Funciones de varias variables Funcin de dos variables Defini ci n.Esunafunci n fqueasi gnaacadaparej aordenada( , ) xy deDun ni conmeroreal ( , ) f x y .El conj unt oDesel domini odef ,yel correspondi ent e conj unt o de val ores( , ) f x yes elrango. Domini oRango Grfica de la funcin de dos variables Es el conj unt o de t odos l os punt os( , , ) xyz para l os( , ) ( , ) z f xy y xy = que est en eldomi ni o de f.

Prepar ado por: Prof.Gi lSandro Gmez f( x,y) Z= f( x,y)Ej empl o. Bosquej e l a grfi ca de 2 2( , ) 1 f xy x y =

Curvas de nivel Unasegundamaneradevi sualizarunafunci ndedosvari abl esesusarun campoescal arenel queel escal ar( , ) z f xy = seasi gnaal punt o( , ) xy .Un campoescal arpuedecaract eri zarseporsuscurvasdenivelo lneasdecont orno al ol argodel oscual esesconst ant e.Lascurvasdeniveldei gual presi nse llamanisobaras.Lascurvasdeni velqueenmapasclimt icosrepresent an punt osdei gual t emperat urareci benel nombredeisot ermas.Lascurvasde ni velquerepresent ancamposdepot enci al esel ct ri cossell amanlneas equipot enciales.Losmapasdecont ornosuelenut ilizarsepararepresent arregi onesdela superfi ci edelat i erra,dondel ascurvasdeni velrepresent anlaal t urasobreel ni vel del mar. Est e t i po de mapas se llama mapa t opogrfico.Lmit es y cont inuidad Previ oal adefi ni ci ndel mit edeunafunci ndedosvari abl esnecesit amos defi ni r una seri e de concept os, t ales como:1.Vecindaddeunpunt ox: unpunt oxquepert eneceaR,cual quier subconj unt odeRqueposeaunabi ert oquecont engaaxsell amauna veci ndad de x. 2.Bol aabi ert a: sell amabol aabiert aal conj unt orepresent adopor 2 2( ) 0 0{( , ) : ( ) ( ) }xB xy x x y y = + 0 t al que t odas l asparej asordenadasenSest ndent rodeuncrcul oderadi oRycon cent ro en el ori gen. Definicin lmit e de una funcin de dos variables Sea funafunci ndedosvari abl esenundi scoabiert ocent radoen 0 0( , ) x y , except o posi bl ement e en 0 0( , ) x y , y sea L un nmero real . Ent onces0 0( , ) ( , )2 20 0lim ( , ) cada0 existe0 ( , )0 ( ) ( )xy x yf xy LSi tal quef xy L siempre que x x y y => > < < + < Not a: l osl mit esdedosvari abl est ienenl asmi smaspropiedadesquecuandoes de una sol a vari able. Ej empl o. Cal cular el l mit e de ( , ) (0,0)coslimcosxyxy xxy x+ ( , ) (0,0)cos (0)(0) cos 0 0 1lim 1cos (0)(0) cos 0 0 1xyxy xxy x+ + += = = Ej empl o. Det ermine si el l mit e exi st e o no. 2 2 ( , ) (0,0)2 2 2 2 ( , ) (0,0)2 2 2 2 2 ( ,0) (0,0) ( ,0) (0,0) ( ,0) (0,0)( ,0) (0,0)lim:(0)(0) 0lim00 0 a lo largo del eje x(0) 0lim lim lim00lim 0Prxyxyx x xxxyx ySolucinxyx yAcerquemonosxy xx y x xxocedamos acercarno += =+ += =+ +=22 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0)2 22 ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) lim lim lim0lim lim lim 02 2 22xy xx xxxx xy xxs a traves de la recta x yxy xx xx y x x x xx x xxx == =+ + += = = =Podemosdeci rqueel l mit eexi st e,porqueal acercarnosporcami nosdiferent es si empre nos da 0, y est e es el val or del lmit e. Ot raforma: Ut ili zandocoordenadaspol arespodemosdet erminarsi el l mit e exi st e o no. Det ermine siel si gui ent e l mi t e exist e o no. 2 22 2( , ) (0,0)2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2( , ) (0,0) 0limcos ,coslim lim coscosx yx y rx yxyx yx r y rsenx y r r senxy r rsenx y r r sen | | |+\ .= =| | | | = ||+ +\ . \ . ( ) ( )2 2 2 2 2 22 22 2 2 20 02 2 2 2 2 20(cos ) (cos )lim cos lim cos(cos )lim cos cos (0) cos cos 0r rrr sen r senr sen r senr sen rr sen sen sen sen | | | | = ||+\ . \ . = = Funcin cont inua en un punt o Defini ci n. Una funci n( , ) f x yes cont inua en elpunt o ( a,b)sise cumpl e que:1. f t i ene un val or en ( a,b)2.Ell mit e f exi st e en ( a,b)3. ( , ) ( , )( , ) lim ( , )xy a bf a b f xy= Cont inuidad en un conj unt o Defini ci n.Unafunci n( , ) f x y escont i nuaenunconj unt oSsi ( , ) f x y es cont i nua en cada punt o del conj unt o. Teorema. Composicin de funciones Siunafunci n gdedosvari ablesescont inuaen( a,b) yunafunci nf deuna vari ableescont i nuaen( , ) ga b ,ent oncesl acomposi ci nf g ,defini dacomo ( )( , ) ( ( , ) f g xy f gxy = es cont inua en ( a,b) .Derivadas parciales Seaf unafunci ndedosvari abl es( , ) x y .Siysemant i eneconst ant e,di gamos 0y y = ,ent onces 0( , ) f xy esunafunci ndel avari ablesi mplex .Suderi vadaen 0x x = esl aderi vadaparci al f respect ode xen 0 0( , ) x y ysedenot apor0 0( , )xf x y. As 0 0 0 00 00( , ) ( , )( , ) limxxf x x y f x yf x yxA + =A

Deformaanl oga,l aderi vadaparci al de frespect oa yen 0 0( , ) x y sedenot a por 0 0( , )yf x y y est dada por0 0 0 00 00( , ) ( , )( , ) limyyf x y y f x yf x yyA + A =A ( , ) f xyxcc est e smbol o significa la derivada parcial de( , ) f x yrespect o de x. ( , ) f xyycc est e smbol o significa la derivada parcial de( , ) f x yrespect o de y. Prepar ado por: Prof.Gi lSandro Gmez Ej empl o. Det ermine la deri vada parci al de 2 22 22 2 2 2 2cos( ) 22 ( ) 22 ( ) cos( ) 2z y x y xyzxysenx y yxzysenx y x y xy= + +c = + +cc = + + + +c Derivadas parciales de orden superior Comosucedeconl asderi vadasordi narias,esposi bl edet ermi narl assegundas, t erceras,et c.,deri vadasparci al esdeunafunci ndevari asvari ables,si empre quest asexi st an.Lasderi vadasdeordensuperi orsedenot anporel ordenen quesehaceladeri vaci n.Dadalafunci n( , ) z f xy = t i enel assi gui ent es deri vadas parci ales de segundo orden. 1.Deri var dos veces respect o a x:22 xxf ffx x xc c c| |= |c c c\ . 2.Deri var dos veces respect o de y: 22yyf ffy y y| | c c c= |c c c\ . 3.Deri var pri mero respect o de x y l uego respect o a y: 2xyf ffy x x yc c c| |= |c c c c\ . 4.Deri var pri mero respect o de y y l uego respect o a x: 2yxf ffx y yx| | c c c= |c c c c\ . Los casos t ercero y cuart o se llaman derivadas parci al es mixt as ( cruzadas) . Ej empl o. Hallar l as derivadas parci al es de segundo orden 22222222 2222tantan costansec cossec cos2 sec tansec cosxxxxxxxz e y senxyze y y xyxze y y senxyxze y xysenxy xyx yze y x xyyze y y x senxyyze y xysenxy xyy x= +c= +cc= cc= +c cc= +cc= cc= +c c Como se puede observar l as derivadas 2 2 z zyxy yxc cc c c c son i gual es. Teorema. I gualdad de las derivadas parciales cruzadas Si f esunafunci nen( , ) x y t al que xyfy yxfsoncont i nuasenundi scoabiert o R , ent onces, para t odo( , ) xy enR , 2 2( , ) ( , ) f xy f xyxy yxc c=c c c c Diferenciales Definicin de diferencial t ot al Si( , ) z f x y =yx A y y Asonl osi ncrement osen xyen y,ent oncesl as diferenci ales t ot ales de l as vari abl es independi ent es sondx x y dy y = A = A y l a di ferenci alt ot alde l a vari abl e dependient ez es ( , ) ( , )x yz zdz dx dy f xydx f xydyx yc c= + = +c c Est a defi ni ci n puede ext enderse una funci n de t res o ms vari ables. Ej empl o. Hallar l a di ferenci alt ot al 2 32 ; (1,1), (0.99,1.02) z xy P Q =Apli cando l a frmul a de de di ferenci alt ot al :( , ) ( , )x yz zz dx dy f xydx f xydyx yc c= + = +c c

3 2 23 2 24 , 60.99 1 0.1,1.02 1 0.024 6z zxy xyx ydx dydz xy dx xydyc c= =c c= = = == + Eval uamos el di ferenci al t ot al de l a funcin en ( 1,1)2 2 24(1)(1) ( 0.01) 6(1) (1) (0.02) 0.08 dz = + =Prepar ado por: Prof.Gi lSandro Gmez Diferenciabilidad Defini ci n.Unafunci nf dadapor( , ) z f xy = esdiferenci abl een 0 0( , ) x y si z Apuede expresarse en l a forma 0 0 0 0 1 2( , ) ( , )x yz f x y x f x y y x y A = A + A + A + A Donde 1 20 y cuando( , ) (0, 0) x y AA .Lafunci nf esdi ferenci abl eenuna regi nRsi es diferenci able en t odo punt o deR . Teorema. Condiciones suficient es para la Diferenciabilidad Si f esunafunci nen( , ) x y ,paral aquex yf y f soncont inuasenunaregi n abi ert aR , ent oncesf es diferenci able enR . Teorema. Diferenciabilidad implica cont inuidad Si unafunci nen( , ) x y esdi ferenci abl een 0 0( , ) x y ,ent oncesescont i nuaen 0 0( , ) x y . Prepar ado por: Prof.Gi lSandro Gmez Reglas de la cadena para funciones de varias variables Teorema. Regla de la cadena: una variable independient e Sea( , ) w f x y = ,dondef esunafunci nderi vabl edex ey .Si ( ), ( ) x gt y h t = = , dondeg yh sonfunci onesderi vablesdet ,ent onceswesunafunci n diferenci able det , y dw w dx w dydt xdt ydtc c= +c c Ej empl o 1. Det ermi ne dwdt medi ant e la regla de l a cadena. 2 22 2; cos ,2 , 2 ; , cosw xy xy x t y sentdw w dx w dydt xdt ydtw w dx dyxy y x xy sent tx y dt dt= = =c c= +c cc c= = = =c c Sust i t uyendo cada deri vada en l a frmula t enemos:2 2(2 )( ) ( 2 ) cosdwxy y sent x xy tdt = + Ahorasust i t uimosax ey por suequi valent eparaponerel resul t adoenfunci n det Prepar ado por: Prof.Gi lSandro Gmez 2 22 22 2(2cos ) (cos 2cos ) cos( 2cos ) (cos 2cos ) cos2 cos 2( 2 ) (cos 2 ) cosdwtsent sen t sent t tsent tdtdwtsent sen t sent t tsent tdtsent t sentdwsent sen t sent t sent tdt= + = + + == + +

Teorema. Regla de la cadena: dos variables independient es Sea( , ) w f x y = ,dondef esunafunci nderi vabledex ey .Si( , ), ( , ) x gs t y hst = =sont al esquel asderivadasparci alesdeprimerorden, ,x x y yys t s tc c c cc c c c,exi st en,y est n dadas por w w x w ys x s y sc c c c c= +c c c c c y w w x w yt x t y tc c c c c= +c c c c c Ej empl o 2. Hall ar wscc y wtcc 2 2, cost,~ ( ) ~ ( )2 , 2 , cos , ~ (2)ttw x y x s y sew w x w y w w x w ya bs x s y s t x t y tw w x yx y t ex y s s= = =c c c c c c c c c c= + = +c c c c c c c c c cc c c c= = = =c c c c Sust i t uyendo ( 2)en ( a)2 (cos ) 2 ( )twx t y esc= c Prepar ado por: Prof.Gi lSandro Gmez Sust i t uyendo a xy ay por su val or:2 22 cost(cos ) 2 ( )2 cos 2t ttws t se esws t sesc= cc= c Ahora deri vemos respect o at :~ ( )w w x w ybt x t y tc c c c c= +c c c c c ,~ (3)2 ( ) 2 ( )ttx yssent set twx ssent ysesc c = = c c`c= c ) Sust i t uyendo ( 3)en ( b)2 2 22 cos ( ) 2 ( )2 cos ) 2t ttws t ssent se sesws tsent sesc= cc= c Prepar ado por: Prof.Gi lSandro Gmez Ext remos de funciones de dos variables Definicin de ext remos relat ivos Seaf una funci n defini da en una regi nR que cont iene 0 0( , ) x y .1.La funci nft iene un mnimo rel at ivo en 0 0( , ) x ysi 0 0( , ) ( , ) f xy f x y > para t odo( , ) x yen un di sco abiert o que cont iene 0 0( , ) x y . 2.La funci nft iene un mximo rel at i vo en 0 0( , ) x ysi 0 0( , ) ( , ) f xy f x y s para t odo( , ) x yen un di sco abiert o que cont iene 0 0( , ) x y . Teorema del valor ext remo Seaf unafunci ncont inuadedosvari abl esx ey ydefini daenunaregi n acot ada cerradaRen el pl ano xy. 1.Exi st e por l o menos un punt o enR, en elqueft oma un val or mnimo. 2.Exi st e por l o menos un punt o enR, en elqueft oma un val or mximo. Definicin de los puntos crticos Seaf defini daenunaregi nabiert a Rquecont iene 0 0( , ) x y .El punt o 0 0( , ) x y es un punt o crt ico defsise sat i sface una de l as condi ci ones si gui ent es:0 0 0 01.( , ) 0( , ) 0x yf x y y f x y = =0 0 0 02.( , )( , )x yf x y o f x y no exi st e. Prepar ado por: Prof.Gi lSandro Gmez Teorema.Losext remosrelat ivossepresent ansoloenlospunt os crt icos Si f t ieneunext remorel at i voen0 0( , ) x y enunaregi nabi ert a R,ent onceses un punt o crt i co def . El crit erio de las segundas derivadas parciales Lospunt oscrt i cosdeunafunci ndedosvari abl esnosiempresonmxi moso mnimos.Al gunospunt oscrt icosdanpunt ossillasquenosonni mximosni mni mos. Teorema. Crit erio de las segundas derivadas par ciales Seaf unafunci nconsegundasderivadasparci alescont i nuasenunaregi n abi ert a que cont i ene un punt o ( a,b)para elcual ( , ) 0y( , ) 0x yf a b f a b = =Para buscar l os ext remos rel at ivos def, consi drese l a cant i dad 2( , ) ( , ) ( , )xx yy xyd f a b f a b f a b = Ent onces 1.0( , ) 0, min( , ).2.0( , ) 0,( , ).xxxxSi d y f a b entonces f tiene un m o en a bSi d y f a b entonces f tiene un mximo en a b> >> < 3.0,( , , ( , )).4.0.Si d entonces a b f a b es un punto sillaSi d el criterio no lleva a ninguna conclusin