ou

seja, os coeficientes de cada combinacao de escala e angulo serao dados, de acordo com o

Teorema de Plancherel, por:

cj,l,k = ⟨f, ϕj,l,k⟩ = ⟨f , ϕj,l,k⟩ (4.2)

onde f e ϕ sao as transformadas de Fourier do sinal, f , e da funcao curvelet, ϕ, respecti-

vamente.

O algoritmo usado para a decomposicao Curvelet, ou seja, o algoritmo usado para

descrever o sinal em termos de suas componentes no espaco curvelet, cria uma estru-

tura de dados organizada da seguinte forma: os coeficientes Curvelets correspondentes a

determinada escala e determinado angulo sao armazenados em uma matriz de tamanho

m× n, ou seja, para cada combinacao de escala e angulo teremos uma matriz. Esse tipo

de procedimento, onde para cada combinacao de angulo e escala temos uma matriz de

coeficientes de tamanho m× n, requer, para o caso de dados sısmicos dos tamanhos con-

siderados na analise de sinais sısmicos usuais, uma boa disponibilidade de memoria para

armazenamento de dados, no entanto, como a analise curvelet mostrou-se mais economica,

em termos de numero de coeficientes, que a analise em ondaletas[25], por exemplo, os re-

sultados de analise feitos utilizando-se curvelets devem trazer resultados mais precisos que

os resultados obtidos via uma analise em ondaletas, mesmo que esta ultima possa ter sido

adaptada para reconhecer singularidades direcionais.

49

O tamanho m × n de cada matriz de coeficientes depende da escala e do angulo

correspondente. Para as escalas mais finas, por exemplo, teremos matrizes maiores, uma

vez que sao gerados mais coeficientes para essas escalas.

O angulo das Curvelets tambem influi na quantidade de linhas e colunas usadas em

cada matriz de coeficientes da analise curvelet e e determinada pelo algoritmo utilizado

para decomposicao do sinal no espaco curvelet.

A decomposicao realizada nos nossos dados resulta em apenas 1 angulo disponıvel

para a 1a escala, 16 para a 2a escala, 32 para a 3a escala, 32 para a 4a escala, 64 para

a 5a escala e assim por diante, dobrando o numero de angulos a cada 2 escalas, mas a

tıtulo de exemplo, se realizarmos uma decomposicao em que a 1a escala possua 16 angulos

disponıveis, a 2a escala 32 angulos e a 3a escala 32, teremos 16+32+32 = 80 matrizes de

coeficientes somente nestas tres escalas. Cada posicao na matriz contendo um coeficiente

corresponde a uma determinada regiao do sinal bidimensional.

A localizacao dessa regiao na imagem esta diretamente relacionada com a posicao

do coeficiente correspondente na matriz. Assim, por exemplo, o elemento da 1a linha

e 1a coluna contem o coeficiente correspondente a regiao mais a esquerda e mais acima

na imagem. O tamanho dessa regiao de influencia da Curvelet depende diretamente da

escala. Escalas mais grosseiras terao coeficientes correspondentes a regioes maiores e,

portanto, representados por matrizes menores, uma vez que podemos dividir a imagem

em um menor numero de regioes. Da mesma forma, escalas menores ou mais finas terao

coeficientes correspondentes a regioes menores na imagem e, desta forma, representado

por matrizes maiores.

Tendo-se feito a decomposicao do sinal no espaco curvelet, passaremos as etapas

seguintes da analise curvelet dos sinais sısmicos.

50

4.3 Identificacao e remocao do ruıdo

Nesta segunda etapa da analise curvelet dos sinais sısmicos, identificamos e apagamos

os coeficientes da decomposicao do sinal no espaco curvelet que correspondem ao ruıdo

de rolamento superficial para que possamos reconstruir o sinal sem qualquer contribuicao

desse ruıdo ou, pelo menos, com uma contribuicao mınima de ruıdo para o sinal.

A analise curvelet implementada em nosso trabalho se baseia na premissa de que

os dados sısmicos e imagens possuem uma representacao esparsa x0 no domınio das

curvelets[31]. Desta forma, os dados reais sempre podem ser expressos na forma:

y = Ctx0 + n (4.3)

onde que Ct e a transformada curvelet inversa e n e um ruıdo Gaussiano, ou seja, um

ruıdo com forma gaussiana que esta presente nos dados.

A identificacao deste ruıdo a ser eliminado e que, no caso de nossos dados, corresponde

ao ruıdo de rolamento superficial presente em dados sısmicos, pode ser realizada por meio

de testes visuais ou de analises estatısticas.

O ruıdo de rolamento superficial devido a disposicao dos geofones/hidrofones usados

na coleta dos dados e tambem devido a forma como e gerado (como discutido no capıtulo

1 desta tese) aparece geometricamente com a forma de um cone central nos sismogramas

de sondagem sısmica, como mostrado na figura 1.8. Assim, uma analise visual dos sinais

visando a eliminacao do ruıdo de rolamento superficial de dados sısmicos poderia ser feita

gerando-se uma tabela de imagens da reconstrucao do sinal para cada combinacao de

escala e angulo e entao identificar as escalas e angulos com maior presenca de ruıdo.

Estatisticamente, temos a opcao de comparar os coeficientes das energias nos angulos

em cada escala. Os angulos com quantidades de energia semelhantes devem corresponder

a um mesmo padrao de ruıdo ou de informacao geologica e assim, identificando-se um

angulo onde a presenca do ruıdo seja certa, determinamos a energia presente neste angulo,

eliminamos sua contribuicao para a reconstrucao da imagem/sinal sem ruıdo e eliminamos

tambem dessa reconstrucao todos os angulos com contribuicao semelhante de energia para

o sinal.

51

Precisamos comparar a amplitude de energia do ruıdo de rolamento superficial com

a amplitude da energia carregada pelas ondas refletidas nas interfaces entre as camadas

geologicas, que sao os sinais de interesse para a reconstrucao do sinal. Para essa com-

paracao, usamos em nossa analise curvelet, dos sinais sısmicos, a energia como sendo o

somatorio do quadrado de seus coeficientes curvelets. Assim, a expressao para a energia

usada e, entao, dada por:

Ej =∑l,k

∣∣⟨f, ϕj,l,k⟩∣∣2 (4.4)

onde Ej e a energia total na escala j. Assim, para calcular a energia do ruıdo de rola-

mento superficial ou das ondas refletidas numa escala fazemos a soma sobre os coeficientes

angulares l correspondentes a essa escala. No proximo capıtulo, quando discutiremos a

analise de dados usando a transformada curvelet, voltaremos a tratar da energia presente

em cada escala no espaco curvelet e tambem calcularemos explicitamente e discutiremos

a razao entre a energia do ruıdo de rolamento superficial e das ondas refletidas em um

dado real, explicitando os valores encontrados nessa comparacao para um dado real.

Apos alguns testes para o conjunto de dados sısmicos sinteticos que tınhamos

disponıvel, identificamos que os coeficientes curvelet correspondentes ao ruıdo de rola-

mento superficial sao os coeficientes com angulos mais proximos da horizontal indepen-

dentemente da escala estudada.

Assim, em cada escala estudada e representando o espaco curvelet nesta escala por

um cırculo fechado, iremos eliminar a contribuicao dos coeficientes dos quatro angulos

mais proximos a horizontal pois esses coeficientes correspondem ao ruıdo de rolamento

superficial. Por exemplo, como veremos explicitamente na figura 4.2, na escala j = 2 os

angulos mais proximos a horizontal sao os angulo 6, 7, 14 e 15, portanto os seus coeficientes

curvelets serao zerados e eles nao contribuirao para a reconstrucao do sinal.

Nestes testes e durante a identificacao e remocao do ruıdo, percebemos que no espaco

das Curvelets e muito mais facil a separacao dos padroes sısmicos gerados por fenomenos

fısicos distintos. Isto ocorre devido a boa adequacao da representacao em Curvelets com

os padroes oscilatorios presentes nos dados sısmicos.

52

Apos a identificacao das escalas e angulos correspondentes ao ruıdo de rolamento

superficial, procedemos a remocao dos seus coeficientes. Isto e realizado simplesmente

zerando-se todos os elementos das matrizes correspondentes a cada combinacao de escala

e angulo identificados. Passamos a ter entao, para essas combinacoes de angulos e escalas,

matrizes nulas que nao representarao nenhuma contribuicao ao sinal apos a reconstrucao.

Percebemos entao a simplicidade do algoritmo utilizado para a analise curvelet de dados

sısmicos devido a boa representacao que o espaco das Curvelets proporciona a esse tipo

de dado.

4.4 Reconstrucao do sinal

A reconstrucao do sinal e a terceira etapa da analise curvelet. Nessa etapa o sinal

sısmico, apos ter sido decomposto no espaco curvelet e ter tido os coeficientes corre-

spondente ao ruıdo de rolamento superficial eliminados, e reconstruıdo apenas com as

componentes de interesse. Ou seja, se pensarmos no sinal em termos da equacao (4.3),

apos reconstrui-lo teremos apenas o primeiro termo desta equacao que nos da o sinal de

interesse ou o sinal limpo.

Notamos que todo o processo da analise curvelet e executado sem qualquer atenuacao

artificial. Os coeficientes angulares correspondentes ao ruıdo de rolamento superficial sao

completamente removidos da imagem sısmica.

4.5 Procedimento para remocao de ruıdo de rola-

mento superficial

Nas secoes precedentes descrevemos como a analise curvelet, que devido a seu carater

angular deve ser mais adequada a analise de sinais que contenha singularidades superfici-

ais, e utilizada para remover o ruıdo de rolamento superficial de dados sısmicos.

Para implementacao e teste deste metodo de analise em dados sısmicos, foi usado um

53

dado sintetico que simula sinais sısmicos. Neste dado sintetico, onde consta a presenca

de reflexoes com velocidades aparentes distintas, resultando em diferentes inclinacoes no

sismograma, sendo uma com inclinacao mais acentuada representando o sinal do ruıdo de

rolamento superficial. Tambem foi incluıdo um ruıdo sintetico neste conjunto de dados.

O objetivo da analise curvelet aqui implementada e remover a reflexao mais acentuada,

que corresponde ao ruıdo de rolamento superficial, e preservar as reflexoes de interesse.

Utilizando o algoritmo da analise Curvelet foi possıvel identificar o angulo de inclinacao

da reflexao indesejada e, com isto, este angulo teve seus coeficientes zerados. Em seguida,

restauramos a imagem sem a presenca deste sinal.

Na figura 4.1 temos o dado sintetico usado para testar o metodo de analise curvelet

em sinais sısmicos. Especificamente, na figura 4.1.a temos o dado sintetico com reflexoes

horizontais representando as camadas litologicas do subsolo onde ocorrem as reflexoes

de interesse e tambem com um traco com maior inclinacao que representa o ruıdo de

rolamento superficial presente neste dado sintetico. Na figura 4.1.b temos o dado sintetico

filtrado, onde e mostrado o sinal reconstruıdo pela analise curvelet. Ja na figura 4.1.c e

mostrado apenas o ruıdo que foi removido do dado sintetico por nossa analise.

O procedimento para executar essa limpeza a partir da transformada Curvelet e sim-

ples. Vamos entender esse procedimento.

54

Figura 4.1: Nesta imagem podemos verificar na figura (a) o dado sintetico com reflexoes

horizontais representando as camadas litologicas e um traco com maior inclinacao que

pode ser melhor visualizado na figura (c) simulando o comportamento do ruıdo de rola-

mento superficial. Na figura (b) temos o dado sintetico limpo em que a reflexao destacada

ja foi removida.

A transformada curvelet permite decompor o sinal primeiramente em escalas e, a

seguir, em zonas angulares. Na figura 4.2, por exemplo, podemos verificar a distribuicao

de padroes para conjuntos de zonas angulares selecionados na escala 2. Os graficos em

forma de pizza, na parte superior da figura, indicam as zonas angulares selecionadas e

cujos padroes sao mostrados a partir de uma reconstrucao parcial a partir dos coeficientes

das respectivas escala e zonas angulares na parte inferior da figura.

55

Figura 4.2: Distribuicao de padroes para conjuntos de zonas angulares selecionados na

escala 2. Na parte superior da figura temos os angulos selecionados nessa escala e na parte

inferior temos a reconstrucao parcial do sinal para esses angulos nessa escala.

Por exemplo, a ultima coluna desta figura demonstra o padrao referente aos angulos

2, 3, 10 e 11 da escala 2, que sao as partes marcadas do grafico em forma de pizza na

parte superior dessa coluna. Na parte inferior da coluna, temos a reconstrucao parcial

do dado sısmico, vemos que o padrao correspondente a estas zonas angulares representa

uma reflexao horizontal. Se visualizarmos esse padrao como uma onda em propagacao, a

sua frente de onda estaria se propagando em uma direcao vertical. Isto ja era esperado,

ja que esses angulos correspondem a curvelets com padrao oscilatorio com direcoes mais

proximas a vertical. Vale ressaltar que nenhum dos angulos (2, 3, 10 e 11) se ajusta

perfeitamente a vertical, por isso dizemos que eles estao mais proximos a vertical ou que

56

estao aproximadamente na vertical.

Para encontrar os padroes desejados em cada escala foi utilizada uma analise da dis-

tribuicao de energia, conforme a definicao dada pela equacao (4.4), nos diferentes angulos

de cada escala. Uma quantidade de energia maior, concentrada em determinadas zonas

angulares indica que os sinais referentes a estas zonas estao mais presentes, ou sao mais

fortes, na determinada escala.

Na figura 4.3, vemos a distribuicao de energia, conforme a equacao (4.4), para os

diferentes angulos da escala 2. Podemos ver, pelo grafico polar, que, para o caso da escala

2, a energia esta mais concentrada nos angulos correspondentes aos padroes de oscilacao

mais proximos a vertical.

Figura 4.3: Distribuicao de energia para os diferentes angulos da escala 2.

Pela analise das reconstrucoes parciais do sinal na escala 2 para cada conjunto de

angulos (reconstrucoes parciais mostradas na figura 4.2) e tambem da distribuicao de

57

energia (mostrada na figura 4.3) pudemos escolher o conjunto de angulos da escala 2 a

serem utilizados na reconstrucao do sinal sısmico de interesse. Esse conjunto de angulos

e mostrado na figura 4.4, onde vemos que apenas os angulos mais proximos a horizontal

foram excluıdos por nossa analise.

Figura 4.4: Conjunto de angulos da escala 2 cujos coeficientes foram selecionados para a

reconstrucao de parte do sinal indicado na figura 4.1.b.

A analise descrita acima e que foi feita para a escala 2, tambem foi feita para as escalas

3, 4 e 5, para nos permitir uma reconstrucao acurada do sinal de interesse e excluir o ruıdo

de rolamento superficial em todas as escalas.

Nas figuras 4.5 a 4.13 verificamos os resultados dessa analise, como a descrita para a

escala 2, para as escalas 3, 4 e 5. Estas escalas sao mais finas que a escala 2 e, portanto,

possuem um numero maior de angulos disponıveis e sua analise precisa ser mais criteriosa.

Na figura 4.5 temos a distribuicao de padroes para conjuntos de zonas angulares se-

lecionados na escala 3. Na parte superior da figura temos os angulos selecionados nessa

escala e na parte inferior temos a reconstrucao parcial do sinal para esses angulos.

Como podemos verificar visualmente, a presenca no sismograma sintetico da estru-

tura determinada pelo ruıdo de rolamento superficial tem angulos bem mais proximos a

horizontal (primeira coluna da figura 4.5) e, portanto, sao estes angulos que devem ser

58


escala 3.

excluıdos da reconstrucao do sinal.

Na figura 4.6 vemos a distribuicao de energia para os diferentes angulos da escala 3.

Nesta figura percebemos que a distribuicao de energia para a escala 3 tambem e maior nos

angulos proximos a horizontal, embora possamos visualizar uma razoavel contribuicao de

energia para angulos intermediarios.

Essa analise de energia corrobora o fato de que, para a reconstrucao do sinal, os angulos

excluıdos da escala 3 devem ser apenas os angulos mais proximos a horizontal, ou seja,

apenas os angulos 12, 13, 28 e 29.

Na figura 4.8 temos a distribuicao de padroes para conjuntos de zonas angulares sele-

cionados na escala 4. Na parte superior da figura temos, tambem, os angulos selecionados

59


Figura 4.7: Conjunto de angulos da escala 3 cujos coeficientes foram selecionados para a

reconstrucao de parte do sinal indicado na figura 4.1.b.

nessa escala e na parte inferior temos a reconstrucao parcial do sinal para esses angulos

nessa escala.

As estruturas apresentadas em cada conjunto de angulos sao muito parecidas, vi-

60


escala 4.

sualmente falando, com as estruturas apresentadas para a escala 3. Podemos ver isto

comparando as figuras 4.5 (escala 3) e 4.8 (escala 4). Assim, podemos concluir tambem

que a presenca da estrutura determinada pelo ruıdo de rolamento superficial, a estrutura

em forma de cone com angulo acentuado, e bem mais marcante nos angulos proximos a

horizontal (primeira coluna da figura 4.8) e, portanto, estes angulos devem ser excluıdos

da reconstrucao do sinal.

Na figura 4.9 vemos a distribuicao de energia para os diferentes angulos da escala 4.

Nesta figura percebemos que a distribuicao de energia para a escala 4 tambem e maior

nos angulos proximos a horizontal. A contribuicao de energia nos angulos mais afastados

da horizontal (intermediarios) e comparativamente menor que na escala 3.

61


Tambem na escala 4, essa analise de energia indica, junto com a analise das estruturas

das reconstrucoes parciais do sinal, que, para a reconstrucao do sinal, os angulos excluıdos

da escala 4 devem ser apenas os angulos mais proximos a horizontal, ou seja, apenas os

angulos 12, 13, 28 e 29.

Na escala 5, por esta ser uma escala mais fina, o numero de angulos e o dobro das

escalas 3 (ou 4). A analise das estruturas presentes em cada grupo de angulos foi feita,

na figura 4.11 apresentamos as estruturas apenas para alguns poucos grupos de angulos.

Nesta analise foi perceptıvel que nos angulos mais proximos a horizontal (24, 25, 56, e 57)

nao ha contribuicao significativa devida a reflexoes de ondas por estruturas litologicas, ou

seja, a parte do sinal mostrada na primeira coluna da figura 4.11 e, provavelmente, devida

ao ruıdo sintetico inserido nesse dado de teste. Ja a presenca da estrutura determinada

pelo ruıdo de rolamento superficial, a estrutura com angulo mais acentudo, e marcante

62

Figura 4.10: Conjunto de angulos da escala 4 cujos coeficientes foram selecionados para

a reconstrucao de parte do sinal indicado na figura 4.1.b.

nos outros angulos proximos a horizontal (23, 26, 55 e 58), como podemos ver na segunda

coluna da figura 4.11. Portanto, todos esses angulos onde as contribuicoes dos ruıdos

sintetico e de rolamento superficial sao importantes devem ser excluıdos da reconstrucao

do sinal.

Na escala 5 vemos, de forma mais dramatica, a partir da analise da distribuicao de

energia (figura 4.12), a separacao entre os diferentes padroes do sinal. O padrao mostrado

nessa figura, referente a angulos mais inclinados, compoe quase toda a energia presente

nesta escala, o que nos confirma que podemos excluir, sem perdas para o sinal sısmico de

interesse, os angulos proximos a horizontal no espaco curvelet.

Na figura 4.13 e mostrado o conjunto de angulos selecionados na escala 5 para a

resconstrucao do sinal.

Amorim[34] utilizou o metodo de Decomposicao em Modos Empıricos (EMD) para de-

compor este mesmo conjunto de dados sinteticos em eventos distintos. O resultado obtido

foi semelhante. O metodo EMD decompoe o sinal em sinais de oscilacao simples (modos),

de forma analoga aos metodos da transformada em ondaletas e da transformada Curvelet

63


escala 5.

e, desta forma, pode tambem ser aplicado a sinais nao-lineares e nao-estacionarios. A

diferenca e que, no caso do metodo EMD, as bases sao retiradas do proprio dado. Esse

metodo tambem foi aplicado, de forma satisfatoria, a dados de uma bacia sedimentar

terrestre.

A vantagem da transformada Curvelet para dados sısmicos e que sua intuitiva natureza

anisotropica e bem adaptada aos padroes gerados por diferentes refletores, alem de sua na-

tureza multiescala, que permite focar em diferentes frequencias e, portanto, deve fornecer

dados mais precisos e confiaveis ao analisarmos sinais sısmicos reais. No capıtulo a seguir

discutiremos a analise de dados feita aplicando-se a analise curvelet a sinais sısmicos reais.

64


65

Figura 4.13: Conjunto de angulos da escala 5 cujos coeficientes foram selecionados para

a reconstrucao de parte do sinal indicado na figura 4.1.b.

66

Capıtulo 5

Analise de dados reais usando

transformada curvelet

5.1 Introducao

Os sinais sısmicos ou sismogramas obtidos em sondagens sısmicas sao uma crucial

fonte de informacoes acerca da estrutura geologica do subsolo terrestre e sua analise e

interpretacao nos permite, entre outras coisas, localizar e avaliar o potencial de jazidas

de petroleo nessa importante e difıcil tarefa relacionada a prospeccao de petroleo.

As varias tecnicas de analise que sao atualmente utilizadas na remocao de ruıdos

dos sinais sısmicos e, sobretudo, do principal ruıdo presente nos sinais sısmicos, o ruıdo

de rolamento superficial, acabam fornecendo resultados imprecisos quer sejam por nao

conseguir remover a contento esse ruıdo ou por distorcer os sinais e imagens reconstruıdos

apos a analise.

Uma boa ferramenta recente de analise de sinais sısmicos e a transformada em ondale-

tas, que pode ser utilizada para a analise de sismogramas dando bons resultados[15], no

entanto, da propria definicao da transformada em ondaletas, esse tipo de analise nao e bem

adequada ao reconhecimento de singularidades superficiais[22] e, em analise de imagens

e sinais com este tipo de singularidade, como e o caso dos sinais sısmicos, os resultados

poderiam ser melhores usando-se uma analise baseada na transformada curvelet que, por

seu carater direcional, esta mais adequada a recuperar sinais que possuam singularidades

67

superficiais.

O metodo implementado nos trabalhos desta tese para se analisar sinais sısmicos

usando a transformada curvelet foi explicado e testado no capıtulo anterior para um

conjunto de dados sinteticos, mostrando-se muito eficaz em separar os padroes relaciona-

dos ao ruıdo de rolamento superficial dos padroes referentes a reflexoes de ondas por

camadas geologicas, no entanto, para comprovarmos a eficacia do metodo em analisar

sinais sısmicos, precisamos testa-lo para um conjunto de dados reais e o fazemos neste

capıtulo, onde explicamos, novamente, o procedimento de analise devido as peculiaridades

e diferencas que ha entre a analise de um dado sintetico e a analise de um dado real.

E importante ressaltarmos novamente que, para um dado real que envolva singulari-

dades superficiais como os dados sısmicos, a vantagem da transformada Curvelet e que

sua intuitiva natureza anisotropica e bem adaptada aos padroes gerados por diferentes

refletores, alem de sua natureza multiescala, que permite focar em diferentes frequencias

e, portanto, deve fornecer dados mais precisos e confiaveis ao analisarmos sinais sısmicos

reais.

5.2 O dado sısmico real versus dado sintetico

No capıtulo anterior usamos um dado sısmico sintetico para explicar e testar a imple-

mentacao da analise curvelet em sismogramas. Para testarmos, efetivamente, a analise

curvelet, neste capıtulo vamos aplica-la a um conjunto de dados reais.

Para efeitos de comparacao, colocamos lado a lado na figura 5.1 um exemplo de sis-

mograma do dado sintetico e um exemplo de sismograma do dado real.

Comparando as estruturas apresentadas nos dois sismogramas podemos ver que no

dado sintetico as reflexoes devido a camadas geologicas (sinal de interesse) aparecem

como linhas horizontais retas enquanto que no sismograma real tais reflexoes apareem

como hiperboles proximas a horizontal. Vemos tambem que, nos dois sismogramas, a

estrutura devida ao ruıdo de rolamento superficial aparece como um padrao macroscopico

triangular que e completamente diferente, tanto no dado sintetico quanto no dado real,

68

Figura 5.1: Figura comparativa entre sismogramas. Na figura (a) temos um exem-

plo de sismograma sintetico; e na figura (b) temos um exemplo de sismograma real.

Nos dois sinais, o ruıdo de rolamento superficial aparece com uma estrutura triangular

macroscopica.

do padrao referente as reflexoes por camadas geologicas.

Embora, por uma primeira analise visual, pareca mais simples separar o padrao do

sinal de interesse do ruıdo no sismograma sintetico, a analise curvelet separara muito bem

estes padroes no sismograma real e poderemos reconstruir o sismograma somente com o

padrao de reflexao devido as estruturas geologicas.

69

5.3 A extracao do ruıdo de rolamento superficial do

dado sısmico real

Sabe-se que os sinais/imagens obtidos nas sondagens sısmicas do subsolo tem um forte

componente de ruıdo e o objetivo das analises utilizadas para limpar essas imagens e

remover esse ruıdo que e gerado por ondas de superfıcie e e chamado de ruıdo de rolamento

superficial.

A analise curvelet implementada para se analisar dados sısmicos no trabalho desta tese

de doutorado, mostrou-se eficiente para recuperar o sinal sısmico, eliminando o ruıdo de

rolamento superficial, em um dado sintetico, como mostrado no capıtulo anterior.

Vamos agora mostrar e explicar a extracao seletiva do ruıdo de rolamento superficial

utilizando curvelets em um dado real. O resultado obtido esta resumido na figura 5.2,

onde e mostrado o dado original real que foi analisado (figura 5.2.a), o dado filtrado que e

o sinal de interesse ja sem o ruıdo e obtido como resultado de nossa analise (figura 5.2.b)

e o padrao referente ao ruıdo de rolamento superficial que foi excluıdo do dado em nossa

analise (figura 5.2.c).

Neste passo, escrevemos o sinal ou funcao como uma combinacao linear de funcoes

curvelets.

A decomposicao desses dados sısmicos e feita aplicando-se a transformada rapida dis-

creta em curvelet[28], que consiste em obter o produto interno no domınio de Fourier,

como descrito no capıtulo anterior para o dado sintetico. O procediemnto e exatamente

o mesmo.

Apos a decomposicao do sinal sısmico no espaco curvelet, fazemos a sua analise em cada

escala para determinarmos quais os coeficientes correspondentes ao ruıdo de rolamento

superficial e, desta forma, zera-los no espaco curvelet para que, ao reconstruirmos o sinal,

este ruıdo tenha sido completamente atenuado.

A figura 5.3, mostra a analise visual feita para alguns conjuntos de angulos da escala

j = 2. Nesta figura e mostrado, na parte superior da figura, um grafico na forma de pizza

70

Figura 5.2: Figura contendo: (a) o dado original real a ser analisado; (b) o dado filtrado

(sinal de interesse); e (c) o padrao referente ao ruıdo de rolamento superficial que foi

excluıdo do dado.

com o conjunto de angulos selecionados destacados em vermelho e, na parte inferior da

figura, e mostrada a distribuicao de padroes ou estruturas do sinal referentes aos angulos

escolhidos para essa escala.

Nessa figura (figura 5.3) vemos, por exemplo, que o ruıdo de rolamento superficial e

dominante nessa escala, para angulos proximos a horizontal. Portanto, nessa escala, os

angulos proximos a horizontal terao seus coeficientes zerados para a reconstrucao do sinal

analisado.

Essa conclusao pode ser corroborada pela analise de energia feita nessa escala, como

podemos ver na figura 5.4. Nessa figura percebemos que, embora o ruıdo de rolamento

superficial seja dominante para os angulos proximos a horizontal, em relacao a distribuicao

de energia nessa escala, o ruıdo nao e dominante nessa escala. Veja comparando a energia

71




dos angulos 6, 7, 14 e 15 com a energia dos outros angulos da escala 2.

Na verdade, a contribuicao de energia para a escala nos angulos proximos a horizontal

(angulos 6, 7, 14 e 15), que sao os angulos correspondentes ao ruıdo de rolamento super-

ficial, e de apenas 7,9% em relacao a contribuicao para a energia das ondas nos outros

angulos (ondas refletidas por estruturas geologicas) que e de 92,1%.

A contribuicao da energia em cada angulo dessa escala foi calculada via equacao (4.4)

e, para a energia do ruıdo de rolamento superficial foram somadas as energias dos angulos

6, 7, 14 e 15 e dividiu-se o valor pela energia total da escala. Enquanto que para a

energia correspondente as reflexoes em estruturas geologicas foi somada a energia dos

72

outros angulos da escala, dividindo-se o resultado obtido pela energia total da escala.


Assim, o conjunto de angulos selecionados na escala 2 para a reconstrucao do sinal

sısmico real sao os angulos marcados em vermelho na figura 5.5.

Para a escala j = 3, temos, na figura 5.6, a analise visual feita para alguns conjuntos

de angulos. Na parte superior desta figura sao mostrados os graficos na forma de pizza que

representam os conjuntos de angulos selecionados (marcados em vermelho) para cada co-

luna e, na parte inferior da figura, sao mostradas as distribuicoes de padroes ou estruturas

do sinal referentes aos angulos escolhidos em cada grafico-pizza correspondente.

Nessa figura (figura 5.6) vemos, assim como para a escala 2, que o ruıdo de rolamento

superficial e dominante na escala 3, para angulos proximos a horizontal. Portanto, tambem

nessa escala, os angulos proximos a horizontal terao seus coeficientes zerados para a

recontrucao do sinal analisado.

73

Figura 5.5: Conjunto de angulos da escala 2 (marcados em vermelho) cujos coeficientes

foram selecionados para a reconstrucao do sinal sısmico real.

Da analise de energia, mostrada na figura 5.7, e dos calculos de contribuicao de ener-

gia do ruıdo de rolamento superficial para a energia total da escala, vemos que a energia

correspondente ao ruıdo de rolamento superficial nesta escala e subdominante em relacao

a contribuicao de energia das ondas refletidas por estruturas geologicas. Numericamente,

temos que 17,6% da energia da escala e referente ao ruıdo de rolamento superficial, en-

quanto 82,4% corresponde ao sinal de interesse. Na tabela 5.1 temos esses percentuais de

energia do ruıdo e do sinal nas escalas estudadas.



Repetindo o procedimento acima descrito para a escala 4, temos na figura 5.9 a dis-

tribuicao de padroes para conjuntos de zonas angulares selecionados. Na parte superior

da figura temos os angulos selecionados (marcados em vermelho) e na parte inferior temos

a reconstrucao parcial do sinal para os angulos correspondentes nessa escala.

Nessa figura (figura 5.9) vemos, novamente, que o ruıdo de rolamento superficial esta

presente somente para angulos proximos a horizontal. Portanto, tambem nessa escala, os

74




angulos proximos a horizontal terao seus coeficientes zerados para a recontrucao do sinal

analisado.

Da analise de energia, mostrada na figura 5.10, e dos calculos de contribuicao de energia

do ruıdo de rolamento superficial para a energia total da escala, vemos que a energia

correspondente ao ruıdo de rolamento superficial nesta escala e dominante em relacao a

contribuicao de energia das ondas refletidas por estruturas geologicas. Numericamente,

temos que 68,1% da energia da escala 4 e referente ao ruıdo de rolamento superficial,

enquanto 31,9% corresponde ao sinal de interesse. Como ja foi dito, na tabela 5.1 reunimos

esses percentuais de energia do ruıdo e do sinal nas escalas estudadas.

75


Assim, o conjunto de angulos selecionada na escala 4 para a reconstrucao do sinal


Considerando a analise feita para a escala j = 5, temos a figura 5.12 onde e mostrada a

distribuicao de padroes para conjuntos de zonas angulares selecionados. Na parte superior

da figura temos, assim como nos casos anteriores, os angulos selecionados (marcados em

vermelho) e na parte inferior temos, novamente, a reconstrucao parcial do sinal para os

angulos correspondentes nessa escala.

Nessa figura (figura 5.12) vemos que, tambem na escala 5, o ruıdo de rolamento superfi-

cial esta presente somente para angulos proximos a horizontal. E importante ressaltarmos

que, embora na escala 5 o numero de angulos (64 angulos) seja o dobro do numero de

angulos das escalas 3 e 4 e quatro vezes o numero de angulos da escala 2, o numero de

angulos proximos a horizontal onde ha contribuicao do ruıdo de rolamento superficial

76



para o sinal e o mesmo das escalas anteriores. Isto porque, embora o ruıdo de rolamento

superficial apareca nos sismogramas como uma estrutura triangular bastante inclinada

quando olhamos para uma escala mais fina do espaco das curvelets este ruıdo aparece

quase como linhas verticais (linhas proximas a horizontal no grafico de pizza da analise

angular). O carater direcional da transformada curvelet permite apagar estes setores

quase verticais. Destacamos ainda que o setor angular do ruıdo de rolamento superficial

pode mudar dependendo da distancia entre os geofones, e o tempo de amostragem no eixo

vertical.

Da analise de energia, mostrada na figura 5.13, e dos calculos de contribuicao de energia

do ruıdo de rolamento superficial para a energia total da escala, vemos que a energia

correspondente ao ruıdo de rolamento superficial nesta escala e dominante em relacao a

contribuicao de energia das ondas refletidas por estruturas geologicas. Numericamente,

temos que 76,3% da energia da escala 5 e referente ao ruıdo de rolamento superficial,

enquanto 23,7% da energia corresponde ao sinal de interesse.


77


escala 4. Na parte superior da figura temos os angulos selecionados (marcados em ver-

melho) nessa escala e na parte inferior temos a reconstrucao parcial do sinal para os



Nesta analise de um sinal sısmico real, implementada e realizada no trabalho original

desta tese, excluimos o ruıdo de rolamento superficial de um sismograma a partir da

decomposicao desse sinal no espaco das curvelets. Na figura 5.15 e mostrada a componente

do ruıdo de rolamento superficial que foi removida, em cada escala, pela analise e que,

somando-se, da a contribuicao total desse ruıdo que foi extraıda do sinal. Na parte

superior da figura temos os angulos correspondentes ao ruıdo de rolamento superficial em

cada escala (cırculos cheios) e na parte inferior da figura temos a estrutura correspondente

78


ao ruıdo de rolamento superficial em cada escala.

Vale ressaltar novamente que a simetria angular do ruıdo de rolamento superficial no

espaco das curvelets e completamente diferente da simetria angular relacionada as reflexoes

por estruturas geologicas, por isto torna-se facil a remocao desse ruıdo do sismograma via

analise curvelet.

Referente ao balanco energetico entre o ruıdo de rolamento superficial e as ondas

refletidas em estruturas geologicas, na tabela 5.1 temos o resumo desse balanco, em termos

percentuais, para as escalas de j = 2 a j = 5, onde a energia foi separada em dois grupos:

GR, a energia do ruıdo de rolamento superficial (sigla da expressao em ingles Ground

Roll); e RW, a energia das ondas refletidas (da expressao em ingles Reflected Waves).

79



Escala 2 3 4 5

GR 7.9 17.6 68.1 76.3

RW 92.1 82.4 31.9 26.7

Tabela 5.1: Balanco de energia (em porcentagem) para as escalas 2 ≤ j ≤ 5. O GR

representa a energia do ruıdo de rolamento superficial; e RW a energia das ondas refletidas.

E interessante neste sistema considerar a relacao sinal/ruıdo para comparar as ampli-

tudes do ruıdo de rolamento superficial com as amplitudes do sinal de interesse que e refe-

rente as ondas refletidas que estao espalhadas nas interfaces entre as camadas geologicas.

Para realizar esta analise, usamos a energia do sinal como a soma do quadrado dos coefi-

cientes curvelet, como explicitado na equacao (4.4) aqui reproduzida:

Ej =∑k,l

|⟨f, ϕj,k,l⟩|2 (5.1)

Pelos dados da tabela 5.1 vemos que a informacao geologica esta, principalmente, nas

80

Figura 5.12: Distribuicao de padroes para conjuntos de zonas angulares selecionados

na escala 5. Na parte superior da figura temos os angulos selecionados (marcados em

vermelho) nessa escala e na parte inferior temos a reconstrucao parcial do sinal para os


escalas j = 2 e 3, enquanto as informacoes referentes ao ruıdo de rolamento superficial

domina o sinal para j = 4 e 5. Nos nao colocamos na tabela 5.1 a escala j = 1 porque

o ruıdo de rolamento superficial domina as informacoes nesta escala e como so ha um

angulo para esta escala, as informacoes dessa escala sao removidas pela analise.

Na tabela 5.2 temos a distribuicao de energia (em porcentagem) para as cinco escalas.

Nesta tabela, mostramos, tambem, a energia para os dois padroes: GR, para a energia

do ruıdo de rolamento superficial; e RW, a energia das ondas refletidas. Na ultima linha

dessa tabela mostramos a porcentagem de energia em cada escala. Na ultima coluna da

81


tabela mostramos a energia total dos dois padroes, o ruıdo de rolamento superficial soma

quase 60% da energia total da imagem sısmica.

Scale 1 2 3 4 5 Total

GR 1.9 1.1 2.4 12.3 40.5 58.1

RW 0 12.4 11.1 5.7 12.6 41.9

Total 1.9 13.5 13.5 18.0 53.1 100

Tabela 5.2: Distribuicao de energia (em porcentagem) para as escalas 1 ≤ j ≤ 5. O

GR representa a energia do ruıdo de rolamento superficial; e RW, a energia das ondas

refletidas. Na ultima coluna e representada a energia total destes dois padroes.

82



Pelas informacoes da tabela 5.2, percebemos que a distribuicao de energia e bastante

impressionante quando pensamos que 60% da energia do sinal original deve ser removida

para revelar o verdadeiro conteudo geologico da imagem. Alem disso, cerca da metade do

total de energia esta concentrada na escala j = 5, que e dominado pelo ruıdo de rolamento

superficial.

5.4 Supressao do ruıdo de rolamento superficial:

analise em ondaletas versus analise curvelet

No trabalho de Leite e colaboradores[15], os autores usaram um filtro baseado na

analise em ondaletas, com a Transformada de Karhunen-Loeve para realizar a supressao

do ruıdo de rolamento superficial em sinais sısmicos, obtendo bons resultados. Entre-

tanto, devido as limitacoes da analise em ondaletas, como nao descrever bem descontinui-

dades superficiais de uma imagem, por exemplo, na referida analise foi necessario, antes

83

Figura 5.15: Componentes do ruıdo de rolamento superficial para as escalas de j = 2

a j = 5. Na parte superior da figura temos os angulos correspondentes em cada escala

(cırculos cheios) e na parte superior da figura temos a estrutura correspondente ao ruıdo

de rolamento superficial em cada escala.

de aplicar o filtro a imagem sısmica, determinar, no espaco dos tempos, a regiao onde

aparecem as estruturas devidas ao ruıdo de rolamento superficial e limitar essa regiao da

imagem para aplicar o filtro baseado na analise em ondaletas apenas nessa regiao, com um

fator constante de atenuacao de energia para cada ponto dessa regiao. Alem disso, esses

autores detacam que o ruıdo de rolamento superficial esta mais concentrado em algumas

escalas (j = 4, 5). Assim, apesar dessa analise em ondaletas apresentar bons resultados,

e um pouco restrita, pois mesmo identificando regioes/escalas do espaco de frequencias

onde o ruıdo de rolamento superficial esta presente, acaba atuando atenuando, nessas

escalas, tambem parte das estruturas referentes ao sinal de interesse que estao presentes

84

nessas escalas e, para supressao do ruıdo de rolamento superficial dos sinais sısmicos acaba

utilizando-se de um fator de atenuacao artificial que acaba atenuando parte das imagens

referentes as estruturas geologicas de interesse nas regioes proximas a regiao onde o ruıdo

esta presente.

Assim, nos trabalhos dessa tese, tivemos avancos significativos em relacao ao trabalho

de Leite e colaboradores, porque nos pudemos identificar os setores angulares dentro de

cada escala em que o ruıdo de rolamento superficial esta presente e atenuar, de forma bem

mais restritiva, o ruıdo sem atenuar ou atenuando minimamente o sinal de interesse, ou

seja, desse fato temos a grande vantagem em se usar a analise curvelet ao inves da analise

em ondaletas para suprimir o ruıdo de rolamento superficial em imagens sısmicas. Na

analise curvelet que tem um carater direcional e angular, ao se levar o sinal para o espaco

de curvelet que e dividido em escalas e setores angulares, consegue-se separar muito bem

as estruturas do sinal que foram geradas pelo ruıdo de rolamento superficial das estruturas

geradas por reflexoes nas camadas geologicas, e a supressao do ruıdo ocorre praticamente

sem a supressao de qualquer parte do sinal de interesse.

85

Capıtulo 6

Conclusoes e Perspectivas

O ruıdo de rolamento superficial, presente nos sismogramas obtidos por exploracao

sısmica do subsolo, tem energia dominante em relacao ao sinal de interesse e precisa

ser removido ou suprimido dos sismogramas para uma boa analise e estudo destes. Ha

diversos metodos e analises que podem ser utilizados para essa tarefa, mas os resultados

nao costumam ser satisfatorios devido as limitacoes.

A analise curvelet, estudada e implementada nesta tese, por ter um carater direcional

e dividir o espaco de frequencia em escalas e setores angulares, permite, de forma natural,

o estudo e analise de imagens/sinais que possuam singularidades ao longo de superfıcies,

ou seja, e uma escolha natural para se estudar e analisar sinais sısmicos e remover o ruıdo

de rolamento superficial.

O metodo, baseado na analise curvelet, de supressao do ruıdo de rolamento superficial

em sinais sısmicos foi implementado e testado nos trabalhos desta tese. Tanto para um

dado sintetico quanto para um dado real, o metodo conseguiu remover o ruıdo de rola-

mento superficial dos sinais sem atenuacao significativa do sinal de interesse. Isto ocorre

pelo fato de que, no espaco das curvelets, esse ruıdo aparece em setores angulares, de cada

escala, bastante diferenciados dos setores onde o sinal de interesse esta presente, desta

forma, para a remocao do ruıdo, basta zerar a contribuicao dos setores onde o ruıdo esta

presente para a constituicao do sinal e o ruıdo sera removido. Dessa forma, podemos

destacar que a tarefa de filtragem do ruıdo de rolamento superficial e bem realizada pela

86

analise curvelet, pois a simetria angular do ruıdo de rolamento superficial, no espaco das

curvelets e bastante diferente da simetria angular das informacoes geologicas de inter-

esse. Na verdade, esse ruıdo mostra padroes com caracterıstica de linhas quase verticais

no espaco das curvelets, enquanto as camadas geologicas sao hiperboles muito abertas.

Estas simetrias diferentes permitem localizacoes angulares diferentes dos dois padroes e

uma consequente separacao dos coeficientes angulares usando-se curvelets. E, mais ainda,

este metodo de supressao do ruıdo de rolamento superficial nao depende de nenhum fator

de atenuacao artificial para suprimir ou remover o ruıdo das imagens sısmicas, o que e

um diferencial muito importante em relacao a outros metodos utilizados e que acabam

obtendo resultados nao tao bons.

Como o caso da analise em ondaletas, que, por nao descrever bem descontinuidades su-

perficiais de uma imagem, mesmo adaptada acaba tendo algumas restricoes na supressao

do ruıdo de rolamento superficial de sinais sısmicos pois, antes de aplicar o filtro a imagem

sısmica, faz-se necessario determinar, no espaco dos tempos, a regiao onde aparecem as

estruturas devidas ao ruıdo de rolamento superficial e limitar essa regiao da imagem para

aplicar o filtro baseado na analise em ondaletas apenas nessa regiao, com um fator cons-

tante de atenucao de energia para cada ponto dessa regiao. Assim, apesar dessa analise

em ondaletas apresentar bons resultados, e um pouco restrita, pois mesmo identificando

regioes/escalas do espaco de frequencias onde o ruıdo de rolamento superficial esta pre-

sente, acaba atenuando, nessas escalas, tambem parte das estruturas referentes ao sinal

de interesse que estao presentes nessas escalas.

Assim, usando-se a analise curvelet para remover o ruıdo de rolamento superficial

de sinais sısmicos, tivemos avancos significativos em relacao aos outros metodos, porque

conseguimos identificar os setores angulares dentro de cada escala em que o ruıdo de

rolamento superficial esta presente e atenuar, de forma bem mais significativa, o ruıdo

sem atenuar ou atenuando minimamente o sinal de interesse, ou seja, desse fato temos

a grande vantagem em se usar a analise curvelet ao inves de outros metodos de analise

para suprimir o ruıdo de rolamento superficial em imagens sısmicas. Na analise curvelet

que tem um carater direcional e angular, ao se levar o sinal para o espaco de curvelet que

e dividido em escalas e setores angulares, consegue-se separar muito bem as estruturas

87

do sinal que foram geradas pelo ruıdo de rolamento superficial das estruturas geradas

por reflexoes nas camadas geologicas, e a supressao do ruıdo ocorre praticamente sem a

supressao de qualquer parte do sinal de interesse.

Para concluir, na presente tese, procuramos avancar em um problema muito impor-

tante da industria do petroleo que e a remocao do ruıdo de rolamento superficial em

imagens sısmicas. Mostramos um metodo que nao depende de um fator de atenuacao

artificial para realizar a reducao do ruıdo e, alem disso, apresentamos uma discussao

quantitativa da distribuicao de energia ao longo de escalas e setores angulares. No futuro,

pretendemos aplicar a mesma metodologia para outros problemas de eliminacao de ruıdo

na industria de petroleo, como a reflexao de multiplas.

88

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TESE DE DOUTORADO ANALISE S ISMICA USANDO TRANSFORMADA … · (Transformada de Fourier) ou para o...

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