Tema 9

La minimización de los costes

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Introducción• Nuestro supuesto básico es que las

empresas quieren obtener el máximo beneficio posible

• En este capítulo estudiamos cuál es la forma de producir una cantidad dada con el mínimo coste posible

• Más adelante, la empresa decidirá el nivel de producción que maximiza el beneficio

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Minimización de costes

• Una empresa usa los factores x1 y x2, cuyos precios son w1 y w2

• Si quiere producir y, ¿cuál es la forma más barata de hacerlo?

• Para resolver este problema necesitamos la función de producción del capítulo anterior

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Minimización de costes

• La empresa escogerá la combinación (x1,x2) que resuelve:

min w1x1+w2x2

sujeto a f (x1,x2) = y

• La solución dependerá de w1, w2 e y

• La escribimos c(w1,w2,y) y la llamamos función de costes

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Rectas isocoste

• La recta que representa todas las combinaciones de factores cuyo coste es el mismo es la recta isocoste

• Por ejemplo, para w1 y w2, la recta isocoste asociada a un coste de 100 es la que cumple:

w1x1+w2x2 = 100

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Rectas isocoste

• En general, para w1 y w2, la recta isocoste asociada a un coste C es:

w1x1+w2x2 = C

• Despejando x2: x2 = (C/w2)-(w1/w2)x1

• La pendiente es -(w1/w2)

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Rectas isocoste

c’ w1x1+w2x2

c” w1x1+w2x2

c’ < c”

x1

x2

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Rectas isocoste

c’ w1x1+w2x2

c” w1x1+w2x2

c’ < c”

x1

x2 Pendiente= -w1/w2

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Isocuantas

x1

x2 Todas las combinaciones de factoresque producen y’ unidades

f(x1,x2) y’

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Minimización de costes

x1

x2

f(x1,x2) y’

¿Cuál es la más barata?

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Minimización de costes

x1

x2

f(x1,x2) y’

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Minimización de costes

x1

x2

f(x1,x2) y’

x1*

x2*

La situada en la recta isocoste más baja posible

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Minimización de costes

x1

x2

x1*

x2*

Cumple dos condiciones:(1) Tangencia: Pendiente isocuanta =Pendiente isocoste

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1

2

1*2

*1 ),(

w

w

PM

PMxxRTS

(2) Pertenece isocuanta

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Demandas condicionadas

• Las cantidades óptimas elegidas de los diferentes factores dependen de los valores particulares de w1, w2 e y

• La solución óptima la escribimos como x1(w1,w2,y) y x2(w1,w2,y)

• Estas son las demandas condicionadas de factores

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Ejemplo: Complementarios

• La función de producción es: f(x1,x2) = min{x1,x2}

• Los precios de los factores son w1 y w2. ¿Cuál es la forma más barata de producir y?

• ¿Cuáles son las funciones de demanda condicionadas?

• ¿Cuál es la función de costes?

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Ejemplo: Complementarios

x1

x2

min{x1,x2} y

x1 = x2

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Ejemplo: Complementarios

x1

x2

min{x1,x2} y

¿Qué combinación minimiza el coste totalde producir y?

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Ejemplo: Complementarios

x1

x2

x1* = y

x2* = y

x1 = x2

min{x1,x2} y

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Ejemplo: Complementarios

• La forma más barata de producir y es usando y unidades de x1 e y unidades de x2

• Por lo tanto, la función de costes es: c(w1,w2,y) = w1x1+w2x2 =

= (w1+w2)y

• Las demandas condicionadas son x1(w1,w2,y) = y, x2(w1,w2,y) = y

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Ejemplo: Sustitutos

• La función de producción es: f(x1,x2) = x1+x2

• Como x1 y x2 son sustitutos perfectos, la empresa utilizará sólo el más barato

• El coste será el menor entre w1y e w2y

• La función de costes es: c(w1,w2,y) = min{w1y,w2y} =

= min{w1,w2}y

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Ejemplo: Cobb-Douglas

• La función de producción es (hacemos A = 1 para simplificar):

f(x1,x2) = x1ax2

b

• Usamos la condición de tangencia:-PM1/PM2 = -w1/w2

• Sabíamos ya que: -PM1/PM2 = - a x2 / b x1

• Además y = x1ax2

b

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Ejemplo: Cobb-Douglas

• Despejando, obtenemos:

• La demanda de x2 es similar

• Finalmente, la función de costes es:

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Rendimientos de escala y costes

• En el caso de rendimientos constantes, supongamos que hemos resuelto el problema de minimización de costes para producir una unidad

• El coste resultante es c(w1,w2,1)

• El coste mínimo para producir y unidades será c(w1,w2,y) = c(w1,w2,1) y

• ¿Por qué?

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Rendimientos de escala y costes

• Con rendimientos crecientes, si queremos producir el doble, necesitamos menos del doble de factores

• Esto significa que los costes aumentan menos del doble

• La función de costes aumenta menos que proporcionalmente en relación con y

• Usamos el coste medio

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Coste medio

• La función de coste medio nos dice cuál es el coste por unidad cuando producimos y unidades:

CMe(y) = c(w1,w2,y) / y

• Con rendimientos constantes: CMe(y) = c(w1,w2,1)y / y =

= c(w1,w2,1)

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Coste medio

• Con rendimientos crecientes, los costes aumentan menos que proporcionalmente con la producción

• Por lo tanto, los costes medios son decrecientes con y

• Por el contrario, con rendimientos decrecientes, los costes medios son crecientes

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Costes a largo y corto plazo

• A largo plazo una empresa puede variar las cantidades de todos los factores

• A corto plazo hay algún factor cuya cantidad no podemos cambiar

• La función de costes a corto plazo nos dice cuál es el coste mínimo de producción, ajustando sólo los factores variables

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Costes a largo y corto plazo

• La función de costes a largo plazo nos dice cuál es el coste mínimo de producción, cuando podemos ajustar todos los factores

• Supongamos que, a corto plazo, la cantidad del segundo factor es fija, en concreto x2 = x2

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Costes a largo y corto plazo

• La función de costes a corto plazo es la solución de:

min w1x1+w2x2

sujeto a f(x1, x2) = y

• La llamamos cCP(y, x2). En general el coste mínimo dependerá de x2

• También podríamos definir las demandas a corto plazo de los factores

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Costes a largo y corto plazo

• Las demandas serían: x1 =x1CP(w1,w2, x2,y)

y x2 = x2

• Usando la función de costes a corto plazo, se debe cumplir:

cCP(y, x2) = w1 x1CP(w1,w2, x2,y) +w2x2

• Por otro lado, la función de costes a largo plazo, sale del problema de minimización del comienzo del tema

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Costes a largo y corto plazo

• Ya no tenemos la restricción x2 = x2. Podemos elegir también la cantidad de x2

• Las demandas de factores a largo plazo son x1(w1,w2,y) y x2(w1,w2,y)

• La función de costes a largo plazo es: c(y) = w1 x1(w1,w2,y)+w2 x2(w1,w2,y)

• Vamos a ver la relación que hay entre costes a corto y a largo plazo

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Costes a largo y corto plazo

• Suponemos que los precios de los factores son fijos (nos olvidamos de ellos por ahora)

• Las demandas de factores a largo plazo son x1(y) y x2(y)

• La función de costes a largo plazo cumple: c(y) = cCP(y, x2(y))

• ¿Qué significa esto?

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Costes a largo y corto plazo

• Que el coste mínimo a largo plazo de producir y coincide con el coste mínimo a corto plazo cuando el factor 2 es fijo, pero su valor coincide con el nivel que minimiza los costes a largo plazo

• Por lo tanto, la demanda a largo plazo del factor 1 cumple:

x1(w1,w2,y) = x1CP(w1,w2, x2(y),y)

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Costes a largo y corto plazo

• De nuevo, esto quiere decir que la cantidad del factor 1 (factor variable) que minimiza los costes a largo plazo es la misma que la empresa elegiría, a corto plazo, si la cantidad del factor 2 (factor fijo) fuese igual que la que minimiza los costes a largo plazo