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Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Tema 5Prof.Dr. Emilio Gómez GonzálezDpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería
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Tema 5: Energía y Leyes
de Conservación*
*Prof.Dr. Joaquín Bernal Méndez y Prof.Dra. Ana Mª Marco Ramírez
Física I
Grado en Ingeniería Electrónica,
Robótica y Mecatrónica (GIERM)
Primer Curso
Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Tema 5Prof.Dr. Emilio Gómez GonzálezDpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería
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Índice
Cantidad de movimiento. Impulso de una fuerza.
Momento cinético. Teorema del momento cinético.
Fuerzas centrales. Ley de las áreas.
Trabajo. Energía cinética.
Fuerzas conservativas. Energía potencial.
Fuerzas no conservativas.
Ley de conservación de la energía.
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Cantidad de movimiento.
Definimos la cantidad de movimiento o momento lineal
de una partícula como
𝑝 = 𝑚 𝑣
Podemos reescribir la 2ª ley de Newton:
𝐹 = 𝑚 𝑎 = 𝑚𝑑 𝑣
𝑑𝑡=𝑑 𝑚 𝑣
𝑑𝑡=𝑑 𝑝
𝑑𝑡 𝐹 fuerza neta
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Impulso de una fuerza.
Integrando para un intervalo de tiempo dado:
𝑝𝑖
𝑝𝑓
𝑑 𝑝 = 𝑡𝑖
𝑡𝑓 𝐹𝑑𝑡 ; Δ 𝑝 = 𝑝𝑓 − 𝑝𝑖 =
𝑡𝑖
𝑡𝑓 𝐹𝑑𝑡
La variación de la cantidad de movimiento de la
partícula es igual al impulso que ha recibido
en el intervalo de tiempo considerado.
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Índice
Cantidad de movimiento. Impulso de una fuerza.
Momento cinético. Teorema del momento cinético.
Fuerzas centrales. Ley de las áreas.
Trabajo. Energía cinética.
Fuerzas conservativas. Energía potencial.
Fuerzas no conservativas.
Ley de conservación de la energía.
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Momento cinético (I)
Momento cinético o angular de una partícula,
situada en un punto B, respecto de un punto dado
A:
𝐿𝐴 = 𝐴𝐵 × 𝑝
En particular, si A coincide con el origen de
coordenadas:
𝐿𝑂 = 𝑂𝐵 × 𝑝 = 𝑟 × 𝑝 = 𝐿
Derivando:
𝑑𝐿
𝑑𝑡=𝑑 𝑟 × 𝑝
𝑑𝑡=𝑑 𝑟
𝑑𝑡× 𝑝 + 𝑟 ×
𝑑 𝑝
𝑑𝑡= 𝑣 × 𝑚 𝑣 + 𝑟 × 𝐹
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Momento cinético (II)
Momento de una fuerza 𝑭 aplicada en un punto
B, respecto de un punto dado A, 𝑀𝐴 = 𝐴𝐵 × 𝐹.
Respecto al origen: 𝑀𝑂 = 𝑂𝐵 × 𝐹 = 𝑟 × 𝐹 = 𝑀
Entonces, podemos escribir: 𝑑𝐿
𝑑𝑡= 𝑀
Teorema del Momento Cinético: La derivada
temporal del momento cinético de una partícula es
igual al momento de la fuerza resultante sobre
ella.
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Momento cinético (III)
Conservación del momento cinético:
Para 𝐹 = 0:𝑑 𝑝
𝑑𝑡= 0 → 𝑝 = 𝑐𝑡𝑒
𝑑𝐿
𝑑𝑡= 𝑀 = 𝑟 × 𝐹 = 0 → 𝐿 = 𝑐𝑡𝑒
Fuerzas centrales: 𝐹 = 𝑓 𝑟 𝑟
𝑑𝐿
𝑑𝑡= 𝑀 = 𝑟 × 𝐹 = 𝑟 × 𝑓(𝑟) 𝑟 = 0 → 𝐿 = 𝑐𝑡𝑒
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Índice
Cantidad de movimiento. Impulso de una fuerza.
Momento cinético. Teorema del momento cinético.
Fuerzas centrales. Ley de las áreas.
Trabajo. Energía cinética.
Fuerzas conservativas. Energía potencial.
Fuerzas no conservativas.
Ley de conservación de la energía.
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Fuerzas centrales. Ley de las áreas.
Ley de las áreas: El área barrida por el vector posición de una partícula
sometida a una fuerza de tipo central es proporcional al tiempo empleado
en
el recorrido. A tiempos iguales, áreas barridas iguales.
(2ª ley de Kepler)
𝑑 𝐴 =1
2𝑂𝑃 × 𝑑 𝑟 (prod. vectorial)
𝑑 𝐴
𝑑𝑡=1
2𝑂𝑃 ×
𝑑 𝑟
𝑑𝑡=𝐿
2𝑚= 𝑐𝑡𝑒
Llamamos velocidad areolar a
𝑉𝐴 =𝑑 𝐴
𝑑𝑡. No tiene dimensiones de velocidad, es el ritmo (tasa) de variación
del área con el tiempo.
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Índice
Cantidad de movimiento. Impulso de una fuerza.
Momento cinético. Teorema del momento cinético.
Fuerzas centrales. Ley de las áreas.
Trabajo. Energía cinética.
Fuerzas conservativas. Energía potencial.
Fuerzas no conservativas.
Ley de conservación de la energía.
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Trabajo (I)
Trabajo elemental realizado sobre una partícula por la fuerza 𝐹produciendo el desplazamiento 𝑑 𝑟 :
𝛿𝑊 = 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟
Evidentemente, si la fuerza o el desplazamiento son nulos, no
se realiza trabajo.
Pero, dado que en la expresión hay un
producto escalar, ¿qué pasa si la fuerza
es perpendicular al desplazamiento?
𝛿𝑊 = 𝐹 𝑑 𝑟 cos 𝜃
Para 𝐹 ⊥ 𝑑 𝑟 , cos𝜋
2= 0 → 𝛿𝑊 = 0
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Trabajo (II)
Integrando el trabajo elemental:
𝑊1→2,𝑙 = 𝑟1,𝑙
𝑟2 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟
El trabajo realizado por una fuerza sobre una
partícula entre dos posiciones depende del camino
seguido, 𝑙. Por eso usamos 𝛿 y no 𝑑 para su
diferencial, para indicar que no es una diferencial
exacta.
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Energía cinética (I)
Si en la expresión del trabajo usamos la 2ª ley de Newton,
𝐹 = 𝑚 𝑎, y la definición de 𝑎, 𝑎 =𝑑𝑣
𝑑𝑡, obtenemos:
𝑊1→2,𝑙 = 𝑟1,𝑙
𝑟2 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟 =
𝑟1,𝑙
𝑟2
𝑚𝑑 𝑣
𝑑𝑡⋅ 𝑑 𝑟 =
𝑟1,𝑙
𝑟2
𝑚𝑑 𝑣 ⋅ 𝑣 =
= 𝑟1,𝑙
𝑟2 1
2𝑚𝑑( 𝑣 ⋅ 𝑣) =
𝑟1,𝑙
𝑟2 1
2𝑚𝑑(𝑣2) =
𝑟1,𝑙
𝑟2
𝑑1
2𝑚𝑣2 =
= 𝑟1,𝑙 𝑟2 𝑑 𝐾 = 𝐾 𝑟2 − 𝐾 𝑟1 = Δ𝐾 (𝐾, energía cinética)
Teorema trabajo-energía cinética o de las fuerzas
vivas: El trabajo realizado sobre una partícula entre dos
puntos es igual a la variación de su energía cinética entre
esos puntos.
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Energía cinética (II)
Hemos hallado que:
𝑊1→2,𝑙 = 𝑟1,𝑙 𝑟2 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟 = 𝐾 𝑟2 − 𝐾 𝑟1 = Δ𝐾
Por tanto, si el trabajo realizado sobre una partícula
entre dos puntos es nulo, bien porque la fuerza o el
desplazamiento sean nulos, o bien porque la fuerza y
el desplazamiento sean perpendiculares todo el
tiempo, Δ𝐾 = 0 → 𝐾 = 𝑐𝑡𝑒 →1
2𝑚𝑣2 = 𝑐𝑡𝑒 → 𝑣 = 𝑐𝑡𝑒.
Ojo: Estamos diciendo que la celeridad es constante
(movimiento uniforme), no que lo sea la velocidad.
Ej: Movimiento circular uniforme.
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Índice
Cantidad de movimiento. Impulso de una fuerza.
Momento cinético. Teorema del momento cinético.
Fuerzas centrales. Ley de las áreas.
Trabajo. Energía cinética.
Fuerzas conservativas. Energía potencial.
Fuerzas no conservativas.
Ley de conservación de la energía.
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Fuerzas conservativas. Energía
potencial (I)
En general, 𝑊1→2,𝑙 = 𝑟1,𝑙 𝑟2 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟 , y por tanto, el
trabajo realizado por una fuerza sobre una partícula
entre dos posiciones depende del camino seguido.
Cuando hay una fuerza para la que el trabajo entre
dos puntos no depende del camino, sino sólo de
las posiciones inicial y final, la llamamos fuerza
conservativa.
𝑊1→2,𝑙1 = 𝑟1,𝑙1
𝑟2 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟 =
𝑟1,𝑙2
𝑟2 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟 = 𝑊1→2,𝑙2 = 𝑊1→2
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En el caso de las fuerzas conservativas,
𝑊1→2 = 𝑟1
𝑟2 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟
Introduciendo 𝑑𝑈 = − 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟 , queda:
𝑊1→2 = − 𝑟1
𝑟2
𝑑𝑈 = 𝑈 𝑟1 − 𝑈 𝑟2 = −Δ𝑈
A 𝑈 𝑟 la llamamos energía potencial de la partícula
en la posición 𝑟. Para calcularla, elegimos 𝑈 𝑟0 = 0.
𝑈 𝑟 − 𝑈 𝑟0 = 𝑟0
𝑟
𝑑𝑈 → 𝑈 𝑟 = 𝑟0
𝑟
𝑑𝑈
Fuerzas conservativas. Energía potencial (II)
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Fuerzas conservativas. Energía potencial (III)
Significado físico de 𝑈 𝑟 :
𝑈 𝑟 = 𝑟0
𝑟
𝑑𝑈 = − 𝑟0
𝑟
𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟 = −𝑊 𝑟0→ 𝑟
La energía potencial de una partícula situada en la
posición 𝑟 es igual a menos el trabajo que hay que
realizar para llevar la partícula desde el origen de
potenciales 𝑟0 hasta la posición 𝑟. O, reescribiendo:
𝑈 𝑟 = 𝑟0
𝑟
𝑑𝑈 = − 𝑟0
𝑟
𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟 = 𝑟
𝑟0 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟 = 𝑊 𝑟→ 𝑟0
𝑈 𝑟 sería el trabajo para llevar la partícula de su
posición 𝑟 hasta el origen de potenciales 𝑟0.
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Fuerzas conservativas. Energía potencial (IV)
Desarrollando cada término de 𝑑𝑈 = − 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟 en
cartesianas: 𝑑𝑈 =𝜕𝑈
𝜕𝑥𝑑𝑥 +
𝜕𝑈
𝜕𝑥𝑑𝑦 +
𝜕𝑈
𝜕𝑥𝑑𝑧
− 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟 = − 𝐹𝑥𝑑𝑥 + 𝐹𝑦𝑑𝑦 + 𝐹𝑧𝑑𝑧
Identificando : 𝐹𝑥 = −𝜕𝑈
𝜕𝑥; 𝐹𝑦 = −
𝜕𝑈
𝜕𝑦; 𝐹𝑧 = −
𝜕𝑈
𝜕𝑧
Entonces, 𝐹 = −𝜕𝑈
𝜕𝑥 𝚤 +
𝜕𝑈
𝜕𝑦 𝑗 +
𝜕𝑈
𝜕𝑧𝑘 = −𝛻𝑈
Siendo 𝛻 =𝜕
𝜕𝑥 𝚤 +
𝜕
𝜕𝑦 𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧𝑘 el operador gradiente.
𝐹 = −𝛻𝑈 es una propiedad característica de las
fuerzas conservativas.
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Fuerzas conservativas. Energía potencial (V)
Ej: Obtención de la energía potencial para el caso de
la fuerza conservativa 𝑭 = 𝒎𝒈 = −𝒎𝒈𝒌 (peso)
𝑊1→2 = 𝑟1
𝑟2 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟 = −
𝑟1
𝑟2
𝑑𝑈 = 𝑈 𝑟1 − 𝑈 𝑟2 = −Δ𝑈
Sustituyendo: 𝑊1→2 = 𝑟1 𝑟2 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟 = 𝑟1
𝑟2 −𝑚𝑔𝑘 ⋅ 𝑑 𝑟 =
= −𝑚𝑔 𝑧1𝑧2 𝑑𝑧 = −𝑚𝑔 𝑧2 − 𝑧1 = 𝑚𝑔𝑧1 −𝑚𝑔𝑧2 =
= 𝑈 𝑧1 − 𝑈 𝑧2 = −Δ𝑈
Para una posición dada, 𝑈 𝑧 = 𝑚𝑔𝑧 , energía
potencial gravitatoria. Y 𝐹 = − 𝛻𝑈=−𝜕𝑈
𝜕𝑧𝑘 = −𝑚𝑔𝑘
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Fuerzas conservativas. Energía potencial (VI)
En el caso de las fuerzas conservativas,
𝑊1→2 = 𝑈 𝑟1 − 𝑈 𝑟2 = −Δ𝑈
En general, para todas las fuerzas,
𝑊1→2 = 𝐾 𝑟2 − 𝐾 𝑟1 = Δ𝐾
Igualando:
𝑊1→2 = 𝑈 𝑟1 − 𝑈 𝑟2 = −Δ𝑈 = 𝐾 𝑟2 − 𝐾 𝑟1 = Δ𝐾
Definimos la energía mecánica, 𝐸, como 𝐸 = 𝐾 + 𝑈−Δ𝑈 = Δ𝐾 → Δ𝑈 + Δ𝐾 = 0 → Δ 𝑈 + 𝐾 = 0 → Δ𝐸 = 0
Por tanto, para el caso de que las fuerzas sean conservativas,
la energía mecánica se conserva.
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Cantidad de movimiento. Impulso de una fuerza.
Momento cinético. Teorema del momento cinético.
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Trabajo. Energía cinética.
Fuerzas conservativas. Energía potencial.
Fuerzas no conservativas.
Ley de conservación de la energía.
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Fuerzas no conservativas (I)
En general, para todas las fuerzas, se cumple
𝑊1→2,𝑙 = 𝑟1,𝑙
𝑟2 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟 = 𝐾 𝑟2 − 𝐾 𝑟1 = Δ𝐾
Pero sólo para las fuerzas conservativas, es cierto
que 𝑊1→2 = 𝑟1 𝑟2 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑟 = 𝑈 𝑟1 − 𝑈 𝑟2 = −Δ𝑈
Entonces, si descomponemos la fuerza neta en
suma de fuerzas conservativas y no conservativas,
nos queda:
𝑊1→2,𝑙 = 𝑟1,𝑙
𝑟2 𝐹𝑐 + 𝐹𝑛𝑐 ⋅ 𝑑 𝑟 = −Δ𝑈 +
𝑟1,𝑙
𝑟2 𝐹𝑛𝑐 ⋅ 𝑑 𝑟
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Fuerzas no conservativas (II)
𝑊1→2,𝑙 = 𝑟1,𝑙
𝑟2 𝐹𝑐 + 𝐹𝑛𝑐 ⋅ 𝑑 𝑟 = −Δ𝑈 +
𝑟1,𝑙
𝑟2 𝐹𝑛𝑐 ⋅ 𝑑 𝑟
Llamamos trabajo de las fuerzas no conservativas al término
𝑟1,𝑙 𝑟2 𝐹𝑛𝑐 ⋅ 𝑑 𝑟 = 𝑊1→2,𝑙 𝑛𝑐
Entonces, Δ𝐾 = −Δ𝑈 + 𝑊1→2,𝑙 𝑛𝑐 →
→ Δ𝐸 = Δ𝐾 + Δ𝑈 = 𝑊1→2,𝑙 𝑛𝑐La variación de la energía mecánica es igual al trabajo realizado
por las fuerzas no conservativas.
Ojo: En el caso de fuerzas no conservativas, pero
perpendiculares al desplazamiento→ 𝑊𝑛𝑐 = 0
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Fuerzas no conservativas (III)
Ejemplos de fuerzas no conservativas:
Fuerzas de rozamiento (estático y dinámico)
Rozamiento estático :
𝐹𝑟 ≤ 𝜇𝑠 𝐹𝑛
Rozamiento dinámico:
𝐹𝑟 = 𝜇𝑑 𝐹𝑛
𝐹𝑟 es tangente a la superficie y con sentido
opuesto al de 𝑣.
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Fuerzas no conservativas (IV)
Coeficientes de rozamiento estático y dinámico
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Fuerzas no conservativas (V)
Tenemos que
Δ𝐸 = Δ𝐾 + Δ𝑈 = 𝑊1→2,𝑙 𝑛𝑐= 𝑟1,𝑙
𝑟2 𝐹𝑛𝑐 ⋅ 𝑑 𝑟
Para las fuerzas de rozamiento y las fuerzas de
viscosidad, el término 𝑊1→2,𝑙 𝑛𝑐 = 𝑟1,𝑙 𝑟2 𝐹𝑛𝑐 ⋅ 𝑑 𝑟 es
siempre negativo.
Entonces Δ𝐸 < 0 : la energía mecánica disminuye
en presencia de las fuerzas de rozamiento y/o
viscosidad. ¿Qué pasa con esa energía que falta?
Se ha disipado en forma de calor.
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Momento cinético. Teorema del momento cinético.
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Trabajo. Energía cinética.
Fuerzas conservativas. Energía potencial.
Fuerzas no conservativas.
Ley de conservación de la energía.
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Ley de conservación de la energía
“La energía total no aumenta ni disminuye en ningún proceso.
La energía puede transformarse de una forma a otra, y
transferirse de un objeto a otro; pero la cantidad total
permanecerá constante.”
Así,
Δ𝐾 + Δ𝑈 + Δ 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑜𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 = 0
Ya hemos visto que Δ𝐸 = Δ𝐾 + Δ𝑈 = 𝑊1→2,𝑙 𝑛𝑐Entonces,
Δ 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑜𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 = − 𝑊1→2,𝑙 𝑛𝑐Ejemplos de otras formas de energía no mecánica:
térmica, química, eléctrica, radiante, nuclear,…
La energía ni se crea ni se destruye: se transforma.