Post on 03-Aug-2015
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Estática del Sólido
Joaquin Montero, Facultad Ingeniería UNMDP
Teoría de la Membrana 1)Calcular la presión interna necesaria para mantener una carpa inflable esférica de espesor “e”, construida con un material cuya masa esta distribuida uniformente con la siguiente relación Ψ= 0.5 kg/m2 . 2)Calcular las tensiones meridionales y tangenciales para cada punto
DATOS = α , R, e, Ψ
Para calcular la presión interna se tendrá en cuenta que las tensiones meridionales son cero en los extremos, debido a que la presión es la justa para sostener el peso de la carpa.
Primero se define una nueva constante para simplificar cuentas.
γ= Ψ . g , siendo “g” la gravedad
Recordar que el área superficial de una esfera es igual al perímetro del área proyectada (circulo proyectado) por la altura del casquete . σm=0 𝐹! = 0 = +p.π.(R.sen(α))2 -‐ γ.2. π.R..R(1-‐cos(α))
Donde el termino positivo es la fuerza debida a la presión y el termino negativo debido al peso propio de la carpa, como no hay tensiones meridionales en los extremos no hay ningún termino mas involucrado en la sumatoria.
β
α R
+X
+Y
Estática del Sólido
𝑝 =γ. 2.π.𝑅! . 1 − cos α
π.𝑅!. sen α ! =γ. 2.π.𝑅! . 1 − cos απ.𝑅!. 1 − cos α !
=γ. 2.π.𝑅! . (1 − cos(α))
π.𝑅!. 1 − cos α . (1 + cos(α))
𝑝 =γ. 2
(1 + cos(α))
para hallar las tensiones meridionales , se deberá hacer un balance de fuerzas cortando a la esfera con un ángulo β, con 0>β>α
𝐹! = 0 = +p.π. (R. sen(β))! − γ. 2.π.R.R 1 − cos β− σ! . 𝑠𝑒𝑛 β . 2π.𝑅. 𝑠𝑒𝑛 β . 𝑒
El primer termino es el debido a la presión interna, el segundo termino es el debido al peso propio y el tercer termino es la componente activa en la dirección “Y” de la tensión meridional integrada en la superficie del contorno de la figura.
σ! =+p.π. R. sen β ! − γ. 2.π.R.R 1 − cos β
𝑠𝑒𝑛 β . 2π.𝑅. 𝑠𝑒𝑛 β . 𝑒
=p.π.R!. sen(β)! − γ. 2.π.R! 1 − cos β
2. e.π.R. sen(β)!
σ! =
+p.R2. 𝑒
−2𝑅. γ
2. 𝑒(1 + cos (β))
Reemplazando por la Presión interna “p”, y reordenando
σ! =γR𝑒
11+ cos (α)−
11+ cos (β)
σm
β
+Y
Estática del Sólido
Joaquin Montero, Facultad Ingeniería UNMDP
Para encontrar la tensión tangencial se recurre a la ecuación de Laplace para membranas teniendo en cuenta que en el sentido radial además de tener actuando la presión interna, habrá un termino en sentido contrario, debido al peso propio de la figura.
σ!ρ!
+σ!ρ!=𝑝 − γ. cos (β)
𝑒
debido a la simetría esférica, ρ! = ρ! = 𝑅
σ! = 𝑅 𝑝 − γ. cos (β)
𝑒− σ!
σ! = 𝑅
γ. 2(1 + cos(α)) − γ. cos (β)
𝑒−γR𝑒
11 + cos (α)
−1
1 + cos (β)
σ! =γR𝑒
11 + cos (α)
+1
1 + cos (β)− cos (β)