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Aquí se define el primer invariante de los grupos de matrices (es decir, aquello que no cambia a través de un isomorfismo), su dimensión. Se describe el vector tangente a un grupo de matrices G como y'(0) para alguna curva diferenciable y en G con y(0)=I. El conjunto T_G de todos los vectores tangentes es mostrado como un espacio vectorial, un subespacio real de Mn (K) (K en {R,C,H}). Se muestra que la dimensión de T_G (como espacio vectorial real) es la dimensión de G. Se definen los homomorfismos suaves y se muestra que estos inducen mapeos lineales de los espacios tangentes.