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Sistemas y Circuitos 1© Francisco J. González, UC3M 2009
Tema 4. Filtros Analógicos
Caracterización Temporal
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4.1 Definición
Filtro analógico: Sistema en Tiempo Continuo que obedece a una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes:
Filtro digital: Sistema en Tiempo Discreto que obedece a una ecuación en diferencias lineal con coeficientes constantes:
• N, M = órdenes del filtro− Orden del filtro = max(N, M)
Si N=0 →Filtro MA →respuesta impulsional finita (FIR)Si M=0 →Filtro AR→respuesta impulsional infinita (IIR)
0 0
( ) ( )k lN M
k lk lk l
d y t d x ta bdt dt= =
=∑ ∑
[ ] [ ]0 0
N M
k lk l
a y n k b x n l= =
− = −∑ ∑
Filtro
,k ka b{ })()( txTty =)(tx
[ ]x n { }[ ] [ ]y n T x n=
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0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
4.2 Filtros: el caso eléctrico
Elementos circuitales pasivos• Relaciones tensión-corriente en
− Condensadores
Ejemplo
( )( ) dv ti t Cdt
=+
−
( )v t( )i t
C
00
1( ) ( ) ( )t
tv t i d v t
Cτ τ= +∫
( ) sin( ) V
220 2 sin(2 50 ) Vmv t V t
t
ω
π
=
=
1 mFC =( ) cos( ) A
22 2 cos(2 50 ) Ami t V C t
t
ω ω
π π
=
=
La corriente adelanta a la tensión
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4.2 Filtros: el caso eléctrico
Elementos circuitales pasivos• Condensadores
− Energía [Julios]
+
−
( )v t( )i t
C
[ ]2
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )1( ) ( ) Julios2
dv t dE tp t v t i t Cv tdt dt
dE t Cv t dv t
E t Cv t
= = =
=
=
( )( ) dv ti t Cdt
=
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Ejemplo: L=100 mH
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
p (W
)
seg
4.2 Filtros: el caso eléctricoElementos circuitales pasivos• Bobinas
− Energía [Julios]
[ ]2
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )1( ) ( ) Julios2
di t dE tp t v t i t Li tdt dt
dE t Li t di t
E t Li t
= = =
=
=
+
−
( )v t( )i t ( )( ) di tv t L
dt=
L
510 A 0( )
0 A 0
tte ti t
t
−⎧ ≥= ⎨
<⎩
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
seg
i (A
)
5 (1-5 ) V 0( )
0 V 0
te t tv t
t
−⎧ ≥= ⎨
<⎩
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
seg
v (V
)
( )p t
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
seg
E (J
)
( )E t
( )v t
( )i t
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4.2 Filtros: el caso eléctrico
Elementos circuitales pasivos• Comportamiento con tensiones constantes
− Condensadores
− Un condensador NO admite cambios instantáneos en el voltaje → i=∞− El voltaje en un condensador es continuo
( )( ) dv ti t Cdt
=
( )Si ( ) . 0 ( ) 0 condensador circuito abiertodv tv t cte i tdt
= ⇒ = → = ⇒ ⇔
+
−
( )v t( )i t
C
)()( 00+− = tvtv
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4.2 Filtros: el caso eléctrico
Elementos circuitales pasivos• Comportamiento con corrientes constantes
− Bobinas
− Una bobina NO admite cambios instantáneos en la corriente → v=∞− La corriente en una bobina es continua:
( )( ) di tv t Ldt
=
+
−
( )v t( )i t
L
( )Si ( ) . 0 ( ) 0 bobina cortocircuitodi ti t cte v tdt
= ⇒ = → = ⇒ ⇔
)()( 00+− = titi
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4.2 Filtros: el caso eléctrico
Filtros eléctricos analógicos: circuitos R, L y C.• Los coeficientes ak, y bk dependen de los valores de R, L y C
Primer orden: circuitos RL y RC
( ) ( ) ( )( ) 1 1( ) ( )( )( )
O IO
O IO
R i t v t v tdv t v t v tdv t dt RC RCi t C
dt
+ = ⎫⎪ → + =⎬
= ⎪⎭
Filtro
,k ka b
{ })()( txTty =)(tx
Para obtener la respuesta necesito conocer la tensión inicial en el condensador: v0(t0)
0 0
( ) ( )k lN M
k lk lk l
d y t d x ta bdt dt= =
=∑ ∑
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4.2 Filtros: el caso eléctrico
Filtros eléctricos analógicos: circuitos R, L y C.• Los coeficientes ak, y bk dependen de los valores de R, L y C
Segundo orden: circuitos RLC serie y paralelo
)()()()( tvtRidt
tdiLtv OI ++=
2
2 )()()()(dt
tvdCdt
tditidt
tdvC OO =⇒=
2
2
( ) ( ) 1 1( ) ( )O OO I
d v t dv tR v t v tdt L dt LC LC
+ + =
Para obtener la respuestanecesito conocer la tensión inicial en el condensador y la corriente inicial en la bobina:
v0(t0), i(t0)Condiciones auxiliares
)(tx )(ty
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4.2 Filtros: el caso mecánico
Condiciones auxiliares
• Para resolver la ecuación diferencial, es necesario conocer la posición inicial ( ) y la velocidad inicial ( )
-b
( )dy tdt
( )dy tdt-M
( )dy tbdt
−
2
2
( )d y tMdt
−
1k( )F t
2
2
1 ( ) ( )( ) ( )d y t dy tF t M b y tk dt dt⎛ ⎞
− − =⎜ ⎟⎝ ⎠
( )y t
0( )y t 0( )y t′
Modelo
2
2
( ) ( ) ( ) ( )d y t dy tM b ky t F tdt dt
+ + =
( )y t( )dy tb
dt
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4.3 Filtros analógicos: respuesta general
Respuesta general de un filtro analógico de primer orden.
• Condición auxiliar
• Tipos de señales de entrada
( )dy tdt( )dy t
dt− 1−
( )y t
Modelo
τ
0(0)y Y=
)(tx)()(1)( txty
dttdy
=+τ
t
0(0)y Y=
( )y t
( )x t
tK
0)( ≡tx
( )x t
tK
0
0
)()(1)( txtydt
tdy=+
τ( )x t
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4.3 Filtros analógicos: respuesta natural
Respuesta natural de un filtro analógico de primer orden.
• Condición auxiliar
• 1º) Polinomio característico− Si....
− ... entonces
• En nuestro caso...
( ) ( )1 0dy t
y tdt τ
+ =
1( )P s sτ
= +
( )dy tdt( )dy t
dt− 1−
( ) 0x t ≡ ( )y t
Modelo
τ
0 1( ) ( )( ) 0
N
N N
dy t d y ta y t a adt dt
+ + + =
1( ) ... No NP s a a s a s= + + +
0(0)y Y=
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4.3 Filtros analógicos: respuesta naturalRespuesta natural de un filtro analógico de 1er orden.
• 2º) Calcular raíces del Polinomio característico
• 3º) La solución de la ecuación diferencial es de la forma
− A es una constante que hay que determinar− Comprobar que cumple la ecuación diferencial
( ) ( )1 0dy t
y tdt τ
+ =
1 1( ) raiz rP s s sτ τ
= + → = −
( ) r
ts ty t Ae Ae τ
−= =
A
t0
y(t)
0τ >
( ) ( )1 1 1 0t tdy t
y t A e Aedt
τ τ
τ τ τ− −⎛ ⎞+ = − + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
0(0)y Y=
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4.3 Filtros analógicos: respuesta natural
Respuesta natural de un filtro analógico de primer orden.
• 4º) Aplicar la condición auxiliar para despejar A− Como y(0)=Y0
• 5º) Obtener la respuesta
( ) ( )1 0dy t
y tdt τ
+ =
( ) 000
t
tt
y t Ae Yτ−
==
= = 0Y
t0
y(t)
0τ >
( ) 0
t
y t Y e τ−
=
0(0)y Y=
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4.3 Filtros analógicos: respuesta natural
Ejemplo: Respuesta natural de un circuito RL paralelo.
• Por la bobina circula una corriente inicial de I0 amperios
• Para calcular la corriente se necesita su valor inicial en la bobina.
( ) ( )Kirchhoff: Voltajes 0di t
L Ri tdt
→ + =
( ) ( ) ( ) ( )10 0di t dy tR i t y t
dt L dt τ+ = → + = L
Rτ =
( ) ( )t R t
Lo oy t Y e i t I eτ
− −= → =
( ) ( )i t y t≡+
-
( )0 ( ) ( )
R tL
o
di tv t L i t R I Re
dt−
= = − = −
0IL
t0
i(t)0I
tLR
eI−
0
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Respuesta natural de un circuito RC paralelo.
• El condensador tiene un voltaje inicial de V0 voltios
• Para calcular el voltaje se necesita su valor inicial en el condensador.
• La corriente es
( ) ( ) 0=+Rtv
dttdvC
4.3 Filtros analógicos: respuesta natural
( ) ( ) ( ) ( )1 10 0dv t dy t
v t y tdt RC dt τ
+ = → + =
RCτ =
( ) ( )1t t
RCo oy t Y e v t V eτ
− −= → =
( ) ( )v t y t≡
( )1
( ) ( )t
RCoV edv t v ti t C
dt R R
−
= = − = −
+
-0V+
- C
t0
v(t)0V
tRCeV1
0
−
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4.4 Filtros analógicos: respuesta al escalón
Respuesta al escalón de un filtro analógico de primer orden.
• 1º) Polinomio característico
• 2º) Solución general (para t≥0)
− donde YF y A son dos constantes que hay que determinar− Comprobar que se cumple la ecuación diferencial
Por tanto
( ) ( )1 , 0dy t
y t K tdt τ
+ = ≥
( )dy tdt( )dy t
dt− 1−
( ) ( )x t Ku t= ( )y t
Modelo
τ
1 1( ) raiz rP s s sτ τ
= + → = −
( ) , 0t
Fy t Y Ae tτ−
= + ≥
( ) ( )1 1 1t tF
F
dy t Yy t A e Y Ae Kdt
τ τ
τ τ τ τ− −⎛ ⎞⎛ ⎞+ = − + + = =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠FY Kτ=
0(0)y Y=
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Respuesta al escalón de un filtro analógico de primer orden.
• 3º) Para despejar la constante A hay que aplicar la condición auxiliar
− Si
− Cuando t→∞,
4.4 Filtros analógicos: respuesta al escalón
( ) ( )1 , 0dy t
y t K tdt τ
+ = ≥
( )0 0 0(0)y Y K A Y A Y Kτ τ= → + = → = −
( ) 01 , 0t t
y t K e Y e tτ ττ− −⎛ ⎞
= − + ≥⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) Fy K Yτ∞ = =
( )y tFY
t0Y
( ) , 0t
y t K Ae tττ−
= + ≥
0(0)y Y=
( ) ( )0 , 0t
F Fy t Y Y Y e tτ−
= + − ≥
( )x t
tK
( ) ( )1 , 0dy t
y t K tdt τ
+ = ≥
0(0)y Y=
( )y t
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4.4 Filtros analógicos: respuesta al escalón
Respuesta al escalón desplazado.
• Solución general (para t≥t0)
− Si
− Como, cuando t→∞,
( ) ( ) 01 ,
dy ty t K t t
dt τ+ = ≥
( )0 0 00( ) t t ty t Y A K Y A Y Kτ τ= → + = → = −
( )dy tdt( )dy t
dt− 1−
0( ) ( )x t Ku t t= − ( )y t
Modelo
τ
( )( )0
0, t t
y t K Ae t tττ−
−= + ≥
( ) ( )0
0
( )
0, t t
F t Fy t Y Y Y e t tτ−
−= + − ≥
( ) Fy K Yτ∞ = =
( )y tFY
t0t
Y
0t
00( ) ty t Y=
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4.4 Filtros analógicos: respuesta al escalón
Respuesta de un circuito RC paralelo a un escalón.( ) ( ) , 0S
dv t v tC I t
dt R+ = ≥Ecuación:
Solución de la expresión genérica:
Circuito RC:
( ) ( )1 , 0dy t
y t K tdt τ
+ = ≥ RCτ =( ) ( )v t y t≡ SIKC
=
Expresión genérica:
Condición inicial: ( ) 00v V=
Valor final: ( ) Sv I R∞ =
( ) ( )0 , 0t
F Fy t Y Y Y e tτ−
= + − ≥
( ) ( )0 , 0t
RCS Sv t I R V I R e t
−= + − ≥
( )v tSI R
t0V
0
( )v t+
-
0V+
-C
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Ejercicios
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Ejercicios
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Ejercicios
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4.5 Filtros analógicos de segundo orden
Respuesta natural de un filtro analógico de segundo orden.
• Polinomio característico
• Raíces
− (1) Si las raíces son reales− (2) Si las raíces son complejas.
− (3) Si tenemos raíces múltiples (multiplicidad 2).
( ) ( ) ( )2
202 2 0
d y t dy ty t
dt dtα ω+ + =
2 20( ) 2P s s sα ω= + +
-2α
( )dy tdt
( )dy tdt
-1
( )2 dy tdt
α−
2
2
( )d y tdt
−
( ) 0x t ≡ ( )y t
Modelo
20
1ω
2 2
1,2
2 2
2 4 42
o
o
sα α ω
α α ω
− ± −=
= − ± −
oωα >
oωα <02,1 <→ s
2 21
2 22
o d
o d
s j j
s j j
α ω α α ω
α ω α α ω
= − + − = − +
= − − − = − −
oα ω=1 2s s α= = −
*1 2s s→ =
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4.5 Filtros analógicos 2º orden: respuesta natural
Respuesta natural.• (1) Sobreamortiguamiento.
• (2) Subamortiguamiento.
• (3) Amortiguamiento crítico.
Las constantes se obtienen a partir de las condiciones auxiliares
( ) tsts eAeAty 2121 +=
( ) 1 2d dj t t j tty t A e e A eω α ωα − −−= + =
( ) ( ) tetDDty α−+= 21
( ) ( )1 2cos sint td dB e t B e tα αω ω− −= +
oωα >
oωα <
oωα =
0 0( ), ( )y t y t′
2 21,2 os α α ω= − ± −
2 21
2 22
o d
o d
s j j
s j j
α ω α α ω
α ω α α ω
= − + − = − +
= − − − = − −
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4.5 Filtros 2º orden: respuesta al escalón
Respuesta al escalón• (1) Sobreamortiguamiento.
• (2) Subamortiguamiento.
• (3) Amortiguamiento crítico.
Las constantes se obtienen a partir de las condiciones auxiliares
( ) 1 21 2
s t s tFy t Y A e A e= + +
( ) 1 2d dj t t j tt
Fy t Y A e e A eω α ωα − −−= + + =
( ) ( )1 2t
Fy t Y D D t e α−= + +
( ) ( )1 2cos sint tF d dY B e t B e tα αω ω− −= + +
oωα >
oωα <
oωα =
0 0( ), ( )y t y t′
-2α
( )dy tdt
( )dy tdt-1
( )2 dy tdt
α−
2
2
( )d y tdt
−
( ) ( )x t Ku t≡ ( )y t
Modelo
20
1ω
20
FKYω
= K
0 t
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4.5 Filtros analógicos: respuesta al escalón
Filtros de orden 2
FY
( )y t
t
te α−2
d
πω
Subamortiguamiento
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4.5 Filtros analógicos de orden 2
Ejemplo: filtro analógico RLC serie de orden 2
1. Polinomio característico:
)(tx)(ty ( ) ( ) ( ) ( )
22 20 02 2
d y t dy ty t x t
dt dtα ω ω+ + =
( ) ( ) ( ) ( )2
0 00 2 I
dv t d v tv t RC LC v t
dt dt+ + = ⇔
21 2
11, 2 , o oRa a aL LC
α ω= = = = =
2 1( ) RP s s sL LC
= + +
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4.5 Filtros analógicos de orden 2
Ejemplo: filtro analógico RLC serie de orden 2
• Raíces− (1) Si las raíces son reales: sobreamortiguamiento
− (2) Si las raíces son complejas: subamortiguamiento¿R=0?
− (3) Si tenemos raíces de multiplicidad 2: amort. Crítico
)(tx)(ty
2
1,220
121 2 2
RR RL sL L LC
LC
α
ω
⎫= ⎪⎪ ⎛ ⎞→ = − ± −⎬ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪=
⎪⎭
2 LRC
>
2 LRC
<
2 LRC
=
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Ejemplo: filtro analógico RLC paralelo de orden 2
1. Polinomio característico:
4.5 Filtros analógicos de orden 2
)(tx
)(ty
( ) ( ) ( ) ( )2
2 20 02 2
d y t dy ty t x t
dt dtα ω ω+ + =
( ) ( ) ( )0 0( )L S
v t dv ti t C i t
R dt+ + =
21 12 , oRC LCα ω= =
2 1 1( )P s s sRC LC
= + +
( )0 ( ) Ldi t
v t Ldt
=
( ) ( ) ( )2
2
1 1L L SL
d i t di t Ii tdt RC dt LC LC
+ + =
( )Si t
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Ejemplo: filtro analógico RLC paralelo de orden 2
• Raíces
− (1) Si las raíces son reales: sobreamortiguamiento
− (2) Si las raíces son complejas: subamortiguamiento
¿R=∞?− (3) Si tenemos raíces de multiplicidad 2: amort. crítico
4.5 Filtros analógicos de orden 2
)(tx
)(ty
2
1,220
11 1 12
1 2 2RC s
RC RC LCLC
α
ω
⎫= ⎪⎪ ⎛ ⎞→ = − ± −⎬ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪=
⎪⎭
12
LRC
<
12
LRC
>
12
LRC
=
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4.7 Propiedades de los filtros
Linealidad (entrada idénticamente nula, salida ident. nula)• Un filtro es lineal si la respuesta libre es nula hay linealidad
si las condiciones auxiliares son cero.Invarianza temporal• La invarianza exige que las condiciones auxiliares se desplacen el
mismo valor que la entrada condiciones auxiliares son iniciales.
Causalidad• Un filtro es causal si está en reposo inicial.
Reposo inicial1) las condiciones auxiliares son condiciones iniciales.2) las condiciones iniciales son nulas.
LINEALIDAD
REPOSO INICIAL INVARIANZA
CAUSALIDAD
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4.8 Filtros: respuesta al impulso
Si conocemos la respuesta al escalón de un filtro, y éste está en reposo inicial (→ Sistema Lineal e Invariante en el Tiempo), entonces la respuesta al impulso es...• Para filtros analógicos
− Ejemplo
Por tanto
( ) ( )1 ( )dy t
y t u tdt τ
+ = (0) 0y =
( ) ( ) 1 ( )t
y t s t e u tττ−⎛ ⎞
= = −⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) ( ) ( )tds th t e u t
dtτ
−= =
1
t0
h(t)
0τ >
( )( ) ds th tdt
=