Post on 27-Nov-2014
Tema 6: Diseño decontroladores
¿PID?
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
SISTEMACONTROLADOR-
+ Y(t)R(t)U(t)E(t)
P(t)
SENSOR
Introducción
Uso de la realimentación para generar la señal de control.
El controlador debe generar una señal de control de manera que el sistema
se comporte adecuadamente.
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Índice
Control todo-nada.Acciones básicas de control.Métodos de ajuste de Ziegler-Nichols.Diseño analítico de controladores.
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Control Todo-Nada
También conocido como ON-OFF.Ley de control:
Problemas: comportamiento muy oscilante y señal de control con vibraciones si se requiere precisión.
Existen versiones con histéresis que sólo atenúan estos problemas.
“NO RECOMENDABLE”
⎩⎨⎧
<>
=0)(
0)()(
min
max
tEsiU
tEsiUtU
U(t)
E(t)
Umax
Umin
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Índice
Control todo-nada.Acciones básicas de control.Métodos de ajuste de Ziegler-Nichols.Diseño analítico de controladores.
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Tipos de acciones de control
Hay tres tipos de acciones básicas de control (lineal):
(P) : Proporcional(I) : Integral
(D) : Derivativa
Todas ellas actuan sobre el error, e(t).
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Control Proporcional (P)
Señal de control proporcional al error:
Características:A mayor ganancia, Kp , mayor actuación ante el mismo error: el sistema evoluciona más rápido, pero con mayor sobreoscilación.
No anula los errores en régimen permanente.
)()( teKtu P=PK
sesu
sC ==)()(
)(
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Control Proporcional (P)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
tiempo (s)
y(t)
Kp=10
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
tiempo (s)
y(t)
Kp=4
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Control Derivativo (D)
Señal de control proporcional a la derivadadel error:
No aplicar esta acción de control de forma aislada:
Si el error es constante, señal de control nula, por lo que no corrige el error.
Si la derivada del error es constante, se aplica la misma señal de control constante, por lo que el error crece indefinidamente.
dttde
Ktu D
)()( =
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Control Proporcional + Derivativo (PD)
Señal de control proporcional al error y a su derivada:
TD: tiempo derivativo
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+=
dttde
TteKdt
tdeKteKtu DPDP
)()(
)()()(
( )1)()(
)( +== sTKsesu
sC DP
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Control Proporcional + Derivativo (PD)
Características:El tiempo derivativo da
idea del tiempo de
predicción del error en
la respuesta transitoria.
Problemas con ruidos: se suele implementar con un polo de alta frecuencia.
Disminuye la sobreoscilación por el efecto “anticipativo” de la acción derivativa.
TD
e(t)
prediccióndel error
·
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Control Proporcional + Derivativo (PD)
0 0.5 1 1.5 2 2.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
tiempo (s)
y(t)
y(t)
0 0.5 1 1.5 2 2.5-1
0
1
2
3
tiempo (s)
e(t)
y d
e(t)
/dt
e(t) de(t)/dt
r(t)
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Control Proporcional + Derivativo (PD)
Comportamiento del PD respecto al P:
0 0.5 1 1.5 2 2.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
tiempo (s)
y(t)
PD
P TD
=0.1 s
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Control Integral (I)
Señal de control proporcional a la integraldel error:
Normalmente se aplica conjuntamente con una acción proporcional, formando un PI, para encontrar un compromiso entre el transitorio y el permanente de la respuesta temporal.
∫=t
I deKtu0
)()( ττ
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Control Proporcional+Integral (PI)
Señal de control proporcional al error y a su integral:
TI: tiempo integral
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+= ∫∫
t
IP
t
IP deT
teKdeKteKtu00
)(1
)()()()( ττττ
sTsT
Ksesu
sCI
IP
1)()(
)(+
==
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Control Proporcional + Integral (PI)
Características:El tiempo integral da
idea del tiempo que tarda
la respuesta temporal en
alcanzar el permanente.
Mejora el régimen permanente, ya que el controlador aumenta el tipo del sistema en bucle abierto.
Efecto similar al proporcional en el transitorio.
3 ó 4 veces TI
t
y(t)
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Control Proporcional + Integral (PI)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
1.5
tiempo (s)
y(t)
r(t)
y(t)
y(t)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.5
0
0.5
1
tiempo (s)
e(t)
y d
e(t)
/dt
e(t)
∫e(t)
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Control Proporcional + Integral (PI)
Efecto del tiempo integral:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
tiempo (s)
y(t)
TI=1 s
TI=3 s
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Control Proporcional + Integral + Derivativo (PID)
Señal de control proporcional al error, a su integral y a su derivada:
=++= ∫ dttde
KdeKteKtu D
t
IP
)()()()(
0ττ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++= ∫ dt
tdeTde
TteK D
t
IP
)()(
1)(
0ττ
( )sT
sTsTTK
sesu
sCI
IDIP
1)()(
)(2 ++
==( )( )
sTsTsT
KI
DIP
11 ++≠
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Control Proporcional + Integral + Derivativo (PID)
Características:Mezcla de los tres efectos.
Sintonización: ponderar adecuadamente los tres efectos (ajustar KP, TI y TD ) de manera que la respuesta sea satisfactoria.
Intuición de cómo modifica la respuesta temporal cada uno de los efectos por separado.
Muy utilizado en la industria.
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Control Proporcional + Integral + Derivativo (PID)
TI
t
y(t)
TD
DI TT >
RESUMEN
≈↓≈ ↓TD ↑
↑↓↑Ti ↑
↓↑↓KP ↑erpSOts
Respuestatemporal típica
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Resumen
Características de un PID:Mezcla de los tres efectos.
Sintonización: ponderar adecuadamente los tres efectos (ajustar KP, TI y TD ) de manera que la respuesta sea satisfactoria.
Intuición de cómo modifica la respuesta temporal cada uno de los efectos por separado.
Muy utilizado en la industria.
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Índice
Control todo-nada.
Acciones básicas de control.
Métodos de ajuste de Ziegler-Nichols.
Diseño analítico de controladores.
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Métodos de ajuste de Ziegler-Nichols
Proporcionan un orden de magnitud de los parámetros del PID a partir de experimentos con el sistema.
Suele ser necesario un ajuste fino de los parámetros.
No siempre es posible aplicar estos métodos.
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Método de Z-N en bucle abierto
U0
Y
0τd τ
se
sK
sG dττ
−+
=1
)(
UY
K =
PID
PI
P
TDTiKP
dK ττ
dK ττ9.0
dK ττ2.1
3.0dτ
0
dτ2 dτ5.0
∞
0
TABLA DE Z-N EN B.A.
0.63YSISTEMA
DI TT 4=
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Método de Z-N en bucle cerrado
0
KPcrit SISTEMA
-
+Pcrit
0
PID
PI
P
TDTiKP
critPK5.0
2.1critP
0∞
0
TABLA DE Z-N EN B.C.
critPK45.0
critPK6.0 critP5.0 critP125.0
DI TT 4=
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Resumen
Los métodos de Ziegler-Nichols proporcionan un orden de magnitud de los parámetros de un PID a partir de resultados experimentales.
Ventaja: no es necesario conocer Transformada de Laplace, función de transferencia, …
Desventaja: En general, no son aplicables a cualquier sistema.
Suele ser necesario un ajuste fino de los parámetros del controlador.
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Índice
Control todo-nadaAcciones básicas de control.Métodos de ajuste de Ziegler-Nichols.Diseño analítico de controladores.
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Diseñar un controlador (normalmente con efecto integral), de manera que los ceros y polos en bucle cerrado cumplan especificaciones de transitorio.
Problema: si el modelo o el controlador son de orden alto, hay que diseñar muchas raíces en bucle cerrado simultáneamente.
Sencillo para modelos de bajo orden (los más utilizados), pero: ¿son fiables estos modelos?
Diseño analítico de controladores
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
La fiabilidad de un “modelo para control” depende de las especificaciones en bucle cerrado.
Regla práctica: un modelo es fiable si su respuesta temporal es similar (en porcentaje) a la del sistema real, en los tiempos en los que se pretende controlar el sistema.
Este concepto se justifica más claramente en el dominio frecuencial.
Fiabilidad de modelos
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Fiabilidad de modelos
0 1 2 3 4 5 60
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
tiempo (s)
y(t)
tiempo (s)
real
modelo
0 1 2 3 4 5 60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
tiempo (s)
Ince
rtid
umbr
e re
lativ
a
RESPUESTAS ANTE
ESCALÓN
INCERTIDUMBRE RELATIVA
)(
)()()(
ty
tytyt
modelo
modeloreal −=∆
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Control de sistemas de primer orden
Modelo:
Control por cancelación de dinámica:
1)(
+=
sK
sGτ
Ks
sK
sC c 1)(
+= τ ⇐
sK
sG cBA =)(
NO VÁLIDO SI EL SISTEMA ES INESTABLE
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
τ
τ
KK
K
T
CP
I
PI
EL CONTROLADOR CONTIENE LA INVERSA DEL SISTEMA
⇓
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Control de sistemas de primer orden
Seguimiento:
Regulación:
c
cBC Ks
KsG
+=)(
( )( )1)(
++=
sKsKs
sGc
PertBC τ
Sistema de primer orden:- Ganancia estática unitaria
- Constante de tiempo: 1/Kc (ts≈3/Kc)
Sistema de segundo orden:- Ganancia estática nula (cero en s=0)
- Dos polos:
- El mismo de GBC(s)
- El del sistema (en s=-1/τ)
El tiempo que tarda en rechazar la perturbación es como mínimo el tiempo que tarda en evolucionar el sistema.
CANCELACIÓN DE DINÁMICA
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Control de sistemas de primer orden
Ejemplo:1
10)(
+=
ssG
101
)(+= s
sK
sC c 5=cK
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tiempo (s)
y(t)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
tiempo (s)
y(t)
SEGUIMIENTO REGULACIÓN
CANCELACIÓN DE DINÁMICA
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Control de sistemas de primer orden
Modelo:
Control sin cancelación de dinámica:
1)(
+=
sK
sGτ
sTsT
KsCI
IP
1)(
+= ⇒ ( )( )ssT
sTKKsG
I
IPBA 1
1)(
++=
τ
τ≠ITPI : Se utiliza cuando se requiere una respuesta muy rápida en el rechazo a perturbaciones.
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Control de sistemas de primer orden
Seguimiento:SIN CANCELACIÓN DE DINÁMICA
( )( ) ( )11
1)(
++++=
sTKKssTsTKK
sGIPI
IPBC τ
Sistema de segundo orden y un cero.Ganancia estática unitaria.
Ajustar las constantes del PI para situar los polos en bucle cerradodeseados.
Posibilidad de oscilaciones por polos complejos conjugados.
Es frecuente diseñar para que bucle cerrado sea críticamente amortiguado.
La respuesta ante escalón sobreoscila por el efecto del cero del controlador: se puede evitar con un control de dos grados de libertad.
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Control de sistemas de primer orden
Regulación:SIN CANCELACIÓN DE DINÁMICA
( ) ( )11)(
+++=
sTKKssTsTK
sGIPI
IPPertBC τ
Sistema de segundo orden y un cero en s=0.Ganancia estática nula.
Los mismos polos en bucle cerrado que en seguimiento.
El rechazo a perturbaciones puede ser mucho más rápido.
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Control de sistemas de primer orden
Ejemplo: 110
)(+
=s
sG
sTsT
KsCI
IP
1)(
+=sT
K
I
P
2.0
9
==
SEGUIMIENTO REGULACIÓN
SIN CANCELACIÓN DE DINÁMICA
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tiempo (s)
y(t)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
tiempo (s)
y(t)
2 polos bc en s=-9.5
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Control de sistemas de segundo orden
Modelo:
Control por cancelación de dinámica:
22
2
2)(
nn
n
ss
KsG
ωδωω
++=
2
22 2)(
n
nnc
K
sss
KsC
ωωδω ++= ⇐
sK
sG cBA =)(
NO VÁLIDO SI EL SISTEMA ES INESTABLE
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
==
KK
K
TT
C
nP
nD
nI
ωδ
δωωδ
22
1,
2
PID
EL CONTROLADOR CONTIENE LA INVERSA
DEL SISTEMA
⇓
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Control de sistemas de segundo orden
Seguimiento:
Regulación:
c
cBC Ks
KsG
+=)(
( )( )22
2
2)(
nnc
nPertBC ssKs
sKsG
ωδωω
+++=
Sistema de primer orden:- Ganancia estática unitaria
- Constante de tiempo: 1/Kc (ts≈3/Kc)
Sistema de tercer orden:- Ganancia estática nula (cero en s=0)
- Tres polos:
- El mismo de GBC(s)
- Los dos del sistema (oscilatorio si δ<1)
El tiempo que tarda en rechazar la perturbación es como mínimo el tiempo que tarda en evolucionar el sistema.
CANCELACIÓN DE DINÁMICA
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Ejemplo: 12.010
)( 2 ++=
sssG
1012.0
)(2 ++= ss
sK
sC c 5=cK
SEGUIMIENTO REGULACIÓN
CANCELACIÓN DE DINÁMICA
Control de sistemas de segundo orden
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tiempo (s)
y(t)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
tiempo (s)
y(t)
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Control de sistemas de segundo orden
Modelo:
Control sin cancelación de dinámica:
( )( )s
cscsKsC C
21)(++= ⇒
sss
cscsKKsG
nn
nCBA )2(
))(()( 22
212
ωδωω
++++=
PID:Se utiliza cuando se requiere una respuesta muy rápida en el rechazo a perturbaciones.
22
2
2)(
nn
n
ss
KsG
ωδωω
++=
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
+=+
=+=
21
2121
21 1,
ccKKcc
Tcccc
T
CP
DI
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Control de sistemas de segundo orden
Seguimiento:SIN CANCELACIÓN DE DINÁMICA
ssscscsKK
cscsKKsG
nnnC
nCBC
)2())((
))(()( 22
212
212
ωδωωω
+++++++=
Sistema de tercer orden y dos ceros.Ganancia estática unitaria.
Ajustar las constantes del PID para situar los polos en bucle cerradodeseados (NO ES TRIVIAL).
Posibilidad de oscilaciones por polos complejos conjugados.
Es frecuente diseñar para que bucle cerrado sea críticamente amortiguado, más un polo de baja frecuencia.
La respuesta ante escalón sobreoscila por el efecto de los ceros del controlador: se puede evitar con un control de dos grados de libertad.
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Control de sistemas de segundo orden
Regulación:SIN CANCELACIÓN DE DINÁMICA
ssscscsKK
sKsG
nnnC
nPertBC )2())((
)( 2221
2
2
ωδωωω
+++++=
Sistema de tercer orden y un cero en s=0.Ganancia estática nula.
Los mismos polos en bucle cerrado que en seguimiento.
El rechazo a perturbaciones puede ser mucho más rápido, y se pueden evitar oscilaciones si tolos lospolos en bucle cerrado son reales.
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Control de sistemas de segundo orden
Ejemplo:
1
7.0
==
c
KC
SEGUIMIENTO REGULACIÓN
SIN CANCELACIÓN DE DINÁMICA
2 polos bc en s=-3.3 y otro en s=-0.65
12.010
)( 2 ++=
sssG
scs
KsC C
2)()(
+=
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tiempo (s)
y(t)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
tiempo (s)
y(t)
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Control de sistemas de tipo 1
Modelo:
Si perturbaciones no son importantes:
( )ss
KsG
1)(
+=
τ
( )1)( += sTKsC DP
sK
sG cBA =)(
NO VÁLIDO SI EL POLO ES INESTABLE
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
K
KK
T
CP
D τPD
EL CONTROLADOR CONTIENE PARTE DE LA INVERSA DEL SISTEMA
⇓
EL SISTEMA TIENE UN INTEGRADOR
CANCELACIÓN DE DINÁMICA
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Control de sistemas de tipo 1
Ejemplo: ( )sssG
1
10)(
+=
( )110
)( += sK
sC c 5=cK
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tiempo (s)
y(t)
SEGUIMIENTO REGULACIÓN
CANCELACIÓN DE DINÁMICA
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
tiempo (s)
y(t)
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Control de sistemas de tipo 1
Modelo:
Si perturbaciones son importantes:
( )ss
KsG
1)(
+=
τ
( )22 1
)(s
sKsG C
BA
+=
τ
NO VÁLIDO SI EL POLO ES INESTABLE
PID
EL CONTROLADOR CONTIENE PARTE DE LA INVERSA DEL SISTEMA
EL SISTEMA TIENE UN INTEGRADOR
CANCELACIÓN DE DINÁMICA
( )( )s
ss
K
KsC C 11)( 21 ++
=ττ
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
+=+=
21
21
2121 ,
ττ
ττττττ
K
KK
TT
CP
DI
ττ =1
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Control de sistemas de tipo 1
Seguimiento:
Regulación:
( )( )1
1)(
22
2
+++
=sKs
sKsG
C
CBC τ
τ
( )( )1)1()(
22 +++
=ssKs
KssG
C
PertBC ττ
Sistema de segundo orden y un cero- Ganancia estática unitaria
- Ajustar KC y τ2 para diseñar polos en b.c.
- El cero requiere control con 2 gdl
Sistema de segundo orden:- Ganancia estática nula (cero en s=0)
- Dos polos:
- El mismo de GBC(s)
- El del sistema (en s=-1/τ)
El tiempo que tarda en rechazar la perturbación es como mínimo el tiempo que tarda en evolucionar el sistema.
CANCELACIÓN DE DINÁMICA
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Resumen
El diseño analítico se basa en un modelo del sistema: las especificaciones en b.c. dependerán de la fiabilidad del modelo.
Se han diseñado controladores para los tres tipos de modelos de bajo orden más comunes: primer orden, segundo orden sub/sobre-amortiguado y sistemas de segundo orden con integrador.
El control con cancelación de dinámica da buenos resultados para seguimiento, pero el rechazo a perturbaciones depende de la dinámica lenta del sistema.
El control sin cancelación de dinámica permite diseñar adecuadamente el rechazo a perturbaciones, pero suele requerir un controlador de 2 grados de libertad para el problema de seguimiento (no visto en clase).