Post on 29-Jun-2015
TEMA 5: VECTORES (ENUNCIADOS)
EJERCICIO 1:
Estudiar para qué valores de k los vectores son linealmente independientes [1 punto]
EJERCICIO 2:
Sea una base ortonormal, hallar todos los vectores que son ortogonales a y a que tengan módulo 1. [1,5 puntos]
EJERCICIO 3:
Nos dan los vectores , hallar:i) Valor absoluto del producto mixto de y dar su significado
geométrico. [1 punto]ii) Ángulo que forman . [0,5 puntos]iii) Razonar si forman base y, en caso afirmativo, hallar las
coordenadas de (1,2,0) en dicha base. [1 punto]
EJERCICIO 4:
Estudiar la dependencia o independencia lineal de los vectores , ,
. [0,75 puntos]
EJERCICIO 5:
Se sabe que el producto mixto vale 3 y que el módulo del vector es 1. Se pide:i) Hallar razonadamente el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D sabiendo que , y [1,5 puntos].ii) Hallar razonadamente la longitud de la altura de dicho tetraedro que une el vértice B con la cara ACD [1 punto]
TEMA 5: VECTORES (ENUNCIADOS Y SOLUCIONES)
EJERCICIO 1:
Estudiar para qué valores de k los vectores son linealmente independientes [1 punto]
SOLUCIÓN:
Para que los vectores sean linealmente independientes:
es decir, los vectores son linealmente
independientes .
EJERCICIO 2:
Sea una base ortonormal, hallar todos los vectores que son ortogonales a y a que tengan módulo 1. [1,5 puntos]
SOLUCIÓN:
Sean los vectores de la base ortonormal y
las coordenadas de los vectores buscados respecto a la base . Se tiene:
luego .Y como
Por tanto: y
EJERCICIO 3:
Nos dan los vectores , hallar:iv) Valor absoluto del producto mixto de y dar su significado
geométrico. [1 punto]v) Ángulo que forman . [0,5 puntos]vi) Razonar si forman base y, en caso afirmativo, hallar las
coordenadas de (1,2,0) en dicha base. [1 punto]
SOLUCIÓN:
i)
Significado geométrico: el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son a, b y c es de 4 u3.
ii) Sea el ángulo que forman los vectores b y c. Se tiene:
iii) Puesto que su producto mixto es distinto de 0, los vectores son linealmente independientes y por tanto forman una base del espacio vectorial tridimensional.
Sean las coordenadas del vector respecto a la base
:
y, por tanto es:
EJERCICIO 4:
Estudiar la dependencia o independencia lineal de los vectores , ,
. [0,75 puntos]
SOLUCIÓN:
Puesto que los vectores son
linealmente independientes.
EJERCICIO 5:
Se sabe que el producto mixto vale 3 y que el módulo del vector es 1. Se pide:i) Hallar razonadamente el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D sabiendo que , y [1,5 puntos].ii) Hallar razonadamente la longitud de la altura de dicho tetraedro que une el vértice B con la cara ACD [1 punto]
SOLUCIÓN:
i)
ii)
Por otra parte: