Teoría de colas

Teoría de colas

Alternativa a estudios de simulación

Aplicación a problemas con estructura especial

Sistemas con esperas

Relaciones exactas para valores de interés

Si la variabilidad tiene formas determinadas

En otros casos, aproximaciones

Eficiencia computacional

Aún cuando se tengan relaciones aproximadas

1M.A.B.D

Teoría de colas

Conceptos básicos:

Cola, sistema al que

Llegan clientes (aleatoriamente),

que son servidos (con duración aleatoria)

Capacidad limitada

Si está totalmente ocupada, clientes esperan

Distintos órdenes de atención a clientes

Se puede escoger el orden para los que estén esperando

2M.A.B.D

Teoría de colas

Ejemplos: Empresas de servicios:

Colas en un banco

Hipermercados

Hospitales

Administración

Transporte

Aterrizaje de aviones

Trenes

Congestión de carreteras

Telecomunicaciones

3M.A.B.D

Teoría de colas

Tratamiento:

Cola simple

Información necesaria:

Tiempo entre llegadas, Ti

Tiempo de servicio, Si , y número de servidores n

Disciplina de servicio

4

n

M.A.B.D

Teoría de colas

Cantidades de interés

Relacionadas con clientes

Número de clientes en el sistema, N

Número de clientes esperando, N

Relacionadas con tiempos

Tiempo de paso por el sistema, S

Tiempo de espera, W

Medidas de capacidad del sistema

Tiempo desocupado de servidores, I

5M.A.B.D

Teoría de colas

Resultados para estado estacionario

Comportamiento estable de la cola

Si se observa pasado un tiempo muy largo

Si se inicia la cola con la distribución adecuada, esta no

cambia

Resultados para régimen transitorio

Más complejos

Ecuaciones diferenciales (Khinchine-Pollacek)

Menos útiles

6M.A.B.D

Teoría de colas

Relaciones básicas

Relación entre tiempos medios y número medio de clientes

Ley de Little:

E [N ] = E [W ]donde es la tasa de llegadas externas

Aplicaciones

7M.A.B.D

Teoría de colas

Objeto del estudio

Relaciones para obtener valores de salida

Valores medios y distribuciones de

Números de clientes

Tiempos

En función de valores de entrada

Valores medios y distribuciones de

Tiempos entre llegadas

Tiempos de servicio

8M.A.B.D

Teoría de colas

Relaciones

Más generales

Entre varios valores de salida

Ley de Little: números de clientes y tiempos

Independientes de la distribución

Más específicas

Valores de salida en función de valores de entrada

Dependientes de la distribución

9M.A.B.D

Teoría de colas

Ley de Little

Justificación:

Se observa una cola durante un tiempo largo, t

En ese tiempo, se tienen nT llegadas al sistema,

nT t

Tiempo de paso acumulado de todas las llegadas,

v = i Pi

Promedio v/nT E [S ]

Promedio v/t E [N ]

10M.A.B.D

Teoría de colas

Resultados más detallados

Bajo hipótesis sobre cola

Caso más simple (cola M/M/1):

Tiempos entre llegadas con distribución exponencial, E [T ] = 1/

Tiempos de servicio con distribución exponencial, E [S ] = 1/

1 servidor

Disciplina: FCFS (se atiende primero a quien primero llega)

11M.A.B.D

Teoría de colas

Resultados:

Probabilidad de tener n clientes en la cola:

(1 - ) n , = /

Número medio de clientes en la cola:

E [N ] = /(1 - )

Tiempo medio de espera:

E [W ] = (1/) 2/(1 - )

12M.A.B.D

Teoría de colas

Justificación para N:

Balance de probabilidad

Tasas de salida de un estado iguales a tasas de entrada

P(N = k)( + ) = P(N = k+1) + P(N = k-1)

P(N = 0) = P(N = 1)

Despejando recursivamente

P(N = 1) = P(N = 0), P(N = 2) = 2P(N = 0), ...

Condición adicional, k P(N = k) = 1

Única solución del sistema (infinito)

13M.A.B.D

Teoría de colas

Justificación para W:

W = 0 si al llegar el cliente la cola está vacía (N = 0)

Probabilidad 1 -

W = i Si si N > 0 (vars. independientes)

Empleando funciones características

Condicionada a que se produzca espera:

Exponencial con parámetro (1 - )

14M.A.B.D

Teoría de colas

Cola M/M

Más de un servidor, M/M/n

La misma justificación sigue siendo válida

Probabilidades para el número en cola, N:

si k < n entonces C (n)k/k!

si k n entonces C knn /n!

Constante C se determina para que las probabilidades sumen 1

15M.A.B.D

Teoría de colas

Aplicación:

Cola de supermercado:

80 clientes/h.

Servicio: 40 s./cliente

Número medio de clientes

80/60 = = 0,89 E [N ] = = 8

60/40 1 -

16M.A.B.D

Teoría de colas

Ejemplo: supermercado

Tiempo medio de espera:

1 2 1 (8/9)2

E [W ] = = = 5,33 min 1- 80/60 1-8/9

Con dos cajeros en operación:

Doble cola y clientes se reparten (40cl./h.)

40/60 = = 0,44 E [N ] = 0,8 E [W ] = 0,53

60/40

17M.A.B.D

Teoría de colas

Ejemplo: supermercado

Estrategia más eficiente: cola simple y los clientes son

atendidos por el primer cajero disponible

= 0,44 E [N ] = 1,11 E [W ] = 0,16

Se ahorran las esperas en un cajero cuando el otro está vacío

18M.A.B.D

Teoría de colas

Redes de colas

En muchos casos prácticos, colas no aisladas, sino

interconectadas (redes)

Situación típica en producción, cadenas de distribución,

etc.

En general, procesos que requieran más de una etapa

19M.A.B.D

Teoría de colas

Redes de colas

Llegadas y servicios exponenciales

Resultado básico

Cada cola actúa como si fuese independiente de las demás

Información necesaria:

Llegadas a cada cola,

Diferentes de las llegadas externas,

20M.A.B.D

Teoría de colas

Cálculo de tasa de llegadas a cada cola

Balance en la red

Dada la matriz de rutas R

Probabilidad de ir a otra cola desde una dada

Llegadas a una cola:

Suma de llegadas externas y llegadas desde otras colas

Llegadas a cada cola: solución de

= + R

21M.A.B.D

Teoría de colas

Redes de colas

Se forman la matriz R y el vector

Se calcula la tasa de llegadas a cada cola,

= + R

Se calcula el dato deseado de cada cola,

1 i iE [W ] = i =

i 1-i i

22M.A.B.D

Teoría de colas

Redes de colas. Ejemplo:

Llegadas: 50 h-1, servicios: 60 h-1, 65 h-1

0 0 50 50R = = =

1 0 0 50

1 5/6 1 1 50/65 2E [W1 ] = = h-1 , E [W2 ] = = h-1

60 1-5/6 12 65 1-50/65 39

23

n1 n2

M.A.B.D

Teoría de colas

¿Qué sucede si las distribuciones no son exponenciales?

Servicios no exponenciales:

Necesitamos la varianza (variabilidad)

2 1+Cs2 s

E [N ] = + Cs = 1- 2 E [S ]

1 2 1+Cs2

E [W ] = 1- 2

24M.A.B.D

Teoría de colas

Ejemplo: supermercado

Supongamos que Cs = 0,5

E [N ] = 6,22 E [W ] = 4

Al reducir la variabilidad, se reduce proporcionalmente el

tiempo de espera y el número de clientes en la cola

(Distribución exponencial, C = 1)

25M.A.B.D

Teoría de colas

Tiempos entre llegadas no exponenciales

1 E [N ] = E [W ] =

1- 1-

pero ahora se tiene que calcular resolviendo la ecuación

= T * ( - )

No depende sólo de la varianza

26M.A.B.D

Teoría de colas

Ejemplo: supermercado

80 llegadas/h. Uniformemente

2a (1 - ) = 1 - exp(-2a (1 - ))

donde a = 0,75 min (tiempo medio entre llegadas), y =

1,5 min-1

Solución:

= 0,84 E [W ] = 3,5

27M.A.B.D

Teoría de colas

Distribuciones generales.

Si tiempos de servicios y entre llegadas siguen

distribuciones generales

No existen fórmulas exactas

Alternativas:

Simulación

Fórmulas aproximadas para casos especiales

28M.A.B.D

Teoría de colas

Caso general. Fórmulas aproximadas

1 1E [W ] (Cs

2 + Ct2 )

2(1-) 2

válida si 1

Simulación: ineficiente si 1

Proceso muy lento para alcanzar un error determinado

29M.A.B.D

Teoría de colas

Ejemplo. Supermercado

Servicios uniformes entre 0 y 80 s.

80 llegadas/h. uniformemente

Resultados aproximados:

C2 = 4/3 E [W ] 8,06

Simulación (6900 replicaciones):

E [W ] = 2,06 0,2

30M.A.B.D

Teoría de colas

Redes de colas.

Servicios o llegadas no exponenciales: se aproximan a

partir de la variabilidad de los datos (aproximaciones con

segundos momentos)

Alternativa: simulación

Códigos de ordenador especializados

31M.A.B.D

Ejercicio 1

Una cola (una pista de aterrizaje)

Distribuciones:

S Unif[2,5] T exp()

Objetivo: E [W ] 5

Relación:

1 1+Cs2 Var(S )

1E [W ] = , Cs

2 = , =

1- 2 E [S ]2

E [S ]

32M.A.B.D

Ejercicio 1

Coeficiente de variación:

a +b 1 b

E [S ] = , E [S 2] = x 2 dx = (b 2+ab +a2)/3

2 b -a a

Var(S ) 3/4Var(S ) = E [S 2] - E [S ]2 = 3/4 , Cs

2 = = = 3/49

E [S ]2

(7/2)2

Tasa de llegadas:

= 10/87 = 0,115 min-1 = 6,9 h-1

33M.A.B.D

Ejercicio 1

Dos pistas de aterrizaje:

Colas separadas: tomar S igual a la mitad (sólo cambia ),

= 5/12 = 0,417 min-1 = 25 h-1

Cola común, = /(m )(m )k

P (N = k ) = p0 si k < mk !

m m k

= p0 si k mm !

34M.A.B.D

Ejercicio 1

Cola común

p0 (1 + 2 + 2 k ) = 1, p0 = (1- )/(1+ )k=2

E [N ] = 2p0 (k - 2) k = 2p0 3/(1- )2

k=2

Ley de Little:

E [N ] = E [W ]

= (5/(1+5))½, = 2 = 0,438 min-1 =

26,3 h-1

35M.A.B.D

Ejercicio 2

Supongamos ritmo no aleatorio

Condiciones:

n1 + n2 + n3 + n4 = N

r1 n1 = r2 n2 = r3 n3 = r4 n4

Asignación:1/ri

ni = N j 1/rj

n1 = 2 , n2 = 5 , n3 = 10 , n4 = 7

36M.A.B.D

Ejercicio 2

Ritmo máximo de procesamiento:

mini ri ni = 75 dec./h

Caso aleatorio:

Ritmos medios no varían

Tiempo medio de paso por el sistema

S = i Si = i E [Ni ] /

37M.A.B.D

Ejercicio 2

Tiempo medio de procesamiento

Tasa de llegadas: 70 dec./h

Tasa común a todas las etapas

Supongamos en cada etapa colas independientes para cada

servidor

1 ii = , E [Wi ] =

ni i i 1-i

38M.A.B.D

Ejercicio 2

Resultados:

1 = 0,875 2 = 0,933 3 = 0,875 4 =

0,833

E [S1] = 0,2 E [S2] = 1 E [S3] = 1 E [S4] =

0,5

E [S ] = 2,7 h

Modificaciones:

min i i

s.a i = / i (ni + i )

i i / i (1-i ) W

i 0 , entera

39M.A.B.D

Ejercicio 2

Solución: (2 = 1)

1 = 0,875 2 = 0,778 3 = 0,875 4 = 0,833

E [S1] = 0,2 E [S2] = 0,3 E [S3] = 1 E [S4] =

0,5

Para un tiempo de proceso de 1 h.

1 = 1 2 = 2 3 = 3 4 = 1

1 = 0,875 2 = 0,933 3 = 0,875 4 = 0,833

E [S1] = 0,2 E [S2] = 1 E [S3] = 1 E [S4] = 0,5

40M.A.B.D

Ejercicio 2

Colas comunes a todos los servidores:

1 = 0,875 2 = 0,778 3 = 0,875 4 = 0,833

E [S1] = 0,107 E [S2] = 0,234 E [S3] = 0,185 E [S4] = 0,123

El tiempo de paso se cumple sin añadir nuevos funcionarios

41M.A.B.D

Ejercicio 2

Probabilidad de volver atrás

Cambios en las tasas de llegada:

70 0 0 0 0.08 76.6

0 1 0 0 0.04 79.9 = + R , = , R = ,

=0 0 1 0 0.03

82.4

0 0 0 1 0 82.4

Las tasas son mayores

Se aplica el mismo procedimiento con los nuevos valores

42M.A.B.D

Ejercicio 2

Resultados:

Colas individuales (3,7,13,8):

1 = 0,64 2 = 0,76 3 = 0,79 4 = 0,86

E [S1] = 0,07 E [S2] = 0,28 E [S3] = 0,60 E [S4] = 0,59

Cola única por etapa (2,6,11,7):

1 = 0,96 2 = 0,84 3 = 0,94 4 = 0,98

E [S1] = 0,30 E [S2] = 0,14 E [S3] = 0,26 E [S4] = 0,67

43M.A.B.D